Pranešimas apie neigiamų skaičių raidą. Neigiamų skaičių ir nulio atsiradimo istorija. Skaičiaus sąvokos apibrėžimas

neigiamų skaičių istorija

1. Neigiamų skaičių istorija.

   Kada ir kur atsirado neigiami skaičiai? Šių skaičių nežinojo nei egiptiečiai, nei babiloniečiai, nei net senovės graikai. Pirmą kartą Kinijos mokslininkai (II a. pr. Kr.) susidūrė su neigiamais skaičiais, susijusiais su lygčių sprendimu. Tačiau ženklai + arba – tada nebuvo naudojami, o teigiamus skaičius vaizdavo raudonai, o neigiamus – juodai, vadindami juos fu. Indijos matematikai Brahmagupta (VII a.) ir Bhaskara (VIII a.) turtą išreiškė teigiamais skaičiais, o skolą – neigiamais. Jie sukūrė šių skaičių veiksmų taisyklę. Tačiau ilgą laiką neigiami skaičiai buvo laikomi netikrais, fiktyviais, absurdiškais. Netgi Bhaskara, naudojusi šiuos skaičius, rašė: Žmonės nepritaria neigiamiems skaičiams.

   Europoje italų matematikas Leonardo Fibonacci 8 amžiuje pasuko į neigiamus skaičius, tačiau M. Stiefel (XVI a.) neigiamų skaičių doktrinoje pažengė daug toliau. Jis pavadino neigiamus skaičius nereikalingais nei nieko ir sakė, kad nulis yra tarp tikrųjų ir absurdiškų skaičių. Ir tik po iškilaus mokslininko Renė Dekarto (XVII a.) ir kitų XVII-XVIII a. V. neigiami skaičiai įgijo pilietybės teises

2. Knygų šaltiniai –
   Istorinis kontūras

   Senovės Egiptas, Babilonas ir Senovės Graikija nenaudojo neigiamų skaičių, o jei buvo gautos neigiamos lygčių šaknys (atėmus), jos buvo atmestos kaip neįmanomos. Išimtis buvo Diofantas, kuris III amžiuje jau žinojo ženklų taisyklę ir mokėjo dauginti neigiamus skaičius. Tačiau jis jas vertino tik kaip tarpinį etapą, naudingą skaičiuojant galutinį, teigiamą rezultatą.

   Pirmą kartą neigiami skaičiai buvo iš dalies įteisinti Kinijoje, o vėliau (maždaug nuo VII a.) Indijoje, kur jie buvo interpretuojami kaip skolos (trūkumas), arba, kaip ir Diofantas, pripažinti laikinomis vertybėmis. Neigiamų skaičių daugyba ir dalyba dar nebuvo apibrėžta. Neigiamų skaičių naudingumas ir teisėtumas buvo nustatytas palaipsniui. Indijos matematikas Brahmagupta (VII a.) jau laikė jas lygiavertėmis su teigiamomis.

   Europoje pripažinimas atėjo po tūkstančio metų, ir net tada ilgą laiką neigiami skaičiai buvo vadinami klaidingais, įsivaizduojamais ar absurdiškais. Pirmasis jų aprašymas Europos literatūroje pasirodė Leonardo iš Pizos abako knygoje (1202), kurioje neigiami skaičiai traktuojami kaip skola. Bombelli ir Girard savo raštuose neigiamus skaičius laikė gana priimtinais ir naudingais, ypač nurodant kažko trūkumą. Net XVII amžiuje Paskalis tikėjo, kad 0-4=0, nes nieko negali būti mažiau už nieko. Tų laikų aidas yra tai, kad šiuolaikinėje aritmetikoje atimties veiksmas ir neigiamų skaičių ženklas žymimi tuo pačiu simboliu (minusu), nors algebriškai tai yra visiškai skirtingos sąvokos.

   XVII amžiuje, atsiradus analitinei geometrijai, neigiami skaičiai gavo vaizdinį geometrinį atvaizdą skaičių tiesėje. Nuo šio momento atsiranda visiška jų lygybė. Nepaisant to, neigiamų skaičių teorija ilgą laiką buvo formuojama. Pavyzdžiui, keista proporcija 1: (-1) = (-1): 1, kai pirmasis narys kairėje yra didesnis už antrąjį, o dešinėje, atvirkščiai, ir paaiškėja, kad didesnis yra lygus prie mažesnių (Arnaud paradoksas) buvo aktyviai diskutuojama. Taip pat nebuvo aišku, kokią reikšmę turi neigiamų skaičių daugyba ir kodėl neigiamų skaičių sandauga yra teigiama; šia tema kilo karštos diskusijos. Gaussas 1831 m. manė, kad būtina išaiškinti, kad neigiami skaičiai iš esmės turi tokias pačias teises kaip ir teigiami, o tai, kad jie netaikomi viskam, dar nieko nereiškia, nes trupmenos taip pat negalioja visiems daiktams (pvz. netaikomi skaičiuojant žmones).

   Išsami ir gana griežta neigiamų skaičių teorija buvo sukurta tik XIX amžiuje (William Hamilton ir Hermann Grassmann).

3. Kotryna ir 5 žmonės, kuriems patiko tai, ką parašei... Ar tau neatrodo keista, kad Leonardo iš Pizos (pirmasis didelis matematikas viduramžių Europa. Geriausiai žinomas Fibonacci slapyvardžiu. Gimė: 1170 m., Piza, Pizos Respublika Mirė: 1250 m. (80 m.), Piza, Italija) tiesiog negalėjo susidoroti su neigiamais skaičiais VIII amžiuje?

Įvadas________________________________________ 3 psl

Pagrindinė dalis

Kas yra „skaičius“?___________________________________ 3 psl

Neigiami skaičiai Egipte____________________ 5 psl

Neigiami skaičiai senovės Azijoje_______________ 5 psl

Neigiami skaičiai Europoje____________________ 6 psl

Šiuolaikinis neigiamų skaičių aiškinimas__ p.7

Išvada ______________________________________ 8 psl

Literatūra _________________________________ 9 p

Skaičių pasaulis yra labai paslaptingas ir įdomus. Skaičiai mūsų pasaulyje yra labai svarbūs. Noriu kuo daugiau sužinoti apie skaičių kilmę, apie jų reikšmę mūsų gyvenime. Kaip juos pritaikyti ir kokį vaidmenį jos vaidina mūsų gyvenime?

Šiais metais matematikos pamokose pradėjome nagrinėti temą „Teigiami ir neigiami skaičiai“. Man kilo klausimas, kada atsirado neigiami skaičiai, kurioje šalyje, kokie mokslininkai sprendė šią problemą. Vikipedijoje skaičiau, kad neigiamas skaičius yra neigiamų skaičių aibės elementas, kuris (kartu su nuliu) atsirado matematikoje plečiant natūraliųjų skaičių aibę. Išplėtimo tikslas yra pateikti bet kokių skaičių atimties operaciją. Dėl išplėtimo gaunama sveikųjų skaičių aibė (žiedas), susidedanti iš teigiamų (natūralių) skaičių, neigiamų skaičių ir nulio.

Dėl to nusprendžiau ištirti neigiamų skaičių istoriją.

tikslasŠis darbas yra neigiamų skaičių atsiradimo istorijos tyrimas.

Studijų objektas - neigiami skaičiai

Skaičiaus sąvokos apibrėžimas

IN modernus pasaulisžmogus nuolat naudoja skaičius, net nesusimąstydamas apie jų kilmę. Be žinios apie praeitį neįmanoma suprasti dabarties. Skaičius yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Skaičiaus samprata susiformavo glaudžiai siejant su dydžių tyrimu; šis ryšys tęsiasi iki šiol. Visose šiuolaikinės matematikos šakose reikia atsižvelgti į skirtingus dydžius ir naudoti skaičius. Skaičius yra abstrakcija, naudojama objektams kiekybiškai įvertinti. Dar primityvioje visuomenėje iš skaičiavimo poreikių atsiradusi skaičiaus samprata keitėsi, praturtėjo ir virto svarbiausia matematine sąvoka.

Egzistuoja didelis skaičius„skaičiaus“ apibrėžimai.

Pirmąjį mokslinį skaičiaus apibrėžimą pateikė Euklidas savo „Elementuose“, kurį, matyt, paveldėjo iš savo tautiečio Eudokso Knido (apie 408 m. – apie 355 m. pr. Kr.): „Vienetas yra tas, pagal kurį kiekvienas iš esamų dalykų vadinamas. vienas. Skaičius yra rinkinys, sudarytas iš vienetų. Taip skaičiaus sąvoką apibrėžė rusų matematikas Magnickis savo knygoje „Aritmetika“ (1703). Dar prieš Euklidą Aristotelis pateikė tokį apibrėžimą: „Skaičius yra aibė, kuri matuojama vienetų pagalba“. Didysis anglų fizikas, mechanikas, astronomas ir matematikas Isaacas Newtonas savo knygoje „Bendroji aritmetika“ (1707) rašo: „Skaičiumi turime omenyje ne tiek vienetų rinkinį, kiek abstrakčią tam tikro kiekio santykį su kitu to paties dydžio kiekiu. rūšies, imamas kaip vienetas . Yra trys skaičių tipai: sveikasis skaičius, trupmeninis ir neracionalus. Sveikasis skaičius yra tas, kuris matuojamas vienetu; trupmeninis – vieneto kartotinis, neracionalus – skaičius, kuris nėra proporcingas vienetui.

Prie skaičiaus sąvokos apibrėžimo prisidėjo ir Mariupolio matematikas S.F.Klyuykovas: „Skaičiai yra matematiniai realaus pasaulio modeliai, sugalvoti žmogaus dėl savo žinių“. Jis taip pat įvedė vadinamuosius „funkcinius skaičius“ į tradicinę skaičių klasifikaciją, ty tai, kas visame pasaulyje paprastai vadinama funkcijomis.

Natūralūs skaičiai atsirado skaičiuojant objektus. Apie tai sužinojau 5 klasėje. Tada sužinojau, kad žmogaus poreikis matuoti kiekius ne visada išreiškiamas sveikuoju skaičiumi. Išplėtus natūraliųjų skaičių aibę iki trupmeninių, atsirado galimybė bet kurį sveikąjį skaičių padalyti iš kito sveikojo skaičiaus (išskyrus padalijimą iš nulio). Yra trupmeniniai skaičiai. Atimti sveikąjį skaičių iš kito sveikojo skaičiaus, kai atimtasis didesnis už redukuotąjį, ilgą laiką atrodė neįmanoma. Man buvo įdomu tai, kad daug matematikų ilgą laiką nepripažino neigiamų skaičių, manydami, kad jie neatitinka jokių realių reiškinių.

Neigiami skaičiai Egipte

Tačiau nepaisant tokių abejonių, taisyklės, kaip elgtis su teigiamais ir neigiamais skaičiais, buvo pasiūlytos jau III amžiuje Egipte. Neigiamų dydžių įvedimas pirmą kartą įvyko Diofantu. Jis netgi panaudojo jiems specialų simbolį (dabar tam naudojame minuso ženklą). Tiesa, mokslininkai ginčijasi, ar Diofanto simbolis reiškė būtent neigiamą skaičių, ar tiesiog atimties veiksmą, nes Diofante neigiami skaičiai atsiranda ne atskirai, o tik teigiamų skirtumų pavidalu; o uždaviniuose jis laiko tik racionalius teigiamus skaičius. Tačiau tuo pat metu Diofantas naudoja tokius kalbos posūkius kaip „Pridėkime neigiamą prie abiejų pusių“ ir netgi suformuluoja ženklų taisyklę: „Neiginys, padaugintas iš neigiamo, suteikia teigiamą, o neigiamas, padaugintas iš teigiamo. duoda neigiamą“ (tai, kas dabar dažniausiai formuluojama: „Minusas prie minuso duoda pliusą, minusas prie pliuso – minusą“).

(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

Neigiami skaičiai senovės Azijoje

Teigiami skaičiai kinų matematikoje buvo vadinami „chen“, neigiami – „fu“; jie buvo vaizduojami skirtingomis spalvomis: „chen“ – raudona, „fu“ – juoda. Toks vaizdavimo būdas Kinijoje buvo naudojamas iki XII amžiaus vidurio, kol Li Ye pasiūlė patogesnį neigiamų skaičių žymėjimą – skaičiai, vaizduojantys neigiamus skaičius, buvo perbraukti brūkšniu įstrižai iš dešinės į kairę. Indijos mokslininkai, bandydami rasti gyvenime tokio atimties pavyzdžių, ėmė tai interpretuoti prekybos skaičiavimų požiūriu.

Jei prekybininkas turi 5000 r. ir perka prekių už 3000 rublių, jis turi 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Jei jis turi 3000 rublių ir perka už 5000 rublių, tai jis lieka skolingas 2000 rublių. Atsižvelgiant į tai, buvo manoma, kad čia atimama 3000 - 5000, tačiau rezultatas yra skaičius 2000 su tašku viršuje, reiškiančiu "dviejų tūkstančių skolą".

Toks aiškinimas buvo dirbtinio pobūdžio, prekybininkas niekada nerado skolos sumos atimdamas 3000 - 5000, o visada atimdavo 5000 - 3000. Be to, šiuo pagrindu buvo galima ištemptai paaiškinti tik sudėjimo taisykles ir atimant "skaičius su taškais", bet jokiu būdu nebuvo paaiškinta daugybos ar dalybos taisyklės.

V-VI amžiuje Indijos matematikoje atsiranda ir labai plačiai paplitę neigiami skaičiai. Indijoje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami taip pat, kaip ir dabar. Indijos matematikai neigiamus skaičius naudojo nuo VII amžiaus. n. e .: Brahmagupta su jais suformulavo aritmetinių operacijų taisykles. Jo veikale skaitome: „nuosavybė ir nuosavybė yra nuosavybė, dviejų skolų suma yra skola; turto ir nulio suma yra nuosavybė; dviejų nulių suma lygi nuliui... Skola, kuri atimama iš nulio, tampa nuosavybe, o turtas – skola. Jei reikia paimti turtą iš skolos, o skolą iš turto, tada jie paima savo sumą.

Indai teigiamus skaičius vadino „dhana“ arba „swa“ (turtas), o neigiamus – „rina“ arba „kshaya“ (skola). Tačiau Indijoje kilo problemų su neigiamų skaičių supratimu ir priėmimu.

Neigiami skaičiai Europoje

Europos matematikai ilgą laiką jiems nepritarė, nes „nuosavybės skolos“ aiškinimas sukėlė sumišimą ir abejones. Iš tiesų, kaip galima „pridėti“ ar „atimti“ turtą ir skolas, kokią tikrą reikšmę gali turėti „dauginimas“ ar „dalijimas“ iš skolos? (G.I. Glazeris, Matematikos istorija IV-VI klasėse. Maskva, Švietimas, 1981)

Štai kodėl neigiami skaičiai labai sunkiai iškovojo savo vietą matematikoje. Europoje Leonardo Fibonacci iš Pizos pakankamai priartėjo prie neigiamo dydžio idėjos XIII amžiaus pradžioje, tačiau aiškų neigiamų skaičių naudojimą XV amžiaus pabaigoje pirmą kartą panaudojo prancūzų matematikas Shuquet. Ranka parašyto traktato apie aritmetiką ir algebrą „Skaičių mokslas trijose dalyse“ autorius. Schücke simbolika artėja prie modernumo (matematinis enciklopedinis žodynas. M., Sov. enciklopedija, 1988)

Šiuolaikinė neigiamų skaičių interpretacija

1544 m. vokiečių matematikas Michaelas Stiefelis pirmą kartą neigiamus skaičius laiko skaičiais, mažesniais už nulį (t. y. „mažiau nei nieko“). Nuo to momento į neigiamus skaičius žvelgiama nebe kaip į skolą, o visiškai naujai. Pats Stiefelis rašė: „Nulis yra tarp tikrų ir absurdiškų skaičių...“ (G.I. Glazeris, Matematikos istorija IV–VI klasėse. Maskva, Švietimas, 1981)

Po to Stiefelis visą savo darbą skiria matematikai, kurioje jis buvo puikus savamokslis. Vienas pirmųjų Europoje po to, kai Nikola Shuke pradėjo veikti su neigiamais skaičiais.

Žymus prancūzų matematikas René Descartes knygoje Geometrija (1637) aprašo geometrinę teigiamų ir neigiamų skaičių interpretaciją; teigiami skaičiai skaičių ašyje pavaizduoti taškais, esančiais į dešinę nuo pradžios 0, neigiami - į kairę. Teigiamų ir neigiamų skaičių geometrinė interpretacija leido aiškiau suprasti neigiamų skaičių prigimtį ir prisidėjo prie jų atpažinimo.

Beveik kartu su Stiefeliu neigiamų skaičių idėją gynė italų matematikas ir inžinierius R. Bombelli Raffaele (apie 1530-1572), iš naujo atradęs Diofanto kūrybą.

Bombelli ir Girard, priešingai, neigiamus skaičius laikė gana priimtinais ir naudingais, ypač nurodant, kad kažko trūksta. Šiuolaikinį teigiamų ir neigiamų skaičių žymėjimą ženklais „+“ ir „-“ naudojo vokiečių matematikas Widmanas.

Posakis „žemesnis nei nieko“ rodo, kad Stiefel ir kai kurie kiti mintyse įsivaizdavo teigiamus ir neigiamus skaičius kaip vertikalios skalės taškus (kaip termometro skalę). Vėliau matematiko A. Girardo išplėtota idėja apie neigiamus skaičius kaip tam tikros tiesės taškus, esančius kitoje nulio pusėje nei teigiami, pasirodė esąs lemiamas suteikiant šiems skaičiams pilietybės teises, ypač dėl koordinačių metodo sukūrimas P. Fermat ir R. Descartes .

Išvada

Savo darbe nagrinėjau neigiamų skaičių atsiradimo istoriją. Atlikdamas tyrimą padariau išvadą:

šiuolaikinis mokslas susiduria su tokio sudėtingo pobūdžio kiekiais, kad jų tyrimui reikia išrasti visas naujas skaičių rūšis.

Įvedant naujus skaičius labai svarbios dvi aplinkybės:

a) veiksmų su jais taisyklės turi būti visiškai apibrėžtos ir nesukelti prieštaravimų;

b) naujos skaičių sistemos turėtų arba prisidėti prie naujų problemų sprendimo, arba pagerinti jau žinomus sprendimus.

Iki šiol laikas turi septynis visuotinai priimtus skaičių apibendrinimo lygius: natūralūs, racionalūs, realūs, kompleksiniai, vektoriniai, matriciniai ir tarpribiniai skaičiai. Kai kurie mokslininkai siūlo apsvarstyti funkcijas funkcijų numeriai ir išplėsti skaičių apibendrinimo laipsnį iki dvylikos lygių.

Pabandysiu ištirti visas šias skaičių aibes.

Bibliografija

Didžioji matematinė enciklopedija. Jakuševa G.M. ir kt.

Maskva: Philol. O-vo "Žodis": OLMA-PRESS, 2005 m.

Matematikos mokslo atsiradimas ir raida: knyga. Dėl mokytojo. - M .: Švietimas, 1987 m.

Enciklopedija vaikams. T.11. Matematika

Galva. red. M. D. Aksenova. – M.: Avanta+, 1998 m.

Matematikos istorija mokykloje, IV-VI kl. G.I. Glazeris, Maskva, Švietimas, 1981 m.

Vikipedija. Nemokama enciklopedija.

Matematinis enciklopedinis žodynas. M., Sov. enciklopedija, 1988 m.

SKAIČIUS, viena iš pagrindinių matematikos sąvokų; atsirado senovėje ir palaipsniui plėtėsi bei apibendrino. Skaičiuojant atskirus objektus, atsirado teigiamų sveikųjų (natūralių) skaičių samprata, o tada natūralios skaičių serijos begalybės idėja: 1, 2, 3, 4. Matavimo problemos ilgiai, plotai ir pan., taip pat įvardintų dydžių dalių išryškinimas atvedė į racionalaus (trupmeninio) skaičiaus sampratą. Neigiamų skaičių samprata tarp indėnų atsirado VI-XI a.

Pirmą kartą neigiami skaičiai aptinkami vienoje iš senovės kinų traktato „Matematika devyniuose skyriuose“ (Jang Ts'an – I a. pr. Kr.) knygų. Neigiamas skaičius buvo suprantamas kaip skola, o teigiamas - kaip nuosavybė. Neigiamų skaičių pridėjimas ir atėmimas buvo pagrįstas samprotavimais apie skolą. Pavyzdžiui, sudėjimo taisyklė buvo suformuluota taip: „Jei prie vienos skolos pridėsite kitą skolą, tai rezultatas bus skola, o ne turtas“. Tada nebuvo jokio minuso ženklo, o norėdamas atskirti teigiamus ir neigiamus skaičius, Janas Ts'anas juos parašė skirtingų spalvų rašalu.

Neigiamų skaičių idėjai nepavyko užimti vietos matematikoje. Antikos matematikams šie skaičiai atrodė nesuprantami ir net klaidingi, veiksmai su jais buvo neaiškūs ir neturėjo tikros reikšmės.

Indijos matematikai naudoja neigiamus skaičius.

VI-VII mūsų eros amžiuje Indijos matematikai jau sistemingai naudojo neigiamus skaičius, vis dar suprasdami juos kaip skolą. Nuo VII amžiaus Indijos matematikai naudojo neigiamus skaičius. Teigiamus skaičius jie vadino „dhana“ arba „sva“ („nuosavybė“), o neigiamus – „rina“ arba „kshaya“ („skola“). Pirmą kartą visus keturis aritmetinius veiksmus su neigiamais skaičiais pateikė indų matematikas ir astronomas Brahmagupta (598 - 660).

Pavyzdžiui, dalijimosi taisyklę jis suformulavo taip: „Teigiamas, padalytas iš teigiamo, arba neigiamas, padalintas iš neigiamo, tampa teigiamas. Tačiau teigiamas dalykas, padalintas iš neigiamo, ir neigiamas, padalintas iš teigiamo, lieka neigiamas.

(Brahmagupta (598 - 660) – Indijos matematikas ir astronomas. Brahmaguptos veikalas „Brahmos sistemos peržiūra“ (628), kurio nemaža dalis skirta aritmetikai ir algebrai, atkeliavo pas mus. Svarbiausia čia yra doktrina aritmetinė progresija ir sprendimas kvadratines lygtis kuriuos Brahmagupta nagrinėjo visais atvejais, kai jie turėjo galiojančių sprendimų. Brahmagupta leido ir svarstė nulį naudoti visose aritmetinėse operacijose. Be to, Brahmagupta išsprendė kai kurias neapibrėžtas lygtis sveikaisiais skaičiais; jis davė taisyklę, kaip sudaryti stačiakampius trikampius su racionaliosiomis kraštinėmis ir pan. Brahmaguptu žinojo atvirkštinę trigubą taisyklę, jis turi aproksimaciją P, anksčiausią 2 eilės interpoliacijos formulę. Jo interpoliacijos taisyklė sinusui ir atvirkštiniam sinusui vienodais intervalais yra ypatingas Niutono-Stirlingo interpoliacijos formulės atvejis. Vėlesniame darbe Brahmagupta pateikia nevienodų intervalų interpoliacijos taisyklę. Jo darbai buvo išversti į arabų kalbą VIII amžiuje.)

Neigiamų skaičių supratimas, Leonardas Fibonacci iš Pizos.

Nepriklausomai nuo indų, italų matematikas Leonardo Fibonacci iš Pizos (XIII a.) neigiamus skaičius suprato kaip teigiamų priešingybę. Tačiau prireikė dar 400 metų, kol „absurdiški“ (beprasmiai) neigiami skaičiai buvo visiškai pripažinti matematikų ir neigiami problemų sprendimai nebebuvo atmesti kaip neįmanomi.

(Leonardo Fibonacci iš Pizos (apie 1170 m. – po 1228 m.) – italų matematikas. Gimė Pizoje (Italija). Pradinį išsilavinimą įgijo Busho mieste (Alžyras), vadovaujamas vietinio mokytojo. Čia įsisavino aritmetiką ir algebrą arabai.Aplankė daug Europos ir Rytų šalių ir visur praplėtė matematikos žinias.

Jis išleido dvi knygas: „Abakuso knyga“ (1202), kur abakas buvo laikomas ne tiek instrumentu, kiek skaičiavimu apskritai, ir „Praktinė geometrija“ (1220). Pagal pirmąją knygą daugelis Europos matematikų kartų studijavo Indijos pozicinių skaičių sistemą. Medžiagos pateikimas jame buvo originalus ir elegantiškas. Mokslininkas taip pat turi savo atradimų, visų pirma, jis padėjo pagrindą klausimų, susijusių su T. N. Fibonacci skaičiais, plėtrai ir pateikė originalų kubo šaknies išgavimo metodą. Jo raštai įgavo aktualumo tik XV amžiaus pabaigoje, kai Luca Pacioli juos peržiūrėjo ir paskelbė savo „Sumoje“.

Michailo Stifelio neigiamų skaičių svarstymas nauju būdu.

1544 m. vokiečių matematikas Michaelas Stiefelis pirmą kartą neigiamus skaičius laiko skaičiais, mažesniais už nulį (t. y. „mažiau nei nieko“). Nuo to momento į neigiamus skaičius žvelgiama nebe kaip į skolą, o visiškai naujai. (Stiefel Michael (1487 04 19 - 1567 06 19) – garsus vokiečių matematikas. Michael Stiefel mokėsi katalikų vienuolyne, vėliau susidomėjo Liuterio idėjomis ir tapo kaimo protestantų pastorium. Studijuodamas Bibliją jis pabandė rasti joje matematinį aiškinimą.Dėl savo tyrimų jis išpranašavo pasaulio pabaigą 1533 m. spalio 19 d., kas, žinoma, neįvyko, ir Michaelas Stiefelis buvo įkalintas Viurtembergo kalėjime, iš kurio Pats Liuteris jį išgelbėjo.

Po to Stiefelis visą savo darbą skiria matematikai, kurioje jis buvo puikus savamokslis. Vienas pirmųjų Europoje po to, kai N. Shuke pradėjo operuoti neigiamais skaičiais; įvedė trupmeninius ir nulinius rodiklius, taip pat terminą „rodiklis“; veikale "Visiška aritmetika" (1544) jis pateikė dalybos iš trupmenos taisyklę, kaip daugybos iš trupmenos atvirkštinę daliklio vertę; žengė pirmąjį žingsnį kuriant metodus, kurie supaprastina skaičiavimus su dideliais skaičiais ir palygino dvi progresijas: geometrinę ir aritmetinę. Vėliau tai padėjo I. Burgi ir J. Napier sukurti logaritmines lenteles ir atlikti logaritminius skaičiavimus.)

Šiuolaikinė neigiamų skaičių interpretacija, kurią pateikė Girardas ir René Descartesas.

Šiuolaikinis neigiamų skaičių aiškinimas, pagrįstas vienetų segmentų išdėstymu skaičių ašyje kairėje nuo nulio, buvo pateiktas XVII amžiuje, daugiausia olandų matematiko Girard'o (1595-1634) ir garsaus prancūzų matematiko ir filosofo darbuose. René Descartes (1596-1650). ) (Girardas Albertas (1595 - 1632) – belgų matematikas. Girard'as gimė Prancūzijoje, bet pabėgo į Olandiją nuo Katalikų bažnyčios persekiojimo, nes buvo protestantas. Albertas Girardas padarė didelį indėlis į algebros kūrimą. Pagrindinis jo darbas buvo knyga „Naujas atradimas algebroje". Pirmą kartą jis išdėstė pagrindinę algebros teoremą apie šaknies buvimą algebrinei lygčiai su vienu nežinomuoju. Nors Gaussas pateikė a. griežtas įrodymas pirmą kartą. Girardui priklauso sferinio trikampio ploto formulės išvedimas.) Nuo 1629 m. Nyderlanduose. Jis padėjo analitinės geometrijos pagrindus, pateikė kintamojo dydžio ir funkcijos sąvokas, įvedė daug algebrinių žymėjimų. Jis išreiškė impulso išsaugojimo dėsnį, pateikė jėgos impulso sampratą. Teorijos, aiškinančios dangaus kūnų susidarymą ir judėjimą materijos dalelių sūkuriu (Descartes’o sūkuriais), autorius. Pristatė reflekso (Dekarto lanko) idėją. Dekarto filosofija remiasi sielos ir kūno, „mąstymo“ ir „išplėstos“ substancijos dualizmu. Materija buvo tapatinama su pratęsimu (arba erdve), judėjimas buvo redukuotas iki kūnų judėjimo. bendra priežastis judėjimas, pasak Dekarto, – Dievas, sukūręs materiją, judėjimą ir poilsį. Žmogus yra negyvo kūno mechanizmo jungtis su siela, kuri turi mąstymą ir valią. Besąlyginis visų žinojimo pagrindas, pasak Dekarto, yra betarpiškas sąmonės tikrumas („aš mąstau, vadinasi, esu“). Dievo egzistavimą jis laikė objektyvios žmogaus mąstymo reikšmės šaltiniu. Žinių doktrinoje Dekartas yra racionalizmo pradininkas ir įgimtų idėjų doktrinos šalininkas. Pagrindiniai darbai: „Geometrija“ (1637), „Metodo samprotavimai. "(1637), "Filosofijos pradžia" (1644).

DECARTES (Descartes) Rene (lot. – Cartesius; Cartesius) (1596 m. kovo 31 d., Lae, Touraine, Prancūzija – 1650 m. vasario 11 d., Stokholmas), prancūzų filosofas, matematikas, fizikas ir fiziologas, naujojo Europos racionalizmo įkūrėjas ir vienas iš įtakingiausi šių laikų metafizikai.

Gyvenimas ir raštai

Gimęs kilmingoje šeimoje, Dekartas gavo gerą išsilavinimą. 1606 m. tėvas jį išsiuntė į La Fleche jėzuitų koledžą. Atsižvelgiant į ne itin gerą Dekarto sveikatą, jam buvo suteiktas tam tikras atlaidus griežtai laikantis šios tvarkos švietimo įstaiga, pvz. leista keltis vėliau nei kitiems. Kolegijoje įgijęs daug žinių, Dekartas tuo pat metu buvo persmelktas antipatijos scholastinei filosofijai, kurią išlaikė visą gyvenimą.

Baigęs koledžą, Dekartas tęsė mokslus. 1616 m. Puatjė universitete įgijo teisės bakalauro laipsnį. 1617 m. Dekartas įstojo į kariuomenę ir daug keliavo po Europą.

Moksliškai įrodyta, kad 1619-ieji Dekartui buvo pagrindiniai metai. Būtent tuo metu, kaip jis pats rašė savo dienoraštyje, atsirado naujos " nuostabus mokslas“. Greičiausiai Dekartas turėjo omenyje universalaus mokslinio metodo atradimą, kurį vėliau vaisingai pritaikė įvairiose disciplinose.

1620-aisiais Dekartas susipažino su matematiku M. Mersenne, per kurį ilgus metus „palaikė ryšį“ su visa Europos mokslo bendruomene.

1628 metais Dekartas Nyderlanduose apsigyveno daugiau nei 15 metų, bet neapsigyveno nei vienoje vietoje, o apie dvi dešimtis kartų keitė gyvenamąją vietą.

1633 m., sužinojęs apie Galilėjaus pasmerkimą bažnyčioje, Dekartas atsisako išleisti gamtos filosofinį veikalą „Pasaulis“, kuriame buvo išdėstytos natūralios visatos kilmės idėjos pagal mechaninius materijos dėsnius.

1637 m Prancūzų kalba Išleidžiamas Dekarto diskursas apie metodą, nuo kurio, kaip daugelis mano, prasidėjo šiuolaikinė Europos filosofija.

1641 m. pasirodė pagrindinis Dekarto filosofinis veikalas „Pirmosios filosofijos apmąstymai“ (lotynų k.), o 1644 m. – „Filosofijos elementai“, Dekarto sumanytas kaip sąvadas, apibendrinantis svarbiausias pasaulio metafizines ir gamtos filosofines teorijas. autorius.

Didelę įtaką Europos mintims padarė ir paskutinis filosofinis Dekarto veikalas „Sielos aistros“, išleistas 1649 m., tais pačiais metais Švedijos karalienės Kristinos kvietimu Dekartas išvyko į Švediją. Atšiaurus klimatas ir neįprastas režimas (karalienė privertė Dekartą keltis 5 val. ryto, kad galėtų vesti pamokas ir atlikti kitas užduotis) sumenkino Dekarto sveikatą, o peršalęs jis mirė nuo plaučių uždegimo.

Dekarto filosofija vaizdžiai iliustruoja Europos kultūros siekį išsivaduoti iš senų dogmų ir kurti naują mokslą bei patį gyvenimą „nuo nulio“. Tiesos kriterijus, pasak Dekarto, gali būti tik mūsų proto „natūrali šviesa“. Dekartas neneigia pažintinės patirties vertės, tačiau jos funkciją mato tik tame, kad ji padeda protui, kai jo paties jėgų pažinimui nepakanka. Apmąstydamas patikimų žinių pasiekimo sąlygas, Dekartas formuluoja „metodo taisykles“, pagal kurias galima prieiti prie tiesos. Iš pradžių Dekartas manė, kad jų yra labai daug, „Diskurse apie metodą“ jie sutrumpinami iki keturių pagrindinių nuostatų, kurios sudaro Europos racionalizmo „kvintesenciją“: 1) pradėti nuo neabejotinos ir savaime suprantamos, tai yra nuo kad, priešingai nei negalima galvoti, 2) padalinti bet kurią problemą į tiek dalių, kiek reikia jos efektyviam sprendimui, 3) pradėti nuo paprasto ir palaipsniui pereiti prie kompleksinio, 4) nuolat tikrinti išvadų teisingumą. Tai, kas savaime suprantama, protu suvokiama intelektualine intuicija, kuri negali būti painiojama su jusliniu stebėjimu ir kuri suteikia mums „aiškų ir aiškų“ tiesos suvokimą. Problemos padalijimas į dalis leidžia atpažinti joje „absoliučius“, t.y. savaime suprantamus elementus, iš kurių galima remtis vėlesniuose išvaduose. Išskaičiavimu Dekartas vadina „mąstymo judėjimą“, kuriame vyksta intuityvių tiesų susiejimas. Žmogaus intelekto silpnumas reikalauja patikrinti žingsnių, kurių imtasi, teisingumą, ar nėra samprotavimo spragų. Tokį patikrinimą Dekartas vadina „išvardinimu“ arba „indukcija“. Nuoseklios ir šakotos išskaičiavimo rezultatas turėtų būti visuotinių žinių sistemos, „visuotinio mokslo“ sukūrimas. Dekartas šį mokslą lygina su medžiu. Jo šaknis – metafizika, kamienas – fizika, o vaisingos šakos formuoja konkrečius mokslus, etiką, mediciną ir mechaniką, duodančius tiesioginę naudą. Iš šios schemos aišku, kad visų šių mokslų veiksmingumo raktas yra teisinga metafizika.

Dekartą nuo tiesų atradimo metodo išskiria jau sukurtos medžiagos pateikimo metodas. Galima teigti „analitiškai“ ir „sintetiškai“. Analitinis metodas yra problemiškas, mažiau sistemingas, bet palankesnis supratimui. Sintetinė, tarsi „geometrizuojanti“ medžiaga – griežtesnė. Dekartas vis dar teikia pirmenybę analitiniam metodui.

Abejonė ir abejonė

Pradinė metafizikos, kaip mokslo, problema bendras gimdymas egzistavimas, kaip ir bet kurioje kitoje disciplinoje, yra savaime suprantamų pagrindų klausimas. Metafizika turi prasidėti neabejotinu kažkokios egzistencijos teiginiu. Dekartas savaime suprantamai „tikrina“ tezes apie pasaulio, Dievo ir mūsų „aš“ egzistavimą. Pasaulį galima pavaizduoti kaip neegzistuojantį, jei įsivaizduojame, kad mūsų gyvenimas yra ilga svajonė. Taip pat galima suabejoti Dievo egzistavimu. Tačiau mūsų „aš“, Dekarto įsitikinimu, negalima kvestionuoti, nes pati abejonė savo esybe įrodo abejonės egzistavimą, taigi ir abejojantį Aš. „Abejoju, vadinasi, egzistuoju“ – taip Dekartas formuluoja šią svarbiausią tiesą. reiškiantis subjektyvistinį Europos filosofijos posūkį Naujasis laikas. Daugiau bendras vaizdasši tezė skamba taip: „Galvoju, vadinasi, esu“ - cogito, ergo sum. Abejonė yra tik vienas iš „mąstymo būdų“, kartu su troškimu, racionaliu suvokimu, vaizduote, atmintimi ir net pojūčiais. Mąstymo pagrindas yra sąmonė. Todėl Dekartas neigia nesąmoningų idėjų egzistavimą. Mąstymas yra esminė sielos savybė. Siela negali nemąstyti, ji yra „mąstantis dalykas“, res cogitans. Tačiau savo egzistavimo tezės pripažinimas neabejotina nereiškia, kad Dekartas sielos neegzistavimą apskritai laiko neįmanomu: ji negali neegzistuoti tik tol, kol mąsto. Priešingu atveju siela yra atsitiktinis dalykas, tai yra, ji gali būti arba nebūti, nes ji yra netobula. Visi atsitiktiniai dalykai savo esybę atkreipia iš išorės. Dekartas teigia, kad sielą kiekvieną sekundę palaiko Dievas. Nepaisant to, ji gali būti vadinama medžiaga, nes ji gali egzistuoti atskirai nuo kūno. Tačiau iš tikrųjų siela ir kūnas glaudžiai sąveikauja. Tačiau esminė sielos nepriklausomybė nuo kūno Dekartui yra raktas į galimą sielos nemirtingumą.

Mokymas apie Dievą

Nuo filosofinės psichologijos Dekartas pereina prie Dievo doktrinos. Jis pateikia keletą aukštesnės būtybės egzistavimo įrodymų. Žymiausias yra vadinamasis „ontologinis argumentas“: Dievas yra visapusiška būtybė, todėl jo sampratoje negali trūkti išorinės egzistencijos predikato, o tai reiškia, kad neįmanoma paneigti Dievo egzistavimo nepatenkant į prieštaravimas. Kitas Dekarto pasiūlytas įrodymas yra originalesnis (pirmasis buvo gerai žinomas viduramžių filosofijoje): mūsų galvoje yra Dievo idėja, ši idėja turi turėti priežastį, bet tik pats Dievas gali būti priežastis, kitaip idėja. aukštesnės tikrovės, kuri būtų sukurta dėl to, kad ji neturi šios tikrovės, tai yra, veiksme būtų daugiau tikrovės nei priežastyje, o tai yra absurdiška. Trečiasis argumentas grindžiamas Dievo egzistavimo poreikiu palaikyti žmogaus egzistavimą. Dekartas tikėjo, kad Dievas, pats savaime nesaistomas žmogiškosios tiesos dėsnių, vis dėlto yra žmogaus „įgimto pažinimo“, apimančio pačią Dievo idėją, taip pat logines ir matematines aksiomas, šaltinis. Anot Dekarto, mūsų tikėjimas išorinio materialaus pasaulio egzistavimu taip pat kyla iš Dievo. Dievas negali būti apgavikas, todėl šis tikėjimas yra tikras, o materialus pasaulis tikrai egzistuoja.

Gamtos filosofija

Įsitikinęs materialaus pasaulio egzistavimu, Dekartas pradeda tyrinėti jo savybes. Pagrindinė materialių dalykų savybė yra išplėtimas, kuris gali pasireikšti įvairiais modifikacijomis. Dekartas neigia tuščios erdvės egzistavimą motyvuodamas tuo, kad visur, kur yra išplėtimas, yra ir „pratęstas dalykas“, res extensa. Kitos materijos savybės yra miglotai suvokiamos ir, galbūt, pasak Dekarto, egzistuoja tik suvokime, o pačiuose objektuose jų nėra. Medžiaga susideda iš ugnies, oro ir žemės elementų, kurie visi skiriasi tik dydžiu. Elementai nėra nedalomi ir gali transformuotis vienas į kitą. Bandydamas suderinti materijos diskretiškumo sampratą su tuštumos nebuvimo teze, Dekartas iškelia įdomiausią tezę apie mažiausių materijos dalelių nestabilumą ir apibrėžtos formos nebuvimą. Dekartas susidūrimą pripažįsta kaip vienintelį būdą perkelti elementų ir daiktų sąveiką, susidedančią iš jų maišymosi. Ji atsiranda pagal pastovumo dėsnius, kylančius iš nekintančios Dievo esmės. Nesant išorinio poveikio, daiktai savo būsenos nekeičia ir juda tiesia linija, o tai yra pastovumo simbolis. Be to, Dekartas kalba apie pirminio impulso išsaugojimą pasaulyje. Tačiau pats judėjimas iš pradžių nėra būdingas medžiagai, bet yra Dievo įvestas. Tačiau jau užtenka vieno pirmojo postūmio, kad teisingas ir harmoningas kosmosas palaipsniui ir savarankiškai susiburtų iš materijos chaoso.

kūnas ir siela

Dekartas daug laiko praleido tyrinėdamas gyvūnų organizmų veikimo dėsnius. Jis laikė juos subtiliomis mašinomis, galinčiomis prisitaikyti aplinką ir tinkamai reaguoti į išorinį poveikį. Patiriamas poveikis persiduoda į smegenis, kurios yra „gyvūnų dvasių“ rezervuaras, mažiausios dalelės, kurios patenka į raumenis per poras, kurios atsiveria dėl smegenų „kankorėžinės liaukos“ (kuri yra sielos buveinė) nukrypimų. ), sukelia šių raumenų susitraukimus. Kūno judėjimas susideda iš tokių susitraukimų sekos. Gyvūnai neturi sielos ir jiems jų nereikia. Dekartas sakė, kad jį labiau nustebino sielos buvimas žmoguje nei jos nebuvimas gyvūnuose. Tačiau sielos buvimas žmoguje nėra nenaudingas, nes siela gali pakoreguoti natūralias kūno reakcijas.

Descartesas fiziologas

Dekartas tyrinėjo įvairių gyvūnų organų sandarą, tyrė embrionų sandarą įvairiuose vystymosi etapuose. Jo doktrina apie „valingus“ ir „nevalingus“ judesius padėjo pagrindus šiuolaikinei refleksų doktrinai. Dekarto darbuose pateikiamos refleksinių reakcijų su įcentrinėmis ir išcentrinėmis reflekso lanko dalimis schemos.

Dekarto darbų reikšmė matematikoje ir fizikoje

Dekarto gamtos mokslo pasiekimai gimė kaip jo sukurto vieningo mokslo metodo „šalutinis produktas“. Dekartui priskiriamas kūrybos nuopelnas modernios sistemosžymėjimas: jis įvedė kintamųjų ženklus (x, y, z.), koeficientus (a, b, c.), laipsnių žymėjimą (a2, x-1.).

Dekartas yra vienas iš lygčių teorijos autorių: jis suformulavo ženklų taisyklę, leidžiančią nustatyti teigiamų ir neigiamų šaknų skaičių, iškėlė realių šaknų ribų klausimą ir iškėlė redukuojamumo, t.y. visumos reprezentavimo, problemą. racionalioji funkcija su racionaliais koeficientais kaip dviejų tokio pobūdžio funkcijų sandauga. Jis nurodė, kad 3-ojo laipsnio lygtis yra išsprendžiama kvadratiniais radikalais (taip pat nurodė sprendimą naudojant kompasą ir tiesiąją liniją, jei ši lygtis yra redukuojama).

Dekartas yra vienas iš analitinės geometrijos kūrėjų (kurią kūrė kartu su P. Ferma), kuri leido šį mokslą algebrazuoti koordinačių metodu. Jo pasiūlyta koordinačių sistema buvo pavadinta jo vardu. Darbe „Geometrija“ (1637), atradusiame algebros ir geometrijos sąveiką, Dekartas pirmą kartą pristatė kintamojo ir funkcijos sąvokas. Kintamąjį jis interpretuoja dvejopai: kaip kintamo ilgio ir pastovios krypties atkarpą (dabartinė taško koordinatė, apibūdinanti kreivę su jo judėjimu) ir kaip ištisinį skaitinį kintamąjį, einantį per šią atkarpą išreiškiančią skaičių aibę. Geometrijos studijų srityje Dekartas įtraukė „geometrines“ linijas (vėliau Leibnicas pavadino algebrinėmis) – linijas, aprašytas šarnyriniais mechanizmais judėjimo metu. Transcendentinės kreivės (pats Dekartas jas vadina „mechaninėmis“), kurias jis pašalino iš savo geometrijos. Kalbant apie lęšių tyrimus (žr. toliau), „Geometrijoje“ aprašomi plokštumos kreivių normaliųjų ir liestinių sudarymo metodai.

„Geometrija“ turėjo didžiulę įtaką matematikos raidai. Dekarto koordinačių sistemoje neigiami skaičiai gavo tikrą interpretaciją. Dekartas iš tikrųjų realiuosius skaičius aiškino kaip bet kurio atkarpos ir vieneto santykį (nors pačią formuluotę I. Niutonas pateikė vėliau). Dekarto susirašinėjime yra ir kitų atradimų.

Optikoje jis atrado šviesos spindulių lūžio prie dviejų skirtingų terpių dėsnį (išdėstytas Dioptric, 1637). Dekartas padarė didelį indėlį į fiziką, aiškiai suformuluodamas inercijos dėsnį.

Dekarto įtaka

Dekartas turėjo didžiulę įtaką vėlesniam mokslui ir filosofijai. Iš jo priimti Europos mąstytojai ragina kurti filosofiją kaip tikslų mokslą (B. Spinoza), konstruoti metafiziką remiantis sielos doktrina (J. Locke, D. Hume). Dekartas taip pat sustiprino teologinius ginčus dėl Dievo egzistavimo įrodymų galimybės. Didžiulį atgarsį turėjo Dekarto diskusija apie sielos ir kūno sąveikos klausimą, į kurią reagavo N. Malebranche'as, G. Leibnicas ir kiti, taip pat jo kosmogoninės konstrukcijos. Daugelis mąstytojų bandė formalizuoti Dekarto metodiką (A. Arno, N. Nicole, B. Pascal). XX amžiuje Dekarto filosofija dažnai minima daugelio diskusijų apie proto filosofijos ir kognityvinės psichologijos problemas dalyviai.

Norint sukurti šį mums suprantamą ir natūralų požiūrį, prireikė daugelio mokslininkų pastangų per aštuoniolika šimtmečių nuo Jano Ts'ano iki Dekarto.

Neigiamų skaičių istorija

Yra žinoma, kad natūralūs skaičiai atsirado skaičiuojant objektus. Žmogaus poreikis matuoti dydžius ir tai, kad matavimo rezultatas ne visada išreiškiamas sveikuoju skaičiumi, lėmė natūraliųjų skaičių aibės išplėtimą. Buvo įvesti nuliniai ir trupmeniniai skaičiai.

Procesas istorinė raida skaičiaus samprata tuo nesibaigė. Tačiau pirmasis postūmis plėsti skaičiaus sampratą ne visada buvo išskirtinai praktiniai žmonių poreikiai. Taip pat atsitiko, kad pačios matematikos uždaviniai reikalavo išplėsti skaičiaus sąvoką. Būtent taip atsitiko, kai atsirado neigiami skaičiai. Daugelio problemų sprendimas, ypač sprendžiamas lygčių pagalba, paskatino didesnį skaičių atimti iš mažesnio skaičiaus. Tam reikėjo įvesti naujus numerius.

Neigiami skaičiai pirmą kartą pasirodė Senovės Kinija jau maždaug prieš 2100 metų. Taip pat mokėjo sudėti ir atimti teigiamus bei neigiamus skaičius, daugybos ir dalybos taisyklės nebuvo taikomos.

II amžiuje. pr. Kr e. Kinų mokslininkas Zhang Canas parašė aritmetiką devyniuose skyriuose. Iš knygos turinio aišku, kad tai nėra visiškai savarankiškas kūrinys, o kitų knygų, parašytų gerokai prieš Zhang Can, peržiūra. Šioje knygoje pirmą kartą moksle susiduriama su neigiamais dydžiais. Jie juos supranta kitaip, nei mes suprantame ir taikome. Jis visiškai ir aiškiai nesuvokia neigiamų dydžių prigimties ir elgesio su jais taisyklių. Kiekvieną neigiamą skaičių jis suprato kaip skolą, o kiekvieną teigiamą skaičių kaip nuosavybę. Veiksmus su neigiamais skaičiais jis atliko ne taip, kaip mes, o pasitelkdamas samprotavimus apie pareigą. Pavyzdžiui, jei prie vienos skolos pridedame kitą skolą, tada gaunama skola, o ne nuosavybė (t, tai yra pagal mūsų (- x) + (- x) \u003d - 2x. Minuso ženklas tada nebuvo žinomas , todėl, norėdamas atskirti skaičius , išreiškiančius skolą, Zhan Can parašė juos kitu rašalu nei skaičiai, išreiškiantys savybę (teigiami).

Teigiami dydžiai kinų matematikoje buvo vadinami „chen“ ir vaizduojami raudonai, o neigiami – „fu“ ir vaizduojami juodai. Toks vaizdavimo būdas Kinijoje buvo naudojamas iki XII amžiaus vidurio, kol Li Ye pasiūlė patogesnį neigiamų skaičių žymėjimą – skaičiai, vaizduojantys neigiamus skaičius, buvo perbraukti brūkšniu įstrižai iš dešinės į kairę. Nors kinų mokslininkai neigiamus dydžius aiškino kaip skolą, o teigiamus dydžius – turtu, vis tiek vengė plataus jų vartojimo, nes šie skaičiai atrodė nesuprantami, veiksmai su jais buvo neaiškūs. Jei problema lėmė neigiamą sprendimą, jie bandė pakeisti sąlygą (kaip graikai), kad galiausiai būtų gautas teigiamas sprendimas.

V-VI amžiuje Indijos matematikoje atsiranda ir labai plačiai paplitę neigiami skaičiai. Skaičiavimams to meto matematikai naudojo skaičiavimo lentą, ant kurios skaičiavimo pagaliukais buvo vaizduojami skaičiai. Kadangi + ir - ženklų tuo metu nebuvo, teigiami skaičiai buvo vaizduojami raudonais pagaliukais, o neigiami – juodi su lazdelėmis ir vadinami „skola“ ir „trūkumu“. Teigiami skaičiai buvo interpretuojami kaip „nuosavybė“. Skirtingai nei Kinijoje, Indijoje daugybos ir dalybos taisyklės jau buvo žinomos. Indijoje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami taip pat, kaip ir dabar. Jau iškilaus Indijos matematiko ir astronomo Brahmaguptos (598 - apie 660) darbe skaitome: „nuosavybė ir nuosavybė yra nuosavybė, dviejų skolų suma yra skola; turto ir nulio suma yra nuosavybė; dviejų nulių suma lygi nuliui... Skola, kuri atimama iš nulio, tampa nuosavybe, o turtas – skola. Jei reikia paimti turtą iš skolos, o skolą iš turto, tada jie paima savo sumą.

Indijos matematikai spręsdami lygtis naudojo neigiamus skaičius, o atimtį pakeitė sudėjimas su lygiai priešingu skaičiumi.

Kartu su neigiamais skaičiais Indijos matematikai pristatė nulio sąvoką, kuri leido jiems sukurti dešimtainę skaičių sistemą. Tačiau ilgą laiką nulis nebuvo pripažintas skaičiumi, lotyniškai „nullus“ – nė vienas, skaičiaus nebuvimas. Ir tik po X amžiaus, XVII amžiuje, įvedus koordinačių sistemą, nulis tampa skaičiumi.

Graikai taip pat iš pradžių nenaudojo ženklų. Senovės graikų mokslininkas Diofantas iš viso nepripažino neigiamų skaičių, o jei sprendžiant lygtį buvo gauta neigiama šaknis, jis ją atmetė kaip „neprieinamas“. O Diofantas bandė formuluoti problemas ir sudaryti lygtis taip, kad būtų išvengta neigiamų šaknų, tačiau netrukus Diofantas Aleksandrietis atimtį pradėjo žymėti ženklu.

Nepaisant to, kad neigiami skaičiai vartojami jau seniai, su jais buvo elgiamasi su tam tikru nepasitikėjimu, laikant juos ne visai tikrais, interpretuojant juos kaip turtą-skolą, sukėlė sumišimą: kaip galima „pridėti“ ir „atimti“ turtą ir skolas?

Europoje pripažinimas atėjo po tūkstančio metų. XIII amžiaus pradžioje Leonardo iš Pizos (Fibonacci) pakankamai priartėjo prie neigiamo dydžio idėjos, kuris taip pat jį įdiegė, kad išspręstų finansines problemas su skolomis ir priėjo prie išvados, kad neigiamus kiekius reikia paimti jausmas, priešingas teigiamiems. Tais metais buvo kuriamos vadinamosios matematinės dvikovos. Užduočių sprendimo konkurse su Frydricho II teismo matematikais Leonardo iš Pizos (Fibonačio) buvo paprašyta išspręsti problemą: reikėjo rasti kelių asmenų kapitalą. Fibonacci yra neigiamas. „Šis atvejis, – sakė Fibonačis, – neįmanomas, išskyrus tai, kad žmogus turėjo ne kapitalą, o skolą.

1202 m. jis pirmą kartą panaudojo neigiamus skaičius savo nuostoliams apskaičiuoti. Tačiau aiškiai neigiamus skaičius pirmą kartą XV amžiaus pabaigoje panaudojo prancūzų matematikas Shuquet.

Nepaisant to, iki XVII amžiaus neigiami skaičiai buvo „rašinėjime“ ir ilgą laiką buvo vadinami „klaidingais“, „įsivaizduojamais“ ar „absurdiškais“. Ir net XVII amžiuje garsus matematikas Blaise'as Pascalis teigė, kad 0-4 = 0, nes nėra tokio skaičiaus, kuris galėtų būti mažesnis už nieko, o iki XIX amžiaus matematikai savo skaičiavimuose dažnai išmesdavo neigiamus skaičius, laikydami juos beprasmiais. ...

Bombelli ir Girard, priešingai, neigiamus skaičius laikė gana priimtinais ir naudingais, ypač nurodant, kad kažko trūksta. Tų laikų aidas yra tai, kad šiuolaikinėje aritmetikoje atimties veiksmas ir neigiamų skaičių ženklas žymimi tuo pačiu simboliu (minusu), nors algebriškai tai yra visiškai skirtingos sąvokos.

Italijoje skolintojai, skolindami pinigus, prieš skolininko vardą, kaip mūsų minusą, deda skolos sumą ir brūkšnelį, o kai skolininkas grąžino pinigus, perbraukė, kažkas panašaus į mūsų pliusą. Ar pliusas gali būti laikomas perbrauktu minusu!

Šiuolaikinis teigiamų ir neigiamų skaičių su ženklais žymėjimas

„+“ ir „-“ naudojo vokiečių matematikas Widmanas.

Vokiečių matematikas Michaelas Stiefelis savo knygoje „Visiška aritmetika“ (1544 m.) pirmą kartą pristato neigiamų skaičių, kaip skaičių, mažesnių už nulį (mažiau nei nieko), sąvoką. Tai buvo labai didelis žingsnis į priekį pateisinant neigiamus skaičius. Jis leido neigiamus skaičius laikyti ne skola, o visai kitaip, naujai. Tačiau Stiefelis neigiamus skaičius pavadino absurdiškais; veiksmai su jais, jo žodžiais, „irgi eina absurdiškai, aukštyn kojomis“.

Po Stiefelio mokslininkai labiau pasitikėjo atlikdami operacijas su neigiamais skaičiais.

Vis dažniau buvo išlaikomi ir interpretuojami neigiami problemų sprendimai.

XVII amžiuje Didysis prancūzų matematikas René Descartes'as pasiūlė neigiamus skaičius pateikti skaičių eilutėje, esančioje kairėje nuo nulio. Dabar mums viskas atrodo taip paprasta ir suprantama, tačiau iki šios idėjos prireikė aštuoniolikos šimtmečių mokslinės minties darbo nuo kinų mokslininko Zhang Cano iki Dekarto.

Dekarto raštuose teigiama, kad neigiami skaičiai gavo tikrą interpretaciją. Dekartas ir jo pasekėjai juos pripažino lygiaverčiai teigiamiems. Tačiau atliekant operacijas su neigiamais skaičiais ne viskas buvo aišku (pavyzdžiui, dauginimas iš jų), todėl daugelis mokslininkų nenorėjo neigiamų skaičių pripažinti realiaisiais skaičiais. Tarp mokslininkų kilo didelis ir ilgas ginčas dėl neigiamų skaičių esmės – pripažinti neigiamus skaičius tikraisiais skaičiais, ar ne. Šis ginčas po Dekarto tęsėsi apie 200 metų. Per šį laikotarpį matematika kaip mokslas buvo labai išplėtotas ir kiekviename žingsnyje joje buvo neigiami skaičiai. Matematika tapo neįsivaizduojama, neįmanoma be neigiamų skaičių. Vis daugiau mokslininkų tapo aišku, kad neigiami skaičiai yra tikrieji skaičiai, kaip ir realūs, realiai egzistuojantys skaičiai, kaip ir teigiami skaičiai.

Sunkiai neigiami skaičiai iškovojo savo vietą matematikoje. Kad ir kaip mokslininkai stengtųsi jų išvengti. Tačiau jiems ne visada pasisekė. Gyvenimas prieš mokslą iškeldavo vis naujus uždavinius ir vis dažniau šios užduotys atvesdavo prie neigiamų sprendimų Kinijoje, Indijoje ir Europoje. Tik XIX amžiaus pradžioje. neigiamų skaičių teorija baigė kurti, o „absurdiški skaičiai“ sulaukė visuotinio pripažinimo.

Kiekvienas fizikas nuolat susiduria su skaičiais: vis ką nors matuoja, skaičiuoja, skaičiuoja. Visur jo popieriuose – skaičiai, skaičiai ir skaičiai. Atidžiau pažvelgę ​​į fiziko įrašus pamatysite, kad rašydamas skaičius jis dažnai naudoja ženklus „+“ ir „-“.

Kaip fizikoje atsiranda teigiami ir dar daugiau neigiami skaičiai?

Fizikas nagrinėja įvairius fizikinius dydžius, apibūdinančius įvairias mus supančių objektų ir reiškinių savybes. Pastato aukštis, atstumas nuo mokyklos iki namų, žmogaus kūno masė ir temperatūra, automobilio greitis, stiklainio tūris, elektros srovės stiprumas, vandens lūžio rodiklis, galia Branduolinis sprogimas, įtampa tarp elektrodų, pamokos ar pertraukos trukmė, metalinio rutulio elektros krūvis – visi pavyzdžiai.fiziniai dydžiai. Galima išmatuoti fizinį dydį.

Nereikia manyti, kad bet kokia objekto ar gamtos reiškinio savybė gali būti išmatuota ir todėl yra fizikinis dydis. Tai visai ne taip. Pavyzdžiui, sakome: „Kokie gražūs kalnai aplinkui! O koks ten gražus ežeras! O kokia graži eglė ten ant tos uolos! Bet mes negalime išmatuoti kalnų, ežero ar tos vienišos eglės grožio! Tai reiškia, kad tokia savybė kaip grožis nėra fizinis dydis.

Fizinių dydžių matavimai atliekami naudojant matavimo priemones, tokias kaip liniuote, laikrodis, svarstyklės ir kt.

Taigi, skaičiai fizikoje atsiranda matuojant fizikinius dydžius, o matavimo metu gauto fizikinio dydžio skaitinė reikšmė priklauso: nuo to, kaip šis fizikinis dydis apibrėžiamas; nuo naudojamų matavimo vienetų.

Pažvelkime į įprasto lauko termometro skalę.

Jis turi formą, parodytą skalėje 1. Ant jo pažymėti tik teigiami skaičiai, todėl nurodant skaitinę temperatūros reikšmę reikia papildomai paaiškinti 20 laipsnių šilumos (virš nulio). Fizikams tai nepatogu – formulėje negalima pakeisti žodžių! Todėl fizikoje naudojama skalė su neigiamais skaičiais.

Pažvelkime į fizinį pasaulio žemėlapį. Ant jo esantys žemės sklypai nudažyti įvairiais žalios spalvos atspalviais ir rudas, o jūros ir vandenynai nudažyti mėlyna ir mėlyna spalvomis. Kiekviena spalva turi savo aukštį (sausumai) arba gylį (jūroms ir vandenynams). Žemėlapyje nubraižyta gylių ir aukščių skalė, kuri parodo, kokį aukštį (gylį) reiškia ta ar kita spalva,

Naudojant tokią skalę, užtenka nurodyti skaičių be jokių papildomų žodžių: teigiami skaičiai atitinka įvairias vietas sausumoje, kurios yra virš jūros paviršiaus; neigiami skaičiai atitinka taškus po jūros paviršiumi.

Mūsų nagrinėjamoje aukščių skalėje Pasaulio vandenyno vandens paviršiaus aukštis yra lygus nuliui. Ši skalė naudojama geodezijoje ir kartografijoje.

Priešingai, kasdieniame gyvenime žemės paviršiaus aukštį (toje vietoje, kur esame) paprastai laikome nuliniu aukščiu.

3.1 Kaip senovėje buvo skaičiuojami metai?

IN skirtingos salys kitaip. Pavyzdžiui, į Senovės Egiptas kaskart naujam karaliui pradėjus valdyti, metų skaičiavimas prasidėdavo iš naujo. Pirmaisiais karaliaus valdymo metais buvo laikomi pirmieji, antraisiais – antraisiais ir pan. Kai šis karalius mirė ir į valdžią atėjo naujas, vėl atėjo pirmieji metai, paskui – antrieji, treti. Kitas buvo metų apyskaita, kurią naudojo vieno iš gyventojų senovės miestai pasaulis-Roma. Romėnai savo miesto įkūrimo metus laikė pirmaisiais, kitus – antraisiais ir pan.

Mūsų naudojamas metų skaičius atsirado seniai ir yra susijęs su Jėzaus Kristaus, krikščionių religijos pradininko, garbinimu. Metų skaičiavimas nuo Jėzaus Kristaus gimimo įvairiose šalyse buvo palaipsniui perimtas. Mūsų šalyje jį prieš tris šimtus metų pristatė caras Petras Didysis. Laikas, skaičiuojamas nuo Kristaus Gimimo, vadiname MŪSŲ ERA (ir trumpai rašome NE). Mūsų era tęsiasi du tūkstančius metų.

Išvada

Dauguma žmonių žino neigiamus skaičius, tačiau yra tokių, kurių neigiami skaičiai pateikiami neteisingai.

Neigiami skaičiai dažniausiai pasitaiko tiksliuosiuose moksluose, matematikoje ir fizikoje.

Fizikoje neigiami skaičiai atsiranda dėl matavimų, fizikinių dydžių skaičiavimų. Neigiamas skaičius rodo elektros krūvio dydį. Kituose moksluose, pavyzdžiui, geografijoje ir istorijoje, neigiamą skaičių galima pakeisti žodžiais, pavyzdžiui, žemiau jūros lygio, o istorijoje – 157 m. e.

Literatūra

1. Didžioji mokslinė enciklopedija, 2005 m.

2. Vigasinas A. A., „Istorija senovės pasaulis» 5 klasės vadovėlis, 2001 m

3. Vygovskaya V. V. " Pamokos raida Matematika: 6 klasė "- M.: VAKO, 2008 m

4. „Teigiami ir neigiami skaičiai“, matematikos vadovėlis 6 klasei, 2001 m.

5. Vaikų enciklopedija „Pažįstu pasaulį“, Maskva, „Švietimas“, 1995 m.

6 .. „Studijuoju matematiką“, mokomasis leidimas, 1994 m

7. „Istorizmo elementai mokant matematikos vidurinėje mokykloje“, Maskva, „Prosveščenie“, 1982 m.

8. Nurk E. R., Telgmaa A. E. "Matematika 6 klasė", Maskva, "Švietimas", 1989 m.

9. „Matematikos istorija mokykloje“, Maskva, „Prosveščenie“, 1981 m.

Kai mes datuojame įvykius prieš Kristaus gimimą, pavyzdžiui, kai Euklidas parašė savo elementus, mes mieliau sakome „300 m. pr. Kr.“, o ne „-300 m. po Kr.“. O buhalteriai paprastai turi daug būdų, kaip išvengti minuso ženklo: užrašyti skolas raudonai, pridėti santrumpą DR (nuo skolininkas - „skolininkas“) arba skliausteliuose įrašyti nemalonią sumą.

Neigiamų skaičių sampratos nesukūrė nei senovės Graikijos, nei Egipto, nei Babilono matematikai. Senovėje skaičiai buvo naudojami skaičiuojant ir matuojant, bet kaip galima suskaičiuoti ar išmatuoti tai, kas yra mažiau nei nieko? Pabandykime užimti senovės pasaulio gyventojų vietą, kad suprastume, kokį intelektualinį proveržį jiems reikėjo padaryti.

Žinome, kad 2 + 3 = 5, nes kai turėsime du kepalus duonos ir mums duos dar tris, turėsime penkis kepalus. Žinome, kad 2 - 1 = 1, nes kai turime du kepalus duonos, vieną atiduodame, dar vieną turime. Bet ką reiškia 2-3? Jei duonos turiu tik du kepalus, negaliu atiduoti trijų. Tačiau, tarkime, aš vis tiek galiu tai padaryti – tada turėsiu minus vieną kepaliuką. Ką reiškia „minus vienas kepalas“? Tai nėra įprastas duonos kepalas. Tai veikiau jo nebuvimas ir toks, kad įdėjus duonos kepalą, „nieko“ nebus. Nenuostabu, kad senovės žmonės šią sąvoką laikė absurdiška.

Tačiau į senovės Azija leido egzistuoti neigiamoms vertybėms, tačiau tam tikru mastu. Euklido laikais kinai jau turėjo skaičiavimų sistemą, kuri naudojo bambuko lazdeles. Įprastos lazdelės reiškė teigiamus skaičius, kinai jas vadino „tikraisiais“, o juodai nudažytos lazdelės – neigiamus skaičius, vadino „klaidingus“. Kaip parodyta žemiau, kinai sustatė lazdeles grafinėje lentoje taip, kad kiekvienas skaičius užimtų atskirą langelį, o kiekvienas stulpelis atitiktų vieną lygtį. Patyręs skaičiuotuvas išsprendė lygtis judindamas bambuko lazdeles. Jei sprendimas buvo sudarytas iš įprastų lazdų, tai buvo tikrasis skaičius, kuris buvo priimtas. Jei tirpalą sudarė juodos lazdelės, tai buvo klaidingas skaičius ir buvo išmestas.

Faktas, kad kinai naudojo fizinius objektus neigiamoms reikšmėms pavaizduoti, liudijo apie šių skaičių egzistavimą, nors jie buvo tik teigiamų verčių skaičiavimo įrankiai. Kinai suprato vieną labai svarbią tiesą: jei matematiniai objektai yra naudingi, nesvarbu, kad jie nesutampa su kasdiene patirtimi. Tegul filosofai sprendžia šią problemą.

Kinai išklojo bambukines lazdeles ant nupieštos lentos; paprasti pagaliukai simbolizavo teigiamus skaičius, juodi – neigiamus, kurie leido rašyti ir spręsti lygtis

Po kelių šimtmečių Indijoje matematikai neigiamiems skaičiams rado materialų kontekstą – pinigus. Jei pasiskolinu iš tavęs penkias rupijas, aš turiu penkių rupijų skolą, neigiamą sumą, kuri taps nuliu tik tada, kai grąžinsiu jums šią sumą.

VII amžiaus astronomas Brahmagupta nustatė aritmetinių veiksmų su teigiamais ir neigiamais skaičiais taisykles, kurias pavadino „nuosavybe“ ir „skola“. Be to, jis pristatė skaičių nulį jo šiuolaikine prasme.

Skola minus nulis yra skola.
Nuosavybė minus nulis yra nuosavybė.
Nulis minus nulis yra nulis.
Skola, atėmusi iš nulio, yra nuosavybė.
Turtas, atėmus iš nulio, yra skola.
Ir taip toliau.

Brahmagupta aprašė tiksli vertė turtas ir skola, naudojant nulį ir kitus devynis skaitmenis, kurie sudarė šiuo metu naudojamų skaičių dešimtainio vaizdavimo pagrindą.

Indijos skaitmenys išplito Viduriniuose Rytuose, Šiaurės Afrikoje, o iki 10 amžiaus pabaigos – ir Ispanijoje. Nepaisant to, prireikė dar trijų šimtmečių, kol neigiami skaičiai buvo plačiai pripažinti Europoje.

Šį delsimą lėmė trys priežastys: istorinis ryšys su skola, taigi ir su pikta lupikavimo praktika; bendras įtarimas dėl naujų metodų, ateinančių iš musulmoniškų kraštų; ilgalaikė senovės graikų filosofijos įtaka, pagal kurią vertybė negali būti mažesnė už nieką.

Laikui bėgant buhalteriai įprato savo profesijoje naudoti neigiamus skaičius, o matematikai labai ilgai jų buvo atsargūs. XV ir XVI a neigiamos reikšmės buvo žinomos kaip absurdiški skaičiai (numeri absurdi), ir net XVII amžiuje daugelis laikė jas beprasmėmis. XVIII amžiuje vyravo toks argumentas prieš neigiamus skaičius. Apsvarstykite šią lygtį:

Aritmetikos požiūriu tai teisingas teiginys. Tačiau tai paradoksalu, nes sakoma, kad mažesnio skaičiaus (-1) ir didesnio (1) santykis yra tolygus didesnio skaičiaus (1) ir mažesnio (-1) santykiui. Šis paradoksas buvo daugelio diskusijų objektas, tačiau niekas nesugebėjo to paaiškinti. Bandydami suprasti neigiamų skaičių reikšmę, daugelis matematikų, įskaitant Leonhardą Eulerį, padarė neįtikėtiną išvadą, kad šie skaičiai yra didesni už begalybę. Ši koncepcija išplaukia iš šios sekos analizės:

10/3, 10/2, 10/1, 10/(1/2)

Tai atitinka seriją:

Kai skaičius trupmenos apačioje (vardiklis) mažėja nuo 3 iki 2, o vėliau iki 1 ir 1/2, trupmenos absoliuti reikšmė tampa didesnė, o vardikliui artėjant prie nulio, trupmenos reikšmė begalybė. Iškelta hipotezė, kad kai vardiklis lygus nuliui, trupmenos reikšmė yra begalinė, o kai mažesnė už nulį (kitaip tariant, kai tai neigiamas skaičius), trupmena turi būti didesnė už begalybę. Šiuo metu šios paradoksalios situacijos išvengiame teigdami, kad skaičių dalyti iš nulio beprasmiška. Trupmena 10/0 nėra begalinė; tai „neapibrėžta“.

Šiame skirtingų nuomonių mišinyje buvo išsakyta viena aiški ir suprantama koncepcija, kuri priklausė anglų matematikui. John Wallis, kuris išrado efektyvus metodas vizualinis neigiamų skaičių interpretavimas. 1685 m. parašytame Algebros traktate Wallis pirmą kartą pristatė skaičių eilutę (žr. paveikslėlį žemiau), kurioje teigiami ir neigiami skaičiai reiškia atstumus nuo nulio priešingomis kryptimis. Wallisas rašė, kad jei žmogus pajudės penkis jardus į priekį nuo nulio, o paskui aštuonis jardus atgal, jis „pajudės į padėtį, kuri yra 3 jardais toliau nei nieko. Taigi, -3 yra tas pats taškas tiesėje kaip +3, bet ne į priekį, kaip turėtų būti, o atgal.

Kiekybės sąvoką pakeisdamas pozicijos sąvoka, Wallisas parodė, kad neigiami skaičiai negali būti laikomi „nei nenaudingais, nei absurdiškais“. Kaip paaiškėjo, tai buvo aiškus nepakankamas teiginys. Prireikė kelerių metų, kol Wallis idėja tapo plačiai priimta, tačiau dabar, laikui bėgant, aišku, kad skaitmeninė ašis yra sėkmingiausia visų laikų aiškinamoji schema. Jis turi daug skirtingų programų, nuo grafikų iki termometrų. Dabar, kai matome neigiamus skaičius skaičių eilutėje, nebeturime konceptualių sunkumų įsivaizduoti, kas jie yra.

Skaitinė ašis

Vokiečių filosofas Immanuelis Kantas taip pat įsitraukė į ginčą dėl neigiamų skaičių, savo darbe Bandymas įvesti neigiamų kiekių sampratą į pasaulio išmintį ("Neigiamų dydžių sampratos įvedimo į filosofiją patirtis"), teigdamas, kad tai yra beprasmiška. metafiziniai argumentai prieš juos. Jis įrodė, kad realiame pasaulyje daugelis dalykų gali turėti ir teigiamą, ir neigiamą reikšmę, pavyzdžiui, dvi priešingos jėgos, veikiančios objektą. Neigiamas skaičius nėra skaičiaus neigimas, o palyginama priešingybė.

Nepaisant to, net XVIII amžiaus pabaigoje vis dar buvo matematikų, kurie buvo giliai įsitikinę, kad neigiami skaičiai yra „ypatingas terminas, neturintis sveiko proto; bet, patekęs į apyvartą, kaip ir daugelis kitų išradimų, suranda uoliausių šalininkų tarp tų, kurie mėgsta viską priimti tikėjimu ir neištveria sunkaus rimtų apmąstymų darbo.

Williamas Friendas, antras geriausias matematikos studentas Kembridžo universitete, 1796 m. parašė šiuos žodžius knygoje, kuri tapo unikali matematinėje literatūroje: tai buvo įvadas į algebrą, kuriame nebuvo nė vieno neigiamo skaičiaus.

Kai mokykloje tiriame neigiamus skaičius, mums nepasakoma visa ši istorija. Mes priimame neigiamus skaičius taip pat, kaip ir skaičių eilutę, tada gauname nuostabių naujienų:

Minusas, padaugintas iš minuso, yra lygus pliusui. Oho!