Raskite n skaičių aritmetinėje progresijoje. Aritmetinė progresija. Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Pamokos tikslai:

• mokinių idėjų apie užduotis, sprendžiamas naudojant aritmetinę progresiją, plėtimas ir gilinimas; studentų paieškos veiklos organizavimas išvedant aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę;
• įgūdžių lavinimas savarankiškai įgyti naujų žinių, panaudoti jau įgytas žinias užduočiai pasiekti;
• noro ir poreikio apibendrinti gautus faktus vystymasis, savarankiškumo ugdymas.

Užduotys:

• apibendrinti ir sisteminti turimas žinias tema „Aritmetinė progresija“;
• išvesti formules aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumai apskaičiuoti;
• mokyti gautas formules taikyti sprendžiant įvairius uždavinius;
• atkreipti mokinių dėmesį į skaitinės išraiškos reikšmės radimo tvarką.

Įranga:

• kortelės su užduotimis darbui grupėse ir porose;
• Vertinimo popierius;
• pristatymas„Aritmetinė progresija“.

I. Pagrindinių žinių aktualizavimas.

1. Savarankiškas darbas poromis.

1 variantas:

Apibrėžkite aritmetinę progresiją. Užsirašykite rekursinę formulę, kuri apibrėžia aritmetinę progresiją. Pateikite aritmetinės progresijos pavyzdį ir nurodykite jos skirtumą.

2 variantas:

Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Raskite 100-ąjį aritmetinės progresijos narį ( a n}: 2, 5, 8 …
Šiuo metu du mokiniai lentos gale ruošia atsakymus į tuos pačius klausimus.
Mokiniai vertina partnerio darbą lygindami su lenta. (Įteikiami lapeliai su atsakymais).

2. Žaidimo momentas.

1 pratimas.

Mokytojas. Sugalvojau tam tikrą aritmetinę progresiją. Užduokite man tik du klausimus, kad po atsakymų galėtumėte greitai įvardyti 7-ąjį šios progresijos narį. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Klausimai iš studentų.

1. Koks yra šeštasis progresavimo terminas ir koks skirtumas?
2. Kas yra aštuntas progresijos narys ir koks skirtumas?

Jei klausimų nebėra, mokytojas gali juos paskatinti - „draudimas“ (skirtumas), tai yra, negalima klausti, koks skirtumas. Galite užduoti klausimus: koks yra 6-asis progresijos narys ir koks 8-asis progresijos narys?

2 užduotis.

Ant lentos parašyta 20 skaičių: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mokytojas stovi nugara į lentą. Mokiniai pasako numerio numerį, o mokytojas iškart skambina pačiu numeriu. Paaiškinkite, kaip aš galiu tai padaryti?

Mokytojas prisimena n-to termino formulę a n \u003d 3n - 2 ir, pakeisdamas nurodytas n reikšmes, suranda atitinkamas reikšmes a n .

II. Ugdymo užduoties išdėstymas.

Siūlau išspręsti seną II tūkstantmečio pr. Kr. problemą, rastą Egipto papirusuose.

Užduotis:„Tebūnie jums pasakyta: padalinkite 10 miežių 10 žmonių, skirtumas tarp kiekvieno žmogaus ir jo kaimyno yra 1/8 masto.

• Kaip ši problema susijusi su aritmetinės progresijos tema? (Kiekvienas kitas žmogus gauna 1/8 priemonės daugiau, todėl skirtumas yra d=1/8, 10 žmonių, taigi n=10.)
• Kaip manote, ką reiškia skaičius 10? (Visų progreso narių suma.)
• Ką dar reikia žinoti, kad miežius būtų lengva ir paprasta skirstyti pagal problemos būklę? (Pirmasis progresavimo terminas.)

Pamokos tikslas- progresijos narių sumos priklausomybės nuo jų skaičiaus, pirmojo nario ir skirtumo gavimas bei patikrinimas, ar senovėje buvo teisingai išspręstas uždavinys.

Prieš išvesdami formulę, pažiūrėkime, kaip senovės egiptiečiai išsprendė problemą.

Ir jie tai išsprendė taip:

1) 10 priemonių: 10 = 1 matas – vidutinė dalis;
2) 1 matas ∙ = 2 matai – padvigubintas vidutinis Dalintis.
padvigubėjo vidutinis dalis yra 5-ojo ir 6-ojo asmens akcijų suma.
3) 2 priemonės – 1/8 priemonės = 1 7/8 priemonės – dvigubai daugiau nei penktojo asmens dalis.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - penktojo dalis; ir taip toliau, galite rasti kiekvieno ankstesnio ir paskesnio asmens dalį.

Gauname seką:

III. Užduoties sprendimas.

1. Darbas grupėse

1 grupė: Raskite 20 iš eilės einančių natūraliųjų skaičių sumą: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Apskritai

II grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 100 (Legenda apie Mažąjį Gausą).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Išvada:

III grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 21.

Sprendimas: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Išvada:

IV grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 101.

Išvada:

Šis nagrinėjamų uždavinių sprendimo būdas vadinamas „Gausso metodu“.

2. Kiekviena grupė lentoje pateikia problemos sprendimą.

3. Siūlomų savavališkos aritmetinės progresijos sprendinių apibendrinimas:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Šią sumą randame ginčydami panašiai:

4. Ar išsprendėme užduotį?(Taip.)

IV. Pirminis gautų formulių suvokimas ir taikymas sprendžiant uždavinius.

1. Seno uždavinio sprendimo patikrinimas pagal formulę.

2. Formulės taikymas sprendžiant įvairius uždavinius.

3. Pratimai, skirti gebėjimo taikyti formulę sprendžiant uždavinius formavimui.

A) Nr. 613

Duota :( ir n) - aritmetinė progresija;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Rasti: S 1500

Sprendimas: , ir 1 = 1, ir 1500 = 1500,

B) Duota: ( ir n) - aritmetinė progresija;
(ir n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Rasti: n
Sprendimas:

V. Savarankiškas darbas su abipusiu patikrinimu.

Denisas nuėjo dirbti kurjeriu. Pirmą mėnesį jo atlyginimas buvo 200 rublių, kiekvieną kitą mėnesį jis didėjo po 30 rublių. Kiek jis uždirbo per metus?

Duota :( ir n) - aritmetinė progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Rasti: S 12
Sprendimas:

Atsakymas: Denisas už metus gavo 4380 rublių.

VI. Namų darbų instrukcija.

1. 4.3 p. - išmokti formulės išvedimą.
2. №№ 585, 623 .
3. Sudarykite uždavinį, kuris būtų išspręstas naudojant pirmųjų n aritmetinės progresijos narių sumos formulę.

VII. Apibendrinant pamoką.

1. Balų lentelė

2. Tęskite sakinius

• Šiandien klasėje išmokau...
• Išmoktos formulės...
• Aš manau, kad …

3. Ar galite rasti skaičių nuo 1 iki 500 sumą? Kokį metodą naudosite šiai problemai išspręsti?

Bibliografija.

1. Algebra, 9 kl. Vadovėlis švietimo įstaigoms. Red. G.V. Dorofejeva. Maskva: Švietimas, 2009 m.

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(aštuoni\); \(vienuolika\); \(14\)… yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(dešimt\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šeši.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga žymima maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip ir aritmetinė progresija, bet skaitine indeksu, lygiu elemento numeriui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Užduočių sprendimas aritmetine progresija

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite šios progresijos pirmojo neigiamo nario reikšmę.
Sprendimas:

	Mums pateikiami pirmieji sekos elementai ir žinome, kad tai aritmetinė progresija. Tai yra, kiekvienas elementas skiriasi nuo gretimo tuo pačiu skaičiumi. Sužinokite, kuris iš jų, atimdamas ankstesnįjį iš kito elemento: \(d=49-62=-13\).
	Dabar galime atkurti savo progresą į norimą (pirmąjį neigiamą) elementą.
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami keli vienas po kito einantys aritmetinės progresijos elementai: \(...5; x; 10; 12,5...\) Raskite elemento, pažymėto raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

	Norėdami rasti \(x\), turime žinoti, kiek kitas elementas skiriasi nuo ankstesnio, kitaip tariant, progresijos skirtumą. Raskime jį iš dviejų žinomų gretimų elementų: \(d=12,5-10=2,5\).
	O dabar be problemų randame tai, ko ieškome: \(x=5+2.5=7.5\).
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama šiomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

	Turime rasti pirmųjų šešių progresijos narių sumą. Bet mes nežinome jų reikšmių, mums duotas tik pirmasis elementas. Todėl pirmiausia paeiliui apskaičiuojame reikšmes, naudodami mums pateiktą: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ir apskaičiavę šešis mums reikalingus elementus, randame jų sumą.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Prašoma suma rasta.

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos uždavinių galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką – kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas kitas šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio (skirtumas progresavimo).

Tačiau kartais pasitaiko situacijų, kai labai nepatogu spręsti „ant kaktos“. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Kas tai, mes \ (385 \) kartus pridėti keturis? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Skaičiavimas yra painus...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia „ant kaktos“, o naudoja specialias formules, išvestas aritmetinei progresijai. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir pirmųjų narių sumos \(n\) formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) yra progresijos narys su skaičiumi \(n\).

Ši formulė leidžia greitai rasti bent trijų šimtų, net milijono elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) yra paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Norėdami apskaičiuoti pirmųjų dvidešimt penkių elementų sumą, turime žinoti pirmojo ir dvidešimt penktojo narių reikšmes. Mūsų progresija pateikiama pagal n-ojo nario formulę, priklausomai nuo jo skaičiaus (žr. išsamią informaciją). Apskaičiuokime pirmąjį elementą pakeisdami \(n\) vienu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1–0,6=2,8\)		Dabar suraskime dvidešimt penktą terminą, vietoj \(n\) pakeisdami dvidešimt penkis.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25–0,6=84,4\)		Na, o dabar be problemų suskaičiuojame reikiamą sumą.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama pirmųjų elementų suma \(n\);
\(a_1\) yra pirmasis terminas, kuris turi būti sumuojamas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(keturiolika\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite visą informaciją, kurios jums reikia norint išspręsti beveik bet kokią aritmetinės progresijos problemą. Pabaikime temą apsvarstydami problemas, kuriose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek mąstyti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-devyniolika\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Užduotis labai panaši į ankstesnę. Pradedame spręsti tuo pačiu būdu: pirmiausia randame \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Dabar sumos formulėje pakeistume \(d\) ... ir čia iškyla nedidelis niuansas – mes nežinome \(n\). Kitaip tariant, mes nežinome, kiek terminų reikės pridėti. Kaip sužinoti? Pagalvokim. Nustosime pridėti elementų, kai pasieksime pirmąjį teigiamą elementą. Tai yra, jūs turite sužinoti šio elemento numerį. Kaip? Užsirašykime bet kurio aritmetinės progresijos elemento apskaičiavimo formulę: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsų atveju.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Turime, kad \(a_n\) būtų didesnis už nulį. Išsiaiškinkime, dėl ko \(n\) tai atsitiks.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Abi nelygybės puses padalijame iš \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Perkeliame minus vienas, nepamirštant pakeisti ženklų
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Skaičiuojama...
\(n>65 333…\)		…ir paaiškėja, kad pirmasis teigiamas elementas turės skaičių \(66\). Atitinkamai, paskutinis neigiamas turi \(n=65\). Tik tuo atveju, patikrinkime.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Taigi, turime pridėti pirmuosius \(65\) elementus.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Šioje užduotyje taip pat reikia rasti elementų sumą, bet pradedant ne nuo pirmojo, o nuo \(26\)-osios. Mes neturime tam formulės. Kaip apsispręsti? Lengva – norėdami gauti sumą nuo \(26\)-osios iki \(42\)-osios, pirmiausia turite rasti sumą nuo \(1\)-osios iki \(42\)-osios, o tada iš jos atimti sumą iš nuo pirmo iki \ (25 \) th (žr. paveikslėlį).
	Mūsų progresijai \(a_1=-33\) ir skirtumui \(d=4\) (juk prie ankstesnio elemento pridedame keturis, kad rastume kitą). Žinodami tai, randame pirmųjų \(42\)-uh elementų sumą.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Dabar pirmųjų \(25\)-ųjų elementų suma.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ir galiausiai apskaičiuojame atsakymą.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau juos galite lengvai rasti.

Kažkas žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš aukštosios matematikos skyrių. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija – taksi skaitiklio darbas (kur jie dar ir lieka). O suprasti aritmetinės sekos esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau už „suprasti esmę“) nėra taip sunku, išanalizavus keletą elementarių sąvokų.

Matematinė skaičių seka

Įprasta skaičių seka vadinti skaičių seka, kurių kiekviena turi savo numerį.

ir 1 yra pirmasis sekos narys;

ir 2 yra antrasis sekos narys;

ir 7 yra septintasis sekos narys;

ir n yra n-tas sekos narys;

Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi priklausomybe, kurią galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.

a - skaitinės sekos nario reikšmė;

n yra jo serijos numeris;

f(n) yra funkcija, kurios eilės eilė skaičių sekoje n yra argumentas.

Apibrėžimas

Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:

a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;

a n+1 – kito skaičiaus formulė;

d – skirtumas (tam tikras skaičius).

Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis, ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.

Žemiau esančiame grafike nesunku suprasti, kodėl skaičių seka vadinama „didėjančia“.

Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nurodyto nario vertė

Kartais reikia nustatyti kokio nors savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galite padaryti paeiliui apskaičiuodami visų aritmetinės progresijos narių reikšmes, nuo pirmosios iki norimos. Tačiau toks būdas ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies vertę. Tradicinis skaičiavimas užtruks ilgai. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario reikšmę galima nustatyti kaip pirmojo progresijos nario sumą su progresijos skirtumu, padauginus iš norimo nario skaičiaus, atėmus vieną. .

Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.

Pateikto nario vertės apskaičiavimo pavyzdys

Išspręskime tokį aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.

Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:

Pirmasis sekos narys yra 3;

Skaičių serijų skirtumas yra 1,2.

Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę

Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro nario vertę, naudojame formulę:

a(n) = a1 + d(n-1)

Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.

Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs – visas sprendimas trunka ne daugiau kaip 2 eilutes.

Tam tikro terminų skaičiaus suma

Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje eilutėje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų susumuoti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.

Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš nario skaičiaus n ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:

Skaičiavimo pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:

Pirmasis sekos narys yra nulis;

Skirtumas yra 0,5.

Užduotyje reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.

Sprendimas. Progresijos sumai nustatyti naudokite formulę:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:

101 s – 55 \u003d 2 525 – 742,5 \u003d 1 782,5

Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys

Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio skaitiklis). Panagrinėkime tokį pavyzdį.

Įsėdimas į taksi (į kurį įeina 3 km) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai / km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.

1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.

30 - 3 = 27 km.

2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizė.

Nario numeris yra nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmuosius tris).

Nario vertė yra suma.

Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.

Progresavimo skirtumas d = 22 p.

mus dominantis skaičius - (27 + 1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo iki šviestuvo. Be to, įvairios skaitinės eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos šakose.

Kita skaičių sekos rūšis yra geometrinė

Geometrinei progresijai būdingas didelis pokyčio greitis, palyginti su aritmetine. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje dažnai, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio, pavyzdžiui, ligos, plitimo greitį epidemijos metu, sakoma, kad procesas vystosi eksponentiškai.

N-asis geometrinių skaičių serijos narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis padauginamas iš kažkokio pastovaus skaičiaus - vardiklis, pavyzdžiui, pirmasis narys yra atitinkamai 1, vardiklis yra atitinkamai 2, tada:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - dabartinio geometrinės progresijos nario reikšmė;

b n+1 - kito geometrinės progresijos nario formulė;

q yra geometrinės progresijos (pastovaus skaičiaus) vardiklis.

Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė piešia šiek tiek kitokį vaizdą:

Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko nario vertės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:

Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskite 5 progresijos narį

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5–1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Tam tikro narių skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama pagal specialią formulę. Pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma yra lygi skirtumui tarp progresijos n-ojo nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:

Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:

Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatomas lygus 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Matematika turi savo grožį, kaip ir tapyba bei poezija.

Rusų mokslininkas, mechanikas N.E. Žukovskis

Labai dažnos matematikos stojamųjų testų užduotys yra užduotys, susijusios su aritmetinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, būtina gerai išmanyti aritmetinės progresijos savybes ir turėti tam tikrų jų taikymo įgūdžių.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines aritmetinės progresijos savybes ir pateiksime svarbiausias formules, susijusi su šia koncepcija.

Apibrėžimas. Skaitmeninė seka, kuriame kiekvienas paskesnis terminas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi, vadinama aritmetine progresija. Tuo pačiu metu skaičiusvadinamas progresijos skirtumu.

Aritmetinei progresijai galioja formulės

, (1)

kur . Formulė (1) vadinama aritmetinės progresijos bendrojo nario formule, o formulė (2) yra pagrindinė aritmetinės progresijos savybė: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių aritmetiniu vidurkiu ir .

Atkreipkite dėmesį, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „aritmetine“.

Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:

(3)

Norėdami apskaičiuoti sumą Pirmas aritmetinės progresijos nariaidažniausiai naudojama formulė

(5) kur ir .

Jei atsižvelgsime į formulę (1), tada formulė (5) reiškia

Jei paskirsime

kur . Kadangi , tada (7) ir (8) formulės yra atitinkamų (5) ir (6) formulių apibendrinimas.

Visų pirma, iš (5) formulės išplaukia, ką

Daugumai studentų mažai žinoma yra aritmetinės progresijos savybė, suformuluota pagal šią teoremą.

Teorema. Jei tada

Įrodymas. Jei tada

Teorema įrodyta.

Pavyzdžiui , naudojant teoremą, galima tai parodyti

Pereikime prie tipinių uždavinių sprendimo pavyzdžių svarstymo tema „Aritmetinė progresija“.

1 pavyzdys Leiskite ir. Rasti .

Sprendimas. Taikydami formulę (6), gauname . Nuo ir , tada arba .

2 pavyzdys Leiskite tris kartus daugiau, o dalinant iš koeficiento gaunasi 2, o likusioji dalis yra 8. Nustatykite ir.

Sprendimas. Lygčių sistema išplaukia iš pavyzdžio sąlygos

Kadangi , , ir , tada iš lygčių sistemos (10) gauname

Šios lygčių sistemos sprendiniai yra ir .

3 pavyzdys Raskite, ar ir.

Sprendimas. Pagal (5) formulę turime arba . Tačiau naudojant savybę (9), gauname .

Nuo ir , tada iš lygybės toliau pateikiama lygtis arba .

4 pavyzdys Rasti, jei.

Sprendimas.Pagal formulę (5) turime

Tačiau naudojant teoremą galima rašyti

Iš čia ir iš (11) formulės gauname .

5 pavyzdys. Duota:. Rasti .

Sprendimas. Nuo tada . Tačiau todėl .

6 pavyzdys Tegul , ir . Rasti .

Sprendimas. Naudodami (9) formulę gauname . Todėl, jei , tada arba .

Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą

Išspręsdami kurią, gauname ir .

Natūrali lygties šaknis yra .

7 pavyzdys Raskite, ar ir.

Sprendimas. Kadangi pagal (3) formulę turime, kad , tai lygčių sistema išplaukia iš uždavinio sąlygos

Jei pakeisime išraiškąį antrąją sistemos lygtį, tada gauname arba .

Kvadratinės lygties šaknys yra ir .

Panagrinėkime du atvejus.

1. Leiskite , tada . Nuo ir tada .

Šiuo atveju pagal (6) formulę turime

2. Jei , tada , ir

Atsakymas: ir.

8 pavyzdys Yra žinoma, kad ir Rasti .

Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę ir pavyzdžio sąlygą, rašome ir .

Tai reiškia lygčių sistemą

Jei pirmąją sistemos lygtį padauginsime iš 2, o tada pridėsime prie antrosios lygties, gausime

Pagal (9) formulę turime. Šiuo atžvilgiu iš (12) seka arba .

Nuo ir tada .

Atsakymas:.

9 pavyzdys Raskite, ar ir.

Sprendimas. Nuo , ir pagal sąlygą , tada arba .

Iš (5) formulės žinoma, ką . Nuo tada .

Vadinasi, čia turime tiesinių lygčių sistemą

Iš čia gauname ir . Atsižvelgdami į (8) formulę, rašome .

10 pavyzdys Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Iš pateiktos lygties išplaukia, kad . Tarkime, kad , , ir . Tokiu atveju .

Pagal (1) formulę galime rašyti arba .

Kadangi , (13) lygtis turi unikalią tinkamą šaknį .

11 pavyzdys. Raskite didžiausią reikšmę, jei ir .

Sprendimas. Nuo tada svarstoma aritmetinė progresija mažėja. Šiuo atžvilgiu išraiška įgyja didžiausią reikšmę, kai ji yra minimalaus teigiamo progreso nario skaičius.

Mes naudojame formulę (1) ir faktą, kuris ir . Tada mes gauname tai arba .

Nes tada arba . Tačiau šioje nelygybėjedidžiausias natūralusis skaičius, Štai kodėl .

Jei reikšmės ir yra pakeistos į (6) formulę, tada gauname .

Atsakymas:.

12 pavyzdys. Raskite visų dviženklių natūraliųjų skaičių, kuriuos padalijus iš 6, likutį sudaro 5, sumą.

Sprendimas.Žymima visų dvireikšmių natūraliųjų skaičių aibe, t.y. . Toliau sudarome poaibį, susidedantį iš tų aibės elementų (skaičių), kuriuos padalijus iš skaičiaus 6, gauname 5 likutį.

Lengva montuoti, ką . Aišku, kad aibės elementaisudaryti aritmetinę progresiją, kuriame ir .

Norėdami nustatyti aibės kardinalumą (elementų skaičių), darome prielaidą, kad . Kadangi ir , tada formulė (1) reiškia arba . Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname .

Aukščiau pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai jokiu būdu negali teigti, kad jie yra išsamūs. Šis straipsnis parašytas remiantis šiuolaikinių metodų, skirtų tipinėms konkrečios temos problemoms spręsti, analize. Norint giliau ištirti problemų, susijusių su aritmetine progresija, sprendimo būdus, patartina remtis rekomenduojamos literatūros sąrašu.

1. Matematikos užduočių rinkinys stojantiesiems į technikos universitetus / Red. M.I. Scanavi. - M .: Pasaulis ir švietimas, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: papildomos mokyklos programos dalys. – M.: Lenandas / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Pilnas elementarios matematikos kursas atliekant užduotis ir pratybas. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Ar turite kokių nors klausimų?

Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Ankstesnis straipsnis: Su lytimi susiję požymiai ir ligos Kitas straipsnis: Kaip gaminami viduramžių vitražai