Biquadratic lygčių sprendimas. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai Sprendimo teisingumo tikrinimas

spręsti matematiką. Greitai surask sprendžiant matematinę lygtį režimu prisijungęs... Svetainė www.site leidžia išspręsti lygtį beveik bet kokia duota algebrinis, trigonometrinis arba transcendentinė lygtis internete... Studijuodami beveik bet kurią matematikos šaką skirtingais etapais, turite išspręsti lygtys internete... Norėdami gauti atsakymą iš karto, o svarbiausia - tikslų atsakymą, jums reikia išteklių, leidžiančių tai padaryti. Dėka svetainės www.site lygčių sprendimas internete užtruks kelias minutes. Pagrindinis www.site pranašumas sprendžiant matematinius klausimus lygtys internete yra duoto atsakymo greitis ir tikslumas. Svetainė gali išspręsti bet ką algebrinės lygtys internete, trigonometrinės lygtys internete, transcendentinės lygtys internete, ir lygtis režimu su nežinomais parametrais prisijungęs. Lygtis tarnauja kaip galingas matematinis aparatas sprendimai praktines užduotis. Su pagalba matematines lygtis galite išreikšti faktus ir santykius, kurie iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti painūs ir sudėtingi. Nežinomi kiekiai lygtis galima rasti suformulavus problemą matematinis kalba forma lygtis ir nuspręsti gautą užduotį režimu prisijungęs svetainėje www.site. Bet koks algebrinė lygtis, trigonometrinė lygtis arba lygtis kuriuose yra transcendentinis lengvai veikia nuspręsti internete ir gaukite tikslų atsakymą. Studijuodamas gamtos mokslus neišvengiamai susiduri su poreikiu sprendžiant lygtis... Tokiu atveju atsakymas turi būti tikslus ir turi būti nedelsiant gautas režimu prisijungęs... Todėl už matematinių lygčių sprendimas internete rekomenduojame svetainę www.site, kuri taps jūsų nepakeičiamu skaičiuotuvu algebrinių lygčių sprendimas internete, trigonometrinės lygtys prisijungęs, ir transcendentinės lygtys internete arba lygtis su nežinomais parametrais. Praktinėms užduotims rasti įvairių šaknis matematines lygtisšaltinis www .. Sprendimas lygtys internete savarankiškai, naudinga patikrinti atsakymą, kurį gavote naudodami lygčių sprendimas internete svetainėje www.site. Būtina teisingai užrašyti lygtį ir iškart gauti internetinis sprendimas, po to lieka tik palyginti atsakymą su jūsų sprendimu su lygtimi. Atsakymo patikrinimas užtruks mažiau nei minutę išspręsti lygtį internete ir palyginkite atsakymus. Tai padės išvengti klaidų sprendimas ir laiku pataisykite atsakymą lygčių sprendimas internete arba algebrinis, trigonometrinis, transcendentinis arba lygtis su nežinomais parametrais.

Kvadratinės lygtys.

Kvadratinė lygtis- algebrinė lygtis bendras vaizdas

kur x yra laisvas kintamasis,

a, b, c, - koeficientai ir

Išraiška vadinamas kvadratiniu trinomiu.

Kvadratinių lygčių sprendimo būdai.

1. METODAS : Faktorizuojant kairę lygties pusę.

Išspręskime lygtį x 2 + 10x - 24 = 0... Pažvelkime į kairę pusę:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Todėl lygtį galima perrašyti taip:

(x + 12) (x - 2) = 0

Kadangi produktas yra lygus nuliui, bent vienas iš jo veiksnių yra nulis. Todėl kairioji lygties pusė dingsta x = 2 ir taip pat x = - 12... Tai reiškia, kad skaičius 2 ir - 12 yra lygties šaknys x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODAS : Visas kvadrato parinkimo metodas.

Išspręskime lygtį x 2 + 6x - 7 = 0... Kairėje pasirinkite visą kvadratą.

Norėdami tai padaryti, parašykite išraišką x 2 + 6x tokia forma:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Gautoje išraiškoje pirmasis terminas yra skaičiaus x kvadratas, o antrasis - dvigubai padaugintas x iš 3. Todėl, norėdami gauti pilną kvadratą, turite pridėti 3 2, nes

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Dabar mes transformuojame kairę lygties pusę

x 2 + 6x - 7 = 0,

pridedant ir atimant 3 2. Mes turime:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Taigi šią lygtį galima parašyti taip:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Vadinasi, x + 3 -4 = 0, x 1 = 1 arba x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODAS :Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę.

Padauginkite abi lygties puses

ax 2 + bx + c = 0 ir ≠ 0

4a ir iš eilės turime:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Pavyzdžiai.

a) Išspręskime lygtį: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, dvi skirtingos šaknys;

Taigi teigiamo diskriminanto atveju, t.y. adresu

b 2 - 4ac> 0, lygtis kirvis 2 + bx + c = 0 turi dvi skirtingas šaknis.

b) Išspręskime lygtį: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,

D = 0, viena šaknis;

Taigi, jei diskriminantas lygus nuliui, t.y. b 2 - 4ac = 0, tada lygtis

kirvis 2 + bx + c = 0 turi vieną šaknį,

v) Išspręskime lygtį: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, jei diskriminatorius yra neigiamas, t.y. b 2–4ac< 0 , lygtis

kirvis 2 + bx + c = 0 neturi šaknų.

Kvadratinės lygties šaknų formulė (1) kirvis 2 + bx + c = 0 leidžia rasti šaknis bet koks kvadratinė lygtis (jei yra), įskaitant sumažintą ir neišsamią. Formulė (1) žodžiu išreiškiama taip: kvadratinės lygties šaknys yra lygios trupmenai, kurios skaitiklis lygus antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, plius minus šio koeficiento kvadrato kvadratinė šaknis be pirmojo koeficiento ketverto sandaugos laisvas terminas, o vardiklis yra dvigubai didesnis už pirmąjį koeficientą.

4. METODAS: Lygčių sprendimas naudojant Vieta teoremą.

Kaip žinote, duota kvadratinė lygtis turi formą

x 2 + px + c = 0.(1)

Jo šaknys atitinka Vieto teoremą, kuri a = 1 turi formą

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Taigi galima padaryti šias išvadas (šaknų požymius galima nuspėti iš koeficientų p ir q).

a) Jei konsoliduotas terminas q duota (1) lygtis yra teigiama ( q> 0), tada lygtis turi dvi to paties ženklo šaknis ir tai priklauso nuo antrojo koeficiento p... Jei R< 0 , tada abi šaknys yra neigiamos, jei R< 0 , tada abi šaknys yra teigiamos.

Pavyzdžiui,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 ir x 2 = 1, nes q = 2> 0 ir p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 ir x 2 = - 1, nes q = 7> 0 ir p = 8> 0.

b) Jei laisvas terminas q duota (1) lygtis yra neigiama ( q< 0 ), tada lygtis turi dvi skirtingo ženklo šaknis, o šaknis su didesne absoliučia verte bus teigiama, jei p< 0 arba neigiamas, jei p> 0 .

Pavyzdžiui,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 ir x 2 = 1, nes q = - 5< 0 ir p = 4> 0;

x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9 ir x 2 = - 1, nes q = - 9< 0 ir p = - 8< 0.

Pavyzdžiai.

1) Išspręskite lygtį 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Sprendimas. Kadangi a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tada

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Atsakymas: 1; -208/345.

2) Išspręskite lygtį 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Sprendimas. Kadangi a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), tada

x 1 = 1, x 2 = c / a = 115/132.

Atsakymas: 1; 115/132.

B. Jei antrasis koeficientas b = 2 tūkst Ar lyginis skaičius, tada šaknies formulė

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį 3x2 - 14x + 16 = 0.

Sprendimas... Mes turime: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 - ac = ( - 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D> 0, dvi skirtingos šaknys;

Atsakymas: 2; 8/3

V. Lygtis sumažinta

x 2 + px + q = 0

sutampa su bendrąja lygtimi, kurioje a = 1, b = p ir c = q... Todėl sumažintos kvadratinės lygties atveju - šaknies formulė

Ji įgauna tokią formą:

Formulę (3) ypač patogu naudoti, kai R- lyginis skaičius.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį x 2 - 14x - 15 = 0.

Sprendimas. Mes turime: x 1,2 = 7 ±

Atsakymas: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METODAS: Lygčių sprendimas grafiškai.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį x2 - 2x - 3 = 0.

Sukurkime funkcijos y = x2 - 2x - 3 grafiką

1) Turime: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Vadinasi, parabolės viršūnė yra taškas (1; -4), o parabolės ašis -tiesė x = 1.

2) Paimkite du x ašies taškus, kurie yra simetriški parabolės ašiai, pavyzdžiui, taškai x = -1 ir x = 3.

Turime f (-1) = f (3) = 0. Konstruokime taškus (-1; 0) ir (3; 0) koordinačių plokštumoje.

3) Nubrėžkite parabolę per taškus (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (68 pav.).

Lygties x2 - 2x - 3 = 0 šaknys yra parabolės ir x ašies susikirtimo taškų abscisės; vadinasi, lygties šaknys yra tokios: x1 = - 1, x2 - 3.

Išspręsti lygtį reiškia rasti tokias nežinomo vertes, kurių lygybė bus teisinga.

Lygties sprendimas

Pavaizduokime lygtį tokia forma:

2x * x - 3 * x = 0.

Matome, kad kairėje pusėje esančios lygties sąlygos turi bendrą koeficientą x. Išimame jį iš skliaustų ir užsirašome:

x * (2x - 3) = 0.

Gauta išraiška yra faktorių x ir (2x - 3) sandauga. Prisiminkite, kad sandauga yra lygi 0, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus 0. Taigi, galime parašyti lygtis:

x = 0 arba 2x - 3 = 0.

Taigi viena iš pradinės lygties šaknų yra x 1 = 0.
Raskite antrąją šaknį, išsprendę lygtį 2x - 3 = 0.

Šioje išraiškoje 2x yra mažėjantis, 3 yra atimamas, 0 yra skirtumas. Norint rasti atimtą, prie skirtumo reikia pridėti atimtą:

Paskutinėje išraiškoje 2 ir x yra veiksniai, 3 yra produktas. Norėdami rasti nežinomą veiksnį, turite padalyti produktą iš žinomo veiksnio:

Taigi, mes radome antrąją lygties šaknį: x 2 = 1,5.

Tirpalo teisingumo tikrinimas

Norint išsiaiškinti, ar lygtis išspręsta teisingai, būtina ją pakeisti skaitinės vertės x ir atlikti reikiamas aritmetines operacijas. Jei atlikus skaičiavimus paaiškėja, kad kairioji ir dešinė išraiškos pusės turi tą pačią reikšmę, tada lygtis išspręsta teisingai.

Patikrinkime:

Mes apskaičiuojame pradinės išraiškos vertę x 1 = 0 ir gauname:

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0, teisingai.

Mes apskaičiuojame išraiškos reikšmę x 2 = 0 ir gauname:

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0, teisingai.

Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.

Atsakymas: x 1 = 0, x 2 = 1,5.

Išspręskite lygtį NS 2 + (1 x) 2 = x

Įrodykite, kad nėra sveikųjų skaičių, kurie padidėtų 5 kartus nuo pradinio skaitmens permutacijos iki pabaigos.

Tam tikroje karalystėje kas du yra draugai arba priešai. Kiekvienas žmogus tam tikru momentu gali ginčytis su visais draugais ir sudaryti taiką su visais priešais. Paaiškėjo, kad taip draugauti gali kas trys žmonės. Įrodykite, kad tada visi šios karalystės žmonės gali tapti draugais.

Trikampyje vienas iš vidurių yra statmenas vienam iš bisektorių. Įrodykite, kad viena iš šio trikampio kraštinių yra dvigubai didesnė už kitą.

Užduotys rajono (miesto) moksleivių matematikos olimpiadai.

Šaudydamas į taikinį sportininkas išmušė tik 8,9 ir 10 taškų. Iš viso, atlikęs daugiau nei 11 metimų, jis išmušė lygiai 100 taškų. Kiek smūgių atliko sportininkas ir kokie buvo smūgiai?

Įrodykite nelygybės tiesą:

3. Išspręskite lygtį:

Suraskite trijų skaitmenų skaičių, kuris sumažėja 7 kartus, perbraukus jo vidurinį skaitmenį.

Trikampyje ABC pjūviai brėžiami iš viršūnių A ir B. Tada tiesės, lygiagrečios šiems pjūviams, brėžiamos iš C viršūnės. Šių tiesių susikirtimo su bisektoriais taškai D ir E yra sujungti. Paaiškėjo, kad tiesės DE ir AB yra lygiagrečios. Įrodykite, kad trikampis ABC yra lygiašonis.

Užduotys rajono (miesto) moksleivių matematikos olimpiadai.

Išspręskite lygčių sistemą:

Lygiagretainio AVSD šonuose AB ir HELL atitinkamai imami taškai E ir K, kad atkarpa EK būtų lygiagreti įstrižainei VD. Įrodykite, kad trikampių ALL ir SDK plotai yra lygūs.

Turistų grupę buvo nuspręsta sėsti į autobusus, kad kiekvienas autobusas turėtų vienodą keleivių skaičių. Iš pradžių į kiekvieną autobusą buvo pasodinta 22 žmonės, tačiau paaiškėjo, kad vieno turisto sėdėti neįmanoma. Kai vienas autobusas liko tuščias, visi turistai vienodai įlipo į likusius autobusus. Kiek autobusų buvo iš pradžių ir kiek turistų buvo grupėje, jei žinoma, kad kiekviename autobuse telpa ne daugiau kaip 32 žmonės?

Užduotys rajono (miesto) moksleivių matematikos olimpiadai.

Išspręskite lygčių sistemą:

Įrodykite, kad keturi atstumai nuo apskritimo taško iki jame įrašyto kvadrato viršaus negali būti racionalūs skaičiai vienu metu.

Galimi problemų sprendimai

1. Atsakymas: x = 1, x = 0,5

Nuo pradinio skaitmens pertvarkymo iki pabaigos skaičiaus reikšmė nesikeis. Šiuo atveju, atsižvelgiant į problemos būklę, reikia gauti skaičių, kuris yra 5 kartus didesnis už pirmąjį skaičių. Todėl pirmasis reikiamo skaičiaus skaitmuo turėtų būti lygus 1 ir tik 1. (nes jei pirmasis skaitmuo yra 2 ar daugiau, tada vertė pasikeis, 2 * 5 = 10). Pabaigoje pertvarkant 1, gautas skaičius baigiasi 1, todėl jis nesidalija iš 5.

Iš tos sąlygos išplaukia, kad jei A ir B yra draugai, tai C yra arba jų bendras priešas, arba bendras draugas (kitaip jie trys nebus susitaikę). Paimkime visus žmogaus draugus A. Iš to, kas pasakyta, matyti, kad jie visi yra draugiški vienas kitam ir priešinasi kitiems. Dabar leiskite A ir jo draugams pakaitomis ginčytis su draugais ir sudaryti taiką su priešais. Po to visi taps draugais.

Iš tiesų, tegul A yra pirmasis, kuris ginčijasi su savo draugais ir susitaiko su savo priešais, bet tada kiekvienas jo buvęs draugas su juo susitaikys ir buvę priešai liks draugais. Taigi, visi žmonės yra A draugai, taigi ir draugai tarpusavyje.

Skaičius 111 dalijasi iš 37, taigi įvardinta suma taip pat dalijasi iš 37.

Pagal sąlygą skaičius dalijasi iš 37, taigi suma

Dalijasi iš 37.

Atkreipkite dėmesį, kad nurodyta vidurkis ir biseris negali išeiti iš vienos viršūnės, nes priešingu atveju šios viršūnės kampas būtų didesnis nei 180 0. Dabar įveskite trikampį ABC, kurio taškas F susikerta su dalikliu AD ir vidurkiu CE. Tada AF yra bisektis ir aukštis trikampyje ACE, o tai reiškia, kad šis trikampis yra lygiašonis (AC = AE), o kadangi CE yra vidurkis, tada AB = 2AE, taigi AB = 2AC.

Galimi problemų sprendimai

1. Atsakymas: 9 šūviai iš 8 taškų,

2 metimai po 9 taškus,

1 metimas už 10 taškų.

Leisti būti x smūgius atliko sportininkas, išmušęs 8 taškus, y 9 taškų metimai, z metimai 10 taškų. Tada galite sudaryti sistemą:

Naudodami pirmąją sistemos lygtį, rašome:

Iš šios sistemos matyti, kad x+ y+ z=12

Padauginkite antrąją lygtį iš (-8) ir pridėkite prie pirmosios. Mes tai suprantame y+2 z=4 , kur y=4-2 z, y=2(2- z) ... Vadinasi, adresu- lyginis skaičius, t.y. y = 2 t, kur.

Vadinasi,

3. Atsakymas: x = -1/2, x = -4

Sumažinus trupmenas iki vieno vardiklio, gauname

4. Atsakymas: 105

Pažymėkime x, y, z atitinkamai pirmąjį, antrąjį ir trečiąjį norimo trijų skaitmenų skaičiaus skaitmenis. Tada jį galima parašyti kaip. Perbraukus vidurinį skaitmenį, gaunamas dviženklis skaičius. Pagal problemos būklę, t.y. nežinomi skaičiai x, y, z patenkinti lygtį

7(10 x+ z)=100 x+10 y+ x, kuri sumažinus panašius terminus ir santrumpas įgauna formą 3 z=15 x+5 y.

Iš šios lygties matyti, kad z turi būti dalijamas iš 5 ir turi būti teigiamas, nes pagal sąlygą. Todėl z = 5, o skaičiai x, y tenkinti lygtį 3 = 3x + y, kuri, atsižvelgiant į sąlygą, turi unikalų sprendimą x = 1, y = 0. Todėl užduoties sąlyga tenkinama vieninteliu skaičiumi 105.

Pažymėkime raide F tašką, kuriame susikerta tiesės AB ir CE. Kadangi tiesės DB ir CF yra lygiagrečios, tada. Kadangi BD yra kampo ABC bisektorius, darome išvadą, kad. Iš to išplaukia, kad, t.y. trikampis BCF yra lygiašonis ir BC = BF. Bet iš sąlygos išplaukia, kad keturkampis BDEF yra lygiagretainis. Todėl BF = DE, taigi ir BC = DE. Panašiai įrodyta, kad AC = DE. Tai lemia reikiamą lygybę.

Galimi problemų sprendimai

Iš čia (x + y) 2 = 1 , t.y. x + y = 1 arba x + y = -1.

Panagrinėkime du atvejus.

a) x + y = 1... Pakeitimas x = 1 - y

b) x + y = -1... Po pakeitimo x = -1

Taigi sistemos sprendimai gali būti tik šios keturios skaičių poros: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2). Pakeisdami pradinės sistemos lygtis, mes įsitikiname, kad kiekviena iš šių keturių porų yra sistemos sprendimas.

Trikampiai CDF ir BDF turi bendrą pagrindą FD ir vienodą aukštį, nes tiesės BC ir AD yra lygiagrečios. Todėl jų plotai yra lygūs. Panašiai trikampių BDF ir BDE plotai yra lygūs, nes tiesė BD yra lygiagreti tiesei EF. O trikampių BDE ir BCE plotai yra lygūs, nes AB yra lygiagreti CD. Taigi reikia laikytis trikampių CDF ir BCE plotų lygybės.

Atsižvelgdami į funkcijos sritį, sukurkime grafiką.

Naudojant formulę atlikti tolesnes transformacijas

Taikydami pridėjimo formules ir atlikdami tolesnes transformacijas, gauname

5. Atsakymas: 24 autobusai, 529 turistai.

Pažymėkime k pradinis autobusų skaičius. Iš problemos teiginio matyti, kad visų turistų skaičius yra 22 k +1 ... Išvykus vienam autobusui, visi turistai buvo pasodinti į likusius (k-1) autobusai. Todėl skaičius 22 k +1 turėtų būti padalintas iš k-1... Taigi problema buvo sumažinta nustatant visus sveikus skaičius, kurių skaičius

Yra sveikas skaičius ir tenkina nelygybę (skaičius n yra lygus kiekviename autobuse sėdinčių turistų skaičiui, o pagal problemos teiginį autobuse telpa ne daugiau kaip 32 keleiviai).

Skaičius bus sveikas tik tada, kai skaičius bus visas. Pastarasis yra įmanomas tik tada, kai k=2 ir k=24 .

Jei k=2 , tada n = 45.

Kas, jeigu k=24 , tada n = 23.

Iš šios ir sąlygos mes gauname tik tai k=24 tenkina visas problemos sąlygas.

Todėl iš pradžių buvo 24 autobusai, o visų turistų yra n (k-1) = 23 * 23 = 529

Galimi problemų sprendimai

1. Atsakymas:

Tada lygtis bus tokia:

Gavome kvadratinę lygtį R.

2. Atsakymas: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2)

Pridėję sistemos lygtis, gauname, arba

Iš čia (x + y) 2 = 1 , t.y. x + y = 1 arba x + y = -1.

Panagrinėkime du atvejus.

a) x + y = 1... Pakeitimas x = 1 - yį pirmąją sistemos lygtį gauname

b) x + y = -1... Po pakeitimo x = -1į pirmąją sistemos lygtį gauname arba

Šiame straipsnyje mes išmoksime išspręsti biquadratic lygtis.

Taigi, kokios lygtys vadinamos biquadratic?
Viskas formos lygtis ai 4 + bx 2 + c = 0 , kur a ≠ 0 kurie yra kvadratiniai x 2 atžvilgiu, ir vadinami bikvadratiniais lygtis. Kaip matote, šis žymėjimas yra labai panašus į kvadratinės lygties rašymą, todėl mes išspręsime biquadratic lygtis naudodami formules, kurias naudojome kvadratinei lygčiai išspręsti.

Tik mums reikės įvesti naują kintamąjį, tai yra, mes žymime x 2 kitas kintamasis, pavyzdžiui adresu arba t (arba bet kuri kita lotyniškos abėcėlės raidė).

Pavyzdžiui, išspręsti lygtį x 4 + 4x 2 - 5 = 0.

Mes žymime x 2 skersai adresu (x 2 = y ) ir gaukite lygtį y 2 + 4y - 5 = 0.
Kaip matote, jūs jau žinote, kaip išspręsti tokias lygtis.

Mes išsprendžiame gautą lygtį:

D = 4 2 - 4 ( - 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = ( - 4 - 6) / 2 = - 10/2 = - 5,

y 2 = (- 4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.

Grįžkime prie kintamojo x.

Gavome, kad x 2 = - 5 ir x 2 = 1.

Atkreipkite dėmesį, kad pirmoji lygtis neturi sprendinių, o antroji pateikia du sprendimus: x 1 = 1 ir x 2 = ‒1. Būkite atsargūs, kad neprarastumėte neigiamos šaknies (dažniausiai atsakymas yra x = 1, o tai nėra teisinga).

Atsakymas:- 1 ir 1.

Norėdami geriau suprasti temą, išanalizuosime keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 4 - 5 x 2 + 3 = 0.

Tegul x 2 = y, tada 2y 2 - 5y + 3 = 0.

D = ( - 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 - 1) / (2 2) = 4/4 = 1, y 2 = (5 + 1) / (2 2) = 6/4 = 1,5.

Tada x 2 = 1 ir x 2 = 1,5.

Gauname x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = - √1.5, x 4 = √1.5.

Atsakymas: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2 metai 2 + 5 metai + 2 = 0.

D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = ( - 5 - 3) / (2 2) = - 8/4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3) / (2 2) = - 2/4 = - 0,5.

Tada x 2 = - 2 ir x 2 = - 0,5. Atminkite, kad nė viena iš šių lygčių neturi sprendimo.

Atsakymas: jokių sprendimų.

Nebaigtos bikvadratinės lygtys- tai kada b = 0 (ašis 4 + c = 0) arba c = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) sprendžiamos kaip neišsamios kvadratinės lygtys.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 4 - 25x 2 = 0

Apskaičiuokime faktorius, padėkite x 2 už skliaustų ir tada x 2 (x 2 - 25) = 0.

Gauname x 2 = 0 arba x 2 - 25 = 0, x 2 = 25.

Tada mes turime šaknis 0; 5 ir - 5.

Atsakymas: 0; 5; – 5.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį 5x 4 - 45 = 0.

x 2 = - √9 (nėra sprendimų)

x 2 = √9, x 1 = - 3, x 2 = 3.

Kaip matote, žinodami, kaip išspręsti kvadratines lygtis, galite susidoroti su biquadratic lygtimis.

Jei vis dar turite klausimų, užsiregistruokite į mano pamokas. Mokytoja Valentina Galinevskaja.

svetainėje, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Ankstesnis straipsnis: Mano dieta II tipo diabetui Kitas straipsnis: Rotavirusinė infekcija suaugusiesiems - simptomai ir gydymas