Įvairaus pobūdžio, pradedant nuo aukso. Auksinė pjūvis augaluose Užbaigė: Kolchina L.A. Fibonacci auksinės katės

Augalai yra tikri racionalistai. Ir būtent ši jų savybė paaiškina, kodėl skirtingų augalų šeimų atstovai nuolat „taiko“ tuos pačius architektūrinius principus, kurie pasirodė sėkmingiausi. Racionaliausio erdvės panaudojimo principas ypač paplitęs augalų pasaulyje, pirmiausia klojant tuos augalų organus, kurių vėliau išsivysto didžiulis kiekis. Nesvarbu, ar kalbame apie lapus ant stiebo, apie žvynus ant spygliuočių spurgų, apie žiedų gausą, o paskui apie sėklas dideliuose saulėgrąžų krepšeliuose, ar apie erškėčių kekes ant karpuotų kaktusų ataugų. Visi jie tobulinimo procese yra patalpinti erdvėje taip, kad joje užimtų minimalų tūrį. Kaip sumanios vyndario rankos vyno rūsyje iš laikomų vyno butelių sukuria griežtas geometrines struktūras, taip visiškai susiformavę augalų organai vienas kito atžvilgiu išsidėsto griežtai nustatyta tvarka.

Nuolat kartojantis gamtoje ir vis dėlto kiekvieną kartą vis naujai suvokiamas, jo elementų tikslingo išdėstymo erdvėje paveikslas negalėjo nepatraukti žmogaus dėmesio.

Norėdamas ar nesąmoningai, žmogus jį supantį pasaulį ima kaip pavyzdį, kai siekia ugdyti savyje estetinius jausmus, sprendimus ir skonį. Meninis formos suvokimas žmogui kyla, vystosi ir turtėja nuolatinio, nenutrūkstamo bendravimo su viskuo, kas jį supa, procese. Nuo neatmenamų laikų viskas, kas sveika ir natūralu, mums yra gražu, harmoninga, viskas, kas nenatūralu, nenormalu, nesveika suvokiama kaip kažkas negražu, negražu ir disonuojanti. Ir jei tas pats architektūrinis principas, kuris tūkstantį kartų kinta floros srityje, vėl ir vėl pasirodo žmogaus, amžino jį supančio pasaulio mokinio, regėjimo lauke, tai tai nepraeina be pėdsakų. 1958 metais vienas iš britų elgesio studijų specialistų atliko nedidelį eksperimentą su grupe žmonių. Iš stačiakampių rinkinio (29 nuotr.) jis pasiūlė pasirinkti tuos, kurie tiriamųjų nuomone gražiausios formos. Dauguma apklaustųjų (35 proc.) iškart atkreipė dėmesį į figūrą, kurios kraštinės koreliuoja viena su kita santykiu 21:34. Kaimyniniai skaičiai taip pat buvo labai vertinami, atitinkamai 20 procentų aukščiausias skaičius, o 19 procentų - apatinis. Visi kiti stačiakampiai surinko ne daugiau kaip po 10 procentų balsų. Šis testas yra ne tik grynai statistinis eksperimentas, bet ir atspindi gamtoje iš tikrųjų egzistuojantį modelį. Žinoma, kad augalų pasaulyje dažniausiai pastebimos tos pačios proporcijos. Tačiau priežastys čia nebėra estetinės.

29 nuotrauka. Stačiakampių su skirtingais kraštinių santykiais rinkinys, kurį eksperimente naudojo anglų bihevioristas. Daugiau nei trečdalis respondentų laikė „gražiausia“ figūra, kurios proporcija 21:34, vadinama auksiniu pjūviu.

Matematikams ir meno žmonėms santykis yra 21:34, tiksliau 0,618034 ...: 1 (matematiškai šis skaičius atrodo taip:

Gerai žinomas kaip auksinis pjūvis). Nuo Renesanso menininkai savo paveiksluose naudojo aukso pjūvį, kurį laikė idealia proporcingumo išraiška ir kurį galėjo stebėti visur gamtoje. Bet, matyt, vaizduojamajame mene ir anksčiau nesąmoningai vadovaujasi šia taisykle. Šiuo atveju dažnai buvo imamos apytikslės reikšmės, pavyzdžiui, 3:5 (=0,600) arba 5:8 (=0,625). Gamtoje dažniausiai pastebimas kur kas griežtesnis atitikimas. Taigi saulėgrąžų krepšeliuose nuokrypis nuo auksinio pjūvio yra tik keturios tūkstantosios procento dalys.

Kaip aukso pjūvis pasireiškia gamtoje, matosi nuotraukose 30 ir 31. Pirmoje iš jų – sferinis kaktusas Mammillaria lanata paimtas iš viršaus. Nuotraukoje aiškiai matyti spiralinis spygliuočių sankaupų išsidėstymas – vadinamosios areolės. Spiralių pradžia patenka į kaktuso viršūninę dalį. Čia gimsta naujos areolės. Kai jie auga ir vystosi, jie griežtai spirališkai nustumiami į kraštus. Atidžiau pažvelgus į nuotraukas, matyti, kad spiralės eina dviem kryptimis: pagal laikrodžio rodyklę (tokių spiralių yra 34) ir prieš laikrodžio rodyklę (jų yra lygiai 21). Vėl 21:34. Tai yra stačiakampio kraštinių santykis, kurį aukščiau aprašyto eksperimento dalyviai pavadino estetiškiausiu, gražiausios formos. Aukso pjūvis (0,618034...:1) čia išlaikomas 0,0065 procento (0,617647:1) tikslumu.

30 nuotrauka. Kaktuso areolės (spyglių gumulai). Mammillaria lanata išdėstyti griežtai spiralėmis.

31a nuotrauka. Tas pats kaktusas, nušautas iš šono. Šiame nedideliame jo paviršiaus plote aiškiai matomos tiesios linijos, bet tai yra areolės. Ankstesnėje nuotraukoje jie atrodė kaip spiralės.

31b nuotrauka. Rastrinis tinklelis tiksliai atkartoja tiesias linijas, parodytas 31a nuotraukoje. „Sukurta“ pagal aukso pjūvį.

Jei pažvelgsite į tą patį kaktusą iš šono (31a nuotrauka), paaiškės, kad spiralės santykinai mažame kaktuso paviršiaus plote atrodo kaip tiesios linijos, einančios įstrižai iš viršaus į apačią ir į kairę iki. dešinėn arba iš apačios į viršų ir iš dešinės į kairę. 31b nuotraukoje parodytas mano sukurtas rastrinis tinklelis, kuris tiksliai perteikia originalo linijų įstrižinį išdėstymą. Aiškiai matyti, kad tiesių, einančių viena kryptimi, nuolydis yra mažesnis nei tiesių, einančių priešinga kryptimi. Naudojant atomą, skirtingų nuolydžių linijos yra išdėstytos tinklelyje taip, kad jei pradėsite skaičiuoti įstrižaines išilgai horizontalios tiesės, nubrėžtos nuo 0/0 taško, tada apskritai paaiškėja, kad 0,618 ... įstrižainė, pasvirusi į dešinėje, yra viena įstrižainė su kairiuoju nuolydžiu. Skaitytojas turi teisę užduoti klausimą: ar tikrai taip? Juk negali būti trupmeninių tiesių, kurias būtų galima suskaičiuoti. Tačiau paveikslėlyje aiškiai matyti, kad iš pradžių maždaug dvi įstrižainės pasvirusios į dešinę, trys pasvirusios į kairę (2:3 = 0,666), po to maždaug trys pasvirusios į dešinę – penkios pasvirusios į kairę (5:8 = 0,625). ) ir tt Šiuo atveju įstrižainių susikirtimo taškas bus kuo arčiau horizontalios linijos, tuo tikslesnis apytikslis skaičius 0,618...

Jei būtų galima padaryti panašų panoraminį rastrinio tinklelio nuskaitymą, kuris apimtų visą augalą, tada būtų nustatyta, kad 21 įstrižainei su dešiniuoju nuolydžiu yra 34 įstrižainės su nuolydžiu į kairę, o galas mūsų nubraukimo taškas tiksliai sutaptų su jo pradžia (taškas 0/0). Taip sukurtas linijų tinklas estetiškai pasirodo toks pat optimalus kaip aukso pjūvio principu pastatytas stačiakampis. Linijų kompleksas, turintis aiškiai apibrėžtą ir kartu skirtingą nuolydį, suteikia vaizdo laukui emocinę vidinę įtampą ir kartu griežtą balansą. Šie principai kompozicinė konstrukcija meno kūriniai yra būdingi daugeliui senųjų tapybos meistrų drobių.

Ant Ticiano paveikslo „Bachas ir Ariadnė“ (32 nuotrauka) reprodukcijos uždėjome rastrinį tinklelį. Visos pagrindinės perspektyvos linijos sutampa su rastru. Tame vidinės įtampos lauke, ant kurio statomas visas paveikslas, menininkas patalpino net daug siužetui antraeilių detalių ir formų. Atkreipkite dėmesį į nedidelę kalvelę, matomą horizonte dešinėje drobės pusėje prie bažnyčios varpinės, ant didelio medžio šakų, po žvaigždynu gulinčio kamuolinio debesies kontūre, ant užpakalinių kojų ir pilvo linija didelė laukinė katė, į apverstos vazos ašies kryptį, į iškeltą satyro dešinę ranką vynmedžių vainike dešiniajame drobės kampe ir galiausiai į pakeltą arklio koją.

32 nuotrauka. Ant Ticiano paveikslo „Bachas ir Ariadnė“ uždėtas rastrinis tinklelis. Aukso pjūvio principais grindžiami daugelis praeities menininkų darbų.

Tiems, kurie mano, kad tai atsitiktinumas arba mano, kad Ticiano paveikslas yra išimtis, rekomenduojame rastrinį tinklelį perkelti ant skaidraus popieriaus ir tada pritaikyti kai kurių meno paveikslų reprodukcijoms. Nustebs, kaip dažnai paveikslų kompozicijose bus kartojama aukso pjūvio dinamika iki veidrodinio atspindžio.

Tokie kūriniai kaip Mikelandželo „Libijos sibilė“, Tintoretto „Piemenų garbinimas“, „Parmigianino“ „Ilgas kaklas Madonna“, „Tiepolo Azija“ (veidrodinis vaizdas!), „Poussin's Bacchanalia“, „Brouwer's Valstiečių kortų žaidimas arba Meilės šventė“ „Watto“ (veidrodis – tik keletas atspindžių!) pavyzdžiai, kurie tik patvirtina bendrą modelį.

Visais laikais menininkai, sąmoningai ar nesąmoningai, stebėdami gamtą mokėsi suvokti estetinio suvokimo dėsnius. Dailininkus visada žavėjo paprasta ir kartu racionali biologinio augimo formų geometrija.

<<< Назад

Pirmyn >>>

Auksinis santykis yra paprastas principas, kuris padės padaryti jūsų dizainą vizualiai malonų. Šiame straipsnyje mes išsamiai paaiškinsime, kaip ir kodėl jį naudoti.

Įprasta matematinė proporcija gamtoje, vadinama auksiniu santykiu arba aukso viduriu, yra pagrįsta Fibonačio seka (apie kurią greičiausiai girdėjote mokykloje arba skaitėte Dano Browno knygoje „Da Vinčio kodas“) ir reiškia, kad kraštinių santykis yra 1. :1.61.

Toks santykis dažnai sutinkamas mūsų gyvenime (lukštai, ananasai, gėlės ir kt.), todėl jį žmogus suvokia kaip kažką natūralaus, malonaus akiai.

→ Auksinis pjūvis yra ryšys tarp dviejų skaičių Fibonačio sekoje
→ Nubraižę šią seką pagal mastelį, gaunamos spiralės, kurias galima pamatyti gamtoje.

Manoma, kad Auksinį santykį žmonija mene ir dizaine naudojo daugiau nei 4000 metų, o galbūt ir dar daugiau, teigia mokslininkai, teigiantys, kad senovės egiptiečiai naudojo šį principą statydami piramides.

Įžymūs pavyzdžiai

Kaip jau minėjome, Auksinis santykis matomas per visą meno ir architektūros istoriją. Štai keletas pavyzdžių, kurie tik patvirtina šio principo naudojimo pagrįstumą:

Architektūra: Partenonas

Senovės Graikijos architektūroje auksinis santykis buvo naudojamas idealiai proporcijai tarp pastato aukščio ir pločio, portiko matmenų ir net atstumo tarp kolonų apskaičiuoti. Vėliau šį principą paveldėjo neoklasikinė architektūra.

Menas: Paskutinė vakarienė

Menininkams kompozicija yra pagrindas. Leonardo da Vinci, kaip ir daugelis kitų menininkų, vadovavosi aukso santykio principu: pavyzdžiui, Paskutinės vakarienės metu mokinių figūros yra apatiniuose dviejuose trečdaliuose (didesnėje iš dviejų aukso santykio dalių). ), o Jėzus yra griežtai centre tarp dviejų stačiakampių.

Interneto dizainas: „Twitter“ pertvarkymas 2010 m

„Twitter“ kūrybos direktorius Dougas Bowmanas savo „Flickr“ paskyroje paskelbė ekrano kopiją, paaiškindamas aukso pjūvio panaudojimą 2010 m. pertvarkymui. „Kiekvienas, kuris domisi #NewTwitter proporcijomis, žino, kad viskas daroma dėl priežasties“, – sakė jis.

Apple iCloud

„iCloud“ paslaugos piktograma taip pat nėra atsitiktinis eskizas. Kaip savo tinklaraštyje paaiškino Takamasa Matsumoto (originali japoniška versija), viskas remiasi Auksinio santykio matematika, kurios anatomiją galima pamatyti paveikslėlyje dešinėje.

Kaip sukurti auksinį santykį?

Statyba yra gana paprasta ir prasideda nuo pagrindinės aikštės:

Nubrėžkite kvadratą. Tai sudarys stačiakampio „trumposios pusės“ ilgį.

Padalinkite kvadratą per pusę vertikalia linija, kad gautumėte du stačiakampius.

Viename stačiakampyje nubrėžkite liniją, sujungdami priešingus kampus.

Išplėskite šią liniją horizontaliai, kaip parodyta paveikslėlyje.

Sukurkite kitą stačiakampį naudodami horizontalią liniją, kurią nubrėžėte atlikdami ankstesnius veiksmus kaip pagrindą. Pasiruošę!

„Auksiniai“ įrankiai

Jei piešimas ir matavimas nėra jūsų mėgstamiausias užsiėmimas, palikite visus „nešvarius darbus“ specialiai tam skirtiems įrankiams. Naudodami 4 toliau pateiktus redaktorius galite lengvai rasti auksinį santykį!

Programėlė GoldenRATIO padeda kurti svetaines, sąsajas ir maketus pagal Golden Ratio. Galima įsigyti iš „Mac App Store“ už 2,99 USD, jame yra įmontuotas skaičiuotuvas su vaizdiniais atsiliepimais ir patogi funkcija „Favorites“, kurioje saugomi pasikartojančių užduočių nustatymai. Suderinamas su Adobe Photoshop.

Ši skaičiuoklė padės jums sukurti tobulą jūsų svetainės tipografiją pagal „Auksinio santykio“ principus. Tiesiog svetainės laukelyje įveskite šrifto dydį, turinio plotį ir spustelėkite „Nustatyti mano tipą“!

Tai paprasta ir nemokama programa, skirta „Mac“ ir asmeniniam kompiuteriui. Tiesiog įveskite skaičių ir jis apskaičiuos jo proporciją pagal auksinės pjūvio taisyklę.

Patogi programa, kuri išgelbės jus nuo skaičiavimų ir tinklelių braižymo. Su ja lengva rasti tobulas proporcijas! Veikia su visais grafiniais redaktoriais, įskaitant Photoshop. Nepaisant to, kad įrankis yra mokamas – 49 USD, bandomąją versiją galima išbandyti 30 dienų.

AUKSO SKYRIUS – DIEVIŠKAS GROŽIO MATAS,
SUKURTA GAMTOJE.

Aukso pjūvis yra dieviškasis grožio matas, sukurtas gamtoje.

Alachas viskam nustatė tinkamą matą. (Sura „At Talyak“, 65:3)

... Visa gailestingojo (Allah) kūryboje nerasite dalies
pažeidimai ir neatitikimai. Dar kartą pasukite akis, pamatysite
ar tu koks defektas? Ir vėl nukreipi akis: jis sugrįš
pažemintas ir tuščias (nerandant dalelės nenuoseklumo).
(Sura Al Mulk, 67:3-4)

„... Jeigu elemento veikimo ar funkcijos požiūriu bet kuri forma turi proporcingumą ir yra maloni, patraukli akiai, tai tokiu atveju galime iš karto ieškoti bet kurios iš Auksinio skaičiaus funkcijų. jame ... Auksinis skaičius visai nėra matematinė fantastika.Iš tikrųjų tai yra gamtos dėsnio produktas, pagrįstas proporcingumo taisyklėmis

Išsiaiškinkime, kas bendro tarp senovės Egipto piramidžių, Leonardo da Vinci paveikslo „Mona Liza“, saulėgrąžos, sraigės, kankorėžio ir žmogaus pirštų?

Atsakymas į šį klausimą slypi nuostabiuose skaičiuose, kuriuos atrado italų viduramžių matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas Fibonačio vardu. ((g. apie 1170 m. – mirė po 1228 m.), italų matematikas. Keliaudamas po Rytus susipažino su arabų matematikos pasiekimais, prisidėjo prie jų perkėlimo į Vakarus. Pagrindiniai kūriniai „Liber Abaci“ (1202) – traktatas apie aritmetiką (indiški skaitmenys) ir algebrą (iki kvadratines lygtis), „Practica Geometriae“ (1220)).

Po jo atradimo šie skaičiai pradėti vadinti garsaus matematiko vardu. Nuostabi Fibonačio sekos esmė yra ta, kad kiekvienas šios sekos skaičius gaunamas iš ankstesnių dviejų skaičių sumos. 2

Skaičiai, sudarantys seką 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... "Fibonačio skaičiai", ir pati seka Fibonačio seka.

Fibonačio skaičiuose yra vienas labai įdomi savybė. Dalijant bet kurį skaičių iš eilės iš prieš jį einančio skaičiaus, visada gaunamas rezultatas bus vertė, kuri svyruos apie neracionalią vertę 1,61803398875... ir kas antrą kartą arba kylant, arba nepasiekiant.
(Atkreipkite dėmesį į neracionalųjį skaičių, t. y. skaičių, kurio dešimtainis vaizdas yra begalinis, o ne periodinis)

Be to, po 13-ojo skaičiaus sekoje šis padalijimo rezultatas tampa pastovus iki serijos begalybės... Ir būtent šis pastovus padalijimo skaičius viduramžiais buvo vadinamas dieviškuoju santykiu, o dabar jis vadinamas į as aukso pjūvis, aukso viduriukas arba aukso pjūvis.

Algebe p e šis skaičius žymimas graikiška raide phi ( F)

Taigi, aukso santykis = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618

Žmogaus kūnas ir aukso pjūvis

Menininkai, mokslininkai, mados dizaineriai, dizaineriai savo skaičiavimus, brėžinius ar eskizus atlieka pagal aukso pjūvio santykį. Juose naudojami išmatavimai iš žmogaus kūno, taip pat sukurti pagal aukso pjūvio principą. Leonardo da Vinci ir Le Corbusier, prieš kurdami savo šedevrus, paėmė žmogaus kūno parametrus, sukurtus pagal Auksinio santykio dėsnį.

Labiausiai pagrindinė knyga visų šiuolaikinių architektų, E. Neuferto žinyne „Pastatų projektavimas“ pateikiami pagrindiniai žmogaus liemens parametrų skaičiavimai, kuriuose yra ir aukso pjūvis.

Proporcijos įvairios dalys mūsų kūnas yra skaičius, labai artimas auksiniam pjūviui. Jei šios proporcijos sutampa su aukso pjūvio formule, laikoma, kad žmogaus išvaizda ar kūnas yra idealiai sukonstruoti. Auksinio mato ant žmogaus kūno apskaičiavimo principas gali būti pavaizduotas diagramos pavidalu. 3

M/m = 1,618

Pirmasis aukso pjūvio pavyzdys žmogaus kūno struktūroje:
Jei bambos tašką imtume kaip žmogaus kūno centrą, o atstumą tarp žmogaus pėdos ir bambos taško – matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis prilygsta skaičiui 1,618.

Be to, yra dar kelios pagrindinės auksinės mūsų kūno proporcijos:

• atstumas nuo pirštų galiukų iki riešo ir nuo riešo iki alkūnės yra 1:1,618
• atstumas nuo peties lygio iki galvos vainiko ir galvos dydis yra 1:1,618
• atstumas nuo bambos taško iki viršugalvio ir nuo peties lygio iki viršugalvio yra 1:1,618
• atstumas nuo bambos taško iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1:1,618
• atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos galo iki šnervių yra 1:1,618
• atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko yra 1:1,618

Aukso pjūvis žmogaus veido bruožuose kaip tobulo grožio kriterijus.

Žmogaus veido bruožų struktūroje taip pat yra daug pavyzdžių, kurie savo verte artimi aukso pjūvio formulei. Tačiau neskubėkite iš karto paskui liniuotę matuoti visų žmonių veidų. Nes tikslūs aukso pjūvio atitikmenys, pasak mokslininkų ir meno žmonių, menininkų ir skulptorių, egzistuoja tik tobulo grožio žmonėms. Tiesą sakant, tikslus aukso pjūvio buvimas žmogaus veide yra grožio idealas žmogaus akiai.

Pavyzdžiui, susumavus dviejų viršutinių priekinių dantų plotį ir šią sumą padalinus iš dantų aukščio, tada, gavę auksinį pjūvį, galime teigti, kad šių dantų struktūra yra ideali.

Žmogaus veide yra ir kitų auksinio pjūvio taisyklės įkūnijimų. Štai keletas šių santykių:

• Veido aukštis / plotis,
• Lūpų jungties su nosies pagrindu centras / nosies ilgis.
• Veido aukštis / atstumas nuo smakro galo iki lūpų jungties centro taško
• Burnos plotis / nosies plotis,
• nosies plotis / atstumas tarp šnervių,
• Atstumas tarp vyzdžių / atstumas tarp antakių.

Žmogaus ranka

Užtenka tik dabar priartinti delną prie savęs ir atidžiai pažvelgti į smilių, ir jame iškart rasite aukso pjūvio formulę. Kiekvienas mūsų rankos pirštas susideda iš trijų pirštakaulių.

Pirmųjų dviejų piršto falangų suma viso piršto ilgio atžvilgiu suteikia auksinį pjūvį (išskyrus nykštį).

Be to, vidurinio ir mažojo piršto santykis taip pat lygus auksiniam pjūviui. 4

Žmogus turi 2 rankas, kiekvienos rankos pirštai susideda iš 3 pirštakaulių (išskyrus nykštį). Ant kiekvienos rankos yra 5 pirštai, tai yra iš viso 10, tačiau, išskyrus du dvifalanginius nykščius, pagal aukso pjūvio principą sukuriami tik 8 pirštai. Tuo tarpu visi šie skaičiai 2, 3, 5 ir 8 yra Fibonačio sekos skaičiai.

Aukso pjūvis žmogaus plaučių struktūroje

Amerikiečių fizikas B.D. Westas ir daktaras A.L. Goldbergeris, atlikdamas fizinius ir anatominius tyrimus, nustatė, kad aukso pjūvis taip pat egzistuoja žmogaus plaučių struktūroje. penkios

Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchus sudaro du pagrindiniai kvėpavimo takai, vienas (kairysis) yra ilgesnis, o kitas (dešinėje) yra trumpesnis.

Nustatyta, kad ši asimetrija tęsiasi bronchų šakose, visuose mažesniuose kvėpavimo takuose. 6 Be to, trumpųjų ir ilgųjų bronchų ilgio santykis taip pat yra auksinis pjūvis ir yra lygus 1:1,618.

Auksinio stačiakampio keturkampio ir spiralės struktūra.

Auksinė pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi taip pat, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnė dalis yra susijusi su didesniu, kaip didesnė su viskuo.

Geometrijoje stačiakampis su tokiu kraštinių santykiu pradėtas vadinti auksiniu stačiakampiu. Jo ilgosios kraštinės yra susijusios su trumposiomis kraštinėmis santykiu 1,168:1.

Auksinis stačiakampis taip pat turi daug nuostabių savybių. Auksinis stačiakampis turi daug neįprastų savybių. Iš auksinio stačiakampio nupjaudami kvadratą, kurio kraštinė lygi mažesnei stačiakampio kraštinei, vėl gauname mažesnį auksinį stačiakampį. Šis procesas gali būti tęsiamas iki begalybės. Pjaudami kvadratus gausime vis mažesnius auksinius stačiakampius. Be to, jie bus išdėstyti logaritminėje spiralėje, kuri yra svarbi gamtos objektų (pavyzdžiui, sraigių kiautų) matematiniuose modeliuose.

Spiralės polius yra pradinio stačiakampio ir pirmojo nupjauto vertikalės įstrižainių sankirtoje. Be to, ant šių įstrižainių yra visų vėlesnių mažėjančių auksinių stačiakampių įstrižainės. Žinoma, yra ir auksinis trikampis.

Anglų dizaineris ir estetikas Williamas Charltonas teigė, kad spiralės formos žmonėms atrodo malonios akiai ir jas naudoja jau tūkstantmečius, paaiškindamas tai taip: „Esame patenkinti spiralės išvaizda, nes vizualiai ją nesunkiai matome“. 7

Aukso pjūvio taisyklė, kuria grindžiama spiralės struktūra, gamtoje labai dažnai sutinkama nepakartojamo grožio kūriniuose. Ryškiausi pavyzdžiai – spiralės forma matyti saulėgrąžų sėklų išdėstyme, o kankorėžiuose, ananasuose, kaktusuose, rožių žiedlapių sandaroje ir kt.

Botanikai nustatė, kad lapų išdėstymas ant šakos, saulėgrąžų sėklos ar kankorėžiai aiškiai pasireiškia Fibonačio serija, todėl dėsnis pasireiškia aukso pjūvis.

Visagalis Viešpats kiekvienam savo kūriniui nustatė ypatingą matą ir suteikė proporcingumą, kuris patvirtinamas pagal rastus pavyzdžius gamtoje. Galima paminėti labai daug pavyzdžių, kai gyvų organizmų augimo procesas vyksta griežtai laikantis logaritminės spiralės formos.

Visos spyruoklės ritėje yra vienodos formos. Matematikai nustatė, kad net ir padidėjus spyruoklių dydžiui, spiralės forma išlieka nepakitusi. Matematikoje nėra kitos formos, kuri turėtų tą patį unikalių savybių kaip spiralė. 8

Jūrų kriauklių struktūra

Mokslininkai, tyrę vidaus ir išorinė struktūra jūrų dugne gyvenančių minkštakūnių moliuskų kriauklėse buvo rašoma:

„Vidinis kriauklių paviršius yra nepriekaištingai lygus, o išorinis padengtas šiurkštumu, nelygumais. Moliuskas buvo kriauklėje ir tam turėjo būti vidinis kriauklės paviršius būti idealiai lygūs. Išoriniai apvalkalo kampai-lenkimai padidina jo stiprumą, kietumą ir taip padidina stiprumą. Džiugina kriauklės (sraigės) struktūros tobulumas ir nuostabus pagrįstumas. Spiralinė kriauklių idėja yra tobula geometrinė forma ir nuostabi savo nugludintu grožiu." 9

Daugumoje sraigių, kurios turi kiautus, kiautas auga logaritmine spirale. Tačiau neabejotina, kad šios neprotingos būtybės ne tik neįsivaizduoja logaritminės spiralės, bet ir neturi net paprasčiausių matematinių žinių, kad galėtų susikurti sau spiralės apvalkalą.

Bet kaip šios neprotingos būtybės galėtų pačios nustatyti ir pasirinkti idealią augimo ir egzistavimo formą spiralinio apvalkalo pavidalu? Ar šios gyvos būtybės, kurias mokslo pasaulis vadina primityviomis gyvybės formomis, galėtų apskaičiuoti, kad logaritminė apvalkalo forma būtų ideali jų egzistavimui?

būtinai bet ne, nes toks planas negali būti įgyvendintas be proto ir žinių. Tačiau nei primityvūs moliuskai, nei nesąmoninga gamta, kurią kai kurie mokslininkai vadina gyvybės žemėje kūrėja (?!)

Bandymas paaiškinti tokios net primityviausios gyvybės formos kilmę atsitiktiniu kažkokių natūralių aplinkybių sutapimu yra bent jau absurdas. Akivaizdu, kad šis projektas yra sąmoninga kūryba. Ir ši kūryba priklauso Allahui - pasaulių Viešpačiui:

"... Mano Viešpats, savo beribėmis žiniomis, apima viską. Ar gali būti, kad daugiau apie tai negalvotumėte?" (Sura „Al Ana'a m“, 6:80)

Biologas seras D'arky'as Thompsonas šią kriauklių augimo formą vadina „gnomo augimo forma“. Seras Thompsonas pateikia tokį komentarą:

"Nėra paprastesnės sistemos nei jūros kriauklių augimas, kurie auga ir plečiasi proporcingai, išlaikydami tą pačią formą. Kas nuostabiausia, kiautas auga, bet niekada nekeičia formos." 10

Kelių centimetrų skersmens nautilus yra ryškiausias nykštukinio augimo pavyzdys. S. Morrison aprašo šį nautilus augimo procesą, kurį net žmogaus protui suplanuoti atrodo gana sunku:

"Nautilo kiauto viduje yra daug skyrių-patalpų su perlamutrinėmis pertvaromis, o pati kriauklė viduje yra spiralė, besiplečianti nuo centro. Augant nautilui, priešais kriauklą išauga dar vienas kambarys, bet jau didesnis nei ankstesnis, o likusios už kambario pertvaros padengtos perlamutro sluoksniu.Taigi spiralė visą laiką proporcingai plečiasi. 11

Štai tik keletas spiralinių apvalkalų tipų, kurie turi logaritminę augimo formą pagal jų mokslinius pavadinimus:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Visos aptiktos fosilijos kriauklių liekanos taip pat turėjo išsivysčiusią spiralės formą.

Tačiau logaritminė augimo forma gyvūnų pasaulyje randama ne tik moliuskams. Antilopių, laukinių ožkų, avinų ir kitų panašių gyvūnų ragai taip pat vystosi spiralės pavidalu pagal aukso pjūvio dėsnius. 12

Aukso pjūvis žmogaus ausyje

Žmogaus vidinėje ausyje yra organas Cochlea ("Sraigė"), kuris atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją. Ši kaulą primenanti struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat sukurta sraigės pavidalu, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73º 43'.

Gyvūnų ragai ir iltys vystosi spiralės pavidalu.

Dramblių ir išnykusių mamutų iltys, liūtų nagai ir papūgų snapai yra logaritminės formos ir primena ašies formą, kuri linkusi virsti spirale. Vorai visada sukasi savo tinklus logaritmine spirale. Mikroorganizmų, tokių kaip planktonas (globigerinae, planorbis, vortex, terebra, teilae ir trochida) struktūra taip pat yra spiralės formos.

Aukso pjūvis mikropasaulių struktūroje

Geometrinės formos neapsiriboja tik trikampiu, kvadratu, penkiakampiu ar šešiakampiu. Jei šias figūras įvairiais būdais sujungsime tarpusavyje, gausime naują trimatį geometrines figūras. To pavyzdžiai yra figūros, tokios kaip kubas arba piramidė. Tačiau be jų yra ir kitų kasdienybėje nesutiktų trimačių figūrų, kurių vardus girdime gal pirmą kartą. Tarp tokių trimačių figūrų galima išskirti tetraedrą (taisyklinga keturkampė figūra), oktaedrą, dodekaedrą, ikosaedrą ir kt. Dodekaedras susideda iš 13 penkiakampių, ikosaedras – iš 20 trikampių. Matematikai pastebi, kad šias figūras matematiškai labai lengva transformuoti, o jų transformacija vyksta pagal aukso pjūvio logaritminės spiralės formulę.

Mikrokosme visur vyrauja trimatės logaritminės formos, sukurtos pagal auksines proporcijas. Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geometrinę ikosaedro formą. Bene garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltyminis apvalkalas susidaro iš 252 vienetų baltymų ląstelių, išsidėsčiusių tam tikra seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 baltymų ląstelių vienetų penkiakampės prizmės pavidalu, o iš šių kampų tęsiasi į smaigalį panašios struktūros.

Auksinis pjūvis virusų struktūroje pirmą kartą buvo atrastas šeštajame dešimtmetyje. mokslininkai iš Londono Birkbeck koledžo A.Klugas ir D.Kasparas. 13 Polio virusas pirmasis parodė logaritminę formą. Nustatyta, kad šio viruso forma yra panaši į Rhino 14 virusą.

Kyla klausimas, kaip virusai formuoja tokias sudėtingas erdvines formas, kurių struktūroje yra aukso pjūvis, kurį gana sunku sukonstruoti net mūsų žmogaus protu? Šių virusų formų atradėjas virusologas A. Klugas komentuoja:

„Su daktaru Kasparu įrodėme, kad sferiniam viruso apvalkalui optimaliausia forma yra ikosaedrinio tipo simetrija. Ši tvarka sumažina jungiamųjų elementų skaičių... Dauguma Buckminster Fuller geodezinių pusrutulio formos kubelių yra sukonstruoti panašiu geometriniu principu. 14 Tokių kubelių montavimas reikalauja itin tikslios ir detalios paaiškinimo schemos. Tuo tarpu nesąmoningi virusai patys sukuria tokį sudėtingą elastingų, lanksčių baltymų ląstelių vienetų apvalkalą. 15

Studijuojant mokyklinius dalykus, galima svarstyti įvairiose žinių srityse perimamų sąvokų ryšį su natūralioje aplinkoje vykstančiais procesais; išsiaiškinti ryšį tarp matematinių dėsnių ir gamtos raidos savybių bei modelių.

Nuo seniausių laikų stebint supančią gamtą ir kurdami meno kūrinius, žmonės ieškojo raštų, kurie leistų apibrėžti grožį. Tačiau žmogus ne tik kūrė gražius objektus, ne tik jais žavėjosi, jis vis dažniau uždavė sau klausimą: kodėl šis daiktas gražus, jam patinka, o kitas, labai panašus, jam nepatinka, jo negalima pavadinti gražiu? Tada iš grožio kūrėjo jis tapo jos tyrinėtoju. Jau įtraukta Senovės Graikija grožio esmės tyrimas, gražuolė susiformavo į atskirą mokslo šaką – estetiką. Grožio studijos tapo gamtos harmonijos, pagrindinių jos organizavimo dėsnių studijų dalimi.

Skulptūros grožis, šventyklos grožis, simfonijų, eilėraščių, paveikslų grožis. Ką jie turi bendro? Ar galima lyginti šventyklos grožį su nakturno grožiu? Pasirodo, įmanoma, jei randami vienodi grožio kriterijai, atrandamos bendros grožio formulės, vienijančios pačių įvairiausių objektų grožio sampratą - nuo ramunėlės žiedo (ar ne gražu?) iki grožio nuogas žmogaus kūnas. Bandymai rasti panašius grožio kriterijus įvairiose meno ir gamtos formose yra estetikos objektas.

„Grožio formulės“ jau žinomos daug. Ilgą laiką žmonės savo kūryboje renkasi taisyklingas geometrines figūras – kvadratą, apskritimą, lygiašonį trikampį, piramidę ir kt. Simetriškoms figūroms dažniausiai pirmenybė teikiama ne simetriškoms. Įvairių struktūrų proporcijose pirmenybė teikiama sveikųjų skaičių santykiams. Žmogus paprastai teikia pirmenybę tvarkai, o ne netvarkai, paprastumui, o ne sudėtingumui, tikrumui, o ne netikrumui. Akivaizdu, kad tai yra paties gyvenimo, kaip gamtos reiškinio, esmė – netvarkos tvarka.

Iš daugybės proporcijų, kurias žmonės nuo seno naudojo kurdami harmoninius kūrinius, yra viena, vienintelė ir nepakartojama, kuri turi unikalių savybių. Jį atitinka toks visumos padalijimas į dvi dalis, kai didesnės ir mažesnės dalies santykis lygus visumos ir didesnės dalies santykiui. „Ši proporcija buvo vadinama skirtingai - „auksinis“, „dieviškasis“, „auksinis pjūvis“, „auksinis skaičius“. Man labiau patiko naudoti vardą, nes jis tiksliausiai atspindi šios sąvokos esmę.

„Auksinės proporcijos“ principas man ir mano bendraamžiams sukėlė didelį susidomėjimą. Šios žinios padeda suprasti, kad už sąmonės ribų yra kažkas gana materialaus, gana objektyvaus, kas, nebūdamas objektyviu grožiu, sukelia mumyse grožio jausmą. „Auksinis santykis“ tinka bet kuriam žmogui, kad ir koks jis būtų. Su bendraamžių pagalba galėjau atlikti nedidelį tyrimą, kuris padėjo įrodyti šį principą.

„Auksinė pjūvis“ geometrijoje

Dabar neįmanoma patikimai nustatyti asmens, kuris pirmasis atrado auksinį pjūvį, nm, nei laiko, kada tai įvyko. Akivaizdu, kad jis buvo ne kartą atrastas, pamirštas ir iš naujo atrastas skirtingas laikas ir į įvairios šalys. Daugelis tyrinėtojų aukso pjūvio atradėju laiko graikų matematiką ir filosofą Pitagorą.

Su Pitagoro vardu iš mokyklos siejame teoremą trikampio kraštinėse - „kvadrato teoremą“. Ši teorema yra stebėtinai graži: „Kipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai“. Moksle tokių gražių ir paprastų formulių rasite nedaug.

Daugelis matematinių šablonų, kaip sakoma, „guli paviršiuje“, juos reikėjo pamatyti analitinio proto, logiškai mąstančiam žmogui. Ir to negalėjo paneigti senovės pasaulio filosofai; juk visos jų mokslinės žinios buvo paremtos daiktų ir reiškinių analize, ryšio tarp jų nustatymu. Mūsų laikais net sunku įsivaizduoti, kad mokslo raida įmanoma nenaudojant eksperimento, tačiau toks buvo senovės pasaulio mokslas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, paprasčiausią stačiakampį trikampį, kurio kojų santykis yra 1:2. Šiame trikampyje mažosios kojos reikšmė lygi 1, o didesnės – 2. Pagal Pitagoro teoremą hipotenuzės ilgis jame lygus √5. Šis trikampis buvo gerai žinomas m senovės pasaulis, daugelyje to laikotarpio pastatų vyrauja proporcijos, lygios stačiojo trikampio, kurio kraštinės yra 1:2:√5, kojų ir hipotenuzės santykiui.

Kraštinių santykis a, b, c duotas trikampis labai paprasta ir suprantama kiekvienam, išmanančiam geometrijos pagrindus: a/b = 1:2, c/a = √5:1, c/b = √5/2. Tačiau šie dydžiai taip pat reiškia dar vieną santykį (a+b)/b = (1+√5)/2, lygų 1,618033. Tai aukso pjūvis, kuris dažniausiai žymimas raide F. Kaip matote, ši nuostabi proporcija tiesiogine prasme gulėjo paviršiuje – tereikėjo tai pastebėti.

Geometrijoje yra įvairių aukso pjūvio konstravimo būdų, ir būdinga, kad statybai pakanka paimti paprasčiausias geometrines figūras - kvadratą arba stačiakampį trikampį, kurio kojų santykis yra 1: 2. Jei iš kvadrato vidurio nubrėžiame apskritimą, kurio spindulys lygus pusiau kvadrato įstrižai, tada jo sankirtoje su išplėstine kvadrato kraštine gauname atkarpą, kuri yra mažesnė už kvadrato kraštinę. su auksiniu pjūviu. Dar lengviau sukurti aukso pjūvį stačiakampyje 1:2:√5. Pakanka nubrėžti du apskritimo lankus, susikertančius viename hipotenuzės taške, ir didžioji kojelė bus padalinta pagal aukso pjūvį.

Trikampis, kurio kraštinės yra 3:4:5, yra vienas iš daugelio stačiakampių trikampių, senovėje vadinamų „dievišku“, kurio santykis yra teisingas: a2 + b2 \u003d c2, kur a, b, c yra sveikieji skaičiai . Štai keletas iš šių trikampių:

52=42+32; 132=122+52; 252=242+72.

Iš esmės šių trikampių kraštinių santykio dėsniai išreiškia teoremą, kuri vėliau tapo žinoma kaip Pitagoro teorema. Ar Pitagoras žinojo tokius trikampius, ar atrado juos iš naujo, ar, pereidamas nuo šių „dieviškų“ trikampių prie kitų, nurodytą formulę išplėtė visiems stačiakampiams trikampiams, atrasdamas neracionalius skaičius ir aukso pjūvį?

Į šiuos klausimus niekas nebegali atsakyti. Mokslo istorijoje neretai pasitaiko atvejų, kai atradimus pamiršta, pameta ir atgaivina kiti mokslininkai, o apie tikrąją jų autorystę galima tik spėlioti. Kaip pažymi Matila Ghica, kinai jau XI amžiuje prieš Kristų buvo susipažinę su teorema 52=32+42.

Plutarchas pažymi, kad trikampio, kurio kraštinės yra 5:4:3, plotas yra 6, o šio ploto kubas yra lygus trikampio kraštinių kubų sumai: 63=53+43+33. Buvo pasiūlyta tarp invariantų naudoti santykį 52=42+32, kad būtų sukurtas pirmasis „loginis kontaktas prasidėjus tarpplanetinio signalizavimo erai“.

Nesunku įrodyti, kad yra tik vienas stačiakampis trikampis, kurio kraštinės (x, y, z) sudaro geometrinę progresiją: z/y=y/x. Šiame trikampyje hipotenuzės ir mažosios kojos santykis yra lygus aukso pjūviui Ф, o kiti du kraštinių santykiai (z / y ir y / x) atitinka aukso pjūvio kvadratinę šaknį. Tai nuostabus „auksinis“ trikampis, tai ryški aukso pjūvio išraiška.

Apsvarstykite vieną lygiašonių trikampių šeimą, sudarytą pagal aukso pjūvio taisykles: smailieji – 36˚, 72˚ ir 72˚ kampais ir bukas – 108˚, 36˚ ir 36˚ kampais. Iš paveikslo matyti, kad smailaus kampo trikampis ABC yra padalintas į tris auksinio pjūvio trikampius. Juose kraštinės lygios: AD=1, DB=Ф, BC=AB=Ф+1=Ф2, AC=AE=Ф.

Įdomus dar vienas nuostabus trikampis, kuriame pasireiškia aukso pjūvis. Šiame trikampyje kampai yra 90˚, 54˚ ir 36˚, o jų santykis yra 5:3:. Šiame stačiakampiame trikampyje didžiausios kojos ir hipotenuzės santykis yra lygus pusei aukso pjūvio Ф / 2. Tai atitinka lygtį Ф/2=cos 36˚. Tai reiškia formulę, susiejančią auksinį pjūvį su skaičiumi π:

Ф = (√5+1)/2 = 2 cos π/5

Ši paprasta ir savaip graži formulė sujungia skaičių „pi“ su aukso pjūviu. Ar tai neliudija esminės aukso pjūvio prigimties, jo santykio su tokiu universaliu skaičiumi kaip „pi“? Būdinga tai, kad nagrinėjamame trikampyje kampų santykis atitinka mažųjų sveikųjų skaičių santykį 5:3:2 (kai vieno kampo reikšmė lygi kitų dviejų sumai), o kraštinių santykiai yra nesuderinami. . Kas slypi šioje „skaitinių santykių paslaptyje“?

Formulėje Ф \u003d (√5 + 1) / 2 \u003d 2 cos π / 5 skaičius „penki“ pasitaiko du kartus. O 36˚ kampas yra kampas penkiakampio žvaigždės daugiakampio viršūnėse. Akivaizdu, kad neatsitiktinai skaičius "penki" tarp pitagoriečių buvo laikomas šventu, o penkiakampė žvaigždė - Pitagoro filosofų ir matematikų sąjungos simboliu. Taip pat senovėje jis buvo laikomas gyvybės simboliu. Pentaedro ir žvaigždės penkiakampio geometriją tyrinėjo daugelis matematikų.

Paveiksle tarp segmentų HJ, EH, EJ, EB kiekvieno sekančio ir ankstesnio santykis yra lygus auksiniam pjūviui. Pacioli rasta penkiose platoniškose kietosiose medžiagose - segmentuose EB / EA, AJ / JK, AK / AJ. Jame taip pat yra trikampis, kurio kampai yra 90˚, 54˚ ir 46˚, kuris buvo aptartas aukščiau.

1509 m. Venecijoje Leonardo da Vinci amžininkas ir draugas Luca Pacioli išleido knygą „Dieviškoji proporcija“. Pacioli rasti penkiose platoniškose kietosiose medžiagose – taisyklinguose daugiakampiuose (tetraedras, kubas, oktaedras, ikosaedras ir dodekaedras) trylikoje „dieviškosios“ proporcijos apraiškų. Skyriuje „Dvyliktoji, beveik antgamtinė savybė“ jis svarsto taisyklingą ikosaedrą. Kiekvienoje ikosaedro viršūnėje susilieja penki trikampiai, sudarydami taisyklingą penkiakampį. Jei sujungsite bet kurias dvi priešingas ikosaedro briaunas, gausite stačiakampį, kuriame didžioji kraštinė yra susijusi su mažesne kraštine, o kraštinių suma yra susijusi su didžiąja.

Taigi aukso pjūvis pasireiškia penkių taisyklingų daugiakampių geometrijoje, kurios, pasak senovės mokslininkų, yra visatos pagrindas. Platonas tikėjo, kad keturių elementų, iš kurių yra pastatytas pasaulis (ugnies, žemės, oro ir vandens) atomai yra taisyklingos išgaubtos daugiakampės formos – tetraedras, kubas, oktaedras, ikosaedras ir visas pasaulis yra pastatytas kaip visuma. dodekaedro pavidalu.

Fibonačio skaičiai.

Matematikos pastangomis aukso pjūvis buvo paaiškintas, ištirtas ir giliai išanalizuotas. Atrodytų, kad klausimas išspręstas. Beliko tik tyrinėti šio dėsningumo apraiškas gamtoje, ieškoti praktinio pritaikymo. Galbūt taip būtų nutikę, jei matematikos istorijoje nebūtų atsiradusi viena nepakeičiama problema.

Viduramžiais pasirodė matematikos knyga, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo iš Pinzos. svarbus įvykis visuomenės moksliniame gyvenime. Knygoje „Liber abacci“ („Abakų knyga“) buvo surinkta informacija apie tuo metu žinomą matematiką, pateikti įvairių uždavinių sprendimo pavyzdžiai. Ir tarp jų buvo paprasta. Praktinės vertės iniciatyviems italams netrūkstanti triušių problema: „Kiek porų triušių per vienerius metus gimsta iš vienos poros? Toliau problemoje aiškinama, kad triušių prigimtis tokia, kad per mėnesį jų porai atsiveda kita pora, o triušiai pradeda veistis nuo antro mėnesio po gimimo. Išsprendę šią paprastą užduotį, gavome skaičių 1, 2, 3, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ir pan. Ši skaičių serija vėliau buvo pavadinta Fibonačio vardu, kaip buvo vadinamas Leonardo (Fibonacci yra sutrumpintas filius Bonacci, tai yra Bonacci).

Kuo nuostabūs Leonardo Fibonačio gauti skaičiai? Apsvarstykite šią skaičių seriją: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 277, 610, 987, 1597 ir pan. Šioje serijoje kiekvienas paskesnis skaičius yra dviejų ankstesnių skaičių suma.

Tokios sekos, kuriose kiekvienas narys yra ankstesnių funkcija, matematikoje vadinamos pasikartojančiomis arba pasikartojančiomis sekomis. Fibonačio skaičių serija taip pat kartojasi, o šios serijos nariai vadinami Fibonačio skaičiais. Paaiškėjo, kad jie turi nemažai įdomių ir svarbių savybių.

Praėjus keturiems šimtmečiams po to, kai Fibonacci atrado skaičių eilę, I. Kepleris (1571 - 1630) nustatė, kad gretimų skaičių santykis riboje linkęs į auksinį pjūvį. Matematikos kalboje tai išreiškiama formule Un+1/Un→Ф kaip n→ ∞. Čia Ф=1,61803 yra auksinis pjūvis.

Po šimto metų anglų mokslininkas R. Simpsonas matematiškai griežtai įrodė, kad gretimų Fibonačio skaičių santykis riboje linkęs į auksinį pjūvį, lygų (√5+1)/2. Ir tik 1843 metais matematikas J. Binet rado formulę, kaip rasti bet kurį Fibonačio skaičių serijos narį.

Apibrėžkime gretimų Fibonačio skaičių santykį: jis lygus 2, 1,5; 1,66; 1,6; 1,625; 1,615. , 1,619, 1,6181 ir tt Gauti santykiai tarsi svyruoja apie pastovią vertę, palaipsniui artėjant prie jos, skirtumas tarp gretimų koeficientų mažėja. Tai aiškiai matyti grafike. Gretimų Fibonačio skaičių santykis riboje linkęs į vertę, artimą 1,618. , kuris yra auksinis pjūvis.

Gretimų Fibonačio skaičių santykis atspindi virpesių procesą, svyravimą, griežtai periodišką šių skaičių santykio skirtumo mažėjimą mažėjant amplitudei, slopintą šių santykių svyravimą, palyginti su reikšme Ф – aukso pjūviu.

Reikšmė Ф laikoma neracionaliu skaičiumi, tai yra, ji negali būti išreikšta neproporcingai sveikųjų skaičių santykiais. Tačiau plečiantis Fibonačio skaičių eilei, jų santykis vis labiau priartės prie aukso pjūvio (tiksliau, be galo arti jo). Pasirodo, racionalioji reikšmė Ф yra lygi dviejų be galo didelių skaičių santykiui, tai yra, ji yra proporcinga. Čia pasirodo dar vienas įdomus Fibonačio sveikųjų skaičių ir neracionalaus auksinio pjūvio santykio aspektas.

O dabar pridėkime Fibonačio skaičius, esančius per vieną. Gauname naują skaičių eilutę: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123 ir tt Kaip matote, gauname ir pasikartojančią skaičių seką; gretimų skaičių santykis čia taip pat linkęs į auksinį pjūvį riboje.

Šią išvestinę pasikartojančią skaičių seką iš Fibonačio serijos galima gauti kitu būdu. Nuosekliai taisyklingai dalijant vėlesnius Fibonačio eilės skaičius iš ankstesnių, gauname: 1:1=3; 3:1=3; 8:2=4; 21:3=7; 55:5=11 ir tt, tai yra sukurtos rekursinės serijos, vadinamos „Luko serijomis“. Sudėjus Lucas eilutes, esančias per vieną skaičių, gauname naują išvestinę pasikartojančią eilutę: 15, 25, 40, 65, 105 ir tt Padalinę šios serijos skaičius iš penkių, gauname pirminę Fibonačio skaičių seriją.

Fibonačio skaičiai turi daug įdomių savybių. Taigi, visų skaičių suma eilutėje nuo pirmojo iki Un yra lygi kitam po vieno skaičiaus (Un + 2) be vienybės. Pavyzdžiais lengva parodyti ir patikrinti, kad Fibonačio skaičių, esančių per vieną, santykis yra linkęs į aukso pjūvio kvadratą, lygų 2,618033 Nuostabi savybė! Pasirodo, F + 1 = = F2. Tačiau šis santykis vyksta tobulame stačiakampiame trikampyje, kurio kampas yra apie 51˚50 ΄. Ta pati lygtis jungia visumos segmentus, padalintus į dvi dalis pagal aukso pjūvį. Nematomas, bet stiprus bendrų raštų jungtis, sujungta į logiškai vieningą darnią sistemą, tobulos geometrinės figūros, Egipto piramidės, triušių dauginimosi problema.

Prancūzų matematikas Pascalis (1623 - 1662) pastatė trikampio formos skaičių lentelę; joje kiekviena eilutė gaunama iš ankstesnės, padvigubinant kiekvieną eilutėje esantį skaičių. Ši lentelė vadinama „Paskalio trikampiu“. Skaičių suma n-oji eilutė Paskalio trikampis lygus 2n, ty skaičių sumos eilutėse didėja pagal laipsnio dėsnį, padvigubinant kiekvienoje paskesnėje eilutėje.

Toks Paskalio trikampio konstrukcijos pobūdis atitinka paprasčiausią organizmų dauginimąsi biologijoje, pavyzdžiui, ląstelių dalijimąsi. Kiekviena ląstelė dėl dalijimosi virsta dviem ląstelėmis, kurios savo ruožtu dalijasi į dvi ląsteles ir kt.

Paskalio trikampis turi daug įdomių savybių. Visos linijos yra simetriškos. Tarp stulpeliuose esančių skaičių sumų nustatomas toks ryšys: jei iš didesnio skaičiaus atimame kitą mažesnį skaičių, gauname kitą sumų eilės skaičių. Nustatomas ryšys tarp Fibonačio serijos skaičių ir Paskalio trikampio. Jei nubrėžiate Paskalio trikampio įstrižainę, šių įstrižainių skaičių sumos sudarys Fibonačio skaičių seriją.

Triušių problema akivaizdžiai išreiškia tam tikrą bendrą augimo modelį, būdingą visiems organizmams, pačiai gyvybei. Todėl Fibonačio skaičių eilės dėsningumai ir jų generuojamas aukso pjūvis turi vienaip ar kitaip pasireikšti įvairiausiuose organizmuose: jų sandaroje, evoliucijoje ir funkcionavime. Iš tiesų, mokslininkų tyrimai įvairiose gamtos srityse leido jose atrasti raštus, atitinkančius Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį. Kur tik nerado Fibonačio skaičių! Ir menininkų paveiksluose, ir kardiogramoje, ir dirvožemio struktūroje, ir smegenų veikloje

Šiuo metu metodikoje naudojamas aukso pjūvio metodas ir „Fibonačio metodas“. moksliniai tyrimai. Paaiškėjo, kad šie metodai yra veiksminga priemonė nuosekli optimalių sprendimų paieška, kai kurių funkcijų ekstremumas. Juk gamta daugeliu atvejų veikia pagal griežtai apibrėžtą sistemą, optimalių struktūrinių būsenų paieškas realizuodama ne „aklai“, o sunkiau, pasitelkdama „Fibonačio metodą“.

Grožio formulė

Kiek menininkų, poetų, skulptorių, tikrų grožio žinovų žavėjosi žmogaus kūno grožiu! „Gražiausi žmonių kūnai visose pozicijose, drąsūs iki neįtikėtinumo, liekni muzikai – taip, tai visas pasaulis, prieš kurio atskleidimą visomis gyslomis teka nevalingas malonumo ir aistringos pagarbos šaltis“, – rašė IS. Turgenevas. „Žmogaus kūnas yra geriausias grožis žemėje“, - teigė N. G. Černyševskis. „Nuogas kūnas man atrodo gražus. Man tai yra stebuklas, pats gyvenimas, kuriame negali būti nieko bjauraus“, – sakė O. Rodinas.

Puikūs skulptorių, tokių kaip Phidias, Poliktetus, Miron, Praxiteles, darbai ilgą laiką ir pagrįstai buvo laikomi žmogaus kūno grožio etalonais, harmoningos kūno sudėjimo pavyzdžiais. Kurdami savo kūrinius, graikų meistrai naudojo aukso pjūvio principą. Žmogaus kūno sandaros auksinio pjūvio centras yra tiksliai ties bamba.

„Grožio formulė“ – pačia tiesiogine, matematine prasme – daugeliui antropologų tapo daugelio metų darbo tikslu. Tokių „formulių“ yra daug.

Tūkstančius metų žmonės bandė rasti matematinius žmogaus kūno proporcijų modelius, ypač gerai susiformavusio, harmoningo žmogaus. Kūno sudėjimo harmonija sukuria visų jo dalių proporcingumo įspūdį, kurį galima išreikšti paprastais skaitiniais santykiais. Norint išanalizuoti šiuos santykius, reikėjo matavimo vieneto, tam tikros kūno dalies.

Taip pat į Senovės Egiptas kūno matavimo vienetu imtas pėdos ilgis, vėlesniais laikais - plaštakos vidurinio piršto ilgis. Nesunku įsitikinti, kad žmogaus ūgis yra vidutiniškai 7 pėdos ilgiai. Renesanso laikais susidomėjimas žmogaus kūno proporcijų tyrinėjimu išaugo. Leonardo da Vinci atliko daugybę matavimų, iš kurių jis apskaičiavo vidutinį žmogaus dydį. Jis paėmė galvą, bet ne visą kaukolės ilgį, o tik veido ilgį, kaip kūno proporcijų matavimo vienetus. O Diureris kaip matavimo vienetą paėmė visą kaukolės ilgį. Prancūzų anatomas Richet nustatė 7,5 karto ilgesnio už galvos dėsnį.

Daugelis žmogaus kūno proporcijų gali būti išreikštos sveikųjų skaičių santykiu, jei nepaisysime tam tikros klaidos. Norėdami tai padaryti, galite naudoti vidutinius mūsų šalies gyventojų statistinius duomenis. Šie vyrų ir moterų duomenys labai skiriasi ir pateikiami atskirai. Štai keletas iš jų (vyrų ir moterų): ūgis 1660 ir 1567, rankų ilgis - 723 ir 661, kojų ilgis - 900 ir 835, juosmens linijos aukštis - 1035 ir 976, kelių aukštis - 506 ir 467, pečių plotis - 380 ir 349, ūgis, sėdimas - 1310 ir 1211, šlaunų ilgis - 590 ir 568 mm. Naudojantis šia statistika, galima apskaičiuoti skirtingų kūno dalių proporcijas, pavyzdžiui, žmogaus ūgio atžvilgiu. Taip gautos proporcijos pasirodė labai artimos sveikųjų skaičių santykiams.

Praėjusio amžiaus viduryje anglų mokslininkas Edinburgas, remdamasis muzikiniu akordu, pastatė žmogaus kūno proporcijų kanoną. Įdomu tai, kad šio kanono požiūriu idealus vyriškas kūnas pasirodė, jo nuomone, atitinkantis mažorinį akordą, o moteriškas – minorinį.

Apskaičiuotos žmogaus kūno proporcijos išplečia antropometrinius duomenis, suteikia naujų charakteristikų analizei ir palyginimui, tačiau jos vis dar neturi fizinio turinio. Vienintelė išimtis yra ūgio ir juosmens aukščio santykis. Šis nuo seniausių laikų žinomas santykis tyrinėtas jau seniai, laikomas vienu pagrindinių žmogaus organizmo harmonijos kriterijų. Jis gavo įvairius pavadinimus: aukso pjūvis, aukso pjūvis, dieviškasis pjūvis ir kt. Iš daugybės proporcijų, kurias žmonės nuo seno naudojo kurdami harmoninius kūrinius, tik jis, vienintelis, turi unikalių savybių. Atlikau tyrimą, kurio tikslas – išsiaiškinti, ar šių dienų paaugliams galioja „auksinės“ proporcijos taisyklė. Šios lentelės duomenys rodo, kad „auksinė“ proporcija tikrai egzistuoja.

Aukso pjūvis užima pirmaujančią vietą Leonardo da Vinci ir Durer meno kanonuose. Pagal šiuos kanonus aukso pjūvis atitinka ne tik kūno padalijimą į dvi nelygias dalis juosmens linija. Žmogaus veidą gamta taip pat sukūrė pagal aukso pjūvio taisyklę. Taigi veido aukštis reiškia vertikalų atstumą tarp antakių lankų ir apatinės smakro dalies, kaip ir atstumas tarp apatinės nosies dalies ir apatinės smakro dalies reiškia atstumą tarp antakių lankų ir apatinės smakro dalies. lūpų kampučiai ir apatinė smakro dalis. Šis santykis yra lygus auksiniam pjūviui.

Žmogaus pirštai susideda iš trijų pirštakaulių: pagrindinės, vidurinės ir nagų. Visų pirštų, išskyrus nykštį, pagrindinių falangų ilgis yra lygus kitų dviejų pirštakaulių ilgių sumai. Tai lengva patikrinti naudojant paprastus matavimus. Taigi, pvz., mano rodomojo piršto pagrindinės falangos ilgis yra 4,2 cm.Vidurinės ir nago falangos ilgiai atitinkamai 2,3 ir 1,9 cm. Sudėjus paskutinius duomenis gauname pagrindinės pirštakaulės ilgį.

Be to, kiekvieno piršto visų pirštakaulių ilgiai yra susiję vienas su kitu pagal aukso pjūvio taisyklę.

Italų renesanso laikais aukso pjūvis buvo iškeltas į pagrindinio estetinio principo rangą, tačiau vėliau buvo užmirštas, o apie 200 metų jo niekas neprisiminė.

1850 metais vokiečių mokslininkas Zeisingas vėl atrado aukso pjūvį. Jis atrado, kad visą žmogaus kūną kaip visumą ir kiekvieną atskirą jo narį matematiškai sieja griežta proporcingų santykių sistema, tarp kurių svarbią vietą užima aukso pjūvis. Išmatavę tūkstančius žmonių kūnų, jis nustatė, kad vidutinė vyrų kūno proporcija yra artima 13:8 = 1,625, o moterų - 8:3 = 1,60. Panašios vertės buvo gautos analizuojant Rusijos gyventojų antropometrinius duomenis.

Būdinga tai, kad bamba padalija naujagimio kūną į dvi lygias dalis ir kūno proporcijos tik palaipsniui, iki augimo pabaigos pasiekia galutinį vystymąsi, atitinkantį aukso pjūvį (galima manyti, kad dvejų metų vaiko ūgis atitinka pusę būsimo suaugusiojo augimo). Visa tai suteikia pagrindo aukso pjūvį laikyti savotiška „harmonijos konstanta“, idealia riba, kurios žmogaus kūnas siekia vystydamasis. Tačiau žmogaus organizmui būdingas ne tik aukso pjūvio „siekimas“, bet ir nukrypimas nuo jo, siejamas su seksualiniais ir individualiais žmonių skirtumais, savotiškos „variacijos aukso pjūvio tema“. “

Visuotinai pripažįstama, kad aukso pjūvis yra ne tik gamtos ir meno kūrinių harmonijos matas, bet ir grožio pagrindas, estetinio pasitenkinimo šaltinis. Grožio, grožio samprata yra daug platesnė, variantiškesnė nei harmonijos ir tvarkos samprata. Tobula simetrija ir proporcingumas gali neatitikti grožio standartų, jie yra tobuli, bet mirę, ir tik įvairūs nukrypimai nuo šių statiškų kanonų gamtos ir menininko kūrybai suteikia gyvumo, savito individualumo, žavesio ir grakštumo. Todėl žmogaus kūno grožio samprata peržengia geometrinių kanonų rėmus, tačiau šie kanonai sudaro tam tikrą pagrindą, ant kurio kuriamas harmoningas ir gražus kūnas.

„Grožio formulės“ apibrėžimas labiausiai tinka „auksinės proporcijos“ sąvokai. Iš tiesų ši proporcija turi ryškiausių grožio harmonijos požymių. Ši proporcija tarsi žymi estetinių tyrinėjimų viršūnę, tam tikrą gamtos harmonijos ribą. Ši proporcija ne tik dominuoja daugelyje meno kūrinių, ji lemia daugelio organizmų vystymosi dėsningumus, jos buvimą pastebi dirvožemio mokslininkai, chemikai, geologai ir astronomai.

Toks aukso pjūvio universalumas nepadaro jo paprasto ir prieinamo studijoms. Daug šios „harmonijos konstantos“ esmės lieka nežinoma. Vis dar neaišku, kodėl gamta pirmenybę teikė šiai proporcijai, o ne visoms kitoms – ar ne dėl jos unikalumo?

Būdinga tai, kad aukso pjūvis atitinka visumos padalijimą į dvi nelygias dalis, todėl atitinka asimetriją. Kodėl jis toks patrauklus, dažnai patrauklesnis nei simetriškos proporcijos? Akivaizdu, kad ši proporcija turi ypatingą savybę. Visumą galima padalyti į begalę nelygių dalių, tačiau tik viena iš šių atkarpų atitinka aukso pjūvį. Matyt, šioje proporcijoje slypi viena esminių gamtos paslapčių, kuri dar turi būti atrasta.

Tačiau žmogaus grožis visais laikais buvo ilgų įvairių mokslų studijų objektas. Grožio idealai nėra amžini ir keičiantis epochoms sąvoka „gražus žmogus“ reiškia visai kitus dalykus. Žmogaus kūno grožis yra biologiškai tikslingas, bet ne amžinas. Taip pat savo darbe pavyko išsiaiškinti, kad žmogaus kūno grožis yra biologiškai tikslingas, bet ne amžinas, kad mums primetami šiuolaikiniai idealai prieštarauja biologiniams dėsniams.

Auksinis pjūvis yra matematinė sąvoka, jo tyrimas visų pirma yra mokslo uždavinys. Tai ir harmonijos bei grožio kriterijus, o tai jau yra meno kategorijos. Tačiau galiausiai menas yra ne priešas, o mokslo sąjungininkas.

„Auksinė proporcija“ augalų pasaulyje.

Kaip ir visose gamtos dalyse, taip ir floroje egzistuoja aukso pjūvis, ir jis neliko nepastebėtas. Augalų pasaulis yra gana įvairus, permainingas ir mobilus. Jei mineralų rūšių skaičius Žemės pluta skaičiuojama dviem tūkstančiais, augalų rūšių skaičius siekia milijonus. O kokia formų, tipų ir spalvų įvairovė! Atrodytų, kad tarp gyvosios ir negyvosios gamtos nėra nieko bendro, jie veikiau yra antipodai nei giminės. Tačiau nepamirškite, kad laukinė gamta atsirado iš negyvos gamtos ir pagal paveldimumo dėsnius turėjo išsaugoti kai kurias savo pirmtako savybes.

Ramybė negyvoji gamta visų pirma yra simetrijos pasaulis. Todėl simetriją paveldėjo ir laukinė gamta. Tiesiog pažiūrėkite į augalus ir pamatysite griežtai simetriškus žiedus ir lapus, daugybę vaisių ir net pačius augalus su simetriškai sraigtiškai išsidėsčiusiais lapais ant stiebo.

Praėjusio šimtmečio pabaigoje vokiečių botanikas F. Ludwigas atrado, kad kreivės, apibūdinančios kraštinių žiedų skaičių daugelio augalų rūšių krepšeliuose, yra ne lygios, o lūžusios, turi kelių viršūnių pobūdį, o pagrindinės maksimumos. Šių kreivių (režimai) atitinka gėlių skaičių 3, 5, 8, 13, 21, 34, tai yra, sudaro Fibonačio skaičių seką. Kad gautų pakankamai patikimus duomenis, F. Ludwigas ištyrė 18 573 gėles. Vienoje iš augalų rūšių paaiškėjo, kad pagrindiniai kraštinių žiedų skaičiaus maksimumai patenka į skaičius 13, 21 ir 34. Be pagrindinių maksimumų, kelių viršūnių sklype matomos ir ne tokios ryškios smailės. 26, 28 ir 39 gėlės.

Liudviko nustatytas dėsnis liudija, kad organų skaičius augaluose kinta ne nuolat, imant bet kokias reikšmes, o diskretiškai, šuoliais, pirmenybę teikiant vienai reikšmei kitai, o šios atskiros reikšmės yra Fibonačio skaičiai. Fibonačio skaičiai ypač aiškiai pasireiškia lapų išsidėstymu ant ūglių.

Yra pagrindo teigti, kad augaluose egzistuoja tam tikras organų skaičiaus ir išsidėstymo kintamumas, kuris matematiškai apibūdinamas Fibonačio skaičių seka, „sudėtyje esantis reguliariai besikeičiančio diskretiškumo žingsnio algoritmas – jo kvantas. organų skaičiaus“, – kaip rašė W. Schmidtas. Augalai vystosi aiškiai „pagal Fibonacci“, linkę į tam tikrą ribą, į harmoningą organizaciją. Skaičių santykis dviejose ribos eilėse linkęs į reikšmes 0,618034 arba 0,381966, ty į visumos dalis, padalintas į dvi dalis pagal auksinio pjūvio taisyklę.

Bet diskretiškas yra ne tik lapų išsidėstymas ant augalų kamieno, bet ir augalų augimas; augalams taikomas vidinis augimo kvantavimas. Čia pasireiškia dar mažai tyrinėti besivystančių augalų laikinio organizavimo modeliai. Su nepakitusiu ir palankiu išorinės sąlygos augimo intensyvumas bėgant laikui kinta: intensyvaus augimo periodus keičia santykinio poilsio, būklės stabilumo periodai. Galima daryti prielaidą, kad augimo periodo metu taip pat atsiras tam tikras modelis, kuris gali būti susijęs su Fibonačio skaičių serijos išsiskleidimu laiku. Iš tiesų augalų vystymesi yra pradžia ir pabaiga, yra kokybinis augimo tarpsnių skirtumas, jo kryptis tam tikros galutinės būsenos link.

Nenuostabu, kad aukso pjūvio ir Fibonačio skaičių dėsniai yra taip plačiai paplitę gamtoje, jie pasireiškia įvairiais išsivystymo lygiais. Šie modeliai yra įvairių sistemų harmoningo organizavimo kriterijai. Aukso pjūviu ir Fibonačio skaičiais – raktas į sistemų harmoniją, „auksinis raktas“, atveriantis duris į harmonijos ir grožio šalį.

Išvada.

Pitagoro idėja išreikšti gamtos dėsnius skaičių santykio, o mažų skaičių forma, pasirodė stebėtinai atkakli ir vaisinga. Daugelį amžių įvairių žinių sričių mokslininkai bandė išreikšti nusistovėjusius modelius paprastomis formulėmis ir skaitiniais ryšiais.

Tačiau giliai ištyrus paaiškėjo, kad gamta yra ir paprasta, ir sudėtinga, kad šios savybės yra vienybėje, o paprastumo ieškojimas išreiškia tik mokslo troškimą. Jei gerai pagalvotume, aišku, kad žmonės negali sukurti tokių sudėtingų gamtos modelių, kaip pati gamta. Jų tikslas yra pamatyti paprastą sudėtingumą, nepamirštant paprasto sudėtingumo.

Bendrųjų gamtos dėsnių paieška, be abejo, yra pati žavingiausia pažinimo sritis. Būtent tokiais dėsningumais pasireiškia gamtos ir mokslų vienovė. Tokios vienybės idėja, atsispindinti bendrų kiekybinių ir kokybinių santykių buvime, bendrų formulių ir skaičių egzistavimu, išlaikė savo aktualumą nuo Pitagoro iki šių dienų.

Aristotelis rašė, kad tarp pitagoriečių „skaičius yra visų dalykų esmė, o Visatos organizacija savo apibrėžimais apskritai yra harmoninga skaičių ir jų santykių sistema“. Po to, kai Alkmeonas pitagoriečių sistemoje „veikia kaip universalus pasaulio paaiškinimo raktas“.

Praėjo šimtmečiai ir tūkstantmečiai nuo Pitagoro, buvo atrasta tūkstančiai svarbiausių dėsnių ir dėsningumų, ir, kaip vėliau paaiškėjo, daugelis jų apibūdinami sveikaisiais skaičiais ir jų santykiais.

Per visą savo egzistavimo laiką žmogus savo darbe mokėsi iš gamtos. Jis gyveno su ja darniai. Dabartinis žmogus nutolęs nuo gamtos, praradęs ryšį su ja. Jo sukurta „aplinka“ yra disharmonijos pasaulis, svetimas natūraliai žmogaus prigimčiai.

Bet laikai keičiasi. Žmonės pradėjo suvokti, kad gamta anksčiau ar vėliau bus prarasta amžiams, todėl vėl grįžta į gamtą ir ieško harmonijos su ja, o tai yra neišvengiama. Gamta turi savo dėsnius ir modelius. O žmogus yra gamtos, jos kūrinijos dalis, todėl jai paklūsta. Pasiekęs buvusią harmoniją su gamta, žmogus pateks į naują evoliucinės raidos spiralės ratą!

Viskas pasaulyje sujungta viename prade: Bangų judėjime - Šekspyro sonetas, Gėlės simetrijoje - visatos pagrindai, O paukščių giesme - planetų simfonija. Gamta savo raidoje siekė kuo harmoningesnės organizacijos, kurios kriterijus yra aukso pjūvis, pasireiškiantis įvairiais lygmenimis – nuo ​​atominių kombinacijų iki aukštesniųjų gyvūnų kūnų sandaros.

Gamtoje yra daug dalykų, kurių negalima nei pakankamai giliai suprasti, nei pakankamai įtikinamai įrodyti, nei pakankamai sumaniai ir patikimai panaudoti praktikoje be matematikos pagalbos. F. Bekonas Skulptūros grožis, šventyklos grožis, paveikslų grožis, simfonijos, eilėraščiai... Ką jie turi bendro? Ar galima lyginti šventyklos grožį su nakturno grožiu? Pasirodo, įmanoma, jei randami vienodi grožio kriterijai, jei atrandamos bendros grožio formulės, vienijančios pačių įvairiausių objektų grožio sampratą - nuo ramunėlės žiedo (ar ne gražu?!) iki grožio. nuogo žmogaus kūno.

Iš daugybės santykių, kuriais žmonės nuo seno naudojasi kurdami harmoninius kūrinius, yra vienas, vienintelis ir nepakartojamas, turintis unikalių savybių. Jį atitinka toks visumos padalijimas į dvi dalis, kai didesnės ir mažesnės dalies santykis lygus visumos ir didesnės dalies santykiui. Ši proporcija vadinama kitaip- "auksas", "dieviškas". Seniausios žinios apie ją siekia senovės kultūros klestėjimo laikus. Aukso pjūvis minimas didžiųjų graikų filosofų Pitagoro, Platono, Euklido darbuose. Pitagoras, Platonas, Euklidas

Dailininkas ir inžinierius Leonardo da Vinci, visą gyvenimą studijavęs ir gyręs aukso pjūvį, jį vadina „aukso pjūviu“. Leonardo da Vinci vardas išliko iki šių dienų. Leonardas da Vinčis

Gamtos formavimosi principai Viskas, kas įgavo kažkokį pavidalą, formavosi, augo, siekė užimti vietą erdvėje ir išsilaikyti. Šis siekis išsipildo daugiausia dviem variantais – augant aukštyn arba plintant žemės paviršiumi ir besisukant spirale. Korpusas susuktas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek prastesnį ilgį nei gyvatės ilgis. Mažas dešimties centimetrų kiautas turi 35 cm ilgio spiralę.Spiralės gamtoje labai paplitusios. Auksinio pjūvio koncepcija bus neišsami, jei nekalbant apie spiralę.

Archimedo spiralė Archimedo dėmesį patraukė spirale susiraityto kiauto forma. Jis jį ištyrė ir išvedė spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama inžinerijoje.

Net Gėtė pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Spiralinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas seniai. Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose, ananasuose, kaktusuose ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad lapų išdėstyme ant šakos (filotaksės), saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose pasireiškia Fibonačio serija, taigi ir aukso pjūvio dėsnis. Voras sukasi savo tinklą spirale. Uraganas sklinda spirale. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė yra susukta į dvigubą spiralę. Gėtė spiralę pavadino „gyvenimo kreive“.

Tarp pakelės žolelių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo šaka. Štai pirmasis lapas. Procesas stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet yra trumpesnis nei pirmasis, vėl išsviedžia į erdvę, bet mažesnės jėgos, paleidžia dar mažesnį lapą ir vėl išmetimas. Jei pirmasis išskirtinis dydis yra 100 vienetų, tada antrasis yra lygus 62 vienetams, trečiasis yra 38, ketvirtasis yra 24 ir pan. Žiedlapių ilgis taip pat priklauso nuo aukso pjūvio. Augdamas, užkariaujant erdvę, augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai auksiniam pjūviui.

Žmogaus susidomėjimas gamta paskatino atrasti jos fizikinius ir matematinius dėsnius. Gamtinių formų grožis gimsta dviejų fizinių jėgų – gravitacijos ir inercijos – sąveikoje. Auksinis pjūvis yra matematinis šios sąveikos simbolis, nes išreiškia pagrindinius gyvybingo augimo taškus: spartų jaunų ūglių kilimą pakeičia lėtas augimas „iš inercijos“ iki pat žydėjimo momento. Atsižvelgiant į lapų išsidėstymą ant daugelio augalų bendro stiebo, galima pastebėti, kad tarp kas dviejų lapų porų aukso pjūvio vietoje yra trečia. Taškas C dalija atkarpą AB aukso pjūviu, taškas E dalija atkarpą DA aukso pjūviu ir pan. Auksinę spiralę galima pamatyti ir gamtos būtybėse.

Apsvarstykite sėklų išdėstymą saulėgrąžų krepšelyje. Jie išsirikiuoja išilgai spiralių, kurios sukasi tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Vidutinėje saulėgrąžoje į vieną pusę susuktų spiralių yra 13, į kitą – 21. Santykis 13/21 lygus j. Didesniuose saulėgrąžų žiedynuose atitinkamų spiralių skaičius didesnis, tačiau skirtingomis kryptimis besisukančių spiralių skaičiaus santykis taip pat lygus skaičiui j.

Panašus spiralinis išdėstymas matomas pušies kūgio žvynuose arba ananasų ląstelėse. Daugelio sraigių ir moliuskų kiautai sulankstyti auksine spirale, kai kurie vorai, pindami tinklą, susuka siūlus aplink centrą auksinėmis spiralėmis. Argali ragai sukasi auksinėmis spiralėmis.

Iš viso to, kas pasakyta, galime padaryti išvadas: pirma, aukso pjūvis yra vienas iš pagrindinių pamatinių gamtos principų; antra, žmogaus grožio idėja aiškiai formuojasi veikiant tam, kokią tvarką ir harmoniją žmogus mato gamtoje.

Ankstesnis straipsnis: Saulės nauda ir žala. Kada blogai degintis saulėje? Kas yra naudinga ir pavojinga saulės nudegimas: saulės poveikis žmonių sveikatai Kenksminga saulė Kitas straipsnis: Pasitikintis Žmogus