De distinta naturaleza, partiendo del oro. La sección áurea en las plantas Completado por: Kolchina L.A. gatos dorados fibonacci
Las plantas son verdaderos racionalistas. Y es precisamente esta propiedad de ellos la que explica por qué los representantes de diferentes familias de plantas invariablemente "aplican" los mismos principios arquitectónicos que resultaron ser los más exitosos. El principio del uso más racional del espacio está especialmente extendido en el mundo de las plantas, principalmente en la colocación de esos órganos vegetales, que luego se desarrollan en gran número. No importa si estamos hablando de hojas en un tallo, de escamas en conos de coníferas, de una abundancia de flores y luego semillas en grandes cestas de girasol, o de racimos de espinas en excrecencias verrugosas de cactus. Todos ellos en el proceso de su desarrollo se sitúan en el espacio de forma que ocupen en él un volumen mínimo. Así como las manos hábiles de un enólogo crean estructuras geométricas estrictas en una bodega a partir de botellas de vino almacenadas, los órganos de plantas completamente formados se organizan entre sí en un orden estrictamente definido.
Repitiéndose constantemente en la naturaleza y, sin embargo, percibida cada vez de una manera nueva, la imagen de la ubicación conveniente de sus elementos en el espacio no podía sino atraer la atención del hombre.
Voluntaria o inconscientemente, una persona toma el mundo que le rodea como modelo cuando busca cultivar en sí mismo sentimientos, juicios y gustos estéticos. La percepción artística de la forma por parte de una persona surge, se desarrolla y se enriquece en el proceso de comunicación constante y continua con todo lo que le rodea. Desde tiempos inmemoriales, todo lo sano y natural es bello, armonioso para nosotros, todo lo antinatural, anormal, enfermizo es percibido como algo feo, feo y disonante. Y si el mismo principio arquitectónico, que varía mil veces en el reino de la flora, aparece una y otra vez en el campo de visión de una persona, un eterno estudiante del mundo que lo rodea, entonces esto no pasa sin dejar rastro. En 1958, uno de los especialistas británicos en el campo de los estudios del comportamiento realizó un pequeño experimento con un grupo de personas. De un conjunto de rectángulos (foto 29), sugirió elegir aquellos que los sujetos consideraran los más hermosos en forma. La mayoría de los encuestados (35 por ciento) señalaron inmediatamente la figura, cuyos lados se correlacionan entre sí en la proporción de 21:34. Las cifras vecinas también fueron muy valoradas, respectivamente, el 20 por ciento de la cifra superior y el 19 por ciento, la inferior. Todos los demás rectángulos no recibieron más del 10 por ciento de los votos cada uno. Esta prueba no es solo un experimento puramente estadístico, sino que refleja un patrón que realmente existe en la naturaleza. Se sabe que en el mundo de las plantas se observan más a menudo las mismas proporciones. Sin embargo, las razones aquí ya no son de orden estético.
Foto 29. Un conjunto de rectángulos con diferentes relaciones de aspecto utilizados por un conductista inglés en un experimento. Más de un tercio de los encuestados consideró la figura más "hermosa" con una proporción de 21:34, lo que se conoce como la proporción áurea.
Para matemáticos y gente de arte, la proporción es 21:34, o más bien 0,618034...:1 (matemáticamente, este número se parece a:
Conocida como la proporción áurea). Desde el Renacimiento, los artistas han utilizado la proporción áurea en sus pinturas, que consideraban la expresión ideal de proporcionalidad y que podían observar en todas partes en la naturaleza. Pero, al parecer, en las bellas artes ya antes se guiaba inconscientemente por esta regla. En este caso, a menudo se tomaban valores aproximados, por ejemplo, 3:5 (=0,600) o 5:8 (=0,625). En la naturaleza, en la mayoría de los casos, se observa una correspondencia mucho más estricta. Entonces, en las canastas de girasoles, la desviación de la proporción áurea es solo cuatro milésimas de un por ciento.
Cómo se manifiesta la proporción áurea en la naturaleza se puede ver en las fotos 30 y 31. La primera de ellas muestra un cactus esférico Mammillaria lanata tomado de arriba. La fotografía muestra claramente la disposición en espiral de grupos de espinas, las llamadas areolas. El comienzo de las espirales cae sobre la parte apical del cactus. Aquí nacen nuevas areolas. A medida que crecen y se desarrollan, son estrictamente empujados en espiral hacia los bordes. Si observa detenidamente las fotografías, puede ver que las espirales van en dos direcciones: en el sentido de las agujas del reloj (hay 34 espirales de este tipo) y en el sentido contrario a las agujas del reloj (hay exactamente 21). Nuevamente 21:34. Esta es la proporción de los lados del rectángulo que los participantes en el experimento descrito anteriormente llamaron la forma más estética, la más hermosa. La proporción áurea (0,618034...:1) se mantiene aquí con una precisión del 0,0065 por ciento (0,617647:1).
Foto 30. Areolas (grupos de espinas) de un cactus Mammillaria lanata dispuestos estrictamente en espirales.
Foto 31a. El mismo cactus, disparado desde un lado. En esta pequeña zona de su superficie se aprecian claramente unas líneas rectas, pero que son las areolas. En la foto anterior parecían espirales.
Foto 31b. La cuadrícula de trama reproduce exactamente las líneas rectas que se muestran en la foto 31a. "Diseñado" según la proporción áurea.
Si miras el mismo cactus desde un lado (foto 31a), resulta que las espirales en un área relativamente pequeña de la superficie del cactus parecen líneas rectas que van en diagonal de arriba a abajo y de izquierda a derecha. derecha o de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda. La foto 31b muestra la cuadrícula de trama que construí, que transmite exactamente la disposición diagonal de las líneas del original. Se ve claramente que las rectas que van en una dirección tienen una pendiente menor que las rectas que van en la dirección opuesta. Con un átomo, las líneas con diferentes pendientes se organizan en la cuadrícula de modo que si comienza a contar diagonales a lo largo de una línea recta horizontal dibujada desde el punto 0/0, en general resulta que para 0.618 ... una diagonal inclinada hacia el derecha, hay una diagonal con pendiente izquierda. El lector tiene derecho a preguntarse: ¿es realmente así? Después de todo, no puede haber líneas rectas fraccionarias que puedan contarse. Pero la figura muestra claramente que al principio alrededor de dos diagonales, inclinadas hacia la derecha, hay tres, inclinadas hacia la izquierda (2: 3 = 0.666), luego aproximadamente tres con una pendiente hacia la derecha: cinco, inclinadas hacia la izquierda ( 5:8 = 0.625), etc. En este caso, el punto de intersección de las diagonales estará cuanto más cerca de la línea horizontal, más precisa sea la aproximación al número 0.618 ...
Si fuera posible dar un escaneo panorámico similar de la cuadrícula raster, que cubriría toda la planta, entonces se encontraría que para 21 diagonales con pendiente a la derecha hay 34 diagonales con pendiente a la izquierda, y que el final punto de nuestro barrido coincidiría exactamente con su inicio (punto 0/0). La red de líneas así creada resulta estéticamente tan óptima como un rectángulo construido según el principio de la sección áurea. El complejo de líneas, que tienen una inclinación bien definida y al mismo tiempo diferente, le da al campo de la imagen una tensión interna emocional y al mismo tiempo un estricto equilibrio. Estos principios construcción compositiva las obras de arte son inherentes a muchos lienzos de los viejos maestros de la pintura.
Sobre una reproducción del cuadro de Tiziano "Baco y Ariadna" (foto 32) superpusimos una cuadrícula de trama. Todas las líneas de perspectiva principales coinciden con el ráster. El artista colocó incluso muchos detalles y formas secundarios a la trama en ese campo de tensión interna sobre el que se construye todo el cuadro. Preste atención a la pequeña colina visible en el horizonte en el lado derecho del lienzo junto al campanario de la iglesia, en las ramas de un gran árbol, en el contorno de una nube cúmulo que se encuentra debajo de la constelación, en las patas traseras y el línea del abdomen de un gran gato salvaje, a la dirección del eje del jarrón volcado, a la mano derecha levantada del sátiro en una corona de enredaderas en el ángulo derecho del lienzo, y, finalmente, a la pata levantada del caballo.
Foto 32. Una cuadrícula de trama se superpone a la pintura Baco y Ariadna de Tiziano. Los principios de la sección áurea son la base de muchas de las obras de artistas del pasado.
A cualquiera que considere esto una cuestión de casualidad o crea que la pintura de Tiziano es una excepción, recomendamos transferir la cuadrícula de trama a papel transparente y luego superponerla sobre reproducciones de algunas pinturas de arte. Se sorprenderá de la frecuencia con la que las composiciones de las pinturas repetirán la dinámica de la sección áurea hasta su imagen especular.
Obras como La sibila libia de Miguel Ángel, La adoración de los pastores de Tintoretto, La Virgen de cuello largo de Parmigianino, Asia de Tiepolo (¡reflejo de espejo!), Las bacanales de Poussin, El juego de cartas de los campesinos de Brouwer o Fiesta del amor Watto (¡reflejo de espejo!), estas son algunas ejemplos que solo confirman el patrón general.
En todo momento, los artistas, consciente o inconscientemente, aprendieron a comprender las leyes de la percepción estética observando la naturaleza. Los pintores siempre han sido cautivados por la geometría simple y al mismo tiempo racional de las formas de crecimiento biológico.
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La proporción áurea es un principio simple que ayudará a que su diseño sea visualmente agradable. En este artículo, explicaremos en detalle cómo y por qué usarlo.
Una proporción matemática común en la naturaleza llamada Proporción áurea, o Proporción áurea, se basa en la Secuencia de Fibonacci (de la que probablemente haya oído hablar en la escuela o leído en El Código Da Vinci de Dan Brown), e implica una relación de aspecto de 1 :1.61.
Tal proporción se encuentra a menudo en nuestras vidas (conchas, piñas, flores, etc.) y, por lo tanto, una persona la percibe como algo natural, agradable a la vista.
→ La proporción áurea es la relación entre dos números en la secuencia de Fibonacci 
→ Trazar esta secuencia a escala da espirales que se pueden ver en la naturaleza.
Se cree que la proporción áurea ha sido utilizada por la humanidad en el arte y el diseño durante más de 4000 años, y posiblemente incluso más, según científicos que afirman que los antiguos egipcios utilizaron este principio en la construcción de las pirámides.
Ejemplos famosos
Como ya hemos dicho, la Proporción Áurea se puede ver a lo largo de la historia del arte y la arquitectura. Aquí hay algunos ejemplos que solo confirman la validez de usar este principio:
Arquitectura: Partenón
En la arquitectura griega antigua, la proporción áurea se usaba para calcular la proporción ideal entre la altura y el ancho de un edificio, el tamaño de un pórtico e incluso la distancia entre columnas. Posteriormente, este principio fue heredado por la arquitectura neoclásica.
Arte: La última cena
Para los artistas, la composición es la base. Leonardo da Vinci, como muchos otros artistas, se guió por el principio de la Proporción Áurea: en la Última Cena, por ejemplo, las figuras de los discípulos se ubican en los dos tercios inferiores (la mayor de las dos partes de la Proporción Áurea). ), y Jesús se coloca estrictamente en el centro entre dos rectángulos.
Diseño web: rediseño de Twitter en 2010
El director creativo de Twitter, Doug Bowman, publicó una captura de pantalla en su cuenta de Flickr explicando el uso de la proporción áurea para el rediseño de 2010. “Cualquiera que esté interesado en las proporciones de #NewTwitter, sepa que todo se hace por una razón”, dijo.
iCloud de manzana
El ícono del servicio iCloud tampoco es un boceto aleatorio. Como explica Takamasa Matsumoto en su blog (versión original en japonés) todo se basa en las matemáticas de la Proporción Áurea, cuya anatomía se puede ver en la figura de la derecha.
¿Cómo construir la Proporción Dorada?
La construcción es bastante sencilla, y comienza con la plaza principal:
Dibuja un cuadrado. Esto formará la longitud del "lado corto" del rectángulo.
Divide el cuadrado por la mitad con una línea vertical para obtener dos rectángulos.
En un rectángulo, dibuja una línea uniendo las esquinas opuestas.
Expanda esta línea horizontalmente como se muestra en la figura.
Crea otro rectángulo usando la línea horizontal que dibujaste en los pasos anteriores como base. ¡Listo!
Herramientas "doradas"
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SECCIÓN DORADA - LA MEDIDA DIVINA DE LA BELLEZA,
CREADO EN LA NATURALEZA.
La proporción áurea es la medida divina de la belleza, creada en la naturaleza.
Allah ha establecido una medida adecuada para todo. (Sura "En Talyak", 65:3)
... En la creación del Todomisericordioso (Alá), no encontrarás una parte
violaciones e inconsistencias. Vuelve a dar la vuelta a tus ojos, ya ves
¿eres algún tipo de defecto? Y de nuevo vuelves la mirada: volverá
humillado y vanidoso (no encontrando una fracción de inconsistencia).
(Sura Al Mulk, 67:3-4)
"... Si, desde el punto de vista del desempeño o función de un elemento, cualquier forma tiene proporcionalidad y es agradable, atractiva a la vista, entonces en este caso podemos buscar de inmediato cualquiera de las funciones del Número Áureo en él... El número áureo no es en absoluto una ficción matemática.De hecho, es un producto de la ley de la naturaleza, basado en las reglas de proporcionalidad.” 1
Averigüemos qué tienen en común las antiguas pirámides egipcias, la pintura de Leonardo da Vinci "Mona Lisa", un girasol, un caracol, una piña y los dedos humanos.
La respuesta a esta pregunta se esconde en los sorprendentes números que descubrió el matemático medieval italiano Leonardo de Pisa, más conocido con el nombre de Fibonacci. (nacido alrededor de 1170 - muerto después de 1228), matemático italiano. Viajando por Oriente, se familiarizó con los logros de las matemáticas árabes y contribuyó a su transferencia a Occidente. Las obras principales "Liber Abaci" (1202) - un tratado sobre aritmética (números indios) y álgebra (hasta ecuaciones cuadráticas), "Práctica Geométrica" (1220)).
Después de su descubrimiento, estos números comenzaron a llamarse el nombre del famoso matemático. La asombrosa esencia de la secuencia de Fibonacci es que cada número de esta secuencia se obtiene de la suma de los dos números anteriores. 2
Los números que forman la secuencia 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,... se denominan "Números de Fibonacci", y la secuencia en sí secuencia Fibonacci.
En los números de Fibonacci, hay uno muy característica interesante. Al dividir cualquier número de la secuencia por el número que le precede en la serie, el resultado siempre es habrá un valor que fluctúe alrededor del valor irracional 1.61803398875...
y cada dos veces ascendiendo o no alcanzándolo.
(Nótese un número irracional, es decir, un número cuya representación decimal es infinita y no periódica)
Además, después del número 13 en la secuencia, este resultado de la división se vuelve constante hasta el infinito de la serie ... Y fue este número constante de división en la Edad Media lo que se llamó la Divina Proporción, y ahora hoy se refiere a como proporción áurea, media áurea o proporción áurea.
En Algeb p e este número se denota con la letra griega phi ( F)
Entonces, Proporción áurea = 1: 1.618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
El cuerpo humano y la proporción áurea
Artistas, científicos, diseñadores de moda, diseñadores realizan sus cálculos, dibujos o bocetos basados en la proporción de la proporción áurea. Utilizan medidas del cuerpo humano, también creadas según el principio de la sección áurea. Leonardo da Vinci y Le Corbusier, antes de crear sus obras maestras, tomaron los parámetros del cuerpo humano, creado de acuerdo con la ley de la Proporción Áurea.
lo mas libro principal de todos los arquitectos modernos, el libro de referencia de E.Neufert "Diseño de edificios" contiene los cálculos básicos de los parámetros del cuerpo humano, que incluyen la proporción áurea.
Dimensiones varias partes nuestro cuerpo es un número muy cercano a la proporción áurea. Si estas proporciones coinciden con la fórmula de la proporción áurea, entonces se considera que la apariencia o el cuerpo de una persona tiene una constitución ideal. El principio de calcular la medida de oro en el cuerpo humano se puede representar en forma de diagrama. 3
M/m=1.618
El primer ejemplo de la sección áurea en la estructura del cuerpo humano:
Si tomamos el punto del ombligo como el centro del cuerpo humano, y la distancia entre el pie humano y el punto del ombligo como unidad de medida, entonces la altura de una persona equivale al número 1.618.
Además, hay varias proporciones doradas más básicas de nuestro cuerpo:
- la distancia de la punta de los dedos a la muñeca y de la muñeca al codo es 1:1.618
- la distancia desde el nivel del hombro hasta la coronilla y el tamaño de la cabeza es 1:1.618
- la distancia desde la punta del ombligo hasta la coronilla y desde el nivel del hombro hasta la coronilla es 1:1.618
- la distancia del punto del ombligo a las rodillas y de las rodillas a los pies es 1:1.618
- la distancia desde la punta del mentón hasta la punta del labio superior y desde la punta del labio superior hasta las fosas nasales es 1:1.618
- la distancia desde la punta del mentón hasta la línea superior de las cejas y desde la línea superior de las cejas hasta la coronilla es 1:1.618
La proporción áurea en los rasgos faciales humanos como criterio de belleza perfecta.
En la estructura de los rasgos faciales humanos, también hay muchos ejemplos que tienen un valor cercano a la fórmula de la sección áurea. Sin embargo, no se apresure inmediatamente tras la regla para medir los rostros de todas las personas. Porque las correspondencias exactas con la sección áurea, según científicos y gente del arte, artistas y escultores, existen solo en personas con una belleza perfecta. En realidad, la presencia exacta de la proporción áurea en el rostro de una persona es el ideal de belleza para el ojo humano.
Por ejemplo, si sumamos el ancho de los dos dientes frontales superiores y dividimos esta suma por la altura de los dientes, entonces, habiendo obtenido la proporción áurea, podemos decir que la estructura de estos dientes es ideal.
En el rostro humano, existen otras encarnaciones de la regla de la sección áurea. Estas son algunas de estas relaciones:
- Altura de la cara / ancho de la cara,
- El punto central de la unión de los labios a la base de la nariz/longitud de la nariz.
- Altura de la cara / distancia desde la punta del mentón hasta el punto central de la unión de los labios
- Ancho de la boca / ancho de la nariz,
- Ancho de la nariz / distancia entre las fosas nasales,
- Distancia entre pupilas / distancia entre cejas.
mano humana
Basta con acercar la palma de la mano a usted ahora y mirar cuidadosamente su dedo índice, e inmediatamente encontrará la fórmula de la sección dorada en él. Cada dedo de nuestra mano consta de tres falanges.
La suma de las dos primeras falanges del dedo en relación con la longitud total del dedo da la proporción áurea (a excepción del pulgar).
Además, la proporción entre el dedo medio y el meñique también es igual a la proporción áurea. cuatro
Una persona tiene 2 manos, los dedos de cada mano constan de 3 falanges (a excepción del pulgar). Cada mano tiene 5 dedos, es decir, 10 en total, pero con la excepción de dos pulgares bifalángicos, solo se crean 8 dedos según el principio de la proporción áurea. Considerando que todos estos números 2, 3, 5 y 8 son los números de la secuencia de Fibonacci.
La proporción áurea en la estructura de los pulmones humanos.
El físico estadounidense B.D. West y el Dr. A.L. Goldberger durante estudios físicos y anatómicos encontró que la sección dorada también existe en la estructura de los pulmones humanos. 5
La peculiaridad de los bronquios que componen los pulmones de una persona radica en su asimetría. Los bronquios están formados por dos vías respiratorias principales, una (izquierda) es más larga y la otra (derecha) es más corta.
Se encontró que esta asimetría continúa en las ramas de los bronquios, en todas las vías aéreas menores. 6 Además, la proporción de la longitud de los bronquios cortos y largos es también la proporción áurea y es igual a 1:1.618.
La estructura del cuadrilátero ortogonal dorado y la espiral.
La sección áurea es una división proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que el segmento completo se relaciona con la parte mayor de la misma manera que la parte mayor misma se relaciona con la menor; o en otras palabras, la sección más pequeña está relacionada con la más grande como la más grande lo está con todo.
En geometría, un rectángulo con esta proporción de lados pasó a llamarse rectángulo áureo. Sus lados largos están relacionados con los lados cortos en una proporción de 1.168:1.
El rectángulo dorado también tiene muchas propiedades asombrosas. El rectángulo dorado tiene muchas propiedades inusuales. Cortando un cuadrado del rectángulo áureo, cuyo lado es igual al lado más pequeño del rectángulo, obtenemos de nuevo un rectángulo áureo más pequeño. Este proceso puede continuar hasta el infinito. A medida que sigamos cortando los cuadrados, obtendremos rectángulos dorados cada vez más pequeños. Además, estarán ubicados en una espiral logarítmica, lo cual es importante en modelos matemáticos de objetos naturales (por ejemplo, conchas de caracol).
El polo de la espiral se encuentra en la intersección de las diagonales del rectángulo inicial y la primera vertical recortada. Además, las diagonales de todos los rectángulos áureos decrecientes subsiguientes se encuentran en estas diagonales. Por supuesto, también hay un triángulo dorado.
El diseñador y esteticista inglés William Charlton afirmó que las personas encuentran agradables a la vista las formas en espiral y las han estado usando durante miles de años, explicando esto de la siguiente manera: "Estamos complacidos con la apariencia de una espiral, porque visualmente podemos verla fácilmente. " 7
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La regla de la proporción áurea que subyace en la estructura de la espiral se encuentra muy a menudo en la naturaleza en creaciones de una belleza sin igual. Los ejemplos más obvios: se puede ver una forma de espiral en la disposición de las semillas de girasol y en las piñas, en las piñas, los cactus, la estructura de los pétalos de rosa, etc.
Los botánicos han encontrado que en la disposición de las hojas en una rama, semillas de girasol o piñas, se manifiesta claramente serie de Fibonacci, y por tanto, la ley se manifiesta proporción áurea.
El Señor Todopoderoso estableció una medida especial para cada una de Sus creaciones y le dio proporcionalidad, lo cual se confirma en ejemplos encontrados en naturaleza. Se pueden citar muchos ejemplos cuando el proceso de crecimiento de los organismos vivos ocurre estrictamente de acuerdo con la forma de una espiral logarítmica.
Todos los resortes en una bobina tienen la misma forma. Los matemáticos han descubierto que incluso con el aumento del tamaño de los resortes, la forma de la espiral permanece sin cambios. No hay otra forma en matemáticas que tenga el mismo propiedades únicas como una espiral. ocho
La estructura de las conchas marinas.
Los científicos que han estudiado el interior y estructura externa conchas de moluscos de cuerpo blando que viven en el fondo de los mares declararon:
"La superficie interior de las conchas es impecablemente lisa, y la superficie exterior está cubierta de asperezas e irregularidades. Molusco estaba en el fregadero y para ello la superficie interior del fregadero tenía que ser perfectamente liso. Las esquinas externas: las curvas de la carcasa aumentan su resistencia, dureza y, por lo tanto, aumentan su resistencia. La perfección y la asombrosa racionalidad de la estructura de la concha (caracol) deleitan. La idea espiral de las conchas es una forma geométrica perfecta y asombrosa en su pulida belleza.” 9
En la mayoría de los caracoles que tienen caparazón, el caparazón crece en una espiral logarítmica. Sin embargo, no hay duda de que estas criaturas irrazonables no solo no tienen idea sobre la espiral logarítmica, sino que ni siquiera tienen el conocimiento matemático más simple para crear una concha espiral por sí mismos.
Pero entonces, ¿cómo podrían estos seres sin inteligencia determinar y elegir por sí mismos la forma ideal de crecimiento y existencia en forma de caparazón espiral? ¿Podrían estas criaturas vivientes, que el mundo científico llama formas de vida primitivas, calcular que la forma logarítmica de la concha sería ideal para su existencia?
por supuesto pero no, porque tal plan no puede realizarse sin la presencia de la razón y el conocimiento. Pero ni los moluscos primitivos ni la naturaleza inconsciente, que, sin embargo, algunos científicos llaman el creador de la vida en la tierra (?!)
Tratar de explicar el origen de incluso la forma de vida más primitiva por una coincidencia aleatoria de algunas circunstancias naturales es cuando menos absurdo. Está claro que este proyecto es una creación consciente. Y esta creación pertenece a Allah - el Señor de los mundos:
"... Mi Señor, con Su conocimiento ilimitado, abarca todo. ¿Es posible que no vuelvas a pensar en esto?" (Sura "Al Ana'am", 6:80)
El biólogo Sir D'arky Thompson llama a esta forma de crecimiento de conchas marinas "la forma de crecimiento de los gnomos". Sir Thompson hace este comentario:
"No existe un sistema más simple que el crecimiento de las conchas marinas, que crecen y se expanden proporcionalmente, manteniendo la misma forma. La concha, lo más sorprendente, crece, pero nunca cambia de forma". 10
El nautilus, que mide unos pocos centímetros de diámetro, es el ejemplo más llamativo del crecimiento parecido a un gnomo. S. Morrison describe este proceso de crecimiento del nautilus, que incluso la mente humana parece bastante difícil de planificar:
"Dentro del caparazón del nautilus hay muchos departamentos-habitaciones con tabiques de nácar, y el caparazón en sí mismo dentro es una espiral que se expande desde el centro. A medida que el nautilus crece, crece otro cuarto frente al caparazón, pero ya más grande que el anterior, y los tabiques del resto detrás de la sala están cubiertos con una capa de nácar, por lo que la espiral se expande proporcionalmente todo el tiempo. 11
Estos son solo algunos tipos de conchas en espiral que tienen una forma de crecimiento logarítmico de acuerdo con sus nombres científicos:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.
Todos los restos fósiles descubiertos de conchas también tenían una forma espiral desarrollada.
Sin embargo, la forma logarítmica de crecimiento se encuentra en el mundo animal no solo en los moluscos. Los cuernos de antílopes, cabras salvajes, carneros y otros animales similares también se desarrollan en forma de espiral según las leyes de la proporción áurea. 12
La proporción áurea en el oído humano
En el oído interno humano hay un órgano Cóclea ("Caracol"), que realiza la función de transmitir la vibración del sonido. Esta estructura parecida a un hueso está llena de líquido y también creada en forma de caracol, que contiene una forma espiral logarítmica estable = 73º 43'.
Cuernos y colmillos de animales que se desarrollan en forma de espiral.
Los colmillos de los elefantes y mamuts extinguidos, las garras de los leones y los picos de los loros son formas logarítmicas y se asemejan a la forma de un eje que tiende a convertirse en espiral. Las arañas siempre tejen sus telas en una espiral logarítmica. La estructura de microorganismos como el plancton (especies globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae y trochida) también tienen forma de espiral.
La sección áurea en la estructura de los micromundos
Las formas geométricas no se limitan a un triángulo, cuadrado, cinco o hexágono. Si conectamos estas figuras de varias maneras entre sí, obtendremos nuevas figuras tridimensionales. figuras geometricas. Ejemplos de esto son figuras como un cubo o una pirámide. Sin embargo, además de ellos, también hay otras figuras tridimensionales que no nos hemos encontrado en la vida cotidiana, y cuyos nombres escuchamos, quizás por primera vez. Entre tales figuras tridimensionales se pueden nombrar un tetraedro (una figura regular de cuatro lados), un octaedro, un dodecaedro, un icosaedro, etc. El dodecaedro consta de 13 pentágonos, el icosaedro de 20 triángulos. Los matemáticos notan que estas figuras son matemáticamente muy fáciles de transformar, y su transformación ocurre de acuerdo con la fórmula de la espiral logarítmica de la sección áurea.
En el microcosmos, las formas logarítmicas tridimensionales construidas según proporciones áureas son omnipresentes. Por ejemplo, muchos virus tienen una forma geométrica tridimensional de un icosaedro. Quizás el más famoso de estos virus es el virus Adeno. La cubierta proteica del virus Adeno se forma a partir de 252 unidades de células proteicas dispuestas en una determinada secuencia. En cada esquina del icosaedro hay 12 unidades de células proteicas en forma de prisma pentagonal, y estructuras en forma de púas se extienden desde estas esquinas.
La proporción áurea en la estructura de los virus se descubrió por primera vez en la década de 1950. científicos del Birkbeck College de Londres A.Klug y D.Kaspar. 13 El virus Polyo fue el primero en mostrar una forma logarítmica. Se encontró que la forma de este virus era similar a la del virus Rhino 14.
Surge la pregunta, ¿cómo los virus forman formas tridimensionales tan complejas, cuya estructura contiene la sección dorada, que es bastante difícil de construir incluso con nuestra mente humana? El descubridor de estas formas de virus, el virólogo A. Klug hace el siguiente comentario:
"El Dr. Kaspar y yo hemos demostrado que para un caparazón de virus esférico, la forma más óptima es la simetría de tipo icosaédrico. Este orden minimiza el número de elementos de conexión... La mayoría de los cubos hemisféricos geodésicos de Buckminster Fuller están construidos sobre un principio geométrico similar. 14 La instalación de tales cubos requiere un esquema de explicación extremadamente preciso y detallado. Mientras que los propios virus inconscientes construyen una capa tan compleja de unidades celulares de proteínas elásticas y flexibles. 15
Al estudiar las materias escolares, es posible considerar la relación entre los conceptos adoptados en varios campos del conocimiento y los procesos que tienen lugar en el medio natural; averiguar la conexión entre las leyes matemáticas y las propiedades y patrones de desarrollo de la naturaleza.
Desde la antigüedad, observando naturaleza circundante y creando obras de arte, la gente buscaba patrones que permitieran definir la belleza. Pero una persona no solo creó objetos hermosos, no solo los admiró, sino que se hizo cada vez más la pregunta: ¿por qué este objeto es hermoso, te gusta y no te gusta otro, muy similar, no puede llamarse hermoso? Luego, de creador de lo bello, pasó a ser su investigador. Ya estoy en eso Antigua Grecia el estudio de la esencia de la belleza, lo bello formado en una rama separada de la ciencia: la estética. El estudio de la belleza se ha convertido en parte del estudio de la armonía de la naturaleza, sus leyes básicas de organización.
La belleza de la escultura, la belleza de un templo, la belleza de las sinfonías, los poemas, las pinturas. ¿Qué tienen en común? ¿Es posible comparar la belleza del templo con la belleza del nocturno? Resulta que es posible si se encuentran criterios uniformes de belleza, si se descubren fórmulas generales de belleza que unen el concepto de belleza de los más diversos objetos -desde una flor de manzanilla (¿no es bella?) hasta la belleza de un cuerpo humano desnudo. Los intentos de encontrar criterios similares para lo bello en diversas formas de arte y naturaleza constituyen el tema de la estética.
"Fórmulas de belleza" ya se conoce mucho. Durante mucho tiempo, en sus creaciones, las personas prefieren formas geométricas regulares: un cuadrado, un círculo, un triángulo isósceles, una pirámide, etc. Las figuras simétricas suelen ser preferibles a las no simétricas. En las proporciones de varias estructuras, se prefieren relaciones enteras. El hombre generalmente prefiere el orden al desorden, la simplicidad a la complejidad, la certeza a la incertidumbre. Obviamente, esta es la esencia de la vida misma, como un fenómeno de la naturaleza: el ordenamiento del desorden.
De las muchas proporciones que la gente ha usado durante mucho tiempo al crear obras armónicas, hay una, la única e inimitable, que tiene propiedades únicas. Corresponde a tal división del todo en dos partes, en la que la razón de la parte mayor a la menor es igual a la razón del todo a la parte mayor. “Esta proporción se llamó de manera diferente: “dorada”, “divina”, “sección dorada”, “número dorado”. Preferí usar el primer nombre, ya que refleja con mayor precisión la esencia de este concepto.
El principio de la "proporción áurea" despertó gran interés en mí y en mis compañeros. Este conocimiento ayuda a comprender que fuera de la conciencia hay algo bastante material, bastante objetivo, que, al no ser belleza objetiva, suscita en nosotros un sentimiento de belleza. La "proporción áurea" es cierta para cualquier persona, cualquiera que sea. Pude investigar un poco con la ayuda de mis compañeros que ayudaron a probar este principio.
"Sección áurea" en geometría
Ahora es imposible establecer de manera confiable el nm de la persona que descubrió por primera vez la proporción áurea, ni el momento en que esto sucedió. Obviamente, ha sido repetidamente descubierto, olvidado y redescubierto en diferente tiempo y en varios países. Muchos investigadores consideran al matemático y filósofo griego Pitágoras como el descubridor de la proporción áurea.
Con el nombre de Pitágoras, de la escuela, asociamos el teorema de los lados de un triángulo: el "teorema del cuadrado". Este teorema es sorprendentemente hermoso: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". En la ciencia encontrarás pocas fórmulas tan bellas y sencillas.
Muchos patrones matemáticos, como dicen, "yacen en la superficie", necesitaban ser vistos por una persona con una mente analítica, pensando lógicamente. Y esto no podía negarse a los filósofos del mundo antiguo; después de todo, todo su conocimiento científico se basaba en el análisis de objetos y fenómenos, el establecimiento de una conexión entre ellos. En nuestro tiempo, es incluso difícil imaginar que el desarrollo de la ciencia sea posible sin el uso de la experimentación, pero así era la ciencia del mundo antiguo.
Considere, por ejemplo, el triángulo rectángulo más simple con la proporción de catetos 1:2. En este triángulo, el valor del cateto pequeño es 1 y el cateto mayor es 2. Según el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa en él es √5. Este triángulo era bien conocido en mundo antiguo, en muchos edificios de la época prevalecen proporciones iguales a la razón de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 1:2:√5.
Relación de aspecto a, b, c triángulo dado muy simple y comprensible para cualquiera que conozca los conceptos básicos de geometría: a/b = 1:2, c/a = √5:1, c/b = √5/2. Sin embargo, estas cantidades también implican una razón más (a+b)/b = (1+√5)/2, igual a 1.618033. Esta es la proporción áurea, que generalmente se denota con la letra F. Como puede ver, esta maravillosa proporción yacía literalmente en la superficie, solo necesitaba ser notada.
En geometría, hay varias formas de construir la proporción áurea, y es típico que para la construcción sea suficiente tomar las figuras geométricas más simples: un cuadrado o un triángulo rectángulo con una proporción de catetos de 1: 2. Si dibujamos un círculo desde el centro del cuadrado con un radio igual a la diagonal del semicuadrado, entonces en su intersección con el lado extendido del cuadrado obtenemos un segmento que es menor que el lado del cuadrado de acuerdo con la proporción áurea. Es incluso más fácil construir la proporción áurea en un triángulo rectángulo 1:2:√5. Basta con dibujar dos arcos de círculo que se corten en un punto de la hipotenusa, y el cateto mayor se dividirá de acuerdo con la proporción áurea.
Un triángulo con lados 3:4:5 es uno de varios triángulos rectángulos, llamados en la antigüedad "divinos", para los cuales es verdadera la siguiente relación: a2 + b2 = c2, donde a, b, c son números enteros . Estos son algunos de estos triángulos:
52=42+32; 132=122+52; 252=242+72.
En esencia, las leyes de la razón de los lados en estos triángulos expresan el teorema, que más tarde se conoció como el teorema de Pitágoras. ¿Conocía Pitágoras tales triángulos, o los redescubrió, o pasando de estos triángulos “divinos” a otros, extendió la fórmula indicada a todos los triángulos rectángulos, descubriendo los números irracionales y la proporción áurea?
Ya nadie puede responder a estas preguntas. En la historia de la ciencia, no es raro que los descubrimientos sean olvidados, perdidos y revividos por otros científicos, y solo se puede especular sobre su autoría real. Como señala Matila Ghica, los chinos ya en el siglo XI aC estaban familiarizados con el teorema 52=32+42.
Plutarco señala que el área de un triángulo de lados 5:4:3 es 6, y el cúbico de esta área es igual a la suma de los cubos de los lados del triángulo: 63=53+43+33. Se propuso utilizar la relación 52=42+32 entre los invariantes para crear el primer "contacto lógico al comienzo de la era de la señalización interplanetaria".
Es fácil probar que sólo existe un triángulo rectángulo cuyos lados (x, y, z) forman una progresión geométrica: z/y=y/x. En este triángulo, la relación entre la hipotenusa y el cateto pequeño es igual a la proporción áurea Ф, y las otras dos proporciones de los lados (z / y e y / x) corresponden a la raíz cuadrada de la proporción áurea. Este es un increíble triángulo "dorado", es una expresión vívida de la proporción áurea.
Considere una familia de triángulos isósceles construidos de acuerdo con las reglas de la proporción áurea: de ángulo agudo, con ángulos de 36°, 72° y 72°, y de ángulo obtuso, con ángulos de 108°, 36° y 36°. Se puede ver en la figura que el triángulo acutángulo ABC se divide en tres triángulos de la proporción áurea. En ellos, los lados son iguales: AD=1, DB=Ф, BC=AB=Ф+1=Ф2, AC=AE=Ф.
Otro triángulo maravilloso es interesante, en el que se manifiesta la proporción áurea. En este triángulo, los ángulos son 90°, 54° y 36°, y su razón es 5:3:. En este triángulo rectángulo, la relación entre el cateto más grande y la hipotenusa es igual a la mitad de la proporción áurea Ф / 2. Esto corresponde a la ecuación Ф/2=cos 36˚. Esto implica una fórmula que relaciona la proporción áurea con el número π:
Ф = (√5+1)/2 = 2 cos π/5
Esta fórmula simple y hermosa a su manera conecta el número "pi" con la proporción áurea. ¿No da esto testimonio de la naturaleza fundamental de la proporción áurea, de su relación con un número tan universal como "pi"? Es característico que en el triángulo considerado la razón de los ángulos corresponde a la razón de los pequeños enteros 5:3:2 (donde el valor de un ángulo es igual a la suma de los otros dos), y las razones de los lados son inconmensurables . ¿Qué se esconde en este “misterio de las razones numéricas”?
En la fórmula Ф \u003d (√5 + 1) / 2 \u003d 2 cos π / 5, el número "cinco" aparece dos veces. Y el ángulo de 36˚ es el ángulo en los vértices del polígono de estrella de cinco puntas. Obviamente, no es casualidad que el número "cinco" entre los pitagóricos se considerara sagrado y la estrella pentagonal, un símbolo de la unión de los filósofos y matemáticos pitagóricos. También fue considerado en la antigüedad un símbolo de vida. Muchos matemáticos han estudiado la geometría del pentágono y la estrella del pentágono.
En la figura, entre los segmentos HJ, EH, EJ, EB, la razón de cada uno posterior al anterior es igual a la proporción áurea. Pacioli encontró en cinco sólidos platónicos: segmentos EB / EA, AJ / JK, AK / AJ. También contiene un triángulo con ángulos de 90˚, 54˚ y 46˚, que se discutió anteriormente.
En 1509, en Venecia, un contemporáneo y amigo de Leonardo da Vinci, Luca Pacioli, publicó el libro Sobre la divina proporción. Pacioli encontró en los cinco sólidos platónicos - polígonos regulares (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro) trece manifestaciones de la proporción "divina". En el capítulo Sobre la propiedad duodécima, casi sobrenatural, considera el icosaedro regular. En cada vértice del icosaedro, cinco triángulos convergen para formar un pentágono regular. Si conectas dos aristas opuestas cualesquiera de un icosaedro entre sí, obtienes un rectángulo en el que el lado grande está relacionado con el lado más pequeño como la suma de los lados está relacionada con el grande.
Así, la proporción áurea se manifiesta en la geometría de cinco poliedros regulares que, según los antiguos científicos, subyacen al universo. Platón creía que los átomos de los cuatro elementos a partir de los cuales se construye el mundo (fuego, tierra, aire y agua) tienen la forma de poliedros convexos regulares: un tetraedro, un cubo, un octaedro, un icosaedro, y todo el mundo está construido como un todo. en forma de dodecaedro.
números de Fibonacci.
A través de los esfuerzos de los matemáticos, la proporción áurea fue explicada, estudiada y analizada profundamente. Parece que el asunto está resuelto. Sólo restaba estudiar las manifestaciones de esta regularidad en la naturaleza, buscar su aplicación práctica. Tal vez esto hubiera sucedido si no hubiera aparecido un problema insustituible en la historia de las matemáticas.
Durante la Edad Media, la aparición de un libro sobre matemáticas, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo de Pinza, fue evento importante en la vida científica de la sociedad. En el libro "Liber abacci" ("El libro del ábaco"), se recopiló información sobre las matemáticas conocidas en ese momento, se dieron ejemplos de resolución de varios problemas. Y entre ellos era simple. No carente de valor práctico para los italianos emprendedores, el problema del conejo: "¿Cuántos pares de conejos en un año nacen de un par?" Más adelante en el problema se explica que la naturaleza de los conejos es tal que en un mes un par de ellos da a luz a otro par, y los conejos comienzan a reproducirse a partir del segundo mes después de su nacimiento. Como resultado de resolver este sencillo problema, obtuvimos una serie de números 1, 2, 3, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 y así sucesivamente. Esta serie de números recibió más tarde el nombre de Fibonacci, como se llamaba a Leonardo (Fibonacci es una abreviatura de filius Bonacci, es decir, Bonacci).
¿Qué tienen de notable los números obtenidos por Leonardo Fibonacci? Considere esta serie de números: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 277, 610, 987, 1597 y así sucesivamente. En esta serie, cada número subsiguiente es la suma de los dos números anteriores.
Este tipo de sucesiones, en las que cada término es función de los anteriores, se denominan secuencias recurrentes o recurrentes en matemáticas. La serie de números de Fibonacci también es recurrente, y los miembros de esta serie se denominan números de Fibonacci. Resultó que tienen una serie de propiedades interesantes e importantes.
Cuatro siglos después del descubrimiento de Fibonacci de una serie de números, I. Kepler (1571 - 1630) estableció que la proporción de números adyacentes en el límite tiende a la proporción áurea. En el lenguaje de las matemáticas, esto se expresa mediante la fórmula Un+1/Un→Ф como n→ ∞. Aquí Ф=1.61803 es la proporción áurea.
Cien años después, el científico inglés R. Simpson probó matemáticamente con rigor que la razón de números de Fibonacci adyacentes en el límite tiende a la razón áurea, igual a (√5+1)/2. Y solo en 1843, el matemático J. Binet encontró una fórmula para encontrar cualquier miembro de la serie de números de Fibonacci.
Definamos la razón de los números de Fibonacci adyacentes: es igual a 2, 1.5; 1,66; 1,6; 1.625; 1.615. , 1.619, 1.6181, etc. Las proporciones resultantes parecen fluctuar alrededor de un valor constante, acercándose gradualmente a él, la diferencia entre las proporciones vecinas disminuye. Esto se ve claramente en el gráfico. La relación de números de Fibonacci adyacentes en el límite tiende a un valor cercano a 1,618. , que es la proporción áurea.
La proporción de los números de Fibonacci adyacentes refleja un proceso oscilatorio, una oscilación, una disminución estrictamente periódica de la diferencia en las proporciones de estos números con amplitud decreciente, una oscilación amortiguada de estas proporciones en relación con el valor Ф, la proporción áurea.
El valor Ф se considera un número irracional, es decir, no se puede expresar de manera inconmensurable a través de razones de números enteros. Pero a medida que la serie de números de Fibonacci se expande, su proporción se acercará cada vez más a la proporción áurea (más precisamente, infinitamente cerca de ella). Resulta que el valor racional Ф es igual a la razón de dos números infinitamente grandes, es decir, es conmensurable. Aquí aparece otra faceta interesante de la relación entre los números enteros de Fibonacci y la proporción áurea irracional.
Y ahora vamos a sumar los números de Fibonacci ubicados a través de uno. Obtenemos una nueva serie de números: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123, etc. Como vemos, también obtenemos una serie recurrente de números; la proporción de números vecinos aquí también tiende a la proporción áurea en el límite.
Esta serie recurrente derivada de números se puede obtener de la serie de Fibonacci de otra manera. Con una división regular consistente de los números subsiguientes de la serie de Fibonacci por los anteriores, obtenemos: 1:1=3; 3:1=3; 8:2=4; 21:3=7; 55:5=11, etc., es decir, la serie recursiva producida, llamada la "serie de Lucas". Sumando las filas de Lucas ubicadas a través de un número, obtenemos una nueva serie recurrente derivada: 15, 25, 40, 65, 105, etc. Dividiendo los números de esta serie por cinco, obtenemos la serie original de números de Fibonacci.
Los números de Fibonacci tienen muchas propiedades interesantes. Entonces, la suma de todos los números en la serie desde el primero hasta Un es igual al siguiente después de un número (Un + 2) sin unidad. Es fácil demostrar y verificar con ejemplos que la razón de los números de Fibonacci ubicados a través de uno tiende al cuadrado de la razón áurea, igual a 2.618033 ¡Una propiedad asombrosa! Resulta que F + 1 = = F2. Pero esta relación tiene lugar en un triángulo rectángulo perfecto con un ángulo de aproximadamente 51˚50΄. La misma ecuación conecta los segmentos del todo, dividido en dos partes de acuerdo con la proporción áurea. Una conexión invisible pero fuerte de leyes generales combinadas en un sistema armonioso lógicamente unificado figuras geométricas perfectas, las pirámides de Egipto, el problema de la reproducción del conejo.
El matemático francés Pascal (1623 - 1662) construyó una tabla numérica en forma de triángulo; en él, cada línea se obtiene de la anterior al duplicar cada uno de los números de la línea. Esta tabla se llama "triángulo de Pascal". Suma de números enésima línea del triángulo de Pascal es 2n, es decir, las sumas de los números en las líneas aumentan en una ley de potencia, duplicándose en cada línea posterior.
Esta naturaleza de la construcción del triángulo de Pascal corresponde a la reproducción más simple de organismos en biología, por ejemplo, la división celular. Cada célula, como resultado de la división, se convierte en dos células que, a su vez, se dividen en dos células, etc.
El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades interesantes. Todas las líneas son simétricas. Entre las sumas de los números de las columnas se establece la siguiente relación: si restamos el siguiente número menor del mayor, obtenemos el siguiente número de la serie de sumas. Se establece la conexión entre los números de la serie de Fibonacci y el triángulo de Pascal. Si dibuja una diagonal del triángulo de Pascal, las sumas de los números en estas diagonales formarán una serie de números de Fibonacci.
El problema de los conejos expresa obviamente algún patrón general de crecimiento, característico de todos los organismos, de la vida misma. Por lo tanto, las regularidades de las series de números de Fibonacci y la proporción áurea generada por ellos deben manifestarse de una forma u otra en una amplia variedad de organismos: en su estructura, evolución y funcionamiento. De hecho, la investigación realizada por científicos en una amplia variedad de áreas de la naturaleza ha llevado al descubrimiento de patrones en ellas que corresponden a los números de Fibonacci y la proporción áurea. ¡Donde solo no encontré los números de Fibonacci! Y en las pinturas de los artistas, y en el cardiograma, y en la estructura del suelo, y en la actividad del cerebro.
Actualmente se utiliza en la metodología el método de la proporción áurea y el “método de Fibonacci”. investigación científica. Resultó que estos métodos son herramienta eficaz búsqueda secuencial de soluciones óptimas, extremo de algunas funciones. Después de todo, la naturaleza en muchos casos actúa de acuerdo con un sistema estrictamente definido, realizando la búsqueda de estados estructurales óptimos no "a ciegas", sino más difícilmente, utilizando el "método de Fibonacci".
fórmula de belleza
¡Cuántos artistas, poetas, escultores, verdaderos conocedores de la belleza han admirado la belleza del cuerpo humano! “Los cuerpos humanos más hermosos en todas las posiciones, audaces hasta el punto de la improbabilidad, esbeltos hasta el punto de la música: sí, este es un mundo entero, ante cuya revelación un frío involuntario de deleite y una reverencia apasionada corre por todas las venas, ”, escribió I. S. Turgenev. “El cuerpo humano es la mejor belleza del mundo”, afirmó N. G. Chernyshevsky. “El cuerpo desnudo me parece hermoso. Para mí es un milagro, la vida misma, donde no puede haber nada feo”, dijo O. Rodin.
Las grandes obras de escultores como Fidias, Poliktetus, Miron, Praxiteles se han considerado durante mucho tiempo y con razón estándares de la belleza del cuerpo humano, ejemplos de un físico armonioso. Al crear sus creaciones, los maestros griegos utilizaron el principio de la proporción áurea. El centro de la proporción áurea de la estructura del cuerpo humano se encuentra exactamente en el ombligo.
La "fórmula de la belleza" -en el sentido matemático más directo- se ha convertido para muchos antropólogos en la meta de muchos años de trabajo. Hay muchas "fórmulas" de este tipo.
Durante miles de años, la gente ha estado tratando de encontrar patrones matemáticos en las proporciones del cuerpo humano, especialmente en una persona armoniosa y bien formada. La armonía del físico crea la impresión de la proporcionalidad de todas sus partes, que se puede expresar en simples proporciones numéricas. Para analizar estas proporciones, se necesitaba una unidad de medida, alguna parte del cuerpo.
También en Antiguo Egipto la longitud del pie se tomó como unidad de medida del cuerpo, en tiempos posteriores, la longitud del dedo medio de la mano. Es fácil comprobar que la altura de una persona es en promedio 7 largos de su pie. Durante el Renacimiento aumentó el interés por el estudio de las proporciones del cuerpo humano. Leonardo da Vinci realizó una serie de medidas a partir de las cuales calculó el tamaño medio de una persona. Tomó la cabeza, pero no toda la longitud del cráneo, sino sólo la longitud de la cara, como unidades de medida de las proporciones del cuerpo. Y Durero tomó la longitud total del cráneo como unidad de medida. El anatomista francés Richet estableció la ley de 7 ½ veces la longitud de la cabeza.
Muchas proporciones del cuerpo humano pueden expresarse mediante la relación de números enteros, si descuidamos algún error. Para ello, puede utilizar los datos estadísticos promedio de la población de nuestro país. Estos datos para hombres y mujeres difieren significativamente y se presentan por separado. Estos son algunos de ellos (para hombres y mujeres): altura 1660 y 1567, longitud del brazo - 723 y 661, longitud de la pierna - 900 y 835, altura de la cintura - 1035 y 976, altura de la rodilla - 506 y 467, anchura de los hombros - 380 y 349, altura, sentado - 1310 y 1211, longitud del muslo - 590 y 568 mm. Usando estas estadísticas, es posible calcular las proporciones de diferentes partes del cuerpo, por ejemplo, en relación con la altura de una persona. Las proporciones obtenidas de esta manera resultaron ser muy cercanas a las proporciones de números enteros.
A mediados del siglo pasado, el científico inglés Edinburgh construyó el canon de las proporciones del cuerpo humano sobre la base de un acorde musical. Curiosamente, el ideal, desde el punto de vista de este canon, el cuerpo masculino resultó, en su opinión, corresponder a un acorde mayor, y el cuerpo femenino a uno menor.
Las proporciones calculadas del cuerpo humano amplían los datos antropométricos, aportan nuevas características para el análisis y la comparación, pero siguen careciendo de contenido físico. La única excepción es la relación entre la altura y la altura de la cintura. Esta proporción, conocida desde la antigüedad, ha sido estudiada durante mucho tiempo y se considera uno de los principales criterios para la armonía del cuerpo humano. Ha recibido varios nombres: la proporción áurea, la proporción áurea, la proporción divina, etc. De las muchas proporciones que la gente ha usado durante mucho tiempo al crear obras armónicas, solo ella, la única, tiene propiedades únicas. Realicé un estudio, cuyo propósito es averiguar si la regla de la proporción "áurea" se aplica a los adolescentes de hoy. Los datos de esta tabla indican que la proporción "áurea" realmente existe.
La proporción áurea ocupa un lugar destacado en los cánones artísticos de Leonardo da Vinci y Durero. De acuerdo con estos cánones, la proporción áurea corresponde no sólo a la división del cuerpo en dos partes desiguales por la línea de la cintura. El rostro humano también fue creado por la naturaleza según la regla de la proporción áurea. Así, la altura de la cara se refiere a la distancia vertical entre los arcos de las cejas y la parte inferior del mentón, así como la distancia entre la parte inferior de la nariz y la parte inferior del mentón se refiere a la distancia entre la comisuras de los labios y la parte inferior del mentón. Esta proporción es igual a la proporción áurea.
Los dedos humanos constan de tres falanges: principal, media y ungueal. La longitud de las falanges principales de todos los dedos, excepto el pulgar, es igual a la suma de las longitudes de las otras dos falanges. Esto es fácil de verificar con la ayuda de mediciones simples. Entonces, por ejemplo, la longitud de la falange principal de mi dedo índice es de 4,2 cm. Las longitudes de las falanges media y ungueal son de 2,3 y 1,9 cm, respectivamente. Al agregar los últimos datos, obtenemos la longitud de la falange principal.
Además, las longitudes de todas las falanges de cada dedo están relacionadas entre sí según la regla de la proporción áurea.
Durante el Renacimiento italiano, la proporción áurea se elevó al rango de principal principio estético, pero luego se olvidó y durante unos 200 años nadie la recordó.
En 1850, el científico alemán Zeising descubrió nuevamente la proporción áurea. Descubrió que todo el cuerpo humano como un todo y cada uno de sus miembros individuales están conectados matemáticamente por un estricto sistema de relaciones proporcionales, entre las cuales la proporción áurea ocupa un lugar importante. Habiendo medido miles de cuerpos humanos, encontró que la proporción promedio del cuerpo masculino es cercana a 13:8 = 1.625, y la de la mujer es cercana a 8:3 = 1.60. Se obtuvieron valores similares en el análisis de datos antropométricos de la población rusa.
Es característico que el ombligo divide el cuerpo de un recién nacido en dos partes iguales, y las proporciones del cuerpo solo gradualmente, cuando se completa el crecimiento, alcanzan su desarrollo final, que corresponde a la proporción áurea (existe la creencia de que a los dos años la altura de un niño corresponde a la mitad del crecimiento futuro de un adulto). Todo esto da pie a considerar la proporción áurea como una especie de "constante de armonía", el límite ideal al que aspira el cuerpo humano en su desarrollo. Sin embargo, el cuerpo humano se caracteriza no solo por el "esfuerzo" por la proporción áurea, sino también por la desviación de ella, asociada con las diferencias sexuales e individuales de las personas, una especie de "variaciones sobre el tema de la proporción áurea". .
Generalmente se acepta que la proporción áurea no es solo una medida de armonía en la naturaleza y en las obras de arte, sino también la base de la belleza, una fuente de satisfacción estética. El concepto de belleza, lo bello es mucho más amplio, más variante que el concepto de armonía y orden. La simetría y la proporcionalidad perfectas pueden no cumplir con los estándares de belleza, son perfectas, pero están muertas, y solo varias desviaciones de estos cánones estáticos dan vivacidad, individualidad única, encanto y gracia a las creaciones de la naturaleza y del artista. Por tanto, el concepto de la belleza del cuerpo humano va más allá del marco de los cánones geométricos, pero estos cánones forman una cierta base sobre la que se crea un cuerpo armonioso y bello.
La definición de "fórmula de la belleza" es la más adecuada para el concepto de "proporción áurea". De hecho, esta proporción tiene los signos más claros de la armonía de la belleza. Esta proporción marca, por así decirlo, el pináculo de la investigación estética, un cierto límite a la armonía de la naturaleza. Esta proporción no solo es dominante en muchas obras de arte, sino que determina los patrones de desarrollo de muchos organismos, su presencia es notada por edafólogos, químicos, geólogos y astrónomos.
Tal universalidad de la proporción áurea no la hace simple y accesible para el estudio. Gran parte de la esencia de esta "constante de armonía" sigue siendo desconocida. Todavía no está claro por qué la Naturaleza prefirió esta proporción a todas las demás, ¿no es por su singularidad?
Es característico que la proporción áurea corresponda a la división del todo en dos partes desiguales, por lo tanto, corresponde a la asimetría. ¿Por qué es tan atractivo, a menudo más atractivo que las proporciones simétricas? Obviamente, esta proporción tiene alguna propiedad especial. El todo se puede dividir en un número infinito de partes desiguales, pero solo una de estas secciones corresponde a la proporción áurea. Al parecer, en esta proporción se esconde uno de los secretos fundamentales de la naturaleza, que aún está por descubrir.
Pero la belleza humana en todos los tiempos ha sido objeto de un largo estudio de diversas ciencias. Los ideales de belleza no son eternos y con el cambio de era, el concepto de “persona bella” significa cosas completamente diferentes. La belleza del cuerpo humano es biológicamente conveniente, pero no eterna. También, en el transcurso de mi trabajo, logré descubrir que la belleza del cuerpo humano es biológicamente conveniente, pero no eterna, que los ideales modernos que se nos imponen contradicen las leyes biológicas.
La proporción áurea es un concepto matemático, su estudio es, ante todo, tarea de la ciencia. Es también un criterio de armonía y belleza, y estas ya son categorías del arte. Pero al final, el arte no es un adversario, sino un aliado de la ciencia.
"Proporción áurea" en el mundo vegetal.
Como en todas las partes de la naturaleza, también en la flora existe una proporción áurea, y no ha pasado desapercibida. El mundo de las plantas es bastante diverso, cambiante y móvil. Si el número de especies minerales en la corteza terrestre se estima en dos mil, el número de especies de plantas es de millones. ¡Y qué variedad de formas, tipos y colores! Objeciones por las que parece que no hay nada en común entre la naturaleza animada y la inanimada, son más bien antípodas que parientes. Pero no olvide que la vida silvestre surgió de la naturaleza inanimada y, de acuerdo con las leyes de la herencia, tuvo que conservar algunas características de su progenitor.
Mundo naturaleza inanimada es, ante todo, un mundo de simetría. Por lo tanto, la simetría también fue heredada por la vida silvestre. Solo mire las plantas, y verá flores y hojas estrictamente simétricas, muchas frutas e incluso las plantas mismas con su disposición simétricamente helicoidal de hojas en el tallo.
A fines del siglo pasado, el botánico alemán F. Ludwig descubrió que las curvas que describen el número de flores marginales en las canastas de muchas especies de plantas no son suaves, sino quebradas, tienen un carácter de múltiples vértices y los máximos principales (modas) de estas curvas corresponden al número de flores 3, 5, 8, 13, 21, 34, es decir, forma una serie de números de Fibonacci. Para obtener datos suficientemente fiables, F. Ludwig examinó 18.573 flores. En una de las especies de plantas, resultó que los máximos principales en el número de flores marginales caen en los números 13, 21 y 34. Además de los máximos principales, se ven picos menos pronunciados en el gráfico de múltiples vértices en 26, 28 y 39 flores.
La ley establecida por Ludwig testimonia que el número de órganos en las plantas no cambia continuamente, tomando valores cualesquiera, sino discretamente, a saltos, prefiriendo unos valores a otros, y estos valores discretos son los números de Fibonacci. Los números de Fibonacci se manifiestan especialmente claramente en la disposición de las hojas en los brotes.
Hay muchas razones para afirmar la existencia en las plantas de cierto tipo de variabilidad en el número y disposición de los órganos, que se describe matemáticamente mediante una serie de números de Fibonacci, "que contienen un algoritmo para un paso de discreción que cambia regularmente: un cuanto de el número de órganos", como escribió W. Schmidt. Las plantas se desarrollan claramente "según Fibonacci", tendiendo a un cierto límite, a una organización armónica. La relación de números en dos filas en el límite tiende a valores de 0,618034 o 0,381966, es decir, a partes de un todo dividido en dos partes según la regla de la proporción áurea.
Pero no sólo es discreta la disposición de las hojas sobre el tronco de las plantas, sino también el crecimiento de las plantas; las plantas están sujetas a la cuantificación interna del crecimiento. Aquí se manifiestan patrones aún poco estudiados de la organización temporal de las plantas en desarrollo. Con cambios y favorables Condiciones externas la intensidad del crecimiento cambia con el tiempo: los periodos de crecimiento intensivo son reemplazados por periodos de relativo reposo, estabilidad del estado. Se puede suponer que también aparecerá algún patrón en la duración del período de crecimiento, que puede estar relacionado con el desarrollo de una serie de números de Fibonacci en el tiempo. De hecho, en el desarrollo de las plantas hay un principio y un final, hay una diferencia cualitativa en las etapas de crecimiento, su dirección hacia un cierto estado final.
No es sorprendente que las leyes de la proporción áurea y los números de Fibonacci estén tan extendidas en la naturaleza que se manifiesten en varios niveles de desarrollo. Estos patrones son los criterios para la organización armónica de varios sistemas. En la proporción áurea y los números de Fibonacci: la clave para la armonía de los sistemas, la "llave dorada" que abre la puerta al país de la armonía y la belleza.
Conclusión.
La idea de Pitágoras de expresar las leyes de la naturaleza en forma de proporciones de números, y de números pequeños, resultó ser sorprendentemente tenaz y fructífera. Durante muchos siglos, científicos de diversas áreas del conocimiento han tratado de expresar patrones establecidos con fórmulas simples y relaciones numéricas.
Sin embargo, después de un estudio profundo, resultó que la naturaleza es a la vez simple y compleja, que estas características están en unidad, y la búsqueda de la simplicidad solo expresa el deseo de la ciencia. Si lo pensamos, está claro que las personas no pueden crear modelos de la naturaleza tan complejos como la naturaleza misma. Su objetivo es ver lo simple en lo complejo sin olvidar la complejidad de lo simple.
La búsqueda de leyes generales de la naturaleza es obviamente el campo de conocimiento más fascinante. En tales regularidades se manifiesta la unidad de la naturaleza y la unidad de las ciencias. La idea de tal unidad, reflejada en la presencia de relaciones cuantitativas y cualitativas comunes, en la existencia de fórmulas y números comunes, ha conservado su vigencia desde Pitágoras hasta nuestros días.
Aristóteles escribió que entre los pitagóricos "el número es la esencia de todas las cosas, y la organización del Universo en sus definiciones es generalmente un sistema armónico de números y sus relaciones". Después de Alcmaeon en el sistema de los pitagóricos "actúa como una clave universal para explicar el mundo".
Han pasado siglos y milenios desde Pitágoras, se descubrieron miles de las leyes y patrones más importantes y, como se vio después, muchos de ellos se describen mediante números enteros y sus relaciones.
A lo largo de su existencia, el hombre ha aprendido de la naturaleza en su trabajo. Vivía en armonía con ella. El hombre de hoy se ha alejado de la naturaleza, ha perdido el contacto con ella. El "ambiente" creado por él es un mundo de desarmonía, un mundo ajeno a la naturaleza natural del hombre.
Pero los tiempos están cambiando. La gente comenzó a darse cuenta de que tarde o temprano la naturaleza se perderá para siempre, por lo que vuelven a la naturaleza y buscan la armonía con ella, lo cual es inevitable. La naturaleza tiene sus propias leyes y patrones. Y el hombre es parte de la naturaleza, su creación, por eso la obedece. ¡Habiendo alcanzado la armonía anterior con la naturaleza, una persona llegará a una nueva ronda de la espiral evolutiva del desarrollo!
Todo en el mundo está conectado en un solo comienzo: en el movimiento de las olas, el soneto de Shakespeare, en la simetría de una flor, los cimientos del universo, y en el canto de los pájaros, una sinfonía de planetas. naturaleza viva en su desarrollo, luchó por la organización más armoniosa, cuyo criterio es la proporción áurea, que se manifiesta en varios niveles, desde combinaciones atómicas hasta la estructura de los cuerpos de animales superiores.
Hay muchas cosas en la naturaleza que no pueden entenderse con suficiente profundidad, ni probarse de manera suficientemente convincente, ni usarse en la práctica de manera suficientemente hábil y confiable sin la ayuda de las matemáticas. F. Bacon La belleza de la escultura, la belleza de un templo, la belleza de las pinturas, las sinfonías, los poemas... ¿Qué tienen en común? ¿Es posible comparar la belleza del templo con la belleza del nocturno? Resulta que es posible si se encuentran criterios uniformes de belleza, si se descubren fórmulas generales de belleza que unen el concepto de belleza de los objetos más diversos -desde una flor de manzanilla (¡¿no es hermosa?!) hasta la belleza de un cuerpo humano desnudo.
De las muchas relaciones que las personas han usado durante mucho tiempo al crear obras armónicas, hay una, la única e inimitable, que tiene propiedades únicas. Corresponde a tal división del todo en dos partes, en la que la razón de la parte mayor a la menor es igual a la razón del todo a la parte mayor. Esta proporción se llama diferentemente- "oro", "divino". La información más antigua al respecto se remonta al apogeo de la cultura antigua. La proporción áurea se menciona en las obras de los grandes filósofos griegos Pitágoras, Platón, Euclides. Pitágoras, Platón, Euclides
El artista e ingeniero Leonardo da Vinci, que estudió y elogió la proporción áurea a lo largo de su vida, la llama la "sección áurea". El nombre Leonardo da Vinci ha sobrevivido hasta nuestros días. leonardo da vinci
Principios de formación en la naturaleza Todo lo que adquirió alguna forma, se formó, creció, se esforzó por ocupar un lugar en el espacio y conservarse. Esta aspiración encuentra cumplimiento principalmente en dos variantes: crecimiento ascendente o esparcimiento sobre la superficie de la tierra y retorciéndose en espiral. La concha está torcida en espiral. Si lo despliegas, obtienes una longitud ligeramente inferior a la longitud de la serpiente. Una pequeña concha de diez centímetros tiene una espiral de 35 cm de largo Las espirales son muy comunes en la naturaleza. El concepto de la proporción áurea estará incompleto, por no decir el de la espiral.
Espiral de Arquímedes La forma de una concha enroscada en espiral atrajo la atención de Arquímedes. Lo estudió y dedujo la ecuación de la espiral. La espiral dibujada según esta ecuación se llama por su nombre. El aumento de su paso es siempre uniforme. En la actualidad, la espiral de Arquímedes es muy utilizada en ingeniería.
Incluso Goethe enfatizó la tendencia de la naturaleza a la espiralidad. La disposición en espiral y en espiral de las hojas en las ramas de los árboles se notó hace mucho tiempo. La espiral se veía en el arreglo de semillas de girasol, en piñas, piñas, cactus, etc. El trabajo conjunto de botánicos y matemáticos ha arrojado luz sobre estos sorprendentes fenómenos naturales. Resultó que en la disposición de las hojas en una rama (filotaxis), semillas de girasol, piñas, se manifiesta la serie de Fibonacci y, por lo tanto, se manifiesta la ley de la sección áurea. La araña teje su telaraña en forma de espiral. Un huracán está en espiral. Una manada asustada de renos se dispersa en espiral. La molécula de ADN se tuerce en una doble hélice. Goethe llamó a la espiral "la curva de la vida".
Entre las hierbas al borde de la carretera crece una planta común: la achicoria. Echémosle un vistazo más de cerca. Se formó una rama a partir del tallo principal. Aquí está la primera hoja. El proceso hace una fuerte eyección al espacio, se detiene, suelta una hoja, pero ya más corta que la primera, vuelve a hacer una eyección al espacio, pero de menor fuerza, suelta una hoja de tamaño aún menor y vuelve a eyección. Si el primer valor atípico se toma como 100 unidades, entonces el segundo es igual a 62 unidades, el tercero es 38, el cuarto es 24 y así sucesivamente. La longitud de los pétalos también está sujeta a la proporción áurea. En el crecimiento, la conquista del espacio, la planta conserva ciertas proporciones. Sus impulsos de crecimiento disminuyeron gradualmente en proporción a la proporción áurea.
El interés del hombre por la naturaleza condujo al descubrimiento de sus leyes físicas y matemáticas. La belleza de las formas naturales nace de la interacción de dos fuerzas físicas: la gravedad y la inercia. La proporción áurea es el símbolo matemático de esta interacción, ya que expresa los puntos principales de un crecimiento vibrante: el crecimiento rápido de los brotes jóvenes es reemplazado por un crecimiento lento "por inercia" hasta el momento de la floración. Considerando la disposición de las hojas en el tallo común de muchas plantas, se puede notar que entre cada dos pares de hojas, la tercera se ubica en el lugar de la sección áurea. El punto C divide al segmento AB en proporción áurea, el punto E divide al segmento DA en proporción áurea, y así sucesivamente. La espiral dorada también se puede ver en las criaturas de la naturaleza.
Considere la disposición de semillas en una canasta de girasol. Se alinean a lo largo de espirales que giran tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. El girasol promedio tiene 13 espirales torcidas en una dirección, 21 en la otra.La relación 13/21 es igual a j. En inflorescencias de girasol más grandes, el número de espirales correspondientes es mayor, pero la proporción del número de espirales que giran en diferentes direcciones también es igual al número j.
Una disposición en espiral similar se ve en las escamas de los conos de pino o en las células de la piña. Las conchas de muchos caracoles y moluscos se doblan a lo largo de una espiral dorada, algunas arañas, tejiendo una red, retuercen los hilos alrededor del centro a lo largo de espirales doradas. Los cuernos de Argali se retuercen en espirales doradas.
De todo lo dicho podemos sacar conclusiones: en primer lugar, la proporción áurea es uno de los principales principios fundamentales de la naturaleza; en segundo lugar, la idea humana de la belleza se forma claramente bajo la influencia del orden y la armonía que una persona ve en la naturaleza.
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