Solución de ecuaciones bicuadráticas. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas Comprobación de la corrección de la solución

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Ecuaciones cuadráticas.

Ecuación cuadrática- ecuación algebraica vista general

donde x es una variable libre,

a, b, c, - coeficientes y

Expresión llamado trinomio cuadrado.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

1. MÉTODO : Factorizando el lado izquierdo de la ecuación.

Resolvamos la ecuación x 2 + 10x - 24 = 0... Factoricemos el lado izquierdo:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

(x + 12) (x - 2) = 0

Dado que el producto es cero, al menos uno de sus factores es cero. Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación desaparece en x = 2 y tambien para x = - 12... Esto significa que el número 2 y - 12 son las raíces de la ecuación x 2 + 10x - 24 = 0.

2. MÉTODO : Método de selección de cuadrado completo.

Resolvamos la ecuación x 2 + 6x - 7 = 0... Seleccione un cuadrado completo a la izquierda.

Para hacer esto, escriba la expresión x 2 + 6x en la siguiente forma:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

En la expresión resultante, el primer término es el cuadrado del número x, y el segundo es el producto duplicado de x por 3. Por lo tanto, para obtener un cuadrado completo, debes sumar 3 2, ya que

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Ahora transformamos el lado izquierdo de la ecuación

x 2 + 6x - 7 = 0,

sumando y restando 3 2. Tenemos:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Por lo tanto, esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Por eso, x + 3-4 = 0, x 1 = 1, o x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. MÉTODO :Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula.

Multiplica ambos lados de la ecuación

ax 2 + bx + c = 0, y ≠ 0

en 4 y secuencialmente tenemos:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Ejemplos de.

a) Resolvamos la ecuación: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = segundo 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, dos raíces diferentes;

Así, en el caso de un discriminante positivo, es decir a

b 2 - 4ac> 0, la ecuacion ax 2 + bx + c = 0 tiene dos raíces distintas.

B) Resolvamos la ecuación: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,

D = 0, una raíz

Entonces, si el discriminante es cero, es decir b 2 - 4ac = 0, luego la ecuación

ax 2 + bx + c = 0 tiene una sola raíz,

v) Resolvamos la ecuación: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = segundo 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Esta ecuación no tiene raíces.

Entonces, si el discriminante es negativo, es decir b 2 - 4ac< 0 , la ecuacion

ax 2 + bx + c = 0 no tiene raíces.

Fórmula (1) para las raíces de una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 te permite encontrar las raíces alguna ecuación cuadrática (si la hubiera), incluyendo reducida e incompleta. La fórmula (1) se expresa verbalmente de la siguiente manera: las raíces de una ecuación cuadrática son iguales a una fracción, cuyo numerador es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, más menos la raíz cuadrada del cuadrado de este coeficiente sin el producto cuádruple del primer coeficiente por el término libre, y el denominador es el doble del primer coeficiente.

4. MÉTODO: Resolver ecuaciones usando el teorema de Vieta.

Como sabe, la ecuación cuadrática dada tiene la forma

x 2 + px + c = 0.(1)

Sus raíces satisfacen el teorema de Vieta, que para a = 1 tiene la forma

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Por tanto, se pueden sacar las siguientes conclusiones (los signos de las raíces se pueden predecir a partir de los coeficientes pyq).

a) Si el plazo consolidado q dada la ecuación (1) es positiva ( q> 0), entonces la ecuación tiene dos raíces del mismo signo y esto depende del segundo coeficiente pag... Si R< 0 , entonces ambas raíces son negativas si R< 0 , entonces ambas raíces son positivas.

Por ejemplo,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 y x 2 = 1, porque q = 2> 0 y p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 y x 2 = - 1, porque q = 7> 0 y p = 8> 0.

b) Si el plazo libre q dada la ecuación (1) es negativa ( q< 0 ), entonces la ecuación tiene dos raíces de signo diferente, y la raíz con un valor absoluto mayor será positiva si pag< 0 , o negativo si p> 0 .

Por ejemplo,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 y x 2 = 1, porque q = - 5< 0 y p = 4> 0;

x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9 y x 2 = - 1, porque q = - 9< 0 y p = - 8< 0.

Ejemplos.

1) Resuelve la ecuación 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Solución. Porque a + b + c = 0 (345-137-208 = 0), luego

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Respuesta 1; -208/345.

2) Resuelve la ecuación 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Solución. Porque a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), luego

x 1 = 1, x 2 = c / a = 115/132.

Respuesta 1; 115/132.

B. Si el segundo coeficiente b = 2k Es un número par, entonces la fórmula raíz

Ejemplo.

Resolvamos la ecuación 3x2 - 14x + 16 = 0.

Solución... Tenemos: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 - ac = (- 7) 2-3 16 = 49 - 48 = 1, D> 0, dos raíces diferentes;

Respuesta: 2; 8/3

V. Ecuación reducida

x 2 + px + q = 0

coincide con una ecuación general en la que a = 1, b = p y c = q... Por lo tanto, para la ecuación cuadrática reducida, la fórmula de raíz

Toma la forma:

La fórmula (3) es especialmente conveniente de usar cuando R- número par.

Ejemplo. Resolvamos la ecuación x 2 - 14x - 15 = 0.

Solución. Tenemos: x 1,2 = 7 ±

Respuesta: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. MÉTODO: Resolver ecuaciones gráficamente.

Ejemplo. Resuelve la ecuación x2 - 2x - 3 = 0.

Construyamos una gráfica de la función y = x2 - 2x - 3

1) Tenemos: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f (1) = 12-2-3 = -4. Por tanto, el vértice de la parábola es el punto (1; -4) y el eje de la parábola es la línea recta x = 1.

2) Tome dos puntos en el eje x que sean simétricos con respecto al eje de la parábola, por ejemplo, los puntos x = -1 y x = 3.

Tenemos f (-1) = f (3) = 0. Construyamos los puntos (-1; 0) y (3; 0) en el plano de coordenadas.

3) Dibuja una parábola a través de los puntos (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (Fig.68).

Las raíces de la ecuación x2 - 2x - 3 = 0 son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje x; por tanto, las raíces de la ecuación son las siguientes: x1 = - 1, x2 - 3.

Resolver una ecuación significa encontrar los valores de la incógnita para los que la igualdad será verdadera.

Solución de ecuaciones

Representemos la ecuación de la siguiente forma:

2x * x - 3 * x = 0.

Vemos que los términos de la ecuación del lado izquierdo tienen un factor común x. Saquémoslo del paréntesis y anotémoslo:

x * (2x - 3) = 0.

La expresión resultante es el producto de los factores x y (2x - 3). Recuerde que el producto es igual a 0 si al menos uno de los factores es igual a 0. Por lo tanto, podemos escribir las igualdades:

x = 0 o 2x - 3 = 0.

Entonces, una de las raíces de la ecuación original es x 1 = 0.
Encuentra la segunda raíz resolviendo la ecuación 2x - 3 = 0.

En esta expresión, 2x es la disminución, 3 es la resta, 0 es la diferencia. Para encontrar lo restado, es necesario sumar lo restado a la diferencia:

En la última expresión, 2 y x son factores, 3 es el producto. Para encontrar un factor desconocido, debe dividir el producto por un factor conocido:

Por lo tanto, encontramos la segunda raíz de la ecuación: x 2 = 1.5.

Comprobación de la corrección de la solución.

Para saber si la ecuación se resuelve correctamente, es necesario sustituirla valores numéricos xy realice las operaciones aritméticas necesarias. Si, como resultado de los cálculos, resulta que los lados izquierdo y derecho de la expresión tienen el mismo valor, entonces la ecuación se resuelve correctamente.

Vamos a revisar:

Calculamos el valor de la expresión original en x 1 = 0 y obtenemos:

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0, correcto.

Calculamos el valor de la expresión en x 2 = 0 y obtenemos:

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0, correcto.

Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.

Respuesta: x 1 = 0, x 2 = 1,5.

Resuelve la ecuación NS 2 + (1-x) 2 = x

Demuestre que no hay números enteros que aumenten 5 veces desde la permutación del dígito inicial hasta el final.

En cierto reino, cada dos son amigos o enemigos. Cada persona puede en algún momento pelear con todos los amigos y hacer las paces con todos los enemigos. Resultó que cada tres personas pueden convertirse en amigos de esta manera. Demuestre que entonces todas las personas de este reino pueden hacerse amigas.

En un triángulo, una de las medianas es perpendicular a una de las bisectrices. Demuestre que uno de los lados de este triángulo es dos veces más grande que el otro.

Tareas para la Olimpiada distrital (ciudad) de escolares en matemáticas.

En tiro al blanco, el atleta eliminó solo 8,9 y 10 puntos. En total, después de haber hecho más de 11 tiros, eliminó exactamente 100 puntos. ¿Cuántos tiros hizo el atleta y cuáles fueron los golpes?

Demuestre la verdad de la desigualdad:

3. Resuelve la ecuación:

Encuentra un número de tres dígitos que disminuya 7 veces después de tachar el dígito del medio.

En el triángulo ABC, las bisectrices se dibujan desde los vértices A y B. Luego, las líneas rectas paralelas a estas bisectrices se dibujan desde el vértice C. Los puntos D y E de intersección de estas líneas con bisectrices están conectados. Resultó que las líneas rectas DE y AB son paralelas. Demuestre que el triángulo ABC es isósceles.

Tareas para la Olimpiada distrital (ciudad) de escolares en matemáticas.

Resuelve el sistema de ecuaciones:

En los lados AB e INFIERNO del paralelogramo AVSD, se toman los puntos E y K, respectivamente, de modo que el segmento EK es paralelo a la diagonal VD. Demuestra que las áreas de los triángulos ALL y SDK son iguales.

Se decidió acomodar al grupo de turistas en los buses para que cada bus tuviera el mismo número de pasajeros. Al principio, se subieron 22 personas a cada autobús, pero resultó que no era posible acomodar a un turista. Cuando un autobús se quedó vacío, todos los turistas subieron por igual a los autobuses restantes. ¿Cuántos autobuses había inicialmente y cuántos turistas había en el grupo, si se sabe que cada autobús no tiene capacidad para más de 32 personas?

Tareas para la Olimpiada distrital (ciudad) de escolares en matemáticas.

Resuelve el sistema de ecuaciones:

Demuestre que las cuatro distancias desde un punto de un círculo hasta la parte superior de un cuadrado inscrito en él no pueden ser números racionales al mismo tiempo.

Posibles soluciones a problemas.

1. Respuesta: x = 1, x = 0.5

Desde reorganizar el dígito inicial hasta el final, el significado del número no cambiará. En este caso, según la condición del problema, se debe obtener un número 5 veces mayor que el primer número. Por lo tanto, el primer dígito del número requerido debe ser igual a 1 y solo 1. (ya que si el primer dígito es 2 o más, entonces el valor cambiará, 2 * 5 = 10). Al reorganizar 1 al final, el número resultante termina en 1, por lo tanto, no es divisible por 5.

Se deduce de la condición de que si A y B son amigos, entonces C es su enemigo común o un amigo común (de lo contrario, los tres no se reconciliarán). Tomemos a todos los amigos del hombre A. De lo que se ha dicho se sigue que todos son amigos entre sí y están en enemistad con los demás. Ahora deje que A y sus amigos se turnen para pelear con amigos y hacer las paces con los enemigos. Después de eso, todos serán amigos.

De hecho, sea A el primero en pelear con sus amigos y hacer las paces con sus enemigos, pero luego cada uno de sus antiguos amigos lo tolerará, y antiguos enemigos Seguirán siendo amigos. Entonces, todas las personas resultan ser amigas de A y, por lo tanto, amigas entre sí.

El número 111 es divisible por 37, por lo que la cantidad mencionada también es divisible por 37.

Por condición, el número es divisible por 37, por lo que la suma

Divisible por 37.

Tenga en cuenta que la mediana y la bisectriz indicadas no pueden salir de un vértice, ya que de lo contrario el ángulo en este vértice sería mayor que 180 0. Ahora supongamos que en el triángulo ABC la bisectriz AD y la mediana CE se cruzan en el punto F.Entonces AF es la bisectriz y la altura en el triángulo ACE, lo que significa que este triángulo es isósceles (AC = AE), y dado que CE es la mediana, entonces AB = 2AE y, por tanto, AB = 2AC.

Posibles soluciones a problemas.

1. Respuesta: 9 tiros de 8 puntos,

2 tiros de 9 puntos,

1 tiro por 10 puntos.

Permitir X tiros fueron hechos por un atleta, eliminando 8 puntos, y tiros de 9 puntos, z tiros de 10 puntos. Entonces puedes componer un sistema:

Usando la primera ecuación del sistema, escribimos:

De este sistema se deduce que X+ y+ z=12

Multiplica la segunda ecuación por (-8) y suma a la primera. Lo entendemos y+2 z=4 , dónde y=4-2 z, y=2(2- z) ... Por eso, a- un número par, es decir y = 2t, dónde .

Por eso,

3. Respuesta: x = -1/2, x = -4

Después de reducir las fracciones a un denominador, obtenemos

4. Respuesta: 105

Denotemos por X, y, z respectivamente, el primer, segundo y tercer dígito del número de tres dígitos deseado. Entonces se puede escribir como. Tachar el dígito del medio resultará en un número de dos dígitos. Por la condición del problema, es decir números desconocidos X, y, z satisfacer la ecuación

7(10 X+ z)=100 X+10 y+ X, que después de reducir términos y abreviaturas similares toma la forma 3 z=15 X+5 y.

De esta ecuación se deduce que z debe ser divisible entre 5 y debe ser positivo, ya que by condition. Por lo tanto, z = 5 y los números x, y satisfacer la ecuación 3 = 3x + y, que, en virtud de la condición, tiene una solución única x = 1, y = 0. Por lo tanto, la condición del problema se satisface con el único número 105.

Denotemos con la letra F el punto en el que las rectas AB y CE se cruzan. Dado que las rectas DB y CF son paralelas, entonces. Dado que BD es la bisectriz del ángulo ABC, concluimos que. De ahí se sigue que, es decir, triángulo BCF es isósceles y BC = BF. Pero se sigue de la condición de que el cuadrilátero BDEF sea un paralelogramo. Por tanto, BF = DE, y por tanto BC = DE. Se demuestra de manera similar que AC = DE. Esto da como resultado la igualdad requerida.

Posibles soluciones a problemas.

De aquí (x + y) 2 = 1 , es decir. x + y = 1 o x + y = -1.

Consideremos dos casos.

a) x + y = 1... Sustituyendo x = 1 - y

B) x + y = -1... Después de la sustitución x = -1-y

Entonces, solo los siguientes cuatro pares de números pueden ser soluciones para el sistema: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2). Sustituyendo en las ecuaciones del sistema original, nos aseguramos de que cada uno de estos cuatro pares sea una solución al sistema.

Los triángulos CDF y BDF tienen una base común FD y alturas iguales, ya que las líneas BC y AD son paralelas. Por tanto, sus áreas son iguales. De manera similar, las áreas de los triángulos BDF y BDE son iguales, ya que la línea BD es paralela a la línea EF. Y las áreas de los triángulos BDE y BCE son iguales, ya que AB es paralelo a CD. Por lo tanto, sigue la igualdad requerida de las áreas de los triángulos CDF y BCE.

Considerando el dominio de la función, construyamos una gráfica.

Usando la fórmula realizar más transformaciones

Aplicando las fórmulas de suma y realizando transformaciones adicionales, obtenemos

5. Respuesta: 24 buses, 529 turistas.

Denotemos por k el número inicial de autobuses. Del planteamiento del problema se desprende que y que el número de todos los turistas es 22 k +1 ... Después de la salida de un autobús, todos los turistas se sentaron en el resto (k-1) autobuses. Por lo tanto, el número 22 k +1 debe ser divisible por k-1... Por lo tanto, el problema se redujo a determinar todos los enteros para los cuales el número

Es un número entero y satisface la desigualdad (el número n es igual al número de turistas sentados en cada autobús y, según el enunciado del problema, el autobús no puede acomodar más de 32 pasajeros).

El número será entero solo cuando el número sea entero. Esto último es posible solo cuando k=2 y en k=24 .

Si k=2 , luego n = 45.

Y si k=24 , luego n = 23.

De esto y de la condición, obtenemos que solo k=24 satisface todas las condiciones del problema.

Por lo tanto, originalmente había 24 autobuses, y el número de turistas es n (k-1) = 23 * 23 = 529

Posibles soluciones a problemas.

1. Respuesta:

Entonces la ecuación tomará la forma:

Tenemos una ecuación cuadrática con respecto a R.

2. Respuesta: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2)

Sumando las ecuaciones del sistema, obtenemos, o

De aquí (x + y) 2 = 1 , es decir. x + y = 1 o x + y = -1.

Consideremos dos casos.

a) x + y = 1... Sustituyendo x = 1 - y en la primera ecuación del sistema, obtenemos

B) x + y = -1... Después de la sustitución x = -1-y en la primera ecuación del sistema, obtenemos

En este artículo, aprenderemos a resolver ecuaciones bicuadráticas.

Entonces, ¿qué tipo de ecuaciones se llaman bicuadráticas?
Todo ecuaciones de la forma ah 4 + bx 2 + C = 0 , dónde a ≠ 0 que son cuadrados con respecto ax 2, y se llaman bicuadráticas ecuaciones. Como puede ver, esta notación es muy similar a escribir una ecuación cuadrática, por lo tanto, resolveremos ecuaciones bicuadráticas usando las fórmulas que usamos para resolver la ecuación cuadrática.

Solo necesitaremos introducir una nueva variable, es decir, denotamos x 2 otra variable, por ejemplo a o t (o cualquier otra letra del alfabeto latino).

Por ejemplo, resuelve la ecuación x 4 + 4x 2-5 = 0.

Nosotros denotamos x 2 a través de a (x 2 = y ) y obtenga la ecuación y 2 + 4y - 5 = 0.
Como puede ver, ya sabe cómo resolver este tipo de ecuaciones.

Resolvemos la ecuación resultante:

D = 4 2 - 4 (- 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (- 4 - 6) / 2 = - 10/2 = - 5,

y 2 = (- 4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.

Volvamos a nuestra variable x.

Tenemos que x 2 = - 5 y x 2 = 1.

Tenga en cuenta que la primera ecuación no tiene soluciones y la segunda da dos soluciones: x 1 = 1 y x 2 = ‒1. Tenga cuidado de no perder la raíz negativa (la mayoría de las veces la respuesta es x = 1, que no es correcta).

Respuesta:- 1 y 1.

Para una mejor comprensión del tema, analizaremos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 2x 4-5 x 2 + 3 = 0.

Sea x 2 = y, luego 2y 2 - 5y + 3 = 0.

D = (- 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 - 1) / (2 2) = 4/4 = 1, y 2 = (5 + 1) / (2 2) = 6/4 = 1,5.

Entonces x 2 = 1 y x 2 = 1.5.

Obtenemos x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = - √1.5, x 4 = √1.5.

Respuesta: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 = 0.

D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (- 5 - 3) / (2 2) = - 8/4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3) / (2 2) = - 2/4 = - 0.5.

Entonces x 2 = - 2 y x 2 = - 0.5. Tenga en cuenta que ninguna de estas ecuaciones tiene solución.

Respuesta: sin soluciones.

Ecuaciones bicuadráticas incompletas- es cuando B = 0 (ax 4 + c = 0) o C = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) se resuelven como ecuaciones cuadráticas incompletas.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación x 4 - 25x 2 = 0

Factoricemos, pongamos x 2 fuera de los corchetes y luego x 2 (x 2 - 25) = 0.

Obtenemos x 2 = 0 o x 2 - 25 = 0, x 2 = 25.

Entonces tenemos raíces 0; 5 y - 5.

Respuesta: 0; 5; – 5.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación 5x 4-45 = 0.

x 2 = - √9 (no tiene soluciones)

x 2 = √9, x 1 = - 3, x 2 = 3.

Como puede ver, sabiendo cómo resolver ecuaciones cuadráticas, puede hacer frente a ecuaciones bicuadráticas.

Si aún tiene preguntas, regístrese para recibir mis lecciones. La tutora es Valentina Galinevskaya.

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