Ecuaciones trigonométricas homogéneas: esquema de solución general. Ecuaciones trigonométricas. Guía completa (2019)

Tipo de lección: Explicación de material nuevo. El trabajo se desarrolla en grupos. Cada grupo tiene un experto que supervisa y guía el trabajo de los estudiantes. Ayuda a los estudiantes débiles a creer en sí mismos al resolver estas ecuaciones.

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Lección por tema

" Ecuaciones trigonométricas homogéneas "

(10 ° grado)

Objetivo:

1. introducir el concepto de ecuaciones trigonométricas homogéneas de I y II grados;
2. formular y elaborar un algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de I y II grados;
3. enseñar a los estudiantes a resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de grados I y II;
4. desarrollar la capacidad de identificar patrones, generalizar;
5. Estimular el interés por el tema, desarrollar un sentido de solidaridad y sana competencia.

Tipo de lección : una lección en la formación de nuevos conocimientos.

Forma de realización: trabajo en grupos.

Equipo: computadora, instalación multimedia

Durante las clases

I. Momento organizativo

En la lección, el sistema de calificación para la evaluación de conocimientos (el profesor explica el sistema de evaluación de conocimientos, cumplimentando la hoja de evaluación por un experto independiente elegido por el profesor entre los alumnos). La lección va acompañada de una presentación. Anexo 1.

Hoja de evaluación No.

n \ n	Apellido nombre	Tarea	Actividad cognitiva	Resolver ecuaciones	Uno mismo Trabaja	Calificación

II. Actualización de conocimientos básicos.

Seguimos estudiando el tema "Ecuaciones trigonométricas". Hoy en la lección te conoceremos con otro tipo de ecuaciones trigonométricas y métodos para resolverlas, por lo que repetiremos lo aprendido. Al resolver todo tipo de ecuaciones trigonométricas, se reducen a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples. Recordemos los tipos principales de ecuaciones trigonométricas más simples. Usa las flechas para hacer coincidir las expresiones.

III. Motivación de aprendizaje.

Tenemos que trabajar para resolver el crucigrama. Una vez resuelto, aprenderemos el nombre de un nuevo tipo de ecuaciones, que aprenderemos a resolver hoy en la lección.

Las preguntas se proyectan en la pizarra. Los estudiantes adivinan, el examinador independiente ingresa puntos en la hoja de evaluación para los estudiantes que responden.

Habiendo resuelto el crucigrama, los chicos leerán la palabra "homogéneo".

Crucigrama.

Si ingresa las palabras correctas, obtendrá el nombre de uno de los tipos de ecuaciones trigonométricas.

1. ¿El valor de una variable que hace que una ecuación sea verdadera? (Raíz)

2.Unidad de ángulos? (Radián)

3. ¿Factor numérico en el producto? (Coeficiente)

4.¿Una sección de matemáticas que trata sobre funciones trigonométricas? (Trigonometría)

5. ¿Qué modelo matemático se necesita para introducir funciones trigonométricas? (Circulo)

6. ¿Cuál de las funciones trigonométricas es par? (Coseno)

7. ¿Cómo se llama la igualdad correcta? (Identidad)

8. ¿Igualdad con una variable? (La ecuacion)

9. ¿Ecuaciones con las mismas raíces? (Equivalente)

10 muchas raíces de una ecuación? (Solución)

IV. Explicación del nuevo material.

El tema de la lección es "Ecuaciones trigonométricas homogéneas". (Presentación)

Ejemplos:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin 4x = cos 4x
4. 2 sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 pecado 2 x - 5 sin x cos x - 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4 sin 2 x - 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. pecado 2x + 2cos 2x = 1

V. Trabajo independiente

Tareas: poner a prueba de forma exhaustiva los conocimientos de los alumnos a la hora de resolver todo tipo de ecuaciones trigonométricas, estimular a los alumnos al autoanálisis, al autocontrol.
Se anima a los estudiantes a completar el trabajo escrito durante 10 minutos.
Los estudiantes actúan en papel de copia en blanco. Al final del tiempo, se recogen las tapas. Trabajo independiente, mientras que las soluciones de copia permanecen con los estudiantes.
El control de trabajo independiente (3 min) se realiza mediante control mutuo.
... Los estudiantes usan bolígrafos de colores para verificar el trabajo escrito de sus vecinos y escriben el nombre del revisor. Luego entregan las hojas.

Luego lo pasan a un experto independiente.

Opción 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x - 2sin x cos x = 1

4) sin 2x⁄sin x = 0

Opción 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x - 2 cos 2 x = 0

3) 1 + sen 2 x = 2 sen x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

Vi. Resumen de la lección

Vii. Cosas del hogar:

Tarea - 12 puntos (se asignaron 3 ecuaciones 4 x 3 = 12 a la casa)

Actividad del alumno - 1 respuesta - 1 punto (4 puntos máximo)

Resolver ecuaciones 1 punto

Trabajo independiente - 4 puntos

Con este video tutorial, los estudiantes podrán explorar el tema de las ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Demos definiciones:

1) una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado se parece a sen x + b cos x = 0;

2) una ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado parece a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Considere la ecuación a sin x + b cos x = 0. Si a es igual a cero, entonces la ecuación se verá así b cos x = 0; si b es cero, entonces la ecuación se verá como un sin x = 0. Estas son las ecuaciones que llamamos las más simples y que resolvimos anteriormente en los temas anteriores.

Ahora consideremos la opción cuando ayb no son iguales a cero. Dividiendo las partes de la ecuación por el coseno xy realiza la transformación. Obtenemos a tg x + b = 0, entonces tg x será igual a - b / a.

De lo anterior se deduce que la ecuación a sen mx + b cos mx = 0 es una ecuación trigonométrica homogénea de grado I. Para resolver la ecuación, sus partes se dividen por cos mx.

Veamos el ejemplo 1. Resuelva 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Primero, divida las partes de la ecuación por el coseno (x / 2). Sabiendo que el seno dividido por el coseno es la tangente, obtenemos 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Al transformar la expresión, encontramos que el valor de la tangente (x / 2) es 5/7. La solución a esta ecuación tiene la forma х = arctan a + πn, en nuestro caso х = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Considere la ecuación a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) para un igual a cero la ecuación se verá como b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Al transformar, obtenemos la expresión cos x (b sin x + c cos x) = 0 y pasamos a resolver dos ecuaciones. Después de dividir las partes de la ecuación por el coseno x, obtenemos b tg x + c = 0, lo que significa tg x = - c / b. Sabiendo que x = arctan a + πn, entonces la solución en este caso será x = arctan (- c / b) + πn.

2) si a no es igual a cero, entonces, al dividir las partes de la ecuación por el coseno al cuadrado, obtenemos una ecuación que contiene la tangente, que será cuadrada. Esta ecuación se puede resolver ingresando una nueva variable.

3) porque con igual a cero, la ecuación tomará la forma a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Esta ecuación se puede resolver sacando el seno x del corchete.

1. vea si hay un sen 2 x en la ecuación;

2. Si el término a sen 2 x está contenido en la ecuación, entonces la ecuación se puede resolver dividiendo ambas partes por el coseno al cuadrado y luego introduciendo una nueva variable.

3. Si un sen 2 x no está contenido en la ecuación, entonces la ecuación se puede resolver sacando cosx de los corchetes.

Consideremos el ejemplo 2. Saquemos el coseno de los corchetes y obtengamos dos ecuaciones. La raíz de la primera ecuación es x = π / 2 + πn. Para resolver la segunda ecuación, dividimos las partes de esta ecuación por el coseno x, al transformar obtenemos x = π / 3 + πn. Respuesta: x = π / 2 + πn y x = π / 3 + πn.

Resolvamos el ejemplo 3, la ecuación de la forma 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 y encontremos sus raíces, que pertenecen al segmento de - π a π. Porque esta ecuación no es homogénea, es necesario llevarla a una forma homogénea. Usando la fórmula sin 2 x + cos 2 x = 1, obtenemos la ecuación sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Dividiendo todas las partes de la ecuación por cos 2 x, obtenemos tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Usando la entrada de la nueva variable z = tg 2x, resolvemos la ecuación, cuya raíz será z = 1. Entonces tg 2x = 1, de donde se sigue que x = π / 8 + ( πn) / 2. Porque según la condición del problema, necesitas encontrar las raíces que pertenecen al segmento de - π a π, la solución tendrá la forma - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

CÓDIGO DE TEXTO:

Ecuaciones trigonométricas homogéneas

Hoy analizaremos cómo se resuelven las "Ecuaciones trigonométricas homogéneas". Estas son ecuaciones de un tipo especial.

Familiaricémonos con la definición.

Ecuación de la forma y sin x +BporqueX = 0 (y el seno x más el coseno x es igual a cero) se denomina ecuación trigonométrica homogénea de primer grado;

ecuación de la forma y sin 2 x +Bpecado xporqueX+ conporque 2 X= 0 (y el seno al cuadrado x más el seno x el coseno x más el coseno al cuadrado x es igual a cero) se denomina ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado.

Si a = 0, entonces la ecuación toma la forma BporqueX = 0.

Si B = 0 , entonces obtenemos y sen x = 0.

Estas ecuaciones son trigonométricas elementales y consideramos su solución en nuestros temas anteriores.

Considerar el caso en el que ambos coeficientes no son iguales a cero. Separa ambos lados de la ecuación. apecadoX+ BporqueX = 0 término por porqueX.

Podemos hacer esto, ya que el coseno x es distinto de cero. Después de todo, si porqueX = 0 , luego la ecuación apecadoX+ BporqueX = 0 tomará la forma apecadoX = 0 , a≠ 0, por lo tanto pecadoX = 0 ... Lo cual es imposible, porque de acuerdo con la identidad trigonométrica básica pecado 2 x +porque 2 X=1 .

Dividiendo ambos lados de la ecuación apecadoX+ BporqueX = 0 término por porqueX, obtenemos: + = 0

Realicemos las transformaciones:

1. Dado que = tg x, entonces =una tg x

2 cortar por porqueX, luego

Así, obtenemos la siguiente expresión una tg x + b = 0.

Llevemos a cabo la transformación:

1. mueva b al lado derecho de la expresión con el signo opuesto

a tg x = - b

2. Deshazte del multiplicador y dividiendo ambos lados de la ecuación por un

tg x = -.

Conclusión: ecuación de la forma y el pecadometrox +Bporquemx = 0 (y el seno em x más el coseno em x es igual a cero) también se denomina ecuación trigonométrica homogénea de primer grado. Para resolverlo, divide ambas partes en porquemx.

EJEMPLO 1. Resuelva la ecuación 7 sin - 5 cos = 0 (siete seno x por dos menos cinco coseno x por dos es igual a cero)

Solución. Dividimos ambos lados del término de la ecuación por cos, obtenemos

1. = 7 tg (dado que la razón del seno al coseno es una tangente, entonces siete seno x por dos dividido por el coseno x por dos es igual a 7 tangente x por dos)

2. -5 = -5 (al reducir cos)

Así es como obtuvimos la ecuación

7tg - 5 = 0, Transformamos la expresión, movemos el menos cinco hacia el lado derecho, cambiando el signo.

Hemos llevado la ecuación a la forma tg t = a, donde t =, a =. Y dado que esta ecuación tiene solución para cualquier valor a y estas soluciones tienen la forma

x = arctan a + πn, entonces la solución de nuestra ecuación tendrá la forma:

Arctg + πn, encuentra x

x = 2 arctan + 2πn.

Respuesta: x = 2 arctan + 2πn.

Pasamos a la ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado

asin 2 x + b sin x cos x +concos 2 x = 0.

Consideremos varios casos.

I. Si a = 0, entonces la ecuación toma la forma BpecadoXporqueX+ conporque 2 X= 0.

Al resolver e entonces las ecuaciones usan el método de factorización. Sacar porqueX entre paréntesis y obtenga: porqueX(BpecadoX+ conporqueX)= 0 ... Dónde porqueX= 0 o

b sin x +concos x = 0. Y ya sabemos cómo resolver estas ecuaciones.

Dividimos ambos lados del término de la ecuación por cosx, obtenemos

1 (ya que la razón de seno a coseno es tangente).

Así, obtenemos la ecuación: B tg x + c = 0

Hemos llevado la ecuación a la forma tg t = a, donde t = x, a =. Y dado que esta ecuación tiene solución para cualquier valor a y estas soluciones tienen la forma

x = arctan a + πn, entonces la solución a nuestra ecuación será:

x = arctan + πn ,.

II. Si a ≠ 0, luego dividimos ambos lados de la ecuación término por término por porque 2 X.

(Argumentando de la misma manera que en el caso de una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado, el coseno x no puede desaparecer).

III. Si c = 0, entonces la ecuación toma la forma apecado 2 X+ BpecadoXporqueX= 0. Esta ecuación se resuelve mediante el método de factorización (sacamos pecadoX fuera del paréntesis).

Por lo tanto, al resolver la ecuación apecado 2 X+ BpecadoXporqueX+ conporque 2 X= 0 puedes actuar de acuerdo con el algoritmo:

EJEMPLO 2. Resuelva la ecuación sinxcosx - cos 2 x = 0 (seno x por coseno x menos raíz de tres por coseno al cuadrado x es cero).

Solución. Factor (ponga cosx fuera del corchete). Obtenemos

cos x (sen x - cos x) = 0, es decir cos x = 0 o sin x - cos x = 0.

Respuesta: x = + πn, x = + πn.

EJEMPLO 3. Resuelva la ecuación 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 (tres seno cuadrado de dos x menos el producto doble del seno de dos x y el coseno de dos x más tres coseno al cuadrado de dos x) y encuentre sus raíces que pertenecen al intervalo (- π; π).

Solución. Esta ecuación no es homogénea, así que hagamos algunas transformaciones. Reemplaza el número 2 en el lado derecho de la ecuación con el producto 2 1

Dado que por la identidad trigonométrica principal sen 2 x + cos 2 x = 1, entonces

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = abriendo el paréntesis obtenemos: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Entonces, la ecuación 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 tomará la forma:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.

Recibió una ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado. Apliquemos el método de división por término por cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Introduzcamos una nueva variable z = tg2x.

Tenemos z 2 - 2 z + 1 = 0. Esta es una ecuación cuadrática. Al notar en el lado izquierdo de la fórmula para la multiplicación reducida, el cuadrado de la diferencia (), obtenemos (z - 1) 2 = 0, es decir, z = 1. Volvamos al cambio inverso:

Llevamos la ecuación a la forma tg t = a, donde t = 2x, a = 1. Y dado que esta ecuación tiene solución para cualquier valor a y estas soluciones tienen la forma

x = arctan x a + πn, entonces la solución a nuestra ecuación será:

2x = arctg1 + πn,

x = +, (x es igual a la suma de pi por ocho y pi en por dos).

Nos queda por encontrar los valores de x que están contenidos en el intervalo

(- π; π), es decir satisfacer la doble desigualdad - π х π. Porque

x = +, luego - π + π. Dividimos todas las partes de esta desigualdad por π y multiplicamos por 8, obtenemos

mueva 1 a la derecha y a la izquierda, cambiando el signo a menos uno

dividido por cuatro obtenemos,

por conveniencia, seleccione partes enteras en fracciones

-

Esta desigualdad se satisface con el siguiente entero n: -2, -1, 0, 1

Tema de la lección: "Ecuaciones trigonométricas homogéneas"

(10 ° grado)

Objetivo: introducir el concepto de ecuaciones trigonométricas homogéneas de I y II grados; formular y elaborar un algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de I y II grados; enseñar a los estudiantes a resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de grados I y II; desarrollar la capacidad de identificar patrones, generalizar; Estimular el interés por el tema, desarrollar un sentido de solidaridad y sana competencia.

Tipo de lección: lección en la formación de nuevos conocimientos.

Forma de realización: trabajo en grupos.

Equipo: computadora, instalación multimedia

Durante las clases

Organizando el tiempo

Salude a los estudiantes, movilice la atención.

En la lección, el sistema de calificación para la evaluación de conocimientos (el profesor explica el sistema de evaluación de conocimientos, cumplimentando la hoja de evaluación por un experto independiente elegido por el profesor entre los alumnos). La lección va acompañada de una presentación. .

Actualización de conocimientos básicos.

La tarea es revisada y evaluada por un experto independiente y consultores antes de la lección y se completa una hoja de puntuación.

El maestro resume la tarea.

Maestro: Seguimos estudiando el tema "Ecuaciones trigonométricas". Hoy en la lección te conoceremos con otro tipo de ecuaciones trigonométricas y métodos para resolverlas, por lo que repetiremos lo aprendido. Al resolver todo tipo de ecuaciones trigonométricas, se reducen a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples.

Se verifica la tarea individual hecha en grupo. Defensa de la ponencia "Soluciones de las ecuaciones trigonométricas más simples"

(El trabajo del grupo es evaluado por un experto independiente)

Motivación de aprendizaje.

Maestro: tenemos que trabajar para resolver el crucigrama. Una vez resuelto, aprenderemos el nombre de un nuevo tipo de ecuaciones, que aprenderemos a resolver hoy en la lección.

Las preguntas se proyectan en la pizarra. Los estudiantes adivinan, el examinador independiente ingresa puntos en la hoja de evaluación para los estudiantes que responden.

Habiendo resuelto el crucigrama, los chicos leerán la palabra "homogéneo".

Asimilación de nuevos conocimientos.

Maestro: El tema de la lección es "Ecuaciones trigonométricas homogéneas".

Escribamos el tema de la lección en un cuaderno. Las ecuaciones trigonométricas homogéneas son de primer y segundo grado.

Escribamos la definición de una ecuación homogénea de primer grado. Estoy usando un ejemplo para mostrar la solución de este tipo de ecuación, usted crea un algoritmo para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado.

Ecuación de la forma a sinx + B cosx = 0 se denomina ecuación trigonométrica homogénea de primer grado.

Considere la solución de la ecuación cuando los coeficientes a y v diferente de 0.

Ejemplo: sinx + cosx = 0

R Dividiendo ambos lados del término de la ecuación por cosx, obtenemos

¡Atención! Es posible dividir por 0 solo si esta expresión no se convierte en 0. Analicemos. Si el coseno es 0, entonces el seno será igual a 0, dado que los coeficientes son diferentes de 0, pero sabemos que el seno y el coseno se desvanecen en diferentes puntos. Por tanto, esta operación se puede realizar al resolver este tipo de ecuaciones.

Algoritmo para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado: dividir ambos lados de la ecuación por cosx, cosx 0

Ecuación de la forma a sin mx +B cos mx = 0 También se denomina ecuación trigonométrica homogénea de primer grado y también se resuelve la división de ambos lados de la ecuación por el coseno mх.

Ecuación de la forma a pecado 2 x +B sinx cosx +C cos2x = 0 llamada ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado.

Ejemplo : pecado 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x = 0

El coeficiente a es diferente de 0 y, por lo tanto, al igual que la ecuación anterior, cosx no es igual a 0 y, por lo tanto, puede usar el método de dividir ambos lados de la ecuación por cos 2 x.

Obtenemos tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Resolvemos introduciendo una nueva variable sea tgx = a, luego obtenemos la ecuación

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 - 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Volver al reemplazo

Respuesta:

Si el coeficiente a = 0, entonces la ecuación tomará la forma 2sinx cosx - 3cos2x = 0 resolvemos poniendo el factor común cosx fuera de los corchetes. Si el coeficiente c = 0, entonces la ecuación tomará la forma sin2x + 2sinx cosx = 0 tomando el factor común sinx fuera de los corchetes. Algoritmo para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado:

Vea si la ecuación contiene el término asin2 x.

Si el término asin2 x está contenido en la ecuación (es decir, un 0), entonces la ecuación se resuelve dividiendo ambos lados de la ecuación por cos2x y luego introduciendo una nueva variable.

Si el término asin2 x no está contenido en la ecuación (es decir, a = 0), entonces la ecuación se resuelve mediante el método de factorización: cosx se saca de los corchetes. Las ecuaciones homogéneas de la forma a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 se resuelven de la misma manera

El algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas está escrito en el libro de texto en la página 102.

Educación Física

Formación de habilidades para la resolución de ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Abrir libros de problemas página 53

Los grupos 1 y 2 deciden No. 361-v

Los grupos 3 y 4 deciden No. 363-v

Muestran la solución en la pizarra, explican, complementan. Evalúa un experto independiente.

Solución de ejemplos del libro de problemas n. ° 361-v
sinx - 3cosx = 0
dividimos ambos lados de la ecuación por cosx 0, obtenemos

No. 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
dividimos ambos lados de la ecuación por cos2x, obtenemos tg2x + tgx - 2 = 0

resolvemos introduciendo una nueva variable
sea ​​tgx = a, entonces obtenemos la ecuación
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
volver al reemplazo

Trabajo independiente.

Resuelve las ecuaciones.

2 cosx - 2 = 0

2cos2x - 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0

Al final del trabajo independiente, se cambia el trabajo y el control mutuo. Las respuestas correctas se proyectan en la pizarra.

Luego lo pasan a un experto independiente.

Solución de auto-trabajo

Resumiendo la lección.

¿Qué tipo de ecuaciones trigonométricas conocimos en la lección?

Algoritmo para la resolución de ecuaciones trigonométricas de primer y segundo grado.

Cosas del hogar: § Leer 20,3. No. 361 (d), 363 (b), dificultad adicional No. 380 (a).

Crucigrama.

Si ingresa las palabras correctas, obtendrá el nombre de uno de los tipos de ecuaciones trigonométricas.

¿El valor de una variable que hace que la ecuación sea verdadera? (Raíz)

Unidad de ángulo? (Radián)

¿Un factor numérico en un producto? (Coeficiente)

¿Una rama de las matemáticas que estudia funciones trigonométricas? (Trigonometría)

¿Qué modelo matemático se necesita para introducir funciones trigonométricas? (Circulo)

¿Qué función trigonométrica es par? (Coseno)

¿Cómo se llama la igualdad correcta? (Identidad)

¿Igualdad con una variable? (La ecuacion)

¿Ecuaciones con las mismas raíces? (Equivalente)

Conjunto de raíces de una ecuación ? (Solución)

Papel de evaluación

№
n \ n

Apellido, nombre del profesor

Tarea

Presentación

Actividad cognitiva
estudio

Resolver ecuaciones

Uno mismo
Trabaja

Tarea - 12 puntos (se asignaron 3 ecuaciones 4 x 3 = 12 a la casa)

Presentación - 1 punto

Actividad del alumno - 1 respuesta - 1 punto (4 puntos máximo)

Resolver ecuaciones 1 punto

Trabajo independiente - 4 puntos

Valoración al grupo:

"5" - 22 puntos o más
"4" - 18 - 21 puntos
"3" - 12 - 17 puntos

Hoy abordaremos ecuaciones trigonométricas homogéneas. Primero, descubramos la terminología: qué es una ecuación trigonométrica homogénea. Tiene las siguientes características:

1. debe contener varios términos;
2. todos los términos deben tener el mismo grado;
3. todas las funciones incluidas en una identidad trigonométrica homogénea deben tener necesariamente el mismo argumento.

Algoritmo para resolver

Señalemos los términos

Y si todo está claro con el primer punto, entonces vale la pena hablar del segundo con más detalle. ¿Qué significa el mismo grado de términos? Echemos un vistazo a la primera tarea:

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

El primer término de esta ecuación es 3cosx 3 \ cos x. Tenga en cuenta que aquí solo hay una función trigonométrica: cosx\ cos x - y no hay otras funciones trigonométricas presentes aquí, por lo que el grado de este término es 1. Lo mismo con el segundo - 5sinx 5 \ sin x - aquí solo está presente el seno, es decir, el grado de este término también es igual a uno. Entonces, ante nosotros hay una identidad que consta de dos elementos, cada uno de los cuales contiene una función trigonométrica y, al mismo tiempo, solo una. Ésta es una ecuación de primer grado.

Pasando a la segunda expresión:

4pecado2 x + sen2x - 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

El primer miembro de esta construcción es 4pecado2 X 4 ((\ sin) ^ (2)) x.

Ahora podemos escribir la siguiente solución:

pecado2 x = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

En otras palabras, el primer término contiene dos funciones trigonométricas, es decir, su grado es dos. Tratemos con el segundo elemento: sin2x\ sin 2x. Recordemos esta fórmula, la fórmula del doble ángulo:

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

Y nuevamente, en la fórmula resultante, tenemos dos funciones trigonométricas: seno y coseno. Por tanto, el valor exponencial de este término también es dos.

Pasamos al tercer elemento - 3. Del curso de matemáticas de la escuela secundaria, recordamos que cualquier número se puede multiplicar por 1, y escribimos:

˜ 3=3⋅1

Y la unidad que usa la identidad trigonométrica básica se puede escribir de la siguiente forma:

1=pecado2 x⋅ porque2 X

1 = ((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

Por lo tanto, podemos reescribir 3 de la siguiente manera:

3=3(pecado2 x⋅ porque2 X)=3pecado2 x + 3 porque2 X

3 = 3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ right) = 3 ((\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x

Así, nuestro término 3 se dividió en dos elementos, cada uno de los cuales es homogéneo y tiene el segundo grado. El seno en el primer término ocurre dos veces, el coseno en el segundo también dos veces. Por lo tanto, 3 también se puede representar como un término con un exponente de potencia de dos.

La tercera expresión es la misma:

pecado3 x + pecado2 xcosx = 2 porque3 X

Vamos a ver. El primer término es pecado3 X((\ sin) ^ (3)) x es una función trigonométrica de tercer grado. El segundo elemento es pecado2 xcosx((\ sin) ^ (2)) x \ cos x.

pecado2 ((\ sin) ^ (2)) es un enlace con un valor de potencia de dos, multiplicado por cosx\ cos x es el primer término. En total, el tercer término también tiene un valor de potencia de tres. Finalmente, hay un enlace más a la derecha: 2porque3 X 2 ((\ cos) ^ (3)) x es un elemento de tercer grado. Así, tenemos ante nosotros una ecuación trigonométrica homogénea de tercer grado.

Hemos escrito tres identidades de diferentes grados. Note nuevamente la segunda expresión. En la notación original, uno de los miembros tiene un argumento 2x 2x. Nos vemos obligados a deshacernos de este argumento transformándolo de acuerdo con el seno de una fórmula de doble ángulo, porque todas las funciones incluidas en nuestra identidad deben tener necesariamente el mismo argumento. Y este es un requisito para las ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Usamos la fórmula de la identidad trigonométrica principal y anotamos la solución final

Descubrimos los términos, pasemos a la solución. Independientemente del exponente exponencial, la solución de igualdades de este tipo siempre se realiza en dos pasos:

1) prueba eso

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0. Para ello, basta recordar la fórmula de la identidad trigonométrica principal (pecado2 x⋅ porque2 x = 1)\ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ right) y sustituya en esta fórmula cosx = 0\ cos x = 0. Obtenemos la siguiente expresión:

pecado2 x = 1senx = ± 1

\ begin (align) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ end (align)

Sustituyendo los valores obtenidos, es decir, en lugar de cosx\ cos x es cero, y en lugar de sinx\ sin x - 1 o -1, en la expresión original, obtenemos una igualdad numérica no válida. Esta es la razón por la que

cosx ≠ 0

2) el segundo paso se sigue lógicamente del primero. En la medida en

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0, dividimos ambos lados de la construcción por porquenorte X((\ cos) ^ (n)) x, donde norte n es el exponente de potencia de una ecuación trigonométrica homogénea. Que nos aporta:

\ [\ begin (matriz) ((35) (l))

sinxcosx= tgxcosxcosx=1

\ begin (align) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ end (align) \\ () \\ \ end (matriz) \]

Debido a esto, nuestra engorrosa construcción inicial se reduce a la ecuación norte n-potencia con respecto a la tangente, cuya solución es fácil de escribir usando cambio de variable. Ese es todo el algoritmo. Veamos cómo funciona en la práctica.

Resolvemos problemas reales

Problema número 1

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Ya hemos descubierto que se trata de una ecuación trigonométrica homogénea con un exponente de potencia igual a uno. Por tanto, en primer lugar, averigüemos que cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Suponga lo contrario, que

cosx = 0 → senx = ± 1

\ cos x = 0 \ a \ sin x = \ pm 1.

Sustituyendo el valor resultante en nuestra expresión, obtenemos:

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ begin (align) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ end (align)

Basándonos en esto, podemos decir que cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Divida nuestra ecuación por cosx\ cos x, porque toda nuestra expresión tiene un valor de potencia de uno. Obtenemos:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3 + 5tgx = 0tgx = - 3 5

\ begin (align) & 3 \ left (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ right) +5 \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ right) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ end (alinear)

Este no es un valor de tabla, por lo que la respuesta incluirá arctgx arctgx:

x = arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x = arctg \ left (- \ frac (3) (5) \ right) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

En la medida en arctg arctg arctg es una función extraña, podemos sacar el "menos" del argumento y ponerlo antes de arctg. Obtenemos la respuesta final:

x = −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ en Z

Problema número 2

4pecado2 x + sen2x - 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Como recordará, antes de comenzar a resolverlo, debe realizar algunas transformaciones. Realizamos transformaciones:

4pecado2 x + 2sinxcosx - 3 (pecado2 x + porque2 X)=0 4pecado2 x + 2sinxcosx - 3 pecado2 x - 3 porque2 x = 0pecado2 x + 2sinxcosx - 3 porque2 x = 0

\ begin (align) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2)) x \ derecha) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ fin (alinear)

Conseguimos una estructura que consta de tres elementos. En el primer trimestre vemos pecado2 ((\ sin) ^ (2)), es decir, su valor exponencial es dos. En el segundo término, vemos sinx\ sin x y cosx\ cos x - nuevamente hay dos funciones, se multiplican, por lo que la potencia total es nuevamente dos. En el tercer enlace vemos porque2 X((\ cos) ^ (2)) x - similar al primer valor.

Demostremos que cosx = 0\ cos x = 0 no es una solución a esta construcción. Para hacer esto, asuma lo contrario:

\ [\ begin (matriz) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ end (matriz) \]

Hemos probado que cosx = 0\ cos x = 0 no puede ser una solución. Pasamos al segundo paso: dividimos toda nuestra expresión en porque2 X((\ cos) ^ (2)) x. ¿Por qué al cuadrado? Porque el exponente de esta ecuación homogénea es dos:

pecado2 Xporque2 X+2sinxcosxporque2 X−3=0 t gramo2 x + 2tgx - 3 = 0

\ begin (align) & \ frac (((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ end (alinear)

¿Es posible resolver esta expresión usando el discriminante? Seguro. Pero propongo recordar el teorema inverso del teorema de Vieta, y obtenemos que este polinomio se puede representar en forma de dos polinomios simples, a saber:

(tgx + 3) (tgx - 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n, n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + π k, k∈Z

\ begin (align) & \ left (tgx + 3 \ right) \ left (tgx-1 \ right) = 0 \\ & tgx = -3 \ to x = -arctg3 + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ end (align)

Muchos estudiantes preguntan si vale la pena escribir coeficientes separados para cada grupo de soluciones a identidades o no molestarse y escribir el mismo en todas partes. Personalmente, creo que es mejor y más confiable usar letras diferentes, para que en el caso de que ingreses a una universidad técnica seria con pruebas adicionales en matemáticas, los evaluadores no encuentren fallas en la respuesta.

Problema número 3

pecado3 x + pecado2 xcosx = 2 porque3 X

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

Ya sabemos que esta es una ecuación trigonométrica homogénea de tercer grado, no se necesitan fórmulas especiales, y todo lo que se requiere de nosotros es transferir el término 2porque3 X 2 ((\ cos) ^ (3)) x izquierda. Reescribimos:

pecado3 x + pecado2 xcosx - 2 porque3 x = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

Vemos que cada elemento contiene tres funciones trigonométricas, por lo que esta ecuación tiene un valor de potencia igual a tres. Lo solucionamos. En primer lugar, debemos demostrar que cosx = 0\ cos x = 0 no es una raíz:

\ [\ begin (matriz) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ end (matriz) \]

Conectemos estos números a nuestra construcción original:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ begin (align) & ((\ left (\ pm 1 \ right)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ end (alinear)

Por eso, cosx = 0\ cos x = 0 no es una solución. Hemos probado que cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Ahora que hemos probado esto, dividimos nuestra ecuación original por porque3 X((\ cos) ^ (3)) x. ¿Por qué en cubos? Porque acabamos de demostrar que nuestra ecuación original es de tercer grado:

pecado3 Xporque3 X+pecado2 xcosxporque3 X−2=0 t gramo3 x + t gramo2 x - 2 = 0

\ begin (align) & \ frac (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ end (alinear)

Introduzcamos una nueva variable:

tgx = t

Reescribimos la construcción:

t3 +t2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

Ante nosotros hay una ecuación cúbica. ¿Cómo resolverlo? Inicialmente, cuando estaba compilando este video tutorial, planeé hablar preliminarmente sobre la factorización de polinomios y otras técnicas. Pero en este caso todo es mucho más sencillo. Mira, nuestra identidad reducida, con el término de mayor grado, es 1. Además, todos los coeficientes son números enteros. Esto significa que podemos usar el corolario del teorema de Bezout, que establece que todas las raíces son divisores del número -2, es decir, el término libre.

Surge la pregunta: cuál es la división de -2. Dado que 2 es un número primo, no hay tantas opciones. Estos pueden ser los siguientes números: 1; 2; -1; -2. Las raíces negativas se caen de inmediato. ¿Por qué? Debido a que ambos son mayores que 0 en módulo, por lo tanto, t3 ((t) ^ (3)) será mayor en módulo que t2 ((t) ^ (2)). Y dado que el cubo es una función impar, el número en el cubo será negativo y t2 ((t) ^ (2)) - positivo, y toda esta construcción, para t = −1 t = -1 y t = −2 t = -2, no será mayor que 0. Reste -2 y obtenga un número que ciertamente es menor que 0. Solo quedan 1 y 2. Sustituyamos cada uno de estos números:

˜ t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ to \ text () 1 + 1-2 = 0 \ to 0 = 0

Conseguimos la igualdad numérica correcta. Por eso, t = 1 t = 1 es una raíz.

t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 ≠ 0

t = 2 \ a 8 + 4-2 = 0 \ a 10 \ ne 0

t = 2 t = 2 no es una raíz.

Según el corolario y el mismo teorema de Bezout, cualquier polinomio cuya raíz sea X0 ((x) _ (0)), representan en la forma:

Q (x) = (x = X0 ) P (x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

En nuestro caso, en el rol X x es la variable t t, y en el papel X0 ((x) _ (0)) - raíz igual a 1. Obtenemos:

t3 +t2 −2 = (t - 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t)

Cómo encontrar un polinomio PAG (t) P \ left (t \ right)? Obviamente, debe hacer lo siguiente:

P (t) = t3 +t2 −2 t - 1

P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

Sustituimos:

t3 +t2 + 0⋅t - 2t - 1=t2 + 2t + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

Entonces, nuestro polinomio original se dividió sin un resto. Por lo tanto, podemos reescribir nuestra igualdad original como:

(t - 1) ( t2 + 2t + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero. Ya hemos considerado el primer factor. Echemos un vistazo al segundo:

t2 + 2t + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

Los estudiantes experimentados, probablemente, ya se han dado cuenta de que esta construcción no tiene raíces, pero aún calculemos el discriminante.

D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

El discriminante es menor que 0, por lo tanto, la expresión no tiene raíces. En total, la enorme construcción se ha reducido a la igualdad habitual:

\ [\ begin (matriz) ((35) (l))

t = \ text () 1 \\ tgx = \ text () 1 \\ x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ end (matriz) \]

En conclusión, me gustaría agregar un par de comentarios sobre el último problema:

1. si la condición siempre se cumplirá cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0, y vale la pena comprobarlo. Por supuesto, no siempre. En los casos en que cosx = 0\ cos x = 0 es la solución a nuestra igualdad, debes sacarla de los corchetes, y luego quedará una ecuación homogénea completa entre corchetes.
2. cuál es la división de un polinomio por un polinomio. De hecho, la mayoría de las escuelas no estudian esto, y cuando los estudiantes ven una estructura de este tipo por primera vez, experimentan una leve conmoción. Pero, de hecho, esta es una técnica simple y hermosa que facilita enormemente la solución de ecuaciones de grados superiores. Por supuesto, se le dedicará un video tutorial por separado, que publicaré en un futuro próximo.

Puntos clave

Las ecuaciones trigonométricas homogéneas son un tema favorito en todo tipo de pruebas. Se resuelven de manera muy simple: basta con practicar una vez. Para dejar claro de qué estamos hablando, introduciremos una nueva definición.

Una ecuación trigonométrica homogénea es aquella en la que cada término distinto de cero consta del mismo número de factores trigonométricos. Pueden ser senos, cosenos o sus combinaciones; el método de solución es siempre el mismo.

El grado de una ecuación trigonométrica homogénea es el número de factores trigonométricos incluidos en términos distintos de cero. Ejemplos:

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - identidad del 1er grado;

2 sin2x + 5sinxcosx - 8cos2x = 0

2 \ text (sin) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - 2do grado;

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3er grado;

senx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - y esta ecuación no es homogénea, ya que hay una a la derecha - un término distinto de cero, en el que no hay factores trigonométricos;

sin2x + 2sinx - 3 = 0

\ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 también es una ecuación no homogénea. Elemento sin2x\ sin 2x - segundo grado (ya que puedes representar

sin2x = 2sinxcosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), 2sinx 2 \ sin x es el primero, y el término 3 es generalmente cero, ya que no contiene senos ni cosenos.

Esquema de solución general

El esquema de solución es siempre el mismo:

Pretendamos que cosx = 0\ cos x = 0. Luego senx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - esto se sigue de la identidad principal. Sustituir sinx\ sin x y cosx\ cos x a la expresión original, y si el resultado es una tontería (por ejemplo, la expresión 5=0 5 = 0), pase al segundo punto;

Dividimos todo por la potencia del coseno: cosx, cos2x, cos3x ... - depende del valor de potencia de la ecuación. Obtenemos la igualdad habitual con tangentes, que se resuelve con éxito después de reemplazar tgx = t.

tgx = t Las raíces encontradas serán la respuesta a la expresión original.

En este artículo, veremos una forma de resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Las ecuaciones trigonométricas homogéneas tienen la misma estructura que las ecuaciones homogéneas de cualquier otro tipo. Permítanme recordarles un método para resolver ecuaciones homogéneas de segundo grado:

Considere ecuaciones homogéneas de la forma

Rasgos distintivos de ecuaciones homogéneas:

a) todos los monomios tienen el mismo grado,

b) el término libre es cero,

c) la ecuación contiene grados con dos bases diferentes.

Las ecuaciones homogéneas se resuelven utilizando un algoritmo similar.

Para resolver una ecuación de este tipo, divida ambos lados de la ecuación por (se puede dividir por o por)

¡Atención! Al dividir los lados derecho e izquierdo de la ecuación por una expresión que contiene la incógnita, puede perder raíces. Por tanto, es necesario comprobar si las raíces de la expresión por la que dividimos ambos lados de la ecuación no son las raíces de la ecuación original.

Si es así, escribimos esta raíz para que no nos olvidemos de ella más tarde, y luego la dividimos por esta expresión.

En general, lo primero, al resolver cualquier ecuación, en el lado derecho de la cual hay cero, debe intentar factorizar el lado izquierdo de la ecuación en factores de cualquier manera posible. Y luego equipare cada factor a cero. En este caso, definitivamente no perderemos nuestras raíces.

Entonces, divida cuidadosamente el lado izquierdo de la ecuación en término por término. Obtenemos:

Reducir el numerador y denominador de la segunda y tercera fracciones:

Introduzcamos un reemplazo:

Obtenemos una ecuación cuadrática:

Resolvamos la ecuación cuadrática, encontremos los valores y luego volvamos a la incógnita original.

Al resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas, hay varias cosas importantes a tener en cuenta:

1. La intersección se puede transformar al cuadrado del seno y el coseno usando la identidad trigonométrica básica:

2. El seno y el coseno de un argumento doble son monomios de segundo grado: el seno de un argumento doble se puede convertir fácilmente en el producto de seno y coseno, y el coseno de un argumento doble, en el cuadrado de un seno o coseno:

Consideremos varios ejemplos de resolución de ecuaciones trigonométricas homogéneas.

1. Resolvamos la ecuación:

Este es un ejemplo clásico de una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado: el grado de cada monomio es uno, el término libre es cero.

Antes de dividir ambos lados de la ecuación entre, debe verificar que las raíces de la ecuación no sean las raíces de la ecuación original. Compruebe: si, entonces título = "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Divide ambos lados de la ecuación por.

Obtenemos:

, dónde

, dónde

Respuesta: , dónde

2. Resolvamos la ecuación:

Este es un ejemplo de una ecuación trigonométrica de segundo grado homogénea. Recordamos que si podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación, entonces es recomendable hacerlo. En esta ecuación, podemos quitar los corchetes. Vamos a hacerlo:

Solución de la primera ecuación :, donde

La segunda ecuación es una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado. Para resolverlo, dividimos ambos lados de la ecuación por. Obtenemos:

Respuesta: donde,

3. Resolvamos la ecuación:

Para hacer esta ecuación "homogénea", conviértala en un producto y represente el número 3 como la suma de los cuadrados del seno y el coseno:

Mueva todos los términos a la izquierda, expanda los corchetes y presente términos similares. Obtenemos:

Factoriza el lado izquierdo y establece cada factor igual a cero:

Respuesta: donde,

4. Resolvamos la ecuación:

Vemos lo que podemos dejar fuera de los corchetes. Vamos a hacerlo:

Equipemos cada factor a cero:

Solución a la primera ecuación:

La segunda ecuación de la población es la clásica ecuación homogénea de segundo grado. Las raíces de la ecuación no son las raíces de la ecuación original, entonces dividimos ambos lados de la ecuación por:

Solución a la primera ecuación:

Solución de la segunda ecuación.

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