Teorema di Fermat che ha dimostrato il russo. Ricerca di base. Gli allori della fattoria andarono ai giapponesi

Non ci sono così tante persone al mondo di cui non hanno mai sentito parlare Il grande teorema di Fermat- forse questo è l'unico problema matematico che ha ricevuto così ampio riconoscimento ed è diventato una vera leggenda. È citata in molti libri e film, con il contesto principale di quasi tutti i riferimenti - impossibilità di dimostrare il teorema.

Sì, questo teorema è molto famoso e, in un certo senso, è diventato un "idolo" adorato da matematici dilettanti e professionisti, ma pochi sanno che la sua dimostrazione è stata trovata, ed è successo nel 1995. Ma prima le cose principali.

Quindi, l'ultimo teorema di Fermat (spesso chiamato l'ultimo teorema di Fermat), formulato nel 1637 da un brillante matematico francese Pierre Fermat, è di natura molto semplice e comprensibile a chiunque abbia un'istruzione secondaria. Dice che la formula an + bn = cn non ha soluzioni naturali (cioè non frazionarie) per n> 2. Tutto sembra semplice e chiaro, ma i migliori matematici e dilettanti ordinari hanno faticato a trovare una soluzione per più di tre secoli e mezzo.

Lo stesso Fermat ha affermato di aver fornito una prova molto semplice e concisa della sua teoria, ma non è stata ancora trovata alcuna prova documentale di questo fatto. Pertanto, ora si crede che lui Fermat non è mai stato in grado di trovare una soluzione generale al suo teorema., sebbene abbia scritto una dimostrazione privata per n = 4.

Dopo Fermat, grandi menti come Leonard Eulero(nel 1770 propose una soluzione per n = 3), Adrien Legendre e Johann Dirichlet(questi scienziati hanno trovato congiuntamente la prova per n = 5 nel 1825), Gabriella Lame(che ha trovato una dimostrazione per n = 7) e molti altri. Verso la metà degli anni '80 del secolo scorso, divenne chiaro che il mondo scientifico era sulla strada per una soluzione finale.

L'ultimo teorema di Fermat, ma fu solo nel 1993 che i matematici videro e credettero che la saga di tre secoli di trovare una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat fosse praticamente finita.

Nel 1993 un matematico inglese Andrea Wiles presentato al mondo il suo dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, il cui lavoro è durato più di sette anni. Ma si è scoperto che questa soluzione contiene un errore grossolano, sebbene nel complesso sia corretta. Wiles non si arrese, chiese l'aiuto di un noto esperto di teoria dei numeri Richard Taylor, e già nel 1994 pubblicarono una dimostrazione corretta e integrata del teorema. La cosa più sorprendente è che questo lavoro ha richiesto fino a 130 (!) Pagine nella rivista matematica "Annals of Mathematics". Ma la storia non è finita qui: l'ultimo punto è stato messo solo nell'anno successivo, il 1995, quando è stata pubblicata la versione finale e "ideale", dal punto di vista matematico, della dimostrazione.

È passato molto tempo da quel momento, ma c'è ancora un'opinione nella società secondo cui l'ultimo teorema di Fermat è indecidibile. Ma anche coloro che conoscono la dimostrazione trovata continuano a lavorare in questa direzione: pochissime persone sono soddisfatte che il Grande Teorema richieda una soluzione di 130 pagine! Pertanto, ora le forze di moltissimi matematici (per lo più dilettanti, non scienziati professionisti) vengono gettate nella ricerca di una dimostrazione semplice e laconica, ma questo percorso, molto probabilmente, non porterà da nessuna parte ...

È improbabile che sia passato anche solo un anno nella vita della nostra redazione senza ricevere una dozzina di dimostrazioni del teorema di Fermat. Ora, dopo la "vittoria" su di lei, il flusso si è placato, ma non si è prosciugato.

Naturalmente, per non asciugarlo completamente, pubblichiamo questo articolo. E non per nostra stessa giustificazione - che, dicono, è per questo che siamo rimasti in silenzio, noi stessi non eravamo abbastanza maturi per discutere di problemi così complessi.

Ma se l'articolo sembra davvero complicato, guardalo alla fine. Dovrai sentire che le passioni si sono temporaneamente placate, la scienza non è finita e presto in redazione saranno inviate nuove dimostrazioni di nuovi teoremi.

Sembra che il Novecento non sia stato vano. In primo luogo, le persone hanno creato un secondo Sole per un momento facendo esplodere una bomba all'idrogeno. Quindi camminarono sulla luna e alla fine dimostrarono il famigerato teorema di Fermat. Di questi tre miracoli, i primi due sono sulla bocca di tutti, perché hanno causato enormi conseguenze sociali. Al contrario, il terzo miracolo sembra un altro giocattolo scientifico, al pari della teoria della relatività, della meccanica quantistica e del teorema di Gödel sull'incompletezza dell'aritmetica. Tuttavia, la relatività e i quanti hanno portato i fisici alla bomba all'idrogeno e la ricerca dei matematici ha riempito il nostro mondo di computer. Questa serie di miracoli continuerà nel 21° secolo? È possibile tracciare la connessione tra i prossimi giocattoli degli scienziati e le rivoluzioni nella nostra vita quotidiana? Questa connessione consente previsioni di successo? Proviamo a capirlo usando il teorema di Fermat come esempio.

Notiamo innanzitutto che è nata molto più tardi del suo termine naturale. Dopotutto, il primo caso speciale Il teorema di Fermat è l'equazione di Pitagora X 2 + Y 2 = Z 2, che collega le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. Avendo dimostrato questa formula venticinque secoli fa, Pitagora pose immediatamente la domanda: ci sono molti triangoli simili in natura in cui sia le gambe che l'ipotenusa hanno una lunghezza intera? Sembra che gli egiziani conoscessero solo uno di questi triangoli - con i lati (3, 4, 5). Ma non è difficile trovare altre opzioni: ad esempio (5, 12, 13), (7, 24, 25) o (8, 15, 17). In tutti questi casi la lunghezza dell'ipotenusa ha la forma (A 2 + B 2), dove A e B sono numeri coprimi di diversa parità. In questo caso, le lunghezze delle gambe sono uguali (A 2 - B 2) e 2AB.

Notando queste relazioni, Pitagora dimostrò facilmente che qualsiasi tripla di numeri (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B2) è una soluzione dell'equazione X 2 + Y 2 = Z 2 e definisce un rettangolo con lunghezze laterali reciprocamente semplici. Si vede anche che il numero di terzine diverse di questo tipo è infinito. Ma tutte le soluzioni dell'equazione pitagorica hanno questa forma? Pitagora non poté né provare né smentire tale ipotesi e lasciò questo problema ai posteri senza concentrarsi su di esso. Chi vuole evidenziare i propri fallimenti? Sembra che in seguito il problema dei triangoli rettangoli interi sia rimasto nell'oblio per sette secoli, fino a quando un nuovo genio matematico di nome Diofanto è apparso ad Alessandria.

Di lui sappiamo poco, ma è chiaro: non era affatto come Pitagora. Si sentiva un re in geometria e anche oltre, nella musica, nell'astronomia o nella politica. Il primo collegamento aritmetico tra le lunghezze dei lati di un'armoniosa arpa, il primo modello dell'Universo da sfere concentriche portanti pianeti e stelle, con la Terra al centro, infine, la prima repubblica degli scienziati nella città italiana di Crotone - queste sono le conquiste personali di Pitagora. Cosa poteva opporsi a tali successi Diofanto, modesto ricercatore del grande Museo, che da tempo non era più l'orgoglio della folla cittadina?

Solo una cosa: una migliore comprensione dell'antico mondo dei numeri, le cui leggi erano appena sentite da Pitagora, Euclide e Archimede. Si noti che Diofanto non possedeva ancora il sistema posizionale di scrivere grandi numeri, ma sapeva cosa numeri negativi e probabilmente ho passato molte ore a pensare al motivo per cui il prodotto di due numeri negativi è positivo. Il mondo degli interi fu rivelato per la prima volta a Diofanto come un universo speciale, diverso dal mondo delle stelle, dei segmenti o dei poliedri. L'occupazione principale degli scienziati in questo mondo è risolvere le equazioni, un vero maestro trova tutte le soluzioni possibili e dimostra che non ci sono altre soluzioni. Questo è ciò che ha fatto Diofanto con l'equazione quadratica di Pitagora, e poi si è chiesto: almeno una soluzione ha un'equazione cubica simile X 3 + Y 3 = Z 3?

Diofanto non riuscì a trovare una tale soluzione; anche il suo tentativo di dimostrare che non c'erano soluzioni non ebbe successo. Pertanto, formalizzando i risultati dei suoi lavori nel libro "Aritmetica" (questo è stato il primo libro di testo al mondo di teoria dei numeri), Diofanto analizzò in dettaglio l'equazione pitagorica, ma non fece una parola sulle possibili generalizzazioni di questa equazione. Ma poteva: dopotutto, fu Diofanto a proporre per primo la notazione per le potenze degli interi! Ma ahimè: il concetto di "libro problematico" era estraneo alla scienza e alla pedagogia elleniche, ed era considerato indecente pubblicare elenchi di problemi irrisolti (solo Socrate agiva diversamente). Se non riesci a risolvere il problema, taci! Diofanto tacque e questo silenzio si trascinò per quattordici secoli - fino all'inizio dei tempi moderni, quando l'interesse per il processo del pensiero umano fu ripreso.

Chi ha appena fantasticato su cosa a cavallo tra il XVI e il XVII secolo! L'instancabile calcolatore Keplero ha cercato di indovinare la relazione tra le distanze dal Sole ai pianeti. Pitagora non ci riuscì. Keplero ha avuto successo dopo aver imparato come integrare polinomi e altre semplici funzioni. Al contrario, il sognatore Cartesio non amava i calcoli lunghi, ma fu lui a presentare per primo tutti i punti di un piano o spazio come insiemi di numeri. Questo modello audace riduce qualsiasi problema di figure geometriche a un problema di equazioni algebriche - e viceversa. Ad esempio, le soluzioni intere dell'equazione pitagorica corrispondono a punti interi sulla superficie di un cono. La superficie corrispondente all'equazione cubica X 3 + Y 3 = Z 3 sembra più complicata, le sue proprietà geometriche non suggerivano nulla a Pierre Fermat e dovette tracciare nuovi percorsi attraverso la giungla degli interi.

Nel 1636 un libro di Diofanto, appena tradotto in latino da un originale greco, sopravvissuto casualmente in qualche archivio bizantino e portato in Italia da uno dei latitanti romani al tempo della rovina turca, cadde nelle mani di un giovane avvocato di Tolosa. Leggendo un elegante ragionamento sull'equazione pitagorica, Fermat si chiedeva: è possibile trovare una soluzione del genere, che consiste in tre numeri quadrati? Non ci sono piccoli numeri di questo tipo: è facile controllare con la forza bruta. E le grandi decisioni? Senza un computer, Fermat non potrebbe condurre un esperimento numerico. Ma ha notato che per ogni soluzione "grande" dell'equazione X 4 + Y 4 = Z 4 è possibile costruire una soluzione più piccola. Ciò significa che la somma delle quarte potenze di due interi non è mai uguale alla stessa potenza della terza! E la somma di due cubi?

Ispirato dal successo per il grado 4, Fermat ha cercato di modificare il "metodo della discesa" per il grado 3 - e ci è riuscito. Si è scoperto che era impossibile creare due piccoli cubi da quei cubi unitari, in cui un grande cubo con un'intera lunghezza del bordo si è sfaldato. Il trionfante Fermat fece una breve nota a margine del libro di Diofanto e inviò una lettera a Parigi in cui descriveva in dettaglio la sua scoperta. Ma non ha ricevuto risposta, anche se di solito i matematici metropolitani hanno reagito rapidamente al successo successivo del loro unico collega rivale a Tolosa. Qual è il problema qui?

Molto semplicemente: a metà del 17° secolo, l'aritmetica era fuori moda. I grandi successi degli algebristi italiani del XVI secolo (quando furono risolte le equazioni polinomiali di grado 3 e 4) non divennero l'inizio di una rivoluzione scientifica generale, perché non consentirono di risolvere nuovi brillanti problemi in campi scientifici adiacenti. Ora, se Keplero è riuscito a indovinare le orbite dei pianeti usando la pura aritmetica ... Ma ahimè, questo richiedeva un'analisi matematica. Ciò significa che deve essere sviluppato - fino al completo trionfo dei metodi matematici nelle scienze naturali! Ma l'analisi nasce dalla geometria, mentre l'aritmetica rimane un campo di divertimento per avvocati oziosi e altri amanti dell'eterna scienza dei numeri e delle figure.

Quindi i successi aritmetici di Fermat si rivelarono prematuri e rimasero inestimabili. Non ne fu sconvolto: per la gloria di un matematico, i fatti del calcolo differenziale, della geometria analitica e della teoria della probabilità, che gli furono scoperti per la prima volta, erano abbastanza. Tutte queste scoperte di Fermat entrarono immediatamente nel fondo d'oro della nuova scienza europea, mentre la teoria dei numeri svanì in secondo piano per altri cento anni, finché non fu ripresa da Eulero.

Questo "re dei matematici" del XVIII secolo fu un campione in tutte le applicazioni dell'analisi, ma non trascurò nemmeno l'aritmetica, poiché i nuovi metodi di analisi portavano a fatti inaspettati sui numeri. Chi avrebbe mai pensato che la somma infinita dei quadrati inversi (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…) fosse uguale a π 2/6? Chi tra gli Elleni avrebbe potuto prevedere che serie simili avrebbero dimostrato l'irrazionalità del numero π?

Tali successi costrinsero Eulero a rileggere attentamente i manoscritti superstiti di Fermat (fortunatamente il figlio del grande francese riuscì a pubblicarli). È vero, la dimostrazione del "grande teorema" per il grado 3 non è sopravvissuta, ma Eulero l'ha facilmente ripristinata da una sola indicazione del "metodo della discesa" e ha immediatamente cercato di trasferire questo metodo al primo grado successivo - 5.

Non era così! Nel ragionamento di Eulero apparvero numeri complessi, che Fermat riuscì a non notare (questo è il solito destino degli scopritori). Ma la fattorizzazione di interi complessi è una questione delicata. Persino Eulero non lo capì completamente e mise da parte il "problema Fermat", affrettandosi a completare il suo lavoro principale: il libro di testo "Fondamenti di analisi", che avrebbe dovuto aiutare ogni giovane di talento a mettersi alla pari con Leibniz ed Eulero. La pubblicazione del libro di testo fu completata a San Pietroburgo nel 1770. Ma Eulero non tornò al teorema di Fermat, sicuro che tutto ciò che le sue mani e la sua mente toccavano non sarebbe stato dimenticato dalla nuova giovinezza scientifica.

E così accadde: il francese Adrien Legendre divenne il successore di Eulero nella teoria dei numeri. Alla fine del 18° secolo completò la dimostrazione del teorema di Fermat per il grado 5 - e sebbene fallisse per i gradi grandi e semplici, scrisse un altro libro di testo sulla teoria dei numeri. Possano i suoi giovani lettori superare l'autore così come i lettori dei "Principi matematici della filosofia naturale" hanno superato il grande Newton! Legendre non era come Newton o Eulero, ma tra i suoi lettori c'erano due geni: Karl Gauss ed Evariste Galois.

Una così alta precisione di geni fu facilitata dalla Rivoluzione francese, che proclamò il culto statale della Ragione. Dopodiché, ogni scienziato di talento si sentiva come Colombo o Alessandro Magno, capace di scoprire o conquistare nuovo mondo... Molti ci riuscirono, perché nel XIX secolo il progresso scientifico e tecnologico divenne il principale motore dell'evoluzione dell'umanità e tutti i governanti ragionevoli (a cominciare da Napoleone) ne erano consapevoli.

Gauss aveva un carattere vicino a Colombo. Ma lui (come Newton) non sapeva come affascinare l'immaginazione di governanti o studenti con bei discorsi, e quindi limitava le sue ambizioni alla sfera dei concetti scientifici. Qui poteva fare tutto ciò che voleva. Ad esempio, l'antico problema della trisezione di un angolo per qualche motivo non può essere risolto usando un compasso e un righello. Con l'aiuto di numeri complessi che rappresentano punti del piano, Gauss traduce questo problema nel linguaggio dell'algebra - e ottiene una teoria generale della fattibilità di alcune costruzioni geometriche. Così, allo stesso tempo, apparve una prova rigorosa dell'impossibilità di costruire un 7 o 9 gon regolare con un compasso e un righello e un metodo per costruire un 17 gon regolare che i geometri più saggi dell'Hellas non si sognavano .

Certo, un tale successo non è per niente: devi inventare nuovi concetti che riflettano l'essenza della materia. Newton ha introdotto tre di questi concetti: fluxia (derivata), fluente (integrale) e serie di potenze. Sono stati sufficienti per creare l'analisi matematica e il primo modello scientifico del mondo fisico, compresa la meccanica e l'astronomia. Gauss ha anche introdotto tre nuovi concetti: spazio vettoriale, campo e anello. Ne nacque una nuova algebra, che soggiogava l'aritmetica greca e la teoria delle funzioni numeriche creata da Newton. Restava ancora da subordinare l'algebra alla logica creata da Aristotele: allora sarà possibile, mediante calcoli, provare la derivabilità o la non derivabilità di qualsiasi enunciato scientifico da un dato insieme di assiomi! Ad esempio, il teorema di Fermat è dedotto dagli assiomi dell'aritmetica, o il postulato di Euclide delle rette parallele - da altri assiomi della planimetria?

Gauss non è riuscito a realizzare questo sogno audace, sebbene abbia fatto grandi progressi e intuito la possibilità dell'esistenza di algebre esotiche (non commutative). Solo l'impudente russo Nikolai Lobachevsky riuscì a costruire la prima geometria non euclidea, e la prima algebra non commutativa (Teoria dei gruppi) fu gestita dal francese Evariste Galois. E solo molto più tardi della morte di Gauss - nel 1872 - il giovane tedesco Felix Klein si rese conto che la varietà delle possibili geometrie poteva essere ricondotta in corrispondenza biunivoca con la varietà delle possibili algebre. In poche parole, ogni geometria è definita dal suo gruppo di simmetria, mentre l'algebra generale studia tutti i possibili gruppi e le loro proprietà.

Ma una tale comprensione della geometria e dell'algebra arrivò molto più tardi, e l'assalto al teorema di Fermat si rinnovò durante la vita di Gauss. Egli stesso trascurò il teorema di Fermat per principio: non è affare zarista risolvere problemi individuali che non rientrano in una vivida teoria scientifica! Ma gli studenti di Gauss, armati della sua nuova algebra e dell'analisi classica di Newton ed Eulero, argomentarono diversamente. In primo luogo, Peter Dirichlet ha dimostrato il teorema di Fermat per il grado 7 utilizzando l'anello di interi complessi generati da radici di questo grado dall'unità. Quindi Ernst Kummer ha esteso il metodo Dirichlet a TUTTI i gradi semplici (!) - così gli è sembrato nella foga del momento e ha trionfato. Ma presto è arrivata una sbronza: la prova è impeccabile solo se ogni elemento dell'anello può essere scomposto in modo univoco in fattori primi! Per gli interi ordinari, questo fatto era già noto a Euclide, ma solo Gauss ne diede una prova rigorosa. E gli interi complessi?

Secondo il "principio del più grande male", può e DEVE esserci una fattorizzazione ambigua! Non appena Kummer ha imparato a calcolare il grado di ambiguità con metodi di analisi matematica, ha scoperto questo sporco trucco sul ring per il grado 23. Gauss non ha avuto il tempo di conoscere una tale variante dell'esotica algebra commutativa, ma gli studenti di Gauss sono cresciuti al posto di un altro sporco trucco, una bella nuova teoria degli ideali. È vero, questo non ha aiutato particolarmente la soluzione del problema di Fermat: solo la sua complessità naturale è diventata più chiara.

Per tutto il XIX secolo, questo antico idolo ha richiesto sempre più sacrifici ai suoi ammiratori sotto forma di nuove complesse teorie. Non sorprende che all'inizio del ventesimo secolo i credenti si scoraggiassero e si ribellassero, rifiutando il loro antico idolo. La parola "fermatista" è diventata un soprannome offensivo tra i matematici professionisti. E sebbene un premio considerevole sia stato assegnato per la dimostrazione completa del teorema di Fermat, è stato principalmente contestato da ignoranti sicuri di sé. I più forti matematici di quel tempo - Poincaré e Hilbert - evitarono con aria di sfida questo argomento.

Nel 1900, Hilbert non includeva il teorema di Fermat nell'elenco dei ventitré problemi principali che devono affrontare la matematica del XX secolo. Vero, ha incluso nelle loro serie il problema generale della risolvibilità delle equazioni diofantee. Il suggerimento era chiaro: segui l'esempio di Gauss e Galois, crea teorie generali su nuovi oggetti matematici! Poi un bel giorno (ma non prevedibile in anticipo) la vecchia spina cadrà da sola.

Questo è esattamente il modo in cui si è comportato il grande romantico Henri Poincaré. Trascurando molti problemi "eterni", per tutta la vita studiò la SIMMETRIA di alcuni oggetti della matematica o della fisica: o funzioni di una variabile complessa, o traiettorie di corpi celesti, o curve algebriche o varietà lisce (si tratta di generalizzazioni multidimensionali di linee curve) . Il motivo delle sue azioni era semplice: se due oggetti diversi hanno simmetrie simili, allora è possibile una relazione interna tra loro, che non siamo ancora in grado di comprendere! Ad esempio, ciascuna delle geometrie bidimensionali (Euclide, Lobachevsky o Riemann) ha un proprio gruppo di simmetria, che agisce sul piano. Ma i punti del piano sono numeri complessi: in questo modo l'azione di qualsiasi gruppo geometrico viene trasferita nel mondo sconfinato delle funzioni complesse. È possibile e necessario studiare la più simmetrica di queste funzioni: AUTOMORFA (che sono soggette al gruppo euclideo) e MODULARE (che sono soggette al gruppo di Lobachevsky)!

Ci sono anche curve ellittiche sul piano. Non hanno nulla a che vedere con l'ellisse, ma sono dati da equazioni della forma Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX e quindi intersecano una qualsiasi retta in tre punti. Questo fatto ci permette di introdurre la moltiplicazione tra i punti di una curva ellittica - per trasformarla in un gruppo. La struttura algebrica di questo gruppo riflette le proprietà geometriche della curva, forse è determinata unicamente dal suo gruppo? Vale la pena studiare questa domanda, poiché per alcune curve il gruppo di nostro interesse risulta essere modulare, ovvero è correlato alla geometria di Lobachevsky ...

Così ragionava Poincaré, seducendo la gioventù matematica d'Europa, ma all'inizio del Novecento queste tentazioni non portavano a vividi teoremi o ipotesi. È andata diversamente con l'appello di Hilbert: studiare soluzioni generali Equazioni diofantee a coefficienti interi! Nel 1922, un giovane americano Lewis Mordell collegò l'insieme delle soluzioni di tale equazione (questo è uno spazio vettoriale di una certa dimensione) con il genere geometrico della curva complessa che è data da questa equazione. Mordell è giunto alla conclusione che se il grado dell'equazione è sufficientemente grande (più di due), allora la dimensione dello spazio della soluzione è espressa in termini di genere della curva, e quindi questa dimensione è FINITA. Al contrario - alla potenza di 2, l'equazione di Pitagora ha una famiglia INFINITA di soluzioni!

Naturalmente Mordell vedeva la connessione tra la sua ipotesi e il teorema di Fermat. Se si scopre che per ogni grado n> 2 lo spazio di intere soluzioni dell'equazione di Fermat è a dimensione finita, ciò aiuterà a dimostrare che tali soluzioni non esistono affatto! Ma Mordell non vedeva alcun modo per dimostrare la sua ipotesi - e sebbene visse una lunga vita, non aspettò che questa ipotesi si trasformasse nel teorema di Faltings. Questo è successo nel 1983 - in un'epoca completamente diversa, dopo i grandi successi della topologia algebrica delle varietà.

Poincaré ha creato questa scienza come per caso: voleva sapere cosa sono le varietà tridimensionali. Dopotutto, Riemann ha capito la struttura di tutte le superfici chiuse e ha ricevuto una risposta molto semplice! Se non esiste una risposta del genere in un caso tridimensionale o multidimensionale, è necessario elaborare un sistema di invarianti algebriche della varietà che ne determini la struttura geometrica. È meglio se tali invarianti sono elementi di alcuni gruppi: commutativi o non commutativi.

Stranamente, questo audace piano di Poincaré riuscì: fu realizzato dal 1950 al 1970 grazie all'impegno di tanti geometri e algebristi. Fino al 1950 vi fu un tranquillo accumulo di vari metodi di classificazione delle varietà, e dopo quella data sembrò accumularsi una massa critica di persone e idee e scoppiò un'esplosione, paragonabile all'invenzione dell'analisi matematica nel XVII secolo. Ma la rivoluzione analitica si è protratta per un secolo e mezzo, abbracciando le biografie creative di quattro generazioni di matematici - da Newton e Leibniz a Fourier e Cauchy. Al contrario, la rivoluzione topologica del XX secolo è stata completata in vent'anni, grazie al gran numero dei suoi partecipanti. Allo stesso tempo, è emersa una grande generazione di giovani matematici sicuri di sé che erano improvvisamente disoccupati nella loro patria storica.

Negli anni settanta si precipitarono nelle aree adiacenti della matematica e della fisica teorica. Molti hanno stabilito le loro scuole scientifiche in dozzine di università in Europa e in America. Molti studenti di diverse età e nazionalità, con diverse capacità e inclinazioni, circolano ancora tra questi centri, e tutti vogliono essere famosi per qualche scoperta. Fu in questa confusione che la congettura di Mordell e il teorema di Fermat furono finalmente dimostrati.

Tuttavia, la prima rondine, ignara del suo destino, è cresciuta in Giappone negli anni del dopoguerra affamata e disoccupata. Il nome della rondine era Yutaka Taniyama. Nel 1955, questo eroe compì 28 anni e decise (insieme agli amici Goro Shimura e Takauji Tamagawa) di rilanciare la ricerca matematica in Giappone. Da dove cominciare? Certo, con il superamento dell'isolamento dai colleghi stranieri! Così nel 1955 tre giovani giapponesi organizzarono a Tokyo la prima conferenza internazionale sull'algebra e la teoria dei numeri. Fare questo in Giappone, rieducato dagli americani, era, a quanto pare, più facile che in Russia congelata da Stalin...

Tra gli ospiti d'onore due eroi francesi: André Weil e Jean-Pierre Serre. Qui i giapponesi furono molto fortunati: Weil era il capo riconosciuto degli algebristi francesi e un membro del gruppo Bourbaki, e il giovane Serre svolgeva un ruolo simile tra i topologi. In accese discussioni con loro, le teste dei giovani giapponesi si incrinarono, i loro cervelli si sciolsero, ma di conseguenza si cristallizzarono idee e piani che difficilmente avrebbero potuto nascere in un altro ambiente.

Un giorno Taniyama si rivolse a Weil con una domanda sulle curve ellittiche e le funzioni modulari. All'inizio il francese non capì niente: Taniyama non era un maestro nell'esprimersi in inglese. Poi l'essenza della questione divenne chiara, ma Taniyama non riuscì a dare alle sue speranze una formulazione esatta. Tutto ciò che Weil poteva rispondere al giovane giapponese era che se fosse stato molto fortunato in termini di ispirazione, allora dalle sue vaghe ipotesi sarebbe nato qualcosa di utile. Ma finora c'è poca speranza per questo!

Ovviamente, Weil non notò il fuoco celeste nello sguardo di Taniyama. E c'è stato il fuoco: sembra che per un attimo l'indomito pensiero del compianto Poincaré si sia infiltrato nei giapponesi! Taniyama è giunto alla convinzione che ogni curva ellittica è generata da funzioni modulari - più precisamente, è "uniformizzata da una forma modulare". Purtroppo, questa formulazione esatta è nata molto più tardi, nelle conversazioni tra Taniyama e il suo amico Shimura. E poi Taniyama si suicidò in un impeto di depressione... La sua ipotesi rimase senza un maestro: non era chiaro come dimostrarla o dove testarla, e quindi nessuno la prese sul serio per molto tempo. La prima risposta arrivò solo trent'anni dopo, quasi come nell'era di Fermat!

Il ghiaccio si ruppe nel 1983, quando il ventisettenne tedesco Gerd Faltings annunciò al mondo intero: l'ipotesi di Mordell era dimostrata! I matematici erano diffidenti, ma Faltings era un vero tedesco: non c'erano lacune nella sua lunga e complessa dimostrazione. È solo che è giunto il momento, fatti e concetti si sono accumulati - e ora un algebrista di talento, basandosi sui risultati di altri dieci algebristi, è riuscito a risolvere un problema che attendeva il proprietario da sessant'anni. Questo non è raro nella matematica del 20° secolo. Vale la pena ricordare il problema del continuo secolare nella teoria degli insiemi, le due congetture di Burnside nella teoria dei gruppi o la congettura di Poincaré nella topologia. Infine, nella teoria dei numeri, è giunto il momento di mietere il raccolto di vecchi raccolti... Quale picco sarà il prossimo nella linea dei conquistati dai matematici? Il problema di Eulero, la congettura di Riemann o il teorema di Fermat crolleranno? È bene!

E ora, due anni dopo la rivelazione di Faltings, un altro ispirato matematico è apparso in Germania. Si chiamava Gerhard Frey e diceva qualcosa di strano: come se il teorema di Fermat fosse dedotto dall'ipotesi di Taniyama! Sfortunatamente, lo stile di Frey nel presentare i suoi pensieri ricordava più lo sfortunato Taniyama che il suo articolato compatriota Faltings. In Germania, nessuno capiva Frey e andò all'estero, nella gloriosa città di Princeton, dove dopo Einstein si abituarono a non tali visitatori. Non c'è da stupirsi che Barry Mazur abbia fatto il suo nido lì, un topologo versatile, uno degli eroi del recente assalto alle varietà lisce. E un allievo, Ken Ribet, che era ugualmente esperto nelle complessità della topologia e dell'algebra, ma che non si era in alcun modo glorificato, crebbe accanto a Mazur.

Dopo aver ascoltato il discorso di Frey per la prima volta, Ribet ha deciso che si trattava di una sciocchezza e di una finzione pseudo-scientifica (probabilmente, Weil ha reagito allo stesso modo alle rivelazioni di Taniyama). Ma Ribet non poteva dimenticare questa “fantasia” ea volte ci tornava mentalmente. Sei mesi dopo, Ribet credette che ci fosse qualcosa di sensato nelle fantasie di Frey, e un anno dopo decise che lui stesso avrebbe potuto quasi provare la strana ipotesi di Frey. Ma alcuni "buchi" sono rimasti e Ribet ha deciso di confessare al suo capo Mazur. Ascoltò attentamente lo studente e rispose con calma: “Sì, hai fatto tutto! Qui devi applicare la trasformazione Ф, qui - usa i Lemmi B e K e tutto prenderà una forma impeccabile! " Così Ribet fece il salto dall'oscurità all'immortalità, usando una catapulta nella persona di Frey e Mazur. In tutta franchezza, tutti loro - insieme al compianto Taniyama - dovrebbero essere considerati come le dimostrazioni del grande teorema di Fermat.

Ma il guaio è: hanno dedotto la loro affermazione dall'ipotesi di Taniyama, che di per sé non è stata dimostrata! E se fosse sbagliato? I matematici sanno da tempo che "tutto segue da una bugia", se l'ipotesi di Taniyama è sbagliata, allora l'impeccabile ragionamento di Ribet è inutile! C'è un urgente bisogno di dimostrare (o smentire) la congettura di Taniyama, altrimenti qualcuno come Faltings dimostrerà il teorema di Fermat in un modo diverso. Diventerà un eroe!

È improbabile che sapremo mai quanti algebristi giovani o esperti si siano lanciati sul teorema di Fermat dopo il successo dei Faltings o dopo la vittoria di Ribet nel 1986. Tutti loro hanno cercato di lavorare in segreto, in modo che in caso di fallimento non sarebbero stati annoverati nella comunità dei "manichini" - fermatisti. È noto che il più fortunato di tutti - Andrew Wiles di Cambridge - ha avuto il sapore della vittoria solo all'inizio del 1993. Questo non tanto esultò quanto spaventò Wiles: e se ci fosse stato un errore o una lacuna nella sua dimostrazione dell'ipotesi di Taniyama? Poi la sua reputazione scientifica perì! Bisogna annotare con cura la bozza (ma saranno molte decine di pagine!) e rimandarla di sei mesi o un anno, poi rileggerla freddamente e capziosamente... Ma se in questo lasso di tempo qualcuno pubblicasse la propria bozza? Oh, guai...

Eppure Wiles ha escogitato un doppio modo per testare rapidamente la sua prova. Innanzitutto, devi fidarti di uno dei tuoi fidati amici e colleghi e dirgli l'intera linea di ragionamento. Dall'esterno, tutti gli errori sono più noti! In secondo luogo, è necessario leggere un corso speciale su questo argomento per studenti intelligenti e dottorandi: a queste persone intelligenti non mancherà un solo errore del docente! Basta non dire loro l'obiettivo finale del corso fino all'ultimo momento, altrimenti il ​​mondo intero lo saprà! E, naturalmente, devi cercare un tale pubblico più lontano da Cambridge - meglio non nemmeno in Inghilterra, ma in America ... Cosa potrebbe esserci di meglio della lontana Princeton?

È qui che Wiles si è diretto nella primavera del 1993. Il suo amico paziente Niklas Katz, dopo aver ascoltato il lungo rapporto di Wiles, ha riscontrato una serie di lacune in esso, ma si sono rivelate tutte facilmente correggibili. Ma gli studenti laureati di Princeton sono presto fuggiti dal corso speciale di Wiles, non volendo seguire il pensiero stravagante del docente, che li porta non si sa dove. Dopo questo esame (non particolarmente approfondito) della sua opera, Wiles decise che era giunto il momento di portare un grande miracolo nel mondo.

Nel giugno 1993 si tenne a Cambridge una conferenza regolare sulla "teoria di Iwasawa", una branca popolare della teoria dei numeri. Wiles ha deciso di condividere la sua dimostrazione della congettura di Taniyama su di essa, senza annunciare il risultato principale fino alla fine. Il servizio è andato avanti a lungo, ma ha avuto successo, gradualmente i giornalisti che hanno intuito qualcosa hanno iniziato ad affollarsi. Infine, il tuono ha colpito: il teorema di Fermat è dimostrato! Il giubilo generale non è stato oscurato da alcun dubbio: sembra che tutto sia chiaro... Ma dopo due mesi Katz, dopo aver letto il testo finale di Wiles, ha notato un'altra lacuna in esso. Una certa transizione nel ragionamento si basava sul "sistema Eulero" - ma quello che Wiles ha costruito non era un tale sistema!

Wiles ha controllato il collo di bottiglia e si è reso conto che si sbagliava. Peggio ancora: non è chiaro come sostituire ragionamenti errati! Questo è stato seguito dai mesi più bui della vita di Wiles. In precedenza, ha sintetizzato liberamente una prova senza precedenti da materiale improvvisato. Ora è legato a un problema stretto e preciso, senza la certezza che abbia una soluzione e che sarà in grado di trovarla nel prossimo futuro. Di recente Frey non ha potuto resistere alla stessa lotta - e ora il suo nome è stato oscurato dal nome del successo Ribet, anche se l'ipotesi di Frey si è rivelata corretta. E cosa accadrà alla MIA supposizione e al MIO nome?

Questo duro lavoro si trascinò per esattamente un anno. Nel settembre 1994 Wiles era pronto ad ammettere la sconfitta ea lasciare l'ipotesi di Taniyama a successori più fortunati. Dopo aver preso questa decisione, iniziò a rileggere lentamente la sua prova - dall'inizio alla fine, ascoltando il ritmo del ragionamento, rivivendo il piacere di ritrovamenti di successo. Quando è arrivato al "maledetto" posto, Wiles, tuttavia, non ha sentito la falsa nota nella sua mente. Dopotutto, il corso del suo ragionamento era impeccabile e l'errore sorgeva solo nella descrizione FORMULANTE dell'immagine mentale? Se non c'è un "sistema Eulero" qui, allora cosa è nascosto qui?

Improvvisamente, è emerso un semplice pensiero: "Il sistema di Eulero" non funziona dove è applicabile la teoria di Iwasawa. Perché non applicare direttamente questa teoria - fortunatamente, lo stesso Wiles ha familiarità con essa? E perché non ha provato questo approccio fin dall'inizio, ma si è lasciato trasportare dalla visione di qualcun altro del problema? Wiles non riusciva a ricordare questi dettagli ed era inutile. Ha fatto il ragionamento necessario nell'ambito della teoria di Iwasawa e tutto ha funzionato in mezz'ora! Così - con un ritardo di un anno - si è colmata l'ultima lacuna nella prova dell'ipotesi di Taniyama. Il testo finale fu fatto a pezzi da un gruppo di revisori della famosa rivista di matematica, che un anno dopo annunciarono che ora non ci sono più errori. Così, nel 1995, l'ultima ipotesi di Fermat è morta nel trecentosessantesimo anno della sua vita, diventando un teorema provato, che entrerà inevitabilmente nei libri di testo della teoria dei numeri.

Riassumendo il clamore di tre secoli sul teorema di Fermat, dobbiamo trarre una strana conclusione: questa eroica epopea potrebbe non essere avvenuta! In effetti, il teorema di Pitagora esprime una connessione semplice e importante tra illustrativi siti naturali- le lunghezze dei segmenti. Ma lo stesso non si può dire del teorema di Fermat. Sembra più una sovrastruttura culturale su un substrato scientifico, una conquista Polo Nord Terra o volo sulla luna. Ricordiamo che entrambe queste imprese furono cantate dagli scrittori molto prima della loro realizzazione - nell'antichità, dopo l'apparizione dei "Principi" di Euclide, ma prima della comparsa dell'"Aritmetica" di Diofanto. Ciò significa che allora è sorto un bisogno sociale di prodezze intellettuali di questo tipo - almeno immaginarie! Prima che gli elleni ne avessero abbastanza delle poesie di Omero, proprio come cento anni prima di Fermat, i francesi avevano abbastanza hobby religiosi. Ma poi le passioni religiose si placarono e la scienza si fermò accanto a loro.

In Russia, tali processi sono iniziati centocinquanta anni fa, quando Turgenev ha messo Yevgeny Bazarov alla pari con Yevgeny Onegin. È vero, lo scrittore Turgenev non capiva bene i motivi delle azioni dello scienziato Bazarov e non osò cantarli, ma ciò fu presto fatto dallo scienziato Ivan Sechenov e dal giornalista illuminato Jules Verne. La rivoluzione scientifica e tecnologica spontanea ha bisogno di un involucro culturale per penetrare nelle menti della maggior parte delle persone, e poi appare prima la fantascienza, e poi la letteratura scientifica popolare (compresa la rivista "Knowledge is Power").

Allo stesso tempo, un argomento scientifico specifico non è affatto importante per il grande pubblico e non è molto importante nemmeno per gli eroi interpreti. Così, venendo a conoscenza del raggiungimento del Polo Nord da parte di Piri e Cook, Amundsen cambiò immediatamente l'obiettivo della sua spedizione già preparata - e presto raggiunse il Polo Sud, davanti a Scott di un mese. Più tardi, il volo di successo di Yuri Gagarin intorno alla Terra costrinse il presidente Kennedy a cambiare il precedente obiettivo del programma spaziale americano per uno più costoso, ma molto più impressionante: lo sbarco di persone sulla luna.

Anche prima, il perspicace Hilbert ha risposto alla domanda ingenua degli studenti: "La soluzione di quale problema scientifico sarebbe più utile ora?" - rispose scherzosamente: "Prendi una mosca dall'altra parte della luna!" Alla domanda sconcertata: "Perché è necessario?" - seguito da una risposta chiara: “QUESTO non è necessario a nessuno! Ma pensa ai metodi scientifici e ai mezzi tecnici che dovremo sviluppare per risolvere un problema del genere - e quanti altri bellissimi problemi risolveremo lungo la strada!

Questo è esattamente ciò che è successo con il teorema di Fermat. Eulero potrebbe averla mancata.

In questo caso, qualche altro problema diventerebbe l'idolo dei matematici, forse anche dalla teoria dei numeri. Ad esempio, il problema di Eratostene: sono numeri primi gemelli finiti o infiniti (come 11 e 13, 17 e 19 e così via)? Oppure il problema di Eulero: ogni numero pari è la somma di due numeri primi? Oppure: esiste una relazione algebrica tra i numeri π ed e? Questi tre problemi non sono ancora stati risolti, sebbene nel XX secolo i matematici si siano notevolmente avvicinati alla comprensione della loro essenza. Ma questo secolo ha anche dato origine a molti problemi nuovi, non meno interessanti, soprattutto all'incrocio della matematica con la fisica e altri rami delle scienze naturali.

Già nel 1900 Hilbert ne individuò uno: creare un sistema completo di assiomi della fisica matematica! Cento anni dopo, questo problema è lungi dall'essere risolto, se non altro perché l'arsenale di strumenti matematici in fisica è in costante crescita e non tutti hanno una giustificazione rigorosa. Ma dopo il 1970, la fisica teorica si è divisa in due rami. Uno (classico) dai tempi di Newton è stato impegnato nella modellazione e previsione di processi SOSTENIBILI, l'altro (neonato) sta cercando di formalizzare l'interazione dei processi INSTABILI e le modalità per controllarli. È chiaro che queste due branche della fisica devono essere assiomatizzate separatamente.

Il primo di loro sarà probabilmente in grado di farcela tra venti o cinquant'anni...

E cosa manca nella seconda branca della fisica - quella che si occupa di tutti i tipi di evoluzione (compresi i frattali stravaganti e gli attrattori strani, l'ecologia delle biocenosi e la teoria della passionalità di Gumilev)? Difficilmente lo capiremo presto. Ma il culto degli scienziati verso un nuovo idolo è già diventato un fenomeno di massa. Probabilmente qui si svolgerà un'epopea, paragonabile alla biografia di tre secoli del teorema di Fermat. Così, all'incrocio di diverse scienze, nascono sempre più nuovi idoli - simili a quelli religiosi, ma più complessi e dinamici ...

Apparentemente, una persona non può rimanere una persona senza rovesciare di tanto in tanto i vecchi idoli e non crearne di nuovi - nel tormento e con gioia! Pierre Fermat ha avuto la fortuna di ritrovarsi in un momento fatidico vicino punto di accesso la nascita di un nuovo idolo - ed è riuscito a lasciare un'impronta della sua personalità sul neonato. Si può invidiare un tale destino, e non è un peccato imitarlo.

Sergey Smirnov
"Sapere è potere"

Molti anni fa ho ricevuto una lettera da Tashkent da Valery Muratov, a giudicare dalla calligrafia, di un giovane che allora viveva in Kommunisticheskaya Street, edificio n. 31. Il ragazzo era determinato: "Mettiti al lavoro. Quanto pagherai me per dimostrare il teorema di Fermat? si adatta almeno a 500 rubli. Altre volte te lo dimostrerei gratuitamente, ma ora ho bisogno di soldi ... "

Un paradosso sorprendente: pochi sanno chi è Fermat, quando ha vissuto e cosa ha fatto. Di più meno persone può anche nella maggior parte dei casi in termini generali descrivi il suo grande teorema. Ma tutti sanno che esiste una specie di teorema di Fermat, sulla cui dimostrazione i matematici di tutto il mondo hanno lottato per più di 300 anni, ma non possono dimostrarlo!

Ci sono molte persone ambiziose e la sola consapevolezza che c'è qualcosa che gli altri non possono fare, stimola ulteriormente la loro ambizione. Pertanto, nelle accademie, negli istituti scientifici e persino nelle redazioni di giornali di tutto il mondo, migliaia (!) Di dimostrazioni del Grande Teorema sono arrivate e stanno arrivando - un record senza precedenti e mai battuto di prestazioni amatoriali pseudoscientifiche. C'è anche un termine: "fermatisti", cioè persone ossessionate dal desiderio di dimostrare il Grande Teorema, che tormentavano completamente i matematici professionisti con la richiesta di valutare le loro opere. Il famoso matematico tedesco Edmund Landau preparò addirittura uno standard, secondo il quale rispose: "Nella tua dimostrazione del teorema di Fermat c'è un errore sulla pagina...", ei suoi dottorandi annotarono il numero di pagina. E nell'estate del 1994 i giornali di tutto il mondo riportavano qualcosa di completamente clamoroso: il Grande Teorema è dimostrato!

Allora, chi è Fermat, qual è l'essenza del problema ed è stato davvero risolto? Pierre Fermat è nato nel 1601 nella famiglia di un conciatore, uomo ricco e rispettato - ha ricoperto la carica di secondo console nella sua città natale di Beaumont - questo è qualcosa come un assistente del sindaco. Pierre studiò prima presso i monaci francescani, poi presso la Facoltà di Giurisprudenza di Tolosa, dove studiò poi legge. Tuttavia, la gamma di interessi di Fermat andava ben oltre l'ambito della giurisprudenza. Era particolarmente interessato alla filologia classica, sono noti i suoi commenti sui testi di autori antichi. E la seconda passione è la matematica.

Nel XVII secolo, così come molti anni dopo, non esisteva una professione del genere: il matematico. Pertanto, tutti i grandi matematici dell'epoca erano matematici "in combinazione": René Descartes prestava servizio nell'esercito, François Viet era un avvocato, Francesco Cavalieri era un monaco. Riviste scientifiche allora non lo era, e il classico della scienza Pierre Fermat non pubblicò una sola opera scientifica durante la sua vita. C'era una cerchia piuttosto ristretta di "dilettanti" che risolvevano per loro diversi problemi interessanti e si scrivevano lettere su questo, a volte litigavano (come Fermat e Descartes), ma fondamentalmente rimanevano persone con la stessa mentalità. Divennero i fondatori della nuova matematica, i seminatori di semi ingegnosi, da cui crebbe il possente albero della moderna conoscenza matematica, guadagnando forza e ramificandosi.

Quindi, Fermat era lo stesso "amante". A Tolosa, dove visse per 34 anni, lo conoscevano tutti, prima di tutto come consigliere della Camera Investigativa e avvocato esperto. All'età di 30 anni si sposò, ebbe tre figli e due figlie, a volte partiva per viaggi di lavoro e durante uno di essi morì improvvisamente all'età di 63 anni. Qualunque cosa! La vita di quest'uomo, contemporaneo de I tre moschettieri, è sorprendentemente povera di eventi e priva di avventure. L'avventura è toccata al suo Grande Teorema. Non parleremo dell'intera eredità matematica di Fermat, ed è difficile parlarne in modo popolare. Credimi sulla parola: questo patrimonio è grande e vario. L'affermazione che il Grande Teorema sia l'apice della sua creatività è molto controversa. È solo che il destino del Grande Teorema è sorprendentemente interessante e l'enorme mondo di persone non iniziate ai misteri della matematica è sempre stato interessato non al teorema stesso, ma a tutto ciò che lo circonda ...

Le radici di tutta questa storia vanno cercate nell'antichità, tanto amato Fermat. Intorno al 3° secolo visse ad Alessandria il matematico greco Diofanto, uno scienziato che a modo suo, pensando fuori dagli schemi ed esponendo i suoi pensieri fuori dagli schemi. Dei 13 volumi della sua "Aritmetica", ne sono sopravvissuti solo 6. Proprio quando Fermat aveva 20 anni, uscì una nuova traduzione delle sue opere. Fermat amava molto Diofanto e queste opere erano il suo libro di riferimento. Nei suoi campi, Fermat scrisse il suo Grande Teorema, che nella sua forma moderna più semplice si presenta così: l'equazione Xn + Yn = Zn non ha soluzione in numeri interi per n - maggiore di 2. (Per n = 2, la soluzione è ovvia : Z2 + 42 = 52 ). Nello stesso luogo, ai margini del volume diofanteo, Fermat aggiunge: "Ho scoperto questa prova davvero meravigliosa, ma questi margini sono troppo stretti per lui".

A prima vista, la piccola cosa è semplice, ma quando altri matematici hanno iniziato a dimostrare questo "semplice" teorema, nessuno ci è riuscito per cento anni. Infine, il grande Leonard Euler lo dimostrò per n = 4, poi 20 (!) Anni dopo - per n = 3. E ancora il lavoro si fermò per molti anni. La vittoria successiva spetta al tedesco Peter Dirichlet (1805-1859) e al francese Andrien Legendre (1752-1833) - hanno ammesso che Fermat aveva ragione quando n = 5. Poi il francese Gabriel Lame (1795-1870) ha fatto lo stesso per n = 7. Infine, a metà del secolo scorso, il tedesco Ernst Kummer (1810-1893) dimostrò il Grande Teorema per tutti i valori di n minori o uguali a 100. Inoltre, lo dimostrò con metodi che Fermat non avrebbe potuto saperlo, rafforzando così ulteriormente il velo di mistero attorno al Grande Teorema.

Così, si è scoperto che stavano dimostrando il teorema di Fermat "pezzo per pezzo", ma nessuno ci è riuscito "del tutto". Nuovi tentativi di dimostrazioni portarono solo ad un aumento quantitativo dei valori di n. Tutti capirono che, dopo aver speso un abisso di lavoro, si poteva dimostrare il Grande Teorema per un numero arbitrariamente grande di n, ma Fermat parlava di qualsiasi valore maggiore di 2! Era in questa differenza tra "quanto necessario" e "qualsiasi" che si concentrava l'intero punto del problema.

Tuttavia, va notato che i tentativi di dimostrare il teorema di Fermg non erano solo una sorta di gioco matematico, risolvendo un complesso rebus. Nel processo di queste dimostrazioni si sono aperti nuovi orizzonti matematici, sono sorti problemi e sono stati risolti, che sono diventati nuovi rami dell'albero matematico. Il grande matematico tedesco David Hilbert (1862-1943) ha citato il Grande Teorema come un esempio di "quale effetto stimolante sulla scienza può avere un problema speciale e apparentemente insignificante". Lo stesso Kummer, lavorando sul teorema di Fermat, dimostrò egli stesso i teoremi che stavano alla base della teoria dei numeri, dell'algebra e della teoria delle funzioni. Quindi la dimostrazione del Grande Theorsema non è lo sport, ma la vera scienza.

Il tempo passò e l'elettronica venne in aiuto di professionisti "fsrmantntst". I cervelli elettronici non potevano inventare nuovi metodi, ma hanno preso velocità. Intorno all'inizio degli anni '80, il teorema di Fermat è stato dimostrato con l'aiuto di un computer per n minore o uguale a 5500. Gradualmente, questa cifra è cresciuta fino a 100.000, ma tutti hanno capito che tale "accumulo" era una questione di pura tecnologia, dando niente per la mente o il cuore... La fortezza del Grande Teorema non poteva essere presa "frontalmente" e iniziarono a cercare manovre rotatorie.

A metà degli anni '80, il giovane matematico non mediocre G. Filytings dimostrò la cosiddetta "congettura di Mordell", che, tra l'altro, "non cadde nelle mani" di nessun matematico per 61 anni. Sorgeva la speranza che ora, per così dire, con "attacco dal fianco" si potesse risolvere anche il teorema di Fermat. Tuttavia, poi non è successo nulla. Nel 1986 il matematico tedesco Gerhard Frey ha proposto un nuovo metodo di dimostrazione in Esseche. Non ho la presunzione di spiegarlo rigorosamente, ma non in matematico, ma in linguaggio umano in generale, suona più o meno così: se siamo convinti che la dimostrazione di qualche altro teorema sia una dimostrazione indiretta, in qualche modo trasformata del teorema di Fermat, allora, pertanto, dimostreremo il Grande Teorema. Un anno dopo, l'americano Kenneth Ribet di Berkeley dimostrò che Frey aveva ragione e, infatti, una prova poteva essere ridotta a un'altra. Molti matematici hanno seguito questo percorso paesi diversi il mondo. Viktor Aleksandrovich Kolyvanov ha fatto molto per dimostrare il Grande Teorema. Le mura di trecento anni della fortezza inespugnabile ondeggiavano. I matematici si resero conto che non sarebbe durato a lungo.

Nell'estate del 1993 nella vecchia Cambridge, presso l'Isaac Newton Institute of Mathematical Sciences, 75 eminenti matematici del mondo si sono riuniti per discutere i loro problemi. Tra loro c'era il professore americano Andrew Wiles della Princeton Luxury University, un eminente specialista in teoria dei numeri. Tutti sapevano che studiava il Grande Teorema da molti anni. Wiles tenne tre discorsi e all'ultimo - il 23 giugno 1993 - proprio alla fine, voltando le spalle alla lavagna, disse con un sorriso:

- Forse non continuerò...

Prima c'è stato un silenzio assoluto, poi - un fragore di applausi. Quelli del pubblico erano abbastanza qualificati da capire: l'ultimo teorema di Fermat è stato dimostrato! In ogni caso, nessuno dei presenti ha riscontrato errori nella prova fornita. Il vicedirettore del Newton Institute Peter Goddard ha detto ai giornalisti:

“La maggior parte degli esperti non pensava che avrebbero scoperto l'indizio per il resto della loro vita. Questa è una delle più grandi conquiste della matematica del nostro secolo...

Passarono diversi mesi, non seguirono commenti e confutazioni. È vero, Wiles non ha pubblicato la sua dimostrazione, ma ha solo inviato le cosiddette stampe del suo lavoro a una cerchia molto ristretta di suoi colleghi, il che, naturalmente, impedisce ai matematici di commentare questa sensazione scientifica, e capisco l'accademico Ludwig Dmitrievich Faddeev , che ha detto:

- Posso dire che la sensazione è avvenuta quando ho visto la prova con i miei occhi.

Faddeev ritiene che la probabilità della vittoria di Wiles sia molto alta.

"Mio padre, un noto esperto di teoria dei numeri, era, ad esempio, fiducioso che il teorema sarebbe stato dimostrato, ma non con mezzi elementari", ha aggiunto.

L'altro nostro accademico, Viktor Pavlovich Maslov, era scettico riguardo alla notizia, il quale crede che la dimostrazione del Grande Teorema non sia affatto un vero problema matematico. Secondo i suoi interessi scientifici, Maslov, presidente del Council for Applied Mathematics, è tutt'altro che "fermatista", e quando dice che la soluzione completa del Grande Teorema è solo di interesse sportivo, può essere compreso. Tuttavia, oserei notare che il concetto di rilevanza in ogni scienza è una quantità variabile. 90 anni fa, a Rutherford fu probabilmente detto anche: "Bene, bene, bene, la teoria del decadimento radioattivo ... E allora? A cosa serve? .."

Il lavoro sulla dimostrazione del Grande Teorema ha già dato molto alla matematica, e si spera che ne dia di più.

"Quello che ha fatto Wiles sposterà i matematici in altre aree", ha detto Peter Goddard. - Piuttosto, non chiude una delle direzioni del pensiero, ma solleva nuove domande che richiederanno una risposta ...

Mikhail Ilyich Zelikin, professore all'Università statale di Mosca, mi ha spiegato la situazione attuale come segue:

Nessuno vede errori nel lavoro di Wiles. Ma affinché questo lavoro diventi un fatto scientifico, è necessario che diversi rispettati matematici ripetano indipendentemente questa dimostrazione e ne confermino la correttezza. Questa è una condizione sine qua non per la consapevolezza del lavoro di Wiles nella comunità matematica ...

Quanto tempo ci vorrà per questo?

Ho posto questa domanda a uno dei nostri maggiori specialisti nel campo della teoria dei numeri, il dottore in fisica e matematica Alexei Nikolaevich Parshin.

- Andrew Wiles ha ancora molto tempo davanti...

Il fatto è che il 13 settembre 1907 il matematico tedesco P. Wolfskel, che, a differenza della stragrande maggioranza dei matematici, era un uomo ricco, lasciò in eredità 100mila marchi a colui che avrebbe dimostrato il Grande Teorema nei prossimi 100 anni. All'inizio del secolo gli interessi sull'importo lasciato in eredità andarono al tesoro della famosa Getgangent University. Questo denaro è stato utilizzato per invitare eminenti matematici a tenere conferenze e svolgere lavori scientifici. A quel tempo, David Hilbert, già da me citato, era il presidente della commissione per l'assegnazione del premio. Non voleva davvero pagare il bonus.

- Per fortuna, - disse il grande matematico, - sembra che non abbiamo un matematico, a parte me, che saprebbe fare questo compito, ma non oserò mai uccidere la gallina che ci depone le uova d'oro-

Mancano solo pochi anni alla scadenza del 2007 fissata da Wolfskel, e mi sembra che ci sia un serio pericolo che incombe sul "pollo di Hilbert". Ma non è il premio, anzi, è questo il punto. Il punto è la curiosità del pensiero e la testardaggine umana. Abbiamo combattuto per più di trecento anni, eppure hanno dimostrato!

E inoltre. Per me, la cosa più interessante di tutta questa storia: come ha fatto lo stesso Fermat a dimostrare il suo Grande Teorema? Dopotutto, tutti i trucchi matematici di oggi gli erano sconosciuti. E lo ha dimostrato? Dopotutto, c'è una versione che sembra aver dimostrato, ma lui stesso ha trovato un errore, e quindi non ha inviato le dimostrazioni ad altri matematici, e si è dimenticato di barrare la voce ai margini del volume diofanteo. Pertanto, mi sembra che la dimostrazione del Grande Teorema, ovviamente, sia avvenuta, ma il segreto del teorema di Fermat è rimasto, ed è improbabile che lo riveleremo mai...

Forse si sbagliava allora Fermat, ma non si sbagliava quando scriveva: “Forse la discendenza mi sarà grata per avergli mostrato che gli antichi non sapevano tutto, e questo può penetrare nella coscienza di coloro che verranno dopo di me per passare la fiaccola ai suoi figli…”

Pierre Fermat, leggendo l'"Aritmetica" di Diofanto d'Alessandria e riflettendo sui suoi compiti, aveva l'abitudine di annotare i risultati delle sue riflessioni a margine del libro sotto forma di brevi osservazioni. Contro l'ottavo problema di Diofanto a margine del libro, Fermat scrive: “ Al contrario, è impossibile scomporre un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, e, in generale, nessun grado maggiore di un quadrato di due gradi con lo stesso esponente. Ne ho scoperto una prova davvero meravigliosa, ma questi campi sono troppo stretti per lui.» / ETBell "I creatori della matematica". M., 1979, pagina 69/. Porto alla vostra attenzione una dimostrazione elementare del teorema della fattoria, che può essere compresa da qualsiasi studente delle superiori che sia appassionato di matematica.

Confrontiamo il commento di Fermat al problema di Diofanto con la moderna formulazione del grande teorema di Fermat, che ha la forma di un'equazione.
« L'equazione

x n + y n = z n(dove n è un numero intero maggiore di due)

non ha soluzioni con numeri interi positivi»

Il commento è in una connessione logica con il compito, analoga alla connessione logica del predicato con il soggetto. Quanto affermato dal problema di Diofanto, al contrario, è affermato dal commento di Fermat.

Il commento di Fermat può essere interpretato come segue: se equazione quadrata con tre incognite ha un insieme infinito di soluzioni sull'insieme di tutte le triple dei numeri pitagorici, quindi, al contrario, un'equazione con tre incognite di un grado maggiore del quadrato

Nell'equazione non c'è nemmeno un accenno della sua connessione con il problema di Diofanto. La sua affermazione richiede una prova, ma sotto di essa non c'è condizione da cui ne consegue che non ha soluzioni in numeri interi positivi.

Le varianti della dimostrazione dell'equazione a me nota si riducono al seguente algoritmo.

1. Si assume come conclusione l'equazione del teorema di Fermat, la cui validità viene verificata con l'ausilio della dimostrazione.
2. Si chiama la stessa equazione originale l'equazione da cui deve procedere la sua dimostrazione.

Di conseguenza si è formata una tautologia: “ Se l'equazione non ha soluzioni in numeri interi positivi, allora non ha soluzioni in numeri interi positivi". La prova della tautologia è volutamente errata e priva di senso. Ma è dimostrato con metodo contraddittorio.

• Si fa l'ipotesi opposta a quella dell'equazione che si vuole dimostrare. Non dovrebbe contraddire l'equazione originale, ma la contraddice. Non ha senso provare ciò che è accettato senza prova e accettare senza prova ciò che deve essere dimostrato.
• Sulla base del presupposto accettato, vengono eseguite operazioni e azioni matematiche assolutamente corrette per dimostrare che contraddice l'equazione originale ed è falsa.

Pertanto, da 370 anni a questa parte, la dimostrazione dell'equazione dell'ultimo teorema di Fermat è rimasta un sogno irrealizzabile di specialisti e dilettanti di matematica.

Ho preso l'equazione come conclusione del teorema e l'ottavo problema di Diofanto e la sua equazione come condizione del teorema.

«Se l'equazione x 2 + y 2 = z 2 (1) ha un insieme infinito di soluzioni sull'insieme di tutte le triple di numeri pitagorici, quindi, al contrario, l'equazione x n + y n = z n , dove n> 2 (2) non ha soluzioni sull'insieme degli interi positivi."

Prova.

UN) Tutti sanno che l'equazione (1) ha un insieme infinito di soluzioni sull'insieme di tutte le triple di numeri pitagorici. Dimostriamo che non una singola terna di numeri pitagorici che è una soluzione dell'equazione (1) è una soluzione dell'equazione (2).

Sulla base della legge di reversibilità di uguaglianza, i lati dell'equazione (1) sono scambiati. Numeri pitagorici (z, x, y) può essere interpretato come le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo e dei quadrati (x 2, y 2, z 2) può essere interpretato come l'area dei quadrati costruita sulla sua ipotenusa e gambe.

I quadrati dei quadrati dell'equazione (1) vengono moltiplicati per un'altezza arbitraria h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

L'equazione (3) può essere interpretata come l'uguaglianza del volume di un parallelepipedo alla somma dei volumi di due parallelepipedi.

Sia l'altezza di tre parallelepipedi h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Il volume del cubo è scomposto in due volumi di due parallelepipedi. Lasciare inalterato il volume del cubo e ridurre l'altezza del primo parallelepipedo X e ridurre l'altezza del secondo parallelepipedo a y ... Il volume di un cubo è maggiore della somma dei volumi di due cubi:

z 3> x 3 + y 3 (5)

Sull'insieme delle triple di numeri pitagorici ( x, y, z ) in n = 3 non ci può essere soluzione all'equazione (2). Pertanto, sull'insieme di tutte le triple di numeri pitagorici, è impossibile scomporre un cubo in due cubi.

Sia nell'equazione (3) l'altezza di tre parallelepipedi h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Il volume di un parallelepipedo si scompone nella somma dei volumi di due parallelepipedi.
Lascia invariato il lato sinistro dell'equazione (6). Alla sua destra c'è l'altezza z 2 ridurre a X nel primo semestre e fino a alle 2 nel secondo mandato.

L'equazione (6) si è trasformata nella disuguaglianza:

Il volume di un parallelepipedo è scomposto in due volumi di due parallelepipedi.

Lascia invariato il lato sinistro dell'equazione (8).
Sul lato destro l'altezza z n-2 ridurre a x n-2 nel primo termine e diminuire a si n-2 nel secondo mandato. L'equazione (8) diventa la disuguaglianza:

z n> x n + y n

(9)

Sull'insieme delle triple di numeri pitagorici, non può esserci un'unica soluzione all'equazione (2).

Pertanto, sull'insieme di tutte le terne dei numeri pitagorici per tutti n> 2 l'equazione (2) non ha soluzioni.

Ricevuto "postinno miracoloso", ma solo per terzine Numeri pitagorici... Questo è mancanza di prove e il motivo del rifiuto di P. Fermat da parte sua.

B) Dimostriamo che l'Eq. (2) non ha soluzioni sull'insieme delle triple di numeri non pitagorici, il che è un fallimento della famiglia di una terna arbitrariamente presa di numeri pitagorici z = 13, x = 12, y = 5 e la famiglia di una terna arbitraria di interi positivi z = 21, x = 19, y = 16

Entrambe le triplette di numeri sono membri delle loro famiglie:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Il numero dei membri della famiglia (10) e (11) è pari alla metà del prodotto di 13 per 12 e 21 per 20, cioè 78 e 210.

Ogni membro della famiglia (10) contiene z = 13 e variabili X e in 13> x> 0 , 13> y> 0 1

Ogni membro della famiglia (11) contiene z = 21 e variabili X e in che prendono i valori degli interi 21> x> 0 , 21> y> 0 ... Le variabili diminuiscono gradualmente di 1 .

Le terzine di numeri nella sequenza (10) e (11) possono essere rappresentate come una sequenza di disuguaglianze di terzo grado:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

e sotto forma di disuguaglianze di quarto grado:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

La correttezza di ciascuna disuguaglianza è confermata dall'elevazione dei numeri alla terza e alla quarta potenza.

Un cubo di numero maggiore non può essere scomposto in due cubi di numero minore. È inferiore o superiore alla somma dei cubi dei due numeri minori.

Il biquadrat di un numero maggiore non può essere scomposto in due biquadrat di numeri minori. È inferiore o superiore alla somma dei biquadrati di numeri più piccoli.

Con un aumento dell'esponente, tutte le disuguaglianze, ad eccezione della disuguaglianza estrema sinistra, hanno lo stesso significato:

Le disuguaglianze, hanno tutte lo stesso significato: il grado di un numero maggiore è maggiore della somma delle potenze di meno di due numeri con lo stesso esponente:

	13 n> 12 n + 12 n; 13 n> 12 n + 11 n; ...; 13 n> 7 n + 4 n; ...; 13 n> 1 n + 1 n	(12)
	21 n> 20 n + 20 n; 21 n> 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n> 1 n + 1 n	(13)

Il termine più a sinistra delle successioni (12) (13) è la disuguaglianza più debole. La sua correttezza determina la correttezza di tutte le successive disuguaglianze di sequenza (12) per n> 8 e sequenza (13) per n> 14 .

Non ci può essere una sola uguaglianza tra loro. Una terna arbitraria di interi positivi (21,19,16) non è una soluzione all'equazione (2) del grande teorema di Fermat. Se una tripla di interi positivi presa arbitrariamente non è una soluzione dell'equazione, allora l'equazione non ha soluzioni sull'insieme di interi positivi, che è ciò che dovevamo dimostrare.

CON) Il commento di Fermat al problema di Diofanto afferma che è impossibile decomporre” in generale, nessun grado maggiore del quadrato, di due gradi con lo stesso esponente».

Baci un grado maggiore di un quadrato è davvero impossibile da scomporre in due gradi con lo stesso esponente. Non appropriato grado maggiore del quadrato può essere scomposto in due gradi con lo stesso esponente.

Qualsiasi terna arbitraria di numeri interi positivi (z, x, y) può appartenere a una famiglia, ogni membro della quale è costituito da un numero costante z e due numeri in meno di z ... Ogni membro della famiglia può essere rappresentato sotto forma di disuguaglianza e tutte le disuguaglianze ottenute possono essere rappresentate come una sequenza di disuguaglianze:

zn< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

La sequenza delle disuguaglianze (14) inizia con le disuguaglianze in cui il lato sinistro è minore del lato destro e termina con le disuguaglianze in cui il lato destro è inferiore al lato sinistro. Con esponente crescente n> 2 il numero di disuguaglianze sul lato destro della sequenza (14) aumenta. Con un esponente n = k tutte le disuguaglianze sul lato sinistro della sequenza cambiano significato e assumono il significato delle disuguaglianze sul lato destro delle disuguaglianze nella sequenza (14). Come risultato di un aumento dell'esponente per tutte le disuguaglianze, il lato sinistro risulta essere più grande del lato destro:

z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k; ...; zk> 2k + 1k; zk> 1k + 1k

(15)

Con un ulteriore aumento dell'esponente n> k nessuna delle disuguaglianze cambia significato e non si trasforma in uguaglianza. Su questa base, si può sostenere che qualsiasi tripla di interi positivi arbitrariamente presa (z, x, y) in n> 2 , z> x , z> y

In una terna arbitraria di numeri interi positivi z può essere un numero naturale arbitrariamente grande. Per tutti i numeri naturali non maggiori di z , Si dimostra l'ultimo teorema di Fermat.

D) Non importa quanto grande sia il numero z , nella serie naturale di numeri davanti c'è un grande, ma finito insieme di interi, e dopo di esso - un insieme infinito di interi.

Dimostriamo che l'intero insieme infinito dei numeri naturali maggiore di z , formano triple di numeri che non sono soluzioni dell'equazione del teorema di Great Fermat, ad esempio una tripla di interi positivi presa arbitrariamente (z + 1, x, y) , in cui z + 1> x e z + 1> y per tutti i valori dell'esponente n> 2 non è una soluzione all'equazione del teorema di Great Fermat.

Una tripletta arbitraria di numeri interi positivi (z + 1, x, y) può appartenere alla famiglia delle terzine di numeri, ciascuna delle quali è costituita da un numero costante z+1 e due numeri X e in prendendo valori diversi inferiori a z+1 ... I membri della famiglia possono essere rappresentati sotto forma di disuguaglianze in cui il lato sinistro costante è inferiore o superiore al lato destro. Le disuguaglianze possono essere organizzate in modo ordinato come una sequenza di disuguaglianze:

Con un ulteriore aumento dell'esponente n> k all'infinito, nessuna delle disuguaglianze nella sequenza (17) cambia significato e si trasforma in uguaglianza. Nella sequenza (16), la disuguaglianza formata da una terna arbitraria di numeri interi positivi (z + 1, x, y) , può trovarsi sul lato destro del modulo (z + 1) n> x n + y n o essere nella sua parte sinistra nel modulo (z+1) n< x n + y n .

In ogni caso, la tripla degli interi positivi (z + 1, x, y) in n> 2 , z + 1> x , z + 1> y nella sequenza (16) è una disuguaglianza e non può rappresentare un'uguaglianza, cioè non può rappresentare una soluzione dell'equazione del teorema di Grande Fermat.

È facile e semplice comprendere l'origine della sequenza delle disuguaglianze di potere (16), in cui l'ultima disuguaglianza sul lato sinistro e la prima disuguaglianza sul lato destro sono disuguaglianze di significato opposto. Al contrario, non è facile e non facile per scolari, studenti delle scuole superiori e studenti delle scuole superiori capire come una sequenza di disuguaglianze (17) si formi da una sequenza di disuguaglianze (16), in cui tutte le disuguaglianze hanno lo stesso significato .

Nella sequenza (16), un aumento del grado intero delle disuguaglianze di 1 unità trasforma l'ultima disuguaglianza sul lato sinistro nella prima disuguaglianza di significato opposto sul lato destro. Pertanto, il numero di disuguaglianze sul nono lato della sequenza diminuisce, mentre aumenta il numero di disuguaglianze sul lato destro. Tra l'ultima e la prima disuguaglianza di potere di significato opposto c'è necessariamente un'uguaglianza di potere. Il suo grado non può essere un intero, poiché ci sono solo non interi tra due numeri naturali consecutivi. L'uguaglianza di potenza di un grado non intero, per l'ipotesi del teorema, non può essere considerata una soluzione dell'equazione (1).

Se nella sequenza (16) continuiamo ad aumentare il grado di 1 unità, l'ultima disuguaglianza del suo lato sinistro si trasformerà nella prima disuguaglianza di significato opposto del lato destro. Di conseguenza, non rimane una singola disuguaglianza di sinistra e rimangono solo le disuguaglianze di destra, che rappresentano una sequenza di crescenti disuguaglianze di potere (17). Un ulteriore aumento del loro intero grado di 1 unità non fa che rafforzare le sue disuguaglianze di potere ed esclude categoricamente la possibilità che si manifesti l'uguaglianza in un grado intero.

Quindi, in generale, nessuna potenza intera di un numero naturale (z + 1) della successione delle disuguaglianze di potenza (17) può essere scomposta in due potenze intere con lo stesso esponente. Pertanto, l'equazione (1) non ha soluzioni su un insieme infinito di numeri naturali, che era necessario per dimostrare.

Di conseguenza, l'ultimo teorema di Fermat è dimostrato in tutta la sua universalità:

• nella sezione A) per tutte le triple (z, x, y) Numeri pitagorici (la scoperta di Fermat ne è una prova davvero meravigliosa),
• nella sezione B) per tutti i familiari di qualsiasi tripletta (z, x, y) numeri pitagorici,
• nella sezione C) per tutte le triple di numeri (z, x, y) , non grandi numeri z
• nella sezione D) per tutte le triple di numeri (z, x, y) serie naturale di numeri.

Le modifiche sono state apportate il 09/05/2010.

Quali teoremi possono e non possono essere dimostrati per assurdo

Nel dizionario esplicativo dei termini matematici si dà una definizione a una dimostrazione del teorema opposto, l'opposto del teorema dell'inverso.

“La dimostrazione per assurdo è un metodo per dimostrare un teorema (proposizione), che consiste nel dimostrare non il teorema stesso, ma il suo equivalente (equivalente), opposto al teorema inverso (inverso al contrario). Una dimostrazione per assurdo viene utilizzata ogni volta che il teorema diretto è difficile da dimostrare e il contrario è più facile da dimostrare. Nel dimostrare per contraddizione, la conclusione del teorema è sostituita dalla sua negazione, e ragionando si arriva alla negazione della condizione, cioè a una contraddizione, al contrario (l'opposto di ciò che è dato; questa riduzione all'assurdo dimostra il teorema. "

La dimostrazione per assurdo è molto comune in matematica. La prova per assurdo si basa sulla legge del terzo escluso, che è quella di due affermazioni (affermazioni) A e A (negazione A) una è vera e l'altra è falsa"./ Dizionario esplicativo di termini matematici: una guida per insegnanti / O. V. Manturov [e altri]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Istruzione, 1965.- 539 p.: ill.-C.112 /.

Non sarebbe meglio dichiarare apertamente che il metodo della dimostrazione per assurdo non è un metodo matematico, sebbene sia usato in matematica, che è un metodo logico e appartiene alla logica. È lecito dire che una dimostrazione per assurdo "si usa ogniqualvolta il teorema diretto è difficile da dimostrare", quando in realtà si usa se e solo se non vi è alcun sostituto per esso?

Particolare attenzione merita la caratterizzazione della relazione tra teoremi diretti e inversi. “Il teorema inverso per un dato teorema (o per un dato teorema) è un teorema in cui la condizione è la conclusione e la conclusione è la condizione del dato teorema. Questo teorema in relazione al teorema inverso è chiamato teorema diretto (originale). Allo stesso tempo, il teorema inverso al teorema inverso sarà il teorema dato; pertanto, i teoremi diretto e inverso sono detti mutuamente inversi. Se il teorema diretto (dato) è vero, allora il teorema inverso non è sempre vero. Ad esempio, se un quadrilatero è un rombo, le sue diagonali sono reciprocamente perpendicolari (teorema diretto). Se le diagonali nel quadrilatero sono tra loro perpendicolari, allora il quadrilatero è un rombo — questo non è vero, cioè il teorema inverso non è vero./ Dizionario esplicativo di termini matematici: una guida per insegnanti / O. V. Manturov [e altri]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Istruzione, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

Questa caratteristica la relazione del teorema diretto e inverso non tiene conto del fatto che la condizione del teorema diretto è data per data, senza dimostrazione, per cui la sua correttezza non è garantita. La condizione del teorema inverso non è data per data, poiché è la conclusione del teorema diretto provato. La sua correttezza è evidenziata dalla dimostrazione del teorema diretto. Questa differenza logica essenziale tra le condizioni dei teoremi diretti e inversi si rivela decisiva nella questione di quali teoremi possano e quali non possano essere dimostrati con un metodo logico per contraddizione.

Assumiamo che ci sia in mente un teorema diretto, che può essere dimostrato con il solito metodo matematico, ma è difficile. Formuliamolo dentro vista generale v forma breve Così: a partire dal UN Dovrebbe e ... Simbolo UN la condizione data del teorema, accettata senza dimostrazione, conta. Simbolo e il significato della conclusione del teorema, che deve essere dimostrato.

Dimostreremo il teorema diretto per assurdo, logico metodo. Un metodo logico viene utilizzato per dimostrare un teorema che ha non matematico condizione, e logico condizione. Si può ottenere se la condizione matematica del teorema a partire dal UN Dovrebbe e , integrare con la condizione opposta a partire dal UN non segue e .

Di conseguenza, abbiamo ottenuto una condizione logica contraddittoria del nuovo teorema, che contiene due parti: a partire dal UN Dovrebbe e e a partire dal UN non segue e ... La condizione risultante del nuovo teorema corrisponde alla legge logica del terzo escluso e corrisponde alla dimostrazione del teorema con il metodo contraddittorio.

Secondo la legge, una parte di una condizione contraddittoria è falsa, un'altra parte è vera e la terza è esclusa. La dimostrazione per assurdo ha il suo compito e lo scopo di stabilire esattamente quale parte delle due parti della condizione del teorema è falsa. Non appena viene determinata la parte falsa della condizione, si determinerà che l'altra parte è la parte vera e la terza è esclusa.

Secondo dizionario esplicativo termini matematici, "La prova è il ragionamento, durante il quale si stabilisce la verità o la falsità di qualsiasi affermazione (giudizio, enunciato, teorema)"... Prova per assurdo c'è un ragionamento, durante il quale si stabilisce falsità(assurdità) della conclusione derivante da falso condizioni del teorema da dimostrare.

Dato: a partire dal UN Dovrebbe e e da UN non segue e .

Dimostra: a partire dal UN Dovrebbe e .

Prova: La condizione logica del teorema contiene una contraddizione che deve essere risolta. La contraddizione della condizione deve trovare la sua soluzione nella dimostrazione e nel suo risultato. Il risultato risulta essere falso con un ragionamento impeccabile e privo di errori. Con un ragionamento logicamente corretto, la ragione della falsa conclusione può essere solo una condizione contraddittoria: a partire dal UN Dovrebbe e e a partire dal UN non segue e .

Non c'è ombra di dubbio che una parte della condizione è falsa, mentre l'altra in questo caso è vera. Entrambe le parti della condizione hanno la stessa origine, sono accettate come dati, presupposte, ugualmente possibili, ugualmente ammissibili, ecc. Nel corso del ragionamento logico non è stata trovata una singola caratteristica logica che distinguerebbe una parte della condizione dall'altra . Pertanto, nella stessa misura può essere a partire dal UN Dovrebbe e e forse a partire dal UN non segue e ... Dichiarazione a partire dal UN Dovrebbe e può essere falso, quindi la dichiarazione a partire dal UN non segue e sarà vero. Dichiarazione a partire dal UN non segue e può essere falsa, quindi l'affermazione a partire dal UN Dovrebbe e sarà vero.

Di conseguenza, è impossibile dimostrare il teorema diretto per assurdo.

Ora dimostreremo lo stesso teorema diretto con il solito metodo matematico.

Dato: UN .

Dimostra: a partire dal UN Dovrebbe e .

Prova.

1. A partire dal UN Dovrebbe B

2. A partire dal B Dovrebbe V (dal teorema precedentemente dimostrato)).

3. A partire dal V Dovrebbe G (dal teorema precedentemente dimostrato).

4. A partire dal G Dovrebbe D (dal teorema precedentemente dimostrato).

5. A partire dal D Dovrebbe e (dal teorema precedentemente dimostrato).

Sulla base della legge di transitività, a partire dal UN Dovrebbe e ... Il teorema diretto si dimostra con il metodo usuale.

Lascia che il teorema diretto dimostrato abbia il teorema inverso corretto: a partire dal e Dovrebbe UN .

Dimostriamolo con il solito matematico metodo. La dimostrazione del teorema inverso può essere espressa simbolicamente sotto forma di un algoritmo di operazioni matematiche.

Dato: e

Dimostra: a partire dal e Dovrebbe UN .

Prova.

1. A partire dal e Dovrebbe D

2. A partire dal D Dovrebbe G (per il teorema di converso precedentemente dimostrato).

3. A partire dal G Dovrebbe V (per il teorema di converso precedentemente dimostrato).

4. A partire dal V non segue B (il teorema inverso non è vero). Ecco perché a partire dal B non segue UN .

In questa situazione, non ha senso continuare la dimostrazione matematica del teorema inverso. Il motivo della situazione è logico. È impossibile sostituire il teorema del contrario errato con qualcosa. Di conseguenza, questo teorema inverso non può essere dimostrato con il metodo matematico usuale. Ogni speranza è per la dimostrazione di questo teorema del contrario con il metodo della contraddizione.

Per dimostrarlo con metodo contraddittorio, è necessario sostituire la sua condizione matematica con una condizione logica contraddittoria, che nel suo significato contiene due parti: falsa e vera.

Il teorema inverso stati: a partire dal e non segue UN ... La sua condizione e , da cui segue la conclusione UN , è il risultato della dimostrazione del teorema diretto con il solito metodo matematico. Questa condizione deve essere conservata e integrata con la dichiarazione a partire dal e Dovrebbe UN ... Come risultato dell'addizione, si ottiene una condizione contraddittoria del nuovo teorema di converso: a partire dal e Dovrebbe UN e a partire dal e non segue UN ... Basato su questo logicamente condizione contraddittoria, il teorema inverso può essere dimostrato mediante il corretto logico solo ragionamento, e solo, logico per assurdo metodo. A dimostrazione per assurdo, tutte le azioni e le operazioni matematiche sono subordinate a quelle logiche e quindi non contano.

Nella prima parte dell'affermazione contraddittoria a partire dal e Dovrebbe UN condizione e è stato dimostrato dalla dimostrazione del teorema diretto. Nella seconda parte a partire dal e non segue UN condizione e è stato assunto e accettato senza prove. Alcuni di loro uno è falso e l'altro è vero. È necessario provare quale di essi è falso.

Dimostriamo per mezzo del corretto logico ragionamento e scoprire che il suo risultato è una conclusione falsa e assurda. La ragione della falsa conclusione logica è la condizione logica contraddittoria del teorema, che contiene due parti: falsa e vera. Solo un'affermazione può essere una parte falsa a partire dal e non segue UN , in quale e fu accettato senza prove. Ecco come si differenzia e approvazione a partire dal e Dovrebbe UN , che è dimostrato dalla dimostrazione del teorema diretto.

Pertanto, la seguente affermazione è vera: a partire dal e Dovrebbe UN , come richiesto per dimostrare.

Conclusione: solo il teorema inverso è dimostrato con un metodo logico per assurdo, che ha un teorema diretto dimostrato con un metodo matematico e che non può essere dimostrato con un metodo matematico.

La conclusione che ne risulta acquista un'importanza eccezionale in relazione al metodo di dimostrazione per contraddizione del teorema di Grande Fermat. La stragrande maggioranza dei tentativi di dimostrarlo non si basa sul solito metodo matematico, ma sul metodo logico della dimostrazione per contraddizione. La dimostrazione del teorema del Grande Fermat di Wiles non fa eccezione.

Dmitry Abrarov nel suo articolo "Il teorema di Fermat: il fenomeno delle prove di Wiles" ha pubblicato un commento alla dimostrazione del teorema del grande Fermat di Wiles. Secondo Abrarov, Wiles dimostra il teorema del Grande Fermat con l'aiuto di una notevole scoperta del matematico tedesco Gerhard Frey (n. 1944), che ha collegato la potenziale soluzione dell'equazione di Fermat x n + y n = z n , dove n> 2 , con un'altra, completamente diversa da lui, equazione. Questa nuova equazione è data da una curva speciale (chiamata curva ellittica di Frey). La curva di Frey è data da un'equazione di forma molto semplice:
.

“Ovvero, Frey ha abbinato ogni soluzione (a, b, c) Equazione di Fermat, cioè numeri che soddisfano la relazione un n + b n = c n sopra la curva. In questo caso, da qui seguirebbe il grande teorema di Fermat.(Citazione da: Abrarov D. "Teorema di Fermat: il fenomeno delle prove di Wiles")

In altre parole, Gerhard Frey suggerì che l'equazione del grande teorema di Fermat x n + y n = z n , dove n> 2 , ha soluzioni in numeri interi positivi. Queste soluzioni sono, secondo l'ipotesi di Frey, soluzioni della sua equazione
y 2 + x (x - un n) (y + b n) = 0 , che è data dalla sua curva ellittica.

Andrew Wiles ha accettato questa straordinaria scoperta di Frey e con il suo aiuto matematico il metodo ha dimostrato che questa scoperta, cioè la curva ellittica di Frey, non esiste. Pertanto, non esiste un'equazione e le sue soluzioni, che sono date da una curva ellittica inesistente.Pertanto Wiles avrebbe dovuto accettare la conclusione che l'equazione del teorema di Grande Fermat e il teorema di Fermat stesso non esistono. Tuttavia, ha fatto una conclusione più modesta che l'equazione del Teorema di Grande Fermat non ha soluzioni in numeri interi positivi.

Può essere un fatto inconfutabile che Wiles abbia accettato un'ipotesi che è esattamente l'opposto nel significato di quanto affermato dall'ultimo teorema di Fermat. Obbliga Wiles a dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat per assurdo. Seguiremo il suo esempio e vedremo cosa ne esce fuori.

L'ultimo teorema di Fermat afferma che l'equazione x n + y n = z n , dove n> 2 , non ha soluzioni in numeri interi positivi.

Secondo il metodo logico della prova per contraddizione, questa affermazione è conservata, presa come data senza prova, e quindi integrata con l'affermazione opposta nel significato: l'equazione x n + y n = z n , dove n> 2 , ha soluzioni in numeri interi positivi.

Anche la presunta affermazione è accettata come data, senza prove. Entrambe le affermazioni, considerate dal punto di vista delle leggi fondamentali della logica, sono ugualmente valide, uguali e ugualmente possibili. Attraverso un ragionamento corretto, è necessario stabilire quale di esse è falsa, per poi stabilire che l'altra affermazione è vera.

Il ragionamento corretto si conclude con una conclusione falsa, assurda, la cui ragione logica non può che essere la condizione contraddittoria del teorema in dimostrazione, che contiene due parti di significato opposto. Erano la ragione logica dell'assurda conclusione, frutto di una prova per assurdo.

Tuttavia, nel corso di un ragionamento logicamente corretto, non è stato trovato un solo segno con il quale sarebbe possibile stabilire quale particolare affermazione sia falsa. Potrebbe essere l'affermazione: l'equazione x n + y n = z n , dove n> 2 , ha soluzioni in numeri interi positivi. Sulla stessa base, può essere l'affermazione: l'equazione x n + y n = z n , dove n> 2 , non ha soluzioni in numeri interi positivi.

Come risultato del ragionamento, ci può essere solo una conclusione: L'ultimo teorema di Fermat non può essere dimostrato per assurdo.

Sarebbe una questione completamente diversa se l'Ultimo Teorema di Fermat fosse un teorema inverso che ha un teorema diretto dimostrato con il solito metodo matematico. In questo caso, potrebbe essere dimostrato per assurdo. E poiché è un teorema diretto, la sua dimostrazione dovrebbe basarsi non sul metodo logico della dimostrazione per contraddizione, ma sul metodo matematico usuale.

Secondo D. Abrarov, il più famoso dei matematici russi moderni, l'accademico V. I. Arnold, ha reagito alla dimostrazione di Wiles "attivamente con scetticismo". L'accademico ha detto: "Questa non è la vera matematica - la vera matematica è geometrica e forte in connessione con la fisica." (Citazione da: Abrarov D. "Il teorema di Fermat: il fenomeno delle dimostrazioni di Wiles". L'affermazione dell'accademico esprime l'essenza stessa della teoria di Wiles dimostrazione non matematica del teorema del Grande Fermat.

Per assurdo è impossibile dimostrare né che l'equazione del teorema di Fermat non abbia soluzioni, né che abbia soluzioni. L'errore di Wiles non è matematico, ma logico: l'uso della dimostrazione per contraddizione dove il suo uso non ha senso e non dimostra il teorema del Grande Fermat.

L'ultimo teorema di Fermat non è dimostrato usando il solito metodo matematico, se è data: l'equazione x n + y n = z n , dove n> 2 , non ha soluzioni in numeri interi positivi, e se è necessario dimostrare in esso: l'equazione x n + y n = z n , dove n> 2 , non ha soluzioni in numeri interi positivi. In questa forma non c'è un teorema, ma una tautologia priva di significato.

Nota. La mia prova di BTF è stata discussa su uno dei forum. Uno dei collaboratori di Trotil, un teorico dei numeri, ha rilasciato la seguente autorevole dichiarazione, intitolata: “ Breve rivisitazione quello che ha fatto Mirgorodsky". Lo cito testualmente:

« UN. Ha dimostrato che se z 2 = x 2 + y , poi z n> x n + y n ... Questo è un fatto noto e abbastanza ovvio.

V. Ha preso due terzine - pitagoriche e non pitagoriche e ha mostrato con una semplice ricerca che per una specifica famiglia di terzine (78 e 210 pezzi), il BTF è soddisfatto (e solo per lui).

CON. E poi l'autore omette il fatto che da < in un grado successivo può essere = , non solo > ... Un semplice controesempio: la transizione n = 1 v n = 2 nella terzina pitagorica.

D. Questo punto non aggiunge nulla di significativo alla prova di BTF. Conclusione: BTF non è stato dimostrato".

Considererò la sua conclusione punto per punto.

UN. Ha dimostrato il BTF per l'intero insieme infinito di terzine di numeri pitagorici. Dimostrato dal metodo geometrico, che, come credo, non fu scoperto da me, ma riscoperto. Ed è stato scoperto, come credo, dallo stesso P. Fermat. Era questo che Fermat avrebbe potuto avere in mente quando scrisse:

"Ho scoperto una prova davvero meravigliosa di questo, ma questi campi sono troppo stretti per lui". Questa mia ipotesi si basa sul fatto che nel problema di Diofanto, contro il quale, a margine del libro, ha scritto Fermat, si parla di soluzioni dell'equazione diofantea, che sono triple di numeri pitagorici.

Un insieme infinito di triple di numeri pitagorici sono soluzioni dell'equazione diofatica, e nel teorema di Fermat, al contrario, nessuna delle soluzioni può essere una soluzione dell'equazione del teorema di Fermat. E la prova veramente miracolosa di Fermat è direttamente collegata a questo fatto. Più tardi Fermat poté estendere il suo teorema all'insieme di tutti i numeri naturali. Sull'insieme di tutti i numeri naturali, il BTF non appartiene all'"insieme dei teoremi eccezionalmente belli". Questa è la mia ipotesi, che è impossibile da provare o smentire. Può essere sia accettato che rifiutato.

V. A questo punto, dimostro che sia la famiglia di una tripletta pitagorica di numeri presa arbitrariamente sia la famiglia di una tripletta non pitagorica di numeri BTF presa arbitrariamente è soddisfatta. Questo è un collegamento necessario, ma insufficiente e intermedio nella mia dimostrazione di BTF . Gli esempi che ho preso di una famiglia di un triplo di numeri pitagorici e di una famiglia di un triplo di numeri non pitagorici hanno il significato di esempi specifici che presuppongono e non escludono l'esistenza di altri esempi simili.

L'affermazione di Trotil secondo cui ho “dimostrato con una semplice ricerca che per una famiglia specifica e definita di terzine (78 e 210 pezzi), il BTF è soddisfatto (e solo per esso) è infondata. Non può confutare il fatto che io possa altrettanto bene prendere altri esempi di terzine pitagoriche e non pitagoriche per ottenere una specifica famiglia specifica dell'una e dell'altra terzina.

Qualunque coppia di terzine prenda, la loro idoneità a risolvere il problema può essere verificata, a mio avviso, solo con il metodo della "enumerazione semplice". Qualsiasi altro metodo non mi è noto e non è richiesto. Se a Trotil non piace, avrebbe dovuto suggerire un altro metodo, cosa che non piace. Senza offrire nulla in cambio, non è corretto condannare la “semplice forza bruta”, che in questo caso è insostituibile.

CON. Ho omesso = tra< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), in cui il grado n> 2 — totale numero positivo. Dall'uguaglianza tra le disuguaglianze ne consegue obbligatorio considerazione dell'equazione (1) con grado non intero n> 2 ... Conteggio trotili obbligatorio la considerazione dell'uguaglianza tra le disuguaglianze effettivamente considera necessario nella dimostrazione del BTF, considerazione dell'Eq. (1) per incompleto il significato della laurea n> 2 ... L'ho fatto per me stesso e ho trovato l'equazione (1) per incompleto il significato della laurea n> 2 ha una soluzione di tre numeri: z, (z-1), (z-1) con esponente non intero.

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