Risoluzione di equazioni biquadratiche. Metodi per risolvere equazioni quadratiche Verifica della correttezza della soluzione

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Equazioni quadratiche.

Equazione quadrata- equazione algebrica vista generale

dove x è una variabile libera,

a, b, c, - coefficienti, e

Espressione detto trinomio quadrato.

Metodi per risolvere equazioni di secondo grado.

1. METODO : Fattorizzare il lato sinistro dell'equazione.

Risolviamo l'equazione x 2 + 10x - 24 = 0... Scomponiamo il lato sinistro:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Pertanto, l'equazione può essere riscritta come segue:

(x + 12) (x - 2) = 0

Poiché il prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero. Pertanto, il membro di sinistra dell'equazione si annulla a x = 2 e anche per x = - 12... Ciò significa che il numero 2 e - 12 sono le radici dell'equazione x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODO : Metodo di selezione quadrato completo.

Risolviamo l'equazione x 2 + 6x - 7 = 0... Seleziona un quadrato completo a sinistra.

Per fare ciò, scrivi l'espressione x 2 + 6x nella forma seguente:

x 2 + 6 x = x 2 + 2 x 3.

Nell'espressione risultante, il primo termine è il quadrato del numero x e il secondo è il prodotto raddoppiato di x per 3. Pertanto, per ottenere un quadrato completo, è necessario aggiungere 3 2, poiché

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Ora trasformiamo il lato sinistro dell'equazione

x 2 + 6x - 7 = 0,

addizionando e sottraendo 3 2. Abbiamo:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Pertanto, questa equazione può essere scritta come segue:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Quindi, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 o x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODO :Risolvere equazioni quadratiche usando la formula.

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione

ax 2 + bx + c = 0 e 0

su 4а e in sequenza abbiamo:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Esempi di.

un) Risolviamo l'equazione: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, due radici diverse;

Pertanto, nel caso di un discriminante positivo, ad es. a

b2 - 4ac> 0, l'equazione ax 2 + bx + c = 0 ha due radici distinte.

B) Risolviamo l'equazione: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,

D = 0, una radice;

Quindi, se il discriminante è zero, ad es. b2 - 4ac = 0, quindi l'equazione

ax 2 + bx + c = 0 ha un'unica radice,

v) Risolviamo l'equazione: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Questa equazione non ha radici.

Quindi, se il discriminante è negativo, ad es. b2 - 4ac< 0 , l'equazione

ax 2 + bx + c = 0 non ha radici.

Formula (1) per le radici di un'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0 ti permette di trovare le radici qualunque equazione quadratica (se presente), inclusi ridotta e incompleta. La formula (1) è espressa verbalmente come segue: le radici di un'equazione quadratica sono uguali a una frazione, il cui numeratore è uguale al secondo coefficiente, preso con il segno opposto, più meno la radice quadrata del quadrato di questo coefficiente senza il prodotto quadruplo del primo coefficiente per il termine libero e il denominatore è il doppio del primo coefficiente.

4. METODO: Risolvere equazioni con il teorema di Vieta.

Come sai, l'equazione quadratica data ha la forma

x2 + px + c = 0.(1)

Le sue radici soddisfano il teorema di Vieta, che per a = 1 ha la forma

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Quindi, si possono trarre le seguenti conclusioni (i segni delle radici possono essere previsti dai coefficienti p e q).

a) Se il termine consolidato Q data l'equazione (1) è positiva ( q> 0), allora l'equazione ha due radici dello stesso segno e questo dipende dal secondo coefficiente P... Se R< 0 , allora entrambe le radici sono negative se R< 0 , allora entrambe le radici sono positive.

Per esempio,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 e x2 = 1, perché q = 2> 0 e p = - 3< 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 e x 2 = - 1, perché q = 7> 0 e p = 8 > 0.

b) Se il termine libero Q data l'equazione (1) è negativa ( Q< 0 ), allora l'equazione ha due radici diverse nel segno, e la radice con il valore assoluto più grande sarà positiva se P< 0 , o negativo se p> 0 .

Per esempio,

x2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 e x2 = 1, perché q = - 5< 0 e p = 4> 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 e x 2 = - 1, perché q = - 9< 0 e p = - 8< 0.

Esempi.

1) Risolvi l'equazione 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Soluzione. Perché a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), poi

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Risposta 1; -208/345.

2) Risolvi l'equazione 132x2 - 247x + 115 = 0.

Soluzione. Perché a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), poi

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Risposta 1; 115/132.

B. Se il secondo coefficiente b = 2kÈ un numero pari, quindi la formula radice

Esempio.

Risolviamo l'equazione 3x2 - 14x + 16 = 0.

Soluzione... Abbiamo: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D> 0, due radici diverse;

Risposta: 2; 8/3

v. Equazione ridotta

x2 + px + q = 0

coincide con un'equazione generale in cui a = 1, b = p e c = q... Pertanto, per l'equazione quadratica ridotta, la formula radice

Ha la forma:

La formula (3) è particolarmente comoda da usare quando R- numero pari.

Esempio. Risolviamo l'equazione x 2 - 14 x - 15 = 0.

Soluzione. Abbiamo: x 1.2 = 7 ±

Risposta: x 1 = 15; x2 = -1.

5. METODO: Risolvere equazioni graficamente.

Esempio. Risolvi l'equazione x2 - 2x - 3 = 0.

Costruiamo un grafico della funzione y = x2 - 2x - 3

1) Abbiamo: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Quindi, il vertice della parabola è il punto (1; -4) e l'asse della parabola è la retta x = 1.

2) Prendi due punti sull'asse x che sono simmetrici rispetto all'asse della parabola, ad esempio, punti x = -1 e x = 3.

Abbiamo f (-1) = f (3) = 0. Costruiamo i punti (-1; 0) e (3; 0) sul piano delle coordinate.

3) Disegna una parabola attraverso i punti (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (Fig. 68).

Le radici dell'equazione x2 - 2x - 3 = 0 sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l'asse x; quindi, le radici dell'equazione sono le seguenti: x1 = - 1, x2 - 3.

Risolvere un'equazione significa trovare tali valori dell'incognita per i quali l'uguaglianza sarà vera.

Soluzione dell'equazione

Rappresentiamo l'equazione nella forma seguente:

2x * x - 3 * x = 0.

Vediamo che i termini dell'equazione a sinistra hanno un fattore comune x. Togliamolo dalle parentesi e scriviamolo:

x * (2x - 3) = 0.

L'espressione risultante è il prodotto dei fattori x e (2x - 3). Ricordiamo che il prodotto è uguale a 0 se almeno uno dei fattori è uguale a 0. Quindi, possiamo scrivere le uguaglianze:

x = 0 o 2x - 3 = 0.

Quindi una delle radici dell'equazione originale è x 1 = 0.
Trova la seconda radice risolvendo l'equazione 2x - 3 = 0.

In questa espressione, 2x è il decremento, 3 è il sottratto, 0 è la differenza. Per trovare il sottratto, è necessario aggiungere il sottratto alla differenza:

Nell'ultima espressione, 2 e x sono fattori, 3 è il prodotto. Per trovare un'incognita, devi dividere il prodotto per un'incognita:

Quindi, abbiamo trovato la seconda radice dell'equazione: x 2 = 1.5.

Verifica della correttezza della soluzione

Per scoprire se l'equazione è risolta correttamente, è necessario sostituirla valori numerici x ed eseguire le operazioni aritmetiche necessarie. Se, a seguito di calcoli, risulta che i lati sinistro e destro dell'espressione hanno lo stesso valore, l'equazione viene risolta correttamente.

Controlliamo:

Calcoliamo il valore dell'espressione originale in x 1 = 0 e otteniamo:

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0, corretto.

Calcoliamo il valore dell'espressione in x 2 = 0 e otteniamo:

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0, corretto.

Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Risposta: x 1 = 0, x 2 = 1,5.

Risolvi l'equazione NS 2 + (1-x) 2 = x

Dimostrare che non ci sono numeri interi che aumentano di 5 volte dalla permutazione della cifra iniziale alla fine.

In un certo regno, ogni due sono amici o nemici. Ogni persona può ad un certo punto litigare con tutti gli amici e fare pace con tutti i nemici. Si è scoperto che ogni tre persone possono diventare amici in questo modo. Dimostra che allora tutte le persone in questo regno possono diventare amiche.

In un triangolo una delle mediane è perpendicolare a una delle bisettrici. Dimostrare che uno dei lati di questo triangolo è grande il doppio dell'altro.

Compiti per il distretto (città) Olimpiadi degli scolari in matematica.

Nel tiro al bersaglio, l'atleta ha eliminato solo 8,9 e 10 punti. In totale, avendo realizzato più di 11 tiri, ha eliminato esattamente 100 punti. Quanti colpi ha effettuato l'atleta e quali sono stati i colpi?

Dimostrare la verità della disuguaglianza:

3. Risolvi l'equazione:

Trova un numero di tre cifre che diminuisce di 7 volte dopo aver cancellato la cifra centrale.

Nel triangolo ABC, le bisettrici sono tracciate dai vertici A e B. Quindi, le linee rette parallele a queste bisettrici sono tracciate dal vertice C. I punti D ed E di intersezione di queste linee con bisettrici sono collegati. Si è scoperto che le linee rette DE e AB sono parallele. Dimostrare che il triangolo ABC è isoscele.

Compiti per il distretto (città) Olimpiadi degli scolari in matematica.

Risolvi il sistema di equazioni:

Ai lati AB e HELL del parallelogramma AVSD si prendono rispettivamente i punti E e K, in modo che il segmento EK sia parallelo alla diagonale VD. Dimostrare che le aree dei triangoli ALL e SDK sono uguali.

Si è deciso di far sedere il gruppo di turisti sugli autobus in modo che ogni autobus avesse lo stesso numero di passeggeri. All'inizio, 22 persone sono state caricate su ciascun autobus, ma si è scoperto che non era possibile ospitare un turista. Quando un autobus è rimasto vuoto, tutti i turisti sono saliti ugualmente sugli autobus rimanenti. Quanti autobus c'erano inizialmente e quanti turisti c'erano nel gruppo, se si sa che ogni autobus può ospitare non più di 32 persone?

Compiti per il distretto (città) Olimpiadi degli scolari in matematica.

Risolvi il sistema di equazioni:

Dimostrare che le quattro distanze da un punto su un cerchio alla cima di un quadrato inscritto in esso non possono essere numeri razionali allo stesso tempo.

Possibili soluzioni ai problemi

1. Risposta: x = 1, x = 0,5

Dalla riorganizzazione della cifra iniziale alla fine, il significato del numero non cambierà. In questo caso, a seconda delle condizioni del problema, si dovrebbe ottenere un numero 5 volte maggiore del primo numero. Pertanto, la prima cifra del numero richiesto dovrebbe essere uguale a 1 e solo 1. (perché se la prima cifra è 2 o più, il valore cambierà, 2 * 5 = 10). Quando si riordina 1 alla fine, il numero risultante finisce in 1, quindi non è divisibile per 5.

Segue dalla condizione che se A e B sono amici, allora C è o il loro nemico comune o un amico comune (altrimenti i tre non si riconciliano). Prendiamo tutti gli amici dell'uomo A. Ne consegue da quanto è stato detto che sono tutti amichevoli tra loro e sono in inimicizia con gli altri. Ora lascia che A e i suoi amici litighino a turno con gli amici e facciano pace con i nemici. Dopo di che, tutti saranno amici.

In effetti, sia A il primo a litigare con i suoi amici e a fare pace con i suoi nemici, ma poi ciascuno dei suoi ex amici lo sopporterà, e ex nemici rimarranno amici. Quindi, tutte le persone risultano essere amici di A, e quindi amici tra loro.

Il numero 111 è divisibile per 37, quindi anche l'importo indicato è divisibile per 37.

Per condizione, il numero è divisibile per 37, quindi la somma

Divisibile per 37.

Si noti che la mediana e la bisettrice indicate non possono uscire da un vertice, poiché altrimenti l'angolo in questo vertice sarebbe maggiore di 180 0. Ora nel triangolo ABC la bisettrice AD e la mediana CE si intersecano nel punto F. Allora AF è la bisettrice e l'altezza nel triangolo ACE, il che significa che questo triangolo è isoscele (AC = AE), e poiché CE è la mediana, quindi AB = 2AE e, quindi, AB = 2AC.

Possibili soluzioni ai problemi

1. Risposta: 9 colpi da 8 punti,

2 tiri da 9 punti,

1 colpo per 10 punti.

lascia stare X i colpi sono stati sparati da un atleta, eliminando 8 punti, sì tiri da 9 punti, z tiri da 10 punti. Quindi puoi comporre un sistema:

Usando la prima equazione del sistema, scriviamo:

Da questo sistema segue che X+ sì+ z=12

Moltiplica la seconda equazione per (-8) e aggiungila alla prima. Lo capiamo sì+2 z=4 , dove sì=4-2 z, sì=2(2- z) ... Quindi, a- un numero pari, ad es. y = 2t, dove .

Quindi,

3. Risposta: x = -1/2, x = -4

Dopo aver ridotto le frazioni a un denominatore, otteniamo

4. Risposta: 105

Indichiamo con X, sì, z rispettivamente, la prima, la seconda e la terza cifra del numero a tre cifre desiderato. Quindi può essere scritto come. Cancellando la cifra centrale si otterrà un numero a due cifre. Dalla condizione del problema, ad es. numeri sconosciuti X, sì, z soddisfare l'equazione

7(10 X+ z)=100 X+10 sì+ X, che dopo aver ridotto termini e abbreviazioni simili assume la forma 3 z=15 X+5 sì.

Da questa equazione segue che z deve essere divisibile per 5 e deve essere positivo, poiché per condizione. Pertanto, z = 5, e i numeri x, y soddisfare l'equazione 3 = 3x + y, che, in virtù della condizione, ha un'unica soluzione x = 1, y = 0. Pertanto, la condizione del problema è soddisfatta dal solo numero 105.

Indichiamo con la lettera F il punto in cui le rette AB e CE si intersecano. Poiché le rette DB e CF sono parallele, allora. Poiché BD è la bisettrice dell'angolo ABC, concludiamo che. Ne consegue che, ad es. il triangolo BCF è isoscele e BC = BF. Ma segue dalla condizione che il quadrilatero BDEF è un parallelogramma. Pertanto, BF = DE, e quindi BC = DE. Si dimostra in modo simile che AC = DE. Ciò si traduce nell'uguaglianza richiesta.

Possibili soluzioni ai problemi

Da qui (x + y) 2 = 1 , cioè. x + y = 1 o x + y = -1.

Consideriamo due casi.

un) x + y = 1... sostituzione x = 1 - y

B) x + y = -1... Dopo la sostituzione x = -1-y

Quindi, solo le seguenti quattro coppie di numeri possono essere soluzioni del sistema: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2). Sostituendo nelle equazioni del sistema originale, ci assicuriamo che ciascuna di queste quattro coppie sia una soluzione del sistema.

I triangoli CDF e BDF hanno una base comune FD e altezze uguali, poiché le linee BC e AD sono parallele. Pertanto, le loro aree sono uguali. Allo stesso modo, le aree dei triangoli BDF e BDE sono uguali, poiché la linea BD è parallela alla linea EF. E le aree dei triangoli BDE e BCE sono uguali, poiché AB è parallela a CD. Quindi segue l'uguaglianza richiesta delle aree dei triangoli CDF e BCE.

Considerando il dominio della funzione, costruiamo un grafico.

Usando la formula eseguire ulteriori trasformazioni

Applicando formule di addizione ed eseguendo ulteriori trasformazioni, otteniamo

5. Risposta: 24 autobus, 529 turisti.

Indichiamo con K il numero iniziale di autobus. Dalla dichiarazione del problema segue che e che il numero di tutti i turisti è 22 K +1 ... Dopo la partenza di un autobus, tutti i turisti erano seduti nel restante (k-1) autobus. Pertanto, il numero 22 K +1 dovrebbe essere divisibile per k-1... Quindi, il problema è stato ridotto alla determinazione di tutti gli interi per i quali il numero

È un numero intero e soddisfa la disuguaglianza (il numero n è uguale al numero di turisti seduti in ciascun autobus e, a causa delle condizioni del problema, l'autobus può ospitare non più di 32 passeggeri).

Il numero sarà intero solo quando il numero è intero. Quest'ultimo è possibile solo quando K=2 e a K=24 .

Se K=2 , poi n = 45.

Cosa succede se K=24 , poi n = 23.

Da questo e dalla condizione, otteniamo solo quello K=24 soddisfa tutte le condizioni del problema.

Pertanto, originariamente c'erano 24 autobus e il numero di tutti i turisti è n (k-1) = 23 * 23 = 529

Possibili soluzioni ai problemi

1. Risposta:

Quindi l'equazione assumerà la forma:

Abbiamo un'equazione quadratica rispetto a R.

2. Risposta: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2)

Sommando le equazioni del sistema si ottiene, o

Da qui (x + y) 2 = 1 , cioè. x + y = 1 o x + y = -1.

Consideriamo due casi.

un) x + y = 1... sostituzione x = 1 - y nella prima equazione del sistema, otteniamo

B) x + y = -1... Dopo la sostituzione x = -1-y nella prima equazione del sistema, otteniamo o

In questo articolo impareremo a risolvere equazioni biquadratiche.

Quindi, che tipo di equazioni sono chiamate biquadratiche?
Tutto quanto equazioni della forma ah 4 + bx 2 + C = 0 , dove a 0 che sono quadrati rispetto a x 2, e sono detti biquadratici equazioni. Come puoi vedere, questa notazione è molto simile alla scrittura di un'equazione quadratica, quindi risolveremo le equazioni biquadratiche usando le formule che abbiamo usato per risolvere l'equazione quadratica.

Solo noi dovremo introdurre una nuova variabile, cioè indichiamo x 2 un'altra variabile, per esempio a o T (o qualsiasi altra lettera dell'alfabeto latino).

Per esempio, risolvi l'equazione x 4 + 4 x 2 - 5 = 0.

indichiamo x 2 attraverso a (x 2 = y ) e ottieni l'equazione y 2 + 4y - 5 = 0.
Come puoi vedere, sai già come risolvere tali equazioni.

Risolviamo l'equazione risultante:

D = 4 2 - 4 (- 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (- 4 - 6) / 2 = - 10/2 = - 5,

y 2 = (- 4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.

Torniamo alla nostra variabile x.

Abbiamo che x 2 = - 5 e x 2 = 1.

Nota che la prima equazione non ha soluzioni e la seconda dà due soluzioni: x 1 = 1 e x 2 = ‒1. Fai attenzione a non perdere la radice negativa (il più delle volte la risposta è x = 1, che non è corretta).

Risposta:- 1 e 1.

Per una migliore comprensione dell'argomento, analizzeremo alcuni esempi.

Esempio 1. Risolvi l'equazione 2x 4 - 5 x 2 + 3 = 0.

Sia x 2 = y, quindi 2y 2 - 5y + 3 = 0.

D = (- 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 - 1) / (2 2) = 4/4 = 1, y 2 = (5 + 1) / (2 2) = 6/4 = 1,5.

Allora x 2 = 1 e x 2 = 1,5.

Otteniamo x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = - √1.5, x 4 = √1.5.

Risposta: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Esempio 2. Risolvi l'equazione 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2 anni 2 + 5 anni + 2 = 0.

D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (- 5 - 3) / (2 2) = - 8/4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3) / (2 2) = - 2/4 = - 0,5.

Quindi x 2 = - 2 e x 2 = - 0,5. Nota che nessuna di queste equazioni ha una soluzione.

Risposta: nessuna soluzione.

Equazioni biquadratiche incomplete- è quando B = 0 (ax 4 + c = 0) o C = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) sono risolti come equazioni quadratiche incomplete.

Esempio 3. Risolvi l'equazione x 4 - 25 x 2 = 0

Fattorizziamo, mettiamo x 2 fuori dalle parentesi e poi x 2 (x 2 - 25) = 0.

Otteniamo x 2 = 0 o x 2 - 25 = 0, x 2 = 25.

Allora abbiamo le radici 0; 5 e - 5.

Risposta: 0; 5; – 5.

Esempio 4. Risolvi l'equazione 5x 4 - 45 = 0.

x 2 = - √9 (non ha soluzioni)

x 2 = √9, x 1 = - 3, x 2 = 3.

Come puoi vedere, sapendo come risolvere equazioni quadratiche, puoi far fronte a equazioni biquadratiche.

Se hai ancora domande, iscriviti alle mie lezioni. Il tutor è Valentina Galinevskaya.

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