Equazioni trigonometriche omogenee: schema generale di soluzione. Equazioni trigonometriche. Guida completa (2019)

Tipo di lezione: spiegazione di nuovo materiale. Il lavoro si svolge in gruppi. Ogni gruppo ha un esperto che supervisiona e guida il lavoro degli studenti. Aiuta gli studenti deboli a credere in se stessi quando risolvono queste equazioni.

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Anteprima:

Lezione per argomento

" Equazioni trigonometriche omogenee "

(10 ° grado)

Obbiettivo:

1. introdurre il concetto di equazioni trigonometriche omogenee di I e II grado;
2. formulare ed elaborare un algoritmo per la risoluzione di equazioni trigonometriche omogenee di I e II grado;
3. insegnare agli studenti a risolvere equazioni trigonometriche omogenee di I e II grado;
4. sviluppare la capacità di identificare modelli, generalizzare;
5. stimolare l'interesse per la materia, sviluppare un senso di solidarietà e sana competizione.

Tipo di lezione : una lezione per la formazione di nuove conoscenze.

Forma di conduzione: lavorare in gruppi.

Attrezzatura: computer, installazione multimediale

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo

A lezione, il sistema di valutazione per la valutazione delle conoscenze (il docente illustra il sistema per la valutazione delle conoscenze, compilando la scheda di valutazione da parte di un esperto indipendente scelto dal docente tra gli studenti). La lezione è accompagnata da una presentazione. Allegato 1.

Scheda di valutazione n.

n \ n	Cognome nome	Compiti a casa	Attività cognitiva	Risolvere Equazioni	Se stesso Opera	Grado

II. Aggiornamento delle conoscenze di base.

Continuiamo a studiare l'argomento "Equazioni trigonometriche". Oggi nella lezione ti conosceremo con un altro tipo di equazioni trigonometriche e metodi per risolverli, e quindi ripeteremo ciò che abbiamo imparato. Quando si risolvono tutti i tipi di equazioni trigonometriche, si riducono alla risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. Ricordiamo i principali tipi delle equazioni trigonometriche più semplici. Usa le frecce per abbinare le espressioni.

III. Motivazione all'apprendimento.

Dobbiamo lavorare per risolvere il cruciverba. Dopo averlo risolto, impareremo il nome di un nuovo tipo di equazioni, che impareremo a risolvere oggi nella lezione.

Le domande vengono proiettate sulla lavagna. Gli studenti indovinano, l'esaminatore indipendente inserisce i punti sulla scheda di valutazione per gli studenti che rispondono.

Dopo aver risolto il cruciverba, i ragazzi leggeranno la parola "omogeneo".

Cruciverba.

Se inserisci le parole corrette, ottieni il nome di uno dei tipi di equazioni trigonometriche.

1.Il valore di una variabile che rende vera un'equazione? (Radice)

2.Unità di angoli? (Radiante)

3. Fattore numerico nel prodotto? (Coefficiente)

4.Una sezione di matematica che si occupa di funzioni trigonometriche? (Trigonometria)

5. Quale modello matematico è necessario per introdurre le funzioni trigonometriche? (Cerchio)

6. Quale delle funzioni trigonometriche è pari? (Coseno)

7. Come si chiama uguaglianza corretta? (Identità)

8. Uguaglianza con una variabile? (L'equazione)

9.Equazioni con le stesse radici? (Equivalente)

10 molte radici di un'equazione? (Soluzione)

IV. Spiegazione del nuovo materiale.

L'argomento della lezione è "Equazioni trigonometriche omogenee". (Presentazione)

Esempi:

1. sin x + cos x = 0
2. 3cos x + sin x = 0
3. peccato 4x = cos 4x
4. 2sen 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 peccato 2 x - 5 sin x cos x - 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4sen 2 x - 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin 2x + 2cos 2x = 1

V. Lavoro indipendente

Compiti: testare in modo completo le conoscenze degli studenti durante la risoluzione di tutti i tipi di equazioni trigonometriche, stimolare gli studenti all'autoanalisi, all'autocontrollo.
Gli studenti sono incoraggiati a completare il lavoro scritto per 10 minuti.
Gli studenti si esibiscono su carta bianca. Alla fine del tempo si raccolgono le cime lavoro indipendente, mentre le soluzioni di copia rimangono agli studenti.
Il controllo del lavoro indipendente (3 min) viene eseguito tramite controllo reciproco.
... Gli studenti usano la penna colorata per controllare il lavoro scritto del loro vicino e annotano il nome del revisore. Poi consegnano le foglie.

Quindi lo passano a un esperto indipendente.

Opzione 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x - 2sin x cos x = 1

4) peccato 2x⁄peccato x = 0

Opzione 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x - 2 cos 2 x = 0

3) 1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

Vi. Riepilogo della lezione

Vii. Compito per casa:

Compiti a casa - 12 punti (3 equazioni 4 x 3 = 12 sono state assegnate alla casa)

Attività dello studente - 1 risposta - 1 punto (massimo 4 punti)

Risolvere equazioni 1 punto

Lavoro autonomo - 4 punti

Con questo video tutorial, gli studenti potranno approfondire il tema delle equazioni trigonometriche omogenee.

Diamo delle definizioni:

1) un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado si presenta come a sin x + b cos x = 0;

2) un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado si presenta come a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Considera l'equazione a sin x + b cos x = 0. Se a è uguale a zero, l'equazione sarà simile a b cos x = 0; se b è zero, l'equazione sembrerà un sin x = 0. Queste sono le equazioni che abbiamo chiamato le più semplici e risolte in precedenza negli argomenti precedenti.

Consideriamo ora l'opzione quando a e b non sono uguali a zero. Dividendo le parti dell'equazione per il coseno x ed effettuando la trasformazione. Otteniamo un tg x + b = 0, quindi tg x sarà uguale a - b / a.

Da quanto sopra, segue che l'equazione a sin mx + b cos mx = 0 è un'equazione trigonometrica omogenea di grado I. Per risolvere l'equazione, le sue parti sono divise per cos mx.

Diamo un'occhiata all'esempio 1. Risolvi 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Innanzitutto, dividi le parti dell'equazione per il coseno (x / 2). Sapendo che il seno diviso per il coseno è la tangente, otteniamo 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Trasformando l'espressione, troviamo che il valore della tangente (x / 2) è 5/7. La soluzione di questa equazione ha la forma х = arctan a + πn, nel nostro caso х = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Considera l'equazione a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) per a uguale a zero l'equazione sarà simile a b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Trasformando, otteniamo l'espressione cos x (b sin x + c cos x) = 0 e passiamo alla risoluzione di due equazioni. Dopo aver diviso le parti dell'equazione per il coseno x, otteniamo b tg x + c = 0, che significa tg x = - c / b. Sapendo che x = arctan a + πn, la soluzione in questo caso sarà x = arctan (- c / b) + πn.

2) se a non è uguale a zero, allora, dividendo le parti dell'equazione per il coseno al quadrato, otteniamo un'equazione contenente la tangente, che sarà quadrata. Questa equazione può essere risolta inserendo una nuova variabile.

3) poiché con uguale a zero, l'equazione assumerà la forma a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Questa equazione può essere risolta togliendo il seno x dalla parentesi.

1. vedere se c'è un peccato 2 x nell'equazione;

2. se il termine a sin 2 x è contenuto nell'equazione, allora l'equazione può essere risolta dividendo entrambe le parti per il coseno al quadrato e poi introducendo una nuova variabile.

3. se un sin 2 x non è contenuto nell'equazione, allora l'equazione può essere risolta togliendo cosx dalle parentesi.

Consideriamo l'esempio 2. Togliamo il coseno dalle parentesi e otteniamo due equazioni. La radice della prima equazione è x = π / 2 + πn. Per risolvere la seconda equazione, dividiamo le parti di questa equazione per il coseno x, trasformando otteniamo x = π / 3 + πn. Risposta: x = π / 2 + πn e x = π / 3 + πn.

Risolviamo l'esempio 3, l'equazione della forma 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 e troviamo le sue radici, che appartengono al segmento da - π a π. Perché questa equazione è disomogenea, è necessario portarla in una forma omogenea. Usando la formula sin 2 x + cos 2 x = 1, otteniamo l'equazione sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Dividendo tutte le parti dell'equazione per cos 2 x, otteniamo tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Usando l'input della nuova variabile z = tg 2x, risolviamo l'equazione, la cui radice sarà z = 1. Quindi tg 2x = 1, da cui segue che x = π / 8 + ( n) / 2. Perché dalla condizione del problema, devi trovare le radici che appartengono al segmento da - π a π, la soluzione avrà la forma - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

CODICE TESTO:

Equazioni trigonometriche omogenee

Oggi analizzeremo come vengono risolte le "Equazioni trigonometriche omogenee". Queste sono equazioni di un tipo speciale.

Facciamo conoscenza con la definizione.

Equazione della forma e peccato x +BcosX = 0 (e il seno x più il coseno x è uguale a zero) è chiamata equazione trigonometrica omogenea di primo grado;

equazione della forma e peccato 2 x +Bpeccato xcosX+ concos 2 X= 0 (e il seno quadrato x più essere seno x coseno x più se coseno al quadrato x è uguale a zero) è chiamata equazione trigonometrica omogenea di secondo grado.

Se a = 0, allora l'equazione assume la forma BcosX = 0.

Se B = 0 , quindi otteniamo e sin x = 0.

Queste equazioni sono trigonometriche elementari e abbiamo considerato la loro soluzione nei nostri argomenti precedenti

Tener conto di il caso in cui entrambi i coefficienti non sono uguali a zero. Separa entrambi i membri dell'equazione unpeccatoX+ BcosX = 0 termine da cosX.

Possiamo farlo, poiché il coseno x è diverso da zero. Dopo tutto, se cosX = 0 , quindi l'equazione unpeccatoX+ BcosX = 0 prenderà la forma unpeccatoX = 0 , un 0, quindi peccatoX = 0 ... Il che è impossibile, perché secondo l'identità trigonometrica di base peccato 2 x +cos 2 X=1 .

Dividendo entrambi i membri dell'equazione unpeccatoX+ BcosX = 0 termine da cosX, otteniamo: + = 0

Eseguiamo le trasformazioni:

1. Poiché = tg x, allora =un tg x

2 tagliato da cosX, poi

Quindi, otteniamo la seguente espressione a tg x + b = 0.

Eseguiamo la trasformazione:

1. sposta b a destra dell'espressione con il segno opposto

a tg x = - b

2. Sbarazzati del moltiplicatore e dividendo entrambi i membri dell'equazione per a

tg x = -.

Conclusione: Equazione della forma e peccatomx +Bcosmx = 0 (e il seno em x più be coseno em x è uguale a zero) è anche chiamata equazione trigonometrica omogenea di primo grado. Per risolverlo, dividi entrambe le parti in cosmx.

ESEMPIO 1. Risolvi l'equazione 7 sin - 5 cos = 0 (sette seno x per due meno cinque coseno x per due uguale a zero)

Soluzione. Dividiamo entrambi i membri del termine dell'equazione per cos, otteniamo

1. = 7 tg (poiché il rapporto tra seno e coseno è una tangente, quindi sette seno x per due diviso per coseno x per due è uguale a 7 tangente x per due)

2. -5 = -5 (quando si riduce il cos)

Ecco come abbiamo ottenuto l'equazione

7tg - 5 = 0, Trasformiamo l'espressione, spostiamo il meno cinque sul lato destro, cambiando il segno.

Abbiamo portato l'equazione nella forma tg t = a, dove t =, a =. E poiché questa equazione ha una soluzione per qualsiasi valore un e queste soluzioni hanno la forma

x = arctan a + πn, allora la soluzione della nostra equazione avrà la forma:

Arctg + πn, trova x

x = 2 arctan + 2πn.

Risposta: x = 2 arctan + 2πn.

Passiamo all'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado

unsin 2 x + b sin x cos x +insieme acos2 x = 0.

Consideriamo diversi casi.

I. Se a = 0, allora l'equazione assume la forma BpeccatoXcosX+ concos 2 X= 0.

Quando si risolve e quindi le equazioni usano il metodo della fattorizzazione. Portare fuori cosX tra parentesi e ottenere: cosX(BpeccatoX+ concosX)= 0 ... In cui si cosX= 0 o

b sin x +insieme acos x = 0. E sappiamo già come risolvere queste equazioni.

Dividiamo entrambi i membri del termine dell'equazione per cosx, otteniamo

1 (poiché il rapporto seno-coseno è tangente).

Quindi, otteniamo l'equazione: B tg x + c = 0

Abbiamo portato l'equazione nella forma tg t = a, dove t = x, a =. E poiché questa equazione ha una soluzione per qualsiasi valore un e queste soluzioni hanno la forma

x = arctan a + πn, allora la soluzione della nostra equazione sarà:

x = arctan + n,.

II. Se a 0, quindi dividiamo entrambi i membri dell'equazione termine per termine per cos 2 X.

(Argomentando allo stesso modo del caso di un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado, il coseno x non può annullarsi).

III. Se c = 0, allora l'equazione assume la forma unpeccato 2 X+ BpeccatoXcosX= 0. Questa equazione è risolta con il metodo della fattorizzazione (togliamo peccatoX fuori parentesi).

Quindi, risolvendo l'equazione unpeccato 2 X+ BpeccatoXcosX+ concos 2 X= 0 puoi agire secondo l'algoritmo:

ESEMPIO 2. Risolvere l'equazione sinxcosx - cos 2 x = 0 (seno x volte coseno x meno radice di tre volte coseno al quadrato x è zero).

Soluzione. Fattore (metti cosx fuori dalla parentesi). Noi abbiamo

cos x (sin x - cos x) = 0, cioè cos x = 0 o sin x - cos x = 0.

Risposta: x = + n, x = + n.

ESEMPIO 3. Risolvi l'equazione 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 (tre seno quadrato di due x meno il doppio prodotto del seno di due x e il coseno di due x più tre coseno al quadrato di due x) e trova le sue radici appartenenti all'intervallo (- ; π).

Soluzione. Questa equazione non è omogenea, quindi facciamo alcune trasformazioni. Sostituisci il numero 2 a destra dell'equazione con il prodotto 2 1

Poiché per l'identità trigonometrica principale sin 2 x + cos 2 x = 1, allora

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = aprendo le parentesi si ottiene: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sen 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Quindi l'equazione 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 assumerà la forma:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.

Ha ricevuto un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado. Applichiamo il metodo della divisione per termine per cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Introduciamo una nuova variabile z = tg2x.

Abbiamo z 2 - 2 z + 1 = 0. Questa è un'equazione quadratica. Notando sul lato sinistro della formula per la moltiplicazione ridotta - il quadrato della differenza (), otteniamo (z - 1) 2 = 0, ad es. z = 1. Torniamo alla modifica inversa:

Abbiamo portato l'equazione nella forma tg t = a, dove t = 2x, a = 1. E poiché questa equazione ha una soluzione per qualsiasi valore un e queste soluzioni hanno la forma

x = arctan x a + πn, allora la soluzione della nostra equazione sarà:

2x = arctg1 + n,

x = +, (x è uguale alla somma di pi greco per otto e pi en per due).

Ci resta da trovare tali valori di x che sono contenuti nell'intervallo

(- ; π), cioè soddisfare la doppia disuguaglianza - π х π. Perché

x = +, quindi - π + π. Dividiamo tutte le parti di questa disuguaglianza per e moltiplichiamo per 8, otteniamo

sposta 1 a destra e a sinistra, cambiando il segno in meno uno

diviso per quattro otteniamo,

per comodità, seleziona le parti intere in frazioni

-

Questa disuguaglianza è soddisfatta dal seguente intero n: -2, -1, 0, 1

Argomento della lezione: "Equazioni trigonometriche omogenee"

(10 ° grado)

Obbiettivo: introdurre il concetto di equazioni trigonometriche omogenee di I e II grado; formulare ed elaborare un algoritmo per la risoluzione di equazioni trigonometriche omogenee di I e II grado; insegnare agli studenti a risolvere equazioni trigonometriche omogenee di I e II grado; sviluppare la capacità di identificare modelli, generalizzare; stimolare l'interesse per la materia, sviluppare un senso di solidarietà e sana competizione.

Tipo di lezione: lezione sulla formazione di nuove conoscenze.

Forma di svolgimento: lavorare in gruppi.

Attrezzatura: computer, installazione multimediale

Durante le lezioni

Organizzare il tempo

Salutate gli studenti, mobilitate l'attenzione.

A lezione, il sistema di valutazione per la valutazione delle conoscenze (il docente illustra il sistema per la valutazione delle conoscenze, compilando la scheda di valutazione da parte di un esperto indipendente scelto dal docente tra gli studenti). La lezione è accompagnata da una presentazione. .

Aggiornamento delle conoscenze di base.

I compiti a casa vengono rivisti e valutati da un esperto indipendente e consulenti prima della lezione e viene completata una scheda di valutazione.

L'insegnante riassume i compiti.

Insegnante: Continuiamo a studiare l'argomento "Equazioni trigonometriche". Oggi nella lezione ti conosceremo con un altro tipo di equazioni trigonometriche e metodi per risolverli, e quindi ripeteremo ciò che abbiamo imparato. Quando si risolvono tutti i tipi di equazioni trigonometriche, si riducono alla risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici.

Vengono controllati i compiti individuali svolti in gruppo. Difesa della presentazione "Soluzioni delle equazioni trigonometriche più semplici"

(Il lavoro del gruppo è valutato da un esperto indipendente)

Motivazione all'apprendimento.

Insegnante: dobbiamo lavorare per risolvere il cruciverba. Dopo averlo risolto, impareremo il nome di un nuovo tipo di equazioni, che impareremo a risolvere oggi nella lezione.

Le domande vengono proiettate sulla lavagna. Gli studenti indovinano, l'esaminatore indipendente inserisce i punti sulla scheda di valutazione per gli studenti che rispondono.

Dopo aver risolto il cruciverba, i ragazzi leggeranno la parola "omogeneo".

Assimilazione di nuove conoscenze.

Insegnante: L'argomento della lezione è "Equazioni trigonometriche omogenee".

Scriviamo l'argomento della lezione su un quaderno. Le equazioni trigonometriche omogenee sono di primo e secondo grado.

Scriviamo la definizione di un'equazione omogenea di primo grado. Sto usando un esempio per mostrare la soluzione di questo tipo di equazione, componi un algoritmo per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado.

Equazione della forma un sinx + B cosx = 0 è detta equazione trigonometrica omogenea di primo grado.

Considera la soluzione dell'equazione quando i coefficienti un e v diverso da 0.

Esempio: sinx + cosx = 0

R Dividendo entrambi i membri del termine dell'equazione per cosx, otteniamo

Attenzione! È possibile dividere per 0 solo se questa espressione non diventa 0 da nessuna parte. Analizziamo. Se il coseno è 0, allora il seno sarà uguale a 0, dato che i coefficienti sono diversi da 0, ma sappiamo che seno e coseno si annullano in punti diversi. Pertanto, questa operazione può essere eseguita quando si risolve questo tipo di equazione.

Algoritmo per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado: dividendo entrambi i membri dell'equazione per cosx, cosx 0

Equazione della forma un peccato mx +B cosmx = 0è anche chiamata equazione trigonometrica omogenea di primo grado e viene anche risolta la divisione di entrambi i membri dell'equazione per il coseno mх.

Equazione della forma un peccato 2 x +B sinx cosx +C cos2x = 0 chiamata equazione trigonometrica omogenea di secondo grado.

Esempio : peccato 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x = 0

Il coefficiente a è diverso da 0 e quindi, come l'equazione precedente, cosx non è uguale a 0 e quindi puoi usare il metodo di dividere entrambi i lati dell'equazione per cos 2 x.

Otteniamo tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Risolviamo introducendo una nuova variabile sia tgx = a, quindi otteniamo l'equazione

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 - 4 (–3) = 16

un 1 = 1 un 2 = –3

Torna alla sostituzione

Risposta:

Se il coefficiente a = 0, l'equazione assumerà la forma 2sinx cosx - 3cos2x = 0 risolviamo mettendo il fattore comune cosx fuori dalle parentesi. Se il coefficiente c = 0, l'equazione assumerà la forma sin2x + 2sinx cosx = 0 prendendo il fattore comune sinx fuori dalle parentesi. Algoritmo per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado:

Verifica se l'equazione contiene il termine asin2 x.

Se il termine asin2 x è contenuto nell'equazione (cioè uno 0), allora l'equazione viene risolta dividendo entrambi i lati dell'equazione per cos2x e quindi introducendo una nuova variabile.

Se il termine asin2 x non è contenuto nell'equazione (cioè a = 0), allora l'equazione viene risolta con il metodo della fattorizzazione: cosx viene tolto dalle parentesi. Le equazioni omogenee della forma a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 vengono risolte allo stesso modo

L'algoritmo per risolvere equazioni trigonometriche omogenee è scritto nel libro di testo a pagina 102.

Educazione fisica

Formazione di abilità per risolvere equazioni trigonometriche omogenee

Apertura dei libri problematici pagina 53

Il 1° e il 2° gruppo decidono n. 361-v

Il 3° e il 4° gruppo decidono n. 363-v

Mostrano la soluzione alla lavagna, spiegano, integrano. Un esperto indipendente valuta.

Soluzione di esempi dal libro dei problemi n. 361-v
sinx - 3cosx = 0
dividiamo entrambi i membri dell'equazione per cosx 0, otteniamo

N. 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
dividiamo entrambi i membri dell'equazione per cos2x, otteniamo tg2x + tgx - 2 = 0

risolviamo introducendo una nuova variabile
sia tgx = a, quindi otteniamo l'equazione
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
torna alla sostituzione

Lavoro indipendente.

Risolvi le equazioni.

2 cosx - 2 = 0

2cos2x - 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0

Alla fine del lavoro indipendente, il lavoro e il controllo reciproco vengono modificati. Le risposte corrette vengono proiettate alla lavagna.

Quindi lo passano a un esperto indipendente.

Soluzione di lavoro autonomo

Riassumendo la lezione.

Che tipo di equazioni trigonometriche abbiamo incontrato durante la lezione?

Algoritmo per la risoluzione di equazioni trigonometriche di primo e secondo grado.

Compito per casa: § Leggi 20.3. n. 361 (d), 363 (b), difficoltà aggiuntiva n. 380 (a).

Cruciverba.

Se inserisci le parole corrette, ottieni il nome di uno dei tipi di equazioni trigonometriche.

Il valore di una variabile che rende vera l'equazione? (Radice)

Unità angolare? (Radiante)

Un fattore numerico in un prodotto? (Coefficiente)

Una branca della matematica che studia le funzioni trigonometriche? (Trigonometria)

Quale modello matematico è necessario per introdurre le funzioni trigonometriche? (Cerchio)

Quale funzione trigonometrica è pari? (Coseno)

Come si chiama uguaglianza corretta? (Identità)

Uguaglianza con una variabile? (L'equazione)

Equazioni con le stesse radici? (Equivalente)

Insieme di radici di un'equazione ? (Soluzione)

Documento di valutazione

№
n \ n

Cognome, nome dell'insegnante

Compiti a casa

Presentazione

Attività cognitiva
studio

Risolvere Equazioni

Se stesso
Opera

Compiti a casa - 12 punti (3 equazioni 4 x 3 = 12 sono state assegnate alla casa)

Presentazione - 1 punto

Attività dello studente - 1 risposta - 1 punto (massimo 4 punti)

Risolvere equazioni 1 punto

Lavoro autonomo - 4 punti

Valutazione al gruppo:

“5” - 22 punti o più
“4” - 18 - 21 punti
“3” - 12 - 17 punti

Oggi affronteremo equazioni trigonometriche omogenee. Innanzitutto, cerchiamo di capire la terminologia: cos'è un'equazione trigonometrica omogenea. Ha le seguenti caratteristiche:

1. deve contenere più termini;
2. tutti i termini devono avere lo stesso grado;
3. tutte le funzioni comprese in un'identità trigonometrica omogenea devono necessariamente avere lo stesso argomento.

Algoritmo per la risoluzione

Individuiamo i termini

E se tutto è chiaro con il primo punto, vale la pena parlare del secondo in modo più dettagliato. Cosa significa lo stesso grado di termini? Diamo un'occhiata al primo compito:

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Il primo termine in questa equazione è 3cosx 3\cos x. Si prega di notare che qui c'è solo una funzione trigonometrica: cosx\ cos x - e non sono presenti altre funzioni trigonometriche qui, quindi il grado di questo termine è 1. Lo stesso con il secondo - 5sinx 5 \ sin x - qui è presente solo il seno, cioè anche il grado di questo termine è uguale a uno. Quindi, davanti a noi c'è un'identità composta da due elementi, ognuno dei quali contiene una funzione trigonometrica, e allo stesso tempo solo uno. Questa è un'equazione di primo grado.

Passando alla seconda espressione:

4peccato2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Il primo membro di questo costrutto è 4peccato2 X 4 ((\ peccato) ^ (2)) x.

Possiamo ora scrivere la seguente soluzione:

peccato2 x = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

In altre parole, il primo termine contiene due funzioni trigonometriche, ovvero il suo grado è due. Affrontiamo il secondo elemento - sin2x\ peccato 2x. Ricordiamo questa formula - la formula del doppio angolo:

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

E ancora, nella formula risultante, abbiamo due funzioni trigonometriche: seno e coseno. Quindi, anche il valore esponenziale di questo termine è due.

Passiamo al terzo elemento - 3. Dal corso di matematica del liceo, ricordiamo che qualsiasi numero può essere moltiplicato per 1 e scriviamo:

˜ 3=3⋅1

E l'unità che utilizza l'identità trigonometrica di base può essere scritta nella forma seguente:

1=peccato2 x⋅ cos2 X

1 = ((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

Possiamo quindi riscrivere 3 come segue:

3=3(peccato2 x⋅ cos2 X)=3peccato2 x + 3 cos2 X

3 = 3 \ sinistra (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ destra) = 3 ((\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x

Quindi, il nostro termine 3 è stato diviso in due elementi, ciascuno dei quali è omogeneo e ha il secondo grado. Il seno nel primo termine ricorre due volte, il coseno nel secondo anche due volte. Quindi, 3 può anche essere rappresentato come un termine con un esponente di potenza di due.

La terza espressione è la stessa:

peccato3 x + peccato2 xcosx = 2 cos3 X

Vediamo. Il primo termine è peccato3 X((\ sin) ^ (3)) x è una funzione trigonometrica di terzo grado. Il secondo elemento è peccato2 xcosx((\ sin) ^ (2)) x \ cos x.

peccato2 ((\ sin) ^ (2)) è un collegamento con un valore di potenza di due, moltiplicato per cosx\ cos x è il primo termine. In totale, anche il terzo termine ha un valore di potenza pari a tre. Infine, c'è un altro collegamento sulla destra - 2cos3 X 2 ((\ cos) ^ (3)) x è un elemento di terzo grado. Quindi, abbiamo davanti a noi un'equazione trigonometrica omogenea di terzo grado.

Abbiamo annotato tre identità di diverso grado. Nota ancora la seconda espressione. Nella notazione originale, uno dei membri ha un argomento 2x 2x. Siamo costretti a sbarazzarci di questo argomento trasformandolo secondo il seno di una formula a doppio angolo, perché tutte le funzioni incluse nella nostra identità devono necessariamente avere lo stesso argomento. E questo è un requisito per equazioni trigonometriche omogenee.

Usiamo la formula dell'identità trigonometrica principale e scriviamo la soluzione finale

Abbiamo capito i termini, passiamo alla soluzione. Indipendentemente dall'esponente esponenziale, la soluzione di uguaglianze di questo tipo viene sempre eseguita in due passaggi:

1) dimostrare che

cosx 0

\ cos x \ ne 0. Per questo, è sufficiente ricordare la formula dell'identità trigonometrica principale (peccato2 x⋅ cos2 x = 1)\ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ right) e sostituisci in questa formula cosx = 0\cos x = 0. Otteniamo la seguente espressione:

peccato2 x = 1sinx = ± 1

\ begin (allinea) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ end (allinea)

Sostituendo i valori ottenuti, cioè invece di cosx\ cos x è zero, e invece di peccato\ sin x - 1 o -1, nell'espressione originale, otteniamo un'uguaglianza numerica non valida. Questa è la logica che

cosx 0

2) il secondo passo segue logicamente dal primo. Nella misura in cui

cosx 0

\ cos x \ ne 0, dividiamo entrambi i lati della costruzione per cosn X((\ cos) ^ (n)) x, dove n n è l'esponente di potenza di un'equazione trigonometrica omogenea. Cosa ci dà:

\ [\ inizio (matrice) ((35) (l))

peccatocosx= tgxcosxcosx=1

\ begin (allinea) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ end (allinea) \\ () \\ \ fine (array) \]

A causa di ciò, la nostra ingombrante costruzione iniziale è ridotta all'equazione n n-potenza rispetto alla tangente, la cui soluzione è facile da scrivere usando il cambiamento di variabile. Questo è l'intero algoritmo. Vediamo come funziona in pratica.

Risolviamo problemi reali

Problema numero 1

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Abbiamo già scoperto che questa è un'equazione trigonometrica omogenea con un esponente di potenza uguale a uno. Quindi, prima di tutto, scopriamo che cosx 0\ cos x \ ne 0. Supponiamo il contrario, che

cosx = 0 → sinx = ± 1

\ cos x = 0 \ a \ sin x = \ pm 1.

Sostituendo il valore risultante nella nostra espressione, otteniamo:

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ begin (allinea) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ end (allinea)

In base a questo possiamo dire che cosx 0\ cos x \ ne 0. Dividiamo la nostra equazione per cosx\ cos x, perché tutta la nostra espressione ha un valore di potenza pari a uno. Noi abbiamo:

3(cosxcosx) +5(peccatocosx) =0 3 + 5tgx = 0tgx = - 3 5

\ inizio (allinea) & 3 \ sinistra (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ destra) +5 \ sinistra (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ destra) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ end (allinea)

Questo non è un valore di tabella, quindi la risposta includerà arctgx arctgx:

x = arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x = arctg \ left (- \ frac (3) (5) \ right) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Nella misura in cui arctg arctg arctg è una funzione dispari, possiamo togliere il "meno" dall'argomento e metterlo prima di arctg. Otteniamo la risposta finale:

x = −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Problema numero 2

4peccato2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Come ricordi, prima di iniziare a risolverlo, devi fare alcune trasformazioni. Eseguiamo trasformazioni:

4peccato2 x + 2sinxcosx − 3 (peccato2 x + cos2 X)=0 4peccato2 x + 2sinxcosx − 3 peccato2 x − 3 cos2 x = 0peccato2 x + 2sinxcosx − 3 cos2 x = 0

\ begin (allinea) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2 )) x \ destra) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos ) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ fine (allineare)

Abbiamo una struttura composta da tre elementi. Nel primo termine vediamo peccato2 ((\ sin) ^ (2)), cioè il suo valore esponenziale è due. Nel secondo termine vediamo peccato\ peccato x e cosx\ cos x - di nuovo ci sono due funzioni, vengono moltiplicate, quindi la potenza totale è di nuovo due. Nel terzo link vediamo cos2 X((\ cos) ^ (2)) x - simile al primo valore.

Dimostriamolo cosx = 0\ cos x = 0 non è una soluzione a questa costruzione. Per fare ciò, supponi il contrario:

\ [\ inizio (matrice) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ fine (matrice) \]

Lo abbiamo dimostrato cosx = 0\ cos x = 0 non può essere una soluzione. Passiamo al secondo passaggio: dividiamo l'intera espressione per cos2 X((\ cos) ^ (2)) x. Perché quadrato? Perché l'esponente di questa equazione omogenea è due:

peccato2 Xcos2 X+2sinxcosxcos2 X−3=0 T G2 x + 2tgx − 3 = 0

\ begin (allinea) & \ frac (((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ end (allinea)

È possibile risolvere questa espressione usando il discriminante? Sicuro. Ma mi propongo di richiamare il teorema inverso al teorema di Vieta, e otteniamo che questo polinomio può essere rappresentato sotto forma di due semplici polinomi, cioè:

(tgx + 3) (tgx − 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n, n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + π k, k∈Z

\ begin (allinea) & \ left (tgx + 3 \ right) \ left (tgx-1 \ right) = 0 \\ & tgx = -3 \ to x = -arctg3 + \ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text () n, n \ in Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ end (allinea)

Molti studenti si chiedono se valga la pena scrivere coefficienti separati per ogni gruppo di soluzioni alle identità o meno preoccuparsi e scrivere lo stesso ovunque. Personalmente, penso che sia meglio e più affidabile usare lettere diverse, in modo che nel caso in cui si entri in un'università tecnica seria con prove aggiuntive in matematica, i valutatori non trovino da ridire sulla risposta.

Problema numero 3

peccato3 x + peccato2 xcosx = 2 cos3 X

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

Sappiamo già che questa è un'equazione trigonometrica omogenea di terzo grado, non sono necessarie formule speciali e tutto ciò che ci viene richiesto è trasferire il termine 2cos3 X 2 ((\ cos) ^ (3)) x sinistra. Riscriviamo:

peccato3 x + peccato2 xcosx − 2 cos3 x = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

Vediamo che ogni elemento contiene tre funzioni trigonometriche, quindi questa equazione ha un valore di potenza pari a tre. Lo risolviamo. Prima di tutto, dobbiamo dimostrare che cosx = 0\ cos x = 0 non è una radice:

\ [\ inizio (matrice) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ end (array) \]

Inseriamo questi numeri nella nostra costruzione originale:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ begin (allinea) & ((\ left (\ pm 1 \ right)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ fine (allinea)

Quindi, cosx = 0\ cos x = 0 non è una soluzione. Lo abbiamo dimostrato cosx 0\ cos x \ ne 0. Ora che l'abbiamo dimostrato, dividiamo la nostra equazione originale per cos3 X((\ cos) ^ (3)) x. Perché al cubo? Perché abbiamo appena dimostrato che la nostra equazione originale è di terzo grado:

peccato3 Xcos3 X+peccato2 xcosxcos3 X−2=0 T G3 x + t G2 x − 2 = 0

\ begin (allinea) & \ frac (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ fine (allinea)

Introduciamo una nuova variabile:

tgx = t

Riscriviamo la costruzione:

T3 +T2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

Davanti a noi c'è un'equazione cubica. Come risolverlo? Inizialmente, quando stavo solo compilando questo video tutorial, avevo pianificato di parlare preliminarmente di fattorizzare i polinomi e altre tecniche. Ma in questo caso, tutto è molto più semplice. Guarda, la nostra identità ridotta, con il termine con il grado più alto, è 1. Inoltre, tutti i coefficienti sono interi. Ciò significa che possiamo usare il corollario del teorema di Bezout, che afferma che tutte le radici sono divisori del numero -2, cioè il termine libero.

Sorge la domanda: qual è la divisione di -2. Poiché 2 è un numero primo, non ci sono così tante opzioni. Questi possono essere i seguenti numeri: 1; 2; -1; -2. Le radici negative cadono immediatamente. Come mai? Poiché entrambi sono maggiori di 0 in modulo, quindi, T3 ((t) ^ (3)) sarà maggiore in modulo di T2 ((t) ^ (2)). E poiché il cubo è una funzione dispari, quindi il numero nel cubo sarà negativo, e T2 ((t) ^ (2)) - positivo, e tutta questa costruzione, per t = −1 t = -1 e t = −2 t = -2, non sarà maggiore di 0. Sottrai -2 da esso e ottieni un numero che è certamente minore di 0. Rimangono solo 1 e 2. Sostituiamo ciascuno di questi numeri:

˜ t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ a \ testo () 1 + 1-2 = 0 \ a 0 = 0

Abbiamo ottenuto l'uguaglianza numerica corretta. Quindi, t = 1 t = 1 è una radice.

t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 ≠ 0

t = 2 \ a 8 + 4-2 = 0 \ a 10 \ ne 0

t = 2 t = 2 non è una radice.

Per il corollario e lo stesso teorema di Bezout, ogni polinomio la cui radice è X0 ((x) _ (0)), rappresentano nella forma:

Q (x) = (x = X0 ) P(x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

Nel nostro caso, nel ruolo X x è la variabile T t, e nel ruolo X0 ((x) _ (0)) - radice uguale a 1. Otteniamo:

T3 +T2 −2 = (t − 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t)

Come trovare un polinomio P (T) P \ sinistra (t \ destra)? Ovviamente, devi fare quanto segue:

P (t) = T3 +T2 −2 t − 1

P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

Sostituiamo:

T3 +T2 + 0⋅t − 2t − 1=T2 + 2t + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

Quindi, la nostra divisione polinomiale originale senza resto. Quindi, possiamo riscrivere la nostra uguaglianza originale come:

(t − 1) ( T2 + 2t + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Abbiamo già considerato il primo fattore. Diamo un'occhiata al secondo:

T2 + 2t + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

Gli studenti esperti, probabilmente, hanno già capito che questa costruzione non ha radici, ma calcoliamo ancora il discriminante.

D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

Il discriminante è minore di 0, quindi l'espressione non ha radici. In totale, l'enorme costruzione è stata ridotta alla solita uguaglianza:

\ [\ inizio (matrice) ((35) (l))

t = \ text () 1 \\ tgx = \ text () 1 \\ x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ end (array) \]

In conclusione, vorrei aggiungere un paio di commenti sull'ultima attività:

1. se la condizione sarà sempre soddisfatta cosx 0\ cos x \ ne 0, e vale la pena controllarlo. Certo, non sempre. Nei casi in cui cosx = 0\ cos x = 0 è la soluzione della nostra uguaglianza, dovresti toglierla dalle parentesi e quindi un'equazione omogenea a tutti gli effetti rimarrà tra parentesi.
2. qual è la divisione di un polinomio per un polinomio. In effetti, la maggior parte delle scuole non lo studia e quando gli studenti vedono per la prima volta una struttura del genere, provano un leggero shock. Ma, in effetti, questa è una tecnica semplice e bella che facilita notevolmente la soluzione di equazioni di grado superiore. Ovviamente a lui sarà dedicato un video tutorial separato, che pubblicherò prossimamente.

Punti chiave

Le equazioni trigonometriche omogenee sono un argomento preferito in tutti i tipi di test. Sono risolti in modo molto semplice: è sufficiente esercitarsi una volta. Per chiarire di cosa stiamo parlando, introdurremo una nuova definizione.

Un'equazione trigonometrica omogenea è quella in cui ogni termine diverso da zero è costituito dallo stesso numero di fattori trigonometrici. Può essere seno, coseno o loro combinazioni: il metodo di soluzione è sempre lo stesso.

Il grado di un'equazione trigonometrica omogenea è il numero di fattori trigonometrici inclusi in termini diversi da zero.Esempi:

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - identità di 1° grado;

2 sin2x + 5sinxcosx − 8cos2x = 0

2 \ text (sin) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - 2° grado;

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3° grado;

sinx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - e questa equazione non è omogenea, poiché ce n'è una a destra - un termine diverso da zero, in cui non ci sono fattori trigonometrici;

sin2x + 2senx − 3 = 0

Anche \ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 è un'equazione disomogenea. Elemento sin2x\ sin 2x - secondo grado (dato che puoi rappresentare

sin2x = 2sinxcosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), peccato 2 \ sin x è il primo, e il termine 3 è generalmente zero, poiché non contiene né seno né coseno.

Schema generale della soluzione

Lo schema della soluzione è sempre lo stesso:

Facciamo finta che cosx = 0\cos x = 0. Quindi sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - questo segue dall'identità principale. Sostituto peccato\ peccato x e cosx\ cos x all'espressione originale e se il risultato non ha senso (ad esempio, l'espressione 5=0 5 = 0), vai al secondo punto;

Dividiamo tutto per la potenza del coseno: cosx, cos2x, cos3x ... - dipende dal valore di potenza dell'equazione. Otteniamo la solita uguaglianza con le tangenti, che viene risolta con successo dopo aver sostituito tgx = t.

tgx = tLe radici trovate saranno la risposta all'espressione originale.

In questo articolo, esamineremo un modo per risolvere equazioni trigonometriche omogenee.

Le equazioni trigonometriche omogenee hanno la stessa struttura delle equazioni omogenee di qualsiasi altro tipo. Permettetemi di ricordarvi un metodo per risolvere equazioni omogenee di secondo grado:

Considera equazioni omogenee della forma

Caratteristiche distintive delle equazioni omogenee:

a) tutti i monomi hanno lo stesso grado,

b) il termine libero è zero,

c) l'equazione contiene gradi con due basi diverse.

Le equazioni omogenee vengono risolte utilizzando un algoritmo simile.

Per risolvere un'equazione di questo tipo, dividi entrambi i lati dell'equazione per (può essere diviso per o per)

Attenzione! Quando dividi i lati destro e sinistro dell'equazione per un'espressione contenente l'incognita, puoi perdere le radici. Pertanto, è necessario verificare se le radici dell'espressione per cui dividiamo entrambi i lati dell'equazione non sono le radici dell'equazione originale.

Se lo è, allora scriviamo questa radice in modo da non dimenticarcene in seguito, e poi dividiamo per questa espressione.

In generale, la prima cosa, quando si risolve un'equazione, sul cui lato destro c'è zero, è necessario provare a scomporre il lato sinistro dell'equazione in fattori in ogni modo possibile. E poi uguaglia ogni fattore a zero. In questo caso, non perderemo sicuramente le nostre radici.

Quindi, dividi attentamente il lato sinistro dell'equazione in un termine per termine. Noi abbiamo:

Riduci numeratore e denominatore della seconda e della terza frazione:

Introduciamo un sostituto:

Otteniamo un'equazione quadratica:

Risolviamo l'equazione quadratica, troviamo i valori e poi torniamo all'incognita originale.

Quando si risolvono equazioni trigonometriche omogenee, ci sono diverse cose importanti da tenere a mente:

1. L'intercetta può essere trasformata nel quadrato del seno e del coseno usando l'identità trigonometrica di base:

2. Il seno e il coseno di un doppio argomento sono monomi di secondo grado - il seno di un doppio argomento può essere facilmente convertito nel prodotto di seno e coseno e il coseno di un doppio argomento - al quadrato di un seno o coseno:

Consideriamo diversi esempi di risoluzione di equazioni trigonometriche omogenee.

1 . Risolviamo l'equazione:

Questo è un classico esempio di equazione trigonometrica omogenea di primo grado: il grado di ogni monomio è uno, il termine libero è zero.

Prima di dividere entrambi i lati dell'equazione per, è necessario verificare che le radici dell'equazione non siano le radici dell'equazione originale. Controlla: if, then title = "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Dividi entrambi i membri dell'equazione per.

Noi abbiamo:

, dove

, dove

Risposta: , dove

2. Risolviamo l'equazione:

Questo è un esempio di equazione trigonometrica di secondo grado omogenea. Ricordiamo che se possiamo fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, allora è consigliabile farlo. In questa equazione, possiamo togliere le parentesi. Facciamolo:

Soluzione della prima equazione:, dove

La seconda equazione è un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado. Per risolverlo, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per. Noi abbiamo:

Risposta: dove,

3. Risolviamo l'equazione:

Per rendere "omogenea" questa equazione, trasformala in un prodotto e rappresenta il numero 3 come la somma dei quadrati del seno e del coseno:

Sposta tutti i termini a sinistra, espandi le parentesi e presenta termini simili. Noi abbiamo:

Fattorizzare il lato sinistro e impostare ciascun fattore uguale a zero:

Risposta: dove,

4 . Risolviamo l'equazione:

Vediamo cosa possiamo lasciare fuori dalle parentesi. Facciamolo:

Uguagliamo ogni fattore a zero:

Soluzione della prima equazione:

La seconda equazione della popolazione è la classica equazione omogenea di secondo grado. Le radici dell'equazione non sono le radici dell'equazione originale, quindi dividiamo entrambi i lati dell'equazione per:

Soluzione della prima equazione:

Soluzione della seconda equazione.

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