Di diversa natura, a partire dall'oro. La sezione aurea nelle piante A cura di: Kolchina L.A. Gatti d'oro di Fibonacci

Le piante sono dei veri razionalisti. Ed è proprio questa loro proprietà che spiega perché i rappresentanti di diverse famiglie vegetali "applicano" invariabilmente gli stessi principi architettonici che si sono rivelati i più riusciti. Il principio dell'uso più razionale dello spazio è particolarmente diffuso nel mondo delle piante, in primis nella deposizione di quegli organi vegetali, che poi si sviluppano in numero enorme. Non fa differenza se si parla di foglie su uno stelo, di squame su coni di conifere, di fiori in abbondanza e poi di semi in grandi cesti di girasole, o di mazzi di spine su escrescenze verrucose di cactus. Tutti loro nel processo del loro sviluppo sono posti nello spazio in modo tale da occupare un volume minimo in esso. Proprio come le abili mani di un enologo creano strutture geometriche rigorose in una cantina da bottiglie di vino conservate, così gli organi vegetali completamente formati sono disposti in relazione l'uno con l'altro in un ordine rigorosamente definito.

Ripetendo costantemente nella natura e tuttavia ogni volta percepita in modo nuovo, l'immagine dell'espediente collocazione dei suoi elementi nello spazio non poteva che attirare l'attenzione dell'uomo.

Volenti o nolenti, una persona prende a modello il mondo che lo circonda quando cerca di coltivare in se stesso sentimenti, giudizi e gusti estetici. La percezione artistica della forma da parte di una persona nasce, si sviluppa e si arricchisce nel processo di comunicazione costante e continua con tutto ciò che la circonda. Da tempo immemorabile, tutto ciò che è sano e naturale è bello, armonioso per noi, tutto ciò che è innaturale, anormale, malsano è percepito come qualcosa di brutto, brutto e dissonante. E se lo stesso principio architettonico, che varia mille volte nel regno della flora, appare ancora e ancora nel campo visivo di una persona, un eterno studioso del mondo che lo circonda, allora questo non passa senza lasciare traccia. Nel 1958, uno degli specialisti britannici nel campo degli studi comportamentali condusse un piccolo esperimento con un gruppo di persone. Da un insieme di rettangoli (foto 29), ha suggerito di scegliere quelli che i soggetti consideravano più belli nella forma. La maggior parte degli intervistati (35%) ha immediatamente indicato la cifra, i cui lati sono correlati tra loro nella proporzione di 21:34. Anche le figure vicine sono state molto apprezzate, rispettivamente, il 20 percento della cifra più alta e il 19 percento, quella inferiore. Tutti gli altri rettangoli hanno ricevuto non più del 10 per cento dei voti ciascuno. Questo test non è solo un esperimento puramente statistico, riflette uno schema che esiste effettivamente in natura. È noto che nel mondo delle piante si osservano più spesso le stesse proporzioni. Tuttavia, le ragioni qui non sono più di ordine estetico.

Foto 29. Un insieme di rettangoli con proporzioni diverse utilizzati da un comportamentista inglese in un esperimento. Più di un terzo degli intervistati considera la figura più "bella" con una proporzione di 21:34, nota come sezione aurea.

Per matematici e persone d'arte, il rapporto è 21:34, o meglio 0,618034 ...: 1 (matematicamente, questo numero assomiglia a:

Ben noto come il rapporto aureo). Fin dal Rinascimento, gli artisti hanno utilizzato nei loro dipinti il ​​rapporto aureo, che consideravano l'espressione ideale della proporzionalità e che potevano osservare ovunque in natura. Ma, a quanto pare, nelle belle arti e prima inconsciamente guidato da questa regola. In questo caso venivano spesso presi valori approssimativi, ad esempio 3:5 (=0,600) o 5:8 (=0,625). In natura, nella maggior parte dei casi, si osserva una corrispondenza molto più stretta. Quindi, nei cesti di girasole, la deviazione dal rapporto aureo è solo di quattro millesimi di percento.

Come la sezione aurea si manifesta in natura si può vedere nelle foto 30 e 31. La prima mostra un cactus sferico Mammamillaria Lanata preso dall'alto. La fotografia mostra chiaramente la disposizione a spirale di grappoli di spine - le cosiddette areole. L'inizio delle spirali cade sulla parte apicale del cactus. Qui nascono nuove areole. Man mano che crescono e si sviluppano, vengono spinti rigorosamente a spirale verso i bordi. Se guardi da vicino le fotografie, puoi vedere che le spirali vanno in due direzioni: in senso orario (ci sono 34 di queste spirali) e in senso antiorario (ce ne sono esattamente 21). Di nuovo 21:34. Questo è il rapporto tra i lati del rettangolo che i partecipanti all'esperimento sopra descritto hanno chiamato il più estetico, il più bello nella forma. Il rapporto aureo (0,618034...:1) viene qui mantenuto con una precisione dello 0,0065 percento (0,617647:1).

Foto 30. Areole (grumi di spine) di un cactus Mammamillaria Lanata disposti rigorosamente a spirale.

Foto 31a. Lo stesso cactus, girato di lato. Su questa piccola area della sua superficie sono ben visibili delle linee rette, ma che sono le areole. Nella foto precedente sembravano spirali.

Foto 31b. La griglia raster riproduce esattamente le linee rette mostrate nella foto 31a. "Progettato" secondo il rapporto aureo.

Se guardi lo stesso cactus di lato (foto 31a), si scopre che le spirali su un'area relativamente piccola della superficie del cactus sembrano linee rette che corrono diagonalmente dall'alto verso il basso e da sinistra a a destra o dal basso verso l'alto e da destra a sinistra. La foto 31b mostra la griglia raster che ho costruito, che trasmette esattamente la disposizione diagonale delle linee dell'originale. Si vede chiaramente che le rette che vanno in una direzione hanno una pendenza minore rispetto alle rette che vanno nella direzione opposta. Con un atomo, le linee con diverse inclinazioni sono disposte sulla griglia in modo che se inizi a contare le diagonali lungo una retta orizzontale tracciata dal punto 0/0, in generale risulta che per 0,618 ... una diagonale inclinata rispetto al a destra, c'è una diagonale con una pendenza a sinistra. Il lettore ha il diritto di porre la domanda: è davvero così? Dopotutto, non ci possono essere linee rette frazionarie che potrebbero essere contate. Ma la figura mostra chiaramente che all'inizio circa due diagonali inclinate a destra, ce ne sono tre inclinate a sinistra (2:3 = 0,666), poi circa tre inclinate a destra - cinque inclinate a sinistra (5:8 = 0,625 ) , ecc. In questo caso, il punto di intersezione delle diagonali sarà più vicino alla linea orizzontale, più accurata sarà l'approssimazione al numero 0,618 ...

Se fosse possibile fornire un'analoga scansione panoramica della griglia raster, che ricoprirebbe l'intero impianto, si troverebbe che per 21 diagonali con pendenza destra ci sono 34 diagonali con pendenza verso sinistra, e che la fine punto della nostra scansione coinciderebbe esattamente con il suo inizio (punto 0/0). La rete di linee così creata risulta esteticamente ottimale quanto un rettangolo costruito secondo il principio della sezione aurea. Il complesso delle linee, che hanno una pendenza ben definita e allo stesso tempo diversa, conferisce al campo dell'immagine una tensione interiore emotiva e allo stesso tempo un rigoroso equilibrio. Questi principi costruzione compositiva le opere d'arte sono inerenti a molte tele degli antichi maestri della pittura.

Abbiamo sovrapposto una griglia raster su una riproduzione del dipinto di Tiziano "Bacco e Arianna" (foto 32). Tutte le linee prospettiche principali coincidono con il raster. L'artista ha collocato anche molti dettagli e forme secondarie rispetto alla trama in quel campo di tensione interna su cui è costruito l'intero quadro. Prestare attenzione alla collinetta visibile all'orizzonte sul lato destro della tela accanto al campanile della chiesa, sui rami di un grande albero, sul profilo di un cumulo che giace sotto la costellazione, sulle zampe posteriori e sul linea dell'addome di un grande gatto selvatico, alla direzione dell'asse del vaso capovolto, alla mano destra sollevata del satiro in una corona di viti nell'angolo destro della tela, e, infine, alla gamba sollevata del cavallo.

Foto 32. Una griglia raster è sovrapposta al dipinto di Tiziano Bacco e Arianna. I principi della sezione aurea sono alla base di molte delle opere di artisti del passato.

Per chi lo considera un caso fortuito o crede che il dipinto di Tiziano sia un'eccezione, consigliamo di trasferire la griglia raster su carta trasparente e di applicarla poi a riproduzioni di alcuni dipinti d'arte. Rimarrà stupito di quanto spesso le composizioni dei dipinti ripeteranno la dinamica della sezione aurea fino al suo riflesso speculare.

Opere come La Sibilla libica di Michelangelo, L'Adorazione dei pastori di Tintoretto, La Madonna dal collo lungo del Parmigianino, L'Asia di Tiepolo (immagine speculare!), I Baccanali di Poussin, Il gioco di carte dei contadini di Brouwer o Feast of Love ”Watto (riflesso speculare!), Questi sono alcuni esempi che confermano solo il modello generale.

In ogni momento, gli artisti, consciamente o inconsciamente, hanno imparato a comprendere le leggi della percezione estetica osservando la natura. I pittori sono sempre stati affascinati dalla geometria semplice e allo stesso tempo razionale delle forme di crescita biologica.

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La sezione aurea è un semplice principio che ti aiuterà a rendere il tuo design visivamente gradevole. In questo articolo spiegheremo nel dettaglio come e perché usarlo.

Una proporzione matematica comune in natura chiamata Golden Ratio, o Golden Mean, si basa sulla sequenza di Fibonacci (di cui molto probabilmente hai sentito parlare a scuola, o letto nel Codice Da Vinci di Dan Brown), e implica una proporzione di 1 : 1.61.

Tale rapporto si trova spesso nelle nostre vite (conchiglie, ananas, fiori, ecc.) e quindi è percepito da una persona come qualcosa di naturale, piacevole alla vista.

→ Il rapporto aureo è la relazione tra due numeri nella sequenza di Fibonacci
→ Tracciando questa sequenza in scala si ottengono spirali che possono essere viste in natura.

Si ritiene che la sezione aurea sia stata utilizzata dall'umanità nell'arte e nel design per più di 4000 anni, e forse anche di più, secondo gli scienziati che affermano che gli antichi egizi usarono questo principio nella costruzione delle piramidi.

Esempi famosi

Come abbiamo già detto, la sezione aurea può essere vista in tutta la storia dell'arte e dell'architettura. Ecco alcuni esempi che confermano solo la validità dell'utilizzo di questo principio:

Architettura: Partenone

Nell'antica architettura greca, la sezione aurea veniva utilizzata per calcolare la proporzione ideale tra l'altezza e la larghezza di un edificio, le dimensioni di un portico e persino la distanza tra le colonne. In seguito, questo principio fu ereditato dall'architettura neoclassica.

Arte: L'ultima Cena

Per gli artisti, la composizione è il fondamento. Leonardo da Vinci, come molti altri artisti, fu guidato dal principio della Sezione aurea: nell'Ultima Cena, ad esempio, le figure dei discepoli si trovano nei due terzi inferiori (la maggiore delle due parti della Sezione aurea ), e Gesù è posto rigorosamente al centro tra due rettangoli.

Web design: riprogettazione di Twitter nel 2010

Il direttore creativo di Twitter Doug Bowman ha pubblicato uno screenshot sul suo account Flickr in cui spiega l'uso del rapporto aureo per la riprogettazione del 2010. "Chiunque sia interessato alle proporzioni di #NewTwitter sa che tutto è fatto per una ragione", ha detto.

iCloud di Apple

Anche l'icona del servizio iCloud non è affatto uno schizzo casuale. Come spiegato da Takamasa Matsumoto nel suo blog (versione originale giapponese) tutto si basa sulla matematica della sezione aurea, la cui anatomia è visibile nell'immagine a destra.

Come costruire la sezione aurea?

La costruzione è abbastanza semplice, e inizia con la piazza principale:

Disegna un quadrato. Questo formerà la lunghezza del "lato corto" del rettangolo.

Dividi il quadrato a metà con una linea verticale in modo da ottenere due rettangoli.

In un rettangolo, traccia una linea unendo gli angoli opposti.

Espandi questa linea orizzontalmente come mostrato nella figura.

Crea un altro rettangolo usando la linea orizzontale che hai disegnato nei passaggi precedenti come base. Pronto!

Strumenti "d'oro".

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SEZIONE Aurea - LA DIVINA MISURA DELLA BELLEZZA,
CREATO NELLA NATURA.

Il rapporto aureo è la misura divina della bellezza, creata in natura.

Allah ha stabilito una misura adeguata per ogni cosa. (Sura "A Taliak", 65:3)

... Nella creazione del Misericordioso (Allah), non troverai una quota
violazioni e incongruenze. Gira di nuovo gli occhi, vedi
sei una specie di difetto? E di nuovo volgi gli occhi: lui tornerà
umiliato e vanitoso (non trovando una frazione di incoerenza).
(Sura Al Mulk, 67:3-4)

"... Se, dal punto di vista delle prestazioni o della funzione di un elemento, qualsiasi forma ha proporzionalità ed è piacevole, attraente alla vista, allora in questo caso possiamo cercare immediatamente una qualsiasi delle funzioni del Numero Aureo in esso ... Il numero d'oro non è affatto finzione matematica.Essa è infatti un prodotto della legge di natura, fondata sulle regole della proporzionalità." 1

Scopriamo cosa accomuna le antiche piramidi egizie, il dipinto di Leonardo da Vinci "La Gioconda", un girasole, una lumaca, una pigna e dita umane?

La risposta a questa domanda è nascosta negli incredibili numeri che furono scoperti dal matematico medievale italiano Leonardo da Pisa, meglio conosciuto con il nome di Fibonacci. ((nato intorno al 1170 circa - morto dopo il 1228), matematico italiano. Viaggiando in Oriente, conobbe le conquiste della matematica araba e contribuì al loro trasferimento in Occidente. Le opere principali "Liber Abaci" (1202) - un trattato di aritmetica (numeri indiani) e algebra (fino a equazioni quadratiche), "Pratica Geometriae" (1220)).

Dopo la sua scoperta, questi numeri iniziarono a essere chiamati con il nome del famoso matematico. L'essenza sorprendente della sequenza di Fibonacci è che ogni numero in questa sequenza è ottenuto dalla somma dei due numeri precedenti. 2

I numeri che formano la sequenza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... sono chiamati "Numeri di Fibonacci", e la sequenza stessa Sequenza di Fibonacci.

C'è una caratteristica molto interessante nei numeri di Fibonacci. Quando si divide un numero nella sequenza per il numero che lo precede nella serie, il risultato è sempre ci sarà un valore fluttuante attorno al valore irrazionale 1.61803398875... e ogni altra volta salendo o non raggiungendolo.
(Nota un numero irrazionale, cioè un numero la cui rappresentazione decimale è infinita e non periodica)

Inoltre, dopo il 13° numero nella sequenza, questo risultato di divisione diventa costante fino all'infinito della serie ... Ed era questo numero costante di divisione nel Medioevo che era chiamato Proporzione Divina, e ora oggi viene riferito come rapporto aureo, media aurea o sezione aurea.

In Algeb p e questo numero è indicato dalla lettera greca phi ( F)

Quindi, Rapporto aureo = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618

Il corpo umano e il rapporto aureo

Artisti, scienziati, stilisti, designer fanno i loro calcoli, disegni o schizzi in base al rapporto del rapporto aureo. Usano misurazioni del corpo umano, anch'esse create secondo il principio del rapporto aureo. Leonardo da Vinci e Le Corbusier, prima di creare i loro capolavori, hanno preso i parametri del corpo umano, creato secondo la legge della Sezione Aurea.

Più libro principale di tutti gli architetti moderni, il libro di consultazione di E. Neufert "Building Design" contiene i calcoli di base dei parametri del busto umano, che includono il rapporto aureo.

Proporzioni varie parti il nostro corpo è un numero molto vicino alla sezione aurea. Se queste proporzioni coincidono con la formula del rapporto aureo, l'aspetto o il corpo di una persona è considerato idealmente costruito. Il principio del calcolo della misura aurea sul corpo umano può essere rappresentato sotto forma di diagramma. 3

M/m=1.618

Il primo esempio della sezione aurea nella struttura del corpo umano:
Se prendiamo il punto dell'ombelico come centro del corpo umano e la distanza tra il piede umano e il punto dell'ombelico come unità di misura, l'altezza di una persona è equivalente al numero 1.618.

Inoltre, ci sono molte altre proporzioni auree di base del nostro corpo:

• la distanza dalla punta delle dita al polso e dal polso al gomito è 1:1.618
• la distanza dal livello della spalla alla sommità della testa e la dimensione della testa è 1:1.618
• la distanza dalla punta dell'ombelico alla sommità della testa e dal livello della spalla alla sommità della testa è 1:1.618
• la distanza del punto ombelico alle ginocchia e dalle ginocchia ai piedi è 1:1.618
• la distanza dalla punta del mento alla punta del labbro superiore e dalla punta del labbro superiore alle narici è 1:1.618
• la distanza dalla punta del mento alla linea superiore delle sopracciglia e dalla linea superiore delle sopracciglia alla corona è 1:1.618

La sezione aurea nei tratti del viso umano come criterio di perfetta bellezza.

Nella struttura delle caratteristiche facciali umane, ci sono anche molti esempi che hanno un valore vicino alla formula della sezione aurea. Tuttavia, non correre immediatamente dietro al righello per misurare i volti di tutte le persone. Perché corrispondenze esatte con la sezione aurea, secondo scienziati e uomini d'arte, artisti e scultori, esistono solo in persone di perfetta bellezza. In realtà, l'esatta presenza della sezione aurea nel volto di una persona è l'ideale di bellezza per l'occhio umano.

Se ad esempio sommiamo la larghezza dei due denti anteriori superiori e dividiamo questa somma per l'altezza dei denti, allora, ottenuto il rapporto aureo, possiamo dire che la struttura di questi denti è ideale.

Sul volto umano, ci sono altre incarnazioni della regola della sezione aurea. Ecco alcune di queste relazioni:

• Altezza del viso/larghezza del viso,
• Il punto centrale della giunzione delle labbra alla base del naso/lunghezza del naso.
• Altezza del viso/distanza dalla punta del mento al punto centrale della giunzione delle labbra
• Larghezza della bocca/larghezza del naso,
• Larghezza del naso/distanza tra le narici,
• Distanza tra le pupille / distanza tra le sopracciglia.

Mano umana

Basta avvicinare il palmo della mano a te ora e guardare attentamente il dito indice e troverai immediatamente la formula della sezione aurea. Ogni dito della nostra mano è composto da tre falangi.

La somma delle prime due falangi del dito rispetto all'intera lunghezza del dito dà il rapporto aureo (ad eccezione del pollice).

Inoltre, anche il rapporto tra il dito medio e il mignolo è uguale al rapporto aureo. 4

Una persona ha 2 mani, le dita di ciascuna mano sono costituite da 3 falangi (ad eccezione del pollice). Ogni mano ha 5 dita, cioè 10 in totale, ma ad eccezione di due pollici a due falange, vengono create solo 8 dita secondo il principio della sezione aurea. Mentre tutti questi numeri 2, 3, 5 e 8 sono i numeri della sequenza di Fibonacci.

Il rapporto aureo nella struttura dei polmoni umani

Il fisico americano B.D. West e il dottor A.L. Goldberger durante studi fisici e anatomici ha scoperto che la sezione aurea esiste anche nella struttura dei polmoni umani. 5

La particolarità dei bronchi che compongono i polmoni di una persona risiede nella loro asimmetria. I bronchi sono costituiti da due vie aeree principali, una (a sinistra) è più lunga e l'altra (a destra) è più corta.

Si è riscontrato che questa asimmetria continua nei rami dei bronchi, in tutte le vie aeree più piccole. 6 Inoltre, il rapporto tra la lunghezza dei bronchi corti e quelli lunghi è anche il rapporto aureo ed è pari a 1:1,618.

La struttura del quadrilatero e della spirale ortogonali dorati.

La sezione aurea è una divisione così proporzionale di un segmento in parti disuguali, in cui l'intero segmento si riferisce alla parte maggiore come la parte maggiore stessa si riferisce alla parte minore; o in altre parole, la sezione più piccola è legata a quella più grande come quella più grande sta a tutto.

In geometria, un rettangolo con questo rapporto di lati venne chiamato rettangolo aureo. I suoi lati lunghi sono correlati ai lati corti in un rapporto di 1,168:1.

Il rettangolo aureo ha anche molte proprietà sorprendenti. Il rettangolo aureo ha molte proprietà insolite. Tagliando un quadrato dal rettangolo aureo il cui lato è uguale al lato più piccolo del rettangolo, otteniamo ancora un rettangolo aureo più piccolo. Questo processo può essere continuato all'infinito. Man mano che continuiamo a tagliare i quadrati, otterremo rettangoli dorati sempre più piccoli. Inoltre, saranno posizionati in una spirale logaritmica, che è importante nei modelli matematici di oggetti naturali (ad esempio, gusci di lumache).

Il polo della spirale si trova all'intersezione delle diagonali del rettangolo iniziale e della prima verticale tagliata. Inoltre, le diagonali di tutti i successivi rettangoli aurei decrescenti giacciono su queste diagonali. Naturalmente, c'è anche un triangolo d'oro.

Il designer ed estetista inglese William Charlton ha affermato che le persone trovano le forme a spirale piacevoli alla vista e le usano da millenni, spiegandolo come segue: "Siamo soddisfatti dell'aspetto di una spirale, perché visivamente possiamo vederla facilmente". 7

La regola del rapporto aureo alla base della struttura della spirale si ritrova in natura molto spesso in creazioni di impareggiabile bellezza. Gli esempi più ovvi: una forma a spirale può essere vista nella disposizione dei semi di girasole e nelle pigne, negli ananas, nei cactus, nella struttura dei petali di rosa, ecc.

I botanici hanno scoperto che nella disposizione delle foglie su un ramo, semi di girasole o pigne, si manifesta chiaramente serie di Fibonacci, e quindi, la legge si manifesta rapporto aureo.

Il Signore Onnipotente ha stabilito una misura speciale per ciascuna delle Sue creazioni e ha dato la proporzionalità, che è confermata sugli esempi trovati in natura. Si possono citare moltissimi esempi quando il processo di crescita degli organismi viventi avviene in stretta conformità con la forma di una spirale logaritmica.

Tutte le molle in una bobina hanno la stessa forma. I matematici hanno scoperto che anche con l'aumento delle dimensioni delle molle, la forma della spirale rimane invariata. Non c'è altra forma in matematica che abbia lo stesso proprietà uniche come una spirale. otto

La struttura delle conchiglie

Scienziati che hanno studiato l'interno e struttura esterna conchiglie di molluschi dal corpo molle che vivono sul fondo dei mari affermavano:

"La superficie interna dei gusci è perfettamente liscia e la superficie esterna è ricoperta di rugosità, irregolarità. Mollusco era nel lavandino e per questo la superficie interna del lavandino doveva farlo essere perfettamente liscio. Gli angoli esterni della calotta ne aumentano la forza, la durezza e quindi ne aumentano la forza. La perfezione e la sorprendente ragionevolezza della struttura della conchiglia (lumaca) delizia. L'idea a spirale delle conchiglie è una forma geometrica perfetta e sorprendente nella sua levigata bellezza." 9

Nella maggior parte delle lumache che hanno il guscio, il guscio cresce in una spirale logaritmica. Tuttavia, non c'è dubbio che queste creature irragionevoli non solo non hanno idea della spirale logaritmica, ma non hanno nemmeno la più semplice conoscenza matematica per creare un guscio a spirale per se stesse.

Ma allora come potrebbero questi esseri privi di intelligenza determinare e scegliere da soli la forma ideale di crescita ed esistenza sotto forma di un guscio a spirale? Potrebbero queste creature viventi, che il mondo scientifico chiama forme di vita primitive, calcolare che la forma logaritmica del guscio sarebbe l'ideale per la loro esistenza?

Certamente ma no, perché un tale progetto non può realizzarsi senza la presenza della ragione e della conoscenza. Ma né molluschi primitivi né natura inconscia, che però alcuni scienziati chiamano il creatore della vita sulla terra (?!)

Cercare di spiegare l'origine di tale anche la più primitiva forma di vita mediante una coincidenza casuale di alcune circostanze naturali è almeno assurdo. È chiaro che questo progetto è una creazione consapevole. E questa creazione appartiene ad Allah - il Signore dei mondi:

"... Il mio Signore, con la Sua sconfinata conoscenza, abbraccia tutto. È possibile che tu non debba pensarci più?" (Sura "Al Ana'a m", 6:80)

Il biologo Sir D'arky Thompson chiama questa forma di crescita delle conchiglie "la forma di crescita degli gnomi". Sir Thompson fa questo commento:

"Non esiste un sistema più semplice della crescita delle conchiglie, che crescono e si espandono in proporzione, mantenendo la stessa forma. La conchiglia, sorprendentemente, cresce, ma non cambia mai forma". 10

Il nautilus, che misura pochi centimetri di diametro, è l'esempio più eclatante della crescita gnomesca. S. Morrison descrive questo processo di crescita del nautilo, che anche la mente umana sembra piuttosto difficile da pianificare:

"All'interno della conchiglia del nautilus ci sono molti reparti-stanze con partizioni di madreperla, e la conchiglia stessa all'interno è una spirale che si espande dal centro. Man mano che il nautilus cresce, un'altra stanza cresce davanti alla conchiglia, ma già più grande di il precedente, e le partizioni del restante dietro la stanza sono ricoperte da uno strato di madreperla, quindi la spirale si espande proporzionalmente tutto il tempo. 11

Qui ci sono solo alcuni tipi di gusci a spirale che hanno una forma di crescita logaritmica secondo i loro nomi scientifici:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Tutti i resti fossili scoperti di conchiglie avevano anche una forma a spirale sviluppata.

Tuttavia, la forma logaritmica di crescita si trova nel mondo animale non solo nei molluschi. Anche le corna di antilopi, capre selvatiche, montoni e altri animali simili si sviluppano a forma di spirale secondo le leggi della sezione aurea. 12

Il rapporto aureo nell'orecchio umano

Nell'orecchio interno umano c'è un organo Coclea ("Lumaca"), che svolge la funzione di trasmettere vibrazioni sonore. Questa struttura simile a un osso è piena di liquido e anche creata a forma di lumaca, contenente una forma a spirale logaritmica stabile = 73º 43'.

Corna e zanne di animali che si sviluppano a forma di spirale.

Le zanne degli elefanti e dei mammut estinti, gli artigli dei leoni ei becchi dei pappagalli sono forme logaritmiche e ricordano la forma di un asse che tende a trasformarsi in una spirale. I ragni tessono sempre le loro tele in una spirale logaritmica. Anche la struttura di microrganismi come il plancton (specie globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae e trochida) ha una forma a spirale.

La sezione aurea nella struttura dei micromondi

Le forme geometriche non si limitano a un triangolo, un quadrato, un cinque o un esagono. Se combiniamo queste figure in vari modi tra loro, otterremo nuove forme geometriche tridimensionali. Esempi di questo sono figure come un cubo o una piramide. Tuttavia, oltre a loro, ci sono anche altre figure tridimensionali che non abbiamo incontrato nella vita di tutti i giorni, e di cui sentiamo i nomi, forse per la prima volta. Tra queste figure tridimensionali si può nominare un tetraedro (una figura regolare a quattro lati), un ottaedro, un dodecaedro, un icosaedro, ecc. Il dodecaedro consiste di 13 pentagoni, l'icosaedro di 20 triangoli. I matematici notano che queste figure sono matematicamente molto facili da trasformare e la loro trasformazione avviene secondo la formula della spirale logaritmica della sezione aurea.

Nel microcosmo sono onnipresenti forme logaritmiche tridimensionali costruite secondo proporzioni auree. Ad esempio, molti virus hanno una forma geometrica tridimensionale di un icosaedro. Forse il più famoso di questi virus è il virus Adeno. Il guscio proteico del virus Adeno è formato da 252 unità di cellule proteiche disposte in una determinata sequenza. In ogni angolo dell'icosaedro ci sono 12 unità di cellule proteiche a forma di prisma pentagonale e strutture a forma di punta si estendono da questi angoli.

La sezione aurea nella struttura dei virus è stata scoperta per la prima volta negli anni '50. scienziati del Birkbeck College di Londra A.Klug e D.Kaspar. 13 Il virus Polyo è stato il primo a mostrare una forma logaritmica. La forma di questo virus è risultata simile a quella del virus Rhino 14.

Sorge la domanda, come fanno i virus a formare forme tridimensionali così complesse, la cui struttura contiene la sezione aurea, che è abbastanza difficile da costruire anche con la nostra mente umana? Lo scopritore di queste forme di virus, il virologo A. Klug, fa il seguente commento:

"Il dottor Kaspar e io abbiamo dimostrato che per un guscio virale sferico, la forma ottimale è la simmetria di tipo icosaedrico. Questo ordine riduce al minimo il numero di elementi di collegamento ... La maggior parte dei cubi emisferici geodetici di Buckminster Fuller sono costruiti su un principio geometrico simile. 14 L'installazione di tali cubi richiede uno schema esplicativo estremamente preciso e dettagliato. Mentre i virus inconsci stessi costruiscono un guscio così complesso di unità cellulari proteiche elastiche e flessibili. 15

Nello studio delle materie scolastiche è possibile considerare il rapporto tra i concetti adottati nei vari campi del sapere ei processi in atto nell'ambiente naturale; scoprire la connessione tra leggi matematiche e proprietà e modelli di sviluppo della natura.

Sin dai tempi antichi, l'osservazione natura circostante e creando opere d'arte, le persone cercavano modelli che consentissero di definire la bellezza. Ma una persona non solo ha creato oggetti belli, non solo li ha ammirati, si è sempre più posta la domanda: perché questo oggetto è bello, gli piace, e un altro, molto simile, non gli piace, non può essere chiamato bello? Poi da creatore del bello, si è trasformato nel suo ricercatore. Già dentro Grecia antica lo studio dell'essenza della bellezza, il bello formato in un ramo separato della scienza: l'estetica. Lo studio della bellezza è diventato parte dello studio dell'armonia della natura, delle sue leggi fondamentali dell'organizzazione.

La bellezza della scultura, la bellezza di un tempio, la bellezza delle sinfonie, delle poesie, dei dipinti. Cosa hanno in comune? È possibile confrontare la bellezza del tempio con la bellezza del notturno? Si scopre che è possibile se si trovano criteri uniformi di bellezza, se si scoprono formule generali di bellezza che uniscono il concetto di bellezza degli oggetti più diversi - da un fiore di camomilla (non è bello?) alla bellezza di un corpo umano nudo. I tentativi di trovare criteri simili per il bello nelle varie forme dell'arte e della natura costituiscono l'argomento dell'estetica.

"Formule di bellezza" è già molto conosciuto. Per molto tempo, nelle loro creazioni, le persone preferiscono le forme geometriche regolari: un quadrato, un cerchio, un triangolo isoscele, una piramide, ecc. Le figure simmetriche sono solitamente preferibili a quelle non simmetriche. Nelle proporzioni di varie strutture, sono preferiti i rapporti interi. L'uomo generalmente preferisce l'ordine al disordine, la semplicità alla complessità, la certezza all'incertezza. Ovviamente, questa è l'essenza della vita stessa, come fenomeno della natura: l'ordinamento del disordine.

Delle molte proporzioni che le persone hanno usato a lungo per creare opere armoniche, ce n'è una, l'unica e inimitabile, che ha proprietà uniche. Corrisponde a tale divisione del tutto in due parti, in cui il rapporto della parte maggiore con la minore è uguale al rapporto del tutto con la parte maggiore. "Questa proporzione era chiamata in modo diverso: "d'oro", "divino", "sezione aurea", "numero d'oro". Ho preferito usare il nome di battesimo, poiché riflette in modo più accurato l'essenza di questo concetto.

Il principio della "proporzione aurea" ha suscitato grande interesse in me e nei miei coetanei. Questa conoscenza aiuta a capire che al di fuori della coscienza c'è qualcosa di abbastanza materiale, abbastanza oggettivo, che, non essendo bellezza oggettiva, evoca in noi un sentimento di bellezza. La "Sezione aurea" vale per qualsiasi persona, qualunque essa sia. Sono stato in grado di fare una piccola ricerca con l'aiuto dei miei colleghi che hanno contribuito a dimostrare questo principio.

"Sezione aurea" in geometria

Ora è impossibile stabilire in modo affidabile il nm della persona che per primo ha scoperto il rapporto aureo, né il momento in cui ciò è accaduto. Ovviamente, è stato più volte scoperto, dimenticato e riscoperto tempo diverso e dentro vari paesi. Molti ricercatori considerano il matematico e filosofo greco Pitagora lo scopritore della sezione aurea.

Con il nome di Pitagora, da scuola, associamo il teorema ai lati di un triangolo: il "teorema del quadrato". Questo teorema è sorprendentemente bello: "Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe". Nella scienza troverai poche formule così belle e semplici.

Molti schemi matematici, come si suol dire, "giacciono in superficie", dovevano essere visti da una persona con una mente analitica, che pensava in modo logico. E questo non si poteva negare ai filosofi del mondo antico; dopo tutto, tutta la loro conoscenza scientifica si basava sull'analisi di oggetti e fenomeni, sulla creazione di una connessione tra loro. Ai nostri giorni è persino difficile immaginare che lo sviluppo della scienza sia possibile senza l'uso dell'esperimento, ma tale era la scienza del mondo antico.

Si consideri, ad esempio, il triangolo rettangolo più semplice con il rapporto delle gambe 1:2. In questo triangolo, il valore della gamba piccola è 1 e quella più grande è 2. Secondo il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'ipotenusa in essa contenuta è √5. Questo triangolo era ben noto nel mondo antico, in molti edifici dell'epoca prevalgono proporzioni uguali ai rapporti delle gambe e dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo di lato 1:2:√5.

Il rapporto dei lati a, b, c di questo triangolo è molto semplice e comprensibile a chiunque conosca le basi della geometria: a/b = 1:2, c/a = √5:1, c/b = √5 /2. Tuttavia, queste quantità implicano anche un rapporto in più (a+b)/b = (1+√5)/2, pari a 1.618033. Questa è la sezione aurea, che di solito è indicata dalla lettera F. Come puoi vedere, questa meravigliosa proporzione giace letteralmente in superficie: doveva solo essere notata.

In geometria, ci sono vari modi per costruire il rapporto aureo, ed è tipico che per la costruzione sia sufficiente prendere le forme geometriche più semplici: un quadrato o un triangolo rettangolo con un rapporto di gambe 1: 2. Se disegniamo un cerchio dal centro del quadrato con un raggio uguale alla diagonale del semiquadrato, alla sua intersezione con il lato esteso del quadrato otteniamo un segmento inferiore al lato del quadrato secondo con il rapporto aureo. È ancora più facile costruire il rapporto aureo in un triangolo rettangolo 1:2:√5. È sufficiente disegnare due archi di cerchio che si intersecano in un punto dell'ipotenusa e la gamba grande sarà divisa secondo il rapporto aureo.

Un triangolo con lati 3:4:5 è uno di una serie di triangoli rettangoli, chiamati anticamente "divini", per i quali il rapporto è vero: a2 + b2 \u003d c2, dove a, b, c sono numeri interi . Ecco alcuni di questi triangoli:

52=42+32; 132=122+52; 252=242+72.

In sostanza, le leggi del rapporto dei lati di questi triangoli esprimono il teorema, che in seguito divenne noto come teorema di Pitagora. Pitagora conosceva tali triangoli, o li riscoprì, oppure, passando da questi triangoli “divini” ad altri, estese la formula indicata a tutti i triangoli rettangoli, scoprendo i numeri irrazionali e il rapporto aureo?

Nessuno può più rispondere a queste domande. Nella storia della scienza, non è raro che le scoperte vengano dimenticate, perse e rianimate da altri scienziati, e si può solo speculare sulla loro effettiva paternità. Come sottolinea Matila Ghica, i cinesi già nell'XI secolo aC conoscevano il teorema 52=32+42.

Plutarco osserva che l'area di un triangolo con i lati 5:4:3 è 6 e il cubo di quest'area è uguale alla somma dei cubi dei lati del triangolo: 63=53+43+33. È stato proposto di utilizzare il rapporto 52=42+32 tra gli invarianti per creare il primo "contatto logico all'inizio dell'era della segnalazione interplanetaria".

È facile dimostrare che esiste un solo triangolo rettangolo i cui lati (x, y, z) formano una progressione geometrica: z/y=y/x. In questo triangolo, il rapporto tra l'ipotenusa e la gamba piccola è uguale al rapporto aureo Ф e gli altri due rapporti dei lati (z / y e y / x) corrispondono alla radice quadrata del rapporto aureo. Questo è un fantastico triangolo "d'oro", è una vivida espressione del rapporto aureo.

Si consideri una famiglia di triangoli isoscele costruiti secondo le regole del rapporto aureo: ad angolo acuto - con angoli di 36˚, 72˚ e 72˚ e ad angolo ottuso - con angoli di 108˚, 36˚ e 36˚. Dalla figura si può vedere che il triangolo acuto ABC è diviso in tre triangoli della sezione aurea. In essi, i lati sono uguali: AD=1, DB=Ф, BC=AB=Ф+1=Ф2, AC=AE=Ф.

Un altro meraviglioso triangolo è interessante, in cui si manifesta la sezione aurea. In questo triangolo, gli angoli sono 90˚, 54˚ e 36˚ e il loro rapporto è 5:3:. In questo triangolo rettangolo, il rapporto tra la gamba più grande e l'ipotenusa è uguale alla metà del rapporto aureo Ф / 2. Ciò corrisponde all'equazione Ф/2=cos 36˚. Ciò implica una formula che mette in relazione il rapporto aureo con il numero π:

Ô = (√5+1)/2 = 2 cos π/5

Questa formula semplice e a suo modo bella collega il numero "pi" con il rapporto aureo. Questo non testimonia la natura fondamentale del rapporto aureo, la sua relazione con un numero universale come "pi"? È caratteristico che nel triangolo considerato il rapporto degli angoli corrisponda al rapporto dei piccoli interi 5:3:2 (dove il valore di un angolo è uguale alla somma degli altri due), e i rapporti dei lati sono incommensurabili . Cosa si nasconde in questo “mistero dei rapporti numerici”?

Nella formula Ф \u003d (√5 + 1) / 2 \u003d 2 cos π / 5, il numero "cinque" si verifica due volte. E l'angolo di 36° è l'angolo ai vertici del poligono della stella a cinque punte. Ovviamente, non è un caso che il numero "cinque" tra i pitagorici fosse considerato sacro e la stella pentagonale - simbolo dell'unione di filosofi e matematici pitagorici. Era anche considerato nell'antichità un simbolo di vita. La geometria del pentaedro e del pentagono stellare è stata studiata da molti matematici.

Nella figura, tra i segmenti HJ, EH, EJ, EB, il rapporto di ciascuno successivo al precedente è uguale al rapporto aureo. Pacioli trovato in cinque solidi platonici: segmenti EB / EA, AJ / JK, AK / AJ. Contiene anche un triangolo con angoli di 90˚, 54˚ e 46˚, che è stato discusso sopra.

Nel 1509, a Venezia, un contemporaneo e amico di Leonardo da Vinci, Luca Pacioli, pubblicò il libro Sulla proporzione divina. Pacioli ha trovato nei cinque solidi platonici - poligoni regolari (tetraedro, cubo, ottaedro, icosaedro e dodecaedro) tredici manifestazioni della proporzione "divina". Nel capitolo Sulla dodicesima proprietà quasi soprannaturale, considera l'icosaedro regolare. Ad ogni vertice dell'icosaedro, cinque triangoli convergono per formare un pentagono regolare. Se colleghi tra loro due bordi opposti di un icosaedro, ottieni un rettangolo in cui il lato grande è correlato al lato più piccolo come la somma dei lati è a quello grande.

Pertanto, il rapporto aureo si manifesta nella geometria di cinque poliedri regolari, che, secondo gli scienziati antichi, sono alla base dell'universo. Platone credeva che gli atomi dei quattro elementi da cui è costruito il mondo (fuoco, terra, aria e acqua) avessero la forma di poliedri convessi regolari: tetraedro, cubo, ottaedro, icosaedro e il mondo intero nel suo insieme è costruito in la forma di un dodecaedro.

Numeri di Fibonacci.

Attraverso gli sforzi dei matematici, il rapporto aureo è stato spiegato, studiato e analizzato a fondo. Sembrerebbe che la questione sia risolta. Non restava che studiare le manifestazioni di questa regolarità in natura, per cercarne l'applicazione pratica. Forse questo sarebbe accaduto se nella storia della matematica non fosse apparso un problema insostituibile.

Durante il Medioevo, la comparsa di un libro sulla matematica, scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo da Pinza, fu un evento importante nella "vita scientifica della società". Nel libro "Liber abacci" ("Il libro dell'abaco") sono state raccolte informazioni sulla matematica conosciuta a quel tempo, sono stati forniti esempi per risolvere vari problemi. E tra loro era semplice. Non privo di valore pratico per gli italiani intraprendenti, il problema del coniglio: "Quante coppie di conigli in un anno nascono da una coppia?" Più avanti nel problema si spiega che la natura dei conigli è tale che in un mese una coppia di loro dà alla luce un'altra coppia, e i conigli iniziano a riprodursi dal secondo mese dopo la loro nascita. Come risultato della risoluzione di questo semplice problema, abbiamo ottenuto una serie di numeri 1, 2, 3, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e così via. Questa serie di numeri prese poi il nome da Fibonacci, come fu chiamato Leonardo (Fibonacci è un abbreviato filius Bonacci, cioè Bonacci).

Cosa c'è di straordinario nei numeri ottenuti da Leonardo Fibonacci? Considera questa serie di numeri: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 277, 610, 987, 1597 e così via. In questa serie, ogni numero successivo è la somma dei due numeri precedenti.

Tali sequenze, in cui ogni termine è una funzione dei precedenti, sono dette sequenze ricorrenti o ricorrenti in matematica. Anche la serie dei numeri di Fibonacci è ricorrente e i membri di questa serie sono chiamati numeri di Fibonacci. Si è scoperto che hanno una serie di proprietà interessanti e importanti.

Quattro secoli dopo la scoperta di una serie di numeri da parte di Fibonacci, I. Keplero (1571 - 1630) stabilì che il rapporto dei numeri adiacenti nel limite tende al rapporto aureo. Nel linguaggio della matematica, questo è espresso dalla formula Un+1/Un→Ф come n→ ∞. Qui Ф=1,61803 è il rapporto aureo.

Cento anni dopo, lo scienziato inglese R. Simpson dimostrò matematicamente rigorosamente che il rapporto dei numeri di Fibonacci adiacenti nel limite tende al rapporto aureo, pari a (√5+1)/2. E solo nel 1843, il matematico J. Binet trovò una formula per trovare qualsiasi membro della serie numerica di Fibonacci.

Definiamo il rapporto tra numeri di Fibonacci adiacenti: è uguale a 2, 1,5; 1.66; 1.6; 1.625; 1.615. , 1.619, 1.6181, ecc. I rapporti risultanti sembrano fluttuare attorno a un valore costante, avvicinandosi gradualmente ad esso, la differenza tra rapporti vicini diminuisce. Questo è chiaramente visibile nel grafico. Il rapporto dei numeri di Fibonacci adiacenti nel limite tende a un valore vicino a 1,618. , che è il rapporto aureo.

Il rapporto dei numeri di Fibonacci adiacenti riflette un processo oscillatorio, un'oscillazione, una diminuzione rigorosamente periodica della differenza nei rapporti di questi numeri con ampiezza decrescente, un'oscillazione smorzata di questi rapporti rispetto al valore Ф - il rapporto aureo.

Il valore Ф è considerato un numero irrazionale, cioè non può essere espresso in modo incommensurabile attraverso rapporti di interi. Ma man mano che la serie dei numeri di Fibonacci si espande, il loro rapporto si avvicinerà sempre di più al rapporto aureo (più precisamente, infinitamente vicino ad esso). Si scopre che il valore razionale Ф è uguale al rapporto di due numeri infinitamente grandi, cioè è commensurabile. Qui appare un altro aspetto interessante della relazione tra i numeri interi di Fibonacci e il rapporto aureo irrazionale.

E ora aggiungiamo i numeri di Fibonacci situati attraverso uno. Otteniamo una nuova serie di numeri: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123, ecc. Come vediamo, otteniamo anche una serie ricorrente di numeri; il rapporto dei numeri vicini qui tende anche al rapporto aureo nel limite.

Questa serie ricorrente di numeri derivata può essere ottenuta dalla serie di Fibonacci in un altro modo. Con una divisione regolare consistente dei successivi numeri della serie di Fibonacci per i precedenti, otteniamo: 1:1=3; 3:1=3; 8:2=4; 21:3=7; 55:5=11, ecc., cioè la serie ricorsiva prodotta, chiamata "serie di Luca". Sommando le righe di Lucas che si trovano attraverso un numero, otteniamo una nuova serie ricorrente derivata: 15, 25, 40, 65, 105, ecc. Dividendo i numeri di questa serie per cinque, otteniamo la serie originale dei numeri di Fibonacci.

I numeri di Fibonacci hanno molte proprietà interessanti. Quindi, la somma di tutti i numeri della serie dal primo a Un è uguale al successivo dopo un numero (Un + 2) senza unità. È facile mostrare e verificare con esempi che il rapporto dei numeri di Fibonacci posti per uno tende al quadrato del rapporto aureo, pari a 2.618033 Una proprietà sorprendente! Si scopre che F + 1 = = F2. Ma questa relazione avviene in un triangolo rettangolo perfetto con un angolo di circa 51˚50΄. La stessa equazione collega i segmenti del tutto, divisi in due parti secondo il rapporto aureo. Un invisibile, ma forte collegamento di leggi generali combinate in un sistema armonioso logicamente unificato figure geometriche perfette, le piramidi d'Egitto, il problema della riproduzione del coniglio.

Il matematico francese Pascal (1623 - 1662) costruì una tavola numerica a forma di triangolo; in essa ogni riga si ottiene dalla precedente raddoppiando ciascuno dei numeri della riga. Questa tabella si chiama "Triangolo di Pascal". Somma di numeri ennesima riga del triangolo di Pascal è 2n, cioè la somma dei numeri nelle linee aumenta in una legge di potenza, raddoppiando in ogni linea successiva.

Questa natura della costruzione del triangolo di Pascal corrisponde alla più semplice riproduzione di organismi in biologia, ad esempio la divisione cellulare. Ogni cellula, a seguito della divisione, si trasforma in due cellule, che a loro volta si dividono in due cellule, ecc.

Il triangolo di Pascal ha molte proprietà interessanti. Tutte le linee sono simmetriche. Tra le somme dei numeri nelle colonne si stabilisce la seguente relazione: se sottraiamo il numero successivo più piccolo dal numero più grande, otteniamo il numero successivo nella serie di somme. Viene stabilito il collegamento tra i numeri della serie di Fibonacci e il triangolo di Pascal. Se disegni una diagonale del triangolo di Pascal, la somma dei numeri su queste diagonali formerà una serie di numeri di Fibonacci.

Il problema dei conigli esprime ovviamente qualche modello generale di crescita, caratteristico di tutti gli organismi, della vita stessa. Pertanto, le regolarità della serie dei numeri di Fibonacci e il rapporto aureo da essi generato devono manifestarsi in una forma o nell'altra in un'ampia varietà di organismi: nella loro struttura, evoluzione e funzionamento. In effetti, la ricerca di scienziati in un'ampia varietà di aree della natura ha portato alla scoperta di modelli in essi che corrispondono ai numeri di Fibonacci e al rapporto aureo. Dove solo non ha trovato i numeri di Fibonacci! E nei dipinti degli artisti, e nel cardiogramma, e nella struttura del suolo, e nell'attività del cervello

Nella metodologia sono attualmente utilizzati il ​​metodo del rapporto aureo e il "metodo di Fibonacci". ricerca scientifica. Si è scoperto che questi metodi sono un mezzo efficace per cercare costantemente soluzioni ottimali, l'estremo di alcune funzioni. Del resto, la natura in molti casi agisce secondo un sistema rigorosamente definito, realizzando la ricerca degli stati strutturali ottimali non "alla cieca", ma più difficile, utilizzando il "metodo di Fibonacci".

Formula di bellezza

Quanti artisti, poeti, scultori, veri intenditori di bellezza hanno ammirato la bellezza del corpo umano! "I corpi umani più belli in tutte le posizioni, audaci fino all'improbabilità, snelli alla musica - sì, questo è un mondo intero, davanti alla rivelazione del quale un freddo involontario di gioia e venerazione appassionata scorre in tutte le vene", ha scritto IS Turgenev. "Il corpo umano è la migliore bellezza sulla terra", ha affermato N. G. Chernyshevsky. “Il corpo nudo mi sembra bellissimo. Per me è un miracolo, la vita stessa, dove non può esserci nulla di brutto", ha detto O. Rodin.

Le grandi opere di scultori come Fidia, Poliktetus, Miron, Prassiteles sono state a lungo e giustamente considerate standard della bellezza del corpo umano, esempi di fisico armonioso. Nella creazione delle loro creazioni, i maestri greci hanno utilizzato il principio della sezione aurea. Il centro della sezione aurea della struttura del corpo umano si trova esattamente all'ombelico.

La "formula della bellezza" - nel senso più diretto e matematico - è diventata per molti antropologi l'obiettivo di molti anni di lavoro. Ci sono molte di queste "formule".

Per migliaia di anni le persone hanno cercato di trovare schemi matematici nelle proporzioni del corpo umano, in particolare una persona ben costruita e armoniosa. L'armonia del fisico crea l'impressione della proporzionalità di tutte le sue parti, che può essere espressa in semplici rapporti numerici. Per analizzare questi rapporti era necessaria un'unità di misura, una parte del corpo.

Anche in Antico Egitto la lunghezza del piede è stata presa come unità di misura del corpo, in tempi successivi - la lunghezza del dito medio della mano. È facile verificare che l'altezza di una persona è in media di 7 lunghezze del suo piede. Durante il Rinascimento aumentò l'interesse per lo studio delle proporzioni del corpo umano. Leonardo da Vinci ha effettuato una serie di misurazioni dalle quali ha calcolato la stazza media di una persona. Prese la testa, ma non l'intera lunghezza del cranio, ma solo la lunghezza del viso, come unità di misura per le proporzioni del corpo. E Dürer ha preso l'intera lunghezza del cranio come unità di misura. L'anatomista francese Richet stabilì la legge di 7 volte e mezzo la lunghezza della testa.

Molte proporzioni del corpo umano possono essere espresse dal rapporto di numeri interi, se trascuriamo qualche errore. Per fare ciò, puoi utilizzare i dati statistici medi della popolazione del nostro paese. Questi dati per uomini e donne differiscono in modo significativo e sono presentati separatamente. Eccone alcuni (per uomini e donne): altezza 1660 e 1567, lunghezza del braccio - 723 e 661, lunghezza della gamba - 900 e 835, altezza della linea di cintura - 1035 e 976, altezza del ginocchio - 506 e 467, larghezza della spalla - 380 e 349, altezza, seduta - 1310 e 1211, lunghezza della coscia - 590 e 568 mm. Utilizzando queste statistiche, è possibile calcolare le proporzioni di diverse parti del corpo, ad esempio in relazione all'altezza di una persona. Le proporzioni così ottenute si sono rivelate molto vicine ai rapporti interi.

A metà del secolo scorso, lo scienziato inglese Edimburgo ha costruito il canone delle proporzioni del corpo umano sulla base di un accordo musicale. È interessante notare che l'ideale, dal punto di vista di questo canone, il corpo maschile risultava, a suo avviso, corrispondere a un accordo maggiore e il corpo femminile a uno minore.

Le proporzioni calcolate del corpo umano ampliano i dati antropometrici, forniscono nuove caratteristiche per l'analisi e il confronto, ma sono ancora prive di contenuto fisico. L'unica eccezione è il rapporto tra altezza e altezza della vita. Questo rapporto, noto fin dall'antichità, è stato studiato a lungo, ed è considerato uno dei criteri principali per l'armonia del corpo umano. Ha ricevuto vari nomi: il rapporto aureo, il rapporto aureo, il rapporto divino, ecc. Delle molte proporzioni che le persone hanno usato a lungo per creare opere armoniche, solo lui, l'unico, ha proprietà uniche. Ho condotto uno studio, il cui scopo è scoprire se la regola della proporzione "aurea" si applica agli adolescenti di oggi. I dati in questa tabella indicano che la proporzione "aurea" esiste davvero.

Il rapporto aureo occupa un posto di primo piano nei canoni artistici di Leonardo da Vinci e Dürer. Secondo questi canoni, il rapporto aureo corrisponde non solo alla divisione del corpo in due parti disuguali dalla linea di cintura. Anche il volto umano è stato creato dalla natura secondo la regola del rapporto aureo. Quindi, l'altezza del viso si riferisce alla distanza verticale tra le arcate sopraccigliari e la parte inferiore del mento, così come la distanza tra la parte inferiore del naso e la parte inferiore del mento si riferisce alla distanza tra il angoli delle labbra e la parte inferiore del mento. Questo rapporto è uguale al rapporto aureo.

Le dita umane sono costituite da tre falangi: principale, media e ungueale. La lunghezza delle principali falangi di tutte le dita, ad eccezione del pollice, è uguale alla somma delle lunghezze delle altre due falangi. Questo è facile da verificare con l'aiuto di semplici misurazioni. Quindi, ad esempio, la lunghezza della falange principale del mio dito indice è di 4,2 cm Le lunghezze della falange media e dell'unghia sono rispettivamente di 2,3 e 1,9 cm Quando aggiungiamo gli ultimi dati, otteniamo la lunghezza della falange principale.

Inoltre, le lunghezze di tutte le falangi di ciascun dito sono correlate tra loro secondo la regola del rapporto aureo.

Durante il Rinascimento italiano il rapporto aureo fu elevato al rango di principale principio estetico, ma in seguito fu dimenticato e per circa 200 anni nessuno lo ricordò.

Nel 1850, lo scienziato tedesco Zeising scoprì di nuovo il rapporto aureo. Scoprì che l'intero corpo umano nel suo insieme e ciascuno dei suoi singoli membri sono collegati matematicamente da un rigido sistema di relazioni proporzionali, tra cui la sezione aurea occupa un posto importante. Dopo aver misurato migliaia di corpi umani, ha scoperto che la proporzione media del corpo maschile è vicina a 13:8 = 1,625 e quella della femmina è vicina a 8:3 = 1,60. Valori simili sono stati ottenuti nell'analisi dei dati antropometrici della popolazione russa.

È caratteristico che l'ombelico divida il corpo di un neonato in due parti uguali e le proporzioni del corpo solo gradualmente, quando la crescita è completata, raggiungano il loro sviluppo finale, che corrisponde al rapporto aureo (si ritiene che a due anni l'altezza di un bambino corrisponde alla metà della crescita futura di un adulto). Tutto ciò dà motivo di considerare la sezione aurea come una sorta di "costante di armonia", il limite ideale a cui tende il corpo umano nel suo sviluppo. Tuttavia, il corpo umano è caratterizzato non solo dalla "tendenza" per la sezione aurea, ma anche dalla deviazione da essa, associata alle differenze sessuali e individuali delle persone, una sorta di "variazioni sul tema della sezione aurea. "

È generalmente accettato che il rapporto aureo non sia solo una misura dell'armonia nella natura e nelle opere d'arte, ma anche la base della bellezza, una fonte di soddisfazione estetica. Il concetto di bellezza, il bello è molto più ampio, più variante del concetto di armonia e ordine. La perfetta simmetria e proporzionalità potrebbero non soddisfare gli standard di bellezza, sono perfetti, ma morti e solo varie deviazioni da questi canoni statici conferiscono vivacità, individualità unica, fascino e grazia alle creazioni della natura e dell'artista. Pertanto, il concetto di bellezza del corpo umano va oltre la struttura dei canoni geometrici, ma questi canoni formano una certa base su cui viene creato un corpo armonioso e bello.

La definizione di "formula di bellezza" è più adatta per il concetto di "proporzione aurea". In effetti, questa proporzione ha i segni più distinti dell'armonia della bellezza. Questa proporzione segna, per così dire, l'apice della ricerca estetica, un certo limite all'armonia della natura. Questa proporzione non è solo dominante in molte opere d'arte, ma determina i modelli di sviluppo di molti organismi, la sua presenza è notata da scienziati del suolo, chimici, geologi e astronomi.

Tale universalità del rapporto aureo non lo rende semplice e accessibile per lo studio. Molto nell'essenza di questa "costante di armonia" rimane sconosciuto. Non è ancora chiaro perché la Natura abbia preferito questa proporzione a tutte le altre - non è forse per la sua unicità?

È caratteristico che il rapporto aureo corrisponda alla divisione del tutto in due parti disuguali, quindi corrisponde all'asimmetria. Perché è così attraente, spesso più attraente delle proporzioni simmetriche? Ovviamente, questa proporzione ha alcune proprietà speciali. Il tutto può essere diviso in un numero infinito di parti disuguali, ma solo una di queste sezioni corrisponde al rapporto aureo. Apparentemente, in questa proporzione si nasconde uno dei segreti fondamentali della natura, che deve ancora essere scoperto.

Ma la bellezza umana in ogni momento è stata oggetto di un lungo studio di varie scienze. Gli ideali di bellezza non sono eterni e con il cambio di epoca, il concetto di "bella persona" significa cose completamente diverse. La bellezza del corpo umano è biologicamente conveniente, ma non eterna. Inoltre, nel corso del mio lavoro, sono riuscito a scoprire che la bellezza del corpo umano è biologicamente opportuna, ma non eterna, che gli ideali moderni che ci vengono imposti contraddicono le leggi biologiche.

Il rapporto aureo è un concetto matematico, il suo studio è prima di tutto compito della scienza. È anche un criterio di armonia e di bellezza, e queste sono già categorie dell'arte. Ma in fondo l'arte non è un avversario, ma un alleato della scienza.

"Proporzione aurea" nel mondo vegetale.

Come in tutte le parti della natura, anche nella flora c'è un rapporto aureo e non è passato inosservato. Il mondo vegetale è piuttosto vario, mutevole e mobile. Se il numero di specie minerali nella crosta terrestre è stimato a duemila, allora il numero di specie vegetali è di milioni. E che varietà di forme, tipi e colori! Sembrerebbe che non ci sia nulla in comune tra natura animata e inanimata, sono piuttosto agli antipodi che ai parenti. Ma non dimenticare che la fauna è nata dalla natura inanimata e, secondo le leggi dell'ereditarietà, doveva preservare alcune caratteristiche del suo capostipite.

Pace natura inanimataè, prima di tutto, un mondo di simmetria. Pertanto, la simmetria è stata ereditata anche dalla fauna selvatica. Basta guardare le piante e vedrai fiori e foglie rigorosamente simmetrici, molti frutti e persino le piante stesse con la loro disposizione simmetrica elicoidale delle foglie sullo stelo dello stelo.

Alla fine del secolo scorso, il botanico tedesco F. Ludwig scoprì che le curve che descrivono il numero di fiori marginali nei cesti di molte specie vegetali non sono lisce, ma spezzate, hanno un carattere multi-vertice e i massimi principali (modi) di queste curve corrispondono al numero di fiori 3, 5, 8, 13, 21, 34, cioè forma una serie di numeri di Fibonacci. Per ottenere dati sufficientemente affidabili, F. Ludwig ha esaminato 18.573 fiori. In una delle specie vegetali, si è scoperto che i massimi principali nel numero di fiori marginali cadono sui numeri 13, 21 e 34. Oltre ai massimi principali, si osservano picchi meno pronunciati sul diagramma multi-vertice a 26, 28 e 39 fiori.

La legge stabilita da Ludwig testimonia che il numero degli organi nelle piante non cambia continuamente, assumendo alcun valore, ma discretamente, a salti, preferendo un valore all'altro, e questi valori discreti sono i numeri di Fibonacci. I numeri di Fibonacci si manifestano particolarmente chiaramente nella disposizione delle foglie sui germogli.

Vi sono tutte le ragioni per affermare l'esistenza nelle piante di un certo tipo di variabilità nel numero e nella disposizione degli organi, che è matematicamente descritta da una serie di numeri di Fibonacci, "contenenti un algoritmo per un passo di discrezione che cambia regolarmente - un quanto di il numero di organi", come scrisse W. Schmidt. Le piante si sviluppano chiaramente "secondo Fibonacci", tendendo ad un certo limite, ad un'organizzazione armonica. Il rapporto dei numeri in due righe nel limite tende a valori di 0,618034 o 0,381966, cioè a parti di un tutto divise in due parti secondo la regola del rapporto aureo.

Ma non solo la disposizione delle foglie sul tronco delle piante è discreta, ma anche la crescita delle piante; le piante sono soggette alla quantizzazione interna della crescita. Qui si manifestano modelli ancora poco studiati dell'organizzazione temporale delle piante in via di sviluppo. Con immutato e favorevole condizioni esterne l'intensità della crescita cambia nel tempo: periodi di crescita intensiva sono sostituiti da periodi di relativo riposo, stabilità dello stato. Si può presumere che nella durata del periodo di crescita comparirà anche uno schema, che potrebbe essere correlato allo sviluppo di una serie di numeri di Fibonacci nel tempo. In effetti, nello sviluppo delle piante c'è un inizio e una fine, c'è una differenza qualitativa negli stadi di crescita, la sua direzione verso un certo stato finale.

Non sorprende che le leggi del rapporto aureo e dei numeri di Fibonacci siano così diffusi in natura da manifestarsi a vari livelli di sviluppo. Questi modelli sono i criteri per l'organizzazione armonica dei vari sistemi. Nella sezione aurea e nei numeri di Fibonacci - la chiave dell'armonia dei sistemi, la "chiave d'oro" che apre le porte al paese dell'armonia e della bellezza.

Conclusione.

L'idea di Pitagora di esprimere le leggi della natura sotto forma di rapporti di numeri, e per giunta di piccoli numeri, si rivelò sorprendentemente tenace e fruttuosa. Per molti secoli, scienziati di vari campi della conoscenza hanno cercato di esprimere modelli consolidati con formule semplici e relazioni numeriche.

Tuttavia, dopo uno studio approfondito, è emerso che la natura è sia semplice che complessa, che queste caratteristiche sono nell'unità e la ricerca della semplicità esprime solo il desiderio della scienza. Se ci pensiamo, è chiaro che le persone non possono creare modelli della natura complessi come la natura stessa. Il loro obiettivo è vedere il semplice nel complesso senza dimenticare la complessità del semplice.

La ricerca delle leggi generali della natura è ovviamente il campo di conoscenza più affascinante. In tali regolarità si manifesta l'unità della natura e l'unità delle scienze. L'idea di tale unità, riflessa nella presenza di relazioni quantitative e qualitative comuni, nell'esistenza di formule e numeri comuni, ha mantenuto la sua attualità da Pitagora ai giorni nostri.

Aristotele scrisse che tra i pitagorici "il numero è l'essenza di tutte le cose, e l'organizzazione dell'Universo nelle sue definizioni è generalmente un sistema armonico di numeri e delle loro relazioni". Dopo Alcmeone nel sistema dei Pitagorici "agisce come una chiave universale per spiegare il mondo".

Sono passati secoli e millenni da quando Pitagora, migliaia delle leggi e dei modelli più importanti furono scoperti e, come si è scoperto, molti di essi sono descritti da numeri interi e dalle loro relazioni.

Nel corso della sua esistenza, l'uomo ha imparato dalla natura nel suo lavoro. Viveva in armonia con lei. L'uomo di oggi è andato lontano dalla natura, ha perso il contatto con essa. L'“ambiente” da lui creato è un mondo di disarmonia, un mondo estraneo alla natura naturale dell'uomo.

Ma i tempi stanno cambiando. Le persone hanno iniziato a rendersi conto che prima o poi la natura andrà perduta per sempre, quindi tornano di nuovo alla natura e cercano l'armonia con essa, il che è inevitabile. La natura ha le sue leggi e i suoi modelli. E l'uomo è parte della natura, della sua creazione, quindi le obbedisce. Avendo raggiunto la precedente armonia con la natura, una persona arriverà a un nuovo round della spirale evolutiva dello sviluppo!

Tutto nel mondo è connesso in un unico inizio: nel movimento delle onde - il sonetto di Shakespeare, nella simmetria di un fiore - le fondamenta dell'universo, e nel canto degli uccelli - una sinfonia di pianeti. Natura nel suo sviluppo, ha lottato per l'organizzazione più armoniosa, il cui criterio è il rapporto aureo, che si manifesta a vari livelli: dalle combinazioni atomiche alla struttura dei corpi degli animali superiori.

Ci sono molte cose in natura che non possono essere comprese in modo sufficientemente profondo, né dimostrate in modo sufficientemente convincente, né utilizzate in pratica in modo sufficientemente abilmente e affidabile senza l'aiuto della matematica. F. Bacon La bellezza della scultura, la bellezza di un tempio, la bellezza dei dipinti, delle sinfonie, delle poesie... Che cosa hanno in comune? È possibile confrontare la bellezza del tempio con la bellezza del notturno? Si scopre che è possibile se si trovano criteri uniformi di bellezza, se si scoprono formule generali di bellezza che uniscono il concetto di bellezza degli oggetti più diversi - da un fiore di camomilla (non è bello?!) alla bellezza di un corpo umano nudo.

Tra le tante relazioni che le persone hanno usato a lungo nella creazione di opere armoniche, ce n'è una, l'unica e inimitabile, che ha proprietà uniche. Corrisponde a tale divisione del tutto in due parti, in cui il rapporto della parte maggiore con la minore è uguale al rapporto del tutto con la parte maggiore. Questa proporzione era chiamata in modo diverso: "d'oro", "divina". Le notizie più antiche a riguardo risalgono al periodo di massimo splendore della cultura antica. La sezione aurea è menzionata nelle opere dei grandi filosofi greci Pitagora, Platone, Euclide. Pitagora, Platone, Euclide

L'artista e ingegnere Leonardo da Vinci, che per tutta la vita studiò e lodò il rapporto aureo, la chiama "sezione aurea". Il nome Leonardo da Vinci è sopravvissuto fino ad oggi. Leonardo Da Vinci

Principi di modellazione nella natura Tutto ciò che ha acquisito una forma, si è formato, è cresciuto, ha cercato di prendere posto nello spazio e di preservarsi. Questa aspirazione trova adempimento principalmente in due varianti: crescita verso l'alto o diffusione sulla superficie della terra e torsione a spirale. Il guscio è attorcigliato a spirale. Se lo apri, ottieni una lunghezza leggermente inferiore alla lunghezza del serpente. Una piccola conchiglia di dieci centimetri ha una spirale lunga 35 cm Le spirali sono molto comuni in natura. Il concetto del rapporto aureo sarà incompleto, se non quello della spirale.

Spirale di Archimede La forma di un guscio arricciato a spirale attirò l'attenzione di Archimede. Lo studiò e dedusse l'equazione della spirale. La spirale disegnata secondo questa equazione è chiamata con il suo nome. L'aumento del passo è sempre uniforme. Attualmente, la spirale di Archimede è ampiamente utilizzata in ingegneria.

Anche Goethe ha sottolineato la tendenza della natura alla spiralità. La disposizione a spirale e a spirale delle foglie sui rami degli alberi è stata notata molto tempo fa. La spirale è stata vista nella disposizione dei semi di girasole, nelle pigne, negli ananas, nei cactus, ecc. Il lavoro congiunto di botanici e matematici ha fatto luce su questi incredibili fenomeni naturali. Si è scoperto che nella disposizione delle foglie su un ramo (fillotassi), semi di girasole, pigne, si manifesta la serie di Fibonacci e, quindi, si manifesta la legge della sezione aurea. Il ragno tesse la sua tela a spirale. Un uragano è a spirale. Un branco di renne spaventato si disperde in una spirale. La molecola del DNA è attorcigliata in una doppia elica. Goethe definì la spirale "la curva della vita".

Tra le erbe lungo la strada cresce una pianta insignificante: la cicoria. Diamo un'occhiata più da vicino. Dal fusto principale si formava un ramo. Ecco la prima foglia. Il processo fa una forte espulsione nello spazio, si ferma, rilascia una foglia, ma è più breve della prima, fa di nuovo un'espulsione nello spazio, ma con meno forza, rilascia una foglia ancora più piccola ed espelle di nuovo. Se il primo valore anomalo viene preso come 100 unità, il secondo è pari a 62 unità, il terzo è 38, il quarto è 24 e così via. Anche la lunghezza dei petali è soggetta al rapporto aureo. Nella crescita, nella conquista dello spazio, la pianta mantenne determinate proporzioni. I suoi impulsi di crescita sono gradualmente diminuiti in proporzione al rapporto aureo.

L'interesse dell'uomo per la natura ha portato alla scoperta delle sue leggi fisiche e matematiche. La bellezza delle forme naturali nasce dall'interazione di due forze fisiche: gravità e inerzia. Il rapporto aureo è un simbolo matematico di questa interazione, in quanto esprime i principali punti di crescita vibrante: la rapida crescita dei giovani germogli è sostituita da una crescita lenta "per inerzia" fino al momento della fioritura. Considerando la disposizione delle foglie sul fusto comune di molte piante, si può notare che tra ogni due paia di foglie, la terza si trova al posto della sezione aurea. Il punto C divide il segmento AB nella sezione aurea, il punto E divide il segmento DA nella sezione aurea e così via. La spirale d'oro può essere vista anche nelle creature della natura.

Considera la disposizione dei semi in un cesto di girasole. Si allineano lungo spirali che si attorcigliano sia da sinistra a destra che da destra a sinistra. Il girasole medio ha 13 spirali attorcigliate in una direzione, 21 nell'altra Il rapporto 13/21 è pari a j. Nelle infiorescenze di girasole più grandi, il numero di spirali corrispondenti è maggiore, ma anche il rapporto tra il numero di spirali che si attorcigliano in direzioni diverse è uguale al numero j.

Una disposizione a spirale simile si vede nelle scaglie di pigna o nelle cellule di ananas. I gusci di molte lumache e molluschi sono piegati lungo una spirale dorata, alcuni ragni, tessendo una ragnatela, attorcigliano i fili attorno al centro lungo spirali dorate. Le corna di Argali si attorcigliano in spirali dorate.

Da tutto quanto detto si possono trarre delle conclusioni: in primo luogo, il rapporto aureo è uno dei principali principi fondamentali della natura; in secondo luogo, l'idea umana di bellezza è chiaramente formata sotto l'influenza dell'ordine e dell'armonia che una persona vede nella natura.

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