Granja teorema que demostró ruso. Investigación básica. Los laureles de Fermat fueron para los japoneses

No hay muchas personas en el mundo que nunca hayan oído hablar de El último teorema de Fermat- quizás este es el único problema matemático que ha recibido tanta popularidad y se ha convertido en una verdadera leyenda. Se menciona en muchos libros y películas, mientras que el contexto principal de casi todas las menciones es imposibilidad de demostrar un teorema.

Sí, este teorema es muy famoso y en cierto sentido se ha convertido en un “ídolo” adorado por matemáticos aficionados y profesionales, pero pocas personas saben que se encontró su demostración, y esto sucedió en 1995. Pero primero lo primero.

Entonces, el último teorema de Fermat (a menudo denominado último teorema de Fermat), formulado en 1637 por un brillante matemático francés Pedro Fermat, es muy simple en su esencia y comprensible para cualquier persona con educación secundaria. Dice que la fórmula an + bn \u003d cn no tiene soluciones naturales (es decir, no fraccionarias) para n > 2. Todo parece ser simple y claro, pero los mejores matemáticos y los aficionados simples han estado luchando para encontrar una solución. durante más de tres siglos y medio.

El mismo Fermat afirmó haber obtenido una prueba muy simple y concisa de su teoría, pero hasta el momento no se ha encontrado evidencia documental de este hecho. Por lo tanto, ahora se cree que Fermat nunca pudo encontrar una solución general a su teorema., aunque escribió una prueba parcial para n = 4.

Después de Fermat, grandes mentes como leonard euler(en 1770 propuso una solución para n = 3), Adrien Legendre y Johann Dirichlet(estos científicos encontraron evidencia conjunta de n = 5 en 1825), gabriel cojo(que encontró una prueba para n = 7) y muchos otros. A mediados de los años 80 del siglo pasado, quedó claro que el mundo científico estaba en camino a una solución final.

último teorema de Fermat, pero no fue hasta 1993 que los matemáticos vieron y creyeron que la saga de tres siglos para encontrar una prueba del último teorema de Fermat casi había terminado.

En 1993, un matemático inglés Andrés Wiles presentado al mundo demostración del último teorema de Fermat que ha estado en proceso durante más de siete años. Pero resultó que esta decisión contiene un grave error, aunque en general es cierto. Wiles no se dio por vencido, pidió la ayuda de un conocido especialista en teoría de números, Richard Taylor, y ya en 1994 publicaron una prueba corregida y complementada del teorema. Lo más sorprendente es que este trabajo ocupó hasta 130 (!) páginas en la revista matemática Annals of Mathematics. Pero la historia tampoco terminó allí: el último punto se hizo solo en el año siguiente, 1995, cuando se publicó la versión final e "ideal", desde un punto de vista matemático, de la demostración.

Ha pasado mucho tiempo desde ese momento, pero aún existe una opinión en la sociedad sobre la irresolubilidad del Último Teorema de Fermat. Pero incluso aquellos que conocen la prueba encontrada continúan trabajando en esta dirección: ¡pocas personas están satisfechas de que el Gran Teorema requiera una solución de 130 páginas! Por lo tanto, ahora las fuerzas de tantos matemáticos (en su mayoría aficionados, no científicos profesionales) se lanzan en busca de una prueba simple y concisa, pero este camino, muy probablemente, no llevará a ninguna parte ...

Es poco probable que haya pasado al menos un año en la vida de nuestra oficina editorial sin que recibiera una buena docena de demostraciones del teorema de Fermat. Ahora, después de la "victoria" sobre él, el flujo se ha calmado, pero no se ha secado.

Eso sí, para no secarlo del todo, publicamos este artículo. Y no en mi propia defensa, que, dicen, por eso callamos, nosotros mismos aún no hemos madurado para discutir problemas tan complejos.

Pero si el artículo realmente parece complicado, mire el final de inmediato. Tendrá que sentir que las pasiones se han calmado temporalmente, la ciencia no ha terminado y pronto se enviarán nuevas pruebas de nuevos teoremas a los editores.

Parece que el siglo XX no fue en vano. Primero, la gente creó un segundo Sol por un momento al detonar una bomba de hidrógeno. Luego caminaron sobre la luna y finalmente probaron el notorio teorema de Fermat. De estos tres milagros, los dos primeros están en boca de todos, pues han tenido enormes consecuencias sociales. Por el contrario, el tercer milagro parece otro juguete científico, a la par de la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica y el teorema de Gödel sobre la incompletud de la aritmética. Sin embargo, la relatividad y los cuantos llevaron a los físicos a la bomba de hidrógeno, y la investigación de los matemáticos llenó nuestro mundo de computadoras. ¿Continuará esta serie de milagros en el siglo XXI? ¿Es posible rastrear la conexión entre los próximos juguetes científicos y las revoluciones en nuestra vida cotidiana? ¿Esta conexión nos permite hacer predicciones acertadas? Tratemos de entender esto usando el ejemplo del teorema de Fermat.

Notemos para empezar que ella nació mucho más tarde que su término natural. Después de todo, el primero caso especial El teorema de Fermat es la ecuación de Pitágoras X 2 + Y 2 = Z 2 que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Habiendo probado esta fórmula hace veinticinco siglos, Pitágoras se planteó inmediatamente la pregunta: ¿hay muchos triángulos en la naturaleza en los que tanto los catetos como la hipotenusa tengan una longitud entera? Parece que los egipcios solo conocían uno de esos triángulos: con lados (3, 4, 5). Pero no es difícil encontrar otras opciones: por ejemplo (5, 12, 13) , (7, 24, 25) o (8, 15, 17) . En todos estos casos, la longitud de la hipotenusa tiene la forma (A 2 + B 2), donde A y B son números coprimos de distinta paridad. En este caso, las longitudes de las piernas son iguales a (A 2 - B 2) y 2AB.

Al darse cuenta de estas relaciones, Pitágoras demostró fácilmente que cualquier triple de números (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) es una solución a la ecuación X 2 + Y 2 \u003d Z 2 y establece un rectángulo con longitudes de lado mutuamente simples. También se ve que el número de triples diferentes de este tipo es infinito. Pero, ¿todas las soluciones de la ecuación de Pitágoras tienen esta forma? Pitágoras no pudo probar o refutar tal hipótesis y dejó este problema para la posteridad sin llamar la atención sobre él. ¿Quién quiere resaltar sus fracasos? Parece que después de esto, el problema de los triángulos rectángulos enteros permaneció en el olvido durante siete siglos, hasta que apareció en Alejandría un nuevo genio matemático llamado Diofanto.

Sabemos poco sobre él, pero está claro que no se parecía en nada a Pitágoras. Se sentía como un rey en geometría e incluso más allá, ya sea en música, astronomía o política. La primera conexión aritmética entre las longitudes de los lados de un arpa armoniosa, el primer modelo del Universo a partir de esferas concéntricas que portan planetas y estrellas, con la Tierra en el centro, y finalmente, la primera república de científicos en la ciudad italiana de Crotone - estos son los logros personales de Pitágoras. ¿Qué podría oponer Diofanto a tales éxitos, un modesto investigador del gran Museo, que hace mucho que dejó de ser el orgullo de la multitud de la ciudad?

Sólo una cosa: una mejor comprensión del antiguo mundo de los números, cuyas leyes Pitágoras, Euclides y Arquímedes apenas tuvieron tiempo de palpar. Tenga en cuenta que Diofanto aún no poseía el sistema posicional de escribir números grandes, pero sabía lo que números negativos y probablemente pasó muchas horas pensando por qué el producto de dos números negativos es positivo. El mundo de los números enteros se le reveló por primera vez a Diofanto como un universo especial, diferente del mundo de las estrellas, los segmentos o los poliedros. La ocupación principal de los científicos en este mundo es resolver ecuaciones, un verdadero maestro encuentra todas las soluciones posibles y demuestra que no hay otras soluciones. Esto es lo que hizo Diofanto con la ecuación pitagórica cuadrática, y luego pensó: ¿al menos una solución tiene una ecuación cúbica similar X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diofanto no pudo encontrar tal solución; su intento de demostrar que no hay soluciones tampoco tuvo éxito. Por lo tanto, al elaborar los resultados de su trabajo en el libro "Aritmética" (fue el primer libro de texto del mundo sobre teoría de números), Diofanto analizó la ecuación de Pitágoras en detalle, pero no insinuó ni una palabra sobre las posibles generalizaciones de esta ecuación. Pero pudo: después de todo, ¡fue Diofanto quien primero propuso la notación para las potencias de los números enteros! Pero, por desgracia: el concepto de "libro de tareas" era ajeno a la ciencia y la pedagogía helénicas, y publicar listas de problemas sin resolver se consideraba una ocupación indecente (solo Sócrates actuó de manera diferente). Si no puedes resolver el problema, ¡cállate! Diofanto guardó silencio, y este silencio se prolongó durante catorce siglos, hasta el comienzo de la Nueva Era, cuando se revivió el interés por el proceso del pensamiento humano.

¡Quién no fantaseaba con nada a finales de los siglos XVI-XVII! El infatigable calculador Kepler trató de adivinar la conexión entre las distancias del Sol a los planetas. Pitágoras fracasó. El éxito de Kepler se produjo después de que aprendió a integrar polinomios y otras funciones simples. Al contrario, al soñador Descartes no le gustaban los cálculos largos, pero fue él quien primero presentó todos los puntos del plano o espacio como conjuntos de números. Este audaz modelo reduce cualquier problema geométrico sobre figuras a un problema algebraico sobre ecuaciones, y viceversa. Por ejemplo, las soluciones enteras de la ecuación de Pitágoras corresponden a puntos enteros en la superficie de un cono. La superficie correspondiente a la ecuación cúbica X 3 + Y 3 = Z 3 parece más complicada, sus propiedades geométricas no sugerían nada a Pierre Fermat, y tuvo que allanar nuevos caminos a través de la naturaleza de los números enteros.

En 1636, un libro de Diofanto, recién traducido al latín de un original griego, cayó en manos de un joven abogado de Toulouse, sobreviviendo accidentalmente en algún archivo bizantino y traído a Italia por uno de los fugitivos romanos en la época de los turcos. ruina. Al leer una elegante discusión sobre la ecuación de Pitágoras, Fermat pensó: ¿es posible encontrar tal solución, que consta de tres números cuadrados? No hay números pequeños de este tipo: es fácil verificar esto por enumeración. ¿Qué pasa con las grandes decisiones? Sin una computadora, Fermat no podría realizar un experimento numérico. Pero notó que para cada solución "grande" de la ecuación X 4 + Y 4 = Z 4, se puede construir una solución más pequeña. ¡Entonces la suma de las cuartas potencias de dos números enteros nunca es igual a la misma potencia del tercer número! ¿Qué pasa con la suma de dos cubos?

Inspirado por el éxito del grado 4, Fermat intentó modificar el "método de descenso" para el grado 3, y lo logró. Resultó que era imposible componer dos cubos pequeños a partir de esos cubos individuales en los que se desmoronaba un cubo grande con una longitud entera de arista. El triunfante Fermat hizo una breve nota en los márgenes del libro de Diofanto y envió una carta a París con un informe detallado de su descubrimiento. Pero no recibió una respuesta, aunque por lo general los matemáticos de la capital reaccionaron rápidamente ante el próximo éxito de su único colega-rival en Toulouse. ¿Qué pasa aquí?

Sencillamente: a mediados del siglo XVII, la aritmética había pasado de moda. Los grandes éxitos de los algebristas italianos del siglo XVI (cuando se resolvieron las ecuaciones polinómicas de grados 3 y 4) no se convirtieron en el comienzo de una revolución científica general, porque no permitieron resolver nuevos problemas brillantes en campos adyacentes de la ciencia. Ahora bien, si Kepler pudiera adivinar las órbitas de los planetas usando aritmética pura... Pero, por desgracia, esto requería un análisis matemático. Esto significa que debe desarrollarse, ¡hasta el triunfo completo de los métodos matemáticos en las ciencias naturales! Pero el análisis surge de la geometría, mientras que la aritmética sigue siendo un campo de juego para los abogados ociosos y otros amantes de la eterna ciencia de los números y las figuras.

Entonces, los aciertos aritméticos de Fermat resultaron ser inoportunos y no fueron apreciados. Esto no lo molestó: por la fama de matemático, los hechos del cálculo diferencial, la geometría analítica y la teoría de la probabilidad le fueron revelados por primera vez. Todos estos descubrimientos de Fermat entraron inmediatamente en el fondo dorado de la nueva ciencia europea, mientras que la teoría de los números se desvaneció en un segundo plano durante otros cien años, hasta que Euler la revivió.

Este "rey de los matemáticos" del siglo XVIII fue un campeón en todas las aplicaciones del análisis, pero tampoco descuidó la aritmética, ya que nuevos métodos de análisis condujeron a hechos inesperados sobre los números. ¿Quién hubiera pensado que la suma infinita de los inversos de los cuadrados (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) es igual a π 2 /6? ¿Quién entre los helenos podría haber previsto que series similares permitirían probar la irracionalidad del número π?

Tales éxitos obligaron a Euler a releer cuidadosamente los manuscritos sobrevivientes de Fermat (afortunadamente, el hijo del gran francés logró publicarlos). Es cierto que la prueba del "gran teorema" para el grado 3 no se ha conservado, pero Euler la restauró fácilmente simplemente señalando el "método de la descendencia", e inmediatamente trató de transferir este método al siguiente grado primo: 5.

¡No estaba allí! En el razonamiento de Euler aparecían números complejos que Fermat lograba pasar por alto (esa es la suerte habitual de los descubridores). Pero la factorización de enteros complejos es un asunto delicado. Incluso Euler no lo entendió completamente y dejó de lado el "problema de Fermat", con prisa por completar su trabajo principal: el libro de texto "Fundamentos del análisis", que se suponía ayudaría a cada joven talentoso a estar a la par con Leibniz y Euler. La publicación del libro de texto se completó en San Petersburgo en 1770. Pero Euler no volvió al teorema de Fermat, seguro de que todo lo que tocaran sus manos y su mente no sería olvidado por la nueva juventud científica.

Y así sucedió: el francés Adrien Legendre se convirtió en el sucesor de Euler en teoría de números. A fines del siglo XVIII, completó la demostración del teorema de Fermat para el grado 5 y, aunque fracasó en potencias primarias grandes, compiló otro libro de texto sobre teoría de números. ¡Que sus jóvenes lectores superen al autor como los lectores de los Principios matemáticos de la filosofía natural superaron al gran Newton! Legendre no fue rival para Newton o Euler, pero había dos genios entre sus lectores: Carl Gauss y Evariste Galois.

Tan alta concentración de genios fue facilitada por la Revolución Francesa, que proclamó el culto estatal a la Razón. Después de eso, todo científico talentoso se sintió como Colón o Alejandro Magno, capaz de descubrir o conquistar nuevo mundo. Muchos lo consiguieron, por eso en el siglo XIX el progreso científico y tecnológico se convirtió en el principal motor de la evolución de la humanidad, y todos los gobernantes sensatos (empezando por Napoleón) eran conscientes de ello.

Gauss tenía un carácter cercano a Colón. Pero él (como Newton) no supo cautivar la imaginación de gobernantes o estudiantes con hermosos discursos, y por lo tanto limitó sus ambiciones a la esfera de los conceptos científicos. Aquí podía hacer lo que quisiera. Por ejemplo, el antiguo problema de la trisección de un ángulo por alguna razón no se puede resolver con un compás y una regla. Con la ayuda de números complejos que representan puntos del plano, Gauss traduce este problema al lenguaje del álgebra y obtiene una teoría general de la viabilidad de ciertas construcciones geométricas. Así, al mismo tiempo, apareció una prueba rigurosa de la imposibilidad de construir un 7- o 9-ágono regular con un compás y una regla, y tal forma de construir un 17-ágono regular, que los geómetras más sabios de Hellas hicieron no soñar con.

Por supuesto, tal éxito no se da en vano: hay que inventar nuevos conceptos que reflejen la esencia del asunto. Newton introdujo tres conceptos de este tipo: flujo (derivado), fluido (integral) y serie de potencias. Fueron suficientes para crear el análisis matemático y el primer modelo científico del mundo físico, incluida la mecánica y la astronomía. Gauss también introdujo tres conceptos nuevos: espacio vectorial, campo y anillo. De ellos surgió una nueva álgebra, que subordinaba la aritmética griega y la teoría de las funciones numéricas creada por Newton. Quedaba por subordinar la lógica creada por Aristóteles al álgebra: ¡entonces sería posible probar la deducibilidad o no derivabilidad de cualquier enunciado científico a partir de este conjunto de axiomas con la ayuda de cálculos! Por ejemplo, ¿el teorema de Fermat se deriva de los axiomas de la aritmética, o el postulado de Euclides de las líneas paralelas se deriva de otros axiomas de la planimetría?

Gauss no tuvo tiempo de realizar este atrevido sueño, aunque avanzó mucho y adivinó la posibilidad de la existencia de álgebras exóticas (no conmutativas). Solo el atrevido ruso Nikolai Lobachevsky logró construir la primera geometría no euclidiana, y la primera álgebra no conmutativa (Teoría de grupos) fue manejada por el francés Evariste Galois. Y solo mucho después de la muerte de Gauss, en 1872, el joven alemán Felix Klein supuso que la variedad de geometrías posibles puede ponerse en correspondencia uno a uno con la variedad de álgebras posibles. En pocas palabras, cada geometría se define por su grupo de simetría, mientras que el álgebra general estudia todos los grupos posibles y sus propiedades.

Pero tal comprensión de la geometría y el álgebra llegó mucho más tarde, y el asalto al teorema de Fermat se reanudó durante la vida de Gauss. Él mismo descuidó el teorema de Fermat por el principio: ¡no es asunto del rey resolver problemas individuales que no encajan en una brillante teoría científica! Pero los estudiantes de Gauss, armados con su nueva álgebra y el análisis clásico de Newton y Euler, razonaron de manera diferente. Primero, Peter Dirichlet demostró el teorema de Fermat para el grado 7 usando el anillo de enteros complejos generados por las raíces de este grado de unidad. Luego, Ernst Kummer extendió el método de Dirichlet a TODOS los grados principales (!) - le pareció apresurado, y triunfó. Pero pronto surgió una reflexión: ¡la prueba se aprueba sin problemas solo si cada elemento del anillo se descompone de manera única en factores primos! Para los enteros ordinarios, Euclides ya conocía este hecho, pero solo Gauss dio su prueba rigurosa. Pero, ¿qué pasa con los números complejos enteros?

De acuerdo con el “principio del mayor daño”, ¡puede y DEBE ocurrir una factorización ambigua! Tan pronto como Kummer aprendió a calcular el grado de ambigüedad mediante métodos de análisis matemático, descubrió este sucio truco en el cuadrilátero del grado 23. Gauss no tuvo tiempo de aprender acerca de esta versión exótica del álgebra conmutativa, pero los estudiantes de Gauss desarrollaron una nueva hermosa Teoría de los Ideales en lugar de otro truco sucio. Es cierto que esto no ayudó mucho a resolver el problema de Fermat: solo se hizo más clara su complejidad natural.

A lo largo del siglo XIX, este antiguo ídolo exigió cada vez más sacrificios de sus admiradores en forma de nuevas teorías complejas. No es de extrañar que a principios del siglo XX, los creyentes se desanimaran y se rebelaran, rechazando a su antiguo ídolo. La palabra "fermatista" se ha convertido en un término peyorativo entre los matemáticos profesionales. Y aunque se asignó un premio considerable por la demostración completa del teorema de Fermat, sus solicitantes eran en su mayoría ignorantes seguros de sí mismos. Los matemáticos más fuertes de la época, Poincaré y Hilbert, evitaron desafiantemente este tema.

En 1900, Hilbert no incluyó el teorema de Fermat en la lista de veintitrés problemas principales que enfrenta la matemática del siglo XX. Es cierto que incluyó en su serie el problema general de la solución de las ecuaciones diofánticas. La pista era clara: ¡siga el ejemplo de Gauss y Galois, cree teorías generales de nuevos objetos matemáticos! Entonces, un buen día (pero no predecible de antemano), la vieja astilla se caerá sola.

Así actuó el gran romántico Henri Poincaré. Descuidando muchos problemas "eternos", toda su vida estudió las SIMETRÍAS de ciertos objetos de las matemáticas o la física: ya sea funciones de una variable compleja, o trayectorias de movimiento de cuerpos celestes, o curvas algebraicas o variedades suaves (estas son generalizaciones multidimensionales de formas curvas). líneas). El motivo de sus acciones fue simple: si dos objetos diferentes tienen simetrías similares, significa que existe una relación interna entre ellos, ¡que aún no somos capaces de comprender! Por ejemplo, cada una de las geometrías bidimensionales (Euclides, Lobachevsky o Riemann) tiene su propio grupo de simetría, que actúa sobre el plano. Pero los puntos del plano son números complejos: de esta manera la acción de cualquier grupo geométrico se traslada al vasto mundo de las funciones complejas. ¡Es posible y necesario estudiar la más simétrica de estas funciones: AUTOMORFA (que están sujetas al grupo de Euclides) y MODULAR (que están sujetas al grupo de Lobachevsky)!

También hay curvas elípticas en el plano. No tienen nada que ver con la elipse, sino que están dadas por ecuaciones de la forma Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX y por lo tanto se cruzan con cualquier línea recta en tres puntos. Este hecho nos permite introducir la multiplicación entre los puntos de una curva elíptica, para convertirla en un grupo. La estructura algebraica de este grupo refleja las propiedades geométricas de la curva; ¿tal vez esté determinada únicamente por su grupo? Vale la pena estudiar esta pregunta, ya que para algunas curvas el grupo que nos interesa resulta ser modular, es decir, está relacionado con la geometría de Lobachevsky ...

Así razonaba Poincaré, seduciendo a la juventud matemática de Europa, pero a principios del siglo XX estas tentaciones no conducían a teoremas ni hipótesis brillantes. Resultó diferente con la llamada de Hilbert: estudiar soluciones generales¡Ecuaciones diofánticas con coeficientes enteros! En 1922, el joven estadounidense Lewis Mordell conectó el conjunto de soluciones de tal ecuación (este es un espacio vectorial de cierta dimensión) con el género geométrico de la curva compleja que está dada por esta ecuación. Mordell llegó a la conclusión de que si el grado de la ecuación es lo suficientemente grande (más de dos), entonces la dimensión del espacio de solución se expresa en términos del género de la curva y, por lo tanto, esta dimensión es FINITA. Por el contrario - a la potencia de 2, la ecuación de Pitágoras tiene una familia de soluciones de DIMENSIONES INFINITAS.

Por supuesto, Mordell vio la conexión de su hipótesis con el teorema de Fermat. Si se llega a saber que para cada grado n > 2 el espacio de las soluciones enteras de la ecuación de Fermat es de dimensión finita, ¡esto ayudará a probar que tales soluciones no existen en absoluto! Pero Mordell no vio ninguna forma de probar su hipótesis, y aunque vivió una larga vida, no esperó la transformación de esta hipótesis en el teorema de Faltings. Esto sucedió en 1983, en una era completamente diferente, después de los grandes éxitos de la topología algebraica de variedades.

Poincaré creó esta ciencia como por accidente: quería saber qué son las variedades tridimensionales. ¡Después de todo, Riemann descubrió la estructura de todas las superficies cerradas y obtuvo una respuesta muy simple! Si no existe tal respuesta en un caso tridimensional o multidimensional, entonces debe crear un sistema de invariantes algebraicas de la variedad que determine su estructura geométrica. Es mejor si tales invariantes son elementos de algunos grupos, conmutativos o no conmutativos.

Por extraño que parezca, este audaz plan de Poincaré tuvo éxito: se llevó a cabo entre 1950 y 1970 gracias al esfuerzo de muchos geómetras y algebristas. Hasta 1950, hubo una acumulación silenciosa de varios métodos para clasificar variedades, y después de esta fecha, pareció haberse acumulado una masa crítica de personas e ideas y ocurrió una explosión, comparable a la invención del análisis matemático en el siglo XVII. Pero la revolución analítica duró un siglo y medio y abarcó las biografías creativas de cuatro generaciones de matemáticos, desde Newton y Leibniz hasta Fourier y Cauchy. Por el contrario, la revolución topológica del siglo XX se produjo dentro de veinte años, gracias a la gran cantidad de sus participantes. Al mismo tiempo, ha surgido una gran generación de jóvenes matemáticos seguros de sí mismos, que de repente se quedaron sin trabajo en su patria histórica.

En los años setenta se precipitaron hacia los campos adyacentes de las matemáticas y la física teórica. Muchos han creado sus propias escuelas científicas en decenas de universidades de Europa y América. Muchos estudiantes de diferentes edades y nacionalidades, con diferentes habilidades e inclinaciones, todavía circulan entre estos centros, y todos quieren ser famosos por algún descubrimiento. Fue en este pandemónium que finalmente se probaron la conjetura de Mordell y el teorema de Fermat.

Sin embargo, la primera golondrina, sin darse cuenta de su destino, creció en Japón en los años hambrientos y desempleados de la posguerra. El nombre de la golondrina era Yutaka Taniyama. En 1955, este héroe cumplió 28 años y decidió (junto con sus amigos Goro Shimura y Takauji Tamagawa) revivir la investigación matemática en Japón. ¿Dónde empezar? ¡Por supuesto, con la superación del aislamiento de los colegas extranjeros! Entonces, en 1955, tres jóvenes japoneses organizaron la primera conferencia internacional sobre álgebra y teoría de números en Tokio. Aparentemente era más fácil hacer esto en el Japón reeducado por los estadounidenses que en la Rusia congelada por Stalin...

Entre los invitados de honor se encontraban dos héroes de Francia: Andre Weil y Jean-Pierre Serre. Aquí los japoneses tuvieron mucha suerte: Weil era el líder reconocido de los algebristas franceses y miembro del grupo de Bourbaki, y el joven Serre desempeñó un papel similar entre los topólogos. En acaloradas discusiones con ellos, las cabezas de los jóvenes japoneses se rompieron, sus cerebros se derritieron, pero al final, cristalizaron tales ideas y planes que difícilmente podrían haber nacido en un entorno diferente.

Un día, Taniyama se acercó a Weil con una pregunta sobre curvas elípticas y funciones modulares. Al principio, el francés no entendió nada: Taniyama no era un maestro en hablar inglés. Entonces quedó clara la esencia del asunto, pero Taniyama no logró dar a sus esperanzas una formulación exacta. Todo lo que Weil pudo responder al joven japonés fue que si tenía mucha suerte en términos de inspiración, algo sensato surgiría de sus vagas hipótesis. ¡Pero mientras la esperanza sea débil!

Obviamente, Weil no notó el fuego celestial en la mirada de Taniyama. Y hubo fuego: ¡parece que por un momento el indomable pensamiento del difunto Poincaré se trasladó al japonés! Taniyama llegó a creer que cada curva elíptica es generada por funciones modulares; más precisamente, está "uniformizada por una forma modular". Por desgracia, esta redacción exacta nació mucho más tarde, en las conversaciones de Taniyama con su amigo Shimura. Y luego Taniyama se suicidó en un ataque de depresión... Su hipótesis se quedó sin dueño: no estaba claro cómo probarla ni dónde probarla, y por eso nadie la tomó en serio durante mucho tiempo. La primera respuesta llegó solo treinta años después, ¡casi como en la era de Fermat!

El hielo se rompió en 1983, cuando el alemán Gerd Faltings, de veintisiete años, anunció al mundo entero: ¡la conjetura de Mordell había sido probada! Los matemáticos estaban en guardia, pero Faltings era un verdadero alemán: no había lagunas en su larga y complicada prueba. Es solo que ha llegado el momento, se han acumulado hechos y conceptos, y ahora un algebrista talentoso, basándose en los resultados de otros diez algebristas, ha logrado resolver un problema que ha estado esperando al maestro durante sesenta años. Esto no es raro en las matemáticas del siglo XX. Vale la pena recordar el problema del continuo secular en teoría de conjuntos, las dos conjeturas de Burnside en teoría de grupos o la conjetura de Poincaré en topología. Finalmente, en teoría de números, ha llegado el momento de cosechar las viejas cosechas... ¿Qué trompo será el próximo en una serie de matemáticos conquistados? ¿Se derrumbarán el problema de Euler, la hipótesis de Riemann o el teorema de Fermat? ¡Es bueno!

Y ahora, dos años después de la revelación de Faltings, apareció en Alemania otro matemático inspirado. Su nombre era Gerhard Frey, y afirmó algo extraño: ¡que el teorema de Fermat se DERIVA de la conjetura de Taniyama! Desafortunadamente, el estilo de Frey de expresar sus pensamientos recordaba más al desafortunado Taniyama que a su claro compatriota Faltings. En Alemania, nadie entendió a Frey, y se fue al extranjero, a la gloriosa ciudad de Princeton, donde, después de Einstein, se acostumbraron a no recibir tales visitantes. No es de extrañar que Barry Mazur, un topólogo versátil, uno de los héroes del reciente asalto a las variedades uniformes, hiciera su nido allí. Y un estudiante creció junto a Mazur: Ken Ribet, igualmente experimentado en las complejidades de la topología y el álgebra, pero aún sin glorificarse a sí mismo de ninguna manera.

Cuando escuchó por primera vez los discursos de Frey, Ribet decidió que esto era una tontería y casi ciencia ficción (probablemente, Weil reaccionó de la misma manera ante las revelaciones de Taniyama). Pero Ribet no podía olvidar esta "fantasía" ya veces volvía a ella mentalmente. Seis meses después, Ribet creía que había algo sensato en las fantasías de Frey, y un año después decidió que él mismo casi podía probar la extraña hipótesis de Frey. Pero quedaron algunos "agujeros", y Ribet decidió confesarse con su jefe Mazur. Escuchó atentamente al alumno y con calma respondió: “¡Sí, lo has hecho todo! Aquí debe aplicar la transformación Ф, aquí: use Lemmas B y K, ¡y todo tomará una forma impecable! Entonces Ribet dio un salto de la oscuridad a la inmortalidad, usando una catapulta en la persona de Frey y Mazur. Para ser justos, todos ellos, junto con el difunto Taniyama, deberían considerarse pruebas del último teorema de Fermat.

Pero aquí está el problema: derivaron su declaración de la hipótesis de Taniyama, ¡que en sí misma no ha sido probada! ¿Y si ella es infiel? Los matemáticos saben desde hace mucho tiempo que "todo se sigue de una mentira", si la conjetura de Taniyama es incorrecta, ¡entonces el razonamiento impecable de Ribet es inútil! Necesitamos probar (o refutar) urgentemente la conjetura de Taniyama; de lo contrario, alguien como Faltings probará el teorema de Fermat de una manera diferente. ¡Se convertirá en un héroe!

Es poco probable que alguna vez sepamos cuántos algebristas jóvenes o experimentados se lanzaron al teorema de Fermat después del éxito de Faltings o después de la victoria de Ribet en 1986. Todos ellos intentaron trabajar en secreto, para que, en caso de fracaso, no fueran clasificados entre la comunidad de "tontos"-fermatistas. Se sabe que el más exitoso de todos, Andrew Wiles de Cambridge, sintió el sabor de la victoria solo a principios de 1993. Esto no complació tanto como asustó a Wiles: ¿y si su prueba de la conjetura de Taniyama mostrara un error o una brecha? ¡Entonces su reputación científica pereció! Es necesario escribir cuidadosamente la prueba (¡pero serán muchas docenas de páginas!) Y posponerla durante seis meses o un año, para que luego pueda volver a leerla a sangre fría y meticulosamente ... Pero qué si alguien publica su prueba durante este tiempo? Ay problemas...

Sin embargo, a Wiles se le ocurrió una forma doble de probar rápidamente su prueba. Primero, debe confiar en uno de sus amigos y colegas confiables y contarle todo el curso del razonamiento. Desde el exterior, ¡todos los errores son más visibles! En segundo lugar, es necesario leer un curso especial sobre este tema para estudiantes inteligentes y estudiantes graduados: ¡estas personas inteligentes no se perderán el error de un solo profesor! Simplemente no les diga el objetivo final del curso hasta el último momento; de lo contrario, ¡todo el mundo lo sabrá! Y, por supuesto, debe buscar esa audiencia fuera de Cambridge; es mejor ni siquiera en Inglaterra, sino en Estados Unidos ... ¿Qué podría ser mejor que el lejano Princeton?

Wiles fue allí en la primavera de 1993. Su paciente amigo Niklas Katz, después de escuchar el largo informe de Wiles, encontró una serie de lagunas en él, pero todas se corrigieron fácilmente. Pero los estudiantes de posgrado de Princeton pronto huyeron del curso especial de Wiles, no queriendo seguir el pensamiento caprichoso del profesor, quien los lleva a nadie sabe dónde. Después de una revisión tan (no particularmente profunda) de su trabajo, Wiles decidió que era hora de revelar un gran milagro al mundo.

En junio de 1993, se llevó a cabo otra conferencia en Cambridge, dedicada a la "teoría de Iwasawa", una sección popular de la teoría de números. Wiles decidió contar su prueba de la conjetura de Taniyama, sin anunciar el resultado principal hasta el final. El informe se prolongó durante mucho tiempo, pero con éxito, los periodistas comenzaron a llegar gradualmente, quienes sintieron algo. Finalmente, retumbó el trueno: ¡el teorema de Fermat está probado! El regocijo general no se vio ensombrecido por ninguna duda: todo parece estar claro... Pero dos meses después, Katz, después de leer el texto final de Wiles, notó otro vacío en él. Cierta transición en el razonamiento se basó en el "sistema de Euler", ¡pero lo que construyó Wiles no fue tal sistema!

Wiles revisó el cuello de botella y se dio cuenta de que estaba equivocado aquí. Peor aún: ¡no está claro cómo reemplazar el razonamiento erróneo! A esto le siguieron los meses más oscuros de la vida de Wiles. Previamente, sintetizó libremente una prueba sin precedentes a partir del material disponible. Ahora está atado a una tarea estrecha y clara, sin la certeza de que tiene una solución y que podrá encontrarla en un futuro previsible. Recientemente, Frey no pudo resistir la misma lucha, y ahora su nombre quedó oscurecido por el nombre del afortunado Ribet, aunque la suposición de Frey resultó ser correcta. ¿Y qué pasará con MI conjetura y MI nombre?

Este duro trabajo duró exactamente un año. En septiembre de 1994, Wiles estaba listo para admitir la derrota y dejar la hipótesis de Taniyama a sucesores más afortunados. Habiendo tomado tal decisión, comenzó a releer lentamente su prueba, de principio a fin, escuchando el ritmo del razonamiento, volviendo a experimentar el placer de los descubrimientos exitosos. Habiendo llegado al lugar "maldito", Wiles, sin embargo, no escuchó mentalmente una nota falsa. ¿Seguía siendo impecable el curso de su razonamiento, y el error se presentaba sólo en la descripción VERBAL de la imagen mental? Si no hay un "sistema de Euler" aquí, ¿qué se esconde aquí?

De repente, se me ocurrió un simple pensamiento: el "sistema de Euler" no funciona donde se aplica la teoría de Iwasawa. ¿Por qué no aplicar esta teoría directamente, afortunadamente, es cercana y familiar para el propio Wiles? ¿Y por qué no intentó este enfoque desde el principio, sino que se dejó llevar por la visión del problema de otra persona? Wiles ya no podía recordar estos detalles, y se volvió inútil. Llevó a cabo el razonamiento necesario en el marco de la teoría de Iwasawa, ¡y todo resultó en media hora! Así, con un retraso de un año, se cerró la última brecha en la demostración de la conjetura de Taniyama. El texto final quedó a merced de un grupo de revisores de la revista matemática más famosa, un año después declararon que ahora no hay errores. Así, en 1995, la última conjetura de Fermat murió a la edad de trescientos sesenta años, convirtiéndose en un teorema probado que inevitablemente entrará en los libros de texto de teoría de números.

Resumiendo el alboroto de tres siglos en torno al teorema de Fermat, tenemos que sacar una conclusión extraña: ¡esta epopeya heroica no podría haber sucedido! De hecho, el teorema de Pitágoras expresa una conexión simple e importante entre la objetos naturales- la longitud de los segmentos. Pero no se puede decir lo mismo del Teorema de Fermat. Parece más una superestructura cultural sobre un sustrato científico, como un logro. Polo Norte Tierra o vuelo a la luna. Recordemos que estas dos hazañas fueron cantadas por escritores mucho antes de que se cumplieran: en la antigüedad, después de la aparición de los "Elementos" de Euclides, pero antes de la aparición de la "Aritmética" de Diofanto. Entonces, había una necesidad pública de hazañas intelectuales de este tipo, ¡al menos imaginarias! Anteriormente, los helenos estaban hartos de los poemas de Homero, al igual que cien años antes de Fermat, los franceses estaban hartos de las pasiones religiosas. Pero luego las pasiones religiosas disminuyeron, y la ciencia se puso a su lado.

En Rusia, tales procesos comenzaron hace ciento cincuenta años, cuando Turgenev puso a Yevgeny Bazarov a la par con Yevgeny Onegin. Es cierto que el escritor Turgenev entendió mal los motivos de las acciones del científico Bazarov y no se atrevió a cantarlos, pero pronto lo hicieron el científico Ivan Sechenov y el ilustrado periodista Jules Verne. Una revolución científica y tecnológica espontánea necesita un caparazón cultural para penetrar en la mente de la mayoría de las personas, y aquí viene primero la ciencia ficción y luego la literatura científica popular (incluida la revista "El conocimiento es poder").

Al mismo tiempo, un tema científico específico no es importante para el público en general y no es muy importante incluso para los héroes-intérpretes. Entonces, después de haber escuchado sobre el logro del Polo Norte por parte de Peary y Cook, Amundsen cambió instantáneamente el objetivo de su expedición ya preparada, y pronto llegó al Polo Sur, un mes antes que Scott. Más tarde, la exitosa circunnavegación de la Tierra de Yuri Gagarin obligó al presidente Kennedy a cambiar el objetivo anterior del programa espacial estadounidense por uno más costoso pero mucho más impresionante: llevar hombres a la luna.

Incluso antes, el perspicaz Hilbert respondió a la ingenua pregunta de los estudiantes: "¿La solución de qué problema científico sería más útil ahora"? - respondió con una broma: "¡Atrapa una mosca en el otro lado de la luna!" A la pregunta perpleja: “¿Por qué es esto necesario?” - seguido de una respuesta clara: “¡Nadie necesita ESTO! Pero piense en los métodos científicos y los medios técnicos que tendremos que desarrollar para resolver tal problema, ¡y cuántos otros hermosos problemas resolveremos en el camino!

Esto es exactamente lo que sucedió con el Teorema de Fermat. Euler bien podría haberlo pasado por alto.

En este caso, algún otro problema se convertiría en el ídolo de los matemáticos, quizás también de la teoría de números. Por ejemplo, el problema de Eratóstenes: ¿existe un conjunto finito o infinito de primos gemelos (como 11 y 13, 17 y 19, etc.)? O el problema de Euler: ¿todo número par es la suma de dos números primos? O: ¿existe una relación algebraica entre los números π y e? Estos tres problemas aún no han sido resueltos, aunque en el siglo XX los matemáticos se han acercado a comprender su esencia. Pero este siglo también dio lugar a muchos problemas nuevos, no menos interesantes, especialmente en la intersección de las matemáticas con la física y otras ramas de las ciencias naturales.

Ya en 1900, Hilbert destacó uno de ellos: ¡crear un sistema completo de axiomas de física matemática! Cien años después, este problema está lejos de resolverse, aunque solo sea porque el arsenal de medios matemáticos de la física crece constantemente, y no todos ellos tienen una justificación rigurosa. Pero después de 1970, la física teórica se dividió en dos ramas. Uno (clásico) desde la época de Newton ha estado modelando y prediciendo procesos ESTABLES, el otro (recién nacido) está tratando de formalizar la interacción de los procesos INESTABLES y las formas de controlarlos. Es claro que estas dos ramas de la física deben ser axiomatizadas por separado.

El primero de ellos probablemente será tratado dentro de veinte o cincuenta años...

¿Y qué le falta a la segunda rama de la física, la que está a cargo de todo tipo de evolución (incluidos los fractales extravagantes y los atractores extraños, la ecología de las biocenosis y la teoría de la pasión de Gumilyov)? Esto es poco probable que lo entendamos pronto. Pero la adoración de los científicos al nuevo ídolo ya se ha convertido en un fenómeno de masas. Probablemente, aquí se desarrollará una epopeya, comparable a la biografía de tres siglos del teorema de Fermat. Así, en la intersección de diferentes ciencias, nacen nuevos ídolos, similares a los religiosos, pero más complejos y dinámicos...

Aparentemente, una persona no puede seguir siendo una persona sin derribar los viejos ídolos de vez en cuando y sin crear otros nuevos, ¡con dolor y con alegría! Pierre Fermat tuvo la suerte de estar en un fatídico momento cerca de punto caliente el nacimiento de un nuevo ídolo - y logró dejar una huella de su personalidad en el recién nacido. Uno puede envidiar tal destino, y no es pecado imitarlo.

Serguéi Smirnov
"El conocimiento es poder"

Hace muchos años, recibí una carta de Tashkent de Valery Muratov, a juzgar por la letra, un hombre de edad joven, que entonces vivía en la calle Kommunisticheskaya en la casa número 31. El chico estaba decidido: "Directamente al grano. ¿Cuánto ¿me pagarás por probar el teorema de Fermat? conviene al menos 500 rublos. En otro momento, te lo habría demostrado gratis, pero ahora necesito dinero ... "

Una paradoja sorprendente: pocas personas saben quién es Fermat, cuándo vivió y qué hizo. Más menos gente puede incluso en la mayoría en términos generales describir su gran teorema. Pero todo el mundo sabe que existe una especie de teorema de Fermat, por cuya prueba los matemáticos de todo el mundo han estado luchando durante más de 300 años, ¡pero no pueden demostrarlo!

Hay muchas personas ambiciosas, y la misma conciencia de que hay algo que otros no pueden hacer, estimula aún más su ambición. Por lo tanto, miles (!) de pruebas del Gran Teorema han llegado y llegado a academias, institutos científicos e incluso oficinas editoriales de periódicos de todo el mundo, un récord sin precedentes y nunca superado de desempeño amateur pseudocientífico. Incluso existe un término: "fermatistas", es decir, personas obsesionadas con el deseo de demostrar el Gran Teorema, que agotan por completo a los matemáticos profesionales con exigencias para evaluar su trabajo. El famoso matemático alemán Edmund Landau incluso preparó un estándar, según el cual respondió: "Hay un error en la página en su prueba del teorema de Fermat ...", y sus estudiantes graduados anotaron el número de página. Y en el verano de 1994, los periódicos de todo el mundo informan de algo completamente sensacional: ¡Se demuestra el Gran Teorema!

Entonces, ¿quién es Fermat, cuál es la esencia del problema y realmente se ha resuelto? Pierre Fermat nació en 1601 en la familia de un curtidor, un hombre rico y respetado, se desempeñó como segundo cónsul en su ciudad natal de Beaumont, esto es algo así como un asistente del alcalde. Pierre estudió primero con los monjes franciscanos, luego en la Facultad de Derecho de Toulouse, donde luego ejerció la abogacía. Sin embargo, la gama de intereses de Fermat iba mucho más allá de la jurisprudencia. Se interesó especialmente por la filología clásica, son conocidos sus comentarios sobre los textos de autores antiguos. Y la segunda pasión son las matemáticas.

En el siglo XVII, como, de hecho, durante muchos años después, no existía tal profesión: la de matemático. Por lo tanto, todos los grandes matemáticos de esa época eran matemáticos "a tiempo parcial": René Descartes sirvió en el ejército, Francois Viet era abogado, Francesco Cavalieri era monje. revistas científicas luego no lo fue, y el clásico de la ciencia Pierre Fermat no publicó un solo trabajo científico en vida. Había un círculo bastante estrecho de "aficionados" que resolvían varios problemas interesantes para ellos y se escribían cartas sobre esto, a veces discutiendo (como Fermat con Descartes), pero, básicamente, seguían siendo de ideas afines. Se convirtieron en los fundadores de las nuevas matemáticas, los sembradores de semillas brillantes, de las cuales el poderoso árbol del conocimiento matemático moderno comenzó a crecer, ganando fuerza y ​​ramificación.

Entonces, Fermat era el mismo "aficionado". En Toulouse, donde vivió durante 34 años, todos lo conocían, en primer lugar, como asesor de la Cámara de Instrucción y abogado experimentado. A los 30 años se casó, tuvo tres hijos y dos hijas, a veces realizó viajes de negocios, y durante uno de ellos murió repentinamente a los 63 años. ¡Todo! La vida de este hombre, contemporáneo de los Tres Mosqueteros, es sorprendentemente tranquila y carente de aventuras. Las aventuras cayeron en la parte de su Gran Teorema. No hablaremos de toda la herencia matemática de Fermat, y es difícil hablar de él de manera popular. Créanme: este legado es grande y variado. La afirmación de que el Gran Teorema es el pináculo de su trabajo es muy discutible. Es solo que el destino del Gran Teorema es sorprendentemente interesante, y el vasto mundo de personas no iniciadas en los misterios de las matemáticas siempre ha estado interesado no en el teorema en sí, sino en todo lo que lo rodea...

Las raíces de toda esta historia hay que buscarlas en la antigüedad, tan querida por Fermat. Aproximadamente en el siglo III, vivía en Alejandría el matemático griego Diofanto, un científico que pensaba de forma original, pensando fuera de la caja y expresando sus pensamientos fuera de la caja. De los 13 volúmenes de su Aritmética, sólo nos han llegado 6. Justo cuando Fermat tenía 20 años, salió una nueva traducción de sus obras. Fermat quería mucho a Diofanto, y estos escritos fueron su libro de referencia. En sus campos, Fermat escribió su Gran Teorema, que en su forma moderna más simple se ve así: la ecuación Xn + Yn = Zn no tiene solución en números enteros para n - más de 2. (Para n = 2, la solución es obvia : Z2 + 42 = 52 ). En el mismo lugar, en los márgenes del volumen diofántico, Fermat añade: "Descubrí esta prueba verdaderamente maravillosa, pero estos márgenes son demasiado estrechos para él".

A primera vista, la cosita es simple, pero cuando otros matemáticos comenzaron a demostrar este teorema "simple", nadie lo logró durante cien años. Finalmente, el gran Leonhard Euler lo demostró para n = 4, luego, después de 20 (!) años, para n = 3. Y nuevamente el trabajo se estancó durante muchos años. La siguiente victoria pertenece al alemán Peter Dirichlet (1805-1859) y al francés Andrien Legendre (1752-1833), quienes admitieron que Fermat tenía razón en n = 5. Luego el francés Gabriel Lamet (1795-1870) hizo lo mismo para n = 7. Finalmente, a mediados del siglo pasado, el alemán Ernst Kummer (1810-1893) demostró el Gran Teorema para todos los valores de n menores o iguales a 100. Además, lo demostró utilizando métodos que podían no ser conocido por Fermat, lo que reforzó aún más el velo de misterio en torno al Gran Teorema.

Por lo tanto, resultó que estaban demostrando el teorema de Fermat "pieza por pieza", pero nadie fue capaz de "completamente". Los nuevos intentos de demostración solo condujeron a un aumento cuantitativo en los valores de n. Todos entendieron que, después de haber gastado un abismo de trabajo, era posible demostrar el Gran Teorema para un número n arbitrariamente grande, pero Fermat habló sobre cualquier valor. de ella mayor que 2! En esta diferencia entre "arbitrariamente grande" y "cualquiera" se concentraba todo el sentido del problema.

Sin embargo, cabe señalar que los intentos de probar el teorema de Fermg no fueron solo una especie de juego matemático, la solución de un acertijo complejo. En el curso de estas demostraciones, se abrieron nuevos horizontes matemáticos, surgieron y resolvieron problemas, que se convirtieron en nuevas ramas del árbol matemático. El gran matemático alemán David Hilbert (1862-1943) citó el Gran Teorema como un ejemplo de "el efecto estimulante que un problema especial y aparentemente insignificante puede tener en la ciencia". El mismo Kummer, trabajando en el teorema de Fermat, demostró teoremas que formaron la base de la teoría de números, el álgebra y la teoría de funciones. Así que probar el Gran Teorema no es un deporte, sino una ciencia real.

Pasó el tiempo y la electrónica acudió en ayuda de los "fsrmatnts" profesionales. No se pudieron inventar cerebros electrónicos de nuevos métodos, pero tomaron velocidad. A principios de los años 80, se demostró el teorema de Fermat con la ayuda de una computadora para n menor o igual a 5500. Poco a poco, esta cifra creció hasta 100.000, pero todos entendieron que tal "acumulación" era una cuestión de pura tecnología, dando nada a la mente o al corazón. No pudieron tomar la fortaleza del Gran Teorema "de frente" y comenzaron a buscar maniobras indirectas.

A mediados de la década de 1980, el joven matemático G. Filettings demostró la llamada "conjetura de Mordell", que, por cierto, también fue "inalcanzable" por cualquiera de los matemáticos durante 61 años. Surgió la esperanza de que ahora, por así decirlo, "atacando por el flanco", también se pudiera resolver el teorema de Fermat. Sin embargo, nada sucedió entonces. En 1986, el matemático alemán Gerhard Frei propuso un nuevo método de prueba en Essesche. No me comprometo a explicarlo estrictamente, pero no en lenguaje matemático, sino en lenguaje humano en general, suena más o menos así: si nos aseguramos de que la prueba de algún otro teorema es una prueba indirecta, de alguna manera transformada del teorema de Fermat , entonces, por lo tanto, probaremos el Gran Teorema. Un año después, el estadounidense Kenneth Ribet de Berkeley demostró que Frey tenía razón y, efectivamente, una prueba se podía reducir a otra. Muchos matemáticos han seguido este camino. diferentes paises paz. Hemos hecho mucho para probar el Gran Teorema de Viktor Aleksandrovich Kolyvanov. Los muros de trescientos años de antigüedad de la fortaleza inexpugnable temblaron. Los matemáticos se dieron cuenta de que no duraría mucho.

En el verano de 1993, en la antigua Cambridge, en el Instituto de Ciencias Matemáticas Isaac Newton, 75 de los matemáticos más destacados del mundo se reunieron para discutir sus problemas. Entre ellos estaba el profesor estadounidense Andrew Wiles de la Universidad de Princeton, un destacado especialista en teoría de números. Todos sabían que había estado trabajando en el Gran Teorema durante muchos años. Wiles hizo tres presentaciones, y en la última, el 23 de junio de 1993, al final, apartándose de la pizarra, dijo con una sonrisa:

Supongo que no continuaré...

Al principio hubo un silencio sepulcral, luego una ronda de aplausos. Los que estaban sentados en la sala estaban lo suficientemente calificados para entender: ¡El último teorema de Fermat está probado! En cualquier caso, ninguno de los presentes encontró errores en la prueba anterior. El director asociado del Instituto Newton, Peter Goddard, dijo a los periodistas:

“La mayoría de los expertos no pensaron que lo averiguarían por el resto de sus vidas. Este es uno de los mayores logros de las matemáticas de nuestro siglo...

Han pasado varios meses, no hubo comentarios ni negaciones. Es cierto que Wiles no publicó su prueba, sino que solo envió las llamadas impresiones de su trabajo a un círculo muy reducido de sus colegas, lo que, naturalmente, impide que los matemáticos comenten esta sensación científica, y entiendo al académico Ludwig Dmitrievich Faddeev, quien dijo:

- Puedo decir que la sensación ocurrió cuando veo la prueba con mis propios ojos.

Faddeev cree que la probabilidad de que Wiles gane es muy alta.

“Mi padre, un reconocido especialista en teoría de números, estaba, por ejemplo, seguro de que el teorema sería probado, pero no por medios elementales”, agregó.

Otro académico nuestro, Viktor Pavlovich Maslov, se mostró escéptico acerca de la noticia y cree que la demostración del Gran Teorema no es un problema matemático real en absoluto. En cuanto a sus intereses científicos, Maslov, el presidente del Consejo de Matemáticas Aplicadas, está lejos de ser "fermatistas", y cuando dice que la solución completa del Gran Teorema es solo de interés deportivo, uno puede entenderlo. Sin embargo, me atrevo a señalar que el concepto de relevancia en cualquier ciencia es variable. Hace 90 años, a Rutherford, probablemente, también se le dijo: "Bueno, bueno, bueno, la teoría de la desintegración radiactiva ... ¿Y qué? ¿Cuál es su uso? ..."

El trabajo sobre la demostración del Gran Teorema ya ha dado muchas matemáticas, y uno puede esperar que dé más.

“Lo que ha hecho Wiles moverá a los matemáticos a otras áreas”, dijo Peter Goddard. - Más bien, esto no cierra una de las líneas de pensamiento, sino que plantea nuevas preguntas que requerirán una respuesta...

El profesor de la Universidad Estatal de Moscú Mikhail Ilyich Zelikin me explicó la situación actual de esta manera:

Nadie ve ningún error en el trabajo de Wiles. Pero para que este trabajo se convierta en un hecho científico, es necesario que varios matemáticos de renombre repitan de forma independiente esta prueba y confirmen su exactitud. Esta es una condición indispensable para el reconocimiento del trabajo de Wiles por parte de la comunidad matemática...

¿Cuánto tiempo tomará para esto?

Le hice esta pregunta a uno de nuestros principales especialistas en el campo de la teoría de números, el Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas Alexei Nikolaevich Parshin.

Andrew Wiles tiene mucho tiempo por delante...

El caso es que el 13 de septiembre de 1907, el matemático alemán P. Wolfskel, quien a diferencia de la gran mayoría de los matemáticos era un hombre rico, legó 100 mil marcos a quien demostraría el Gran Teorema en los próximos 100 años. A principios de siglo, los intereses de la cantidad legada fueron a parar a la tesorería de la famosa Universidad de Getgangent. Este dinero se utilizó para invitar a destacados matemáticos a dar conferencias y realizar trabajos científicos. En ese momento, David Hilbert, a quien ya he mencionado, era presidente de la comisión de premios. No quería pagar la prima.

“Afortunadamente”, dijo el gran matemático, “parece que no tenemos un matemático, excepto yo, que sea capaz de hacer esta tarea, pero nunca me atreveré a matar la gallina de los huevos de oro para nosotros. ”

Antes de la fecha límite, 2007, designada por Wolfskel, quedan pocos años y, me parece, un grave peligro se cierne sobre el "pollo de Hilbert". Pero no se trata del premio, en realidad. Se trata de la curiosidad del pensamiento y la perseverancia humana. Lucharon durante más de trescientos años, ¡pero aun así lo demostraron!

Y además. Para mí, lo más interesante de toda esta historia es: ¿cómo demostró el propio Fermat su Gran Teorema? Después de todo, todos los trucos matemáticos actuales le eran desconocidos. ¿Y lo demostró en absoluto? Después de todo, hay una versión que parecía haber probado, pero él mismo encontró un error y, por lo tanto, no envió las pruebas a otros matemáticos, sino que olvidó tachar la entrada en los márgenes del volumen diofántico. Por lo tanto, me parece que la demostración del Gran Teorema, obviamente, tuvo lugar, pero el secreto del teorema de Fermat permaneció, y es poco probable que alguna vez lo revelemos...

Quizás Fermat se equivocó entonces, pero no se equivocó cuando escribió: “Quizás la posteridad me estará agradecida por demostrarle que los antiguos no lo sabían todo, y esto puede penetrar en la conciencia de los que vendrán después de mí. la antorcha a sus hijos..."

Pierre de Fermat, leyendo la "Aritmética" de Diofanto de Alejandría y reflexionando sobre sus problemas, tenía la costumbre de anotar los resultados de sus reflexiones en forma de breves comentarios en los márgenes del libro. Frente al octavo problema de Diofanto en los márgenes del libro, Fermat escribió: " Por el contrario, no es posible descomponer ni un cubo en dos cubos, ni un bicuadrado en dos bicuadrados y, en general, ningún grado mayor que un cuadrado en dos potencias con el mismo exponente. He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, pero estos márgenes son demasiado estrechos para ello.» / E.T.Bell "Creadores de Matemáticas". M., 1979, p.69/. Traigo a su atención una prueba elemental del teorema de la granja, que puede ser entendida por cualquier estudiante de secundaria aficionado a las matemáticas.

Comparemos el comentario de Fermat sobre el problema diofántico con la formulación moderna del gran teorema de Fermat, que tiene forma de ecuación.
« La ecuacion

x norte + y norte = z norte(donde n es un número entero mayor que dos)

no tiene soluciones en enteros positivos»

El comentario está en una conexión lógica con la tarea, similar a la conexión lógica del predicado con el sujeto. Lo que afirma el problema de Diofanto, por el contrario, lo afirma el comentario de Fermat.

El comentario de Fermat se puede interpretar de la siguiente manera: si ecuación cuadrática con tres incógnitas tiene un número infinito de soluciones en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos, entonces, a la inversa, una ecuación con tres incógnitas en un grado mayor que el cuadrado

Ni siquiera hay un indicio de su conexión con el problema diofántico en la ecuación. Su afirmación requiere prueba, pero no tiene una condición de la que se siga que no tiene soluciones en números enteros positivos.

Las variantes de la prueba de la ecuación que conozco se reducen al siguiente algoritmo.

1. Se toma como conclusión la ecuación del teorema de Fermat, cuya validez se verifica con la ayuda de la demostración.
2. La misma ecuación se llama original la ecuación de la que debe proceder su demostración.

El resultado es una tautología: Si una ecuación no tiene soluciones en enteros positivos, entonces no tiene soluciones en enteros positivos.". La prueba de la tautología es evidentemente errónea y desprovista de todo sentido. Pero se prueba por contradicción.

• Se hace una suposición opuesta a la establecida por la ecuación a probar. No debería contradecir la ecuación original, pero lo hace. Probar lo que se acepta sin prueba, y aceptar sin prueba lo que se requiere probar, no tiene sentido.
• Con base en la suposición aceptada, se realizan operaciones y acciones matemáticas absolutamente correctas para probar que contradice la ecuación original y es falsa.

Por lo tanto, desde hace 370 años, la demostración de la ecuación del Último Teorema de Fermat sigue siendo un sueño imposible de especialistas y amantes de las matemáticas.

Tomé la ecuación como conclusión del teorema, y ​​el octavo problema de Diofanto y su ecuación como condición del teorema.

"Si la ecuación x 2 + y 2 = z 2 (1) tiene un conjunto infinito de soluciones en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos, entonces, a la inversa, la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 (2) no tiene soluciones en el conjunto de enteros positivos".

Prueba.

A) Todo el mundo sabe que la ecuación (1) tiene un número infinito de soluciones en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos. Demostremos que ninguna terna de números pitagóricos, que es una solución a la ecuación (1), es una solución a la ecuación (2).

Con base en la ley de reversibilidad de la igualdad, los lados de la ecuación (1) se intercambian. números pitagóricos (z, x, y) puede interpretarse como las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, y los cuadrados (x2, y2, z2) puede interpretarse como las áreas de los cuadrados construidos sobre su hipotenusa y sus catetos.

Multiplicamos los cuadrados de la ecuación (1) por una altura arbitraria h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

La ecuación (3) se puede interpretar como la igualdad del volumen de un paralelepípedo a la suma de los volúmenes de dos paralelepípedos.

Sea la altura de tres paralelepípedos h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

El volumen del cubo se descompone en dos volúmenes de dos paralelepípedos. Dejamos el volumen del cubo sin cambios y reducimos la altura del primer paralelepípedo a X y la altura del segundo paralelepípedo se reducirá a y . El volumen de un cubo es mayor que la suma de los volúmenes de dos cubos:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

En el conjunto de ternas de números pitagóricos ( x, y, z ) en n=3 no puede haber solución a la ecuación (2). En consecuencia, en el conjunto de todos los triples de los números pitagóricos, es imposible descomponer un cubo en dos cubos.

Sea en la ecuación (3) la altura de tres paralelepípedos h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

El volumen de un paralelepípedo se descompone en la suma de los volúmenes de dos paralelepípedos.
Dejamos el lado izquierdo de la ecuación (6) sin cambios. En su lado derecho la altura z2 reducido a X en el primer término y hasta a las 2 en el segundo término.

La ecuación (6) se convirtió en la desigualdad:

El volumen de un paralelepípedo se descompone en dos volúmenes de dos paralelepípedos.

Dejamos el lado izquierdo de la ecuación (8) sin cambios.
En el lado derecho de la altura zn-2 reducido a xn-2 en el primer término y reducir a y n-2 en el segundo término. La ecuación (8) se convierte en la desigualdad:

z norte > x norte + y norte

(9)

En el conjunto de ternas de números pitagóricos, no puede haber una única solución de la ecuación (2).

En consecuencia, sobre el conjunto de todas las ternas de números pitagóricos para todas norte > 2 la ecuación (2) no tiene soluciones.

Obtuvo "prueba post milagrosa", pero solo para trillizos números pitagóricos. Esto es falta de evidencia y el motivo de la negativa de P. Fermat de él.

B) Demostremos que la ecuación (2) no tiene soluciones en el conjunto de ternas de números no pitagóricos, que es la familia de una terna arbitrariamente tomada de números pitagóricos z=13, x=12, y=5 y la familia de un triple arbitrario de enteros positivos z=21, x=19, y=16

Ambos trillizos de números son miembros de sus familias:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

El número de miembros de la familia (10) y (11) es igual a la mitad del producto de 13 por 12 y 21 por 20, es decir, 78 y 210.

Cada miembro de la familia (10) contiene z = 13 y variables X y en 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Cada miembro de la familia (11) contiene z = 21 y variables X y en , que toman valores enteros 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Las variables disminuyen secuencialmente por 1 .

Las ternas de números de la sucesión (10) y (11) se pueden representar como una sucesión de desigualdades de tercer grado:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

y en forma de desigualdades de cuarto grado:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

La corrección de cada desigualdad se verifica elevando los números a las potencias tercera y cuarta.

El cubo de un número mayor no se puede descomponer en dos cubos de números menores. Es menor o mayor que la suma de los cubos de los dos números más pequeños.

El bicuadrado de un número mayor no se puede descomponer en dos bicuadrados de números menores. Es menor o mayor que la suma de los bi-cuadrados de números más pequeños.

A medida que aumenta el exponente, todas las desigualdades, excepto la desigualdad más a la izquierda, tienen el mismo significado:

Desigualdades, todas tienen el mismo significado: el grado del número mayor es mayor que la suma de los grados de los dos números menores con el mismo exponente:

	13n > 12n + 12n ; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n	(12)
	21n > 20n + 20n ; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

El término más a la izquierda de las sucesiones (12) (13) es la desigualdad más débil. Su corrección determina la corrección de todas las desigualdades posteriores de la sucesión (12) para norte > 8 y secuencia (13) para n > 14 .

No puede haber igualdad entre ellos. Un triple arbitrario de enteros positivos (21,19,16) no es una solución a la ecuación (2) del último teorema de Fermat. Si un triple arbitrario de números enteros positivos no es una solución a la ecuación, entonces la ecuación no tiene soluciones en el conjunto de números enteros positivos, lo cual se iba a probar.

CON) El comentario de Fermat sobre el problema de Diofanto afirma que es imposible descomponer " en general, ninguna potencia mayor que el cuadrado, dos potencias con el mismo exponente».

Besos una potencia mayor que un cuadrado no se puede descomponer realmente en dos potencias con el mismo exponente. yo no beso una potencia mayor que el cuadrado se puede descomponer en dos potencias con el mismo exponente.

Cualquier triple elegido al azar de enteros positivos (z, x, y) puede pertenecer a una familia, cada miembro de la cual consta de un número constante z y dos números menos que z . Cada miembro de la familia se puede representar en forma de desigualdad, y todas las desigualdades resultantes se pueden representar como una secuencia de desigualdades:

zn< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n

(14)

La secuencia de desigualdades (14) comienza con desigualdades cuyo lado izquierdo es menor que el lado derecho y termina con desigualdades cuyo lado derecho es menor que el lado izquierdo. Con exponente creciente norte > 2 el número de desigualdades en el lado derecho de la secuencia (14) aumenta. Con un exponente n = k todas las desigualdades del lado izquierdo de la secuencia cambian de significado y toman el significado de las desigualdades del lado derecho de las desigualdades de la secuencia (14). Como resultado del aumento en el exponente de todas las desigualdades, el lado izquierdo es mayor que el lado derecho:

zk > (z-1)k + (z-1)k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k ; zk > 1k + 1k

(15)

Con un nuevo aumento en el exponente n > k ninguna de las desigualdades cambia de significado y no se convierte en igualdad. Sobre esta base, se puede argumentar que cualquier triple de enteros positivos tomado arbitrariamente (z, x, y) en norte > 2 , z > x , z > y

En un triple arbitrario de enteros positivos z puede ser un número natural arbitrariamente grande. Para todos los números naturales no mayores que z , se demuestra el último teorema de Fermat.

D) No importa cuán grande sea el número z , en la serie natural de números antes de ella hay un conjunto grande pero finito de números enteros, y después de ella hay un conjunto infinito de números enteros.

Probemos que todo el conjunto infinito de los números naturales mayores que z , forman ternas de números que no son soluciones a la ecuación del último teorema de Fermat, por ejemplo, una terna arbitraria de números enteros positivos (z+1,x,y) , en donde z + 1 > x y z + 1 > y para todos los valores del exponente norte > 2 no es una solución a la ecuación del último teorema de Fermat.

Un triple elegido al azar de enteros positivos (z + 1, x, y) puede pertenecer a una familia de ternas de números, cada miembro de la cual consta de un número constante z + 1 y dos números X y en , tomando diferentes valores, menor z + 1 . Los miembros de la familia se pueden representar como desigualdades cuyo lado izquierdo constante es menor o mayor que el lado derecho. Las desigualdades se pueden ordenar en orden como una secuencia de desigualdades:

Con un nuevo aumento en el exponente n > k hasta el infinito, ninguna de las desigualdades de la sucesión (17) cambia de significado y no se convierte en igualdad. En la secuencia (16), la desigualdad formada por un triple arbitrariamente tomado de enteros positivos (z + 1, x, y) , puede estar en su lado derecho en la forma (z + 1) norte > x norte + y norte o estar en su lado izquierdo en la forma (z+1)n< x n + y n .

En cualquier caso, el triple de los enteros positivos (z + 1, x, y) en norte > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y en secuencia (16) es una desigualdad y no puede ser una igualdad, es decir, no puede ser una solución a la ecuación del último teorema de Fermat.

Es fácil y sencillo comprender el origen de la secuencia de desigualdades de potencia (16), en la que la última desigualdad del lado izquierdo y la primera desigualdad del lado derecho son desigualdades de sentido opuesto. Por el contrario, no es fácil y difícil para los escolares, estudiantes de secundaria y estudiantes de secundaria comprender cómo se forma una secuencia de desigualdades (17) a partir de una secuencia de desigualdades (16), en la que todas las desigualdades tienen el mismo significado.

En la secuencia (16), al aumentar el grado entero de las desigualdades en 1, la última desigualdad del lado izquierdo se convierte en la primera desigualdad del lado derecho con el significado opuesto. Así, el número de desigualdades en el noveno lado de la sucesión disminuye, mientras que el número de desigualdades en el lado derecho aumenta. Entre la última y la primera desigualdad de potencias de significado opuesto, existe una igualdad de potencias sin falta. Su grado no puede ser un número entero, ya que sólo existen números no enteros entre dos números naturales consecutivos. La igualdad de potencias de un grado no entero, según la condición del teorema, no puede considerarse una solución a la ecuación (1).

Si en la sucesión (16) seguimos aumentando el grado en 1 unidad, entonces la última desigualdad de su lado izquierdo se convertirá en la primera desigualdad de significado opuesto del lado derecho. Como resultado, no habrá desigualdades en el lado izquierdo y solo desigualdades en el lado derecho, lo que será una secuencia de desigualdades de potencia crecientes (17). Un aumento adicional en su grado entero en 1 unidad solo fortalece sus desigualdades de poder y excluye categóricamente la posibilidad de igualdad en un grado entero.

Por lo tanto, en general, ninguna potencia entera de un número natural (z+1) de la secuencia de desigualdades de potencias (17) se puede descomponer en dos potencias enteras con el mismo exponente. Por lo tanto, la ecuación (1) no tiene soluciones en un conjunto infinito de números naturales, lo cual debía probarse.

Por lo tanto, el último teorema de Fermat queda demostrado con toda generalidad:

• en la sección A) para todos los trillizos (z, x, y) Números pitagóricos (el descubrimiento de Fermat es una prueba verdaderamente milagrosa),
• en el apartado C) para todos los miembros de la familia de cualquier triple (z, x, y) números pitagóricos,
• en la sección C) para todos los tripletes de números (z, x, y) , no grandes números z
• en la sección D) para todos los triples de números (z, x, y) series naturales de números.

Los cambios se realizaron el 05.09.2010

Qué teoremas pueden y cuáles no pueden ser probados por contradicción

El Diccionario explicativo de términos matemáticos define la prueba por contradicción de un teorema opuesto al teorema inverso.

“La prueba por contradicción es un método para probar un teorema (oración), que consiste en probar no el teorema en sí, sino su equivalente (equivalente), opuesto inverso (inverso a opuesto) teorema. La prueba por contradicción se usa cuando el teorema directo es difícil de probar, pero el inverso opuesto es más fácil. Al probar por contradicción, la conclusión del teorema es reemplazada por su negación, y por razonamiento se llega a la negación de la condición, es decir a una contradicción, a lo contrario (lo contrario de lo dado; esta reducción al absurdo prueba el teorema.

La prueba por contradicción se usa muy a menudo en matemáticas. La prueba por contradicción se basa en la ley del tercero excluido, que consiste en que de los dos enunciados (enunciados) A y A (negación de A), uno de ellos es verdadero y el otro es falso./ Diccionario explicativo de términos matemáticos: una guía para profesores / O. V. Manturov [y otros]; edición V. A. Ditkina.- M.: Ilustración, 1965.- 539 p.: il.-C.112/.

No sería mejor declarar abiertamente que el método de prueba por contradicción no es un método matemático, aunque se usa en matemáticas, que es un método lógico y pertenece a la lógica. ¿Es válido decir que la prueba por contradicción se "usa cuando un teorema directo es difícil de probar", cuando de hecho se usa si, y solo si, no hay sustituto para él?

La característica de la relación entre los teoremas directo e inverso también merece especial atención. “Un teorema inverso para un teorema dado (o para un teorema dado) es un teorema en el que la condición es la conclusión y la conclusión es la condición del teorema dado. Este teorema en relación con el teorema inverso se denomina teorema directo (inicial). A su vez, el teorema inverso al teorema inverso será el teorema dado; por lo tanto, los teoremas directo e inverso se llaman mutuamente inversos. Si el teorema directo (dado) es verdadero, entonces el teorema inverso no siempre es verdadero. Por ejemplo, si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales son mutuamente perpendiculares (teorema directo). Si las diagonales de un cuadrilátero son mutuamente perpendiculares, entonces el cuadrilátero es un rombo; esto no es cierto, es decir, el teorema inverso no es cierto./ Diccionario explicativo de términos matemáticos: una guía para profesores / O. V. Manturov [y otros]; edición V. A. Ditkina.- M.: Ilustración, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

Esta característica La relación entre teoremas directos e inversos no tiene en cuenta el hecho de que la condición del teorema directo se da por sentada, sin demostración, por lo que no se garantiza su corrección. La condición del teorema inverso no se da por dada, ya que es la conclusión del teorema directo probado. Su corrección se confirma mediante la demostración del teorema directo. Esta diferencia lógica esencial entre las condiciones de los teoremas directo e inverso resulta decisiva en la cuestión de qué teoremas pueden y cuáles no pueden demostrarse por el método lógico por el contrario.

Supongamos que hay un teorema directo en mente, que puede demostrarse mediante el método matemático habitual, pero es difícil. Vamos a formularlo en vista general v forma corta Entonces: desde A deberían mi . Símbolo A tiene el valor de la condición dada del teorema, aceptada sin demostración. Símbolo mi es la conclusión del teorema a demostrar.

Probaremos el teorema directo por contradicción, lógico método. El método lógico prueba un teorema que tiene no matemático condición, y lógico condición. Se puede obtener si la condición matemática del teorema desde A deberían mi , complementar con la condición contraria desde A no sigue mi .

Como resultado se obtuvo una condición lógica contradictoria del nuevo teorema, el cual consta de dos partes: desde A deberían mi y desde A no sigue mi . La condición resultante del nuevo teorema corresponde a la ley lógica del tercero excluido y corresponde a la prueba del teorema por contradicción.

Según la ley, una parte de la condición contradictoria es falsa, otra parte es verdadera y la tercera queda excluida. La prueba por contradicción tiene su propia tarea y objetivo para establecer exactamente qué parte de las dos partes de la condición del teorema es falsa. Tan pronto como se determine la parte falsa de la condición, se establecerá que la otra parte es la parte verdadera, y se excluye la tercera.

De acuerdo a diccionario explicativo términos matemáticos “La prueba es un razonamiento, durante el cual se establece la verdad o falsedad de cualquier enunciado (juicio, enunciado, teorema)”. Prueba contrario hay una discusión en el curso de la cual se establece falsedad(absurdo) de la conclusión que se sigue de falso condiciones del teorema que se prueba.

Dado: desde A deberían mi y de A no sigue mi .

Probar: desde A deberían mi .

Prueba: La condición lógica del teorema contiene una contradicción que requiere su resolución. La contradicción de la condición debe encontrar su resolución en la prueba y su resultado. El resultado resulta falso si el razonamiento es impecable e infalible. La razón de una conclusión falsa con un razonamiento lógicamente correcto solo puede ser una condición contradictoria: desde A deberían mi y desde A no sigue mi .

No hay sombra de duda de que una parte de la condición es falsa, y la otra en este caso es verdadera. Ambas partes de la condición tienen el mismo origen, se aceptan como dadas, supuestas, igualmente posibles, igualmente admisibles, etc. En el curso del razonamiento lógico, no se ha encontrado ni una sola característica lógica que distinga una parte de la condición de la otra. otro. Por lo tanto, en la misma medida, desde A deberían mi y tal vez desde A no sigue mi . Declaración desde A deberían mi tal vez falso, entonces la declaración desde A no sigue mi será verdad Declaración desde A no sigue mi puede ser falsa, entonces la declaración desde A deberían mi será verdad

Por lo tanto, es imposible probar el teorema directo por el método de contradicción.

Ahora probaremos el mismo teorema directo por el método matemático usual.

Dado: A .

Probar: desde A deberían mi .

Prueba.

1. Desde A deberían B

2. Desde B deberían V (según el teorema probado anteriormente)).

3. Desde V deberían GRAMO (según el teorema probado anteriormente).

4. Desde GRAMO deberían D (según el teorema probado anteriormente).

5. Desde D deberían mi (según el teorema probado anteriormente).

Basado en la ley de la transitividad, desde A deberían mi . El teorema directo se demuestra por el método habitual.

Deje que el teorema directo probado tenga un teorema inverso correcto: desde mi deberían A .

Demostrémoslo por ordinario matemático método. La prueba del teorema inverso se puede expresar en forma simbólica como un algoritmo de operaciones matemáticas.

Dado: mi

Probar: desde mi deberían A .

Prueba.

1. Desde mi deberían D

2. Desde D deberían GRAMO (por el teorema inverso previamente demostrado).

3. Desde GRAMO deberían V (por el teorema inverso previamente demostrado).

4. Desde V no sigue B (lo contrario no es cierto). Es por eso desde B no sigue A .

En esta situación, no tiene sentido continuar con la demostración matemática del teorema inverso. La razón de la situación es lógica. Es imposible reemplazar un teorema inverso incorrecto con nada. Por lo tanto, este teorema inverso no puede demostrarse por el método matemático usual. Toda esperanza es probar este teorema inverso por contradicción.

Para demostrarlo por contradicción, se requiere reemplazar su condición matemática con una condición lógica contradictoria, que en su significado contiene dos partes: falsa y verdadera.

teorema inverso reclamación (es: desde mi no sigue A . su condición mi , de donde se sigue la conclusión A , es el resultado de probar el teorema directo por el método matemático usual. Esta condición debe mantenerse y complementarse con la declaración desde mi deberían A . Como resultado de la suma se obtiene una condición contradictoria del nuevo teorema de la inversa: desde mi deberían A y desde mi no sigue A . Basado en esto lógicamente condición contradictoria, el teorema inverso puede demostrarse mediante la correcta lógico razonando solo, y solo, lógico método opuesto. En una prueba por contradicción, las acciones y operaciones matemáticas están subordinadas a las lógicas y, por lo tanto, no cuentan.

En la primera parte de la declaración contradictoria desde mi deberían A condición mi se demostró mediante la demostración del teorema directo. en la segunda parte desde mi no sigue A condición mi fue asumida y aceptada sin pruebas. Uno de ellos es falso y el otro es verdadero. Se requiere probar cuál de ellos es falso.

Probamos con la correcta lógico razonamiento y encuentra que su resultado es una conclusión falsa y absurda. La razón de una conclusión lógica falsa es la condición lógica contradictoria del teorema, que contiene dos partes: falsa y verdadera. La parte falsa solo puede ser una declaración. desde mi no sigue A , en el cual mi aceptado sin pruebas. Esto es lo que lo distingue de mi declaraciones desde mi deberían A , lo cual se demuestra mediante la demostración del teorema directo.

Por lo tanto, la afirmación es verdadera: desde mi deberían A , que debía probarse.

Conclusión: sólo que el teorema inverso se prueba por el método lógico del contrario, que tiene un teorema directo probado por el método matemático y que no puede ser probado por el método matemático.

La conclusión obtenida adquiere una importancia excepcional en relación con el método de demostración por contradicción del gran teorema de Fermat. La abrumadora mayoría de los intentos de demostrarlo no se basan en el método matemático habitual, sino en el método lógico de demostración por contradicción. La demostración del Gran Teorema de Fermat Wiles no es una excepción.

Dmitry Abrarov en su artículo "Teorema de Fermat: el fenómeno de las pruebas de Wiles" publicó un comentario sobre la demostración del último teorema de Fermat por Wiles. Según Abrarov, Wiles demuestra el último teorema de Fermat con la ayuda de un hallazgo notable del matemático alemán Gerhard Frey (n. 1944) que relaciona una posible solución a la ecuación de Fermat. x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , con otra ecuación completamente diferente. Esta nueva ecuación viene dada por una curva especial (llamada la curva elíptica de Frey). La curva de Frey viene dada por una ecuación muy simple:
.

“Fue precisamente Frey quien comparó cada solución (a B C) la ecuación de Fermat, es decir, números que satisfacen la relación un norte + segundo norte = C norte la curva anterior. En este caso, seguiría el último teorema de Fermat".(Cita de: Abrarov D. "Teorema de Fermat: el fenómeno de la prueba de Wiles")

En otras palabras, Gerhard Frey sugirió que la ecuación del último teorema de Fermat x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , tiene soluciones en enteros positivos. Las mismas soluciones son, según la suposición de Frey, las soluciones de su ecuación
y 2 + x (x - un norte) (y + segundo norte) = 0 , que viene dada por su curva elíptica.

Andrew Wiles aceptó este notable descubrimiento de Frey y, con su ayuda, a través de matemático método demostró que este hallazgo, es decir, la curva elíptica de Frey, no existe. Por lo tanto, no existe una ecuación y sus soluciones que estén dadas por una curva elíptica inexistente, por lo que Wiles debería haber concluido que no existe una ecuación del último teorema de Fermat y del propio teorema de Fermat. Sin embargo, toma la conclusión más modesta de que la ecuación del último teorema de Fermat no tiene soluciones en números enteros positivos.

Puede ser un hecho innegable que Wiles aceptó una suposición que es directamente opuesta en significado a lo que establece el último teorema de Fermat. Obliga a Wiles a probar el último teorema de Fermat por contradicción. Sigamos su ejemplo y veamos qué sucede con este ejemplo.

El último teorema de Fermat establece que la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos.

De acuerdo con el método lógico de prueba por contradicción, esta declaración se conserva, se acepta como dada sin prueba y luego se complementa con una declaración de significado opuesto: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , tiene soluciones en enteros positivos.

El enunciado hipotetizado también se acepta tal como se da, sin demostración. Ambos enunciados, considerados desde el punto de vista de las leyes básicas de la lógica, son igualmente admisibles, iguales en derechos e igualmente posibles. Mediante un razonamiento correcto, se requiere establecer cuál de ellos es falso, para luego establecer que el otro enunciado es verdadero.

El razonamiento correcto termina con una conclusión falsa, absurda, cuya causa lógica solo puede ser una condición contradictoria del teorema que se prueba, que contiene dos partes de un significado directamente opuesto. Eran la causa lógica de la conclusión absurda, el resultado de la prueba por contradicción.

Sin embargo, en el curso de un razonamiento lógicamente correcto, no se encontró ni un solo signo por el cual sería posible establecer qué enunciado en particular es falso. Puede ser un enunciado: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , tiene soluciones en enteros positivos. Sobre la misma base, puede ser el enunciado: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos.

Como resultado del razonamiento, solo puede haber una conclusión: El último teorema de Fermat no se puede probar por contradicción..

Sería muy diferente si el último teorema de Fermat fuera un teorema inverso que tiene un teorema directo demostrado por el método matemático habitual. En este caso, podría probarse por contradicción. Y dado que es un teorema directo, su demostración debe basarse no en el método lógico de demostración por contradicción, sino en el método matemático habitual.

Según D. Abrarov, el académico V. I. Arnold, el matemático ruso contemporáneo más famoso, reaccionó a la prueba de Wiles "activamente escéptico". El académico afirmó: “esto no es matemática real, la matemática real es geométrica y tiene fuertes vínculos con la física”.

Por contradicción, es imposible demostrar que la ecuación del último teorema de Fermat no tiene soluciones o que las tiene. El error de Wiles no es matemático, sino lógico: el uso de la prueba por contradicción cuando su uso no tiene sentido y no prueba el último teorema de Fermat.

El último teorema de Fermat no se demuestra ni siquiera con la ayuda de los métodos usuales. método matemático, si se da: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos, y si se requiere demostrar en ella: la ecuación x norte + y norte = z norte , donde norte > 2 , no tiene soluciones en enteros positivos. De esta forma, no hay un teorema, sino una tautología desprovista de sentido.

Nota. Mi prueba BTF se discutió en uno de los foros. Uno de los colaboradores de Trotil, un especialista en teoría de números, hizo la siguiente declaración autorizada titulada: Breve recuento lo que hizo Mirgorodsky. Lo cito textualmente:

« UNA. Demostró que si z 2 \u003d x 2 + y , entonces z norte > x norte + y norte . Este es un hecho bien conocido y bastante obvio.

v Tomó dos triples, pitagóricos y no pitagóricos, y mostró mediante una enumeración simple que para una familia específica y específica de triples (78 y 210 piezas) se realiza BTF (y solo para ella).

CON. Y luego el autor omitió el hecho de que de < en un grado posterior puede ser = , no solo > . Un simple contraejemplo es la transición n=1 v n=2 en una terna pitagórica.

D. Este punto no aporta nada esencial a la prueba BTF. Conclusión: BTF no ha sido probado”.

Consideraré su conclusión punto por punto.

UNA. En él se demuestra el BTF para todo el conjunto infinito de ternas de números pitagóricos. Comprobado por un método geométrico que, según creo, no fue descubierto por mí, sino redescubierto. Y lo abrió, según creo, el mismo P. Fermat. Fermat podría haber tenido esto en mente cuando escribió:

"He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, pero estos márgenes son demasiado estrechos para ello". Esta suposición mía se basa en el hecho de que en el problema diofántico, contra el cual, en los márgenes del libro, escribió Fermat, estamos hablando de soluciones a la ecuación diofántica, que son triples de números pitagóricos.

Un conjunto infinito de ternas de números pitagóricos son soluciones a la ecuación de Diophatian, y en el teorema de Fermat, por el contrario, ninguna de las soluciones puede ser una solución a la ecuación del teorema de Fermat. Y la prueba verdaderamente milagrosa de Fermat tiene una relación directa con este hecho. Posteriormente, Fermat pudo extender su teorema al conjunto de todos los números naturales. En el conjunto de todos los números naturales, BTF no pertenece al "conjunto de teoremas excepcionalmente bellos". Esta es mi suposición, que no se puede probar ni refutar. Puede ser tanto aceptado como rechazado.

v En este párrafo, demuestro que tanto la familia de una terna de números pitagórica arbitrariamente tomada como la familia de una terna de números no pitagórica tomada arbitrariamente BTF se satisfacen. Este es un eslabón necesario, pero insuficiente e intermedio en mi demostración de la BTF. Los ejemplos que he tomado de la familia de un triple de números pitagóricos y de la familia de un triple de números no pitagóricos tienen el significado de ejemplos específicos que presuponen y no excluyen la existencia de otros ejemplos similares.

La afirmación de Trotil de que “demostré por simple enumeración que para una familia específica, específica de triples (78 y 210 piezas) se cumple BTF (y solo para ella) no tiene fundamento. No puede refutar el hecho de que podría tomar otros ejemplos de ternas pitagóricas y no pitagóricas para obtener una familia específica de una y otra terna.

Cualquiera que sea el par de triples que tome, la verificación de su idoneidad para resolver el problema se puede llevar a cabo, en mi opinión, solo por el método de "enumeración simple". No conozco ningún otro método y no es necesario. Si no le gustaba Trotil, entonces debería haber sugerido otro método, lo cual no hace. Sin ofrecer nada a cambio, es incorrecto condenar la “simple enumeración”, que en este caso es insustituible.

CON. omití = entre< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), en el que el grado norte > 2 — entero numero positivo. De la igualdad entre las desigualdades se sigue obligatorio consideración de la ecuación (1) con un valor no entero del grado norte > 2 . trotar contando obligatorio consideración de la igualdad entre desigualdades, en realidad considera necesario en la demostración BTF, consideración de la ecuación (1) con no entero valor de grado norte > 2 . Hice esto por mí mismo y encontré que la ecuación (1) con no entero valor de grado norte > 2 tiene una solución de tres números: z, (z-1), (z-1) con un exponente no entero.

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