Ūkio teorema, kuri pasitvirtino rusų kalba. Pagrindinis tyrimas. Fermato laurai atiteko japonams

Pasaulyje nėra daug žmonių, kurie niekada apie tai negirdėjo Paskutinė Ferma teorema– galbūt tai vienintelė tokio didelio populiarumo sulaukusi ir tikra legenda tapusi matematinė problema. Jis minimas daugelyje knygų ir filmų, o pagrindinis beveik visų paminėjimų kontekstas yra toks neįmanoma įrodyti teoremos.

Taip, ši teorema yra labai garsi ir tam tikra prasme tapo „stabu“, kurį garbina mėgėjai ir profesionalūs matematikai, tačiau mažai kas žino, kad jos įrodymas buvo rastas, o tai įvyko dar 1995 m. Bet pirmiausia pirmiausia.

Taigi, paskutinė Ferma teorema (dažnai vadinama paskutine Ferma teorema), kurią 1637 m. suformulavo puikus prancūzų matematikas. Pierre'as Fermatas, yra labai paprastas savo esme ir suprantamas bet kuriam vidurinį išsilavinimą turinčiam žmogui. Sakoma, kad formulė an + bn \u003d cn neturi natūralių (ty ne trupmeninių) n > 2 sprendinių. Atrodo, viskas paprasta ir aišku, bet geriausi matematikai ir paprasti mėgėjai sunkiai ieškojo sprendimo. daugiau nei tris su puse šimtmečio.

Pats Fermatas teigė išvedęs labai paprastą ir glaustą savo teorijos įrodymą, tačiau iki šiol nebuvo rasta jokių šio fakto dokumentinių įrodymų. Todėl dabar manoma, kad Fermatas niekada negalėjo rasti bendro savo teoremos sprendimo., nors jis parašė dalinį įrodymą, kai n = 4.

Po Fermato tokie puikūs protai kaip Leonhardas Eileris(1770 m. jis pasiūlė n = 3 sprendimą), Adrien Legendre ir Johann Dirichlet(šie mokslininkai kartu rado įrodymų, kad n = 5 1825 m.), Gabrielius Lamas(kuris rado n = 7 įrodymą) ir daugelis kitų. Praėjusio amžiaus 80-ųjų viduryje tapo aišku, kad mokslo pasaulis eina link galutinio sprendimo

Paskutinė Ferma teorema, tačiau tik 1993 m. matematikai pamatė ir patikėjo, kad tris šimtmečius trukusi sakmė rasti paskutinės Ferma teoremos įrodymą praktiškai baigėsi.

1993 m. anglų matematikas Andrew Wiles pristatytas pasauliui Paskutinės Ferma teoremos įrodymas kuris buvo kuriamas daugiau nei septynerius metus. Tačiau paaiškėjo, kad šiame sprendime yra šiurkšti klaida, nors apskritai tai tiesa. Wilesas nepasidavė, į pagalbą pasikvietė žinomą skaičių teorijos specialistą Richardą Taylorą ir jau 1994 metais paskelbė pataisytą ir papildytą teoremos įrodymą. Nuostabiausia, kad šis darbas matematikos žurnale „Annals of Mathematics“ užėmė net 130 (!) puslapių. Tačiau tuo istorija taip pat nesibaigė - paskutinis taškas buvo padėtas tik kitais metais, 1995 m., Kai buvo paskelbta galutinė ir „ideali“, matematiniu požiūriu, įrodymo versija.

Nuo to momento praėjo daug laiko, tačiau visuomenėje vis dar gaji nuomonė apie paskutinės Ferma teoremos neišsprendžiamumą. Tačiau net ir tie, kurie žino apie rastą įrodymą, ir toliau dirba šia linkme – mažai kas tenkina, kad Didžiajai teoremai reikia išspręsti 130 puslapių! Todėl dabar tiek daug matematikų (dažniausiai mėgėjų, o ne profesionalių mokslininkų) pajėgos metamos ieškant paprasto ir glausto įrodymo, tačiau šis kelias, greičiausiai, niekur nenuves...

Mažai tikėtina, kad bent vieneri metai mūsų redakcijos gyvenime praėjo negavus keliolikos Ferma teoremos įrodymų. Dabar, po „pergalės“ prieš ją, srautas nuslūgo, bet neišdžiūvo.

Žinoma, kad neišdžiūtų iki galo, publikuojame šį straipsnį. Ir ne savo gynybai – tai, sako, dėl to ir tylėjome, patys dar nesame subrendę aptarti tokias sudėtingas problemas.

Bet jei straipsnis tikrai atrodo sudėtingas, iškart pažiūrėkite į jo pabaigą. Teks pajusti, kad aistros laikinai atslūgo, mokslai nesibaigė, o netrukus į redakciją atsiųs nauji naujų teoremų įrodymai.

Atrodo, kad XX a. Pirma, žmonės akimirkai sukūrė antrąją Saulę, detonuodami vandenilinę bombą. Tada jie vaikščiojo Mėnulyje ir galiausiai įrodė liūdnai pagarsėjusią Ferma teoremą. Iš šių trijų stebuklų pirmieji du yra visų lūpose, nes jie turėjo milžiniškų socialinių pasekmių. Priešingai, trečiasis stebuklas atrodo kaip dar vienas mokslinis žaislas – prilygsta reliatyvumo teorijai, kvantinei mechanikai ir Gödelio teoremai apie aritmetikos neužbaigtumą. Tačiau reliatyvumas ir kvantai privedė fizikus prie vandenilio bombos, o matematikų tyrimai užpildė mūsų pasaulį kompiuteriais. Ar ši stebuklų virtinė tęsis ir XXI amžiuje? Ar įmanoma atsekti ryšį tarp naujų mokslinių žaislų ir revoliucijų mūsų kasdieniame gyvenime? Ar šis ryšys leidžia mums daryti sėkmingas prognozes? Pabandykime tai suprasti naudodamiesi Ferma teoremos pavyzdžiu.

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į tai, kad ji gimė daug vėliau, nei buvo įprasta. Juk pirmasis ypatinga byla Fermato teorema yra Pitagoro lygtis X 2 + Y 2 = Z 2, susijusi su stačiojo trikampio kraštinių ilgiais. Prieš dvidešimt penkis šimtmečius įrodęs šią formulę, Pitagoras iš karto uždavė sau klausimą: ar gamtoje yra daug trikampių, kuriuose tiek kojos, tiek hipotenuzė yra sveiko ilgio? Atrodo, kad egiptiečiai žinojo tik vieną tokį trikampį – su kraštinėmis (3, 4, 5). Tačiau nesunku rasti ir kitų variantų: pavyzdžiui (5, 12, 13) , (7, 24, 25) arba (8, 15, 17) . Visais šiais atvejais hipotenuzės ilgis turi formą (A 2 + B 2), kur A ir B yra skirtingo pariteto pirminiai skaičiai. Šiuo atveju kojų ilgiai lygūs (A 2 - B 2) ir 2AB.

Pastebėjęs šiuos ryšius, Pitagoras lengvai įrodė, kad bet koks skaičių trigubas (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) yra lygties X 2 + Y 2 \u003d Z sprendimas. 2 ir nustato stačiakampį su paprastais kraštinių ilgiais. Taip pat matyti, kad skirtingų tokio tipo trigubų skaičius yra begalinis. Bet ar visi Pitagoro lygties sprendiniai turi tokią formą? Pitagoras nesugebėjo nei įrodyti, nei paneigti tokios hipotezės ir paliko šią problemą palikuonims, neatkreipdamas į ją dėmesio. Kas nori pabrėžti savo nesėkmes? Atrodo, kad po to vientisųjų stačiakampių trikampių problema užmarštyje gulėjo septynis šimtmečius – kol Aleksandrijoje pasirodė naujas matematikos genijus Diofantas.

Mažai apie jį žinome, bet aišku, kad jis nebuvo panašus į Pitagorą. Jis jautėsi kaip karalius geometrijoje ir net už jos ribų – tiek muzikos, tiek astronomijos, tiek politikos srityse. Pirmasis aritmetinis ryšys tarp harmoningos arfos kraštinių ilgių, pirmasis Visatos modelis iš koncentrinių sferų, nešančių planetas ir žvaigždes, kurių centre yra Žemė, ir galiausiai pirmoji mokslininkų respublika Italijos mieste Krotonėje. – tai asmeniniai Pitagoro pasiekimai. Ką tokiai sėkmei galėtų prieštarauti Diofantas – kuklus didžiojo muziejaus, kuris jau seniai nebėra miesto minios pasididžiavimas, tyrinėtojas?

Tik viena: geriau suprasti senovės skaičių pasaulį, kurio dėsnius Pitagoras, Euklidas ir Archimedas vos spėjo pajusti. Atkreipkite dėmesį, kad Diofantui dar nepriklausė pozicinė didelių skaičių rašymo sistema, bet jis žinojo ką neigiamus skaičius ir tikriausiai praleido daug valandų galvodamas, kodėl dviejų neigiamų skaičių sandauga yra teigiama. Sveikųjų skaičių pasaulis pirmą kartą Diofantui buvo atskleistas kaip ypatinga visata, kuri skiriasi nuo žvaigždžių, atkarpų ar daugiakampių pasaulio. Pagrindinis mokslininkų užsiėmimas šiame pasaulyje yra lygčių sprendimas, tikras meistras randa visus įmanomus sprendimus ir įrodo, kad kitų sprendimų nėra. Štai ką Diofantas padarė su kvadratine Pitagoro lygtimi ir tada susimąstė: ar bent vienas sprendinys turi panašią kubinę lygtį X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diofantui nepavyko rasti tokio sprendimo, jo bandymas įrodyti, kad sprendimų nėra, taip pat buvo nesėkmingas. Todėl, rengdamas savo darbo rezultatus knygoje „Aritmetika“ (tai buvo pirmasis pasaulyje skaičių teorijos vadovėlis), Diofantas išsamiai išanalizavo Pitagoro lygtį, tačiau nė žodžio neužsiminė apie galimus šios lygties apibendrinimus. Bet jis galėjo: juk Diofantas pirmasis pasiūlė sveikųjų skaičių laipsnius! Bet deja: „užduočių knygelės“ sąvoka buvo svetima helenų mokslui ir pedagogikai, o neišspręstų problemų sąrašų publikavimas buvo laikomas nepadoriu užsiėmimu (kitaip pasielgė tik Sokratas). Jei negalite išspręsti problemos - tylėkite! Diofantas nutilo, ir ši tyla užsitęsė keturiolika amžių – iki pat Naujųjų laikų atėjimo, kai atgijo domėjimasis žmogaus mąstymo procesu.

Kas apie nieką nefantazavo XVI–XVII amžių sandūroje! Nenuilstantis skaičiuotuvas Kepleris bandė atspėti ryšį tarp atstumų nuo Saulės iki planetų. Pitagorui nepavyko. Keplerio sėkmė atėjo po to, kai išmoko integruoti polinomus ir kitas paprastas funkcijas. Priešingai, svajotojas Dekartas nemėgo ilgų skaičiavimų, tačiau būtent jis pirmiausia pateikė visus plokštumos ar erdvės taškus kaip skaičių rinkinius. Šis įžūlus modelis sumažina bet kokią geometrinę figūrų problemą iki tam tikros algebrinės lygčių problemos ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, Pitagoro lygties sveikųjų skaičių sprendiniai atitinka kūgio paviršiaus sveikuosius taškus. Paviršius, atitinkantis kubinę lygtį X 3 + Y 3 = Z 3, atrodo sudėtingesnis, jo geometrinės savybės Pierre'ui Fermat nieko nerodė, ir jis turėjo nutiesti naujus kelius per sveikųjų skaičių laukinius.

1636 m. Diofanto knyga, ką tik išversta į lotynų kalbą iš graikų originalo, pateko į jauno advokato iš Tulūzos rankas, netyčia išlikusiam kokiame nors Bizantijos archyve ir atvežta į Italiją vieno iš romėnų bėglių turkų laikais. sugadinti. Skaitydamas elegantišką Pitagoro lygties aptarimą, Fermatas pagalvojo: ar įmanoma rasti tokį sprendimą, susidedantį iš trijų kvadratinių skaičių? Tokių skaičių nėra mažų: nesunku tai patikrinti išvardijant. O kaip dėl didelių sprendimų? Be kompiuterio Fermatas negalėjo atlikti skaitmeninio eksperimento. Bet jis pastebėjo, kad kiekvienam lygties X 4 + Y 4 = Z 4 "dideliui" sprendiniui galima sukurti mažesnį sprendinį. Taigi dviejų sveikųjų skaičių ketvirtųjų laipsnių suma niekada nėra lygi tokia pačiai trečiojo skaičiaus galiai! O kaip dviejų kubų suma?

Įkvėptas 4 laipsnio sėkmės, Fermatas bandė modifikuoti 3 laipsnio „nusileidimo metodą“ ir jam pavyko. Paaiškėjo, kad iš tų pavienių kubelių, į kuriuos subyrėjo didelis kubas, kurio kraštinės ilgis yra sveikasis skaičius, neįmanoma sudaryti dviejų mažų kubelių. Triumfuojantis Fermatas padarė trumpą užrašą Diofanto knygos paraštėse ir išsiuntė laišką į Paryžių su išsamia savo atradimo ataskaita. Tačiau atsakymo nesulaukė – nors paprastai matematikai iš sostinės greitai sureagavo į kitą vienintelio kolegos-konkurento sėkmę Tulūzoje. Kas čia per reikalas?

Labai paprastai: iki XVII amžiaus vidurio aritmetika išėjo iš mados. Didelės XVI amžiaus italų algebristų sėkmė (kai buvo išspręstos 3 ir 4 laipsnių daugianario lygtys) netapo bendros mokslo revoliucijos pradžia, nes neleido spręsti naujų ryškių problemų gretimose mokslo srityse. Dabar, jei Kepleris galėtų atspėti planetų orbitas naudodamas gryną aritmetiką... Bet, deja, tam reikėjo matematinės analizės. Tai reiškia, kad jis turi būti plėtojamas – iki visiško matematinių metodų pergalės gamtos moksle! Tačiau analizė išauga iš geometrijos, o aritmetika lieka tuščiažodžiaujančių teisininkų ir kitų amžinojo skaičių ir skaičių mokslo mėgėjų žaidimo laukas.

Taigi, Fermato aritmetinės sėkmės pasirodė nesavalaikės ir liko neįvertintos. Jo tai nenuliūdino: dėl matematiko šlovės jam pirmą kartą buvo atskleisti diferencialinio skaičiavimo, analitinės geometrijos ir tikimybių teorijos faktai. Visi šie Fermato atradimai iškart pateko į naujojo Europos mokslo aukso fondą, o skaičių teorija nunyko į antrą planą dar šimtui metų – kol ją atgaivino Euleris.

Šis XVIII amžiaus „matematų karalius“ buvo visų analizės taikymo sričių čempionas, tačiau neapleido ir aritmetikos, nes nauji analizės metodai lėmė netikėtus faktus apie skaičius. Kas galėjo pagalvoti, kad begalinė atvirkštinių kvadratų suma (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) yra lygi π 2 /6? Kas iš helenų galėjo numatyti, kad panašios serijos leis įrodyti skaičiaus π neracionalumą?

Tokios sėkmės privertė Eulerį atidžiai perskaityti išlikusius Fermato rankraščius (laimei, didžiojo prancūzo sūnus sugebėjo juos paskelbti). Tiesa, 3 laipsnio „didžiosios teoremos“ įrodymas nebuvo išsaugotas, tačiau Euleris lengvai jį atkūrė tiesiog nurodydamas „nusileidimo metodą“ ir iš karto bandė perkelti šį metodą į kitą pagrindinį laipsnį - 5.

To ten nebuvo! Eulerio samprotavimuose pasirodė kompleksiniai skaičiai, kurių Fermatas sugebėjo nepastebėti (toks yra įprastas atradėjų būrys). Tačiau sudėtingų sveikųjų skaičių faktorizavimas yra subtilus dalykas. Net Euleris to visiškai nesuprato ir „Fermato problemą“ atidėjo į šalį, skubėdamas baigti pagrindinį savo darbą – vadovėlį „Analizės principai“, kuris turėjo padėti kiekvienam talentingam jaunuoliui lygiuotis su Leibnizu ir Euleris. Vadovėlis buvo baigtas leisti Sankt Peterburge 1770 m. Tačiau Euleris negrįžo prie Ferma teoremos, nes buvo tikras, kad naujoji mokslo jaunystė nepamirš visko, ką lietė jo rankos ir protas.

Taip ir atsitiko: prancūzas Adrienas Legendre'as tapo Eulerio įpėdiniu skaičių teorijoje. XVIII amžiaus pabaigoje jis baigė 5 laipsnio Ferma teoremos įrodymą – ir nors jam nepavyko pasiekti didelių pirminių galių, jis parengė dar vieną skaičių teorijos vadovėlį. Tegul jos jaunieji skaitytojai pralenkia autorių taip, kaip matematikos gamtos filosofijos principų skaitytojai pranoko didįjį Niutoną! Legendre neprilygo Niutono ar Eulerio, tačiau tarp jo skaitytojų buvo du genijai: Carlas Gaussas ir Evariste Galois.

Tokią didelę genijų koncentraciją palengvino prancūzų revoliucija, paskelbusi valstybinį Proto kultą. Po to kiekvienas talentingas mokslininkas jautėsi kaip Kolumbas ar Aleksandras Makedonietis, galintis atrasti ar užkariauti naujas pasaulis. Daugeliui tai pavyko, todėl XIX amžiuje mokslo ir technologijų pažanga tapo pagrindiniu žmonijos evoliucijos varikliu, o visi protingi valdovai (pradedant Napoleonu) tai žinojo.

Gaussas buvo artimas Kolumbui. Bet jis (kaip ir Niutonas) nemokėjo gražiomis kalbomis pavergti valdovų ar studentų vaizduotę, todėl savo ambicijas apsiribojo mokslo koncepcijų sfera. Čia jis galėjo daryti ką norėjo. Pavyzdžiui, senovinės kampo trisekcijos problemos dėl kokių nors priežasčių nepavyksta išspręsti kompasu ir tiesiuoju. Naudodamas kompleksinius skaičius, vaizduojančius plokštumos taškus, Gaussas išverčia šią problemą į algebros kalbą ir gauna bendrą teoriją apie tam tikrų geometrinių konstrukcijų įgyvendinamumą. Taigi tuo pačiu yra griežtas įrodymas, kad neįmanoma su kompasu ir liniuote sukonstruoti taisyklingą 7 ar 9 kampą ir tokį taisyklingo 17 kampo konstravimo būdą, apie kurį išmintingiausi Hellas geometrai nesvajojo. iš, pasirodė.

Žinoma, tokia sėkmė neduodama veltui: tenka sugalvoti naujas sąvokas, atspindinčias reikalo esmę. Niutonas pristatė tris tokias sąvokas: srautas (išvestinė), sklandus (integralas) ir galios eilės. Jų pakako, kad būtų sukurta matematinė analizė ir pirmasis mokslinis fizinio pasaulio modelis, įskaitant mechaniką ir astronomiją. Gaussas taip pat pristatė tris naujas sąvokas: vektoriaus erdvę, lauką ir žiedą. Iš jų išaugo nauja algebra, pajungusi graikų aritmetiką ir Niutono sukurtą skaitinių funkcijų teoriją. Liko tik Aristotelio sukurtą logiką pajungti algebrai: tada būtų įmanoma, pasitelkus skaičiavimus, įrodyti bet kokių mokslinių teiginių išvestinumą arba neišveikimą iš duotosios aksiomų aibės! Pavyzdžiui, ar Ferma teorema kyla iš aritmetikos aksiomų, ar Euklido lygiagrečių tiesių postulatas kyla iš kitų planimetrijos aksiomų?

Gaussas neturėjo laiko įgyvendinti šios drąsios svajonės – nors jis pažengė toli ir spėjo egzotiškų (nekomutuojančių) algebrų egzistavimo galimybę. Tik drąsiam rusui Nikolajui Lobačevskiui pavyko sukurti pirmąją neeuklido geometriją, o pirmąją nekomutacinę algebrą (Grupių teoriją) valdė prancūzas Evariste'as Galois. Ir tik daug vėliau po Gauso mirties – 1872 m. – jaunasis vokietis Feliksas Kleinas spėjo, kad galimų geometrijų įvairovę galima suderinti su galimų algebrų įvairove. Paprasčiau tariant, kiekvieną geometriją apibrėžia jos simetrijos grupė – tuo tarpu bendroji algebra tiria visas įmanomas grupes ir jų savybes.

Tačiau toks geometrijos ir algebros supratimas atsirado daug vėliau, o Ferma teoremos puolimas atsinaujino dar Gauso gyvavimo metu. Jis pats Ferma teoremą apleido iš principo: ne karaliaus reikalas spręsti atskiras problemas, kurios netelpa į šviesią mokslinę teoriją! Tačiau Gauso mokiniai, apsiginklavę nauja jo algebra ir klasikine Niutono ir Eilerio analize, samprotavo kitaip. Pirma, Peteris Dirichlet įrodė Ferma teoremą 7 laipsniui, naudodamas kompleksinių sveikųjų skaičių žiedą, sugeneruotą iš šio vienovės laipsnio šaknų. Tada Ernstas Kummeris išplėtė Dirichlet metodą iki VISŲ pirmųjų laipsnių (!) – jam atrodė, kad tai skubėjo, ir jis triumfavo. Tačiau netrukus atėjo blaivumas: įrodymas yra nepriekaištingas tik tada, kai kiekvienas žiedo elementas yra unikaliai suskaidytas į pagrindinius veiksnius! Kalbant apie paprastus sveikuosius skaičius, šį faktą jau žinojo Euklidas, tačiau tik Gaussas pateikė savo griežtą įrodymą. Bet kaip su visais kompleksiniais skaičiais?

Pagal „didžiausio pikto principą“ gali ir TURI įvykti dviprasmiška faktorizacija! Vos tik Kummeris išmoko apskaičiuoti dviprasmiškumo laipsnį matematinės analizės metodais, jis atrado šį nešvarų triuką 23 laipsnio ringe. Gaussas neturėjo laiko sužinoti apie šią egzotiškos komutacinės algebros versiją, tačiau Gauso mokiniai užaugino naują. graži Idealų teorija vietoj kitos nešvarios gudrybės. Tiesa, tai nelabai padėjo sprendžiant Ferma problemą: išryškėjo tik natūralus jos sudėtingumas.

Visą XIX amžių šis senovės stabas reikalavo iš savo gerbėjų vis daugiau aukų naujų sudėtingų teorijų pavidalu. Nenuostabu, kad XX amžiaus pradžioje tikintieji nusiminė ir maištavo, atmesdami savo buvusį stabą. Žodis „fermatistas“ tapo menkinamu terminu tarp profesionalių matematikų. Ir nors už pilną Ferma teoremos įrodymą buvo skirta nemaža premija, tačiau jos pareiškėjai dažniausiai buvo savimi pasitikintys neišmanėliai. Stipriausi to meto matematikai – Puankarė ir Hilbertas – šios temos įžūliai vengė.

1900 m. Hilbertas neįtraukė Ferma teoremos į dvidešimt trijų pagrindinių problemų, su kuriomis susiduria dvidešimtojo amžiaus matematika, sąrašą. Tiesa, į jų serijas jis įtraukė bendrą Diofanto lygčių išsprendžiamumo problemą. Žinia buvo aiški: sekite Gauso ir Galois pavyzdžiu, kurkite bendras naujų matematinių objektų teorijas! Tada vieną gražią (bet iš anksto nenuspėjama) dieną sena skeveldra iškris savaime.

Taip pasielgė didysis romantikas Henri Poincaré. Nepaisydamas daugybės „amžinų“ problemų, visą gyvenimą studijavo tam tikrų matematikos ar fizikos objektų SIMMETRIJAS: arba kompleksinio kintamojo funkcijas, arba dangaus kūnų judėjimo trajektorijas, arba algebrines kreives ar lygiuosius kolektorius (tai daugiamačiai kreivų apibendrinimai). linijos). Jo veiksmų motyvas buvo paprastas: jei du skirtingi objektai turi panašią simetriją, tai reiškia, kad tarp jų yra vidinis ryšys, kurio mes dar nesugebame suvokti! Pavyzdžiui, kiekviena iš dvimačių geometrijų (Euklidas, Lobačevskis ar Rimanas) turi savo simetrijos grupę, kuri veikia plokštumą. Tačiau plokštumos taškai yra sudėtingi skaičiai: tokiu būdu bet kurios geometrinės grupės veiksmas perkeliamas į didžiulį sudėtingų funkcijų pasaulį. Galima ir būtina ištirti simetriškiausias iš šių funkcijų: AUTOMORPHOUS (kurios priklauso Euklido grupei) ir MODULAR (kurios priklauso Lobačevskio grupei)!

Taip pat plokštumoje yra elipsinių kreivių. Jie neturi nieko bendra su elipsė, bet yra pateikiami lygtimis, kurių forma yra Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX, todėl trijuose taškuose susikerta su bet kuria tiese. Šis faktas leidžia įvesti daugybą tarp elipsinės kreivės taškų – paversti ją grupe. Šios grupės algebrinė struktūra atspindi geometrines kreivės savybes; galbūt ji yra vienareikšmiškai nulemta jos grupės? Šį klausimą verta ištirti, nes kai kurioms kreivėms mus dominanti grupė pasirodo esanti modulinė, tai yra, ji susijusi su Lobačevskio geometrija ...

Taip samprotavo Puankarė, viliodamas matematinį Europos jaunimą, tačiau XX amžiaus pradžioje šios pagundos neprivedė prie ryškių teoremų ar hipotezių. Kitaip išėjo su Hilberto kvietimu: mokytis bendrieji sprendimai Diofantinės lygtys su sveikųjų skaičių koeficientais! 1922 m. jaunas amerikietis Lewisas Mordellas susiejo tokios lygties sprendinių aibę (tai tam tikro matmens vektorinė erdvė) su šios lygties pateiktos kompleksinės kreivės geometrine gentimi. Mordell padarė išvadą, kad jei lygties laipsnis yra pakankamai didelis (daugiau nei du), tada sprendinių erdvės matmuo išreiškiamas kreivės genu, todėl šis matmuo yra BAIGTINIS. Priešingai – iki 2 galios, Pitagoro lygtis turi BEGALINĮ sprendinių šeimą!

Žinoma, Mordelis įžvelgė savo hipotezės ryšį su Ferma teorema. Jei paaiškės, kad kiekvienam laipsniui n > 2 Ferma lygties ištisų sprendinių erdvė yra baigtinė, tai padės įrodyti, kad tokių sprendinių apskritai nėra! Tačiau Mordellis nematė būdo įrodyti savo hipotezę – ir nors gyveno ilgą gyvenimą, jis nelaukė, kol ši hipotezė bus paversta Faltingso teorema. Tai atsitiko 1983 m., visiškai kitoje eroje, po didelių kolektorių algebrinės topologijos sėkmės.

Puankarė šį mokslą sukūrė tarsi atsitiktinai: jis norėjo sužinoti, kas yra trimačiai kolektoriai. Juk Riemann išsiaiškino visų uždarų paviršių struktūrą ir gavo labai paprastą atsakymą! Jei tokio atsakymo nėra trimačiu ar daugiamačiu atveju, tuomet reikia sugalvoti kolektoriaus algebrinių invariantų sistemą, kuri nustato jo geometrinę struktūrą. Geriausia, jei tokie invariantai yra kai kurių grupių elementai – komutaciniai arba nekeičiantys.

Kad ir kaip būtų keista, šis įžūlus Puankarės planas pavyko: jis buvo įgyvendintas 1950–1970 m. daugelio geometrų ir algebristų pastangomis. Iki 1950 metų tyliai kaupėsi įvairūs kolektorių klasifikavimo metodai, o po šios datos tarsi susikaupė kritinė žmonių ir idėjų masė ir įvyko sprogimas, panašus į matematinės analizės išradimą XVII a. Tačiau analitinė revoliucija truko pusantro šimtmečio ir apėmė keturių matematikų kartų kūrybines biografijas – nuo ​​Niutono ir Leibnizo iki Furjė ir Koši. Priešingai, XX amžiaus topologinė revoliucija įvyko per dvidešimt metų dėl didelio dalyvių skaičiaus. Tuo pat metu išaugo didelė savimi pasitikinčių jaunų matematikų karta, staiga likusi be darbo istorinėje tėvynėje.

Aštuntajame dešimtmetyje jie veržėsi į gretimas matematikos ir teorinės fizikos sritis. Daugelis sukūrė savo mokslines mokyklas dešimtyse universitetų Europoje ir Amerikoje. Tarp šių centrų vis dar cirkuliuoja daug įvairaus amžiaus ir tautybių, skirtingų gebėjimų ir polinkių studentų, ir kiekvienas nori išgarsėti kokiu nors atradimu. Būtent šioje pandemonijoje Mordelio spėjimas ir Ferma teorema buvo galutinai įrodyti.

Tačiau pirmoji kregždė, nežinodama savo likimo, Japonijoje užaugo alkanais ir bedarbiais pokario metais. Kregždės vardas buvo Yutaka Taniyama. 1955 m. šiam herojui sukako 28 metai, ir jis nusprendė (kartu su draugais Goro Shimura ir Takauji Tamagawa) atgaivinti matematinius tyrimus Japonijoje. Kur pradėti? Žinoma, įveikus izoliaciją nuo užsienio kolegų! Taigi 1955 m. trys jauni japonai Tokijuje surengė pirmąją tarptautinę algebros ir skaičių teorijos konferenciją. Matyt, tai padaryti buvo lengviau amerikiečių peraukluotoje Japonijoje nei Stalino sušalusioje Rusijoje...

Tarp garbingų svečių buvo ir du herojai iš Prancūzijos: Andre Weilas ir Jeanas-Pierre'as Serre'as. Čia japonams labai pasisekė: Weilas buvo pripažintas prancūzų algebristų vadovas ir Bourbaki grupės narys, o jaunasis Serre'as atliko panašų vaidmenį tarp topologų. Aršiose diskusijose su jais japonų jaunimui plyšo galvos, tirpo smegenys, tačiau galiausiai išsikristalizavo tokios idėjos ir planai, kurie vargu ar galėjo gimti kitokioje aplinkoje.

Vieną dieną Taniyama kreipėsi į Weilą su klausimu apie elipsines kreives ir modulines funkcijas. Iš pradžių prancūzas nieko nesuprato: Taniyama nebuvo anglų kalbos meistras. Tada paaiškėjo reikalo esmė, tačiau Taniyama nesugebėjo tiksliai suformuluoti savo vilčių. Veilas jaunajam japonui galėjo atsakyti tik tiek, kad jei jam labai pasisektų įkvėpimo prasme, tai iš jo miglotų hipotezių išaugtų kažkas protingo. Bet kol viltis to silpna!

Akivaizdu, kad Weilas nepastebėjo dangiškos ugnies Taniyamos žvilgsnyje. Ir kilo gaisras: atrodo, kad akimirką nenumaldoma mintis apie velionį Puankarė persikėlė į japonus! Taniyama pradėjo manyti, kad kiekviena elipsinė kreivė yra generuojama modulinių funkcijų – tiksliau, ji yra „suvienodinta moduline forma“. Deja, tokia tiksli formuluotė gimė daug vėliau – Taniyamos pokalbiuose su draugu Shimura. Ir tada Taniyama, ištikta depresijos priepuolio, nusižudė... Jo hipotezė liko be šeimininko: nebuvo aišku, kaip tai įrodyti ar kur patikrinti, todėl ilgą laiką niekas to rimtai nežiūrėjo. Pirmasis atsakymas atėjo tik po trisdešimties metų – beveik kaip Fermato laikais!

Ledai pratrūko 1983 m., kai dvidešimt septynerių metų vokietis Gerdas Faltingsas visam pasauliui paskelbė: Mordelio spėjimas pasitvirtino! Matematikai buvo atsargūs, tačiau Faltingsas buvo tikras vokietis: jo ilgame ir sudėtingame įrodyme nebuvo spragų. Tiesiog atėjo laikas, susikaupė faktai ir sąvokos – ir dabar vienam talentingam algebristui, pasikliaudama dar dešimties algebristų rezultatais, pavyko išspręsti problemą, kuri šeimininko laukė šešiasdešimt metų. Tai nėra neįprasta XX amžiaus matematikoje. Verta prisiminti pasaulietinę kontinuumo problemą aibių teorijoje, du Burnside'o spėjimus grupių teorijoje arba Poincaré spėjimą topologijoje. Pagaliau, kalbant apie skaičių teoriją, atėjo laikas nuimti senų javų derlių... Kuri viršūnė bus kita užkariautų matematikų serijoje? Ar žlugs Eulerio problema, Riemanno hipotezė ar Ferma teorema? Tai gerai!

Ir dabar, praėjus dvejiems metams po Faltingso apreiškimo, Vokietijoje pasirodė dar vienas įkvėptas matematikas. Jo vardas buvo Gerhardas Frey, ir jis tvirtino kažką keisto: kad Ferma teorema yra IŠVEDTA iš Taniyamos spėjimo! Deja, Frey savo minčių reiškimo stilius labiau priminė nelaimingąjį Taniyama, o ne aiškų tautietį Faltingsą. Vokietijoje Frey niekas nesuprato, o jis išvyko į užsienį – į šlovingą Prinstono miestelį, kur po Einšteino priprato prie ne tokių lankytojų. Nenuostabu, kad Barry Mazur, universalus topologas, vienas iš neseniai įvykusio lygių kolektorių puolimo herojų, ten susikūrė lizdą. O šalia Mazuro užaugo studentas – Kenas Ribetas, vienodai patyręs topologijos ir algebros subtilybes, bet vis tiek savęs niekaip nešlovinantis.

Pirmą kartą išgirdęs Frey kalbas, Ribet nusprendė, kad tai nesąmonė ir beveik mokslinė fantastika (tikriausiai Weilas į Taniyamos apreiškimus reagavo taip pat). Tačiau Ribetas negalėjo pamiršti šios „fantazijos“ ir kartais mintyse prie jos grįždavo. Po šešių mėnesių Ribetas patikėjo, kad Frey fantazijose yra kažkas protingo, o po metų nusprendė, kad jis pats beveik gali įrodyti keistą Frey hipotezę. Tačiau kai kurios „skylės“ liko, ir Ribetas nusprendė prisipažinti savo bosui Mazurui. Jis įdėmiai klausėsi mokinio ir ramiai atsakė: „Taip, tu viską padarei! Čia reikia pritaikyti transformaciją Ф, čia - naudoti Lemmas B ir K, ir viskas įgaus nepriekaištingą formą! Taigi Ribetas padarė šuolį iš nežinomybės į nemirtingumą, naudodamas katapultą Frey ir Mazur asmenyje. Tiesą sakant, visi jie – kartu su velioniu Taniyama – turėtų būti laikomi paskutinės Ferma teoremos įrodymais.

Tačiau čia yra problema: jie padarė savo teiginį iš Taniyama hipotezės, kuri pati nebuvo įrodyta! O jei ji neištikima? Matematikai jau seniai žinojo, kad „viskas išplaukia iš melo“, jei Taniyamos spėjimas klaidingas, tada nepriekaištingi Ribeto samprotavimai yra beverčiai! Mums skubiai reikia įrodyti (arba paneigti) Taniyamos spėjimą – kitaip kažkas, pavyzdžiui, Faltingsas, Ferma teoremą įrodys kitaip. Jis taps didvyriu!

Vargu ar kada nors sužinosime, kiek jaunų ar patyrusių algebristų peršoko į Ferma teoremą po Faltingso sėkmės arba po Ribeto pergalės 1986 m. Visi jie stengėsi dirbti paslapčia, kad nesėkmės atveju nepatektų į „manekenų“-fermatistų bendruomenę. Žinoma, kad sėkmingiausias iš visų – Andrew Wilesas iš Kembridžo – pergalės skonį pajuto tik 1993 metų pradžioje. Tai ne tiek nudžiugino, kiek išgąsdino Wilesą: kas būtų, jei jo Taniyamos spėlionės įrodymas parodytų klaidą ar spragą? Tada jo mokslinė reputacija žuvo! Turite kruopščiai užrašyti įrodymą (bet tai bus daug dešimčių puslapių!) Ir atidėti šešiems mėnesiams ar metams, kad vėliau galėtumėte šaltakraujiškai ir kruopščiai perskaityti iš naujo... Bet kas būtų, jei kas nors paskelbia savo įrodymus per tą laiką? O bėda...

Vis dėlto Wilesas sugalvojo dvigubą būdą greitai patikrinti savo įrodymus. Pirmiausia turite pasitikėti vienu iš savo patikimų draugų ir kolegų ir pasakyti jam visą samprotavimo eigą. Iš išorės visos klaidos labiau matomos! Antra, protingiems studentams ir magistrantams būtina perskaityti specialų kursą šia tema: šie protingi žmonės nepraleis nei vienos dėstytojo klaidos! Tik nesakyk jiems galutinio kurso tikslo iki paskutinės akimirkos – kitaip apie tai sužinos visas pasaulis! Ir, žinoma, tokios publikos reikia ieškoti atokiau nuo Kembridžo - geriau net ne Anglijoje, o Amerikoje... Kas gali būti geriau už tolimą Prinstoną?

Wilesas ten nuvyko 1993 m. pavasarį. Jo kantrus draugas Niklasas Katzas, išklausęs ilgą Wileso pranešimą, rado jame nemažai spragų, tačiau visas jas nesunkiai ištaisė. Tačiau Prinstono magistrantūros studentai netrukus pabėgo iš specialaus Wileso kurso, nenorėdami sekti įnoringa dėstytojo mintimi, kuri juos veda nežinia kur. Po tokios (ne itin gilios) savo kūrybos apžvalgos Wilesas nusprendė, kad laikas atskleisti pasauliui didelį stebuklą.

1993 m. birželį Kembridže įvyko dar viena konferencija, skirta „Iwasawa teorijai“ – populiariai skaičių teorijos sekcijai. Wilesas nusprendė papasakoti savo Taniyamos spėlionių įrodymą, nepaskelbdamas pagrindinio rezultato iki pat pabaigos. Pranešimas tęsėsi ilgai, bet sėkmingai, pamažu pradėjo plūsti žurnalistai, kurie kažką nujautė. Galiausiai nugriaudėjo perkūnija: Ferma teorema įrodyta! Bendro džiaugsmo neaptemdė jokios abejonės: atrodo, kad viskas švaru... Tačiau po dviejų mėnesių Katzas, perskaitęs galutinį Wileso tekstą, pastebėjo jame dar vieną spragą. Tam tikras samprotavimų perėjimas rėmėsi „Eulerio sistema“ – bet tai, ką sukūrė Wilesas, nebuvo tokia!

Wilesas patikrino kliūtis ir suprato, kad čia suklydo. Dar blogiau: neaišku, kaip pakeisti klaidingą samprotavimą! Po to sekė tamsiausi Wileso gyvenimo mėnesiai. Anksčiau jis laisvai susintetino precedento neturintį įrodymą iš turimos medžiagos. Dabar jis yra pririštas prie siauros ir aiškios užduoties – be tikrumo, kad ji turi sprendimą ir kad jis sugebės jį rasti artimiausioje ateityje. Neseniai Frey negalėjo atsispirti tai pačiai kovai – ir dabar jo vardą užgožė laimingojo Ribeto vardas, nors Frey spėjimas pasirodė teisingas. O kas atsitiks su MANO spėjimu ir MANO vardu?

Šis sunkus darbas truko lygiai metus. 1994 m. rugsėjį Wilesas buvo pasirengęs pripažinti pralaimėjimą ir palikti Taniyamos hipotezę sėkmingesniems įpėdiniams. Priėmęs tokį sprendimą, jis ėmė pamažu perskaityti savo įrodymą – nuo ​​pradžios iki galo, įsiklausydamas į samprotavimo ritmą, iš naujo išgyvendamas sėkmingų atradimų malonumą. Vis dėlto, pasiekęs „prakeiktą“ vietą, Wilesas mintyse neišgirdo melagingos pastabos. Ar gali būti, kad jo samprotavimų eiga vis dar buvo nepriekaištinga, o klaida iškilo tik ŽODINIO psichikos vaizdo aprašyme? Jei čia nėra „Eulerio sistemos“, tai kas čia paslėpta?

Staiga man kilo paprasta mintis: „Eulerio sistema“ neveikia ten, kur taikoma Iwasawa teorija. Kodėl šios teorijos nepritaikius tiesiogiai – laimei, ji artima ir pažįstama pačiam Wilesui? Ir kodėl jis nebandė šio požiūrio nuo pat pradžių, o buvo pakerėtas kažkieno kito problemos vizijos? Wilesas nebegalėjo prisiminti šių detalių – ir tai tapo nenaudinga. Jis atliko reikiamus samprotavimus pagal Iwasawa teoriją ir viskas paaiškėjo per pusvalandį! Taigi – su vienerių metų vėlavimu – paskutinė Taniyamos spėlionių įrodymo spraga buvo užpildyta. Galutinis tekstas atiteko garsiausio matematikos žurnalo recenzentų grupės malonei, po metų jie pareiškė, kad dabar klaidų nėra. Taigi 1995 m. paskutinis Fermat spėjimas mirė sulaukęs 360 metų ir virto patikrinta teorema, kuri neišvengiamai pateks į skaičių teorijos vadovėlius.

Apibendrinant trijų šimtmečių šurmulį dėl Ferma teoremos, turime padaryti keistą išvadą: šis herojiškas epas negalėjo įvykti! Iš tiesų, Pitagoro teorema išreiškia paprastą ir svarbų ryšį tarp vaizdinių gamtos objektai- segmentų ilgis. Tačiau to negalima pasakyti apie Ferma teoremą. Tai labiau atrodo kaip kultūrinis antstatas ant mokslinio pagrindo – kaip pasiekimas Šiaurės ašigalisŽemė arba skrydis į mėnulį. Prisiminkime, kad abu šiuos žygdarbius rašytojai apdainavo dar gerokai anksčiau nei jie buvo įvykdyti – dar antikos laikais, pasirodžius Euklido „Elementams“, bet prieš Diofanto „Aritmetikos“ pasirodymą. Taigi, tada iškilo visuomenės poreikis tokio pobūdžio intelektualiniams žygdarbiams – bent jau įsivaizduojamiems! Anksčiau helenams užtekdavo Homero eilėraščių, lygiai kaip šimtą metų iki Fermato, prancūzams užteko religinių aistrų. Tačiau vėliau religinės aistros atslūgo – ir mokslas atsistojo šalia jų.

Rusijoje tokie procesai prasidėjo prieš šimtą penkiasdešimt metų, kai Turgenevas sulygino Jevgenijų Bazarovą su Jevgenijumi Oneginu. Tiesa, rašytojas Turgenevas menkai suprato mokslininko Bazarovo veiksmų motyvus ir nedrįso jų apdainuoti, tačiau netrukus tai padarė mokslininkas Ivanas Sechenovas ir apsišvietęs žurnalistas Žiulis Vernas. Spontaniškai mokslo ir technologijų revoliucijai reikalingas kultūrinis apvalkalas, kuris prasiskverbtų į daugumos žmonių protus, ir čia pirmiausia atsiranda mokslinė fantastika, o paskui mokslo populiarinimo literatūra (įskaitant žurnalą „Žinios yra galia“).

Tuo pačiu metu konkreti mokslinė tema visiškai nėra svarbi plačiajai visuomenei ir nėra labai svarbi net herojams-atlikėjams. Taigi, išgirdęs apie Peary ir Cooko pasiektą Šiaurės ašigalį, Amundsenas akimirksniu pakeitė savo jau paruoštos ekspedicijos tikslą – ir netrukus pasiekė Pietų ašigalį, vienu mėnesiu aplenkdamas Scottą. Vėliau Jurijaus Gagarino sėkmingas apiplaukimas aplink Žemę privertė prezidentą Kennedy pakeisti buvusį Amerikos kosmoso programos tikslą į brangesnį, bet kur kas įspūdingesnį – žmonių išlaipinimą Mėnulyje.

Dar anksčiau įžvalgus Hilbertas atsakė į naivų studentų klausimą: „Kokios mokslinės problemos sprendimas dabar būtų naudingiausias“? - atsakė juokaudamas: „Pagauk musę tolimoje mėnulio pusėje! Į sutrikusį klausimą: „Kodėl to reikia? - seka aiškus atsakymas: „ŠIO niekam nereikia! Tačiau pagalvokite apie mokslinius metodus ir technines priemones, kurias turėsime sukurti, kad išspręstume tokią problemą – ir kiek daug kitų gražių problemų išspręsime pakeliui!

Būtent taip atsitiko su Ferma teorema. Euleris galėjo tai nepastebėti.

Tokiu atveju matematikų stabu taptų kokia nors kita problema – galbūt ir iš skaičių teorijos. Pavyzdžiui, Eratosteno problema: ar yra baigtinė ar begalinė dvynių pirminių skaičių aibė (pvz., 11 ir 13, 17 ir 19 ir t. t.)? Arba Eulerio problema: ar kiekvienas lyginis skaičius yra dviejų pirminių skaičių suma? Arba: ar yra algebrinis ryšys tarp skaičių π ir e? Šios trys problemos dar neišspręstos, nors XX amžiuje matematikai priartėjo prie jų esmės supratimo. Tačiau šis šimtmetis iškėlė ir daug naujų, ne mažiau įdomių problemų, ypač matematikos sankirtoje su fizika ir kitomis gamtos mokslų šakomis.

Dar 1900 metais Hilbertas išskyrė vieną iš jų: sukurti pilną matematinės fizikos aksiomų sistemą! Praėjus šimtui metų, ši problema toli gražu neišspręsta jau vien dėl to, kad matematinių fizikos priemonių arsenalas nuolat auga, o ne visos turi griežtą pagrindimą. Tačiau po 1970 m. teorinė fizika suskilo į dvi šakas. Vienas (klasikinis) nuo Niutono laikų modeliuoja ir prognozuoja STABILIUS procesus, kitas (naujagimis) bando įforminti NESTABILIŲ procesų sąveiką ir būdus juos valdyti. Akivaizdu, kad šios dvi fizikos šakos turi būti aksiomatizuojamos atskirai.

Pirmoji iš jų tikriausiai bus išspręsta po dvidešimties ar penkiasdešimties metų...

O ko trūksta antrajai fizikos atšakai – tos, kuri yra atsakinga už visokias evoliucijas (įskaitant svetimus fraktalus ir keistus atraktorius, biocenozių ekologiją ir Gumiliovo aistros teoriją)? Tai vargu ar greitai suprasime. Tačiau mokslininkų garbinimas naujajam stabui jau tapo masiniu reiškiniu. Tikriausiai čia atsiskleis epas, panašus į trijų šimtmečių Ferma teoremos biografiją. Taigi skirtingų mokslų sankirtoje gimsta nauji stabai - panašūs į religinius, bet sudėtingesni ir dinamiškesni ...

Matyt, žmogus negali išlikti žmogumi, karts nuo karto nenuversdamas senų stabų ir nesukurdamas naujų – iš skausmo ir su džiaugsmu! Pierre'ui Fermat'ui pasisekė, kad lemtinga akimirka buvo šalia karštas taškas naujo stabo gimimas – ir jam pavyko naujagimyje palikti savo asmenybės įspaudą. Tokio likimo galima pavydėti, o jį mėgdžioti nėra nuodėmė.

Sergejus Smirnovas
"Žinios yra galia"

Prieš daug metų iš Taškento gavau laišką iš Valerijaus Muratovo, sprendžiant iš rašysenos, jaunatviško amžiaus vyro, kuris tada gyveno Kommunističeskaja gatvėje 31 name. Vaikinas buvo ryžtingas: „Tiesiog į reikalą. ar sumokėsite man už Ferma teoremos įrodinėjimą? tinka mažiausiai 500 rublių. Kitu metu būčiau tau įrodęs nemokamai, bet dabar man reikia pinigų ... "

Nuostabus paradoksas: mažai žmonių žino, kas yra Fermatas, kada jis gyveno ir ką veikė. Daugiau mažiau žmonių gali net labiausiai bendrais bruožais aprašykite jo didžiąją teoremą. Tačiau visi žino, kad egzistuoja kažkokia Ferma teorema, dėl kurios įrodymo viso pasaulio matematikai kovoja daugiau nei 300 metų, bet jie negali to įrodyti!

Yra daug ambicingų žmonių, o pats suvokimas, kad yra kažkas, ko kiti negali padaryti, dar labiau skatina jų ambicijas. Todėl į akademijas, mokslo institutus ir net laikraščių redakcijas visame pasaulyje atkeliavo ir tebekeliauja tūkstančiai (!) Didžiosios teoremos įrodymų – precedento neturintis ir niekada nesulaužytas pseudomokslinio mėgėjiško pasirodymo rekordas. Yra net toks terminas: „fermatistai“, tai yra žmonės, apsėsti noro įrodyti Didžiąją teoremą, kurie profesionalius matematikus visiškai išvargino reikalavimais įvertinti savo darbą. Garsus vokiečių matematikas Edmundas Landau net parengė standartą, pagal kurį atsakė: „Jūsų Fermato teoremos įrodyme puslapyje yra klaida...“, o jo absolventai užrašė puslapio numerį. O 1994 m. vasarą viso pasaulio laikraščiai praneša apie kažką visiškai sensacingo: Didžioji teorema įrodyta!

Taigi, kas yra Fermatas, kokia yra problemos esmė ir ar ji tikrai buvo išspręsta? Pierre'as Fermatas gimė 1601 m. odininko, turtingo ir gerbiamo vyro šeimoje – jis ėjo antruoju konsulu gimtajame Bomonto mieste – tai kažkas panašaus į mero padėjėją. Pierre'as iš pradžių mokėsi pas vienuolius pranciškonus, vėliau – Tulūzos teisės fakultete, kur vėliau užsiėmė advokato praktika. Tačiau Fermat interesų spektras peržengė jurisprudenciją. Ypač domėjosi klasikine filologija, žinomi jo komentarai apie antikos autorių tekstus. O antroji aistra – matematika.

XVII amžiuje, kaip ir po daugelio metų, tokios profesijos nebuvo: matematiko. Todėl visi didieji to meto matematikai buvo „neakivaizdiniai“ matematikai: Rene Descartes tarnavo armijoje, Francois Vietas buvo teisininkas, Francesco Cavalieri – vienuolis. mokslo žurnalai tada to nebuvo, o mokslo klasikas Pierre'as Fermat per savo gyvenimą nepaskelbė nė vieno mokslinio darbo. Buvo gana siauras ratas „mėgėjų“, kurie sprendė jiems įvairias įdomias problemas ir rašė vieni kitiems laiškus apie tai, kartais ginčydamiesi (kaip Fermatas su Dekartu), bet iš esmės liko bendraminčiais. Jie tapo naujosios matematikos pradininkais, briliantinių sėklų sėjomis, iš kurių ėmė augti galingas šiuolaikinių matematikos žinių medis, įgaunantis stiprybės ir šakotis.

Taigi, Fermatas buvo tas pats „mėgėjas“. Tulūzoje, kur jis gyveno 34 metus, visi jį pažinojo pirmiausia kaip Tyrimų rūmų patarėją ir patyrusį teisininką. Būdamas 30 metų vedė, susilaukė trijų sūnų ir dviejų dukterų, kartais vykdavo į komandiruotes, o per vieną iš jų staiga mirė 63-eji. Viskas! Šio žmogaus, Trijų muškietininkų amžininko, gyvenimas stebėtinai nenuobodus ir be nuotykių. Nuotykiai pateko į jo Didžiosios teoremos dalį. Nekalbėsime apie visą Ferma matematinį palikimą, o populiariai apie jį kalbėti sunku. Laikykitės mano žodžio: šis palikimas yra puikus ir įvairus. Teiginys, kad Didžioji teorema yra jo darbo viršūnė, yra labai ginčytinas. Tiesiog Didžiosios teoremos likimas stebėtinai įdomus, o didžiulis matematikos paslaptyse nesusipažinusių žmonių pasaulis visada domėjosi ne pačia teorema, o viskuo aplinkui...

Visos šios istorijos šaknų reikia ieškoti senovėje, kurią taip pamėgo Fermat. Maždaug III amžiuje Aleksandrijoje gyveno graikų matematikas Diofantas – mokslininkas, kuris mąstė originaliai, mąstė už dėžutės ribų ir reiškė savo mintis už dėžutės ribų. Iš 13 jo „Aritmetikos“ tomų mums atkeliavo tik 6. Kaip tik Fermatui sukako 20 metų, pasirodė naujas jo kūrinių vertimas. Fermatas labai mėgo Diofantą, ir šie raštai buvo jo žinynas. Jos paraštėse Fermatas užrašė savo Didžiąją teoremą, kuri paprasčiausia šiuolaikine forma atrodo taip: lygtis Xn + Yn = Zn neturi sprendinio sveikaisiais skaičiais n – daugiau nei 2. (Jei n = 2, sprendimas yra akivaizdus : Z2 + 42 = 52 ). Toje pačioje vietoje, Diofantinio tomo paraštėse, Fermatas priduria: „Aš atradau šį tikrai nuostabų įrodymą, bet šios paraštės jam per siauros“.

Iš pirmo žvilgsnio smulkmena paprasta, bet kai kiti matematikai pradėjo įrodinėti šią „paprastą“ teoremą, šimtą metų niekam nepavyko. Galiausiai didysis Leonhardas Euleris įrodė, kad n = 4, tada po 20 (!) metų - n = 3. Ir vėl darbas strigo ilgiems metams. Kita pergalė priklauso vokiečiui Peteriui Dirichlet (1805-1859) ir prancūzui Andrienui Legendre (1752-1833), kurie pripažino, kad Ferma buvo teisus ties n = 5. Tada tą patį padarė prancūzas Gabrielis Lametas (1795-1870). n = 7. Galiausiai praėjusio šimtmečio viduryje vokietis Ernstas Kummeris (1810-1893) įrodė Didžiąją teoremą visoms n reikšmėms, mažesnėms nei 100. Be to, jis įrodė tai naudodamas metodus, kurie galėtų Fermatas nežinojo, o tai dar labiau sustiprino Didžiosios teoremos paslapties šydą.

Taigi paaiškėjo, kad jie įrodinėja Ferma teoremą „gabalas po gabalo“, bet niekas nesugebėjo „visiškai“. Nauji bandymai įrodyti tik kiekybiškai padidino n reikšmes. Visi suprato, kad išnaudojus darbo bedugnę galima įrodyti Didžiąją teoremą savavališkai dideliam skaičiui n, tačiau Fermatas kalbėjo apie bet kokią reikšmę. iš jo daugiau nei 2! Būtent šiame skirtume tarp „savavališkai didelio“ ir „bet kokio“ buvo sutelkta visa problemos prasmė.

Tačiau reikia pastebėti, kad bandymai įrodyti Fermgo teoremą nebuvo tik kažkoks matematinis žaidimas, kompleksinio rebuso sprendimas. Šių įrodymų metu atsivėrė nauji matematiniai horizontai, iškilo ir sprendžiamos problemos, kurios tapo naujomis matematinio medžio šakomis. Didysis vokiečių matematikas Davidas Hilbertas (1862-1943) paminėjo Didžiąją teoremą kaip pavyzdį, „kokį skatinantį poveikį mokslui gali turėti ypatinga ir iš pažiūros nereikšminga problema“. Tas pats Kummeris, dirbdamas su Ferma teorema, pats įrodė teoremas, kurios sudarė skaičių teorijos, algebros ir funkcijų teorijos pagrindą. Taigi Didžiosios teoremos įrodinėjimas yra ne sportas, o tikras mokslas.

Laikas bėgo, o profesionaliems „fsrmatntams“ į pagalbą atėjo elektronika. Naujų metodų elektroninių smegenų nepavyko išrasti, tačiau jos įgavo greitį. Apie devintojo dešimtmečio pradžią Ferma teorema buvo įrodyta kompiuteriu, kai n yra mažesnė arba lygi 5500. Pamažu šis skaičius išaugo iki 100 000, bet visi suprato, kad toks „kaupimas“ yra grynos technologijos reikalas, suteikiantis nieko nei protui, nei širdžiai. Jie negalėjo užimti Didžiosios teoremos tvirtovės „ant galvos“ ir pradėjo ieškoti žiedinių manevrų.

Devintojo dešimtmečio viduryje jaunas nemeadny matematikas G. Filitingsas įrodė vadinamąjį „Mordellio spėjimą“, kurio, beje, nė vienas matematikas taip pat „nepasiekė“ 61 metus. Atsirado viltis, kad dabar, taip sakant, „puolant iš flango“, galima išspręsti ir Ferma teoremą. Tačiau tada nieko neįvyko. 1986 metais vokiečių matematikas Gerhardas Frei pasiūlė naują įrodinėjimo metodą Essesche. Nesiimu to aiškinti griežtai, bet ne matematine, o bendra žmonių kalba, tai skamba maždaug taip: jeigu esame įsitikinę, kad kokios nors kitos teoremos įrodymas yra netiesioginis, kažkokiu būdu transformuotas Ferma teoremos įrodymas, t. vadinasi, įrodysime Didžiąją teoremą. Po metų amerikietis Kennethas Ribetas iš Berklio parodė, kad Frey buvo teisus ir iš tikrųjų vienas įrodymas gali būti sumažintas iki kito. Daugelis matematikų ėjo šiuo keliu. skirtingos salys ramybė. Mes daug nuveikėme, kad įrodytume Viktoro Aleksandrovičiaus Kolyvanovo Didžiąją teoremą. Trijų šimtų metų senumo neįveikiamos tvirtovės sienos drebėjo. Matematikai suprato, kad tai truks neilgai.

1993 m. vasarą senovės Kembridže, Izaoko Niutono matematikos mokslų institute, 75 žymiausi pasaulio matematikai susirinko aptarti savo problemų. Tarp jų buvo amerikietis profesorius Andrew Wilesas iš Prinstono universiteto, žymus skaičių teorijos specialistas. Visi žinojo, kad jis daug metų dirbo ties Didžiąja teorema. Wilesas padarė tris pristatymus, o paskutiniame, 1993 m. birželio 23 d., pačioje pabaigoje, nusisukęs nuo lentos, šypsodamasis pasakė:

Manau, netęsiu...

Iš pradžių stojo mirtina tyla, vėliau – plojimai. Sėdintys salėje buvo pakankamai kvalifikuoti, kad suprastų: paskutinė Ferma teorema įrodyta! Bet kuriuo atveju, nė vienas iš susirinkusiųjų nerado klaidų aukščiau pateiktame įrodyme. Niutono instituto direktorius Peteris Goddardas žurnalistams sakė:

„Dauguma ekspertų nemanė, kad sužinos visą likusį gyvenimą. Tai vienas didžiausių mūsų šimtmečio matematikos laimėjimų...

Praėjo keli mėnesiai, jokių komentarų ar paneigimų nebuvo. Tiesa, Wilesas savo įrodymo nepaskelbė, o tik išsiuntė vadinamuosius savo darbo atspaudus labai siauram kolegų ratui, o tai, savaime suprantama, neleidžia matematikams komentuoti šios mokslinės sensacijos, o aš suprantu akademiką Ludwigą Dmitrievichą Faddejevą. kas pasakė:

– Galiu pasakyti, kad sensacija įvyko, kai įrodymą matau savo akimis.

Faddejevas mano, kad Wileso pergalės tikimybė yra labai didelė.

„Mano tėvas, žinomas skaičių teorijos specialistas, buvo, pavyzdžiui, įsitikinęs, kad teorema bus įrodyta, bet ne elementariomis priemonėmis“, – pridūrė jis.

Kitas mūsų akademikas Viktoras Pavlovičius Maslovas į šią naujieną žiūrėjo skeptiškai ir mano, kad Didžiosios teoremos įrodymas visai nėra aktuali matematinė problema. Taikomosios matematikos tarybos pirmininkas Maslovas savo moksliniais interesais toli gražu nėra „fermatistas“, o kai sako, kad Didžiosios teoremos pilnas sprendimas yra tik sportinis interesas, jį galima suprasti. Tačiau drįstu pastebėti, kad aktualumo sąvoka bet kuriame moksle yra kintamoji. Prieš 90 metų Rutherfordui, ko gero, taip pat buvo pasakyta: "Na, gerai, na, radioaktyvaus skilimo teorija... Na ir kas? Kokia iš to nauda? .."

Didžiosios teoremos įrodymo darbas jau davė daug matematikos, galima tikėtis, kad ji duos ir daugiau.

„Tai, ką padarė Wilesas, perkels matematikus į kitas sritis“, – sakė Peteris Goddardas. - Greičiau tai neuždaro vienos iš minties linijų, o kelia naujų klausimų, į kuriuos reikės atsakyti ...

Maskvos valstybinio universiteto profesorius Michailas Iljičius Zelikinas dabartinę situaciją man paaiškino taip:

Wileso darbe klaidų niekas nemato. Tačiau norint, kad šis darbas taptų moksliniu faktu, būtina, kad keli žinomi matematikai savarankiškai kartotų šį įrodymą ir patvirtintų jo teisingumą. Tai būtina sąlyga, kad matematikų bendruomenė pripažintų Wileso darbus...

Kiek laiko tai užtruks?

Šį klausimą uždaviau vienam iš mūsų pirmaujančių skaičių teorijos specialistų, fizinių ir matematikos mokslų daktarui Aleksejui Nikolajevičiui Paršinui.

Andrew Wileso laukia daug laiko...

Faktas yra tas, kad 1907 metų rugsėjo 13 dieną vokiečių matematikas P. Wolfskelis, kuris, skirtingai nei didžioji dauguma matematikų, buvo turtingas žmogus, paliko 100 tūkstančių markių tam, kuris per ateinančius 100 metų įrodys Didžiąją teoremą. Šimtmečio pradžioje palūkanos nuo paliktos sumos nukeliavo į garsiojo Getgangento universiteto iždą. Už šiuos pinigus buvo kviečiami pirmaujantys matematikai skaityti paskaitas ir atlikti mokslinį darbą. Tuo metu apdovanojimų komisijos pirmininkas buvo Davidas Hilbertas, kurį jau minėjau. Jis nenorėjo mokėti priemokos.

„Laimei, – pasakė didysis matematikas, – atrodo, kad neturime matematiko, išskyrus mane, kuris sugebėtų atlikti šią užduotį, bet aš niekada nedrįsiu užmušti žąsies, kuri mums deda auksinius kiaušinius. “

Iki Volfskelio nurodyto termino – 2007 m. – liko keli metai, ir, man regis, virš „Hilberto vištienos“ tyko rimtas pavojus. Bet iš tikrųjų tai ne apie prizą. Tai apie minčių smalsumą ir žmogaus atkaklumą. Jie kovojo daugiau nei tris šimtus metų, bet vis tiek tai įrodė!

Ir toliau. Man įdomiausia visoje šioje istorijoje: kaip pats Fermatas įrodė savo Didžiąją teoremą? Juk visi šiandieniniai matematiniai triukai jam buvo nežinomi. Ir ar jis iš viso tai įrodė? Juk yra versija, kurią jis lyg ir įrodė, bet pats rado klaidą, todėl kitiems matematikams įrodymų nesiuntė, o pamiršo perbraukti įrašą Diofanto tomo paraštėse. Todėl man atrodo, kad Didžiosios teoremos įrodymas, be abejo, įvyko, tačiau Ferma teoremos paslaptis išliko, ir vargu ar mes ją kada nors atskleisime ...

Galbūt Fermatas tada klydo, bet neklydo, kai rašė: „Galbūt palikuonys bus man dėkingi už tai, kad parodžiau jam, kad senoliai ne viską žinojo, ir tai gali prasiskverbti į sąmonę tiems, kurie ateis po manęs. fakelas savo sūnums...“

Pierre'as de Fermat'as, skaitydamas Diofanto Aleksandriečio „Aritmetiką“ ir apmąstydamas jos problemas, turėjo įprotį savo apmąstymų rezultatus užrašyti trumpų pastabų pavidalu knygos paraštėse. Prieš aštuntąją Diofanto problemą knygos paraštėse Fermatas rašė: Priešingai, neįmanoma išskaidyti nei kubo į du kubus, nei bi-kvadrato į du bi-kvadratus ir apskritai jokios galios, didesnės už kvadratą, į dvi laipsnius su tuo pačiu rodikliu. Atradau tikrai nuostabų to įrodymą, bet šios paraštės per siauros.» / E.T.Bell „Matematikos kūrėjai“. M., 1979, p.69/. Atkreipiu jūsų dėmesį į elementarų ūkio teoremos įrodymą, kurį gali suprasti bet kuris matematiką mėgstantis gimnazistas.

Palyginkime Fermato Diofanto problemos komentarą su šiuolaikine Ferma didžiosios teoremos formuluote, kuri turi lygties formą.
« Lygtis

x n + y n = z n(kur n yra sveikasis skaičius, didesnis už du)

neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių»

Komentaras yra logiškai susijęs su užduotimi, panašus į loginį predikato ryšį su dalyku. Tai, ką patvirtina Diofanto problema, priešingai, patvirtina Ferma komentaras.

Fermato komentarą galima interpretuoti taip: jeigu kvadratinė lygtis su trimis nežinomaisiais turi begalinį sprendinių skaičių visų Pitagoro skaičių trigubų aibėje, tada, atvirkščiai, lygtis su trimis nežinomaisiais laipsniu didesniu už kvadratą

Lygtyje nėra net užuominos apie jos ryšį su Diofanto problema. Jo teiginys reikalauja įrodymų, tačiau jis neturi sąlygos, iš kurios būtų išplaukia, kad jis neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių.

Man žinomi lygties įrodymo variantai redukuojami iki tokio algoritmo.

1. Jos išvada imama Ferma teoremos lygtis, kurios pagrįstumas patikrinamas įrodymų pagalba.
2. Ta pati lygtis vadinama pradinė lygtis, iš kurios turi vykti jos įrodymas.

Rezultatas yra tautologija: Jei lygtis neturi sprendinių teigiamais sveikaisiais skaičiais, tada ji neturi sprendinių teigiamais sveikaisiais skaičiais.“. Tautologijos įrodymas akivaizdžiai klaidingas ir neturi jokios prasmės. Tačiau tai įrodo prieštaravimas.

• Daroma prielaida, kuri yra priešinga tai, kas nurodyta lygtyje, kurią reikia įrodyti. Tai neturėtų prieštarauti pradinei lygčiai, bet prieštarauja. Įrodinėti tai, kas priimta be įrodymų, ir priimti be įrodymų tai, ką reikalaujama įrodyti, nėra prasmės.
• Remiantis priimta prielaida, atliekami absoliučiai teisingi matematiniai veiksmai ir veiksmai, siekiant įrodyti, kad ji prieštarauja pradinei lygčiai ir yra klaidinga.

Todėl jau 370 metų paskutinės Ferma teoremos lygties įrodymas išlieka neįmanoma matematikos specialistų ir mylėtojų svajone.

Teoremos išvadą priėmiau lygtį, o aštuntą Diofanto uždavinį ir jos lygtį – kaip teoremos sąlygą.

„Jei lygtis x 2 + y 2 = z 2 (1) turi begalinę sprendinių aibę visų Pitagoro skaičių trigubų aibėje, tada, atvirkščiai, lygtis x n + y n = z n , kur n > 2 (2) neturi teigiamų sveikųjų skaičių aibės sprendinių.

Įrodymas.

A) Visi žino, kad (1) lygtis turi begalinį sprendinių skaičių visų Pitagoro skaičių trigubų aibėje. Įrodykime, kad joks Pitagoro skaičių trigubas, kuris yra (1) lygties sprendimas, nėra (2) lygties sprendimas.

Remiantis lygybės grįžtamumo dėsniu, (1) lygties pusės yra sukeičiamos. Pitagoro skaičiai (z, x, y) gali būti interpretuojami kaip stačiojo trikampio kraštinių ilgiai ir kvadratai (x2, y2, z2) gali būti aiškinamas kaip kvadratų, pastatytų ant jo hipotenuzės ir kojų, plotai.

Lygties (1) kvadratus padauginame iš savavališko aukščio h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

(3) lygtis gali būti aiškinama kaip gretasienio tūrio lygybė dviejų gretasienių tūrių sumai.

Tegul trijų gretasienių aukštis h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Kubo tūris suskaidomas į du tūrius iš dviejų gretasienių. Kubo tūrį paliekame nepakeistą, o pirmojo gretasienio aukštį sumažiname iki x o antrojo gretasienio aukštis bus sumažintas iki y . Kubo tūris yra didesnis už dviejų kubų tūrių sumą:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Ant Pitagoro skaičių trigubų rinkinio ( x, y, z ) adresu n=3 (2) lygties sprendinio negali būti. Vadinasi, visų Pitagoro skaičių trigubų aibėje kubo išskaidyti į du kubus neįmanoma.

Įveskime (3) lygtį trijų gretasienių aukštį h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Lygiagretainio vamzdžio tūris išskaidomas į dviejų gretasienių tūrių sumą.
Kairiąją (6) lygties pusę paliekame nepakeistą. Jo dešinėje pusėje aukštis z2 sumažinti iki X pirmoje kadencijoje ir iki 2 val antroje kadencijoje.

(6) lygtis virto nelygybe:

Gretasienio tūris skaidomas į du dviejų gretasienių tūrius.

Kairiąją (8) lygties pusę paliekame nepakeistą.
Dešinėje aukščio pusėje zn-2 sumažinti iki xn-2 pirmoje kadencijoje ir sumažinti iki y n-2 antroje kadencijoje. (8) lygtis virsta nelygybe:

z n > x n + y n

(9)

Pitagoro skaičių trigubų aibėje negali būti vieno (2) lygties sprendinio.

Vadinasi, visų Pitagoro skaičių trigubų aibėje visiems n > 2 (2) lygtis neturi sprendinių.

Gautas „po stebuklingo įrodymo“, bet tik trynukams Pitagoro skaičiai. Tai yra įrodymų trūkumas ir P. Ferma atsisakymo iš jo priežastis.

b)Įrodykime, kad (2) lygtis neturi sprendinių ne Pitagoro skaičių trigubų aibėje, kuri yra savavališkai paimto Pitagoro skaičių trigubo šeima. z = 13, x = 12, y = 5 ir savavališko teigiamų sveikųjų skaičių trigubo šeima z = 21, x = 19, y = 16

Abu skaičių trynukai yra savo šeimos nariai:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Šeimos narių skaičius (10) ir (11) yra lygus pusei sandaugos iš 13 iš 12 ir 21 iš 20, ty 78 ir 210.

Kiekvienas šeimos narys (10) turi z = 13 ir kintamieji X ir adresu 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Kiekvienas šeimos narys (11) turi z = 21 ir kintamieji X ir adresu , kurių reikšmės yra sveikieji skaičiai 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Kintamieji nuosekliai mažėja 1 .

Sekos (10) ir (11) skaičių trigubai gali būti pavaizduoti kaip trečiojo laipsnio nelygybių seka:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

ir ketvirto laipsnio nelygybių pavidalu:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Kiekvienos nelygybės teisingumas patikrinamas pakeliant skaičius į trečią ir ketvirtą laipsnius.

Didesnio skaičiaus kubo negalima išskaidyti į du mažesnių skaičių kubus. Ji yra mažesnė arba didesnė už dviejų mažesnių skaičių kubelių sumą.

Didesnio skaičiaus dvikvadračio negalima išskaidyti į du mažesnių skaičių dvigubus kvadratus. Jis yra mažesnis arba didesnis už mažesnių skaičių dviejų kvadratų sumą.

Didėjant eksponentui, visos nelygybės, išskyrus kairėje esančią nelygybę, turi tą pačią reikšmę:

Nelygybės, jos visos turi tą pačią reikšmę: didesnio skaičiaus laipsnis yra didesnis nei dviejų mažesnių skaičių su tuo pačiu eksponentu laipsnių suma:

	13n > 12n + 12n ; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n	(12)
	21n > 20n + 20n ; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

Kairiausias sekų (12) (13) narys yra silpniausia nelygybė. Jo teisingumas lemia visų vėlesnių sekos (12) nelygybių teisingumą n > 8 ir seka (13) skirta n > 14 .

Tarp jų negali būti lygybės. Savavališkas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (21,19,16) nėra paskutinės Ferma teoremos (2) lygties sprendimas. Jei savavališkas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas nėra lygties sprendimas, tai lygtis neturi sprendinių teigiamų sveikųjų skaičių aibėje, o tai turėjo būti įrodyta.

SU) Ferma komentaras apie Diofanto problemą teigia, kad neįmanoma suskaidyti. apskritai nėra didesnės už kvadratą galios, dvi laipsniai su tuo pačiu rodikliu».

Bučiniai laipsnis, didesnis už kvadratą, iš tikrųjų negali būti padalytas į dvi laipsnius su tuo pačiu rodikliu. Aš nesibučiuoju laipsnis, didesnis už kvadratą, gali būti padalytas į dvi laipsnius su tuo pačiu laipsniu.

Bet kuris atsitiktinai pasirinktas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (z, x, y) gali priklausyti šeimai, kurios kiekvienas narys susideda iš pastovaus skaičiaus z ir dviem skaičiais mažiau nei z . Kiekvienas šeimos narys gali būti pavaizduotas nelygybės forma, o visos susidariusios nelygybės gali būti pavaizduotos kaip nelygybių seka:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n

(14)

Nelygybių seka (14) prasideda nelygybėmis, kurių kairioji pusė yra mažesnė už dešinę, ir baigiasi nelygybėmis, kurių dešinioji pusė yra mažesnė už kairę. Didėjant rodikliui n > 2 nelygybių skaičius dešinėje sekos (14) pusėje didėja. Su eksponentu n=k visos kairiosios sekos pusės nelygybės pakeičia savo reikšmę ir įgauna sekos nelygybių dešinės pusės nelygybių reikšmę (14). Dėl visų nelygybių eksponento padidėjimo kairioji pusė yra didesnė už dešinę:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k; zk > 1k + 1k

(15)

Toliau didėjant rodikliui n>k nė viena iš nelygybių nekeičia savo reikšmės ir nevirsta lygybe. Tuo remiantis galima teigti, kad bet kuris savavališkai paimtas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (z, x, y) adresu n > 2 , z > x , z > y

Savavališkame teigiamų sveikųjų skaičių trigubame z gali būti savavališkai didelis natūralusis skaičius. Visiems natūraliems skaičiams, ne didesniems kaip z , įrodyta paskutinė Ferma teorema.

D) Nesvarbu, koks didelis skaičius z , natūralioje skaičių eilutėje prieš ją yra didelė, bet baigtinė sveikųjų skaičių aibė, o po jos yra begalinė sveikųjų skaičių aibė.

Įrodykime, kad visa begalinė natūraliųjų skaičių aibė yra didesnė už z , sudaro skaičių trigubus, kurie nėra paskutinės Ferma teoremos lygties sprendiniai, pavyzdžiui, savavališkas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (z+1,x,y) , kuriame z + 1 > x ir z + 1 > y visoms eksponento reikšmėms n > 2 nėra paskutinės Ferma teoremos lygties sprendimas.

Atsitiktinai pasirinktas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (z + 1, x, y) gali priklausyti skaičių trigubų šeimai, kurios kiekvienas narys susideda iš pastovaus skaičiaus z + 1 ir du skaičiai X ir adresu , imant skirtingas vertes, mažesnes z + 1 . Šeimos nariai gali būti vaizduojami kaip nelygybės, kurių pastovi kairioji pusė yra mažesnė arba didesnė už dešinę. Nelygybės gali būti išdėstytos eilės tvarka kaip nelygybių seka:

Toliau didėjant rodikliui n>k iki begalybės, nė viena iš sekos (17) nelygybių nekeičia savo reikšmės ir netampa lygybe. Eilėje (16) nelygybė susidaro iš savavališkai paimto teigiamų sveikųjų skaičių trigubo (z + 1, x, y) , gali būti dešinėje formos pusėje (z + 1) n > x n + y n arba būti kairėje formos pusėje (z+1)n< x n + y n .

Bet kokiu atveju, teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (z + 1, x, y) adresu n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y sekoje (16) yra nelygybė ir negali būti lygybė, ty negali būti paskutinės Ferma teoremos lygties sprendimas.

Nesunku ir paprasta suprasti galios nelygybių sekos kilmę (16), kurioje paskutinė kairės pusės nelygybė ir pirmoji dešiniosios pusės nelygybė yra priešingos prasmės nelygybės. Atvirkščiai, moksleiviams, gimnazistams ir aukštųjų mokyklų studentams nėra lengva ir sunku suprasti, kaip iš nelygybių sekos (16) susidaro nelygybių seka (17), kurioje visos nelygybės turi tą pačią reikšmę.

Eilėje (16) padidinus sveikąjį nelygybių laipsnį 1, paskutinė kairėje pusėje esanti nelygybė paverčiama pirmąja priešingos reikšmės nelygybe dešinėje. Taigi nelygybių skaičius devintoje sekos pusėje mažėja, o nelygybių skaičius dešinėje didėja. Tarp paskutinės ir pirmosios priešingos reikšmės galios nelygybės yra galios lygybė. Jo laipsnis negali būti sveikasis skaičius, nes tarp dviejų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių yra tik nesveikieji skaičiai. Ne sveikojo skaičiaus laipsnio laipsnio lygybė pagal teoremos sąlygą negali būti laikoma (1) lygties sprendiniu.

Jei sekoje (16) toliau didinsime laipsnį 1 vienetu, tai paskutinė jos kairės pusės nelygybė pavirs pirmąja dešinės pusės priešingos reikšmės nelygybe. Dėl to kairėje pusėje nebus nelygybių, o tik dešinėje, tai bus didėjančių galios nelygybių seka (17). Tolesnis jų sveikojo skaičiaus laipsnio padidinimas 1 vienetu tik sustiprina jo galios nelygybes ir kategoriškai atmeta galimybę, kad lygybė atsiras sveikuoju laipsniu.

Todėl apskritai joks laipsnio nelygybių (17) sekos natūralaus skaičiaus (z+1) sveikasis laipsnis negali būti išskaidomas į dvi sveikųjų skaičių laipsnius su tuo pačiu rodikliu. Todėl (1) lygtis neturi begalinės natūraliųjų skaičių aibės sprendinių, o tai turėjo būti įrodyta.

Todėl paskutinė Ferma teorema yra įrodyta apskritai:

• A dalyje) visiems trynukams (z, x, y) Pitagoro skaičiai (Fermato atradimas yra tikrai stebuklingas įrodymas),
• C skirsnyje – visiems bet kurio trivietio šeimos nariams (z, x, y) Pitagoro skaičiai,
• C dalyje) visiems skaičių trynukams (z, x, y) , nėra dideli skaičiai z
• D dalyje) visiems skaičių trigubams (z, x, y) natūralių skaičių serija.

Pakeitimai padaryti 2010-09-05

Kurias teoremas galima ir kurių negalima įrodyti prieštaravimu

Aiškinamasis matematikos terminų žodynas apibrėžia įrodymą prieštaraujant atvirkštinei teoremai.

„Įrodymas prieštaravimu yra teoremos (sakinio) įrodinėjimo būdas, kurio metu įrodoma ne pati teorema, o jos ekvivalentas (ekvivalentas), priešinga atvirkštinė (atvirkštinė priešingybė) teorema. Įrodymas prieštaravimu naudojamas visada, kai tiesioginę teoremą sunku įrodyti, o priešingą atvirkštinę – lengviau. Įrodinėjant prieštaravimu, teoremos išvada pakeičiama jos neigimu, o samprotaujant pasiekiamas sąlygos neigimas, t.y. į prieštaravimą, į priešingą (priešingai tam, kas duota; ši redukcija į absurdą įrodo teoremą.

Matematikoje labai dažnai naudojamas įrodinėjimas prieštaravimu. Įrodymas prieštaravimu grindžiamas neįtraukiamo vidurio dėsniu, kuris susideda iš to, kad iš dviejų teiginių (teiginių) A ir A (A neigimas), vienas iš jų yra teisingas, o kitas yra klaidingas./ Aiškinamasis matematikos terminų žodynas: vadovas mokytojams / O. V. Manturovas [ir kiti]; red. V. A. Ditkina.- M.: Švietimas, 1965.- 539 p.: iliustr.-C.112/.

Nebūtų geriau atvirai deklaruoti, kad įrodinėjimo prieštaravimu metodas nėra matematinis metodas, nors jis naudojamas matematikoje, kad tai yra loginis metodas ir priklauso logikai. Ar pagrįsta teiginys, kad įrodinėjimas prieštaravimu „naudojamas visada, kai tiesioginė teorema yra sunkiai įrodoma“, nors iš tikrųjų jis naudojamas tada ir tik tada, kai nėra jo pakaitalo.

Ypatingo dėmesio nusipelno ir tiesioginės ir atvirkštinės teoremos ryšio charakteristika. „Atvirkštinė teorema duotai teoremai (arba duotai teoremai) yra teorema, kurios sąlyga yra išvada, o išvada yra duotosios teoremos sąlyga. Ši teorema atvirkštinės teoremos atžvilgiu vadinama tiesiogine teorema (pradine). Tuo pačiu metu atvirkštinė teorema į atvirkštinę teoremą bus duota teorema; todėl tiesioginė ir atvirkštinė teoremos vadinamos abipusiai atvirkštinėmis. Jei tiesioginė (duota) teorema yra teisinga, tai atvirkštinė teorema ne visada teisinga. Pavyzdžiui, jei keturkampis yra rombas, tai jo įstrižainės yra viena kitai statmenos (tiesioginė teorema). Jei keturkampio įstrižainės yra viena kitai statmenos, tai keturkampis yra rombas – tai netiesa, t.y. atvirkštinė teorema nėra teisinga./ Aiškinamasis matematikos terminų žodynas: vadovas mokytojams / O. V. Manturovas [ir kiti]; red. V. A. Ditkina.- M.: Švietimas, 1965.- 539 p.: iliustr.-C.261 /.

Ši savybė Santykyje tarp tiesioginės ir atvirkštinės teoremos neatsižvelgiama į tai, kad tiesioginės teoremos sąlyga laikoma duota, be įrodymo, todėl jos teisingumas nėra garantuotas. Atvirkštinės teoremos sąlyga nepriimama kaip duota, nes tai yra įrodytos tiesioginės teoremos išvada. Jos teisingumą patvirtina tiesioginės teoremos įrodymas. Šis esminis loginis skirtumas tarp tiesioginės ir atvirkštinės teoremos sąlygų pasirodo esąs lemiamas sprendžiant, kurias teoremas galima, o kurių negalima loginiu metodu įrodyti priešingai.

Tarkime, kad galvoje yra tiesioginė teorema, kurią galima įrodyti įprastu matematiniu metodu, tačiau tai sunku. Suformuluokime tai bendras vaizdas v Trumpa forma Taigi: iš A turėtų E . Simbolis A turi pateiktos teoremos sąlygos reikšmę, priimtą be įrodymų. Simbolis E yra įrodinėjamos teoremos išvada.

Tiesioginę teoremą įrodysime prieštaravimu, logiška metodas. Loginis metodas įrodo teoremą, kuri turi ne matematinis būklė ir logiška sąlyga. Jį galima gauti, jei teoremos matematinė sąlyga iš A turėtų E , papildyti priešinga sąlyga iš A tai neseka E .

Dėl to buvo gauta logiška prieštaringa naujosios teoremos sąlyga, kurią sudaro dvi dalys: iš A turėtų E ir iš A tai neseka E . Gauta naujosios teoremos sąlyga atitinka loginį neįtraukiamo vidurio dėsnį ir atitinka teoremos įrodymą prieštaravimu.

Pagal įstatymą viena prieštaringos sąlygos dalis yra klaidinga, kita dalis yra teisinga, o trečioji – pašalinama. Įrodymas prieštaravimu turi savo užduotį ir tikslą tiksliai nustatyti, kuri iš dviejų teoremos sąlygos dalių yra klaidinga. Kai tik bus nustatyta klaidinga sąlygos dalis, bus nustatyta, kad kita dalis yra tikroji, o trečioji neįtraukiama.

Pagal aiškinamasis žodynas matematinius terminus „Įrodymas – samprotavimas, kurio metu nustatomas bet kurio teiginio (nuosprendžio, teiginio, teoremos) teisingumas ar klaidingumas“. Įrodymas priešingai vyksta diskusija, kurios metu nustatoma melas(absurdumas) išvados, išplaukiančios iš klaidingaįrodomos teoremos sąlygos.

Duota: iš A turėtų E ir iš A tai neseka E .

Įrodykite: iš A turėtų E .

Įrodymas: Teoremos loginėje sąlygoje yra prieštaravimas, kurį reikia išspręsti. Sąlygos prieštaravimas turi rasti savo sprendimą įrodyme ir jo rezultate. Rezultatas yra klaidingas, jei samprotavimas yra nepriekaištingas ir neklystantis. Klaidingos išvados su logiškai teisingu samprotavimu priežastis gali būti tik prieštaringa sąlyga: iš A turėtų E ir iš A tai neseka E .

Nėra jokios abejonės, kad viena sąlygos dalis yra klaidinga, o kita šiuo atveju teisinga. Abi sąlygos dalys turi tą pačią kilmę, yra priimamos kaip duotosios, tariamos, vienodai galimos, vienodai leistinos ir pan. Loginio samprotavimo metu nebuvo rasta nei vieno loginio požymio, kuris atskirtų vieną sąlygos dalį nuo kitas. Todėl tokiu pat mastu iš A turėtų E ir galbūt iš A tai neseka E . pareiškimas iš A turėtų E gal būt klaidinga, tada pareiškimas iš A tai neseka E bus tiesa. pareiškimas iš A tai neseka E gali būti klaidingas, tada teiginys iš A turėtų E bus tiesa.

Todėl tiesioginės teoremos įrodyti prieštaravimo metodu neįmanoma.

Dabar tą pačią tiesioginę teoremą įrodysime įprastu matematiniu metodu.

Duota: A .

Įrodykite: iš A turėtų E .

Įrodymas.

1. Iš A turėtų B

2. Iš B turėtų V (pagal anksčiau įrodytą teoremą)).

3. Iš V turėtų G (pagal anksčiau įrodytą teoremą).

4. Iš G turėtų D (pagal anksčiau įrodytą teoremą).

5. Iš D turėtų E (pagal anksčiau įrodytą teoremą).

Remiantis tranzityvumo dėsniu, iš A turėtų E . Tiesioginė teorema įrodoma įprastu metodu.

Tegul įrodyta tiesioginė teorema turi teisingą atvirkštinę teoremą: iš E turėtų A .

Įrodykime tai paprastai matematinės metodas. Atvirkštinės teoremos įrodymas gali būti išreikštas simboline forma kaip matematinių operacijų algoritmas.

Duota: E

Įrodykite: iš E turėtų A .

Įrodymas.

1. Iš E turėtų D

2. Iš D turėtų G (pagal anksčiau įrodytą atvirkštinę teoremą).

3. Iš G turėtų V (pagal anksčiau įrodytą atvirkštinę teoremą).

4. Iš V tai neseka B (priešingai netiesa). Štai kodėl iš B tai neseka A .

Šioje situacijoje nėra prasmės tęsti matematinio atvirkštinės teoremos įrodymo. Situacijos priežastis logiška. Neįmanoma niekuo pakeisti neteisingos atvirkštinės teoremos. Todėl šios atvirkštinės teoremos negalima įrodyti įprastu matematiniu metodu. Visa viltis yra įrodyti šią atvirkštinę teoremą prieštaravimu.

Norint tai įrodyti prieštaravimu, jos matematinę sąlygą reikia pakeisti logiška prieštaringa sąlyga, kurios prasme yra dvi dalys – klaidinga ir tiesa.

Atvirkštinė teorema pretenzijos: iš E tai neseka A . Jos būklė E , iš kurios daroma išvada A , yra tiesioginės teoremos įrodinėjimo įprastu matematiniu metodu rezultatas. Ši sąlyga turi būti išlaikyta ir papildyta pareiškimu iš E turėtų A . Dėl papildymo gaunama prieštaringa naujosios atvirkštinės teoremos sąlyga: iš E turėtų A ir iš E tai neseka A . Remiantis tuo logiškai prieštaringa sąlyga, atvirkštinę teoremą galima įrodyti teisinga logiška tik samprotavimas ir tik logiška priešingas metodas. Įrodinėjant prieštaravimu, bet kokie matematiniai veiksmai ir operacijos yra pavaldūs loginiams ir todėl neįskaitomi.

Pirmoje prieštaringo teiginio dalyje iš E turėtų A sąlyga E buvo įrodyta tiesioginės teoremos įrodymu. Antroje dalyje iš E tai neseka A sąlyga E buvo manoma ir priimta be įrodymų. Vienas iš jų yra klaidingas, o kitas - tiesa. Būtina įrodyti, kuris iš jų yra klaidingas.

Mes įrodome teisingai logiška samprotavimus ir konstatuoti, kad jo rezultatas yra klaidinga, absurdiška išvada. Klaidingos loginės išvados priežastis yra prieštaringa teoremos loginė sąlyga, kurią sudaro dvi dalys – klaidinga ir teisinga. Klaidinga dalis gali būti tik teiginys iš E tai neseka A , kuriame E priimtas be įrodymų. Tai ir skiriasi nuo to E pareiškimus iš E turėtų A , o tai įrodo tiesioginės teoremos įrodymas.

Taigi teiginys yra teisingas: iš E turėtų A , kas turėjo būti įrodyta.

Išvada: loginiu metodu iš priešingos įrodoma tik ta atvirkštinė teorema, kuri turi tiesioginę matematiniu metodu įrodytą teoremą ir kurios negalima įrodyti matematiniu metodu.

Gauta išvada įgyja išskirtinę reikšmę įrodinėjimo metodo atžvilgiu, prieštaraudama Didžiajai Ferma teoremai. Didžioji dauguma bandymų tai įrodyti remiasi ne įprastu matematiniu metodu, o loginiu įrodinėjimo prieštaravimu metodu. Fermat Wileso Didžiosios teoremos įrodymas nėra išimtis.

Dmitrijus Abrarovas straipsnyje „Fermato teorema: Wileso įrodymų fenomenas“ paskelbė komentarą apie Wileso paskutinės Ferma teoremos įrodymą. Pasak Abrarovo, Wilesas įrodo paskutinę Ferma teoremą, pasitelkęs puikią vokiečių matematiko Gerhardo Frey (g. 1944 m.) radinį, susijusį su galimu Ferma lygties sprendimu. x n + y n = z n , kur n > 2 , su kita visiškai kitokia lygtimi. Šią naują lygtį pateikia speciali kreivė (vadinama Frey elipsine kreive). Frey kreivė pateikiama labai paprasta lygtimi:
.

„Būtent Frey'us lygino su kiekvienu sprendimu (a, b, c) Ferma lygtis, tai yra skaičiai, tenkinantys ryšį a n + b n = c n aukščiau pateiktą kreivę. Tokiu atveju sektų paskutinė Ferma teorema.(Citata iš: Abrarov D. "Fermato teorema: Wileso įrodymo fenomenas")

Kitaip tariant, Gerhardas Frey pasiūlė Ferma paskutinės teoremos lygtį x n + y n = z n , kur n > 2 , turi sprendinius teigiamais sveikaisiais skaičiais. Tie patys sprendiniai, Frey'io prielaida, yra jo lygties sprendiniai
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , kurią suteikia elipsinė kreivė.

Andrew Wilesas priėmė šį nuostabų Frėjaus atradimą ir, jo padedamas, perėjo matematinės metodas įrodė, kad šis radinys, tai yra Frey elipsinė kreivė, neegzistuoja. Todėl nėra lygties ir jos sprendinių, kuriuos duotų neegzistuojanti elipsinė kreivė, todėl Wilesas turėjo padaryti išvadą, kad Ferma paskutinės teoremos ir pačios Ferma teoremos lygčių nėra. Tačiau jis daro kuklesnę išvadą, kad paskutinės Ferma teoremos lygtis neturi sprendinių teigiamais sveikaisiais skaičiais.

Gali būti neginčijamas faktas, kad Wilesas priėmė prielaidą, kuri savo prasme yra tiesiogiai priešinga tai, kas išdėstyta paskutinėje Ferma teoremoje. Ji įpareigoja Wilesą prieštaravimu įrodyti Paskutinę Ferma teoremą. Sekime jo pavyzdžiu ir pažiūrėkime, kas atsitiks iš šio pavyzdžio.

Paskutinė Ferma teorema teigia, kad lygtis x n + y n = z n , kur n > 2 , neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių.

Pagal loginį įrodinėjimo prieštaravimu metodą šis teiginys išsaugomas, priimamas kaip pateiktas be įrodymo, o po to papildomas teiginiu priešinga prasme: lygtimi. x n + y n = z n , kur n > 2 , turi sprendinius teigiamais sveikaisiais skaičiais.

Hipotezinis teiginys taip pat priimamas kaip pateiktas, be įrodymų. Abu teiginiai, vertinant pagrindinių logikos dėsnių požiūriu, yra vienodai leistini, lygiomis teisėmis ir vienodai galimi. Teisingai motyvuojant, reikia nustatyti, kuris iš jų yra klaidingas, kad būtų galima nustatyti, ar kitas teiginys yra teisingas.

Teisingas samprotavimas baigiasi klaidinga, absurdiška išvada, kurios loginė priežastis gali būti tik prieštaringa įrodomos teoremos sąlyga, kurioje yra dvi tiesiogiai priešingos reikšmės dalys. Jie buvo logiška absurdiškos išvados priežastis, įrodinėjimo prieštaravimu rezultatas.

Tačiau logiškai teisingo samprotavimo metu nerasta nei vieno požymio, pagal kurį būtų galima nustatyti, kuris konkretus teiginys yra klaidingas. Tai gali būti teiginys: lygtis x n + y n = z n , kur n > 2 , turi sprendinius teigiamais sveikaisiais skaičiais. Tuo pačiu pagrindu tai gali būti teiginys: lygtis x n + y n = z n , kur n > 2 , neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių.

Dėl samprotavimo galima padaryti tik vieną išvadą: Paskutinė Ferma teorema negali būti įrodyta prieštaravimu.

Būtų visai kas kita, jei paskutinė Ferma teorema būtų atvirkštinė teorema, kurios tiesioginė teorema įrodyta įprastu matematiniu metodu. Šiuo atveju tai galėtų būti įrodyta prieštaravimu. O kadangi tai tiesioginė teorema, tai jos įrodymas turi būti pagrįstas ne loginiu įrodinėjimo prieštaravimu būdu, o įprastu matematiniu metodu.

Anot D. Abrarov, garsiausias šiuolaikinis Rusijos matematikas akademikas V. I. Arnoldas į Wileso įrodymą reagavo „aktyviai skeptiškai“. Akademikas pareiškė: „tai nėra tikroji matematika – tikroji matematika yra geometrinė ir stipriai susijusi su fizika“.

Priešingai, neįmanoma įrodyti nei to, kad paskutinės Ferma teoremos lygtis neturi sprendinių, nei kad ji turi sprendinių. Wileso klaida yra ne matematinė, o loginė – įrodymo panaudojimas prieštaravimu ten, kur jo vartojimas neturi prasmės ir neįrodo paskutinės Ferma teoremos.

Paskutinė Ferma teorema neįrodoma net naudojant įprastą matematinis metodas, jei duota: lygtis x n + y n = z n , kur n > 2 , neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių, o jei jame reikia įrodyti: lygtį x n + y n = z n , kur n > 2 , neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių. Šioje formoje yra ne teorema, o tautologija, neturinti prasmės.

Pastaba. Mano BTF įrodymas buvo aptartas viename iš forumų. Vienas iš Trotilo bendradarbių, skaičių teorijos specialistas, padarė tokį autoritetingą pareiškimą pavadinimu: Trumpas perpasakojimas ką padarė Mirgorodskis. Cituoju pažodžiui:

« A. Jis įrodė, kad jei z 2 \u003d x 2 + y , tada z n > x n + y n . Tai gerai žinomas ir gana akivaizdus faktas.

V. Jis paėmė du trigubus - pitagoriškąjį ir nepitagoriškąjį ir paprastu išvardinimu parodė, kad konkrečiai, konkrečiai trigubų šeimai (78 ir 210 vnt.) atliekamas BTF (ir tik jai).

SU. Ir tada autorius nutylėjo faktą, kad nuo < vėlesniame laipsnyje gali būti = , ne tik > . Paprastas priešingas pavyzdys yra perėjimas n=1 v n=2 Pitagoro triguboje.

D. Šis punktas neprisideda prie BTF įrodymo nieko esminio. Išvada: BTF neįrodyta.

Apsvarstysiu jo išvadą punktas po punkto.

A. Jame BTF įrodytas visai begalinei Pitagoro skaičių trigubų rinkiniui. Įrodyta geometriniu metodu, kurį, kaip tikiu, atradau ne aš, o atradau iš naujo. O ją atidarė, kaip tikiu, pats P. Fermatas. Fermatas galėjo tai turėti omenyje, kai rašė:

„Atradau tikrai nuostabų to įrodymą, bet šios ribos tam per siauros. Ši mano prielaida grindžiama tuo, kad Diofanto uždavinyje, prieš kurį knygos paraštėse rašė Fermatas, kalbame apie Diofanto lygties sprendimus, kurie yra Pitagoro skaičių trigubos.

Begalinė Pitagoro skaičių trigubų aibė yra Diofato lygties sprendiniai, o Ferma teoremoje, priešingai, nė vienas iš sprendinių negali būti Ferma teoremos lygties sprendimas. Ir tikrai stebuklingas Fermato įrodymas turi tiesioginės įtakos šiam faktui. Vėliau Fermatas galėjo išplėsti savo teoremą į visų natūraliųjų skaičių aibę. Visų natūraliųjų skaičių aibėje BTF nepriklauso „išskirtinai gražių teoremų rinkiniui“. Tai mano prielaida, kurios negalima nei įrodyti, nei paneigti. Jį galima ir priimti, ir atmesti.

V.Šioje pastraipoje aš įrodau, kad tiek savavališkai paimto Pitagoro skaičių trigubo šeima, tiek savavališkai paimto ne Pitagoro skaičių trigubo BTF šeima yra patenkinta. Tai būtina, bet nepakankama ir tarpinė grandis mano įrodyme BTF. Mano paimti pavyzdžiai apie Pitagoro skaičių trigubą šeimą ir ne Pitagoro skaičių trigubą šeimą turi konkrečių pavyzdžių, kurie suponuoja ir neatmeta kitų panašių pavyzdžių, reikšmę.

Trotilo teiginys, kad aš „paprastu išvardinimu įrodžiau, kad konkrečiai, konkrečiai triviečių šeimai (78 ir 210 vnt.) BTF yra įvykdyta (ir tik už ją), yra be pagrindo. Jis negali paneigti fakto, kad aš taip pat galėčiau imtis kitų pitagoriečių ir ne pitagoriečių trigubų pavyzdžių, kad gaučiau konkrečią vieno ir kito trigubų šeimą.

Kad ir kokią trigubų porą imčiau, patikrinti jų tinkamumą problemai išspręsti, mano nuomone, galima atlikti tik „paprasto surašymo“ metodu. Bet koks kitas metodas man nėra žinomas ir nereikalingas. Jei jam nepatiko Trotilas, jis turėjo pasiūlyti kitą metodą, kuris jam nepatinka. Nieko nesiūlant mainais, neteisinga smerkti „paprastą surašymą“, kuris šiuo atveju yra nepakeičiamas.

SU. Praleidau = tarp< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), kuriame laipsnis n > 2 — visas teigiamas skaičius. Iš lygybės tarp nelygybių išplaukia privalomas 1 lygties svarstymas su nesveika laipsnio reikšme n > 2 . Trotilų skaičiavimas privalomas nelygybių lygybę, faktiškai mano būtina BTF įrodyme, (1) lygties svarstymas su ne sveikasis skaičius laipsnio vertė n > 2 . Aš tai padariau sau ir radau lygtį (1) su ne sveikasis skaičius laipsnio vertė n > 2 turi trijų skaičių sprendinį: z, (z-1), (z-1) su ne sveikuoju rodikliu.

Ankstesnis straipsnis: Aliejus atlieka puikų darbą, tačiau jis nėra unikalus. Kitas straipsnis: Mumija ir jos taikymas. Mumiyo kas tai? Kas gydo. Kaip naudoti? Shilajit rūšys ir metodai