Шулуун шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ үү. Орон зай дахь шулуун шугамын каноник тэгшитгэл - онол, жишээ, асуудал шийдвэрлэх. Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл

3.1. Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд.

Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх Oxyz координатын системд шулуун шугам өгье

(18-р зургийг үз) -ээр тэмдэглэнэ
өгөгдсөн шулуунтай параллель вектор. Вектор дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.Шулуун цэг рүү ав
мөн вектор векторуудыг авч үзье
collinear, тиймээс тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байна:

(3.3.1 )

Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг каноник тэгшитгэлЧигээрээ.

Жишээ:Вектортой параллель M (1, 2, –1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл:Вектор нь хүссэн шулуун шугамын чиглэлийн вектор юм. Томьёог (3.1.1) хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр нь шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд юм.

Сэтгэгдэл:Аль нэг хуваагч алга болно гэдэг нь харгалзах тоологч алга болно, өөрөөр хэлбэл y - 2 = 0; y = 2. Энэ шулуун нь Oxz хавтгайтай параллель y = 2 хавтгайд оршдог.

3.2. Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.

Шугамыг каноник тэгшитгэлээр өгье

Бид тэмдэглэж байна
тэгээд
t утгыг параметр гэж нэрлэдэг бөгөөд ямар ч утгыг авч болно.
.

x, y, z-г t-ээр илэрхийлье.

(3.2.1 )

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.

Жишээ 1:Вектортой параллель М (1, 2, –1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл:Энэ шугамын каноник тэгшитгэлийг 3.1-р хэсгийн жишээн дээр авсан болно.

Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг олохын тулд бид томъёоны гарал үүслийг ашиглана (3.2.1):

Тэгэхээр,
- өгөгдсөн шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.

Хариулах:

Жишээ 2.Вектортой параллель M (–1, 0, 1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.
Энд A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).

Шийдэл:Вектор
нь хүссэн шулуун шугамын чиглэлийн вектор юм.

Векторыг ол
.

= (–3; 2; 3). Томъёо (3.2.1) ашиглан бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичнэ.

шулуун шугамын хайж буй параметрийн тэгшитгэлүүд юм.

3.3. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг шулуун шугам нь орон зайд өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрдөг (20-р зургийг үз). Өгөгдсөн оноо Вектор
Энэ шугамын чиглэлийн вектор болгон авч болно. Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэлүүд олддог (3.1.1) томъёогоор:
).

(3.3.1)

Жишээ 1.Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Бид (3.3.1) томъёог хэрэглэнэ.

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Параметрийн тэгшитгэлийг олж авахын тулд бид томъёоны гарал үүслийг ашиглана (3.2.1). Бид авдаг

шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлүүд юм.

Жишээ 2.Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: (3.3.1) томъёогоор бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр нь каноник тэгшитгэлүүд юм.

Параметрийн тэгшитгэл рүү шилжье:

- параметрийн тэгшитгэл.

Үүссэн шулуун шугам нь унц тэнхлэгтэй параллель байна (21-р зургийг үз).

Сансарт хоёр хавтгай өгөгдье

Хэрэв эдгээр онгоцууд давхцахгүй бөгөөд параллель биш бол шулуун шугамаар огтлолцоно.

Энэхүү хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем нь шулуун шугамыг хоёр хавтгайн огтлолцлын шугам гэж тодорхойлдог. (3.4.1) тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл (3.1.1) эсвэл параметрийн тэгшитгэл (3.2.1) руу шилжиж болно. Үүнийг хийхийн тулд та цэгийг олох хэрэгтэй
шулуун шугаман дээр хэвтэж, чиглэлийн вектор Цэгийн координат
Бид (3.4.1) системээс координатуудын аль нэгэнд дурын утгыг оноож авдаг (жишээлбэл, z = 0). Чиглэлийн векторын ард бид векторуудын вектор үржвэрийг авч болно, өөрөөр хэлбэл

Жишээ 1.Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: z = 0. Системийг шийд

Эдгээр тэгшитгэлийг нэмбэл бид: 3x + 6 = 0 болно
x = –2. Олдсон x = –2 утгыг системийн эхний тэгшитгэлд орлуулаад: –2 + y + 1 = 0 болно.
y = 1.

Тиймээс оноо
хүссэн шулуун шугам дээр байрладаг.

Шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг олохын тулд бид хавтгайнуудын хэвийн векторуудыг бичиж, тэдгээрийн вектор үржвэрийг ол:

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг (3.1.1) томъёогоор олно.

Хариулт:
.

Өөр арга зам:Шулуун шугамын (3.4.1) каноник ба параметрт тэгшитгэлийг (3.4.1) системээс шулуун шугамын хоёр өөр цэгийг олж, дараа нь томъёо (3.3.1) хэрэглэж, томъёо (3.2.1) гарган авах замаар хялбархан гаргаж болно. ).

Жишээ 2.Шулуун шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ үү

Шийдэл: y = 0 гэж үзье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Тэгшитгэлүүдийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна: 2x + 4 = 0; x = –2. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд x = –2-г орлуулаад: –2 –z +1 = 0-г авна.
z = –1. Тиймээс бид санаагаа олсон

Хоёрдахь цэгийг олохын тулд бид x = 0-г тавина. Бид дараах байдалтай байна.

Тэр бол

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг хүлээн авсан.

Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бүтээцгээе.

Хариулах:
;
.

3.5. Орон зай дахь хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал.

Шулуун шугамуудыг тавь
тэгшитгэлээр өгөгдсөн:

:
;
:

.

Эдгээр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг гэж ойлгодог (22-р зургийг үз). Энэ булан Бид вектор алгебрийн томъёогоор олно:
эсвэл

(3.5.1)

Хэрэв шулуун бол
перпендикуляр (
), тэгвэл
Тиймээс,

Энэ бол огторгуй дахь хоёр шулуун шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл юм.

Хэрэв шулуун бол
Зэрэгцээ (
), тэгвэл тэдгээрийн чиглэлийн векторууд нь коллинеар (
), тэр бол

(3.5.3 )

Энэ бол огторгуй дахь хоёр шулуун шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл юм.

Жишээ 1.Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол:

a).
болон

б).
болон

Шийдэл: a). Бид шулуун шугамын чиглэлийн векторыг бичнэ
Чиглэлийн векторыг ол
Системд багтсан онгоцууд Дараа нь бид тэдгээрийн хөндлөн үржвэрийг олно.

(3.4-р зүйлийн 1-р жишээг үзнэ үү).

(3.5.1) томъёогоор бид дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс,

б). Шулуун шугамын өгөгдлийн чиглэлийн векторуудыг бичье: Векторууд
collinear, учир нь тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байна:

Шулуун гэсэн үг
Зэрэгцээ (
), тэр бол

Хариулт: a).
б).

Жишээ 2.Шугамын перпендикуляр байдлыг батална уу:

болон

Шийдэл:Бид эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторыг бичнэ

Чиглэлийн векторыг ол хоёр дахь шулуун шугам. Үүнийг хийхийн тулд бид хэвийн векторуудыг олно
Системд багтсан онгоцууд: Тэдний хөндлөн үржвэрийг тооцоолъё:

(Жишээ 1, 3.4-ийг үзнэ үү).

Шулуун шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг (3.5.2) хэрэглэнэ.

Нөхцөл биелэгдсэн; Тиймээс шулуун шугамууд перпендикуляр (
).

ОНГОЦ ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн α 1 ба α 2 гэсэн хоёр хавтгайг авч үзье.

Доод өнцөгхоёр хавтгайн хооронд бид эдгээр хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгүүдийн нэгийг хэлнэ. Хэвийн векторууд ба α 1 ба α 2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь заасан зэргэлдээ хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. ... Тийм ч учраас ... Учир нь болон , дараа нь

.

Жишээ.Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойлно уу х+2y-3z+ 4 = 0 ба 2 х+3y+z+8=0.

Хоёр хавтгайн параллелизмын нөхцөл.

Хоёр хавтгай α 1 ба α 2 нь зөвхөн тэдгээрийн хэвийн векторууд зэрэгцээ байвал зэрэгцээ байна. .

Тиймээс, харгалзах координат дээрх коэффициентүүд пропорциональ байвал хоёр хавтгай бие биетэйгээ параллель байна.

эсвэл

Хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

Хоёр хавтгай нь хэвийн векторууд нь перпендикуляр байвал перпендикуляр байх нь ойлгомжтой, тиймээс, эсвэл.

Ийнхүү, .

Жишээ.

САНСАР ШУУД.

Вектор шугамын тэгшитгэл.

Шугамын параметрийн тэгшитгэл

Шулуун шугамын орон зай дахь байрлал нь түүний тогтмол цэгүүдийн аль нэгийг зааж өгснөөр бүрэн тодорхойлогддог М 1 ба энэ шулуунтай параллель вектор.

Шулуун шугамтай параллель векторыг нэрлэдэг чиглүүлэхэнэ шугамын вектор.

Тиймээс шулуун байцгаая лцэгээр дамждаг М 1 (х 1 , y 1 , z 1) вектортой параллель шулуун шугам дээр хэвтэж байна.

Дурын цэгийг авч үзье M (x, y, z)шулуун шугам дээр. Зураг нь үүнийг харуулж байна .

Векторууд ба коллинеар тул ийм тоо байна т, юу вэ, хүчин зүйл хаана байна тямар ч авч болно тоон утгацэгийн байрлалаас хамаарна Мшулуун шугам дээр. Хүчин зүйл тпараметр гэж нэрлэдэг. Цэгүүдийн радиус векторуудыг тэмдэглэж байна М 1 ба Мдамжуулан болон, бид авах. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг векторшулуун шугамын тэгшитгэл. Энэ нь параметрийн утга бүрийн хувьд гэдгийг харуулж байна тзарим цэгийн радиус вектортой тохирч байна Мшулуун шугам дээр хэвтэж байна.

Энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичье. Анхаарна уу, мөн эндээс

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ параметрийншулуун шугамын тэгшитгэл.

Параметрийг өөрчлөх үед ткоординатууд өөрчлөгдөнө х, yболон zба цэг Мшулуун шугамаар хөдөлдөг.

Каноник шулуун тэгшитгэлүүд

Байцгаая М 1 (х 1 , y 1 , z 1) шулуун шугам дээр байрлах цэг юм л, ба Энэ нь түүний чиглэлийн вектор юм. Дахин хэлэхэд шулуун шугамын дурын цэгийг ав M (x, y, z)ба векторыг авч үзье.

Векторууд ба коллинеар байх нь тодорхой тул тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх ёстой.

– каноникшулуун шугамын тэгшитгэл.

Тайлбар 1.Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг параметрийг хасах замаар параметрийн тэгшитгэлээс олж авч болохыг анхаарна уу. т... Үнэн хэрэгтээ бид параметрийн тэгшитгэлээс олж авдаг эсвэл .

Жишээ.Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич параметрийн хэлбэрээр.

Бид тэмдэглэж байна , эндээс х = 2 + 3т, y = –1 + 2т, z = 1 –т.

Тайлбар 2.Шулуун шугамыг координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд, жишээлбэл, тэнхлэгт перпендикуляр болго Үхэр... Дараа нь чиглүүлэх вектор перпендикуляр байна Үхэр, тиймээс, м= 0. Үүний үр дүнд шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Тэгшитгэлээс параметрийг хасах т, бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна

Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд бид шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг албан ёсоор хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрч байна ... Тиймээс хэрэв аль нэг бутархайн хуваагч тэг байвал энэ нь шугам нь харгалзах координатын тэнхлэгт перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

Үүнтэй адилаар каноник тэгшитгэлүүд тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамтай тохирч байна Үхэрболон Өөэсвэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ Оз.

Жишээ.

ХОЁР ХАВТГАЛЫН УУЛЗАЛТЫН ШУГАМ ГЭДЭГ ЕРӨНХИЙ ТЭГШИЖҮҮЛЭГ

Сансар огторгуйн шулуун шугам бүрээр тоо томшгүй олон тооны онгоц өнгөрдөг. Тэдгээрийн аль ч хоёр нь огтлолцож, түүнийг орон зайд тодорхойлдог. Иймээс хоёр ийм хавтгайн тэгшитгэлийг хамтад нь авч үзвэл энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.

Ерөнхийдөө ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн аль ч хоёр зэрэгцээ бус хавтгай

тэдгээрийн огтлолцлын шугамыг тодорхойлно. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ.

Жишээ.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамыг байгуул

Шулуун шугам барихын тулд түүний дурын хоёр цэгийг олоход хангалттай. Хамгийн хялбар арга бол координатын хавтгайтай шугамын огтлолцох цэгүүдийг сонгох явдал юм. Жишээлбэл, онгоцтой огтлолцох цэг xOyБид шулуун шугамын тэгшитгэлээс олж авдаг, тохиргоо z= 0:

Энэ системийг шийдсэний дараа бид цэгийг олдог М 1 (1;2;0).

Үүнтэй адилаар тохиргоо y= 0, бид шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгийг авна xOz:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс та түүний каноник эсвэл параметрийн тэгшитгэл рүү очиж болно. Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой цэгийг олох хэрэгтэй МШугаман дээрх 1 ба шугамын чиглэлийн вектор.

Цэгийн координат МЭнэ тэгшитгэлийн системээс координатуудын аль нэгэнд дурын утгыг оноож 1-ийг авна. Чиглэлийн векторыг олохын тулд энэ вектор хоёр хэвийн векторт перпендикуляр байх ёстойг анхаарна уу болон ... Тиймээс шулуун шугамын чиглүүлэх векторын ард лБид хэвийн векторуудын хөндлөн үржвэрийг авч болно:

.

Жишээ.Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өг канон хэлбэр рүү.

Шулуун шугам дээрх цэгийг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид координатуудын аль нэгийг дур мэдэн сонгоно, жишээлбэл, y= 0 ба тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шулуун шугамыг тодорхойлох хавтгайн хэвийн векторууд координаттай байдаг Тиймээс шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь байх болно

... Тиймээс, л: .

ШУУД ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

БуланОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.

Орон зайд хоёр шулуун шугам өгье.

Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг гэж авч болох нь ойлгомжтой. Үүнээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёоны дагуу бид олж авна

Орон зай дахь шулуун шугамын тэгшитгэлийн нэг хэлбэр бол каноник тэгшитгэл юм. Олон практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд үүнийг мэдэх шаардлагатай тул бид энэ ойлголтыг нарийвчлан авч үзэх болно.

Эхний хэсэгт бид гурван хэмжээст орон зайд байрлах шулуун шугамын үндсэн тэгшитгэлийг томъёолж, хэд хэдэн жишээ өгөх болно. Дараа нь бид өгөгдсөн каноник тэгшитгэлийн чиглэлийн векторын координатыг хэрхэн тооцоолох, урвуу асуудлын шийдлийг харуулах болно. Гурав дахь хэсэгт бид гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн байгуулахыг тайлбарлах бөгөөд сүүлийн догол мөрөнд каноник тэгшитгэлийн бусадтай холболтыг зааж өгөх болно. Бүх үндэслэлийг асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүдээр тайлбарлах болно.

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэл гэж юу болох талаар бид хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлд зориулсан нийтлэлд аль хэдийн ярьсан. Бид гурван хэмжээст орон зайтай тохиолдлыг аналогиар шинжлэх болно.

Бидэнд шугамыг заасан тэгш өнцөгт координатын систем O x y z байна гэж бодъё. Бидний санаж байгаагаар та шулуун шугам тавьж болно янз бүрийн арга замууд... Бид тэдгээрийн хамгийн энгийнийг ашиглах болно - бид шулуун шугам өнгөрөх цэгийг тогтоож, чиглэлийн векторыг зааж өгнө. Хэрэв бид шулуун шугамыг a үсэг ба М цэгээр тэмдэглэвэл M 1 (x 1, y 1, z 1) нь a шулуун дээр орших ба энэ шулууны чиглэлийн вектор нь a байх болно гэж бичиж болно. → = (сүх, ай, аз). M (x, y, z) цэгүүдийн олонлогын хувьд a шулууныг тодорхойлохын тулд M 1 M → ба a → векторууд нь коллинеар байх ёстой.

Хэрэв бид M 1 M → ба a → векторуудын координатыг мэддэг бол тэдгээрийн харилцан уялдаатай байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг координат хэлбэрээр бичиж болно. Анхны нөхцлөөс бид a → координатуудыг аль хэдийн мэддэг болсон. M 1 M → координатыг авахын тулд бид M (x, y, z) ба M 1 (x 1, y 1, z 1) хоорондын зөрүүг тооцоолох хэрэгтэй. Ингээд бичье:

M 1 M → = x - x 1, y - y 1, z - z 1

Үүний дараа бид шаардлагатай нөхцөлийг дараах байдлаар томъёолж болно: M 1 M → = x - x 1, y - y 1, z - z 1 ба a → = (ax, ay, az): M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az

Энд λ хувьсагчийн утга нь ямар ч бодит тоо эсвэл тэг байж болно. Хэрэв λ = 0 бол M (x, y, z) ба M 1 (x 1, y 1, z 1) давхцаж байгаа нь бидний үндэслэлтэй зөрчилдөхгүй.

a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0 утгуудын хувьд бид x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y z - z 1 = λ a z системийн бүх тэгшитгэлийг λ параметрийн дагуу шийдэж болно.

Үүний дараа зөв хэсгүүдийн хооронд тэнцүү тэмдэг тавих боломжтой болно.

x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay λ = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az

Үүний үр дүнд бид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z тэгшитгэлүүдийг авсан бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар та гурван хэмжээст орон зайд хүссэн шулуун шугамыг тодорхойлж болно. Эдгээр нь бидэнд хэрэгтэй каноник тэгшитгэлүүд юм.

Ийм тэмдэглэгээг a x, a y, a z гэсэн нэг эсвэл хоёр параметрийн тэг утгатай байсан ч ашигладаг, учир нь эдгээр тохиолдолд энэ нь бас зөв байх болно. a → = (a x, a y, a z) чиглэлийн вектор нь тэг байх боломжгүй тул гурван параметр бүгд 0-тэй тэнцүү байж болохгүй.

Хэрэв нэг буюу хоёр a параметр нь 0-тэй тэнцүү бол x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z тэгшитгэл нь нөхцөлт байна. Үүнийг дараах оруулгатай тэнцүү гэж үзнэ.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ, λ ∈ R.

Өгүүллийн гуравдугаар догол мөрөнд бид каноник тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно.

Орон зайн шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийн тодорхойлолтоос хэд хэдэн чухал дүгнэлт хийж болно. Тэднийг авч үзье.

1) хэрэв анхны шулуун шугам нь M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) хоёр цэгийг дайран өнгөрвөл каноник тэгшитгэлүүд дараах хэлбэртэй болно.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z эсвэл x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z.

2) a → = (ax, ay, az) нь анхны шугамын чиглүүлэх вектор тул бүх векторууд μ a → = μ ax, μ ay, μ az, μ ∈ R, μ ≠ 0 ... Дараа нь x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z эсвэл x - x 1 μ a x = y - y 1 μ a y = z - z 1 μ a z тэгшитгэлийг ашиглан шугамыг тодорхойлж болно.

Өгөгдсөн утгатай ийм тэгшитгэлийн зарим жишээ энд байна:

Жишээ 1 Жишээ 2

Орон зайд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд нь M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байгааг бид олж мэдсэн. a → = ( ​​ax, ay, az) вектор түүнийг чиглүүлэх болно. Энэ нь хэрэв бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэддэг бол түүний чиглэлийн векторын координатыг тооцоолж, векторын өгөгдсөн координат ба шулуун дээр байрлах зарим цэгийн координатыг өгвөл бид түүний каноник тэгшитгэлийг бичиж болно гэсэн үг юм.

Тодорхой хэд хэдэн даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 3

Бид x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 тэгшитгэлийг ашиглан гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон шулуун шугамтай. Үүний бүх чиглэлийн векторуудын координатыг бич.

Шийдэл

Чиглэлийн векторын координатыг авахын тулд тэгшитгэлээс хуваагчийн утгыг авах хэрэгтэй. Чиглэлийн векторуудын аль нэг нь a → = (4, 2, - 5) байх ба ижил төстэй бүх векторуудын багцыг μ · a → = 4 · μ, 2 · μ, - 5 · μ гэж томъёолж болно. . Энд μ параметр нь дурын бодит тоо (тэгээс бусад) байна.

Хариулт: 4 μ, 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0

Жишээ 4

Хэрэв огторгуйн шулуун шугам M 1 (0, - 3, 2) -аар дамжин өнгөрч, координат - 1, 0, 5-тай чиглэлийн вектортой бол каноник тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Бидэнд x 1 = 0, y 1 = - 3, z 1 = 2, a x = - 1, a y = 0, a z = 5 гэсэн өгөгдөл бий. Энэ нь каноник тэгшитгэлийг шууд бичихэд хангалттай юм.

Энийг хийцгээе:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Хариулт: x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Эдгээр даалгаварууд нь тэгшитгэл эсвэл вектор координат бичихэд зориулсан бүх буюу бараг бүх оролтын өгөгдлийг агуулсан байдаг тул хамгийн хялбар байдаг. Практикт та эхлээд хүссэн координатаа олж, дараа нь каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй болдог. Сансар огторгуйн өгөгдсөн цэгтэй параллель өнгөрөх шулуун шугам, түүнчлэн хавтгайд перпендикуляр огторгуйн тодорхой цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олоход зориулагдсан нийтлэлд ийм асуудлын жишээг задлан шинжилсэн.

Тэгшитгэл дэх a x, a y, a z параметрүүдийн нэг эсвэл хоёр утга тэг утгатай байж болно гэж бид аль хэдийн хэлсэн. Энэ тохиолдолд x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ гэсэн тэмдэглэгээ албан ёсны болно, учир нь бид тэг хуваагчтай нэг эсвэл хоёр бутархайг авдаг. Үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно (λ ∈ R хувьд):

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

Эдгээр тохиолдлуудыг илүү нарийвчлан авч үзье. a x = 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0, a x ≠ 0, a y = 0, a z ≠ 0, эсвэл a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z = 0 гэж бодъё. Энэ тохиолдолд бид шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

1. Эхний тохиолдолд:
   x - x 1 0 = y - y 1 ay = z - z 1 az = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 ay = z - z 1 az = λ

Хоёр дахь тохиолдолд:
x - x 1 ax = y - y 1 0 = z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y - y 1 = 0 z = z 1 + az λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 сүх = z - z 1 az = λ

Гурав дахь тохиолдолд:
x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 сүх = y - y 1 ay = λ

Параметрүүдийн ийм утгатай байх үед шаардлагатай шулуун шугамууд нь координатын хавтгайтай параллель байрладаг x - x 1 = 0, y - y 1 = 0 эсвэл z - z 1 = 0 хавтгайд байх болно ( хэрэв x 1 = 0, y 1 = 0 эсвэл z 1 = 0). Ийм шулуун шугамын жишээг зурагт үзүүлэв.

Тиймээс бид каноник тэгшитгэлийг арай өөрөөр бичих боломжтой болно.

1. Эхний тохиолдолд: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z λ, λ ∈ R
2. Хоёрдугаарт: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y λ, λ ∈ R z - z 1 = 0
3. Гурав дахь нь: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x λ, λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

Бүх гурван тохиолдолд анхны шулуун шугамууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй давхцах эсвэл тэдгээртэй параллель байх болно: x 1 = 0 y 1 = 0, x 1 = 0 z 1 = 0, y 1 = 0 z 1 = 0 . Тэдний чиглэлийн векторууд нь 0, 0, a z, 0, a y, 0, a x, 0, 0 координатуудтай. Хэрэв координатын шулуунуудын чиглэлийн векторуудыг i →, j →, k → гэж тэмдэглэвэл өгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторууд тэдгээртэй харьцуулахад коллинеар байна. Зураг нь эдгээр тохиолдлыг харуулж байна:

Эдгээр дүрмийг хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг жишээгээр харуулъя.

Жишээ 5

Орон зайд O z, O x, O y координатын шулууныг тодорхойлоход ашиглаж болох каноник тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл

i → = (1, 0, 0), j → = 0, 1, 0, k → = (0, 0, 1) координатын векторууд нь анхны шулуун шугамын чиглүүлэгч болно. О (0, 0, 0) цэгээр бидний шугамууд заавал дамжих болно гэдгийг бид бас мэднэ, учир нь энэ нь эхлэл юм. Одоо бидэнд шаардлагатай каноник тэгшитгэлийг бичих бүх өгөгдөл бий.

O x шулуун шугамын хувьд: x 1 = y 0 = z 0

O y шулуун шугамын хувьд: x 0 = y 1 = z 0

O z шулуун шугамын хувьд: x 0 = y 0 = z 1

Хариулт: x 1 = y 0 = z 0, x 0 = y 1 = z 0, x 0 = y 0 = z 1.

Жишээ 6

М 1 (3, - 1, 12) цэгийг дайран өнгөрөх огторгуйд шулуун шугамыг өгөв. Энэ нь ординаттай параллель байх нь бас мэдэгдэж байна. Энэ шугамын каноник тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Зэрэгцээ байдлын нөхцлийг харгалзан j → = 0, 1, 0 вектор нь шаардлагатай шулуун шугамын чиглүүлэгч болно гэж хэлж болно. Тиймээс хайж буй тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Хариулт: x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Шугам дамждаг M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) хоёр давхцахгүй цэгүүд байна гэж бодъё. Тэгвэл бид хэрхэн каноник тэгшитгэлийг томъёолж чадах вэ?

Эхлэхийн тулд бид M 1 M 2 → (эсвэл M 2 M 1 →) векторыг энэ шугамын чиглэлийн вектор болгон авна. Бидэнд шаардлагатай цэгүүдийн координат байгаа тул векторын координатыг нэн даруй тооцоолно.

M 1 M 2 → = x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1

Үүссэн тэгшитгэл нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын каноник тэгшитгэл юм. Дүрслэлийг харна уу:

Асуудлыг шийдэх жишээг хэлье.

Жишээ 7

орон зайд шулуун шугам өнгөрдөг M 1 (- 2, 4, 1) ба M 2 (- 3, 2, - 5) координаттай хоёр цэг байдаг. Түүний хувьд каноник тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Нөхцөлийн дагуу x 1 = - 2, y 1 = - 4, z 1 = 1, x 2 = - 3, y 2 = 2, z 2 = - 5. Бид эдгээр утгыг каноник тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй.

x - (- 2) - 3 - (- 2) = у - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

Хэрэв бид x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авбал: x - (- 3) - 3 - болно. ( - 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

Хариулт: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 эсвэл x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6.

Орон зайн шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг өөр төрлийн тэгшитгэл болгон хувиргах

Заримдаа x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z хэлбэрийн каноник тэгшитгэлийг ашиглах нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ гэсэн тэмдэглэгээг ашиглах нь зүйтэй. Зарим тохиолдолд A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 огтлолцох хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг ашиглан хүссэн шугамыг тодорхойлох нь илүү тохиромжтой байдаг. = 0. Тиймээс, энэ хэсэгт бид асуудлын нөхцөлийн дагуу шаардлагатай бол каноник тэгшитгэлээс бусад хэлбэрт хэрхэн шилжих боломжтойг шинжлэх болно.

Параметрийн тэгшитгэлд шилжих дүрмийг ойлгоход хэцүү биш юм. Эхлээд бид тэгшитгэлийн хэсэг бүрийг λ параметртэй тэнцүүлж, бусад хувьсагчтай холбоотойгоор эдгээр тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ⇔ x - x 1 ax = λ y - y 1 ay = λ z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ

λ параметрийн утга нь ямар ч бодит тоо байж болно, учир нь x, y, z аль аль нь ямар ч бодит утгыг авч болно.

Жишээ 8

Гурван хэмжээст орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугам өгөгдсөн бөгөөд энэ нь x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. Каноник тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр бичнэ үү.

Шийдэл

Эхлээд бид бутархайн хэсэг бүрийг λ-тэй тэнцүүлнэ.

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ

Одоо бид эхний хэсгийг x-тэй, хоёр дахь хэсгийг y-тэй, гурав дахь хэсгийг z-тэй харьцуулан шийдэж байна. Бид авах болно:

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7 + 0 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

Хариулт: x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

Бидний дараагийн алхам бол каноник тэгшитгэлийг огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэл болгон хувиргах явдал юм (ижил шулуун шугамын хувьд).

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z тэгшитгэлийг эхлээд тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой.

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

Бид p q = r s-ийг p s = q r гэж ойлгодог тул дараахь зүйлийг бичиж болно.

x - x 1 ax = y - y 1 ayx - x 1 ax = z - z 1 azy - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) az (X) - x 1) = ax (z - z 1) az (y - y 1) = ay (z - z 1) ⇔ ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авсан.

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

Гурван параметр a нь нэгэн зэрэг тэг байж болохгүй гэдгийг бид дээр дурдсан. Эндээс a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 ба хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогчдын нэг нь 0-тэй тэнцүү биш тул системийн үндсэн матрицын зэрэглэл 2-той тэнцүү байх болно.

ay - axaz 0 = ax az, ay 0 az - ax = ax ay, - ax 0 0 - ax = axaz 2 ay - ax 0 az = ay az, ay 0 0 - ay = - ay 2, - axaz 0 az - ай = axaz 0 0 az = az 2, az - axaz 0 - ay = - ay az, 0 - axaz - ay = ax az

Энэ нь бидний тооцооллоос нэг тэгшитгэлийг хасах боломжийг бидэнд олгодог. Тиймээс шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг 3 үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем болгон хувиргаж болно. Эдгээр нь бидэнд хэрэгтэй огтлолцох хоёр хавтгайн тэгшитгэл байх болно.

Үндэслэл нь нэлээд төвөгтэй мэт боловч бодит байдал дээр бүх зүйл маш хурдан хийгддэг. Үүнийг жишээгээр харуулъя.

Жишээ 9

Шулуун шугамыг x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 каноник тэгшитгэлээр өгөв. Үүний тулд огтлолцох хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Бутархайг хосоор нь тэгшитгэж эхэлцгээе.

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 1) = 2 y 0 (x) - 1) = 2 (z + 2) 0 y = 0 (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

Одоо бид сүүлийн тэгшитгэлийг тооцооллоос хассан, учир нь энэ нь ямар ч x, y, z-ийн хувьд үнэн байх болно. Энэ тохиолдолд x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0 байна.

Эдгээр нь огтлолцох хоёр хавтгайн тэгшитгэлүүд бөгөөд тэдгээр нь огтлолцохдоо x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам үүсгэдэг.

Хариулт: y = 0 z + 2 = 0

Жишээ 10

Шулуун шугамыг x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 тэгшитгэлээр өгсөн бөгөөд энэ шулуун шугамын дагуу огтлолцох хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл

Бид бутархайг хосоор нь тэнцүүлдэг.

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 у + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

Үүссэн системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү байна:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 1 = 0

Энэ тохиолдолд хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэг болохгүй: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6. Дараа нь бид үүнийг үндсэн насанд хүрээгүй гэж үзэж болно.

Үүний үр дүнд бид x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоолж болно. Энэ нь 2 байх болно. Гурав дахь тэгшитгэлийг тооцооноос хассан бөгөөд бид дараахь зүйлийг авна.

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Хариулт: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамыг каноник тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Энэ өгүүлэлд бид эхлээд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл тэдгээртэй давхцаж буй хавтгайн шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг гаргаж, бичиж, жишээг үзүүлэв. Дараа нь бид хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг энэ шулуун шугамын бусад төрлийн тэгшитгэлтэй холбохыг харуулах болно. Дүгнэж хэлэхэд бид хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг бүрдүүлэх ердийн жишээ, асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Хавтгай дээрх шугамын каноник тэгшитгэл - тайлбар ба жишээ.

Оксиг онгоцон дээр тогтсон байг. А шулуун шугамын аль нэг цэг нь а шулууны чиглэлийн вектор бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авах даалгавар өгье.

Шулуун шугамын хөвөгч цэг байг. Тэгвэл вектор нь шулуун шугамын чиглэлийн вектор бөгөөд координаттай байна (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү). Хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн олонлог нь тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тодорхойлох бөгөөд зөвхөн ба векторууд нь коллинеар байвал чиглэлийн вектортой болно.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт координатын системд хавтгай дээрх Окси хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.

Эхлэх ба төгсгөлийн цэгүүдийн мэдэгдэж буй координатуудаас бид векторын координатыг олж болно. ... Энэ вектор нь шулуун шугамын чиглэлийн вектор бөгөөд бидний хайж буй тэгшитгэл юм. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх, чиглэлийн вектортой шулуун шугамын каноник тэгшитгэл.

Шийдэл.

Ердийн шугамын вектор координаттай бөгөөд энэ вектор нь шулуун шугамын перпендикуляр байдлаас шалтгаалан бидний хайж буй тэгшитгэл нь шулуун шугамын чиглэлийн вектор юм. Тиймээс хавтгай дээрх шулуун шугамын хүссэн каноник тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно .

Хариулт:

Ном зүй.

• Бугров Ю.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Та ямар ч цэгээр хязгааргүй олон шулуун шугам зурж болно.

Давхцахгүй дурын хоёр цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгай дээрх хоёр таарахгүй шулуун шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шулуун шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт... Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ax + Wu + C = 0,

тогтмолтой А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг нийтлэг

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, Бболон ХАМТдараах онцгой тохиолдлууд боломжтой:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрүүдямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна

анхны нөхцөл.

Цэгийн дагуух шулуун шугам ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт... Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ... Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A (1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл... A = 3 ба B = -1 үед бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулна: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуул.Бид дараахийг авна: 3 - 2 + C = 0, тиймээс

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1, y 1, z 1)болон M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2болон x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу Чигээрээ.

Жишээ... А (1, 2) ба В (3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл... Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Нэг цэгийн дагуух шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуу.

Хэрэв ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ Ax + Wu + C = 0хэлбэрт хүргэх:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг ба чиглэлийн векторын дагуух шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзсэн догол мөртэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт... Тэг биш вектор бүр (α 1, α 2)бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Аα 1 + Вα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ... Чиглэлийн вектор (1, -1) ба А (1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл... Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайж олох болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C / A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Геометрийн утгаЭнэ коэффициент дэх коэффициентүүд нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,а б- шулуун шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ... Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C = 1, a = -1, b = 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг ийм байдлаар сонгох хэрэгтэй μ * C< 0.

Р- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

а φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ... Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0... Үүнийг бичих шаардлагатай Төрөл бүрийн төрөлтэгшитгэл

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-т хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт... Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2... Хоёр шулуун шугам перпендикуляр,

хэрэв k 1 = -1 / k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0болон A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

А 1 = λА, В 1 = λВ... Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шулуун шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шулуун шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт... Цэг дамжих шугам М 1 (х 1, у 1)ба шугаманд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем... Хэрэв оноо өгсөн бол M (x 0, y 0),шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа... Гол нь байя М 1 (х 1, у 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шулуун шугам. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай Мболон М 1:

(1)

Координатууд x 1болон 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шулуун шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем батлагдсан.

Өмнөх нийтлэл: Нарийн сурагчид - энэ нь юу гэсэн үг вэ? Дараагийн нийтлэл: Зөөлөн катетер ашиглан давсагны катетержуулалт