Дериватив тэгшитгэлийн геометрийн утга. Геометрийн болон физикийн утга. Парабола тангенс

Дериватив(нэг цэг дээр ажилладаг) - үндсэн ойлголт дифференциал тооцоофункцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлох (өгөгдсөн цэг дээр). гэж тодорхойлсон хязгаарфункцийн өсөлтийг түүний өсөлттэй харьцуулсан харьцаа маргаанаргументыг нэмэгдүүлэх хандлагатай үед тэгхэрэв ийм хязгаарлалт байгаа бол. Хязгаарлагдмал деривативтай (зарим цэгт) функцийг дифференциал (өгөгдсөн цэг) гэж нэрлэдэг.

Деривативыг тооцоолох үйл явц гэж нэрлэдэг ялгах... Урвуу үйл явц - олох эсрэг дериватив - интеграци.

Хэрэв функцийг графикаар өгөгдсөн бол түүний цэг бүр дэх дериватив нь функцийн графикт шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна. Хэрэв функц нь томьёогоор өгөгдсөн бол деривативын хүснэгт, ялгах дүрэм, өөрөөр хэлбэл үүсмэлийг олох дүрэм танд туслах болно.

4. Комплекс ба урвуу функцийн дериватив.

Одоо тохируулъя нарийн төвөгтэй функц , өөрөөр хэлбэл хувьсагч нь хувьсагчийн функц, хувьсагч нь эргээд бие даасан хувьсагчийн функц юм.

Теорем . Хэрэв болон  ялгах боломжтой түүний аргументуудын функцууд, дараа нь цогц функц нь дифференциалагдах функц бөгөөд түүний уламжлал нь завсрын аргументтай холбоотой өгөгдсөн функцийн дериватив болон бие даасан хувьсагчтай холбоотой завсрын аргументийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

.

Уг мэдэгдлийг илэрхий тэгш байдлаас хялбархан олж авдаг (ба-д хүчинтэй) хязгаарт шилжих замаар (энэ нь дифференциалагдах функцийн тасралтгүй байдлын улмаас илэрхийлэгддэг).

Деривативыг авч үзэх тал руугаа орцгооё урвуу функц.

Олонлог дээрх дифференциал функц нь олон утгатай байх ба олонлог дээр байдаг урвуу функц .

Теорем . Хэрэв цэг дээр бол дериватив , дараа нь урвуу функцийн дериватив цэг дээр байгаа бөгөөд энэ функцийн деривативын урвуутай тэнцүү байна: , эсвэл

Энэ томъёог геометрийн үндэслэлээр хялбархан олж авдаг.

Т Шүргэдэг шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенс байдаг тул тэнхлэгтэй ижил цэгт ижил шүргэгч (ижил шугам) -ын налуу өнцгийн тангенс байдаг.

Хэрэв тэд хурц бол, дараа нь уйтгартай бол, дараа нь .

Хоёр тохиолдолд ... Энэ тэгш байдал нь тэгш эрхтэй тэнцүү юм

5. Деривативын геометрийн болон физикийн утга.

1) Деривативын физик утга.

Хэрэв у = f (x) функц ба түүний аргумент х нь физик хэмжигдэхүүн бол тухайн цэг дэх х хувьсагчтай харьцуулахад у хувьсагчийн өөрчлөлтийн хурдыг дериватив гэнэ. Жишээлбэл, хэрэв S = S (t) нь t цаг хугацааны цэгийн туулсан зай бол түүний уламжлал нь тухайн үеийн хурд юм. Хэрэв q = q (t) нь t үед дамжуулагчийн хөндлөн огтлолоор урсах цахилгааны хэмжээ бол тухайн үеийн цахилгаан эрчим хүчний өөрчлөлтийн хурд, өөрөөр хэлбэл. тухайн үеийн одоогийн хүч.

2) Деривативын геометрийн утга.

Зарим муруй, муруй дээрх цэг байцгаая.

Хамгийн багадаа хоёр цэгийг огтолж буй аливаа шулуун шугамыг секант гэнэ.

Цэг дэх муруйн шүргэгч нь муруй дагуу хөдөлж буй цэг рүү чиглэж байгаа бол секантын хязгаарлах байрлал юм.

Тодорхойлолтоос харахад тухайн цэг дэх муруй руу шүргэгч байгаа бол энэ нь өвөрмөц юм

y = f (x) муруйг (өөрөөр хэлбэл y = f (x) функцийн график) авч үзье. Үүн дээр байя энэ нь босоо бус шүргэгч шугамтай. Түүний тэгшитгэл: (цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл мөн байх налуу k).

Налуугийн тодорхойлолтоор шулуун шугамын тэнхлэгт налуугийн өнцөг хаана байна.

Секантын тэнхлэгийн налуу өнцгийг хаана гэж үзье. Учир нь шүргэгч, дараа нь

Тиймээс,

Ингээд бид цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгчийн налууг олж авлаа. (цэг дэх функцийн деривативын геометрийн утга). Иймд цэг дээрх y = f (x) муруйн шүргэгчийн тэгшитгэл гэж бичиж болно

Сэдэв. Дериватив. Деривативын геометрийн болон механик утга

Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол функцийг цэг дээр дифференциал гэж нэрлэдэг. Функцийн деривативыг тэмдэглэв (томьёо 2).

1. Геометрийн утгадериватив. Функцийн графикийг авч үзье. Зураг 1-ээс харахад функцийн графикийн А ба В хоёр цэгийн хувьд та томъёо 3) бичиж болно. Үүнд - AB секантын налуу өнцөг.

Тиймээс ялгааны харьцаа нь секантын налуутай тэнцүү байна. Хэрэв бид А цэгийг засаж, В цэгийг түүн рүү шилжүүлбэл энэ нь тодорхойгүй хугацаагаар буурч, 0-д ойртож, AB таслагч нь шүргэгч АС-д ойртоно. Иймээс ялгааны харьцааны хязгаар нь А цэг дээрх шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Эндээс дараах дүгнэлт гарна.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн графиктай шүргэгчийн налуу юм. Энэ бол деривативын геометрийн утга юм.

1. Тангенсийн тэгшитгэл ... Тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг гаргая. Ерөнхий тохиолдолд налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл нь:. b-г олохын тулд шүргэгч нь А: цэгийг дайран өнгөрдөг гэдгийг ашиглана. Энэ нь: . Энэ илэрхийлэлийг b-ийн оронд орлуулснаар шүргэгч тэгшитгэлийг олж авна (Формула 4).

Лекц: Функцийн деривативын тухай ойлголт, деривативын геометрийн утга

Харгалзах бүх хугацаанд тасралтгүй байх зарим f (x) функцийг авч үзье. Тооцоолсон интервал дээр бид x 0 цэгийг, мөн энэ цэг дэх функцийн утгыг сонгоно.

Тиймээс, бид x 0 цэг, мөн (x 0 + ∆x) цэгийг тэмдэглэсэн графикийг харцгаая. ∆x нь сонгосон хоёр цэгийн хоорондох зай (ялгаа) гэдгийг санаарай.

Мөн x тус бүр y функцийн өөрийн утгатай тохирч байгааг ойлгох нь зүйтэй.

X 0 ба (x 0 + ∆x) цэг дээрх функцийн утгуудын зөрүүг энэ функцийн өсөлт гэж нэрлэдэг. ∆у = f (x 0 + ∆х) - f (x 0).

График дээр байгаа нэмэлт мэдээлэлд анхаарлаа хандуулцгаая - энэ бол KL гэж нэрлэгддэг секант, түүнчлэн KN ба LN интервалаар үүсгэдэг гурвалжин юм.

Секантын байрлах өнцгийг түүний налалтын өнцөг гэж нэрлэх ба α-аар тэмдэглэнэ. LKN өнцгийн градусын хэмжүүр нь α-тай тэнцүү болохыг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Одоо тэгш өнцөгт гурвалжин дахь харьцаануудыг санацгаая tanα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Өөрөөр хэлбэл, секантын налуугийн тангенс нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Нэгэн цагт дериватив нь функцийн өсөлтийг хязгааргүй бага интервалаар аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаар юм.

Дериватив нь тодорхой хэсэгт функц өөрчлөгдөх хурдыг тодорхойлдог.

Деривативын геометрийн утга

Хэрэв та аль нэг функцийн деривативыг хэзээ нэгэн цагт олвол өгөгдсөн гүйдлийн графикт шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй харьцуулахад ямар өнцгийг тодорхойлох боломжтой. График дээр анхаарлаа хандуулаарай - хазайлтын өнцгийг φ үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд шулуун шугамын тэгшитгэл дэх k коэффициентээр тодорхойлогддог: y = kx + b.

Өөрөөр хэлбэл, деривативын геометрийн утга нь функцын зарим цэг дэх шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс юм гэж бид дүгнэж болно.

Хичээлийн зорилго:

Оюутнууд мэдэж байх ёстой:

• шулуун шугамын налуу гэж юу вэ;
• шулуун ба Ox тэнхлэгийн хоорондох өнцөг;
• деривативын геометрийн утга нь юу вэ;
• функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл;
• параболын шүргэгчийг бий болгох арга;
• онолын мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлэх чадвартай байх.

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: үүсмэл үгийн механик болон геометрийн утгын талаархи ойлголтоор оюутнуудад мэдлэг, ур чадвар, чадварын тогтолцоог эзэмших нөхцлийг бүрдүүлэх.

Боловсрол: оюутнуудын шинжлэх ухааны үзэл бодлыг төлөвшүүлэх.

Хөгжиж буй: сурагчдын танин мэдэхүйн сонирхол, бүтээлч байдал, хүсэл зориг, ой санамж, яриа, анхаарал, төсөөлөл, ойлголтыг хөгжүүлэх.

Боловсрол, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг зохион байгуулах арга замууд:

• харааны;
• практик;
• сэтгэцийн үйл ажиллагааны талаар: индуктив;
• материалыг өөртөө шингээх талаар: хэсэгчлэн хайгуулын, нөхөн үржихүйн;
• бие даасан байдлын зэргээр: лабораторийн ажил;
• өдөөх: урамшуулах;
• хяналт: аман урд талын судалгаа.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Амны дасгал (үүсмэлийг олох)
2. "Математик анализ үүссэн шалтгаанууд" сэдвээр оюутны мессеж.
3. Шинэ материал сурах
4. Физик. Түр хүлээнэ үү.
5. Даалгавруудыг шийдвэрлэх.
6. Лабораторийн ажил.
7. Хичээлийг дүгнэж байна.
8. Гэрийн даалгаврын талаар тайлбар хийх.

Тоног төхөөрөмж: мультимедиа проектор (танилцуулга), карт ( лабораторийн ажил).

"Хүн өөрийнхөө хүч чадалд итгэсэн газарт л ямар нэгэн зүйлд хүрдэг"

Л.Фейербах

Хичээлийн туршид хичээлийн зохион байгуулалт, сурагчдын хичээлд бэлэн байдал, дэг журам, сахилга бат.

Хичээлийн бүхэлд нь болон түүний үе шатуудын аль алинд нь суралцагчдад сургалтын зорилго тавих.

Энэ сэдвээр болон хичээлийн туршид судалж буй материалын ач холбогдлыг тодорхойлох.

Амаар тоолох

1. Деривативуудыг ол:

", ()", (4sin x) ", (cos2x)", (tg x) ","

2. Логик тест.

a) Дутуу илэрхийлэл оруулах.

Шинжлэх ухааны хөгжлийн ерөнхий чиглэлийг эцсийн дүндээ хүний ​​үйл ажиллагааны практикт тавигдах шаардлагаар тодорхойлдог. Арифметик, алгебрийг хангалттай хөгжүүлээгүй бол нарийн шаталсан удирдлагын тогтолцоо бүхий эртний улсууд оршин тогтнох боломжгүй байсан, учир нь татвар хураах, армийн хангамжийг зохион байгуулах, ордон, пирамид барих, усалгааны системийг бий болгох шаардлагатай байв. нарийн төвөгтэй тооцоолол. Сэргэн мандалтын үед дундад зууны дэлхийн янз бүрийн хэсгүүдийн хоорондын харилцаа өргөжиж, худалдаа, гар урлал хөгжсөн. Үйлдвэрлэлийн техникийн түвшний хурдацтай өсөлт эхэлж, хүн, амьтны булчингийн хүчин чармайлттай холбоогүй эрчим хүчний шинэ эх үүсвэрүүдийг үйлдвэрлэлийн зориулалтаар ашиглаж байна. XI-XII зууны үед эсгий, нэхэх машинууд, XV зууны дунд үед хэвлэх машин гарч ирэв. Энэ үед нийгмийн үйлдвэрлэл эрчимтэй хөгжих шаардлагатай байгаатай холбогдуулан эрт дээр үеэс дүрслэх шинж чанартай байгалийн шинжлэх ухааны мөн чанар өөрчлөгддөг. Байгалийн шинжлэх ухааны зорилго нь объект биш харин байгалийн үйл явцыг гүнзгий судлах явдал юм. Эртний байгалийн шинжлэх ухаан нь тогтмол утгууд дээр ажилладаг математиктай тохирч байв. Үйл явцын үр дүнг бус харин түүний явцын мөн чанар, түүний өвөрмөц зүй тогтлыг тайлбарлах математикийн аппаратыг бий болгох шаардлагатай байв. Үүний үр дүнд 12-р зууны эцэс гэхэд Английн Ньютон, Германы Лейбниц нар математикийн шинжилгээний эхний шатыг хийж дуусгасан. "Математик анализ" гэж юу вэ? Аливаа үйл явцын онцлогийг хэрхэн тодорхойлж, урьдчилан таамаглах вэ? Эдгээр функцийг ашиглах уу? Энэ эсвэл тэр үзэгдлийн мөн чанарт илүү гүнзгий нэвтэрч орох уу?

Ньютон, Лейбниц нарын замыг дагаж, энэ үйл явцыг цаг хугацааны функц гэж үзэн хэрхэн дүн шинжилгээ хийж болохыг харцгаая.

Цаашид бидэнд туслах хэдэн ойлголтыг танилцуулъя.

y = kx + b шугаман функцийн график нь шулуун шугам бөгөөд k тоог гэнэ шулуун шугамын налуу. k = tg, энд шулуун шугамын өнцөг, өөрөөр хэлбэл энэ шулуун ба Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг юм.

Зураг 1

y = f (x) функцийн графикийг авч үзье. Дурын хоёр цэгээр дамжуулан секант зуръя, жишээ нь AM секант. (Зураг 2)

Тасалгааны налуу k = tg. Тэгш өнцөгт гурвалжинд AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Зураг 2

Зураг 3

"Хурд" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө нэг хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлт нь нөгөө хэмжигдэхүүний өөрчлөлтөөс хамааралтай болохыг тодорхойлдог бөгөөд сүүлийнх нь цаг хугацаа байх албагүй.

Тэгэхээр секантын налуу өнцгийн тангенс tg =.

Хэмжигдэхүүний өөрчлөлт нь богино хугацаанд хэрхэн хамааралтай болохыг бид сонирхож байна. Аргументийн өсөлтийг тэг болгоё. Дараа нь томъёоны баруун тал нь А цэг дээрх функцийн дериватив юм (яагаад гэдгийг тайлбарла). Хэрэв x -> 0 бол M цэг графикийн дагуу А цэг рүү шилждэг бөгөөд энэ нь AM шулуун нь AB шулуун шугам руу ойртоно гэсэн үг юм. А цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгч... (Зураг 3)

Секантын налуу өнцөг нь шүргэгчийн хазайлтын өнцөгт чиглэдэг.

Деривативын геометрийн утга нь тухайн цэг дээрх деривативын утга нь тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.

Деривативын механик утга.

Шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс нь тухайн цэг дэх функцийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурдыг харуулсан утга, өөрөөр хэлбэл судалж буй процессын шинэ шинж чанар юм. Энэ хэмжигдэхүүнийг Лейбниц гэж нэрлэсэн дериватив, мөн Ньютон агшин зуурын өөрөө дериватив гэж нэрлэгддэг гэж хэлсэн хурд.

№ 91 (1) байр 91 - самбар дээр харуулах.

x 0 - 1 цэгийн f (x) = x 3 муруйн шүргэгчийн налуу нь энэ функцийн деривативын x ​​= 1 дэх утга юм. f '(1) = 3x 2; f '(1) = 3.

No 91 (3.5) - диктант дор.

No 92 (1) - өөрийн үзэмжээр самбар дээр.

No 92 (3) - аман баталгаажуулалттай бие даан.

No 92 (5) - самбарын ард.

Хариултууд: 45 0, 135 0, 1.5 e 2.

Зорилго: "деривативын механик утга" гэсэн ойлголтыг боловсруулах.

Механикийн дериватив хэрэглээ.

x = x (t), t цэгийн шулуун шугаман хөдөлгөөний хууль өгөгдсөн.

1. Тодорхой хугацааны хөдөлгөөний дундаж хурд;
2. t 04 үеийн хурд ба хурдатгал
3. Зогсоох мөчүүд; цэг зогссоны дараа нэг чиглэлд хөдөлж байгаа эсэх, эсвэл эсрэг чиглэлд хөдөлж эхэлсэн эсэх;
4. Тодорхой хугацааны туршид хөдөлгөөний хамгийн дээд хурд.

Ажлыг 12 хувилбарын дагуу гүйцэтгэдэг бөгөөд даалгаврууд нь хүндрэлийн түвшингээр ялгагдана (эхний сонголт бол хамгийн бага түвшний хүндрэл юм).

Ажил эхлэхийн өмнө дараахь асуултуудын талаар ярилц.

1. Шилжилтийн деривативын физик утга нь юу вэ? (Хурд).
2. Та хурдны деривативыг олж чадах уу? Энэ хэмжигдэхүүнийг физикт ашигладаг уу? Энийг юу гэдэг вэ? (хурдатгал).
3. Агшин зуурын хурд нь тэг байна. Энэ мөчид биеийн хөдөлгөөний талаар юу хэлж болох вэ? (Энэ бол зогсох мөч юм).
4. Дараах мэдэгдлүүдийн физик утга нь юу вэ: хөдөлгөөний дериватив нь t 0 цэг дээр тэгтэй тэнцүү байна; t 0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгдөх үү? (Бие зогсох, хөдөлгөөний чиглэл эсрэгээр).

Оюутнууд ажлыг хэрхэн гүйцэтгэдэг жишээ.

x (t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Зураг 4

Эсрэг чиглэлд.

Хурдны бүдүүвч графикийг зурцгаая. Хамгийн дээд хурд нь тухайн цэг дээр хүрдэг

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300 - 40 = 260

Зураг 5

1) Деривативын геометрийн утга нь юу вэ?
2) Деривативын механик утга нь юу вэ?
3) Ажлынхаа талаар дүгнэлт хий.

Хуудас 90. No91 (2,4,6), No92 (2,4,6,), хуудас 92 No112.

Ашигласан номууд

• Алгебр ба анализын эхлэл.
  Зохиогчид: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.
  А.Б. Жижченкогийн найруулсан.
• Алгебрийн 11-р анги. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров нарын сурах бичгийн хичээлийн төлөвлөгөө. 1-р хэсэг.
• Интернет нөөц: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Деривативын геометрийн утгыг олохын тулд y = f (x) функцийн графикийг авч үзье. Координат (x, y) болон ойролцоох N (x + $ \ Delta $ x, y + $ \ Delta $ y) цэгтэй дурын M цэгийг ав. Ординатуудыг $ \ overline (M_ (1) M) $ ба $ \ overline (N_ (1) N) $, мөн M цэгээс OX тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зуръя.

$ \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $ харьцаа нь OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй MN секантын үүсгэсэн $ \ альфа $ 1 өнцгийн тангенс юм. $ \ Delta $ x тэг болох хандлагатай байгаа тул N цэг M-д ойртох ба MN секантын хязгаарлах байрлал нь М цэг дээрх муруйтай шүргэгч MT байх болно. Тиймээс f` (x) дериватив нь шүргэгчтэй тэнцүү байна. өнцөг $ \ альфа $ OX тэнхлэгт эерэг чиглэлтэй M (x, y) цэг дээр муруйн шүргэгчээс үүссэн өнцөг - шүргэгчийн налуу (Зураг 1).

Зураг 1. Функцийн график

Томъёо (1)-ийн дагуу утгыг тооцоолохдоо тэмдгүүдэд алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. өсөлт нь сөрөг байж болно.

Муруй дээр байрлах N цэг нь аль ч талаас нь M-д ойртож болно. Тиймээс, Зураг 1-д шүргэгч нь эсрэг чиглэл өгөх юм бол $ \ альфа $ өнцөг нь $ \ pi $ утгаараа өөрчлөгдөх бөгөөд энэ нь өнцгийн тангенс ба үүний дагуу налууд ихээхэн нөлөөлнө.

Дүгнэлт

Үүнээс үзэхэд дериватив оршин байгаа нь y = f (x) муруйн шүргэгч байгаатай холбоотой бөгөөд налуу - tg $ \ alpha $ = f` (x) нь төгсгөлтэй байна. Тиймээс шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель байх ёсгүй, эс тэгвээс $ \ альфа $ = $ \ pi $ / 2 байх ба өнцгийн тангенс нь хязгааргүй байх болно.

Зарим цэгүүдэд тасралтгүй муруй нь шүргэгчгүй эсвэл OY тэнхлэгтэй параллель шүргэгчтэй байж болно (Зураг 2). Дараа нь эдгээр утгуудад функц нь деривативтай байж болохгүй. Функцийн муруй дээр ийм олон цэг байж болно.

Зураг 2. Муруйн онцгой цэгүүд

Зураг 2-ыг авч үзье. Сөрөг эсвэл эерэг утгуудын талаас $ \ Delta $ x тэг рүү чиглэнэ.

\ [\ Delta x \ to -0 \ start (массив) (cc) () & (\ Delta x \ to +0) \ end (массив) \]

Хэрэв энэ тохиолдолд (1) харилцаа нь төгсгөлийн хязгаартай бол үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Эхний тохиолдолд зүүн талд дериватив, хоёрдугаарт, баруун талд дериватив байна.

Хязгаарлалт байгаа нь зүүн ба баруун деривативуудын тэнцүү ба тэгш байдлыг илтгэнэ.

Хэрэв зүүн ба баруун деривативууд тэнцүү биш бол энэ үед OY-тай параллель биш шүргэгч байна (М1 цэг, Зураг 2). М2, М3 цэгүүдэд (1) хамаарал нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

M2-ийн зүүн талд байрлах N цэгүүдийн хувьд $ \ Delta $ x $

$ M_2 $, $ \ Delta $ x $> $ 0-ийн баруун талд, гэхдээ илэрхийлэл нь мөн f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $

$ M_3 $ цэгийн хувьд зүүн талд $ \ Delta $ x $$ 0 ба f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $> $ 0, i.e. Зүүн ба баруун талын (1) илэрхийллүүд нь эерэг бөгөөд $ \ Delta $ x -0 ба +0 ойртох тусам + $ \ infty $ байх хандлагатай байдаг.

Шулуун шугамын тодорхой цэгүүдэд дериватив байхгүй байх тохиолдлыг (x = c) Зураг 3-т үзүүлэв.

Зураг 3. Дериватив байхгүй

Жишээ 1

Зураг 4-т функцийн график ба абсцисса $ x_0 $ цэг дээрх графикт шүргэгчийг харуулав. Абсцисса дээрх функцийн деривативын утгыг ол.

Шийдэл. Цэг дэх дериватив нь функцийн ~ өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Шүргэгчийн бүхэл координаттай хоёр цэгийг сонгоцгооё. Жишээлбэл, эдгээр нь F (-3,2) ба C (-2.4) цэгүүд байх болно.