Функцийн дериватив. Деривативын геометрийн утга. Дериватив ашиглан функцийг шалгах

Үүсмэлийн тэмдэг ба функцийн монотон байдлын шинж чанарын хоорондын холбоог харуулна.

Дараахь зүйлд маш болгоомжтой хандана уу. Хараач, танд ЮУ өгөх хуваарь! Функц эсвэл түүний дериватив

Хэрэв деривативын график өгөгдсөн бол, тэгвэл бид зөвхөн функцийн тэмдэг ба тэгийг сонирхох болно. Ямар ч "толгод" ба "хонхор" нь зарчмын хувьд бидний сонирхлыг татдаггүй!

Зорилго 1.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоог тодорхойл.

Шийдэл:

Зураг дээр функц буурах хэсгүүдийг өнгөөр ​​тодруулсан болно.

4 бүхэл тоо нь буурах функцийн эдгээр мужид багтдаг.

Зорилго 2.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн графикт шүргэгч нь шулуун шугамтай параллель буюу давхцах цэгүүдийн тоог ол.

Шийдэл:

Функцийн графикт шүргэгч нь шулуун шугамтай (эсвэл ижил) зэрэгцээ (эсвэл давхцаж байгаа) тул налуутэгтэй тэнцүү бол шүргэгч нь мөн налуутай байна.

Энэ нь эргээд шүргэгч нь тэнхлэгт параллель байна гэсэн үг, учир нь налуу нь тэнхлэгт шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс юм.

Тиймээс бид диаграм дээрх экстремум цэгүүдийг (хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд) олдог - тэдгээрт функцийн графикт шүргэгч нь тэнхлэгтэй параллель байх болно.

Ийм 4 цэг байдаг.

Зорилго 3.

Зураг дээр интервалаар тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Функцийн графикт шүргэгч нь шулуун шугамтай параллель буюу давхцах цэгүүдийн тоог ол.

Шийдэл:

Функцийн графикт шүргэгч нь налуутай шулуун шугамтай зэрэгцээ (эсвэл давхцаж байгаа) тул шүргэгч нь налуутай байна.

Энэ нь эргээд холбоо барих цэгүүд гэсэн үг юм.

Тиймээс бид хүснэгтийн хэдэн цэгтэй тэнцүү ординат байгааг хардаг.

Таны харж байгаагаар ийм дөрвөн цэг байдаг.

Даалгавар 4.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн дериватив 0 байх цэгүүдийн тоог ол.

Шийдэл:

Дериватив нь экстремум цэгүүдэд тэг байна. Бидэнд 4 нь байна:

Даалгавар 5.

Зураг дээр функцийн график ба абсцисса тэнхлэг дээрх арван нэгэн цэгийг харуулав. Эдгээр цэгүүдийн хэд нь функцийн дериватив сөрөг байх вэ?

Шийдэл:

Функцийн бууралтын интервалд түүний дериватив сөрөг утгыг авдаг. Мөн функц нь цэгүүдэд буурдаг. Ийм 4 цэг байдаг.

Даалгавар 6.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн экстремум цэгүүдийн нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Экстремум цэгүүдХамгийн их оноо (-3, -1, 1) ба хамгийн бага оноо (-2, 0, 3) байна.

Экстремум цэгүүдийн нийлбэр: -3-1 + 1-2 + 0 + 3 = -2.

Даалгавар 7.

Зураг дээр интервалаар тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол. Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл онооны нийлбэрийг зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Зурагт функцийн дериватив сөрөг биш байх интервалуудыг харуулав.

Өсөн нэмэгдэж буй бүхэл тоонуудын жижиг интервалд бүхэл тоо байхгүй, өсөлтийн интервал дээр дөрвөн бүхэл тоо байна:,, ба.

Тэдний нийлбэр:

Асуудал 8.

Зураг дээр интервалаар тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол. Хариултанд хамгийн уртынх нь уртыг заана уу.

Шийдэл:

Зураг дээр дериватив эерэг байх бүх интервалыг өнгөөр ​​тодруулсан бөгөөд энэ нь эдгээр интервалд функц өөрөө нэмэгддэг гэсэн үг юм.

Тэдний хамгийн урт нь 6.

Асуудал 9.

Зураг дээр интервалаар тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Сегментийн аль цэг нь хамгийн их утгыг авдаг.

Шийдэл:

Бид сегмент дээр график хэрхэн ажиллахыг хардаг, тухайлбал бид сонирхож байна зөвхөн дериватив тэмдэг .

Энэ сегмент дээрх график тэнхлэгээс доогуур байгаа тул деривативын тэмдэг нь хасах байна.

Бодлого В9 нь функц эсвэл деривативын графикийг өгсөн бөгөөд үүнээс та дараах хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгийг тодорхойлохыг хүсч байна.

1. Хэсэг цэг дэх деривативын утга x 0,
2. Өндөр эсвэл доод цэгүүд (экстремум цэгүүд),
3. Функцийн өсөлт ба буурах интервалууд (монотоник байдлын интервалууд).

Энэ асуудалд танилцуулсан функцууд болон деривативууд үргэлж тасралтгүй байдаг бөгөөд энэ нь шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг. Даалгавар нь математик анализын хэсэгт хамаарах хэдий ч хамгийн сул оюутнуудад ч хангалттай байдаг, учир нь энд онолын гүн гүнзгий мэдлэг шаардагддаггүй.

Дериватив, экстремум цэг, монотон байдлын интервалын утгыг олох энгийн бөгөөд бүх нийтийн алгоритмууд байдаг - бүгдийг нь доор авч үзэх болно.

Тэнэг алдаа гаргахгүйн тулд В9 асуудлын мэдэгдлийг анхааралтай уншина уу: заримдаа та нэлээд урт тексттэй тааралддаг, гэхдээ чухал нөхцөлшийдвэрийн явцад нөлөөлдөг, цөөхөн байдаг.

Деривативын утгыг тооцоолох. Хоёр цэгийн арга

Хэрэв асуудалд x 0 цэгт энэ графиктай шүргэгч f (x) функцийн график өгөгдсөн бөгөөд энэ цэг дэх деривативын утгыг олох шаардлагатай бол дараах алгоритмыг хэрэглэнэ.

1. Шүргэгчийн график дээрх хоёр "хангалттай" цэгийг ол: тэдгээрийн координат нь бүхэл тоо байх ёстой. Эдгээр цэгүүдийг A (x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) гэж тэмдэглэе. Координатыг зөв бичих - энэ бол шийдлийн гол цэг бөгөөд энд байгаа аливаа алдаа нь буруу хариулт руу хөтөлдөг.
2. Координатыг мэдсэнээр Δx = x 2 - x 1 аргументийн өсөлт ба Δy = y 2 - y 1 функцын өсөлтийг тооцоолоход хялбар байдаг.
3. Эцэст нь бид D = Δy / Δx деривативын утгыг олно. Өөрөөр хэлбэл, та функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлтөөр хуваах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хариулт болно.

Дахин нэг удаа анхаарна уу: А ба В цэгүүдийг ихэвчлэн тохиолддог шиг f (x) функцийн график дээр биш харин шүргэгч шулуун дээр хайх хэрэгтэй. Шүргэдэг шугам нь дор хаяж хоёр ийм цэгийг агуулсан байх ёстой - эс тэгвээс асуудал зөв бичигдээгүй болно.

A (−3; 2) ба B (−1; 6) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Деривативын утгыг ол: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Даалгавар. Зурагт y = f (x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэгт шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f (x) функцийн деривативын утгыг ол.

A (0; 3) ба B (3; 0) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = −3.

Одоо бид деривативын утгыг олно: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

Даалгавар. Зурагт y = f (x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэгт шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f (x) функцийн деривативын утгыг ол.

A (0; 2) ба B (5; 2) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Деривативын утгыг олоход л үлддэг: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

Сүүлийн жишээнээс бид дүрмийг томъёолж болно: хэрэв шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель байвал шүргэгч цэг дээрх функцийн дериватив нь тэг болно. Энэ тохиолдолд та юу ч тоолох шаардлагагүй - зүгээр л графикийг хараарай.

Хамгийн их ба хамгийн бага оноог тооцоолох

Заримдаа В9 бодлогод функцийн графикийн оронд деривативын график өгөгдсөн бөгөөд функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага цэгийг олох шаардлагатай болдог. Энэ нөхцөлд хоёр цэгийн арга нь ашиггүй, гэхдээ өөр, бүр энгийн алгоритм байдаг. Эхлээд нэр томъёог тодорхойлъё:

1. x 0 цэгийг f (x) функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ цэгийн зарим хэсэгт дараах тэгш бус байдал биелнэ: f (x 0) ≥ f (x).
2. Хэрэв энэ цэгийн зарим хэсэгт дараах тэгш бус байдал биелдэг бол x 0 цэгийг f (x) функцийн хамгийн бага цэг гэнэ: f (x 0) ≤ f (x).

Деривативын график дээрх хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг олохын тулд дараах алхмуудыг хийхэд хангалттай.

1. Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгаж, деривативын графикийг дахин зур. Практикаас харахад шаардлагагүй өгөгдөл нь зөвхөн шийдэлд саад болдог. Тиймээс бид деривативын тэгийг координатын тэнхлэг дээр тэмдэглэдэг - энэ бол бүх зүйл.
2. Тэг хоорондын зайд деривативын шинж тэмдгийг ол. Хэрэв ямар нэг x 0 цэгийн хувьд f '(x 0) ≠ 0 гэдгийг мэдэж байвал f' (x 0) ≥ 0 эсвэл f '(x 0) ≤ 0 гэсэн хоёр сонголт л боломжтой. Деривативын тэмдэг нь: Эхний зургаас хялбархан тодорхойлох боломжтой: хэрэв деривативын график нь OX тэнхлэгээс дээш байвал f '(x) ≥ 0. Мөн эсрэгээр, хэрэв деривативын график нь OX тэнхлэгээс доогуур байвал f' (x) болно. ) ≤ 0.
3. Деривативын тэг ба тэмдгүүдийг дахин шалгана уу. Тэмдгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчилсөн тохиолдолд хамгийн бага цэг байна. Эсрэгээр, хэрэв деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг юм. Тооллого үргэлж зүүнээс баруун тийш явагдана.

Энэ схем нь зөвхөн тасралтгүй функцүүдэд ажилладаг - В9 асуудалд өөр зүйл байхгүй.

Даалгавар. Зурагт [−5] сегмент дээр тодорхойлсон f (x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. 5]. Энэ хэрчим дээрх f (x) функцийн хамгийн бага цэгийг ол.

Шаардлагагүй мэдээллээс салцгаая - бид зөвхөн хил хязгаарыг үлдээх болно [−5; 5] ба x = −3 деривативын тэг ба x = 2.5. Мөн тэмдгүүдийг анхаарч үзээрэй:

Мэдээжийн хэрэг, x = −3 цэг дээр деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгдөнө. Энэ бол хамгийн бага цэг юм.

Даалгавар. [−3] сегмент дээр тодорхойлогдсон f (x) функцийн деривативын графикийг зурагт үзүүлэв. 7]. Энэ сегмент дээрх f (x) функцийн хамгийн их цэгийг ол.

Зөвхөн хил хязгаарыг үлдээж графикийг дахин зурцгаая [−3; 7] ба деривативын тэгүүд x = −1.7 ба x = 5. Үүссэн график дээрх деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглэ. Бидэнд байгаа:

Мэдээжийн хэрэг, x = 5 цэг дээр деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг - энэ бол хамгийн дээд цэг юм.

Даалгавар. Зурагт [−6] сегмент дээр тодорхойлсон f (x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв; 4]. [−4] хэрчимд хамаарах f (x) функцийн хамгийн их цэгүүдийн тоог ол; 3].

Асуудлын мэдэгдлээс харахад графикийн сегментээр хязгаарлагдсан хэсгийг л авч үзэхэд хангалттай [−4; 3]. Тиймээс бид барьж байна шинэ хуваарь, үүн дээр бид зөвхөн хил хязгаарыг тэмдэглэдэг [−4; 3] ба түүний доторх деривативын тэгүүд. Тухайлбал, x = −3.5 ба x = 2 цэгүүд. Бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ график нь зөвхөн нэг хамгийн их цэгтэй x = 2. Яг энэ үед деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг.

Бүхэл бус координаттай цэгүүдийн тухай товч тэмдэглэл. Жишээлбэл, сүүлийн бодлогод цэгийг x = −3.5 гэж үзсэн боловч та x = −3.4-ийг авч болно. Хэрэв асуудлыг зөв томъёолсон бол "тодорхой оршин суух газаргүй" оноо нь асуудлыг шийдвэрлэхэд шууд оролцдоггүй тул ийм өөрчлөлт нь хариултанд нөлөөлөх ёсгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ заль мэх бүхэл тоогоор ажиллахгүй.

Өсөх, буурах функцүүдийн интервалыг олох

Ийм бодлогод хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийн нэгэн адил үүсмэл графикаас функц өөрөө нэмэгдэж, буурах мужуудыг олохыг санал болгож байна. Эхлээд юу нэмэгдэж, юу буурч байгааг тодорхойлъё.

1. Хэрэв энэ хэрчимээс x 1 ба x 2 гэсэн хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2) үнэн байвал f (x) функцийг сегмент дээр нэмэгдэх гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл аргументын утга их байх тусам функцын утга ихсэх болно.
2. Хэрэв энэ хэрчим дэх x 1 ба x 2 аль ч хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2) үнэн бол f (x) функцийг сегментийн бууралт гэж нэрлэдэг. Тэдгээр. аргументийн утга их байх тусам функцын утга бага байна.

Өсөх, бууруулах хангалттай нөхцөлүүдийг томъёолъё:

1. Тасралтгүй функц f (x) сегмент дээр нэмэгдэхийн тулд сегмент доторх дериватив эерэг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f '(x) ≥ 0.
2. Тасралтгүй функц f (x) сегмент дээр буурахын тулд сегмент доторх дериватив нь сөрөг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f '(x) ≤ 0.

Эдгээр мэдэгдлийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрье. Тиймээс бид өсөлт ба бууралтын интервалыг олох схемийг олж авдаг бөгөөд энэ нь экстремум цэгүүдийг тооцоолох алгоритмтай олон талаараа төстэй юм.

1. Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгана уу. Деривативын анхны график дээр бид үндсэндээ функцийн тэгийг сонирхож байгаа тул бид зөвхөн тэдгээрийг үлдээх болно.
2. Тэг хоорондын зайд деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглэ. f ’(x) ≥ 0 бол функц нэмэгдэж, f’ (x) ≤ 0 бол буурна. Хэрэв асуудалд x хувьсагч дээр хязгаарлалт байгаа бол бид тэдгээрийг шинэ график дээр нэмж тэмдэглэнэ.
3. Одоо бид функцын зан төлөв болон хязгаарлалтыг мэдэж байгаа тул асуудалд шаардагдах утгыг тооцоолоход л үлддэг.

Даалгавар. [−3] сегмент дээр тодорхойлогдсон f (x) функцийн деривативын графикийг зурагт үзүүлэв. 7.5]. f (x) функцийн бууралтын интервалуудыг ол. Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.

Ердийнх шигээ графикийг дахин зурж, хил хязгаарыг тэмдэглээрэй [−3; 7.5], түүнчлэн x = −1.5 ба x = 5.3 деривативын тэгүүд. Дараа нь бид деривативын шинж тэмдгийг тэмдэглэнэ. Бидэнд байгаа:

(- 1.5) интервал дээр дериватив сөрөг утгатай тул энэ нь буурах функцийн интервал юм. Энэ интервалд байгаа бүх бүхэл тоог нэгтгэн дүгнэхэд үлдлээ.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Даалгавар. Зурагт [−10] сегмент дээр тодорхойлогдсон f (x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. 4]. f (x) функцийн өсөлтийн интервалуудыг ол. Хариултанд хамгийн уртынх нь уртыг заана уу.

Шаардлагагүй мэдээллээс ангижирцгаая. Зөвхөн хил хязгаарыг үлдээгээрэй [−10; 4] ба деривативын тэгүүд нь энэ удаад дөрөв болсон: x = −8, x = −6, x = −3 ба x = 2. Деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглээд дараах зургийг авна уу.

Бид функцийг нэмэгдүүлэх интервалыг сонирхож байна, i.e. f '(x) ≥ 0. График дээр (−8; −6) ба (−3; 2) хоёр ийм интервал байна. Тэдний уртыг тооцоолъё:
l 1 = - 6 - (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Хамгийн том интервалын уртыг олох шаардлагатай тул хариултанд бид l 2 = 5 утгыг бичнэ.

Хайрт найзууд! Деривативтай холбоотой бүлэг даалгаврууд нь даалгавруудыг агуулдаг - нөхцөл нь функцийн графикийг өгдөг бөгөөд энэ график дээр хэд хэдэн цэг байдаг бөгөөд асуулт нь:

Деривативын утга аль үед хамгийн том (хамгийн бага) вэ?

Товчхондоо:

Цэг дэх дериватив нь налуудамжин өнгөрөх шүргэгчграфик дээрх энэ цэг.

Байнашүргэгчийн глобал коэффициент нь эргээд энэ шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

* Энэ нь шүргэгч ба абсцисса хоорондын өнцгийг хэлнэ.

1. Функцийг нэмэгдүүлэх интервалууд дээр дериватив эерэг утгатай байна.

2. Түүний бууралтын интервал дээр дериватив нь сөрөг утгатай байна.

Дараах ноорог зургийг авч үзье.

1,2,4-р цэгүүдэд эдгээр цэгүүд нь буурах интервалд хамаарах тул функцийн дериватив нь сөрөг утгатай байна.

3,5,6-р цэгүүдэд эдгээр цэгүүд нэмэгдэж буй интервалд хамаарах тул функцийн дериватив эерэг утгатай байна.

Таны харж байгаагаар деривативын утгын хувьд бүх зүйл тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл графикийн тодорхой цэг дээр ямар тэмдэг (эерэг эсвэл сөрөг) байгааг тодорхойлоход хэцүү биш юм.

Түүгээр ч зогсохгүй эдгээр цэгүүд дээр шүргэгчийг оюун ухаанаараа байгуулбал бид 3, 5, 6-р цэгийг дайран өнгөрч буй шулуунууд нь 0-ээс 90 o хүртэлх зайд байрлах oX тэнхлэгтэй, 1-р цэгийг дайран өнгөрч буй шулуунууд нь өнцөг үүсгэдэг болохыг харах болно. , 2 ба 4 нь 90 о-оос 180 о хүртэлх ОХ өнцөгтэй.

* Харилцаа нь тодорхой: Өсөн нэмэгдэж буй функцын интервалд хамаарах цэгүүдийг дайран өнгөрөх шүргэгч нь oX тэнхлэгтэй хурц өнцөг үүсгэдэг, буурах функцүүдийн интервалд хамаарах цэгүүдийг дайран өнгөрдөг шүргэгч нь oX тэнхлэгтэй мохоо өнцөг үүсгэдэг.

Одоо нэг чухал асуулт байна!

Деривативын үнэ цэнэ хэрхэн өөрчлөгдөх вэ? Эцсийн эцэст, тасралтгүй функцийн графын өөр өөр цэгүүд дэх шүргэгч нь графикийн аль цэгийг дайран өнгөрөхөөс хамаарч өөр өөр өнцгийг үүсгэдэг.

* Эсвэл хэлэх энгийн хэл, шүргэгч нь "илүү хэвтээ" эсвэл "илүү босоо" шиг байрлана. Энийг хар даа:

Шулуун шугамууд нь ОХ тэнхлэгтэй 0-ээс 90 о хүртэлх өнцөг үүсгэдэг

Шулуун шугамууд нь ОХ тэнхлэгтэй 90 о-оос 180 о хүртэлх өнцөг үүсгэдэг

Тиймээс асуулт байвал:

- График дээрх эдгээр цэгүүдийн аль нь дериватив хамгийн бага утгатай вэ?

- График дээрх эдгээр цэгүүдийн аль нь деривативын утга хамгийн чухал вэ?

Дараа нь хариултын хувьд шүргэгч өнцгийн тангенсийн утга 0-ээс 180 о хооронд хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ойлгох шаардлагатай.

* Өмнө дурьдсанчлан, тухайн цэг дэх функцийн деривативын утга нь oX тэнхлэгт шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Тангенсийн утга дараах байдлаар өөрчлөгдөнө.

Шулуун шугамын налуу өнцөг 0-ээс 90 o хүртэл өөрчлөгдөхөд шүргэгчийн утга, улмаар дериватив нь 0-ээс + ∞ хүртэл өөрчлөгдөнө;

Шулуун шугамын налуу өнцөг 90 ° -аас 180 ° хүртэл өөрчлөгдөхөд шүргэгчийн утга, улмаар дериватив нь -∞ 0 болж өөрчлөгдөнө.

Үүнийг шүргэгч функцийн графикаас тодорхой харж болно.

Энгийнээр хэлбэл:

Шүргэгчийн налуу өнцгөөр 0 o-аас 90 o хүртэл

Энэ нь 0 о-д ойртох тусам деривативын утга тэг рүү ойртох болно (эерэг тал дээр).

Өнцөг нь 90 ° хүртэл ойртох тусам деривативын утга нь + ∞ хүртэл өсөх болно.

Шүргэгчийн налуу өнцгөөр 90 o-аас 180 o хүртэл

90°-д ойртох тусам деривативын утга –∞ болж буурна.

Өнцөг нь 180 ° хүртэл ойртох тусам деривативын утга тэг рүү ойртох болно (сөрөг тал дээр).

317543. Зурагт у = функцийн графикийг үзүүлэв е(х) болон тэмдэглэгдсэн цэгүүд–2, –1, 1, 2. Эдгээр цэгүүдийн алинд нь деривативын утга хамгийн их байх вэ? Хариултандаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.

Бидэнд дөрвөн цэг байна: тэдгээрийн хоёр нь функц буурах интервалд (эдгээр нь -1 ба 1 цэгүүд) болон функц нэмэгдэх хоёр интервалд (эдгээр нь -2 ба 2 цэгүүд) хамаарна.

-1 ба 1 цэгүүдэд дериватив нь сөрөг утгатай, -2 ба 2 цэгүүдэд эерэг утгатай байна гэж бид шууд дүгнэж болно. Тиймээс, энэ тохиолдолд -2 ба 2-р цэгүүдэд дүн шинжилгээ хийж, тэдгээрийн аль нь хамгийн их утгатай болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Заасан цэгүүдийг дайран өнгөрөх шүргэгчийг байгуулъя.

Шулуун а ба абсцисса тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенс нь шулуун b ба энэ тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенсаас их байх болно. Энэ нь -2 цэг дэх деривативын утга хамгийн том байх болно гэсэн үг юм.

Дараах асуултад хариулъя: –2, –1, 1, 2 цэгүүдийн аль нь деривативын утга хамгийн их сөрөг байх вэ? Хариултандаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.

Дериватив нь буурах интервалд хамаарах цэгүүдэд сөрөг утгатай байх тул -2 ба 1 цэгүүдийг анхаарч үзээрэй. Тэдгээрийг дайран өнгөрөх шүргэгчийг байгуул.

Шулуун b ба oX тэнхлэгийн хоорондох мохоо өнцөг нь 180-тай "ойрхон" байгааг бид харж байна.О , тиймээс түүний шүргэгч нь шулуун a ба oX тэнхлэгээс үүссэн өнцгийн тангенсаас их байх болно.

Тиймээс x = 1 цэг дээр деривативын утга хамгийн том сөрөг байх болно.

317544. Зурагт у = функцийн графикийг үзүүлэв е(х) болон тэмдэглэгдсэн цэгүүд–2, –1, 1, 4. Эдгээр цэгүүдийн алинд нь деривативын утга хамгийн бага байх вэ? Хариултандаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.

Бидэнд дөрвөн цэг байна: тэдгээрийн хоёр нь функц буурах интервалд (эдгээр нь -1 ба 4 цэгүүд) болон функц нэмэгдэх хоёр интервалд (эдгээр нь -2 ба 1 цэгүүд) хамаарна.

-1 ба 4 цэгүүдэд дериватив нь сөрөг утгатай, -2 ба 1 цэгүүдэд эерэг утгатай байна гэж бид шууд дүгнэж болно. Тиймээс, энэ тохиолдолд -1 ба 4-р цэгүүдэд дүн шинжилгээ хийж, тэдгээрийн аль нь хамгийн бага утгатай болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Заасан цэгүүдийг дайран өнгөрөх шүргэгчийг байгуулъя.

Шулуун а ба абсцисса тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенс нь шулуун b ба энэ тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенсаас их байх болно. Энэ нь x = 4 цэг дээрх деривативын утга хамгийн бага байх болно гэсэн үг юм.

Хариулт: 4

Би чамайг энэ их бичвэрээр "дараагүй" гэж найдаж байна. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл маш энгийн, та зөвхөн деривативын шинж чанар, түүний геометрийн утга, өнцгийн тангенсийн утга 0-ээс 180 о хүртэл хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ойлгох хэрэгтэй.

1. Эхлээд өгөгдсөн цэгүүд дээр (+ эсвэл -) деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлж, шаардлагатай цэгүүдийг (асуулт тавьсан асуултаас хамаарч) сонгоно.

2. Эдгээр цэгүүдэд шүргэгч зур.

3. Тангесоидын графикийг ашиглан өнцгийг зурж үзүүлАлександр.

P.S: Нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар бидэнд хэлж өгвөл би талархах болно.

(зураг 1)

Зураг 1. Деривативын график

Дериватив графикийн шинж чанарууд

1. Өсөн нэмэгдэж буй интервалд дериватив эерэг байна. Хэрэв тодорхой интервалаас тодорхой цэг дэх дериватив эерэг утгатай байвал функцийн график энэ интервал дээр нэмэгдэнэ.
2. Буурах интервалд дериватив нь сөрөг байна (хасах тэмдэгтэй). Хэрэв тодорхой интервалаас тодорхой цэг дэх дериватив нь сөрөг утгатай байвал функцийн график энэ интервал дээр буурдаг.
3. x цэгийн дериватив нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.
4. Функцийн хамгийн их-хамгийн бага цэгүүдэд дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ цэг дэх функцийн графикт шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель байна.

Жишээ 1

Деривативын графикийг (зураг 2) ашиглан сегментийн аль цэгт байгааг тодорхойл [-3; 5] функц хамгийн их байна.

Зураг 2. Деривативын график

Шийдэл: Энэ сегмент дээр дериватив нь сөрөг байна, энэ нь функц зүүнээс баруун тийш буурч, хамгийн том утга нь зүүн талд -3 цэгт байна.

Жишээ 2

Сегмент дээрх хамгийн их цэгийн тоог тодорхойлох [-11; 3].

Зураг 3. Деривативын график

Шийдэл: Дээд цэгүүд нь деривативын тэмдгийн эерэгээс сөрөг рүү шилжих цэгүүдтэй тохирч байна. Энэ интервал дээр функц нь тэмдэгээ нэмэхээс хасах руу хоёр удаа өөрчилдөг - -10 цэг ба -1 цэг дээр. Энэ нь хамгийн их онооны тоо хоёр байна гэсэн үг юм.

Жишээ 3

Деривативын графикийг (3-р зураг) ашиглан сегмент дэх хамгийн бага цэгүүдийн тоог тодорхойлно уу [-11; -нэг].

Шийдэл: Минимумын цэгүүд нь деривативын тэмдгийн сөрөгээс эерэг рүү шилжих цэгүүдтэй тохирч байна. Энэ сегмент дээр ийм цэг нь зөвхөн -7 байна. Энэ нь тухайн сегмент дэх хамгийн бага цэгүүдийн тоо нэг байна гэсэн үг юм.

Жишээ 4

Деривативын графикийг (3-р зураг) ашиглан экстремумын цэгүүдийн тоог тодорхойлно.

Шийдэл: Хэт цэгүүд нь хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүд юм. Дериватив тэмдэг өөрчлөгдөх цэгийн тоог ол.

Дериватив ашиглан функцийг шалгах. Энэ нийтлэлд бид функцийн графикийг судлахтай холбоотой зарим ажлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Ийм бодлогод y = f (x) функцийн графикийг өгч, бусад функцийн дериватив эерэг (эсвэл сөрөг) байх цэгүүдийн тоог тодорхойлохтой холбоотой асуултуудыг тавьдаг. Тэдгээрийг функцүүдийн судалгаанд дериватив хэрэглэх даалгавар гэж нэрлэдэг.

Иймэрхүү асуудлууд, ерөнхийдөө судалгаатай холбоотой асуудлуудыг шийдвэрлэх нь зөвхөн функцын график, деривативыг судлах деривативын шинж чанарыг бүрэн ойлгосноор л боломжтой юм. Тиймээс би танд холбогдох онолыг судлахыг зөвлөж байна. Та судалж, бас харж болно (гэхдээ хураангуй мэдээлэл байгаа).

Бид ирээдүйн нийтлэлүүдэд деривативын графикийг өгсөн асуудлуудыг авч үзэх болно, үүнийг бүү алдаарай! Тиймээс даалгаварууд:

Зурагт (−6; 8) интервал дээр тодорхойлогдсон y = f (x) функцийн графикийг үзүүлэв. Тодорхойлох:

1. Функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоо;

2. Функцийн графикт шүргэгч шулуун шугамтай параллель байх цэгийн тоо y = 2;

1. Функцийн дериватив нь функц буурах интервалууд дээр, өөрөөр хэлбэл (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8) интервалууд дээр сөрөг байна. Эдгээр нь −5, −4, 1, 2, 3, 4, 7 гэсэн бүхэл цэгүүдийг агуулна. 7 оноо авсан.

2. Шууд y= 2 зэрэгцээ тэнхлэгӨөy= 2 зөвхөн экстремум цэгүүдэд (графикийн зан төлөвийг нэмэгдүүлэхээс буурах эсвэл эсрэгээр өөрчлөх цэгүүдэд). Ийм дөрвөн цэг байдаг: –3; 0; 4.2; 6.9

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Функцийн дериватив эерэг байх бүхэл цэгийн тоог тодорхойл.

Зурагт (−5; 5) интервал дээр тодорхойлогдсон y = f (x) функцийн графикийг үзүүлэв. Тодорхойлох:

2. Функцийн графикт шүргэгч шулуун шугамтай параллель байх бүхэл цэгийн тоо y = 3;

3. Дериватив нь тэг байх цэгүүдийн тоо;

1. Функцийн деривативын шинж чанараас харахад функц өсөх интервалууд, өөрөөр хэлбэл (1.4; 2.5) ба (4.4; 5) интервалууд дээр эерэг байх нь мэдэгдэж байна. Эдгээр нь зөвхөн нэг бүхэл цэгийг агуулна x = 2.

2. Шууд y= 3 зэрэгцээ тэнхлэгӨө... Шүргэх нь шулуун шугамтай параллель байх болноy= 3 зөвхөн экстремум цэгүүдэд (графикийн зан төлөвийг нэмэгдүүлэхээс буурах эсвэл эсрэгээр өөрчлөх цэгүүдэд).

Ийм дөрвөн цэг байдаг: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Дериватив нь дөрвөн цэг дээр тэгтэй тэнцүү (экстремум цэгүүд), бид тэдгээрийг аль хэдийн зааж өгсөн.

Өөрийнхөө төлөө шийд:

f (x) функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоог тодорхойл.

Зурагт (−2; 12) интервал дээр тодорхойлогдсон y = f (x) функцийн графикийг үзүүлэв. Олно:

1. Функцийн дериватив эерэг байх бүхэл цэгийн тоо;

2. Функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоо;

3. Функцийн графикт шүргэгч шулуун шугамтай параллель байх бүхэл цэгийн тоо y = 2;

4. Дериватив нь тэг байх цэгүүдийн тоо.

1. Функцийн деривативын шинж чанараас харахад функц өсөх интервалууд, өөрөөр хэлбэл (–2; 1), (2; 4), (7; 9) ба (10; 11). Эдгээр нь бүхэл тоон цэгүүдийг агуулна: –1, 0, 3, 8. Тэдгээрийн дөрөв нь байна.

2. Функцийн дериватив нь функц буурах интервалууд, өөрөөр хэлбэл (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12) интервалууд дээр сөрөг байна. Тэд 5 ба 6 бүхэл цэгүүдийг агуулна. 2 оноо авсан.

3. Шууд y= 2 зэрэгцээ тэнхлэгӨө... Шүргэх нь шулуун шугамтай параллель байх болноy= 2 зөвхөн экстремум цэгүүдэд (графикийн зан төлөвийг нэмэгдүүлэхээс буурах эсвэл эсрэгээр өөрчлөх цэгүүдэд). Ийм долоон цэг байдаг: 1; 2; 4; 7; 9; 10; арван нэгэн.

4. Дериватив нь долоон цэгт (экстремум цэгүүдэд) тэгтэй тэнцүү, бид тэдгээрийг аль хэдийн зааж өгсөн.