Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл: шийдлийн ерөнхий схем. Тригонометрийн тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)
Хичээлийн төрөл: Шинэ материалыг тайлбарлах. Ажил нь бүлгээрээ явагддаг. Бүлэг болгонд оюутнуудын ажлыг удирдан чиглүүлдэг мэргэжилтэн байдаг. Эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ сул суралцагчдад өөртөө итгэхэд тусалдаг.
Татаж авах:
Урьдчилан үзэх:
Сэдвийн дагуу хичээл
" Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд "
(10-р анги)
Зорилтот:
- I ба II зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх;
- I ба II зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг боловсруулж, боловсруулах;
- оюутнуудад I ба II зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг заах;
- хэв маягийг тодорхойлох, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх;
- сэдвийн сонирхлыг өдөөх, эв нэгдэл, эрүүл өрсөлдөөний мэдрэмжийг хөгжүүлэх.
Хичээлийн төрөл : шинэ мэдлэгийг бий болгох хичээл.
Удирдах хэлбэр: бүлгийн ажил.
Тоног төхөөрөмж: компьютер, мультимедиа суурилуулалт
Хичээлийн үеэр
I. Зохион байгуулалтын мөч
Хичээл дээр мэдлэгийг үнэлэх үнэлгээний систем (багш нь мэдлэгийг үнэлэх системийг тайлбарлаж, сурагчдын дундаас багшийн сонгосон хараат бус шинжээчийн үнэлгээний хуудсыг бөглөх). Хичээлийг танилцуулга дагалддаг. Хавсралт 1.
Үнэлгээний хуудас №.
n \ n | Овог нэр | Гэрийн даалгавар | Танин мэдэхүйн үйл ажиллагаа | Тэгшитгэл шийдвэрлэх | Өөрөө Ажил | Зэрэг |
II. Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх.
Бид "Тригонометрийн тэгшитгэл" сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Өнөөдөр хичээлээр бид тантай өөр төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудтай танилцах болно, тиймээс бид сурсан зүйлээ давтах болно. Бүх төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгадаг. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг эргэн санацгаая. Илэрхийлэлтэй тааруулахын тулд сумыг ашиглана уу.
III. Сурах сэдэл.
Бид кроссворд тайлах тал дээр ажиллах ёстой. Үүнийг шийдсэний дараа бид өнөөдөр хичээлээр шийдэж сурах шинэ төрлийн тэгшитгэлийн нэрийг сурах болно.
Асуултуудыг самбар дээр байрлуулна. Оюутнуудын таамаглаж байгаагаар бие даасан шалгуулагч хариу өгсөн оюутнуудын үнэлгээний хуудсанд оноо оруулдаг.
Кроссворд тааварыг шийдсэний дараа залуус "нэг төрлийн" гэсэн үгийг унших болно.
Кроссворд.
Хэрэв та зөв үгсийг оруулбал тригонометрийн тэгшитгэлийн нэг төрлийн нэрийг авах болно.
1.Тэгшитгэлийг үнэн болгох хувьсагчийн утга? (Үндэс)
2.Өнцгийн нэгж? (Радиан)
3.Бүтээгдэхүүн дэх тоон хүчин зүйл? (Итгэлцүүр)
4.Математикийн тригонометрийн функцтэй холбоотой хэсэг? (Тригонометр)
5. Тригонометрийн функцийг нэвтрүүлэхэд ямар математик загвар хэрэгтэй вэ? (тойрог)
6. Тригонометрийн функцуудын аль нь тэгш вэ? (Косинус)
7. Зөв тэгш байдлыг юу гэж нэрлэдэг вэ? (Бие)
8. Хувьсагчтай тэгш байдал? (тэгшитгэл)
9.Ижил үндэстэй тэгшитгэлүүд? (Тэнцэхүйц)
Тэгшитгэлийн 10 олон үндэс үү? (Шийдвэр)
IV. Шинэ материалын тайлбар.
Хичээлийн сэдэв нь "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл" юм. (Танилцуулга)
Жишээ нь:
- sin x + cos x = 0
- √3cos x + sin x = 0
- нүгэл 4х = cos 4x
- 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
- 4 гэм 2 x - 5 sin x cos x - 6 cos 2 x = 0
- sin 2 x + 2 sin x cos x - 3cos 2 x + 2 = 0
- 4sin 2 x - 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
- 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
- нүгэл 2х + 2кос 2х = 1
V. Бие даасан ажил
Даалгавар: бүх төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ оюутнуудын мэдлэгийг иж бүрэн шалгах, оюутнуудыг өөрийгөө шинжлэх, өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх.
Оюутнуудыг 10 минутын турш бичгийн ажлыг гүйцэтгэхийг зөвлөж байна.
Оюутнууд хоосон цаасан дээр тоглодог. Цагийн төгсгөлд оройг нь цуглуулдаг бие даасан ажил, харин хуулбарлах шийдлүүд оюутнуудад үлддэг.
Бие даасан ажлын шалгалтыг (3 мин) харилцан шалгах замаар гүйцэтгэдэг.
... Оюутнууд хөршийнхөө бичсэн ажлыг өнгөт үзэг ашиглан шалгаж, шүүмжлэгчийн нэрийг бичнэ. Дараа нь тэд навчийг хүлээлгэн өгнө.
Тэгээд бие даасан шинжээчид дамжуулдаг.
Сонголт 1: 1) sin x = √3cos x
2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
3) 3sin x - 2sin x cos x = 1
4) sin 2x⁄sin x = 0
Сонголт 2: 1) cosx + √3sin x = 0
2) 2sin 2 x + 3sin x cos x - 2 cos 2 x = 0
3) 1 + sin 2 x = 2 sin x cos x
4) cos 2x ⁄ cos x = 0
Ви. Хичээлийн хураангуй
Vii. Гэрийн даалгавар:
Гэрийн даалгавар - 12 оноо (байшинд 3 тэгшитгэл 4 x 3 = 12 оноогдсон)
Оюутны үйл ажиллагаа - 1 хариулт - 1 оноо (хамгийн ихдээ 4 оноо)
Тэгшитгэл шийдвэрлэх 1 оноо
Бие даасан ажил - 4 оноо
Энэхүү видео хичээлээр оюутнууд нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн сэдвийг судлах боломжтой болно.
Тодорхойлолтуудыг өгье:
1) нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь sin x + b cos x = 0 шиг харагдаж байна;
2) хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 шиг харагдаж байна.
a sin x + b cos x = 0 тэгшитгэлийг авч үзье. Хэрэв a нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь b cos x = 0 шиг харагдана; Хэрэв b нь тэг бол тэгшитгэл нь sin x = 0 шиг харагдах болно. Эдгээр нь бидний хамгийн энгийн гэж нэрлэж, өмнөх сэдвүүдэд шийдсэн тэгшитгэлүүд юм.
Одоо a ба b нь тэгтэй тэнцүү биш байх хувилбарыг авч үзье. Тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус x-д хувааж, хувиргалтыг хийнэ. Бид tg x + b = 0-ийг авна, тэгвэл tg x нь - b / a-тай тэнцүү болно.
Дээрхээс харахад a sin mx + b cos mx = 0 тэгшитгэл нь I зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд түүний хэсгүүдийг cos mx-д хуваана.
1-р жишээг харцгаая. 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0-ийг шийд. Эхлээд тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус (x / 2) -д хуваа. Косинусаар хуваагдсан синус нь тангенс гэдгийг мэдэж, бид 7 tg (x / 2) - 5 = 0 болно. Илэрхийлэлийг хувиргаснаар шүргэгчийн утга (x / 2) 5/7 байна. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь х = arctan a + πn хэлбэртэй, манай тохиолдолд х = 2 арктан (5/7) + 2πn байна.
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.
1) хувьд тэгтэй тэнцүүтэгшитгэл нь b sin x cos x + c cos 2 x = 0 шиг харагдах болно. Хувиргаснаар бид cos x (b sin x + c cos x) = 0 илэрхийлэлийг олж аваад хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд шилжинэ. Тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус x-д хуваасны дараа бид b tg x + c = 0 болно, энэ нь tg x = - c / b гэсэн үг юм. x = arctan a + πn гэдгийг мэдвэл энэ тохиолдолд шийдэл нь x = arctan (- c / b) + πn болно.
2) хэрэв a нь тэгтэй тэнцүү биш бол тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинусын квадратад хуваах замаар бид шүргэгчийг агуулсан тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь квадрат болно. Энэ тэгшитгэлийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийдэж болно.
3) тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь a sin 2 x + b sin x cos x = 0 хэлбэртэй болно. Энэ тэгшитгэлийг хаалтнаас синус x-г авч шийдэж болно.
1. тэгшитгэлд нүгэл 2 x байгаа эсэхийг харах;
2. Хэрэв тэгшитгэлд sin 2 x гэсэн нэр томьёо агуулагдаж байвал хоёр хэсгийг косинусын квадратад хувааж, дараа нь шинэ хувьсагч оруулах замаар тэгшитгэлийг шийдэж болно.
3. Хэрэв тэгшитгэлд sin 2 x агуулаагүй бол хаалтнаас cosx-ыг авч тэгшитгэлийг шийдэж болно.
2-р жишээг авч үзье. Хаалтаас косинусыг гаргаж аваад хоёр тэгшитгэл гаргая. Эхний тэгшитгэлийн үндэс нь x = π / 2 + πn байна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид энэ тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус х-д хувааж, хувиргаснаар бид x = π / 3 + πn-ийг авна. Хариулт: x = π / 2 + πn ба x = π / 3 + πn.
3-р жишээ болох 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэж, - π-ээс π хүртэлх хэрчимд хамаарах язгууруудыг олъё. Учир нь Энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн бус тул үүнийг нэгэн төрлийн хэлбэрт оруулах шаардлагатай. sin 2 x + cos 2 x = 1 томьёог ашигласнаар sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 тэгшитгэл гарна. Тэгшитгэлийн бүх хэсгийг cos 2 x-т хуваавал tg 2 2x + болно. 2tg 2x + 1 = 0 z = tg 2x шинэ хувьсагчийн оролтыг ашиглан язгуур нь z = 1 байх тэгшитгэлийг шийднэ. Дараа нь tg 2x = 1, эндээс x = π / 8 + ( πn) / 2. Учир нь Асуудлын нөхцөлөөр та - π-ээс π хүртэлх сегментэд хамаарах үндсийг олох хэрэгтэй, шийдэл нь - π хэлбэртэй байна.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
ТЕКСТИЙН КОД:
Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд
Өнөөдөр бид "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл" -ийг хэрхэн шийдэж байгааг шинжлэх болно. Эдгээр нь тусгай төрлийн тэгшитгэлүүд юм.
Тодорхойлолттой танилцацгаая.
Маягтын тэгшитгэл мөн нүгэл x +бcosх = 0 (мөн синус x нэмэх косинус x нь тэгтэй тэнцүү) нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг;
хэлбэрийн тэгшитгэл мөн гэм 2 x +бгэм хcosх+ хамтcos 2 х= 0 (мөн синусын квадрат х нэмэх нь синус x косинус x нэмэх se косинусын квадрат х нь тэгтэй тэнцүү) хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Хэрэв a = 0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна бcosх = 0.
Хэрэв б = 0 , тэгвэл бид авна ба нүгэл x = 0.
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь энгийн тригонометр бөгөөд бид өмнөх сэдвүүддээ тэдгээрийн шийдлийг авч үзсэн
Санаж үзкоэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд. Тэгшитгэлийн хоёр талыг салга анүгэлх+ бcosх = 0 нэр томъёо cosх.
Косинус x нь тэгээс ялгаатай тул бид үүнийг хийж чадна. Эцсийн эцэст, хэрэв cosх = 0 , дараа нь тэгшитгэл анүгэлх+ бcosх = 0 хэлбэрийг авна анүгэлх = 0 , а≠ 0, тиймээс нүгэлх = 0 ... Энэ нь боломжгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн шинж чанарын дагуу нүгэл 2 х +cos 2 х=1 .
Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах анүгэлх+ бcosх = 0 нэр томъёо cosх, бид дараахийг авна: + = 0
Өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:
1. оноос хойш = tg x, тэгвэл =a tg x
2 бууруулах cosх, дараа нь
Тиймээс бид дараах илэрхийллийг олж авна a tg x + b = 0.
Өөрчлөлтийг хийцгээе:
1. b-г эсрэг тэмдэгтэй илэрхийллийн баруун талд шилжүүлнэ
a tg x = - b
2. Үржүүлэгчээс салах тэгшитгэлийн хоёр талыг а-д хуваах
tg x = -.
Дүгнэлт: Маягтын тэгшитгэл мөн нүгэлмx +бcosmx = 0 (мөн синус эм x нэмэх косинус em x нь тэгтэй тэнцүү) нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж бас нэрлэдэг. Үүнийг шийдэхийн тулд хоёр хэсгийг хоёр хэсэгт хуваана cosmx.
ЖИШЭЭ 1. 7 sin - 5 cos = 0 тэгшитгэлийг шийд (долоон синус х хоёр хасах таван косинус х хоёр тэгтэй тэнцүү)
Шийдэл. Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos-д хуваавал бид гарна
1. = 7 тг (синус ба косинусын харьцаа нь шүргэгч тул долоон синус х-ийг хоёр косинусыг хоёроор хуваавал 7 тангенс х хоёртой тэнцүү байна)
2. -5 = -5 (кос багасгах үед)
Ингээд бид тэгшитгэлийг олж авлаа
7tg - 5 = 0, Бид илэрхийлэлийг хувиргаж, хасах тавыг баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг өөрчилнө.
Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t =, a = хэлбэрт оруулав. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул а мөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна
x = arctan a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл дараах хэлбэртэй байна.
Arctg + πn, х-г ол
x = 2 арктан + 2πn.
Хариулт: x = 2 арктан + 2πn.
Бид хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү шилждэг
аsin 2 x + b sin x cos x +хамтcos 2 x = 0.
Хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.
I. Хэрэв a = 0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна бнүгэлхcosх+ хамтcos 2 х= 0.
шийдвэрлэх үед eДараа нь тэгшитгэлүүд нь хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашигладаг. Авах cosххаалтанд хийгээд авна уу: cosх(бнүгэлх+ хамтcosх)= 0 ... Хаана cosх= 0 эсвэл
b sin x +хамтcos x = 0.Мөн бид эдгээр тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ аль хэдийн мэддэг болсон.
Бид тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cosx-д хуваавал бид авна
1 (синус ба косинусын харьцаа шүргэгч учраас).
Тиймээс бид тэгшитгэлийг олж авна: б tg x + c = 0
Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t = x, a = хэлбэрт оруулав. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул амөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна
x = arctan a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл нь:
x = арктан + πn,.
II. Хэрэв a ≠ 0, дараа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг гишүүнээр хуваана cos 2 х.
(Эхний зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлтэй ижил аргаар маргаж, косинус х алга болохгүй).
III. Хэрэв c = 0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна анүгэл 2 х+ бнүгэлхcosх= 0. Энэ тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлийн аргаар шийддэг (бид гаргаж авдаг нүгэлххашилтын гадна).
Тиймээс тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед анүгэл 2 х+ бнүгэлхcosх+ хамтcos 2 х= 0 Та алгоритмын дагуу ажиллаж болно:
ЖИШЭЭ 2. sinxcosx - cos 2 x = 0 тэгшитгэлийг шийдээрэй (синус х үржвэр косинус х хасах язгуурыг гурваар үржүүлсэн косинусын квадрат х тэг болно).
Шийдэл. Хүчин зүйл (cosx-ийг хаалтны гадна талд тавь). Бид авдаг
cos x (sin x - cos x) = 0, өөрөөр хэлбэл. cos x = 0 эсвэл sin x - cos x = 0.
Хариулт: x = + πn, x = + πn.
ЖИШЭЭ 3. 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 тэгшитгэлийг шийд (хоёр х-ийн гурван синусын квадратаас хоёр х-ийн синусын давхар үржвэрийг хасаж, хоёр х-ийн косинусын хоёрыг нэмсэн гурван косинусын квадрат хоёр х) (- π; π) интервалд хамаарах үндсийг нь ол.
Шийдэл. Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн биш тул зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа 2-ын тоог 2 1 үржвэрээр солино
Учир нь үндсэн тригонометрийн ижилсэлээр sin 2 x + cos 2 x = 1, тэгвэл
2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = хаалтуудыг нээвэл: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Тэгэхээр 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.
Хоёр дахь зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хүлээн авсан. cos 2 2x-т гишүүнээр хуваах аргыг хэрэглэцгээе.
тг 2 2х - 2тг 2х + 1 = 0.
z = tg2x шинэ хувьсагчийг танилцуулъя.
Бидэнд z 2 - 2 z + 1 = 0 байна. Энэ бол квадрат тэгшитгэл юм. Багасгасан үржүүлэх томъёоны зүүн талд анзаарч - зөрүүний квадрат (), бид (z - 1) 2 = 0, i.e. z = 1. Урвуу өөрчлөлт рүү буцъя:
Бид тэгшитгэлийг tg t = a хэлбэрт оруулав, энд t = 2x, a = 1 байна. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул амөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна
x = arctan x a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл нь:
2x = arctg1 + πn,
x = +, (х нь pi-ийн нийлбэртэй найм, pi en хоёртой тэнцүү).
Интервалд агуулагдах x-ийн ийм утгыг олох нь бидэнд үлдэж байна
(- π; π), i.e. π х π давхар тэгш бус байдлыг хангана. Учир нь
x = +, дараа нь - π + π. Энэ тэгш бус байдлын бүх хэсгийг π-д хувааж, 8-аар үржүүлбэл бид олж авна
1-ийг баруун, зүүн тийш шилжүүлж, тэмдгийг хасах нэг болгож өөрчил
дөрөв хуваасан,
Тохиромжтой болгохын тулд бүхэл хэсгийг бутархайгаар сонгоно уу
- Энэ тэгш бус байдлыг дараах n бүхэл тоогоор хангана: -2, -1, 0, 1 Хичээлийн сэдэв: "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл"
(10-р анги)
Зорилтот:
I ба II зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх; I ба II зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг боловсруулж, боловсруулах; оюутнуудад I ба II зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг заах; хэв маягийг тодорхойлох, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх; сэдвийн сонирхлыг өдөөх, эв нэгдэл, эрүүл өрсөлдөөний мэдрэмжийг хөгжүүлэх. Хичээлийн төрөл:
шинэ мэдлэгийг бий болгох хичээл. Гүйцэтгэх хэлбэр:
бүлгийн ажил. Тоног төхөөрөмж:
компьютер, мультимедиа суурилуулалт Хичээлийн үеэр Зохион байгуулах цаг
Сурагчидтай мэндчилж, анхаарлыг нь төвлөрүүл. Хичээл дээр мэдлэгийг үнэлэх үнэлгээний систем (багш нь мэдлэгийг үнэлэх системийг тайлбарлаж, сурагчдын дундаас багшийн сонгосон хараат бус шинжээчийн үнэлгээний хуудсыг бөглөх).
Хичээлийг танилцуулга дагалддаг. .
Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх.
Хичээл эхлэхээс өмнө бие даасан шинжээч, зөвлөхүүд гэрийн даалгавраа хянаж, үнэлж, онооны хуудсыг бөглөнө. Багш гэрийн даалгавраа дүгнэдэг. Багш:
Бид "Тригонометрийн тэгшитгэл" сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Өнөөдөр хичээлээр бид тантай өөр төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудтай танилцах болно, тиймээс бид сурсан зүйлээ давтах болно. Бүх төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгадаг. Бүлгээр хийсэн бие даасан гэрийн даалгаврыг шалгана. "Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" илтгэлийн хамгаалалт (Бүлгийн ажлыг хөндлөнгийн шинжээч үнэлдэг)
Сурах сэдэл.
Багш:
Бид кроссворд тайлах тал дээр ажиллах ёстой. Үүнийг шийдсэний дараа бид өнөөдөр хичээлээр шийдэж сурах шинэ төрлийн тэгшитгэлийн нэрийг сурах болно. Асуултуудыг самбар дээр байрлуулна. Оюутнуудын таамаглаж байгаагаар бие даасан шалгуулагч хариу өгсөн оюутнуудын үнэлгээний хуудсанд оноо оруулдаг. Кроссворд тааварыг шийдсэний дараа залуус "нэг төрлийн" гэсэн үгийг унших болно.
Шинэ мэдлэгийг өөртөө шингээх.
Багш:
Хичээлийн сэдэв нь "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл" юм. Хичээлийн сэдвийг дэвтэрт бичье. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь нэг ба хоёрдугаар зэрэгтэй. Нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг бичье. Энэ төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг харуулахын тулд би жишээ ашиглаж байна, та нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг зохио. Маягтын тэгшитгэл а sinx + б cosx = 0-ийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ. Коэффициентийн үед тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзье аболон v 0-ээс ялгаатай. Жишээ:
sinx + cosx = 0 Р Анхаар!
Энэ илэрхийлэл хаана ч 0 болж хувирахгүй тохиолдолд л 0-д хуваагдах боломжтой.Шинжилгээ хийцгээе. Хэрэв косинус нь 0 бол синус нь 0-тэй тэнцүү байх болно, учир нь коэффициентүүд нь 0-ээс ялгаатай боловч синус ба косинус өөр өөр цэгүүдэд алга болдог гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед энэ үйлдлийг гүйцэтгэж болно. Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм: тэгшитгэлийн хоёр талыг cosx, cosx 0-д хуваах. Маягтын тэгшитгэл а
sin mx +б
cos mx = 0 1-р зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж бас нэрлэгддэг ба тэгшитгэлийн хоёр талыг косинус mх-д хуваахыг мөн шийддэг. Маягтын тэгшитгэл а
нүгэл 2
x +б
sinx cosx +в
cos2x = 0хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Жишээ
:
нүгэл
2
x + 2sinx cosx - 3cos
2
x = 0
a коэффициент нь 0-ээс ялгаатай тул өмнөх тэгшитгэлийн нэгэн адил cosx нь 0-тэй тэнцүү биш тул та тэгшитгэлийн хоёр талыг cos 2 x-т хуваах аргыг ашиглаж болно. Бид tg 2 x + 2tgx - 3 = 0-ийг авна Бид шинэ хувьсагчийг let tgx = a оруулах замаар шийдэж, тэгшитгэлийг авна a 2 + 2a - 3 = 0 D = 4 - 4 (–3) = 16 a 1 = 1 a 2 = –3 Орлуулах руу буцах Хариулт:
Хэрэв коэффициент a = 0 бол тэгшитгэл нь 2sinx cosx - 3cos2x = 0 хэлбэрийг авна, cosx нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтны гадна талд байрлуулж шийднэ. Хэрэв коэффициент c = 0 бол хаалтны гадна sinx нийтлэг хүчин зүйлийг авч тэгшитгэл sin2x + 2sinx cosx = 0 хэлбэрийг авна. Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм: Тэгшитгэлд asin2 x гэсэн нэр томъёо агуулагдаж байгаа эсэхийг харна уу. Хэрэв тэгшитгэлд asin2 x гэсэн нэр томьёо орсон бол (өөрөөр хэлбэл a 0) тэгшитгэлийн хоёр талыг cos2x-т хувааж, дараа нь шинэ хувьсагч оруулах замаар тэгшитгэлийг шийднэ. Хэрэв asin2 x гэсэн нэр томъёог тэгшитгэлд агуулаагүй бол (өөрөөр хэлбэл a = 0) тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлийн аргаар шийднэ: cosx-ийг хаалтнаас гаргаж авна. a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 хэлбэрийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг ижил аргаар шийддэг. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг сурах бичгийн 102-р хуудсанд бичсэн болно. Биеийн тамирын боловсрол Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадварыг бий болгох
Асуудлын номын 53-р хуудсыг нээх 1, 2-р бүлгүүд 361-v тоотоор шийдвэрлэв 3, 4-р бүлгүүд 363-v тоотоор шийдвэрлэв Тэд шийдлийг самбар дээр харуулж, тайлбарлаж, нэмж бичдэг. Бие даасан шинжээч үнэлдэг. Бодлогын дэвтрийн №361-v-ийн жишээнүүдийн шийдэл № 363-v Бид шинэ хувьсагч оруулах замаар шийддэг Бие даасан ажил.
Тэгшитгэлийг шийд. 2 cosx - 2 = 0 2cos2x - 3cosx +1 = 0 3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0 Бие даасан ажлын төгсгөлд ажил, харилцан шалгалт өөрчлөгддөг. Зөв хариултыг самбар дээр харуулав. Тэгээд бие даасан шинжээчид дамжуулдаг. Өөрөө ажиллах шийдэл Хичээлийг дүгнэж байна.
Хичээл дээр бид ямар тригонометрийн тэгшитгэлтэй танилцсан бэ? Нэг ба хоёрдугаар зэргийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм. Гэрийн даалгавар:
§
20.3-ыг уншина уу. No 361 (d), 363 (b), нэмэлт бэрхшээл No 380 (a). Кроссворд.
Хэрэв та зөв үгсийг оруулбал тригонометрийн тэгшитгэлийн нэг төрлийн нэрийг авах болно. Тэгшитгэлийг үнэн болгох хувьсагчийн утга? (Үндэс)
Өнцгийн нэгж? (Радиан)
Бүтээгдэхүүний тоон хүчин зүйл үү? (Итгэлцүүр)
Тригонометрийн функцийг судалдаг математикийн салбар уу? (Тригонометр)
Тригонометрийн функцийг нэвтрүүлэхэд ямар математик загвар хэрэгтэй вэ? (тойрог)
Аль тригонометрийн функц тэгш вэ? (Косинус)
Зөв тэгш байдлыг юу гэж нэрлэдэг вэ? (Бие)
Хувьсагчтай тэгш байдал уу? (тэгшитгэл)
Ижил үндэстэй тэгшитгэлүүд үү? (Тэнцэхүйц)
Тэгшитгэлийн язгуурын багц ? (Шийдвэр)
Үнэлгээний хуудас № Овог, багшийн нэр Гэрийн даалгавар Илтгэл Танин мэдэхүйн үйл ажиллагаа Тэгшитгэл шийдвэрлэх Өөрөө Гэрийн даалгавар - 12 оноо (байшинд 3 тэгшитгэл 4 x 3 = 12 оноогдсон) Илтгэл - 1 оноо Оюутны үйл ажиллагаа - 1 хариулт - 1 оноо (хамгийн ихдээ 4 оноо) Тэгшитгэл шийдвэрлэх 1 оноо Бие даасан ажил - 4 оноо Багийн үнэлгээ:
"5" - 22 оноо ба түүнээс дээш Өнөөдөр бид нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Эхлээд нэр томъёог олж мэдье: нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ. Энэ нь дараах шинж чанаруудтай. Хэрэв эхний цэг дээр бүх зүйл тодорхой байвал хоёр дахь зүйлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих нь зүйтэй болов уу. Нэр томъёоны ижил зэрэг нь юу гэсэн үг вэ? Эхний даалгаврыг авч үзье: 3cosx + 5sinx = 0 3 \ cos x + 5 \ sin x = 0 Энэ тэгшитгэлийн эхний гишүүн юм 3cosx 3 \ cos x. Энд зөвхөн нэг тригонометрийн функц байгааг анхаарна уу. cosx\ cos x - мөн өөр ямар ч тригонометрийн функц энд байхгүй тул энэ нэр томъёоны зэрэг нь 1. Хоёрдахьтай адил - 5sinx 5 \ sin x - энд зөвхөн синус байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нэр томъёоны зэрэг нь нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бидний өмнө тригонометрийн функцийг агуулсан хоёр элементээс бүрдэх ижил төстэй байдал, тэр үед зөвхөн нэг юм. Энэ бол нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл юм. Хоёрдахь илэрхийлэл рүү шилжих: 4нүгэл2
x + sin2x − 3 = 0 4 ((\ нүгэл) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0 Энэхүү бүтцийн анхны гишүүн нь 4нүгэл2
х 4 ((\ нүгэл) ^ (2)) x. Одоо бид дараах шийдлийг бичиж болно. нүгэл2
x = sinx⋅sinx ((\ нүгэл) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x Өөрөөр хэлбэл, эхний гишүүн нь хоёр тригонометрийн функцийг агуулдаг, өөрөөр хэлбэл түүний зэрэг нь хоёр байна. Хоёрдахь элементийг авч үзье - нүгэл 2х\ нүгэл 2x. Энэ томьёог санацгаая - давхар өнцгийн томъёо: sin2x = 2sinx⋅cosx \ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x Дахин хэлэхэд, үүссэн томъёонд бид синус ба косинус гэсэн хоёр тригонометрийн функцтэй байна. Тиймээс энэ нэр томъёоны экспоненциал утга нь мөн хоёр байна. Бид гурав дахь элемент рүү шилждэг - 3. Ахлах сургуулийн математикийн хичээлээс дурын тоог 1-ээр үржүүлж болно гэдгийг санаж, бид бичнэ. ˜
3=3⋅1
Мөн үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашигладаг нэгжийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. 1=нүгэл2
x⋅ cos2
х 1 = ((\ нүгэл) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x Тиймээс бид 3-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно. 3=3(нүгэл2
x⋅ cos2
x)=3нүгэл2
x + 3 cos2
х 3 = 3 \ зүүн (((\ нүгэл) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ баруун) = 3 ((\ нүгэл) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x Ийнхүү бидний 3-р нэр томъёо нь нэг төрлийн, хоёр дахь зэрэгтэй хоёр элементэд хуваагдсан. Эхний гишүүн дэх синус хоёр удаа, хоёр дахь косинус хоёр удаа тохиолддог. Тиймээс 3-ыг хоёр зэрэглэлийн илтгэгчтэй нэр томъёогоор илэрхийлж болно. Гурав дахь илэрхийлэл нь ижил байна: нүгэл3
x + нүгэл2
xcosx = 2 cos3
х Харцгаая. Эхний нэр томъёо нь нүгэл3
х((\ sin) ^ (3)) x нь 3-р зэргийн тригонометрийн функц юм. Хоёр дахь элемент нь нүгэл2
xcosx((\ нүгэл) ^ (2)) x \ cos x. нүгэл2
((\ син) ^ (2)) нь хоёрын чадлын утгыг үржүүлсэн холбоос юм cosx\ cos x нь эхний гишүүн юм. Нийтдээ гурав дахь нэр томъёо нь гурван чадлын утгатай байна. Эцэст нь баруун талд бас нэг холбоос байна - 2cos3
х 2 ((\ cos) ^ (3)) x нь гуравдугаар зэргийн элемент юм. Тиймээс бидний өмнө гурав дахь зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл байна. Бид өөр өөр зэрэгтэй гурван таних тэмдгийг бичсэн. Хоёр дахь илэрхийллийг дахин тэмдэглэ. Анхны тэмдэглэгээнд нэг гишүүн маргаантай байна 2x 2x. Бид энэ аргументыг давхар өнцгийн томьёоны синусын дагуу хувиргах замаар арилгахаас өөр аргагүйд хүрч байна, учир нь бидний таних тэмдэгт багтсан бүх функцууд нь ижил аргументтай байх ёстой. Мөн энэ нь нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлд тавигдах шаардлага юм. Нөхцөлүүдийг бид олж мэдсэн тул шийдэл рүүгээ явцгаая. Экспоненциал экспонентаас үл хамааран энэ төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг үргэлж хоёр үе шаттайгаар гүйцэтгэдэг. 1) үүнийг нотлох cosx ≠ 0 \ cos x \ ne 0. Үүний тулд үндсэн тригонометрийн ижилтгэлийн томъёог эргэн санахад хангалттай. (нүгэл2
x⋅ cos2
x = 1)\ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ баруун) ба энэ томъёонд орлуулна уу cosx = 0\ cos x = 0. Бид дараах илэрхийлэлийг авна. нүгэл2
x = 1sinx = ± 1 \ эхлэл (зохицуулах) & (\ нүгэл) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ төгсгөл (зохицуулах) Хүлээн авсан утгыг орлуулах, өөрөөр хэлбэл оронд нь cosx\ cos x нь тэг бөгөөд оронд нь синкс\ sin x - 1 эсвэл -1, анхны илэрхийлэлд бид хүчингүй тоон тэгшитгэлийг авдаг. Үүний үндэслэл нь энэ юм cosx ≠ 0 2) хоёр дахь алхам нь эхнийхээс логикийн дагуу явагдана. Үүний хэрээр cosx ≠ 0 \ cos x \ ne 0, бид барилгын аль аль талыг нь хуваана cosnх((\ cos) ^ (n)) x, хаана n n нь нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн чадлын илтгэгч юм. Энэ нь бидэнд юу өгдөг вэ: \ [\ эхлэл (массив) ((35) (л)) синксcosx= tgxcosxcosx=1
\ start (зохицуулах) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ төгсгөл (зохицуулах) \\ () \\ \ төгсгөл (массив) \] Үүнээс болж бидний нүсэр барилгын анхны бүтээн байгуулалт тэгшитгэлд хүрэв nШүргэгчийн хувьд n-хүч чадал, хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан бичихэд хялбар шийдэл. Энэ бол бүхэл бүтэн алгоритм юм. Энэ нь практик дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая. 3cosx + 5sinx = 0 3 \ cos x + 5 \ sin x = 0 Энэ нь нэгтэй тэнцүү чадлын илтгэгчтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн. Тиймээс эхлээд үүнийг олж мэдье cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Эсрэгээр нь гэж бодъё cosx = 0 → sinx = ± 1 \ cos x = 0 \ to \ sin x = \ pm 1. Үүссэн утгыг илэрхийлэлдээ орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна. 3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0 \ эхлэл (эгцлэх) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ зүүн (\ pm 1 \ баруун) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ төгсгөл (эгцлэх) Үүний үндсэн дээр бид үүнийг хэлж чадна cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Бидний тэгшитгэлийг хуваа cosx\ cos x, учир нь бидний илэрхийлэл бүхэлдээ нэг чадлын утгатай байна. Бид авах: 3(cosxcosx)
+5(синксcosx)
=0
3 + 5tgx = 0tgx = - 3
5
\ эхлэл (зохицуулах) & 3 \ зүүн (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ баруун) +5 \ зүүн (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ баруун) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ төгсгөл (эгцлэх) Энэ нь хүснэгтийн утга биш тул хариултыг оруулах болно arctgx arctgx: x = arctg (−3
5
)
+ π n, n∈Z x = arctg \ left (- \ frac (3) (5) \ баруун) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z Үүний хэрээр arctg arctg arctg нь сондгой функц тул бид аргументаас "хасах"-ыг гаргаж аваад arctg-ийн өмнө тавьж болно. Бид эцсийн хариултыг авна: x = −arctg 3
5
+ π n, n∈Z x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z 4нүгэл2
x + sin2x − 3 = 0 4 ((\ нүгэл) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0 Та үүнийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө зарим өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй гэдгийг санаж байна. Бид өөрчлөлтүүдийг хийдэг: 4нүгэл2
x + 2sinxcosx − 3 (нүгэл2
x + cos2
x)=0
4нүгэл2
x + 2sinxcosx − 3 нүгэл2
x − 3 cos2
x = 0нүгэл2
x + 2sinxcosx − 3 cos2
x = 0 \ start (зохицуулах) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2 )) x \ баруун) = 0 \\ & 4 ((\ нүгэл) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ нүгэл) ^ (2)) x-3 ((\ cos ) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ нүгэл) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ төгсгөл (зохицуулах) Бид гурван элементээс бүрдсэн бүтэцтэй болсон. Эхний улиралд бид харж байна нүгэл2
((\ sin) ^ (2)), өөрөөр хэлбэл түүний экспоненциал утга нь хоёр байна. Хоёрдугаар улиралд бид харж байна синкс\ sin x ба cosx\ cos x - дахин хоёр функц байгаа бөгөөд тэдгээрийг үржүүлсэн тул нийт хүч нь дахин хоёр байна. Гурав дахь холбоос дээр бид харж байна cos2
х((\ cos) ^ (2)) x - эхний утгатай төстэй. Үүнийг баталцгаая cosx = 0\ cos x = 0 нь энэ барилгын шийдэл биш юм. Үүнийг хийхийн тулд эсрэгээр нь төсөөл. \ [\ эхлэл (массив) ((35) (л)) \ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ left (\ pm 1 \ баруун) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ төгсгөл (массив) \] Үүнийг бид нотолсон cosx = 0\ cos x = 0 шийдэл байж болохгүй. Бид хоёр дахь алхам руу шилждэг - бид бүх илэрхийлэлээ хуваадаг cos2
х((\ cos) ^ (2)) x. Яагаад квадрат гэж? Учир нь энэ нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн илтгэгч нь хоёр: нүгэл2
хcos2
х+2sinxcosxcos2
х−3=0
т g2
x + 2tgx − 3 = 0 \ эхлэх (зохицуулах) & \ frac (((\ нүгэл) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ төгсгөл (эгцлэх) Дискриминант ашиглан энэ илэрхийллийг шийдэх боломжтой юу? Мэдээж. Гэхдээ би Вьетагийн теоремын урвуу теоремыг эргэн санахыг санал болгож байгаа бөгөөд энэ олон гишүүнтийг хоёр энгийн олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлж болно. (tgx + 3) (tgx − 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n, n∈Ztgx = 1 → x = π
4
+ π k, k∈Z \ эхлэл (зохицуулах) & \ зүүн (tgx + 3 \ баруун) \ зүүн (tgx-1 \ баруун) = 0 \\ & tgx = -3 \ x = -arctg3 + \ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text () n, n \ in Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ төгсгөл (зохицуулах) Олон оюутнууд ижил төстэй байдлын шийдлүүдийн бүлэг тус бүрд тусад нь коэффициент бичих нь зүйтэй болов уу, эсвэл хаа сайгүй ижил зүйлийг бичихгүй байх нь зүйтэй болов уу гэж асуудаг. Математикийн нэмэлт шалгалттай техникийн ноцтой их сургуульд ороход үнэлгээчид хариултаас алдаа гарахгүйн тулд өөр өөр үсэг ашиглах нь илүү сайн бөгөөд найдвартай гэж би хувьдаа боддог. нүгэл3
x + нүгэл2
xcosx = 2 cos3
х ((\ нүгэл) ^ (3)) x + ((\ нүгэл) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x Энэ бол гурав дахь зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байгаа бөгөөд тусгай томъёолол шаардлагагүй бөгөөд биднээс шаардлагатай бүх зүйл бол нэр томъёог шилжүүлэх явдал юм. 2cos3
х 2 ((\ cos) ^ (3)) x үлдсэн. Бид дахин бичнэ: нүгэл3
x + нүгэл2
xcosx − 2 cos3
x = 0 ((\ нүгэл) ^ (3)) x + ((\ нүгэл) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0 Элемент бүр гурван тригонометрийн функцийг агуулж байгааг бид харж байгаа тул энэ тэгшитгэл нь гуравтай тэнцүү чадлын утгатай байна. Бид үүнийг шийддэг. Юуны өмнө бид үүнийг батлах хэрэгтэй cosx = 0\ cos x = 0 нь үндэс биш: \ [\ эхлэл (массив) ((35) (л)) \ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ төгсгөл (массив) \] Эдгээр тоонуудыг анхны бүтэцдээ оруулъя: (± 1)3
+1⋅0−2⋅0=0
± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0 \ эхлэл (зохицуулах) & ((\ зүүн (\ pm 1 \ баруун)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ төгсгөл (эгцлэх) Тиймээс, cosx = 0\ cos x = 0 нь шийдэл биш юм. Үүнийг бид нотолсон cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Үүнийг нотолсоны дараа бид анхны тэгшитгэлээ хуваана cos3
х((\ cos) ^ (3)) x. Яагаад куб болсон бэ? Учир нь бид анхны тэгшитгэл маань гуравдугаар зэрэгтэй болохыг дөнгөж сая нотолсон.
нүгэл3
хcos3
х+нүгэл2
xcosxcos3
х−2=0
т g3
x + t g2
x − 2 = 0 \ эхлэл (зохицуулах) & \ frac (((\ нүгэл) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ нүгэл) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ төгсгөл (зохицуулах) Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя: tgx = t Бид барилгын ажлыг дахин бичнэ: т3
+т2
−2=0
((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0 Бидний өмнө куб тэгшитгэл байна. Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Эхэндээ би энэ видео хичээлийг эмхэтгэж байхдаа олон гишүүнтийн факторинг болон бусад аргуудын талаар урьдчилан ярихаар төлөвлөж байсан. Гэхдээ энэ тохиолдолд бүх зүйл илүү хялбар байдаг. Хараач, хамгийн дээд зэрэгтэй нэр томьёотой бидний бууруулсан ижил төстэй байдал нь 1. Үүнээс гадна бүх коэффициентүүд нь бүхэл тоо юм. Энэ нь бид бүх язгуурууд нь -2 тооны хуваагч, өөрөөр хэлбэл чөлөөт нэр томъёо гэсэн Безоутын теоремын үр дүнг ашиглаж болно гэсэн үг юм. Асуулт гарч ирнэ: -2-д хуваагдах нь юу вэ? 2 нь анхны тоо тул тийм ч олон сонголт байдаггүй. Эдгээр нь дараах тоонууд байж болно: 1; 2; -1; -2. Сөрөг үндэс нь нэн даруй унадаг. Яагаад? Аль аль нь модулийн хувьд 0-ээс их байдаг тул т3
((t) ^ (3))-аас модулиар их байх болно т2
((t) ^ (2)). Мөн шоо нь сондгой функц тул шоо дахь тоо сөрөг байх болно т2
((t) ^ (2)) - эерэг, энэ нь бүхэлдээ барилга, төлөө t = −1 t = -1 ба t = −2 t = -2, 0-ээс ихгүй байх болно. Үүнээс -2-ыг хасаад 0-ээс бага тоо гарна. Зөвхөн 1 ба 2 л үлдэнэ. Эдгээр тоо бүрийг орлуулъя: ˜
t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0 ˜t = 1 \ to \ text () 1 + 1-2 = 0 \ to 0 = 0 Бид зөв тоон тэгшитгэлийг авсан. Тиймээс, t = 1 t = 1 нь үндэс юм. t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 ≠ 0 t = 2 \ to 8 + 4-2 = 0 \ to 10 \ ne 0 t = 2 t = 2 нь үндэс биш. Үр дүн ба ижил Безоутын теоремын дагуу үндэс нь байгаа олон гишүүнт х0
((x) _ (0)), дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ. Q (x) = (x = х0
) P (x) Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x) Манай тохиолдолд дүрд х x нь хувьсагч юм т t, мөн дүрд х0
((x) _ (0)) - үндэс нь 1-тэй тэнцүү. Бид дараахь зүйлийг авна. т3
+т2
−2 = (t − 1) ⋅P (t) ((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t) Олон гишүүнтийг хэрхэн олох вэ П (t) P \ зүүн (t \ баруун)? Мэдээжийн хэрэг та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй. P (t) = т3
+т2
−2
t − 1 P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1) Бид орлоно: т3
+т2
+ 0⋅t − 2t − 1=т2
+ 2т + 2 \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2т + 2 Тэгэхээр бидний анхны олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хуваагдана. Тиймээс бид анхны тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно. (t − 1) ( т2
+ 2т + 2) = 0 (t-1) (((t) ^ (2)) + 2т + 2) = 0 Хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Бид эхний хүчин зүйлийг аль хэдийн авч үзсэн. Хоёрдахь зүйлийг харцгаая: т2
+ 2т + 2 = 0 ((t) ^ (2)) + 2т + 2 = 0 Туршлагатай оюутнууд энэ бүтээн байгуулалт ямар ч үндэсгүй гэдгийг аль хэдийн ойлгосон байх, гэхдээ ялгаварлан гадуурхалтыг тооцож үзье. D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4 D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4 Дискриминант нь 0-ээс бага тул илэрхийлэлд үндэс байхгүй. Нийтдээ асар том бүтээн байгуулалтыг ердийн тэгш байдал болгон бууруулсан: \ [\ эхлэл (массив) ((35) (л)) t = \ text () 1 \\ tgx = \ text () 1 \\ x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ end (массив) \] Эцэст нь хэлэхэд, би сүүлийн даалгаврын талаар хэд хэдэн санал нэмж хэлмээр байна. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь бүх төрлийн тестийн хамгийн дуртай сэдэв юм. Тэдгээрийг маш энгийнээр шийддэг - нэг удаа дадлага хийхэд хангалттай. Юу яриад байгааг тодорхой болгохын тулд бид шинэ тодорхойлолтыг оруулах болно. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь тэгээс өөр гишүүн бүр нь ижил тооны тригонометрийн хүчин зүйлээс бүрддэг тэгшитгэл юм. Энэ нь синус, косинус эсвэл тэдгээрийн хослол байж болно - шийдлийн арга нь үргэлж ижил байдаг. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн зэрэг нь тэгээс өөр гишүүнчлэлд багтсан тригонометрийн хүчин зүйлийн тоо юм.Жишээ нь: sinx + 15 cos x = 0 \ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - 1-р зэргийн таних тэмдэг; 2 sin2x + 5sinxcosx − 8cos2x = 0 2 \ текст (нүгэл) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - 2-р зэрэг; sin3x + 2sinxcos2x = 0 \ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3-р зэрэг; sinx + cosx = 1 \ sin x + \ cos x = 1 - мөн энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн биш, учир нь баруун талд нь - тригонометрийн хүчин зүйл байхгүй тэгээс өөр нэр томъёо байдаг; sin2x + 2sinx − 3 = 0 \ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 нь бас нэг төрлийн бус тэгшитгэл юм. Бүрэлдэхүүн нүгэл 2х\ нүгэл 2x - хоёрдугаар зэрэг (та төлөөлж чадах тул sin2x = 2sinxcosx \ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), 2sinx 2 \ sin x нь эхнийх бөгөөд 3 гэсэн нэр томъёо нь ерөнхийдөө тэг юм, учир нь синус эсвэл косинус байхгүй. Шийдлийн схем нь үргэлж ижил байдаг: Ингэж жүжиглэе cosx = 0\ cos x = 0. Дараа нь sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - энэ нь үндсэн таних тэмдэгээс хамаарна. Орлуулах синкс\ sin x ба cosx\ cos x-ийг анхны илэрхийлэл рүү, хэрэв үр дүн нь утгагүй бол (жишээлбэл, илэрхийлэл 5=0
5 = 0), хоёр дахь цэг рүү очно уу; Бид бүх зүйлийг косинусын хүчээр хуваадаг: cosx, cos2x, cos3x ... - тэгшитгэлийн чадлын утгаас хамаарна. Бид шүргэгчтэй ердийн тэгш байдлыг олж авдаг бөгөөд энэ нь tgx = t-ийг орлуулсны дараа амжилттай шийдэгддэг.
tgx = t Олдсон үндэс нь анхны илэрхийллийн хариулт болно. Энэ нийтлэлд бид нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг авч үзэх болно. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь бусад төрлийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэй ижил бүтэцтэй байдаг. Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх аргыг сануулъя. Маягтын нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье Нэг төрлийн тэгшитгэлийн онцлог шинж чанарууд: a) бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй; б) чөлөөт нэр томъёо нь тэг; в) тэгшитгэл нь хоёр өөр суурьтай градусыг агуулна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг ижил төстэй алгоритм ашиглан шийддэг. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг (хувааж болно) хуваана. Анхаар! Үл мэдэгдэхийг агуулсан илэрхийллээр тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг хуваах үед та үндсээ алдаж болно. Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах илэрхийллийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш эсэхийг шалгах шаардлагатай. Хэрэв тийм бол дараа нь үүнийг мартахгүйн тулд бид энэ үндсийг бичээд дараа нь энэ илэрхийллээр хуваана. Ерөнхийдөө хамгийн эхний зүйл бол тэгшитгэлийн баруун талд тэг байгаа аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийн зүүн талыг аль ч аргаар хүчин зүйл болгон задлахыг хичээх хэрэгтэй. Дараа нь хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүл. Энэ тохиолдолд бид үндсээ алдахгүй нь гарцаагүй. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн талыг нэг гишүүнээр нь сайтар хуваа. Бид авах: Хоёр ба гурав дахь бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг багасга. Орлуулахыг танилцуулъя: Бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна: Квадрат тэгшитгэлээ шийдэж, утгуудыг олоод анхны үл мэдэгдэх зүйл рүүгээ буцъя. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хэд хэдэн чухал зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. 1. Үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан огтлолцлыг синус ба косинусын квадрат болгон хувиргаж болно. 2. Давхар аргументын синус ба косинус нь хоёрдугаар зэргийн мономиалууд - давхар аргументийн синусыг синус ба косинусын үржвэрт хялбархан хувиргаж, давхар аргументийн косинусыг синусын квадрат эсвэл косинус: Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье. 1 . Тэгшитгэлийг шийдье: Энэ бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн сонгодог жишээ юм: мономиал бүрийн зэрэг нь нэг, чөлөөт гишүүн нь тэг юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваахын өмнө тэгшитгэлийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Шалгах: хэрэв, дараа нь гарчиг = "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!} Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа. Бид авах: Хариулт: 2. Тэгшитгэлийг шийдье: Энэ бол нэгэн төрлийн хоёрдугаар зэргийн тригонометрийн тэгшитгэлийн жишээ юм. Хэрэв бид тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож чадвал үүнийг хийх нь зүйтэй гэдгийг бид санаж байна. Энэ тэгшитгэлд бид хаалтуудыг гаргаж болно. Энийг хийцгээе: Эхний тэгшитгэлийн шийдэл:, хаана Хоёр дахь тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана. Бид авах: Хариулт: хаана, 3. Тэгшитгэлийг шийдье: Энэ тэгшитгэлийг "нэг төрлийн" болгохын тулд үржвэр болгон хувиргаж, 3-ын тоог синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр илэрхийлнэ. Бүх нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж, хаалтуудыг өргөжүүлж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулна уу. Бид авах: Зүүн талыг үржүүлж, хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүл. Хариулт: хаана, 4 . Тэгшитгэлийг шийдье: Бид хаалтанд юу үлдээж болохыг харж байна. Энийг хийцгээе: Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлье: Эхний тэгшитгэлийн шийдэл: Хүн амын хоёр дахь тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн сонгодог нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш тул тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваана. Эхний тэгшитгэлийн шийдэл: Хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл.
Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cosx-д хуваагаад бид олж авна
sinx - 3cosx = 0
Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг cosx 0-д хуваавал бид олж авна 
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos2x-т хуваавал tg2x + tgx - 2 = 0 болно.
tgx = a байвал тэгшитгэлийг олно
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
солих руу буцах
n \ n
судлах
Ажил
"4" - 18 - 21 оноо
"3" - 12 - 17 онооШийдвэрлэх алгоритм
Нөхцөлүүдийг онцлон тэмдэглэе
Бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй томъёог ашиглаж, эцсийн шийдлийг бичнэ
Бид бодит асуудлыг шийддэг
Асуудлын дугаар 1
Асуудлын дугаар 2
Асуудлын дугаар 3
Гол оноо
Ерөнхий шийдлийн схем
, хаана
, хаана, хаана
Өмнөх нийтлэл: Хоолойн үрэвсэлт өвчин
Дараагийн нийтлэл: Гэрийн нөхцөлд гүйлсэн булчирхайг хэрхэн эмчлэх вэ?