Янз бүрийн суурийн жишээ бүхий логарифмын үржвэр. Логарифм бүхий үйлдлийн дүрмийн логарифм

Зааварчилгаа

Заасан логарифм илэрхийллийг бичнэ үү. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол тэмдэглэгээ нь таслагдах бөгөөд дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоотой бол дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b - натурал логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог авахын тулд суурийн тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэж ойлгогддог.

Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо та тэдгээрийг ээлжлэн ялгаж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй: (u + v) "= u" + v ";

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёр дахь функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлэх шаардлагатай: (u * v) "= u" * v + v "* u;

Хоёр функцийн хуваагчийн деривативын үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрээс ногдол ашгийн функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасах шаардлагатай. , мөн энэ бүгдийг хуваагч функцийн квадратаар хуваана. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Хэрэв нарийн төвөгтэй функц өгөгдсөн бол дотоод функцийн дериватив ба гадаад функцийн деривативыг үржүүлэх шаардлагатай. y = u (v (x)), дараа нь y "(x) = y" (u) * v "(x) байг.

Дээр дурдсан зүйлсийг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс, хэд хэдэн жишээг харцгаая:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2) * x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) функцийг өгье, та x = 1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Өгөгдсөн y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8 цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол.

Холбоотой видеонууд

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.

Эх сурвалжууд:

• тогтмолын дериватив

Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэл ба рационал тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч квадрат язгуур тэмдгийн доор байвал тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.

Зааварчилгаа

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр хэсгийг байгуулах арга юм тэгшитгэлдөрвөлжинд. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, эхний алхам бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд орж болно. Жишээлбэл, v (2x-5) = v (4x-7) тэгшитгэл. Үүний хоёр талыг квадрат болгосноор та 2x-5 = 4x-7 болно. Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэцүү биш; x = 1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл... Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн оронд 1-ийг оруулаад баруун болон зүүн талд нь утгагүй илэрхийллүүд байх болно, өөрөөр хэлбэл. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Иймд 1 нь гадны язгуур тул өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг түүний хоёр талыг квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа гаднах үндсийг таслах нь зайлшгүй юм. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Өөр нэгийг авч үзье.
2х + vx-3 = 0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил аргаар шийдэж болно. Композитыг зөөх тэгшитгэлдөрвөлжин язгуургүй, баруун талд, дараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. гарсан рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү эелдэг нэг нь. Шинэ хувьсагч оруулах; vx = y. Үүний дагуу та 2y2 + y-3 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна. Энэ нь ердийн зүйл юм квадрат тэгшитгэл... Үүний үндэсийг олох; y1 = 1 ба y2 = -3 / 2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vx = 1; vx = -3/2. Хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй бөгөөд эхнийхээс бид x = 1 гэдгийг олж мэднэ. Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.

Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь хангалттай хялбар юм. Энэ нь зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийхийг шаарддаг. Тиймээс хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар даалгавар шийдэгдэх болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг.

Зааварчилгаа

Ийм хувиргалтын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн куб (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна, олон байдаг ба тригонометрийн томъёоЭдгээр нь үндсэндээ ижил төстэй шинж чанарууд юм.

Үнэн хэрэгтээ хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат нь эхнийх нь хоёр дахь үржвэрийг хоёр дахин нэмсэн, хоёр дахьын квадратыг нэмсэнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a + b) ^ 2 = (a +) б) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Хоёуланг нь хялбарчил

Шийдлийн ерөнхий зарчим

Тодорхой интеграл болох тооцоолол эсвэл дээд математикийн сурах бичгээр хянана. Таны мэдэж байгаагаар тодорхой интегралын шийдэл нь функц бөгөөд түүний дериватив нь интегралыг өгөх болно. Энэ функцийг антидериватив гэж нэрлэдэг. Үндсэн интегралуудыг энэ зарчмын дагуу байгуулна.
Энэ тохиолдолд хүснэгтэн интегралуудын аль нь тохирохыг интегралын төрлөөр тодорхойл. Үүнийг нэн даруй тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ интегралыг хялбарчлахын тулд хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа хүснэгтийн харагдах байдал мэдэгдэхүйц болдог.

Хувьсах солих арга

Хэрэв интеграл нь аргумент нь олон гишүүнт байгаа тригонометрийн функц юм бол хувьсагчийг өөрчлөх аргыг ашиглана уу. Үүнийг хийхийн тулд интегралын аргумент дахь олон гишүүнтийг шинэ хувьсагчаар солино. Шинэ болон хуучин хувьсагчийн хоорондын хамаарлаас интеграцийн шинэ хязгаарыг тодорхойл. Энэ илэрхийллийг ялгаж, шинэ дифференциалыг олоорой. Тэгэхээр та авна шинэ төрөлөмнөх интеграл нь хүснэгтэнтэй ойролцоо эсвэл бүр харгалзах.

Хоёр дахь төрлийн интегралын шийдэл

Хэрэв интеграл нь хоёр дахь төрлийн интеграл, интегралын вектор хэлбэр бол эдгээр интегралаас скаляр руу шилжих дүрмийг ашиглах шаардлагатай болно. Эдгээр дүрмийн нэг нь Остроградский-Гаусын харьцаа юм. Энэ хууль нь тодорхой векторын функцийн роторын урсгалаас өгөгдсөн вектор талбарын дивергенцийг давсан гурвалсан интеграл руу шилжих боломжийг олгодог.

Интеграцийн хязгаарыг орлуулах

Эсрэг деривативыг олсны дараа интеграцийн хязгаарыг орлуулах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, дээд хязгаарын утгыг антидериватив илэрхийлэлд оруулна. Та хэд хэдэн дугаар авах болно. Дараа нь үүссэн тооноос доод хязгаараас олж авсан өөр тоог эсрэг дериватив хүртэл хасна. Хэрэв интегралчлалын нэг хязгаар нь хязгааргүй бол түүнийг эсрэг дериватив функцэд орлуулахдаа хязгаарт очиж, илэрхийлэл юунд чиглэж байгааг олох шаардлагатай.
Хэрэв интеграл нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст байвал интегралыг хэрхэн тооцоолохыг ойлгохын тулд интегралын хязгаарыг геометрээр дүрслэх шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, гурван хэмжээст интегралын хувьд интегралын хязгаар нь интегралдах эзлэхүүнийг холбосон бүхэл бүтэн хавтгай байж болно.

(Грек хэлнээс λόγος - "үг", "харилцаа" ба ἀριθμός - "тоо") тоо бшалтгаанаар а(лог α б) ийм тоо гэж нэрлэдэг в, ба б= а в, өөрөөр хэлбэл log α б=вболон b = aвтэнцүү байна. Хэрэв a> 0, ≠ 1, b> 0 байвал логарифм утга учиртай болно.

Өөрөөр хэлбэл логарифмтоонууд бшалтгаанаар атоог өсгөх шаардлагатай түвшингийн үзүүлэлт болгон томъёолсон болно адугаарыг авахын тулд б(Зөвхөн эерэг тоонууд л логарифмтай байдаг).

Энэ томъёолол нь тооцоолол нь x = log α гэсэн утгатай б, a x = b тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл:

log 2 8 = 3 учир 8 = 2 3.

Логарифмын заасан томъёолол нь нэн даруй тодорхойлох боломжтой гэдгийг бид онцолж байна логарифмын утга, логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн зарим зэрэгтэй байх үед. Үнэн хэрэгтээ логарифмын томъёолол нь хэрэв гэдгийг батлах боломжтой болгодог b = a c, дараа нь тооны логарифм бшалтгаанаар атэнцүү байна хамт... Мөн логарифмын сэдэв нь тухайн сэдэвтэй нягт холбоотой болох нь ойлгомжтой тооны зэрэг.

Логарифмын тооцоог гэж нэрлэдэг логарифмыг авах замаар... Логарифм авах нь логарифм авах математикийн үйлдэл юм. Логарифмыг авахдаа хүчин зүйлийн үржвэрийг нэр томъёоны нийлбэр болгон хувиргадаг.

Потенциацинь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциацийн үед өгөгдсөн суурь нь потенциацийг гүйцэтгэсэн илэрхийллийн хэмжээнд хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд гишүүдийн нийлбэр нь хүчин зүйлийн үржвэр болж хувирдаг.

2 (хоёртын тоо), е Эйлерийн тоо e ≈ 2.718 (натурал логарифм) ба 10 (аравтын тоо) суурьтай бодит логарифмууд нэлээд өргөн хэрэглэгддэг.

Энэ үе шатанд үүнийг анхаарч үзэхийг зөвлөж байна логарифмын жишээбүртгэл 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Мөн lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 гэсэн оруулгууд нь утгагүй, учир нь эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёрдугаарт - сөрөг тоосуурь дээр, гурав дахь нь - логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, суурь дээр нэг байна.

Логарифмыг тодорхойлох нөхцөл.

a> 0, a ≠ 1, b> 0 гэсэн нөхцөлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. логарифмын тодорхойлолт.Эдгээр хязгаарлалтыг яагаад авч байгааг авч үзье. x = log α хэлбэрийн тэгш байдал б, дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарах үндсэн логарифмын ижилсэл гэж нэрлэгддэг.

Нөхцөлийг авч үзье a ≠ 1... Нэг нь аль ч зэрэгтэй тэнцүү тул тэгш байдал x = log α байна бүед л оршин тогтнох боломжтой b = 1гэхдээ log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байх болно. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд бид авдаг a ≠ 1.

Нөхцөл байдлын зайлшгүй шаардлагатайг нотолцгооё a> 0... At a = 0логарифмын томъёоллын дагуу энэ нь зөвхөн оршин тогтнох боломжтой b = 0... Тэгээд үүний дагуу бүртгэл 0 0ямар ч тэгээс өөр бодит тоо байж болно, учир нь тэгээс өөр градусын тэг нь тэг юм. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд нөхцөлөөр өгсөн болно a ≠ 0... Тэгээд хэзээ а<0 Рационал ба иррационал илтгэгчтэй зэрэг нь зөвхөн сөрөг бус үндэслэлээр тодорхойлогддог тул бид логарифмын рационал ба иррационал утгын шинжилгээнээс татгалзах хэрэгтэй болно. Энэ шалтгааны улмаас нөхцөлийг тогтоожээ a> 0.

Мөн сүүлчийн нөхцөл b> 0тэгш бус байдлаас үүдэлтэй a> 0учир нь x = log α б, мөн эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга аүргэлж эерэг байдаг.

Логарифмын онцлог.

Логарифмонцлогтойгоор тодорхойлогддог онцлог, энэ нь нарийн тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг өргөнөөр ашиглахад хүргэсэн. "Логарифмын ертөнцөд" шилжих үед үржүүлэх нь илүү хялбар нэмэх, хуваах нь хасах, экспонентаци болон үндсийг задлах нь тус бүр нь үржүүлэх, хуваах зэрэгт хувирдаг.

Логарифмын томъёолол ба тэдгээрийн утгын хүснэгтийг (тригонометрийн функцүүдийн хувьд) анх 1614 онд Шотландын математикч Жон Непьер хэвлүүлсэн. Бусад эрдэмтдийн томруулж, нарийвчилсан логарифмын хүснэгтүүд нь шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн хэрэглэгдэж байсан бөгөөд электрон тооны машин, компьютер ашиглалтанд орох хүртэл хамааралтай хэвээр байв.

Бид логарифмыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Энэ нийтлэлд бид ярих болно логарифмыг тооцоолох, энэ процесс гэж нэрлэгддэг логарифмыг авах замаар... Эхлээд бид логарифмын тооцоог тодорхойлолтоор нь авч үзэх болно. Дараа нь бид логарифмын утгыг тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглан хэрхэн олохыг авч үзэх болно. Үүний дараа бид логарифмыг бусад логарифмын анх тодорхойлсон утгуудын дагуу тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно. Эцэст нь логарифмын хүснэгтүүдийг хэрхэн ашиглах талаар сурцгаая. Онолыг бүхэлд нь нарийвчилсан шийдэл бүхий жишээнүүдээр хангасан болно.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолтоор логарифмыг тооцоолох

Хамгийн энгийн тохиолдолд хурдан бөгөөд хялбар гүйцэтгэх боломжтой тодорхойлолтоор логарифм олох... Энэ үйл явц хэрхэн явагддагийг нарийвчлан авч үзье.

Үүний мөн чанар нь b тоог a c хэлбэрээр илэрхийлэх явдал бөгөөд логарифмын тодорхойлолтоор c тоо нь логарифмын утга юм. Өөрөөр хэлбэл, логарифмыг тодорхойлолтоор олох нь дараах тэгш байдлын гинжин хэлхээнд тохирно: log a b = log a a c = c.

Тиймээс логарифмыг тооцоолох нь тодорхойлолтоор бол a c = b байх c тоог олоход хүргэдэг бөгөөд c тоо өөрөө логарифмын хүссэн утга юм.

Өмнөх догол мөрүүдийн мэдээллийг харгалзан логарифмын тэмдгийн доорх тоог логарифмын суурийн тодорхой хэмжээгээр өгсөн бол логарифм нь юутай тэнцүү болохыг шууд зааж өгч болно - энэ нь экспоненттай тэнцүү байна. Жишээнүүдийн шийдлүүдийг харуулъя.

Жишээ.

Лог 2 2 −3-ыг олоод мөн e 5.3-ийн натурал логарифмийг тооцоол.

Шийдэл.

Логарифмын тодорхойлолт нь log 2 2 −3 = −3 гэдгийг шууд хэлэх боломжийг олгодог. Үнэн хэрэгтээ логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь 2-ын суурьтай -3-ын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Үүнтэй адилаар бид хоёр дахь логарифмийг олно: lne 5.3 = 5.3.

Хариулт:

log 2 2 −3 = −3 ба lne 5.3 = 5.3.

Хэрэв логарифмын тэмдгийн доорх b тоо нь логарифмын суурийн зэрэг гэж тодорхойлогдоогүй бол b тоог a c хэлбэрээр дүрслэх боломжтой эсэхийг сайтар судлах хэрэгтэй. Ихэнхдээ энэ дүрслэл нь маш тодорхой байдаг, ялангуяа логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь 1, 2, 3, ... зэрэгтэй тэнцүү байх үед

Жишээ.

Лог 5 25-ыг тооцоол, мөн.

Шийдэл.

25 = 5 2 гэдгийг харахад хялбар бөгөөд энэ нь эхний логарифмыг тооцоолох боломжийг танд олгоно: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

Хоёрдахь логарифмыг тооцоолохдоо үргэлжлүүлье. Энэ тоог 7-ын зэрэглэлээр илэрхийлж болно. (шаардлагатай бол үзнэ үү). Тиймээс, .

Гурав дахь логарифмыг дараах байдлаар дахин бичье. Та одоо үүнийг харж болно , эндээс бид ингэж дүгнэж байна ... Тиймээс логарифмын тодорхойлолтоор .

Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулт:

бүртгэл 5 25 = 2, болон .

Логарифмын тэмдгийн дор хангалттай том натурал тоо байгаа тохиолдолд түүнийг анхны хүчин зүйл болгон задлахад гэмгүй. Энэ нь ихэвчлэн ийм тоог логарифмын суурийн зарим хүч хэлбэрээр илэрхийлэхэд тусалдаг тул энэ логарифмыг тодорхойлолтоор нь тооцоолоход тусалдаг.

Жишээ.

Логарифмын утгыг ол.

Шийдэл.

Логарифмын зарим шинж чанарууд нь логарифмын утгыг шууд зааж өгөх боломжийг олгодог. Эдгээр шинж чанаруудад нэгийн логарифмын шинж чанар болон суурьтай тэнцүү тооны логарифмын шинж чанарууд багтана: log 1 1 = log a a 0 = 0 ба log a a = log a a 1 = 1. Өөрөөр хэлбэл, логарифмын тэмдгийн дор 1-ийн тоо эсвэл логарифмын суурьтай тэнцүү a тоо байвал эдгээр тохиолдолд логарифмууд нь 0 ба 1-тэй тэнцүү байна.

Жишээ.

Логарифм ба lg10 нь юутай тэнцүү вэ?

Шийдэл.

Үүнээс хойш логарифмын тодорхойлолтоос энэ нь дараах байдалтай байна .

Хоёрдахь жишээнд логарифмын тэмдгийн доорх 10 тоо нь суурьтай нь давхцаж байгаа тул аравтын бутархай логарифм нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл lg10 = lg10 1 = 1 байна.

Хариулт:

БА lg10 = 1.

Тодорхойлолтоор логарифмыг тооцоолохдоо (үүнийг бид өмнөх догол мөрөнд авч үзсэн) логарифмын шинж чанаруудын нэг болох log a a p = p тэгш байдлыг ашиглахыг хэлнэ гэдгийг анхаарна уу.

Практикт логарифмын тэмдгийн доорх тоо болон логарифмын суурь нь зарим тооны зэрэглэлээр хялбархан дүрслэгдэх үед томьёог ашиглах нь маш тохиромжтой. , энэ нь логарифмын шинж чанаруудын аль нэгэнд тохирно. Энэ томьёоны хэрэглээг харуулахын тулд логарифм олох жишээг харцгаая.

Жишээ.

Логарифмыг тооцоол.

Шийдэл.

Хариулт:

.

Дээр дурдаагүй логарифмын шинж чанаруудыг тооцоололд ашигладаг боловч бид дараагийн догол мөрөнд энэ тухай ярих болно.

Бусад мэдэгдэж буй логарифмуудын хувьд логарифмийг олох

Энэ хэсгийн мэдээлэл нь логарифмын шинж чанарыг тооцоолохдоо ашиглах сэдвийг үргэлжлүүлнэ. Гэхдээ энд гол ялгаа нь логарифмын шинж чанарууд нь анхны логарифмыг утга нь мэдэгдэж байгаа өөр логарифмээр илэрхийлэхэд ашиглагддаг. Тодорхой болгох үүднээс жишээ хэлье. Бид log 2 3≈1.584963 гэдгийг мэдсэн гэж бодъё, тэгвэл логарифмын шинж чанарыг ашиглан жижиг хувиргалт хийж, жишээ нь log 2 6-г олж болно: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Өгөгдсөн жишээн дээр бид бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хангалттай байсан. Гэсэн хэдий ч өгөгдсөн логарифмыг эхний логарифмыг тооцоолохын тулд илүү өргөн хүрээний логарифмын шинж чанарыг ашиглах шаардлагатай болдог.

Жишээ.

Хэрэв та log 60 2 = a, log 60 5 = b гэдгийг мэдэж байгаа бол 27-ийн логоны суурь 60-ыг тооцоол.

Шийдэл.

Тиймээс бид лог 60 27-г олох хэрэгтэй. 27 = 3 3, анхны логарифм нь чадлын логарифмын шинж чанараас шалтгаалан 3 · log 60 3 гэж дахин бичиж болно гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Одоо лог 60 3-ыг мэдэгдэж буй логарифмуудаар хэрхэн илэрхийлэхийг харцгаая. Суурьтай тэнцүү тооны логарифмын шинж чанар нь 60 60 = 1 тэгш байдлын бүртгэлийг бичих боломжийг олгодог. Нөгөө талаас лог 60 60 = log60 (2 2 3 5) = лог 60 2 2 + гуалин 60 3 + гуалин 60 5 = 2 · лог 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Тиймээс, 2 бүртгэл 60 2 + гуалин 60 3 + гуалин 60 5 = 1... Тиймээс, log 60 3 = 1−2 log 60 2 − log 60 5 = 1−2 a − b.

Эцэст нь анхны логарифмыг тооцоол: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 a − b) = 3−6 a − 3 b.

Хариулт:

log 60 27 = 3 (1−2 a − b) = 3−6 a − 3 b.

Маягтын логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёоны утгын талаар тусад нь хэлэх хэрэгтэй. ... Энэ нь ямар ч суурьтай логарифмуудаас тодорхой суурьтай, утгууд нь мэдэгдэж байгаа эсвэл тэдгээрийг олох боломжтой логарифм руу шилжих боломжийг олгодог. Ихэвчлэн эхний логарифмаас эхлээд шилжилтийн томъёоны дагуу тэдгээр нь 2, e эсвэл 10 суурийн аль нэг дэх логарифм руу ордог, учир нь эдгээр суурийн хувьд тэдгээрийн утгыг тодорхой хэмжээгээр тооцоолох боломжийг олгодог логарифмын хүснэгтүүд байдаг. нарийвчлалын. Дараагийн хэсэгт бид үүнийг хэрхэн хийхийг харуулах болно.

Логарифмын хүснэгтүүд, тэдгээрийн хэрэглээ

Логарифмын утгыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд та ашиглаж болно логарифмын хүснэгтүүд... Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг суурь 2 логарифмын хүснэгт, натурал логарифмын хүснэгт, аравтын логарифмын хүснэгт. Аравтын бутархайн системд ажиллахдаа логарифмын хүснэгтийг аравтын суурь болгоход тохиромжтой. Үүний тусламжтайгаар бид логарифмын утгыг олж сурах болно.

Үзүүлсэн хүснэгт нь аравтын нэгийн нарийвчлалтайгаар 1000-аас 9.999 хүртэлх тооны аравтын бутархай логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог (гурван аравтын оронтой). Бид тодорхой жишээн дээр аравтын логарифмын хүснэгтийг ашиглан логарифмын утгыг олох зарчмыг шинжлэх болно - энэ нь илүү ойлгомжтой юм. lg1,256-г олъё.

Аравтын бутархай логарифмын хүснэгтийн зүүн баганад бид 1.256 тооны эхний хоёр цифрийг олно, өөрөөр хэлбэл 1.2-ыг олно (тодорхой байхын тулд энэ тоог цэнхэр өнгөөр ​​дугуйлсан). Бид давхар шугамын зүүн талд байгаа эхний буюу сүүлчийн мөрөнд (энэ тоог улаан шугамаар дугуйлсан) 1.256 (5 цифр) тоон гурав дахь цифрийг олдог. Анхны 1.256 дугаарын дөрөв дэх орон (6 цифр) давхар шугамын баруун талд байгаа эхний буюу сүүлчийн мөрөнд байна (энэ тоог ногооноор дугуйлсан). Одоо бид тэмдэглэсэн мөр ба тэмдэглэгдсэн баганын огтлолцол дахь логарифмын хүснэгтийн нүднүүдийн тоог олдог (эдгээр тоонуудыг тодруулсан болно. жүрж). Тэмдэглэгдсэн тоонуудын нийлбэр нь аравтын бутархайн логарифмын хүссэн утгыг аравтын дөрөв дэх орон хүртэлх нарийвчлалтайгаар өгдөг, өөрөөр хэлбэл, lg1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

Дээрх хүснэгтийг ашиглан аравтын бутархайн дараа гурваас дээш оронтой тоонуудын аравтын бутархай логарифмын утгыг олох боломжтой юу, мөн 1-ээс 9.999 хүртэлх мужаас давж гарах боломжтой юу? Тиймээ чи чадна. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг жишээгээр харуулъя.

lg102.76332-ыг тооцоод үзье. Эхлээд та бичих хэрэгтэй стандарт дугаар: 102.76332 = 1.0276332 10 2. Үүний дараа мантиса нь гурав дахь аравтын бутархай хүртэл дугуйрсан байх ёстой 1.0276332 10 2 ≈ 1.028 10 2, анхны аравтын бутархай логарифм нь үүссэн тооны логарифмтай ойролцоогоор тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, бид lg102.76332≈lg1.028 · 10 2-ыг авна. Одоо бид логарифмын шинж чанаруудыг ашиглана: lg1,028 10 2 = lg1,028 + lg10 2 = lg1,028 + 2... Эцэст нь аравтын бутархай логарифмын lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012 хүснэгтээс lg1.028 логарифмын утгыг олно. Үүний үр дүнд логарифмыг тооцоолох бүх үйл явц дараах байдалтай байна. log102.76332 = log1.0276332 · 10 2 ≈ log1.028 · 10 2 = log1.028 + log10 2 = log1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

Эцэст нь хэлэхэд, аравтын бутархай логарифмын хүснэгтийг ашиглан та ямар ч логарифмын ойролцоо утгыг тооцоолж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд шилжилтийн томьёог ашиглан аравтын бутархай логарифм руу очиж, хүснэгтийн дагуу тэдгээрийн утгыг олж, үлдсэн тооцоог хийхэд хангалттай.

Жишээлбэл, лог 2 3-ыг тооцоолъё. Логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёогоор бид байна. Аравтын бутархай логарифмын хүснэгтээс бид lg3≈0.4771 ба lg2≈0.3010-ыг олно. Тиймээс, .

Ном зүй.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Анхан шатны алгебрийн нэг элемент бол логарифм юм. Энэ нэр нь Грек хэлнээс "тоо" эсвэл "зэрэг" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд эцсийн тоог олохын тулд суурь дахь тоог өсгөх шаардлагатай түвшинг илэрхийлдэг.

Логарифмын төрлүүд

• log a b - a суурийн b тооны логарифм (a> 0, a ≠ 1, b> 0);
• lg b - аравтын логарифм (логарифмын суурь 10, a = 10);
• ln b - натурал логарифм (логарифмын суурь e, a = e).

Логарифмыг хэрхэн шийддэг вэ?

b-ийн логарифмын суурь a нь илтгэгч бөгөөд энэ нь а суурийг b болгож өсгөхийг шаарддаг. Үр дүн нь "b-ийн логарифмаас а суурьтай" гэсэн байдлаар дуудагдана. Логарифмын асуудлын шийдэл бол өгөгдсөн зэрэглэлийг заасан тоонуудын тоогоор тодорхойлох явдал юм. Логарифмыг тодорхойлох, шийдвэрлэх, мөн оруулгыг өөрөө өөрчлөх үндсэн дүрмүүд байдаг. Тэдгээрийг ашиглан логарифмын тэгшитгэлийн шийдлийг хийж, деривативуудыг олж, интегралуудыг шийдэж, бусад олон үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг. Үндсэндээ логарифмын шийдэл нь түүний хялбаршуулсан тэмдэглэгээ юм. Үндсэн томъёо, шинж чанаруудыг доор харуулав.

Ямар ч а; a> 0; a ≠ 1 ба дурын x-ийн хувьд; y> 0.

• a log a b = b - үндсэн логарифмын таних тэмдэг
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x / y = log a x - log a y
• log a 1 / x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1 / k log a x, k ≠ 0-ийн хувьд
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x / log b a - шинэ суурь руу шилжих томъёо
• log a x = 1 / log x a

Логарифмыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - алхам алхмаар шийдвэрлэх заавар

• Эхлээд шаардлагатай тэгшитгэлийг бичнэ үү.

Анхаарна уу: хэрэв суурь логарифм нь 10 бол оруулгыг хасч, аравтын бутархай логарифмийг авна. Хэрэв натурал e тоо байгаа бол натурал логарифм болгон бууруулж бичнэ. Энэ нь бүх логарифмын үр дүн нь b тоо гарах хүртэл суурь тоог өсгөх хүч юм гэсэн үг юм.

Шууд шийдэл нь энэ зэргийг тооцоолоход оршино. Логарифм бүхий илэрхийлэлийг шийдэхийн өмнө үүнийг дүрмийн дагуу, өөрөөр хэлбэл томъёо ашиглан хялбарчлах ёстой. Өгүүлэлд бага зэрэг буцаж орсноор та үндсэн шинж чанаруудыг олж болно.

Хоёр өөр тоотой, гэхдээ ижил суурьтай логарифмуудыг нэмэх, хасахдаа b ба c-ийн үржвэр эсвэл хуваалтаар тус тус нэг логарифмаар солино. Энэ тохиолдолд та шилжилтийн томъёог өөр суурь дээр хэрэглэж болно (дээрхийг үзнэ үү).

Хэрэв та логарифмыг хялбарчлахын тулд илэрхийлэл ашигладаг бол зарим хязгаарлалтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь: a логарифмын суурь нь зөвхөн эерэг тоо боловч нэгтэй тэнцүү биш юм. b тоо нь а шиг тэгээс их байх ёстой.

Илэрхийллийг хялбарчлах замаар логарифмыг тоогоор тооцоолох боломжгүй тохиолдол байдаг. Ийм илэрхийлэл нь утгагүй байдаг, учир нь олон градус нь иррационал тоо юм. Энэ нөхцлийн дагуу тооны хүчийг логарифмын тэмдэглэгээ хэлбэрээр үлдээнэ үү.

ln x функцийн натурал логарифмын үндсэн шинж чанар, график, тодорхойлолтын муж, утгын багц, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, зэрэглэлийн цуваа өргөтгөл, ln x функцийг комплекс тоогоор дүрслэх зэргийг өгөгдсөн.

Тодорхойлолт

Байгалийн логарифмнь y = функц юм ln xЭкспоненциалтай урвуу, x = e y ба e-ийн суурь логарифм: ln x = log e x.

Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x) ′ = 1 / x.

Үндэслэсэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045 ...;
.

Функцийн график y = ln x.

Натурал логарифмын график (функц у = ln x)-ийг экспонентын графикаас y = x шулуунтай харьцуулан толин тусгалаар гаргаж авна.

Натурал логарифм нь x хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог. Энэ нь өөрийн тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг.

x → гэж 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (- ∞) юм.

x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм аажмаар нэмэгддэг. Аливаа чадлын функц x a эерэг үзүүлэлттэй логарифмаас хурдан өсдөг.

Байгалийн логарифмын шинж чанарууд

Тодорхойлолтын хүрээ, утгын багц, экстремум, нэмэгдэх, буурах

Байгалийн логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Ln x

ln 1 = 0

Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо

Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёо:

Логарифмын үндсэн шинж чанар, түүний үр дагавар

Суурь солих томъёо

Аливаа логарифмыг үндсэн өөрчлөлтийн томъёог ашиглан натурал логарифмуудаар илэрхийлж болно.

Эдгээр томъёоны баталгааг "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.

Урвуу функц

Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.

Хэрэв тийм бол

Хэрэв тийм бол.

Дериватив ln x

Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томъёоны гарал үүсэл>>>

Интеграл

Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
.
Тэгэхээр,

Комплекс тоонуудын илэрхийлэл

z цогц хувьсагчийн функцийг авч үзье.
.
Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье zмодулиар дамжуулан rболон аргумент φ :
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
.
Аргумент φ нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв бид тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.

Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь хоёрдмол утгагүй функц биш юм.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

Задаргаа нь дараахь байдлаар явагдана.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Техникийн байгууллагуудын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Өмнөх нийтлэл: Нарийн сурагчид - энэ нь юу гэсэн үг вэ? Дараагийн нийтлэл: Зөөлөн катетер ашиглан давсагны катетержуулалт