Тригонометрийн томъёоны гарал үүсэлтэй. Синус, косинус, тангенс: энэ юу вэ? Синус, косинус, тангенсыг хэрхэн олох вэ

Тангенс (tg x) ба котангенс (ctg x)-ийн лавлагаа өгөгдөл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Шүргэгч ба котангентын хүснэгт, дериватив, интеграл, цувааны өргөтгөл. Комплекс хувьсагчийн илэрхийлэл. Гиперболик функцуудтай холболт.

Геометрийн тодорхойлолт

| BD | - А цэг дээр төвлөрсөн тойргийн нумын урт.
α нь радианаар илэрхийлэгдсэн өнцөг юм.

шүргэгч ( tg α) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү байна |МЭӨ | зэргэлдээх хөлний урт хүртэл |AB | ...

Котангенс ( ctg α) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү байна |AB | эсрэг хөлний урт хүртэл | МЭӨ | ...

Тангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
.
;
;
.

Шүргэх функцийн график, y = tg x

Котангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд котангенсыг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
Дараахь тэмдэглэгээг мөн баталсан.
;
;
.

Котангентын функцын график, y = ctg x

Тангенс ба котангентын шинж чанарууд

Үе үе

y = функцууд tg xба у = ctg xπ-ийн үетэй үе үе.

Паритет

Тангенс ба котангенс функцууд нь сондгой.

Домэйн ба үнэ цэнэ, нэмэгдэж, буурч байна

Тангенс ба котангенс функцууд нь тодорхойлолтын талбартаа тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тангенс ба котангентын үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв ( n- бүхэлд нь).

	у = tg x	у = ctg x
Тодорхойлолт ба тасралтгүй байдлын домэйн
Утгын хүрээ	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Өгсөж байна		-
Бууж байна	-
Хэт их	-	-
Тэг, у = 0
У тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у = 0	-

Томъёо

Синус болон косинусын илэрхийлэл

; ;
; ;
;

Нийлбэр ба ялгаварын тангенс ба котангенсийн томъёо

Жишээлбэл, бусад томъёог олж авахад хялбар байдаг

Шүргэгчийн бүтээгдэхүүн

Шүргэгчийн нийлбэр ба ялгааны томъёо

Энэ хүснэгтэд аргументийн зарим утгуудын шүргэгч ба котангентын утгыг харуулав.

Комплекс тоонуудын илэрхийлэл

Гиперболын функцүүдийн илэрхийлэл

;
;

Дериватив

; .

.
Функцийн х хувьсагчийн хувьд n-р эрэмбийн дериватив:
.
Шүргэгчийн томъёоны гарган авах>>>>; котангентын хувьд>>>>

Интеграл

Цуврал өргөтгөлүүд

X-ийн зэрэглэлийн тангенсийн өргөтгөлийг олж авахын тулд та функцүүдийн чадлын цувралын өргөтгөлийн хэд хэдэн нөхцлийг авах хэрэгтэй. гэм хболон cos xмөн эдгээр олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хуваах,. Ингэснээр дараах томьёо гарна.

-д.

цагт.
хаана Б н- Бернуллигийн тоо. Тэдгээрийг дахилтын хамаарлаас аль нэгээр нь тодорхойлно.
;
;
хаана.
Эсвэл Лапласын томъёоны дагуу:

Урвуу функцууд

Тангенс ба котангенсийн урвуу функцууд нь нуман тангенс ба нуман котангенс юм.

Арктангенс, арктг

, хаана n- бүхэлд нь.

Арккотангенс, arcctg

, хаана n- бүхэлд нь.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Техникийн байгууллагуудын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Г.Корн, Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012 он.

- Тригонометрийн даалгавар байх нь гарцаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангентаар дүүрэн асар олон тооны хэцүү томъёог чихэх хэрэгцээ шаардлагад тригонометрийг ихэвчлэн дургүй байдаг. Энэ сайт нь Эйлер, Пилийн томьёог жишээ болгон ашиглан мартагдсан томьёог хэрхэн эргүүлэн татах талаар зөвлөгөө өгч байсан удаатай.

Мөн энэ нийтлэлд бид хамгийн энгийн таван тригонометрийн томьёог л сайн мэдэж, бусад зүйлийн талаар ерөнхий ойлголттой болж, тэдгээрийг гаргахад хангалттай гэдгийг харуулахыг хичээх болно. Энэ нь ДНХ-тэй адил юм: молекул нь амьд амьтны бүрэн зургийг хадгалдаггүй. Харин энэ нь боломжтой амин хүчлүүдээс угсрах зааврыг агуулдаг. Тиймээс тригонометрийн хувьд зарим ерөнхий зарчмуудыг мэддэг тул бид санаж байх ёстой жижиг багцаас шаардлагатай бүх томъёог авах болно.

Бид дараах томъёонд найдах болно.

Нийлбэрүүдийн синус ба косинусын томъёоноос косинусын функцийн паритет ба синус функцийн сондгой байдлын талаар мэдэж, b-ийн оронд -b-г орлуулснаар бид ялгааны томъёог олж авна.

Ялгааны синус: нүгэл(а-б) = нүгэлаcos(-б)+cosанүгэл(-б) = нүгэлаcosб-cosанүгэлб
Ялгааны косинус: cos(а-б) = cosаcos(-б)-нүгэланүгэл(-б) = cosаcosб+нүгэланүгэлб

Ижил томьёонд a = b өгснөөр бид давхар өнцгийн синус ба косинусын томъёог олж авна.

Давхар өнцгийн синус: нүгэл2а = нүгэл(a + a) = нүгэлаcosа+cosанүгэла = 2нүгэлаcosа
Давхар өнцгийн косинус: cos2а = cos(a + a) = cosаcosа-нүгэланүгэла = cos2 а-нүгэл2 а

Бусад олон өнцгийн томъёог ижил төстэй аргаар олж авна.

Гурвалсан өнцгийн синус: нүгэл3а = нүгэл(2a + a) = нүгэл2аcosа+cos2анүгэла = (2нүгэлаcosа)cosа+(cos2 а-нүгэл2 а)нүгэла = 2нүгэлаcos2 а+нүгэлаcos2 а-нүгэл 3 a = 3 нүгэлаcos2 а-нүгэл 3 a = 3 нүгэла(1-нүгэл2 а)-нүгэл 3 a = 3 нүгэла-4нүгэл 3 а
Гурвалсан өнцгийн косинус: cos3а = cos(2a + a) = cos2аcosа-нүгэл2анүгэла = (cos2 а-нүгэл2 а)cosа-(2нүгэлаcosа)нүгэла = cos 3 а- нүгэл2 аcosа-2нүгэл2 аcosа = cos 3 a-3 нүгэл2 аcosа = cos 3 a-3 (1- cos2 а)cosа = 4cos 3 a-3 cosа

Үргэлжлүүлэхээсээ өмнө нэг асуудлыг авч үзье.
Өгөгдсөн: өнцөг нь хурц байна.
Хэрэв косинусыг ол
Нэг оюутны өгсөн шийдэл:
Учир нь , дараа нь нүгэла= 3, ба cosа = 4.
(Математикийн хошигнолоос)

Тиймээс шүргэгчийн тодорхойлолт нь энэ функцийг синус ба косинустай холбодог. Гэхдээ та зөвхөн косинустай шүргэгчийн хамаарлыг өгөх томъёог авч болно. Үүнийг гаргаж авахын тулд бид үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг авна. нүгэл 2 а+cos 2 а= 1 ба үүнийг хуваана cos 2 а... Бид авах:

Тиймээс энэ асуудлыг шийдэх арга нь:

(Өнцөг нь хурц тул үндсийг задлахдаа + тэмдэг авна)

Нийлбэрийн тангенсийн томъёо бол санахад хэцүү өөр нэг томъёо юм. Үүнийг дараах байдлаар харуулъя.

Шууд харагдах ба

Давхар өнцгийн косинусын томъёоноос та синус болон косинусын томъёог хагасыг нь авч болно. Үүнийг хийхийн тулд хоёр өнцөгт косинусын томъёоны зүүн талд:
cos2 а = cos 2 а-нүгэл 2 а
бид нэгийг нэмж, баруун талд - тригонометрийн нэгж, өөрөөр хэлбэл. синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр.
cos2а+1 = cos2 а-нүгэл2 а+cos2 а+нүгэл2 а
2cos 2 а = cos2 а+1
илэрхийлэх замаар cosахөндлөн cos2 аболон хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Тэмдгийг квадратаас хамааран авдаг.

Үүний нэгэн адил тэгш байдлын зүүн талаас нэгийг, баруун талаас - синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг хасвал бид дараахь зүйлийг авна.
cos2а-1 = cos2 а-нүгэл2 а-cos2 а-нүгэл2 а
2нүгэл 2 а = 1-cos2 а

Эцэст нь тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргахын тулд бид дараах аргыг ашигладаг. Бид синусын нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон төлөөлөх хэрэгтэй гэж бодъё нүгэла+нүгэлб... a = x + y, b + x-y байхаар x ба у хувьсагчдыг оруулъя. Дараа нь
нүгэла+нүгэлб = нүгэл(x + y) + нүгэл(x-y) = нүгэлх cos y + cosх нүгэл y + нүгэлх cosу- cosх нүгэл y = 2 нүгэлх cos y. Одоо x ба у-г a, b-ээр илэрхийлье.

a = x + y, b = x-y тул. Тэгэхээр

Та шууд татгалзаж болно

Хуваалтын томъёо синус ба косинус бүтээгдэхүүн v нийлбэр: нүгэлаcosб = 0.5(нүгэл(a + b)+нүгэл(a-b))

Синусын ялгавар ба косинусын нийлбэр ба ялгаварыг үржвэр болгон хувиргах, мөн синус ба косинусын үржвэрийн нийлбэрт хуваах томъёог дадлага хийж, гаргаж авахыг танд зөвлөж байна. Эдгээр дасгалуудыг хийж дууссаны дараа та тригонометрийн томьёо гаргах ур чадварыг бүрэн эзэмшиж, хамгийн хэцүү хяналт, олимпиад, сорилтод ч төөрөхгүй.

Би чамайг хууран мэхлэх хуудас бичихгүй гэж итгүүлэхгүй. Бичих! Үүнд, тригонометрийн талаархи хуурамч хуудаснууд. Дараа нь би хууран мэхлэх хуудас яагаад хэрэгтэй, яагаад хууран мэхлэх хуудас хэрэгтэй болохыг тайлбарлахаар төлөвлөж байна. Мөн энд - хэрхэн сурахгүй байх тухай мэдээлэл, гэхдээ зарим тригонометрийн томъёог санаарай. Тиймээс - хууран мэхлэх хуудасгүй тригонометр! Бид цээжлэхийн тулд холбоог ашигладаг.

1. Нэмэлтийн томъёо:

косинусууд үргэлж "хосоор явдаг": косинус-косинус, синус-синус. Бас нэг зүйл: косинусууд "хангалтгүй" байна. Тэд "тийм биш" тул тэмдгүүдийг өөрчилдөг: "-" "+" болон эсрэгээр.

Синусууд - "холимог": синус косинус, косинус синус.

2. Нийлбэр ба зөрүүний томъёо:

косинусууд үргэлж "хосоор явдаг". Хоёр косинус - "колобокс" -ийг нэмснээр бид хос косинус - "колобокс" авдаг. Мөн хассаны дараа бид колобокс авахгүй нь гарцаагүй. Бид хос синусыг авдаг. Мөн хасах оноотой.

Синусууд - "холимог" :

3. Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр ба зөрүү болгон хувиргах томьёо.

Бид хэзээ хос косинусыг авах вэ? Бид косинусуудыг нэмэхэд. Тэгэхээр

Бид хэзээ хос синустай болох вэ? Косинусыг хасах үед. Тиймээс:

"Холих" нь синусыг нэмэх, хасах үед хоёуланг нь олж авдаг. Аль нь илүү гоё вэ: нэмэх эсвэл хасах уу? Энэ нь зөв, нугалах. Мөн томъёоны хувьд тэд нэмэлтийг авна:

Эхний болон гурав дахь томъёонд нийлбэрийг хаалтанд бичнэ. Нөхцөлүүдийн байршлыг өөрчилснөөр нийлбэр өөрчлөгдөхгүй. Захиалга нь зөвхөн хоёр дахь томьёоны хувьд үндсэн юм. Гэхдээ андуурахгүйн тулд цээжлэхэд хялбар болгохын тулд эхний хаалтанд байгаа гурван томьёоны ялгааг авна.

хоёрдугаарт, хэмжээ

Таны халаасанд байгаа хууран мэхлэх хуудас нь сэтгэлийн амар амгаланг өгдөг: хэрэв та томъёог мартсан бол түүнийгээ хасаж болно. Мөн тэд танд итгэлийг өгдөг: хэрвээ та хууран мэхлэх хуудсыг ашиглаж чадахгүй бол томъёог амархан санаж болно.

Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээр нь эхлээд харахад нарийн төвөгтэй ойлголтуудыг (олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг) сайн ойлгохын тулд "Чөтгөр зурсан шиг тийм ч аймшигтай биш" гэдэгт итгэлтэй байхын тулд эхнээс нь эхэлж, ойлгоцгооё. өнцгийн тухай ойлголт.

Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус

Ингээд зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэсэн". Тиймээс, анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно тарилга.

Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!

Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус, радианаар хэмжиж болно.

(нэг градус) өнцөг гэж нэрлэдэг төв булантойрог дотор, тойргийн хэсэгтэй тэнцүү дугуй нуман дээр тулгуурладаг. Тиймээс бүхэл бүтэн тойрог нь дугуй нумын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь ижил өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр тулгуурладаг.

Радиан дахь өнцөг гэдэг нь тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нуман дээр тулгуурласан тойргийн төв өнцөг юм. За, ойлгов уу? Хэрэв үгүй бол зурж үзэцгээе.

Тиймээс, зураг нь радиантай тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн радиустай тэнцүү дугуй нуман дээр байрладаг (урт нь урт эсвэл радиустай тэнцүү). урттай тэнцүүнумууд). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Радиан дахь төвийн өнцөг хаана байна.

За, та үүнийг мэдэж байгаа тул тойргоор дүрсэлсэн өнцөг хэдэн радиантай болохыг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Тэр тэнд байна:

За, одоо энэ хоёр томьёог хооронд нь холбож тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэдэг үгийг орхигдуулсан нь тухайн нэгж нь ихэвчлэн контекстээс тодорхой байдаг.

Хэдэн радиан байдаг вэ? Яг зөв!

Авчихсан? Дараа нь урагшаа засаарай:

Хэцүү байна уу? Дараа нь хар хариултууд:

Тэгш өнцөгт гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс

Тиймээс бид өнцгийн тухай ойлголтыг олж мэдсэн. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүний тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд туслах болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (зөв өнцгөөр зэргэлдээх хүмүүс), үүнээс гадна хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, хөл нь эсрэгээрээ байна. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Синусын өнцөгнь эсрэг талын (алсын) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн косинусзэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн тангенснь эсрэг талын (алслагдсан) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн котангенснь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг (алсын) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юунд хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчболон котангенсзөвхөн хөл сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусболон косинус... Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

Косинус → хүрэх → хүрэх → зэргэлдээ;

Котангенс → хүрнэ үү → хүрнэ үү → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа нь синус, косинус, тангенс, котангенс нь эдгээр талуудын уртаас (нэг өнцгөөр) хамаардаггүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Итгэхгүй байна? Дараа нь зургийг харж байгаа эсэхийг шалгаарай:

Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас:, гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно:. Та харж байна уу, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг олж мэдсэн бол цааш нь засаад үзээрэй!

Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд ол.

За ойлгосон уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: булангийн хувьд адилхан тоол.

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Зэрэг ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие... Энэ нь тригонометрийг сурахад маш их хэрэг болдог. Тиймээс энэ талаар бага зэрэг дэлгэрэнгүй авч үзье.

Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нь нэгтэй тэнцүү, тойргийн төв нь эх цэг дээр байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байна (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).

Тойргийн цэг бүр нь тэнхлэгийн дагуух координат ба тэнхлэгийн дагуух координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатууд нь юу вэ? Ер нь тэд хэлэлцэж буй сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд та тэгш өнцөгт гурвалжны талаар санаж байх хэрэгтэй. Дээрх зурган дээр та бүхэл бүтэн хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг харж байна. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? Зүгээр дээ. Үүнээс гадна, бид үүнийг мэднэ - нэгж тойргийн радиус, тиймээс,. Энэ утгыг манай косинусын томъёонд орлуулаарай. Энд юу болох вэ:

Гурвалжингаас ямар тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.

Тэгэхээр та тойрогт хамаарах цэгийн координат гэж юу болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо юм бол? Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? За, мэдээжийн хэрэг, координат! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Зөв шүү, зохицуулаарай! Тэгэхээр гол зүйл.

Тэгээд юутай тэнцүү вэ? Зөв шүү, шүргэгч ба котангенсийн харгалзах тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг олж авъя, a.

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурагт үзүүлсэн шиг:

Энэ жишээнд юу өөрчлөгдсөн бэ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэ. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: булан (булангийн зэргэлдээх байдлаар). Өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар утгатай вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсын утгуудыг харгалзах харьцаатай харьцуулна. Тиймээс эдгээр хамаарал нь радиус векторын аль ч эргэлтэд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлвэл яах вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, тодорхой хэмжээний өнцөг гарч ирэх болно, гэхдээ зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс, радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэхэд та олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тиймээс тойрог дахь радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? Мэдээж та чадна! Эхний тохиолдолд радиус вектор нь нэг бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүрэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид өөр өөр өнцөг буюу (ямар нэгэн бүхэл тоо) нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд тохирох гэх мэт. Жагсаалт үргэлжлэх болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна) бичиж болно.

Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юутай тэнцүү болохыг хариулахыг хичээ.

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Хэцүү байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

Эндээс бид өнцгийн тодорхой хэмжигдэхүүнд тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: булан нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

Байдаггүй;

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө оролдоод үз, дараа нь хариултуудыг шалгана уу.

Хариултууд:

Байдаггүй

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг гаргаж болно.

Эдгээр бүх утгыг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

Гэхдээ доорхи хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санах хэрэгтэй:

Бүү ай, одоо бид жишээнүүдийн аль нэгийг үзүүлэх болно. харгалзах утгуудыг маш энгийн цээжлэх:

Энэ аргыг ашиглахын тулд өнцгийн гурван хэмжүүрийн синусын утгыг (), мөн өнцгийн тангенсын утгыг санах нь чухал юм. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд хялбар байдаг - косинусын утгыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур "" таарч, "" хуваагч таарна. Котангентын утгыг зураг дээрх сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, сумтай схемийг санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?

За, мэдээжийн хэрэг та чадна! авчиръя цэгийн координатыг олох ерөнхий томьёо.

Жишээлбэл, энд ийм тойрог байна:

Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус нь. Цэгийг градусаар эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад сегментийн урт нь тухайн цэгийн координаттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.

Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.

Үүнтэй ижил логикийг ашиглан бид цэгийн y координатын утгыг олно. Энэ замаар,

Тэгэхээр нь ерөнхий үзэлцэгүүдийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тойргийн төвийн координат,

Тойргийн радиус,

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

За, бид тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж эдгээр томъёог амтлах уу?

1. Нэгж тойрог дээрх цэгийг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг ол.

2. Нэгж тойрог дээрх цэгийг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг ол.

3. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

4. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус нь. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

5. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус нь. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?

Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл шийдлийг сайн ойлгоорой), та тэдгээрийг хэрхэн олохыг сурах болно!

Та үүнийг харж болно. Гэхдээ бид эхлэлийн цэгийг бүрэн эргүүлэхэд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатыг олох болно.

2. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Та үүнийг харж болно. Эхлэлийн цэгийн хоёр бүтэн эргэлтэнд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатыг олох болно.

Синус ба косинус нь хүснэгтийн утгууд юм. Бид тэдгээрийн утгыг санаж, дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс шаардлагатай цэг нь координаттай байна.

3. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Та үүнийг харж болно. Зураг дээр авч үзсэн жишээг дүрсэлцгээе.

Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус нь сөрөг утгатай, синус эерэг болохыг тогтоосны дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Сэдвийн хүрээнд тригонометрийн функцийг цутгах томъёог судлахдаа ижил төстэй жишээнүүдийг илүү нарийвчлан шинжлэх болно.

Тиймээс шаардлагатай цэг нь координаттай байна.

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)

Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл эерэг, үнэ цэнэ нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдсэнээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг манай томъёонд орлуулж, координатыг олно уу.

Тиймээс шаардлагатай цэг нь координаттай байна.

5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашиглах болно, хаана

Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,

Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр,).

Томъёоны бүх утгыг орлуулаад дараахийг авна уу:

ба - хүснэгтийн утгууд. Бид тэдгээрийг санаж, томъёогоор орлуулна.

Тиймээс шаардлагатай цэг нь координаттай байна.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Өнцгийн синус нь эсрэг талын (алс) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг эсрэг (алс) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Энэ нийтлэлд бид үүнийг цогцоор нь авч үзэх болно. Тригонометрийн үндсэн адилтгалууд нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондын хамаарлыг тогтоох тэгш байдал бөгөөд эдгээр тригонометрийн функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй нөгөө өнцгөөр нь олох боломжийг олгодог.

Энэ нийтлэлд дүн шинжилгээ хийх үндсэн тригонометрийн шинж чанаруудыг нэн даруй жагсаацгаая. Тэдгээрийг хүснэгтэд бичээд доороос бид эдгээр томъёоны гарал үүслийг өгч, шаардлагатай тайлбаруудыг өгье.

Хуудасны навигаци.

Нэг өнцгийн синус ба косинусын хамаарал

Заримдаа тэд дээрх хүснэгтэд жагсаасан үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн тухай биш, харин нэг ганц зүйлийн тухай ярьдаг үндсэн тригонометрийн ижилсэлтөрлийн ... Энэ баримтын тайлбар нь маш энгийн: үндсэн тригонометрийн шинж чанараас түүний аль алиныг нь тус тусад нь хуваасны дараа тэнцүү байдлыг олж авдаг. болон синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос дагана. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрүүдэд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

Өөрөөр хэлбэл, үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг гэж нэрлэгддэг тэгш байдал онцгой анхаарал татаж байна.

Тригонометрийн үндсэн ижил төстэй байдлыг батлахын өмнө түүний томъёоллыг өгье: нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй ижил тэнцүү байна. Одоо үүнийг баталъя.

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг нь ихэвчлэн ашиглагддаг тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх... Энэ нь нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр солих боломжийг олгодог. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг урвуу дарааллаар ашигладаг: нэгжийг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр солино.

Синус ба косинусын хувьд тангенс ба котангенс

Хэлбэрийн нэг өнцгийн синус ба косинусын тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос нэн даруй дагана. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол синус нь ординат у, косинус нь х-ийн абсцисса, шүргэгч нь ординат ба абсцисса харьцаа юм. , ба котангенс нь абсцисс ба ординатын харьцаа, өөрөөр хэлбэл, .

Энэхүү илэрхий байдлаас шалтгаалан таних тэмдэг болон Ихэнхдээ шүргэгч ба котангенсын тодорхойлолтыг абсцисса ба ординатын харьцаагаар бус харин синус ба косинусын харьцаагаар өгдөг. Тэгэхээр өнцгийн тангенс нь синусыг энэ өнцгийн косинусын харьцаа, котангенс нь косинусын синустай харьцуулсан харьцаа юм.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд хэн болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй Эдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд нь утга учиртай бүх өнцгүүдийг барина. Тэгэхээр томъёо нь (эс тэгэхгүй бол хуваагч нь тэг байх болно, тэгээр хуваахыг бид тодорхойлоогүй) болон томъёоноос бусад тохиолдолд хүчинтэй байна. -аас бусад бүхний хувьд, энд z нь дурын.

Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал

Өмнөх хоёроос ч илүү тодорхой тригонометрийн ижилсэл нь хэлбэрийн нэг өнцгийн тангенс ба котангенсыг холбосон ижил төстэй байдал юм. ... Энэ нь бусад өнцөгт явагдах нь тодорхой, эс тэгвээс шүргэгч эсвэл котангенс тодорхойлогдоогүй болно.

Томъёоны баталгаа маш энгийн. Тодорхойлолтоор, хаанаас ... Нотлох баримтыг арай өөрөөр хийж болох байсан. Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Тэгэхээр тэдгээрийн утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь байна.

Өмнөх нийтлэл: Адууны сүүлний шинж чанар. Морин гэзэг гэж юу вэ? Морин гэзэгний шинж чанар, бүтэц. Морин сүүлний овог - Equisetaceae Дараагийн нийтлэл: Эпаминондас: Тебесээс ирсэн Эпаминондасын намтар