Биквадрат тэгшитгэлийн шийдэл. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга Шийдлийн зөв эсэхийг шалгах

математикийг шийдэх. Хурдан олоорой математикийн тэгшитгэлийн шийдэлгоримд байна онлайн. www.site вэб сайт зөвшөөрдөг тэгшитгэлийг шийдбараг ямар ч өгөгдсөн алгебрийн, тригонометрэсвэл трансцендент тэгшитгэл онлайн. Математикийн бараг бүх хэсгийг янз бүрийн үе шатанд судлахдаа хүн өөрөө шийдэх ёстой онлайн тэгшитгэл. Хариултыг нэн даруй, хамгийн чухал нь үнэн зөв хариулт авахын тулд танд үүнийг хийх боломжийг олгодог эх сурвалж хэрэгтэй. www.site-д баярлалаа тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэххэдэн минут болно. Математикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд www.site-ийн гол давуу тал онлайн тэгшитгэл- энэ нь өгсөн хариултын хурд, нарийвчлал юм. Сайт нь аливаа асуудлыг шийдэх боломжтой онлайн алгебрийн тэгшитгэл, тригонометрийн тэгшитгэлүүд онлайн, трансцендентал тэгшитгэлүүд онлайн, түүнчлэн тэгшитгэлгоримд үл мэдэгдэх параметрүүдтэй онлайн. Тэгшитгэлхүчирхэг математикийн аппарат болж үйлчилдэг шийдлүүдпрактик даалгавар. Тусламжаар математик тэгшитгэланх харахад ойлгомжгүй, төвөгтэй мэт санагдаж болох баримт, харилцааг илэрхийлэх боломжтой. үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүд тэгшитгэл-д асуудлыг томъёолсноор олж болно математикийнхэлбэрээр хэл тэгшитгэлболон шийдэхгоримд хүлээн авсан даалгавар онлайн www.site вэбсайт дээр. Ямар ч алгебрийн тэгшитгэл, тригонометрийн тэгшитгэлэсвэл тэгшитгэлагуулсан трансценденталтаныг хялбархан харуулах болно шийдэхонлайн, зөв ​​хариултыг аваарай. Байгалийн шинжлэх ухааныг судлахад зайлшгүй хэрэгцээтэй тулгардаг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ тохиолдолд хариулт нь үнэн зөв байх ёстой бөгөөд үүнийг горимд шууд хүлээн авах ёстой онлайн. Тиймээс, төлөө математикийн тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхБид таны зайлшгүй тооцоологч болох www.site сайтыг санал болгож байна алгебрийн тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх, тригонометрийн тэгшитгэлонлайн, түүнчлэн трансцендентал тэгшитгэлүүд онлайнэсвэл тэгшитгэлүл мэдэгдэх параметрүүдтэй. Төрөл бүрийн үндсийг олох практик асуудлуудын хувьд математик тэгшитгэлнөөц www.. Шийдвэрлэх онлайн тэгшитгэлашиглан хүлээн авсан хариултыг шалгах нь ашигтай байдаг тэгшитгэлийн онлайн шийдэл www.site вэбсайт дээр. Энэ тэгшитгэлийг зөв бичиж, шууд авах шаардлагатай онлайн шийдэл, үүний дараа зөвхөн хариултыг тэгшитгэлийн шийдэлтэй харьцуулах л үлддэг. Хариултыг шалгахад нэг минутаас хэтрэхгүй, хангалттай тэгшитгэлийг онлайнаар шийднэмөн хариултуудыг харьцуул. Энэ нь танд алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална шийдвэрмөн хариултыг цаг тухайд нь засаарай тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхэсэх алгебрийн, тригонометр, трансцендентэсвэл тэгшитгэлүл мэдэгдэх параметрүүдтэй.

Квадрат тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэл- алгебрийн тэгшитгэл ерөнхий үзэл

Энд x нь чөлөөт хувьсагч,

a, b, c, - коэффициентүүд, ба

Илэрхийлэл квадрат гурвалжин гэж нэрлэдэг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

1. АРГА : Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.

Тэгшитгэлээ шийдье x 2 + 10x - 24 = 0. Зүүн талыг хүчин зүйлээр тооцъё:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(x + 12)(x - 2) = 0

Бүтээгдэхүүн нь тэг учраас түүний хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь байна тэг. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн тал нь алга болно x = 2, түүнчлэн at x = - 12. Энэ нь тоо гэсэн үг 2 болон - 12 тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 + 10x - 24 = 0.

2. АРГА : Бүтэн квадрат сонгох арга.

Тэгшитгэлээ шийдье x 2 + 6x - 7 = 0. Зүүн талд байгаа бүтэн квадратыг сонгоцгооё.

Үүнийг хийхийн тулд бид x 2 + 6x илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Үүссэн илэрхийлэлд эхний гишүүн нь х тооны квадрат, хоёр дахь нь x-ийн 3-ын давхар үржвэр юм. Тиймээс бүтэн квадратыг авахын тулд та 3 2-ыг нэмэх хэрэгтэй.

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

Одоо бид тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргаж байна

x 2 + 6x - 7 = 0,

дээр нь нэмээд хасах 3 2 . Бидэнд байгаа:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Тиймээс энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Тиймээс, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, эсвэл x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. АРГА :Квадрат тэгшитгэлийг томъёогоор шийдэх.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүл

ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0

4a дээр дараалан бид:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac \u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Жишээ.

а)Тэгшитгэлийг шийдье: 4х2 + 7х + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0хоёр өөр үндэс;

Тиймээс эерэг ялгаварлагчийн хувьд, i.e. цагт

b 2 - 4ac >0, тэгшитгэл сүх 2 + bx + c = 0хоёр өөр үндэстэй.

б)Тэгшитгэлийг шийдье: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

a \u003d 4, b \u003d - 4, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 \u003d 0,

D=0нэг үндэс;

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч нь тэг байвал, i.e. b 2 - 4ac = 0, дараа нь тэгшитгэл

сүх 2 + bx + c = 0нэг үндэстэй

онд)Тэгшитгэлийг шийдье: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, i.e. b2-4ac< 0 , тэгшитгэл

сүх 2 + bx + c = 0үндэсгүй.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо (1). сүх 2 + bx + c = 0үндсийг нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч квадрат тэгшитгэл (хэрэв байгаа бол), түүний дотор багасгасан ба бүрэн бус. Формула (1)-ийг амаар дараах байдлаар илэрхийлнэ. квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь эсрэг тэмдгээр авсан тоологч нь хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бутархайтай тэнцүү бөгөөд энэ коэффициентийн квадратын квадрат язгуурыг хасч, эхний коэффициентийн үржвэрийг чөлөөт гишүүнээр дөрөв дахин нэмэгдүүлээгүй, ба хуваагч нь эхний коэффициентээс хоёр дахин их байна.

4. АРГА: Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл.

Мэдэгдэж байгаагаар өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

x 2 + px + c = 0.(1)

Үүний үндэс нь Виетийн теоремыг хангадаг бөгөөд энэ нь хэзээ a =1хэлбэртэй байна

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - х

Үүнээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно (язгуурын шинж тэмдгийг p ба q коэффициентүүдээс урьдчилан таамаглаж болно).

a) Хэрэв хураангуй нэр томъёо qбууруулсан тэгшитгэлийн (1) нь эерэг ( q > 0), тэгвэл тэгшитгэл нь ижил тэмдгийн хоёр үндэстэй бөгөөд энэ нь хоёр дахь коэффициентийн атаархал юм х. Хэрвээ Р< 0 , тэгвэл хэрэв язгуур хоёулаа сөрөг байна Р< 0 , тэгвэл хоёр үндэс эерэг байна.

Жишээлбэл,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2болон x 2 \u003d 1,зэрэг q = 2 > 0болон p=-3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7болон x 2 \u003d - 1,зэрэг q = 7 > 0болон p=8 > 0.

б) Чөлөөт гишүүн бол qбууруулсан тэгшитгэлийн (1) нь сөрөг ( q< 0 ), тэгвэл тэгшитгэл нь өөр тэмдэгтэй хоёр язгууртай бөгөөд үнэмлэхүй утгын том язгуур нь эерэг байх болно х< 0 , эсвэл сөрөг бол p > 0 .

Жишээлбэл,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5болон x 2 \u003d 1,зэрэг q= - 5< 0 болон p = 4 > 0;

x 2 - 8x - 9 \u003d 0; x 1 = 9болон x 2 \u003d - 1,зэрэг q = - 9< 0 болон p=-8< 0.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийд 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Шийдвэр.гэх мэт a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),тэгээд

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Хариулт: 1; -208/345.

2) Тэгшитгэлийг шийд 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Шийдвэр.гэх мэт a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),тэгээд

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Хариулт: 1; 115/132.

Б. Хоёр дахь коэффициент бол b = 2ктэгш тоо, дараа нь язгуурын томъёо

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 3х2 - 14х + 16 = 0.

Шийдвэр. Бидэнд байгаа: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0,хоёр өөр үндэс;

Хариулт: 2; 8/3

AT. Багасгасан тэгшитгэл

x 2 + px + q \u003d 0

ерөнхий тэгшитгэлтэй давхцаж байгаа бөгөөд үүнд a = 1, b = pболон c = q. Тиймээс бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын томъёо

Дараах хэлбэрийг авна.

Формула (3) нь ялангуяа хэрэглэхэд тохиромжтой Р- тэгш тоо.

Жишээ.Тэгшитгэлээ шийдье x 2 - 14x - 15 = 0.

Шийдвэр.Бидэнд байгаа: x 1.2 \u003d 7 ±

Хариулт: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.

5. АРГА: Тэгшитгэлийг графикаар шийдвэрлэх.

Жишээ. x2 - 2x - 3 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

y \u003d x2 - 2x - 3 функцийн графикийг зурцгаая

1) Бидэнд: a = 1, b = -2, x0 = 1, y0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Энэ нь (1; -4) цэг нь параболын орой, x \u003d 1 шулуун шугам нь параболын тэнхлэг гэсэн үг юм.

2) x тэнхлэг дээр параболын тэнхлэгтэй тэгш хэмтэй хоёр цэгийг ав, жишээлбэл, x \u003d -1 ба x \u003d 3 цэгүүд.

Бид f(-1) = f(3) = 0 байна. Координатын хавтгайд (-1; 0) ба (3; 0) цэгүүдийг байгуулъя.

3) (-1; 0), (1; -4), (3; 0) цэгүүдээр бид параболыг зурдаг (Зураг 68).

x2 - 2x - 3 = 0 тэгшитгэлийн үндэс нь параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд; тэгэхээр тэгшитгэлийн үндэс нь: x1 = - 1, x2 - 3.

Тэгшитгэлийг шийдэх гэдэг нь тэгш байдал үнэн болох үл мэдэгдэх утгыг олох гэсэн үг юм.

Тэгшитгэлийн шийдэл

• Дараах хэлбэрээр тэгшитгэлийг илэрхийлье.

2x * x - 3 * x = 0.

• Зүүн талд байгаа тэгшитгэлийн нөхцлүүд нь нийтлэг х хүчин зүйлтэй болохыг бид харж байна. Үүнийг хаалтнаас гаргаж аваад бичье:

x * (2x - 3) = 0.

• Үр дүнгийн илэрхийлэл нь x ба (2x - 3) хүчин зүйлийн үржвэр юм. Хэрэв хүчин зүйлүүдийн ядаж нэг нь 0-тэй тэнцүү байвал үржвэр нь 0-тэй тэнцүү байна гэдгийг санаарай. Тиймээс бид тэгшитгэлүүдийг бичиж болно.

x = 0 эсвэл 2x - 3 = 0.

• Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн язгууруудын нэг нь x 1 = 0 байна.
• 2x - 3 = 0 тэгшитгэлийг шийдэж хоёр дахь язгуурыг ол.

Энэ илэрхийлэлд 2х нь хасах, 3 нь хасах, 0 нь зөрүү юм. Сөрөг утгыг олохын тулд зөрүүг хасах хэрэгтэй.

Сүүлийн илэрхийлэлд 2 ба x нь хүчин зүйл, 3 нь үржвэр юм. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлд хуваах хэрэгтэй.

Тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр дахь үндсийг олсон: x 2 \u003d 1.5.

Шийдлийн зөв эсэхийг шалгаж байна

Тэгшитгэл зөв шийдэгдсэн эсэхийг мэдэхийн тулд түүнийг орлуулах шаардлагатай тоон утгууд x ба шаардлагатай арифметик үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Хэрэв тооцооллын үр дүнд илэрхийллийн зүүн ба баруун хэсгүүд ижил утгатай бол тэгшитгэл зөв шийдэгдсэн болно.

Шалгацгаая:

• Анхны илэрхийллийн утгыг x 1 = 0-д тооцоод дараахийг гаргацгаая.

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0, зөв.

• Илэрхийллийн утгыг x 2 = 0 дээр тооцоод дараахийг гаргацгаая.

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0, зөв.

• Тэгэхээр тэгшитгэл зөв байна.

Хариулт: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1.5.

Тэгшитгэлийг шийд X 2 +(1-х) 2 =x

Анхны цифрийг төгсгөл хүртэл нь цэгцлэх замаар 5 дахин өсөх бүхэл тоо байхгүй гэдгийг батал.

Тодорхой хаант улсад хоёр хүн бүр найз эсвэл дайсан байдаг. Хүн бүр хэзээ нэгэн цагт бүх найзуудтайгаа хэрэлдэж, бүх дайснуудтайгаа эвлэрэх боломжтой. Гурван хүн бүр ийм байдлаар нөхөрлөж болох нь тогтоогдсон. Тэгвэл энэ хаант улсын бүх хүмүүс найз нөхөд болж чадна гэдгийг батал.

Гурвалжинд медиануудын аль нэг нь биссектрисын аль нэгэнд перпендикуляр байна. Энэ гурвалжны нэг тал нь нөгөөгөөсөө хоёр дахин их болохыг батал.

Математикийн сургуулийн сурагчдын дүүргийн (хотын) олимпиад зохион байгуулах даалгавар.

Байгаа буудахдаа тамирчин ердөө 8.9, 10 оноо авчээ. Нийтдээ 11-ээс дээш шидэлт хийснээр тэрээр яг 100 оноо авчээ. Тамирчин хэдэн цохилт хийсэн бэ, ямар амжилт үзүүлсэн бэ?

Тэгш бус байдлын үнэнийг батлах:

3. Тэгшитгэлийг шийд:

Дундын цифрийг тасалсны дараа 7 дахин буурах гурван оронтой тоог ол.

ABC гурвалжинд А ба В оройгоос биссектриса татна. Дараа нь С оройноос эдгээр биссектрисатай параллель шулуун шугамууд татагдана. Эдгээр шулуунуудын биссектрисстэй огтлолцох D ба Е цэгүүд холбогдсон байна. DE ба AB шугамууд зэрэгцээ байна. ABC гурвалжин нь ижил өнцөгт гэдгийг батал.

Математикийн сургуулийн сурагчдын дүүргийн (хотын) олимпиад зохион байгуулах даалгавар.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

ABCD параллелограммын AB ба AD талуудад Е ба К цэгүүдийг тус тус авснаар EK хэрчим нь BD диагональтай параллель байна. БҮХ ба SDO гурвалжнуудын талбай тэнцүү болохыг батал.

Тэд автобус бүр ижил тооны зорчигчтой байхаар хэсэг жуулчдыг автобусанд суулгахаар шийджээ. Эхний ээлжинд нэг автобусанд 22 хүн суулгадаг байсан ч энэ хэрэгт нэг жуулчин суулгах боломжгүй болсон. Нэг автобус хоосон явахад бүх жуулчид үлдсэн автобусанд жигд суув. Нэг автобусанд 32-оос илүүгүй хүн багтах боломжгүй нь мэдэгдэж байгаа бол анх хэдэн автобус байсан, бүлэгт хэдэн жуулчин байсан бэ?

Математикийн сургуулийн сурагчдын дүүргийн (хотын) олимпиад зохион байгуулах даалгавар.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Тойргийн цэгээс дөрвөлжингийн орой хүртэлх дөрвөн зай нь нэгэн зэрэг рационал тоо байж болохгүйг батал.

Асуудлыг шийдвэрлэх боломжит арга замууд

1. Хариулт: x=1, x=0.5

Анхны цифрийг солихоос эхлээд төгсгөл хүртэл тооны ач холбогдол өөрчлөгдөхгүй. Энэ тохиолдолд асуудлын нөхцөлийн дагуу тэд эхний тооноос 5 дахин их тоог авах ёстой. Тиймээс хүссэн тооны эхний орон нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой бөгөөд зөвхөн 1. (Учир нь эхний цифр нь 2 ба түүнээс дээш бол утга өөрчлөгдөх болно, 2 * 5 = 10). 1-ийг төгсгөл хүртэл нь өөрчлөхөд гарсан тоо 1-ээр төгссөн тул 5-д хуваагдахгүй.

Хэрэв А, В хоёр найз болвол С нь тэдний нийтлэг дайсан эсвэл нийтлэг найз (эсвэл гурвыг эвлэрэх боломжгүй) гэсэн нөхцлөөс гарч байна. А хүний ​​бүх найзуудыг авч үзье. Тэд бүгд бие биентэйгээ найрсаг, бусадтай дайсагналцдаг гэсэн ярианаас харагдаж байна. Одоо А болон түүний найзууд ээлжлэн найзуудтайгаа хэрэлдэж, дайсантайгаа эвлэрцгээе. Үүний дараа бүгд найзууд болно.

Үнэн хэрэгтээ А хамгийн түрүүнд найзуудтайгаа муудалцаж, дайснуудтайгаа эвлэрэх болтугай, гэхдээ хуучин найзууд нь түүнийг тэвчих болно. хуучин дайснууднайзууд хэвээр үлдэнэ. Тиймээс бүх хүмүүс А-тай найзууд болж, улмаар өөр хоорондоо найз нөхөд болж хувирдаг.

111 тоо нь 37-д хуваагддаг тул нийлбэр нь 37-д хуваагддаг.

Нөхцөлөөр тоо нь 37-д хуваагддаг тул нийлбэр

37-д хуваагдана.

Заасан медиан ба биссектрис нь нэг оройноос гарч чадахгүй гэдгийг анхаарна уу, эс тэгвээс энэ орой дээрх өнцөг 180 0-ээс их байх болно. Одоо ABC гурвалжинд AD биссектрис ба CE медиан нь F цэг дээр огтлолцъё. Дараа нь AF нь биссектриса ба ACE гурвалжны өндөр бөгөөд энэ гурвалжин нь ижил өнцөгт (AC \u003d AE) гэсэн үг бөгөөд CE нь медиан, дараа нь AB \u003d 2AE, тиймээс AB = 2AC.

Асуудлыг шийдвэрлэх боломжит арга замууд

1. Хариулт: 8 оноогоор 9 цохилт,

9 онооны төлөө 2 цохилт,

10 онооны төлөө 1 цохилт.

Байцгаая хшидэлтийг тамирчин хийж, 8 оноог буулгаж, y 9 онооны цохилт, z 10 онооны цохилт. Дараа нь та систем үүсгэж болно:

Системийн эхний тэгшитгэлийг ашиглан бид бичнэ:

Энэ системээс ийм зүйл гарч байна х+ y+ z=12

Хоёр дахь тэгшитгэлийг (-8)-аар үржүүлээд эхнийх нь дээр нэмнэ. Бид үүнийг ойлгодог y+2 z=4 , хаана y=4-2 z, y=2(2- z) . Тиймээс, цагттэгш тоо, өөрөөр хэлбэл. у=2т, хаана.

Тиймээс,

3. Хариулт: x = -1/2, x = -4

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулсны дараа бид олж авна

4. Хариулт: 105

-ээр тэмдэглээрэй х, y, zхүссэн гурван оронтой тооны эхний, хоёр, гурав дахь цифр. Дараа нь гэж бичиж болно. Дундаж цифрийг тасалснаар хоёр оронтой тоо гарна. Асуудлын нөхцлийн дагуу, i.e. үл мэдэгдэх тоо х, y, zтэгшитгэлийг хангана

7(10 х+ z)=100 х+10 y+ х, ижил төстэй нэр томьёо, товчлолыг багасгасны дараа хэлбэрийг авдаг 3 z=15 х+5 y.

Энэ тэгшитгэлээс ийм зүйл гарч ирнэ z нөхцөлөөр 5-д хуваагдах ба эерэг байх ёстой. Тиймээс z = 5, тоонууд x, y 3 = 3x + y тэгшитгэлийг хангаж, нөхцөлийн дагуу x = 1, y = 0 өвөрмөц шийдэлтэй байна. Иймээс бодлогын нөхцөл нь 105 ганц тоогоор хангагдана.

AB ба CE шулуунуудын огтлолцох цэгийг F гэж тэмдэглэе. DB ба CF шулуунууд параллель байх тул . BD нь ABC өнцгийн биссектриса учраас бид . Эндээс харахад, i.e. BCF гурвалжин нь тэгш өнцөгт ба BC=BF. Гэхдээ дөрвөлжин BDEF нь параллелограмм гэсэн нөхцлөөс гарна. Тиймээс BF = DE, тиймээс BC = DE. Үүнтэй адилаар AC = DE гэдгийг баталж болно. Энэ нь шаардлагатай тэгш байдлыг хангахад хүргэдэг.

Асуудлыг шийдвэрлэх боломжит арга замууд

1.

Эндээс (x + y) 2 = 1 , өөрөөр хэлбэл x + y = 1эсвэл x + y = -1.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

а) x + y = 1. Орлуулах x = 1 - y

б) x + y = -1. Сэлгээний дараа x=-1-y

Тиймээс зөвхөн дараах дөрвөн хос тоо л системийн шийдэл байж болно: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Анхны системийн тэгшитгэлд орлуулснаар бид эдгээр дөрвөн хос тус бүр нь системийн шийдэл мөн эсэхийг шалгана.

BC болон AD шулуунууд параллель байдаг тул CDF ба BDF гурвалжингууд нь нийтлэг суурьтай FD ба ижил өндөртэй байна. Тиймээс тэдний талбай тэнцүү байна. Үүний нэгэн адил BDF ба BDE гурвалжны талбайнууд тэнцүү байна, учир нь BD шулуун нь EF шулуунтай параллель байна. AB нь CD-тэй параллель тул BDE ба BCE гурвалжнуудын талбайнууд тэнцүү байна. Энэ нь CDF ба BCE гурвалжны талбайн шаардлагатай тэгш байдлыг илэрхийлнэ.

Функцийн тодорхойлолтын домэйныг харгалзан бид график байгуулна.

Томъёог ашиглах цаашдын хувиргалтыг хийх

Нэмэлт томъёог хэрэглэж, цаашдын хувиргалтыг хийснээр бид олж авна

5. Хариулт: 24 автобус, 529 жуулчин.

-ээр тэмдэглээрэй кавтобусны анхны тоо. Асуудлын нөхцөл байдлаас харахад бүх жуулчдын тоо тэнцүү байна 22 к +1 . Нэг автобус хөдөлсний дараа бүх жуулчид үлдсэн автобусанд суув (k-1)автобуснууд. Тиймээс тоо 22 к +1 -ээр хуваагдах ёстой к-1. Тиймээс асуудлыг тоо нь байгаа бүх бүхэл тоог тодорхойлох хүртэл багасгасан

Энэ нь бүхэл тоо бөгөөд тэгш бус байдлыг хангадаг (n тоо нь автобус бүрт суусан жуулчдын тоотой тэнцүү бөгөөд асуудлын нөхцөлийн дагуу автобус нь 32-оос илүүгүй зорчигч багтаах боломжтой).

Тоо нь бүхэл тоо байвал зөвхөн бүхэл тоо байх болно. Сүүлийнх нь зөвхөн боломжтой юм к=2 болон цагт к=24 .

Хэрвээ к=2 , дараа нь n=45.

Тэгээд хэрэв к=24 , дараа нь n=23.

Үүнээс болон нөхцөл байдлаас бид зөвхөн үүнийг л олж авдаг к=24 асуудлын бүх нөхцлийг хангадаг.

Тиймээс эхний ээлжинд 24 автобус байсан бөгөөд нийт жуулчдын тоо ийм байна n(k-1)=23*23=529

Асуудлыг шийдвэрлэх боломжит арга замууд

1. Хариулт:

Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Квадрат тэгшитгэлтэй болсон Р.

2. Хариулт: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Системийн тэгшитгэлийг нэмж, бид , эсвэл авна

Эндээс (x + y) 2 = 1 , өөрөөр хэлбэл x + y = 1эсвэл x + y = -1.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

а) x + y = 1. Орлуулах x = 1 - yсистемийн эхний тэгшитгэлд бид олж авна

б) x + y = -1. Сэлгээний дараа x=-1-yсистемийн эхний тэгшитгэлд бид эсвэл

Энэ өгүүллээр бид биквадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Тэгэхээр ямар төрлийн тэгшитгэлийг биквадрат гэж нэрлэдэг вэ?
Бүгд хэлбэрийн тэгшитгэл аа 4+ bx 2 + в = 0 , хаана a ≠ 0, тэдгээр нь x 2-тэй харьцуулахад квадрат бөгөөд биквадрат гэж нэрлэдэгтэгшитгэл. Таны харж байгаагаар энэ оруулга нь квадрат тэгшитгэлтэй маш төстэй тул бид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ашигласан томьёо ашиглан биквадрат тэгшитгэлийг шийдэх болно.

Зөвхөн бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх шаардлагатай болно, өөрөөр хэлбэл бид тэмдэглэнэ x 2 өөр хувьсагч, жишээ нь, цагт эсвэл т (эсвэл латин цагаан толгойн бусад үсэг).

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийд x 4 + 4x 2 - 5 = 0.

Тэмдэглэх x 2 дамжуулан цагт (x 2 = y ) ба y 2 + 4y - 5 = 0 тэгшитгэлийг авна.
Таны харж байгаагаар та ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ аль хэдийн мэддэг болсон.

Бид үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ:

D \u003d 4 2 - 4 (- 5) \u003d 16 + 20 \u003d 36, √D \u003d √36 \u003d 6.

y 1 = (‒ 4 - 6)/2= - 10 /2 = - 5,

y 2 \u003d (- 4 + 6) / 2 \u003d 2/2 \u003d 1.

Х хувьсагч руугаа буцаж орцгооё.

Бид x 2 \u003d - 5 ба x 2 \u003d 1-ийг авсан.

Эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, хоёр дахь нь x 1 = 1 ба x 2 = -1 гэсэн хоёр шийдийг өгдөг гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Сөрөг үндсийг алдахаас болгоомжил (ихэнхдээ тэд x = 1 гэсэн хариултыг авдаг, энэ нь буруу).

Хариулт:- 1 ба 1.

Сэдвийг илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 1Тэгшитгэлийг шийд 2х4 - 5х2 + 3 = 0.

x 2 \u003d y, дараа нь 2y 2 - 5y + 3 \u003d 0 гэж үзье.

D = (‒ 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 \u003d (5 - 1) / (2 2) \u003d 4/4 \u003d 1, y 2 \u003d (5 + 1) / (2 2) \u003d 6/4 \u003d 1.5.

Дараа нь x 2 \u003d 1 ба x 2 \u003d 1.5.

Бид x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d - √1.5, x 4 \u003d √1.5-ийг авна.

Хариулт: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Жишээ 2Тэгшитгэлийг шийд 2 x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 = 0.

D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (– 5 – 3)/(2 2) = – 8/4 = –2, у 2 = (–5 + 3)/(2 2) = – 2/4 = – 0.5.

Дараа нь x 2 = - 2 ба x 2 = - 0.5 байна. Эдгээр тэгшитгэлийн аль нь ч шийдэлгүй гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:ямар ч шийдэл байхгүй.

Бүрэн бус биквадрат тэгшитгэл- хэзээ юм б = 0 (сүх 4 + c = 0) эсвэл өөр в = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл шиг шийдэгдэнэ.

Жишээ 3тэгшитгэлийг шийд x 4 - 25x 2 = 0

Бид хүчин зүйл ангилж, хаалтнаас x 2-ыг аваад дараа нь x 2 (x 2 - 25) = 0 болно.

Бид x 2 \u003d 0 эсвэл x 2 - 25 \u003d 0, x 2 \u003d 25-ыг авна.

Дараа нь бид 0 үндэстэй болно; 5 ба - 5.

Хариулт: 0; 5; – 5.

Жишээ 4тэгшитгэлийг шийд 5х 4 - 45 = 0.

x 2 = - √9 (шийдэл байхгүй)

x 2 \u003d √9, x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Таны харж байгаагаар квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэддэг тул биквадрат тэгшитгэлийг даван туулж чадна.

Хэрэв танд асуулт байгаа бол миний хичээлд бүртгүүлээрэй. Багш Валентина Галиневская.

сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Өмнөх нийтлэл: Арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ? Дараагийн нийтлэл: Арифметик прогресс