Арифметик прогресс нь эхний арвын нийлбэр юм. Арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ? Шийдэл бүхий арифметик прогрессийн жишээ. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёоны хэрэглээ

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:
Та ямар ч тоо бичиж болно, хүссэн хэмжээгээрээ байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь эхнийх нь, аль нь хоёрдугаарт, цаашлаад сүүлчийнх нь хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлаж болно. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тоон дараалал
Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Томилогдсон дугаар нь зөвхөн нэг дарааллын дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (-дахь дугаар гэх мэт) үргэлж ижил байна.
Тоотой тоог дарааллын --р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн бүхэл дарааллыг ямар нэг үсэг (жишээлбэл,) гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүрийг энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг гэж нэрлэдэг: .

Манай тохиолдолд:

Бидэнд зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тоон дараалал байна гэж бодъё.
Жишээлбэл:

гэх мэт.
Ийм тоон дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
"Прогресс" гэсэн нэр томъёог Ромын зохиолч Боэтиус 6-р зууны эхэн үед нэвтрүүлсэн бөгөөд өргөн утгаар нь төгсгөлгүй тооны дараалал гэж ойлгож байжээ. "Арифметик" гэдэг нэр нь эртний Грекчүүдийн эрхэлж байсан тасралтгүй пропорцын онолоос шилжсэн.

Энэ бол гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор нэмсэн тоон дараалал юм. Энэ тоог арифметик прогрессийн зөрүү гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.

Аль тооны дараалал нь арифметик прогресс, аль нь биш болохыг тодорхойлохыг хичээ.

а)
б)
в)
г)

Авчихсан? Бидний хариултыг харьцуулна уу:
ньарифметик прогресс - b, c.
Бишарифметик прогресс - a, d.

Өгөгдсөн прогресс руу () буцаж очоод түүний 3-р гишүүний утгыг олохыг хичээцгээе. Орших хоёролох арга.

1. Арга

Прогрессийн 3-р гишүүнд хүрэх хүртэл бид прогрессийн тооны өмнөх утгыг нэмж болно. Бидэнд нэгтгэн дүгнэх зүйл байхгүй байгаа нь сайн хэрэг - ердөө гурван утга:

Тэгэхээр тайлбарласан арифметик прогрессийн --р гишүүн тэнцүү байна.

2. Зам

Прогрессийн гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Дүгнэлт хийхэд нэг цаг гаруй хугацаа шаардагдах байсан бөгөөд бид тоог нэмэхдээ алдаа гаргахгүй байсан нь баримт биш юм.
Мэдээжийн хэрэг математикчид арифметик прогрессийн зөрүүг өмнөх утга дээр нэмэх шаардлагагүй аргыг бодож олжээ. Зурсан зургийг сайтар хараарай ... Та тодорхой хэв маягийг аль хэдийн анзаарсан байх, тухайлбал:

Жишээлбэл, энэ арифметик прогрессийн --р гишүүний утгыг юу бүрдүүлж байгааг харцгаая.


Өөрөөр хэлбэл:

Энэ арифметик прогрессийн гишүүний утгыг бие даан олохыг хичээ.

Тооцоолсон уу? Бичлэгээ хариулттай харьцуулна уу:

Бид өмнөх утгад арифметик прогрессийн гишүүдийг дараалан нэмэхэд өмнөх аргын тоотой яг ижил тоо авсан болохыг анхаарна уу.
Энэ томьёог "хувь хүнгүй болгох" оролдлого хийцгээе - бид үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулаад:

Арифметик прогрессийн тэгшитгэл.

Арифметик прогрессууд нэмэгдэж эсвэл буурч байна.

Нэмэгдэх- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө их байх явцууд.
Жишээлбэл:

Бууж байна- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө бага байх явцууд.
Жишээлбэл:

Гарсан томъёог арифметик прогрессийн өсөлт ба буурах гишүүний аль алиных нь нэр томъёог тооцоолоход ашигладаг.
Үүнийг практик дээр шалгаж үзье.
Бидэнд дараах тооноос бүрдэх арифметик прогресс өгөгдсөн.

Түүнээс хойш:

Ийнхүү томъёо нь арифметик прогрессийг багасгах, нэмэгдүүлэх аль алинд нь ажилладаг гэдэгт бид итгэлтэй байсан.
Энэ арифметик прогрессийн -дах ба -дахь гишүүдийг өөрөө олохыг хичээ.

Үр дүнг харьцуулж үзье:

Арифметик прогрессийн шинж чанар

Даалгаврыг хүндрүүлье - бид арифметик прогрессийн шинж чанарыг гаргаж авдаг.
Бидэнд дараах нөхцөл өгөгдсөн гэж бодъё.
- арифметик прогресс, утгыг ол.
Энэ нь амархан гэж та хэлээд аль хэдийн мэддэг томьёогоор тоолж эхлээрэй.

a, тэгвэл:

Туйлын зөв. Бид эхлээд олоод, дараа нь эхний тоон дээр нэмээд хайж байгаа зүйлээ олж авдаг. Хэрэв прогрессийг жижиг утгуудаар илэрхийлсэн бол энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ нөхцөл байдалд тоо өгвөл яах вэ? Зөвшөөрч байна, тооцоололд алдаа гарах магадлалтай.
Одоо бодоод үз дээ, энэ асуудлыг ямар ч томъёогоор нэг алхамаар шийдэх боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг, тийм ээ, бид үүнийг одоо гаргахыг хичээх болно.

Арифметик прогрессийн хүссэн гишүүнийг бид үүнийг олох томъёог мэддэг гэж тэмдэглэе - энэ бол бидний эхэнд гаргаж авсан томъёо юм.
, дараа нь:

• Прогрессийн өмнөх гишүүн нь:
• явцын дараагийн хугацаа нь:

Процессын өмнөх болон дараагийн гишүүдийг нэгтгэн дүгнэж үзье:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүдийн нийлбэр нь тэдгээрийн хооронд байрлах прогрессийн гишүүний утгаас хоёр дахин их байна. Өөрөөр хэлбэл, өмнөх болон дараалсан утгууд нь мэдэгдэж байгаа прогрессийн гишүүний утгыг олохын тулд тэдгээрийг нэмж, хуваах шаардлагатай.

Тийм ээ, бид ижил дугаарыг авсан. Материалаа засъя. Прогрессийн утгыг өөрөө тооцоол, учир нь энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Сайн хийлээ! Та ахиц дэвшлийн талаар бараг бүгдийг мэддэг! Домогт өгүүлснээр бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг, "математикчдын хаан" - Карл Гаусс өөртөө амархан гаргаж ирсэн нэг томьёог олж мэдэх л үлдлээ ...

Карл Гауссыг 9 настай байхад бусад ангийн сурагчдын ажлыг шалгах завгүй байсан багш хичээл дээр дараахь даалгаврыг асуув: "Бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг (бусад эх сурвалжийн дагуу) хүртэл тооц. " Түүний шавь нарын нэг нь (энэ нь Карл Гаусс байсан) минутын дараа даалгаврын зөв хариултыг өгөхөд багшийн гайхшрал юу байсан бэ, харин зоригтны ангийн ихэнх нь удаан тооцоо хийсний дараа буруу үр дүнд хүрсэн ...

Залуу Карл Гаусс амархан анзаарч болох хэв маягийг анзаарчээ.
-ti гишүүдээс бүрдсэн арифметик прогресс байна гэж бодъё: Бид арифметик прогрессийн өгөгдсөн гишүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, бид бүх утгыг гараар нэгтгэж болно, гэхдээ Гауссын хайж байсан шиг даалгавраас түүний нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бидэнд өгөгдсөн дэвшлийг дүрсэлцгээе. Тодруулсан тоонуудыг анхааралтай ажиглаж, тэдэнтэй янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийхийг хичээ.


Оролдсон уу? Та юу анзаарсан бэ? Зөв! Тэдний нийлбэр тэнцүү байна

Одоо хариул, бидэнд өгөгдсөн дэвшилтэд ийм хос хэд байх вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх тоонуудын яг хагас нь, тэр нь.
Арифметик прогрессийн хоёр гишүүний нийлбэр тэнцүү ба ижил төстэй хосуудын нийлбэрийг үндэслэн бид нийт нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Тиймээс аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийн томъёо нь:

Зарим асуудлын хувьд бид 2-р үеийг мэддэггүй, гэхдээ явцын ялгааг мэддэг. Нийлбэрийн томъёонд th гишүүний томъёог орлуулахыг хичээ.
Та юу авсан бэ?

Сайн хийлээ! Одоо Карл Гаусст өгсөн бодлого руугаа буцъя: --ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр, --ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэд болохыг өөрөө тооцоол.

Та хэд авсан бэ?
Гаусс нөхцлүүдийн нийлбэр нь тэнцүү, нөхцлийн нийлбэр нь тэнцүү болохыг олж мэдэв. Ингэж шийдсэн үү?

Чухамдаа арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн томьёог 3-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант нотолсон бөгөөд энэ хугацаанд сэргэлэн хүмүүс арифметик прогрессийн шинж чанарыг хүч ба үндсэн хоёрын хамт ашиглаж байжээ.
Жишээлбэл, Эртний Египт болон тэр үеийн хамгийн том барилгын талбай болох пирамид баригдаж байсныг төсөөлөөд үз дээ ... Зураг дээр түүний нэг талыг харуулж байна.

Энд ахиц дэвшил хаана байна гэж та хэлэх вэ? Анхааралтай ажиглаж, пирамидын хананы эгнээ тус бүрийн элс блокуудын тоог олоорой.


Яагаад арифметик прогресс байж болохгүй гэж? Суурь дээр блокон тоосго байрлуулсан бол нэг ханыг барихад хичнээн блок шаардлагатайг тоол. Та хуруугаа монитор дээр хөдөлгөж тоолохгүй байх гэж найдаж байна, та сүүлийн томъёо болон арифметик прогрессийн талаар бидний хэлсэн бүх зүйлийг санаж байна уу?

Энэ тохиолдолд ахиц дэвшил дараах байдалтай байна.
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийн гишүүдийн тоо.
Өгөгдлөө сүүлчийн томъёонд орлъё (бид блокуудын тоог 2 аргаар тоолно).

Арга 1.

Арга 2.

Одоо та монитор дээр тооцоолж болно: олж авсан утгыг манай пирамид дахь блокуудын тоотой харьцуулна уу. Зөвшөөрсөн үү? Сайн байна, та арифметик прогрессийн 3-р гишүүний нийлбэрийг эзэмшсэн байна.
Мэдээжийн хэрэг, та суурин дээрх блокуудаас пирамид барьж чадахгүй, гэхдээ юу вэ? Ийм нөхцөлд хана барихад хичнээн элс тоосго хэрэгтэйг тооцоолохыг хичээ.
Та удирдаж чадсан уу?
Зөв хариулт бол блокууд юм:

Дасгал хийх

Даалгаварууд:

1. Маша зуны улиралд бие галбиртай болж байна. Өдөр бүр тэр squat хийх тоог нэмэгдүүлнэ. Хэрэв Маша эхний дасгал дээр суулт хийсэн бол долоо хоногийн дотор хэдэн удаа бөхийх вэ?
2. Бүх сондгой тоонуудын нийлбэр хэд вэ?
3. Мод бэлтгэгчид гуалин хадгалахдаа дээд давхарга бүрт өмнөхөөсөө нэгээр бага мод агуулахаар овоолно. Хэрэв өрлөгийн суурь нь гуалин байвал нэг өрлөгт хэдэн лог байдаг.

Хариултууд:

1. Арифметик прогрессийн параметрүүдийг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд
   (долоо хоног = хоног).

   Хариулт:Хоёр долоо хоногийн дотор Маша өдөрт нэг удаа бөхийлгөх ёстой.

2. Эхний сондгой тоо, сүүлчийн тоо.
   Арифметик прогрессийн ялгаа.
   Хагас дахь сондгой тооны тоо, гэхдээ арифметик прогрессийн -р гишүүнийг олох томъёог ашиглан энэ баримтыг шалгана уу.

   Тоонууд нь сондгой тоонуудыг агуулдаг.
   Бид байгаа өгөгдлийг томъёонд орлуулна:

   Хариулт:Үүнд агуулагдах бүх сондгой тоонуудын нийлбэр нь тэнцүү байна.

3. Пирамидын тухай асуудлыг эргэн санацгаая. Манай тохиолдолд, a , дээд давхарга бүр нэг гуалинаар багасдаг тул зөвхөн нэг багц давхарга байдаг, өөрөөр хэлбэл.
   Томъёоны өгөгдлийг орлуулна уу:

   Хариулт:Өрлөгт логууд байдаг.

Дүгнэх

1. - зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тоон дараалал. Энэ нь нэмэгдэж, буурч байна.
2. Томъёо олохАрифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг - томьёогоор бичнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.
3. Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч- - хаана - прогресс дахь тооны тоо.
4. Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрхоёр аргаар олж болно:
   
   , утгын тоо хаана байна.

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ДУНД ТҮВШИН

Тоон дараалал

Суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, хүссэн хэмжээгээрээ ч болно. Гэхдээ та тэдгээрийн аль нь эхнийх нь, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтийг үргэлж хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл бид тэдгээрийг дугаарлаж чадна. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм.

Тоон дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, тоо бүр нь тодорхой натурал тоотой холбоотой байж болох бөгөөд зөвхөн нэг юм. Мөн бид энэ дугаарыг энэ багцаас өөр ямар ч дугаарт өгөхгүй.

Тоотой тоог дарааллын --р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн бүхэл дарааллыг ямар нэг үсэг (жишээлбэл,) гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүрийг энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг гэж нэрлэдэг: .

Хэрэв дарааллын --р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор өгвөл маш тохиромжтой. Жишээлбэл, томъёо

дарааллыг тогтооно:

Мөн томъёо нь дараах дараалалтай байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс нь дараалал юм (энд эхний гишүүн нь тэнцүү ба ялгаа). Эсвэл (, ялгаа).

n-р хугацааны томъёо

Бид давтагдах томьёог гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд --р гишүүнийг олж мэдэхийн тулд өмнөх эсвэл хэд хэдэн өмнөхийг мэдэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, ийм томъёог ашиглан прогрессийн 3-р гишүүнийг олохын тулд бид өмнөх есийг тооцоолох хэрэгтэй. Жишээлбэл, үзье. Дараа нь:

За, одоо ямар томьёо гэдэг нь тодорхой боллоо?

Мөр бүрт бид нэмэх, зарим тоогоор үржүүлнэ. Юуны төлөө? Маш энгийн: энэ бол одоогийн гишүүний тоо хасах:

Одоо илүү тухтай, тийм ээ? Бид шалгаж байна:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог олоод зуу дахь гишүүнийг ол.

Шийдвэр:

Эхний гишүүн нь тэнцүү байна. Мөн ялгаа нь юу вэ? Мөн энд юу байна:

(эцсийн эцэст энэ нь прогрессийн дараалсан гишүүдийн зөрүүтэй тэнцүү учраас ялгаа гэж нэрлэдэг).

Тэгэхээр томъёо нь:

Дараа нь зуу дахь гишүүн нь:

-аас хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэр хэд вэ?

Домогт өгүүлснээр агуу математикч Карл Гаусс 9 настай хүү байхдаа хэдхэн минутын дотор энэ хэмжээг тооцоолжээ. Тэрээр эхний болон сүүлчийн тооны нийлбэр тэнцүү, хоёр дахь болон эцсийн өмнөх тооны нийлбэр ижил, төгсгөлөөс гурав, гурав дахь тооны нийлбэр ижил байна гэх мэтийг анзаарсан. Ийм хос хэд байдаг вэ? Энэ нь зөв, бүх тоонуудын яг хагас нь, өөрөөр хэлбэл. Тэгэхээр,

Аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн ерөнхий томъёо нь:

Жишээ:
Бүх хоёр оронтой үржвэрийн нийлбэрийг ол.

Шийдвэр:

Эхний ийм тоо бол энэ юм. Дараагийнх бүрийг өмнөх тоонд нэмэх замаар олж авна. Ийнхүү бидний сонирхсон тоонууд нь эхний гишүүн болон зөрүүтэй арифметик прогрессийг үүсгэдэг.

Энэ прогрессийн 3-р гишүүний томъёо нь:

Хэрэв бүгд хоёр оронтой байх ёстой бол прогрессод хэдэн гишүүн байх вэ?

Маш хялбар: .

Прогрессийн сүүлчийн хугацаа тэнцүү байх болно. Дараа нь нийлбэр:

Хариулт: .

Одоо өөрөө шийд:

1. Тамирчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө 1 метр илүү гүйдэг. Тэр эхний өдөр км м гүйсэн бол долоо хоногт хэдэн км гүйх вэ?
2. Дугуйчин өдөр бүр өмнөхөөсөө илүү олон миль унадаг. Эхний өдөр тэр км замыг туулсан. Тэр км замыг туулахын тулд хэдэн өдөр явах ёстой вэ? Аялалын сүүлчийн өдөр тэр хэдэн км замыг туулах вэ?
3. Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр ижил хэмжээгээр хямдардаг. Зургаан жилийн дараа рублиэр зарагдсан хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн төгрөгөөр буурч байсныг тодорхойл.

Хариултууд:

1. Энд хамгийн чухал зүйл бол арифметик прогрессийг таньж, түүний параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд (долоо хоног = хоног). Та энэ прогрессийн эхний нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох хэрэгтэй.
   .
   Хариулт:
2. Энд өгөгдсөн:, энэ нь олох шаардлагатай байна.
   Мэдээжийн хэрэг, та өмнөх бодлоготой ижил нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй.
   .
   Утгыг орлуулах:

   Үндэс нь тохирохгүй нь ойлгомжтой, тиймээс хариулт.
   --р гишүүний томьёог ашиглан сүүлийн өдрийн туулсан зайг тооцоолъё.
   (км).
   Хариулт:

3. Өгөгдсөн: . Олох: .
   Энэ нь тийм ч хялбар биш юм:
   (үрэх).
   Хариулт:

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ҮНДСЭН ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧ

Энэ нь зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил бөгөөд тэнцүү байх тоон дараалал юм.

Арифметик прогресс нэмэгдэж () ба буурч байна ().

Жишээлбэл:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томьёо

томъёогоор бичигдсэн бөгөөд энэ нь прогресс дахь тооны тоо юм.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч

Энэ нь хөрш зэргэлдээх гишүүд нь тодорхой бол прогрессийн гишүүнийг олоход хялбар болгодог - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр

Нийлбэрийг олох хоёр арга бий:

Утгын тоо хаана байна.

Утгын тоо хаана байна.

ҮЛДСЭН 2/3 НИЙТЛЭЛИЙГ ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ОЮУТНЫ ОЮУТНУУД ТАНД ХИЙХ БОЛОМЖТОЙ!

YouClever-ийн оюутан болоорой,

"Сард нэг аяга кофе" -ийн үнээр OGE буюу математикийн хэрэглээнд бэлдээрэй.

Мөн "YouClever" сурах бичиг, "100gia" сургалтын хөтөлбөр (шийдлийн ном), хязгааргүй туршилтын USE болон OGE, шийдлийн шинжилгээ бүхий 6000 даалгавар болон бусад YouClever болон 100gia үйлчилгээнд хязгааргүй нэвтрэх эрх аваарай.

Уран зураг, яруу найргийн нэгэн адил математикт өөрийн гэсэн гоо үзэсгэлэн бий.

Оросын эрдэмтэн, механикч Н.Е. Жуковский

Математикийн элсэлтийн шалгалтын маш нийтлэг даалгавар бол арифметик прогрессийн тухай ойлголттой холбоотой даалгавар юм. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд арифметик прогрессийн шинж чанарыг сайн мэдэж, тэдгээрийг хэрэглэх тодорхой ур чадвартай байх шаардлагатай.

Эхлээд арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг санаж, хамгийн чухал томьёог танилцуулъя, энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.

Тодорхойлолт. Тоон дараалал, дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна, арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ тооявцын зөрүү гэж нэрлэдэг.

Арифметик прогрессийн хувьд томъёонууд хүчинтэй байна

, (1)

хаана. Формула (1)-ийг арифметик прогрессийн нийтлэг гишүүний томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд (2) томъёо нь арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар юм: прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай давхцдаг ба .

Чухам энэ шинж чанараараа авч үзэж буй прогрессийг "арифметик" гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар нэгтгэн харуулав.

(3)

Нийлбэрийг тооцоолохын тулдэхлээд арифметик прогрессийн гишүүдтомъёог ихэвчлэн ашигладаг

(5) хаана ба .

Хэрэв бид томъёог харгалзан үзвэл (1), Дараа нь (5) томъёог илэрхийлнэ

Хэрэв бид зааж өгвөл

хаана. Учир нь (7) ба (8) томъёонууд нь харгалзах (5) ба (6) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.

Тухайлбал , томъёо (5)-аас дараахь зүйлийг авна, юу

Ихэнх оюутнуудад бага мэддэг зүйл бол дараах теоремоор томъёолсон арифметик прогрессийн шинж чанар юм.

Теорем.Хэрэв бол

Баталгаа.Хэрэв бол

Теорем нь батлагдсан.

Жишээлбэл , теоремыг ашиглан, гэдгийг харуулж болно

"Арифметик прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдэх ердийн жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 1 Let ба. Олох .

Шийдвэр.(6) томъёог хэрэглэснээр бид . Түүнээс хойш ба , дараа нь эсвэл .

Жишээ 2Гурав дахин их байг, хуваахдаа 2 болж, үлдэгдэл нь 8 болно. ба-г тодорхойл.

Шийдвэр.Тэгшитгэлийн систем нь жишээний нөхцөлөөс хамаарна

, , ба , тэгвэл (10) тэгшитгэлийн системээс олж авна

Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь ба .

Жишээ 3Хэрэв болон -г ол.

Шийдвэр.Томъёо (5)-ын дагуу бид эсвэл . Гэсэн хэдий ч (9) өмчийг ашигласнаар бид .

Үүнээс хойш ба , дараа нь тэгшитгэлээс тэгшитгэл дараах байдалтай байнаэсвэл .

Жишээ 4Хэрвээ олоорой.

Шийдвэр.Томъёогоор (5) бид байна

Гэсэн хэдий ч теоремыг ашиглан хүн бичиж болно

Эндээс болон (11) томъёоноос бид .

Жишээ 5. Өгөгдсөн: . Олох .

Шийдвэр.Түүнээс хойш . Гэсэн хэдий ч иймээс .

Жишээ 6 Let , and . Олох .

Шийдвэр.Томъёо (9) ашиглан бид . Иймд хэрэв , тэгвэл эсвэл .

Түүнээс хойш ба тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна

Аль нь болохыг шийдэхэд бид ба .

Тэгшитгэлийн байгалийн язгуурнь .

Жишээ 7Хэрэв болон -г ол.

Шийдвэр.Томъёо (3)-ын дагуу бид ийм байгаа тул асуудлын нөхцөлөөс тэгшитгэлийн систем гарч ирнэ

Хэрэв бид илэрхийллийг орлуулах юм болсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлд оруулна, дараа нь бид эсвэл авна.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь байнаболон .

Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

1. За тэгвэл . Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Энэ тохиолдолд (6) томъёоны дагуу бид байна

2. Хэрэв , тэгвэл , ба

Хариулт: ба.

Жишээ 8Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд Олох .

Шийдвэр.Томъёо (5) болон жишээний нөхцөлийг харгалзан бид бичнэ.

Энэ нь тэгшитгэлийн системийг хэлнэ

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлд нэмбэл бид үүнийг авна.

(9) томъёоны дагуу бид байна. Үүнтэй холбогдуулан (12)-аас дараах зүйлийг дурдавэсвэл .

Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Хариулт: .

Жишээ 9Хэрэв болон -г ол.

Шийдвэр.Түүнээс хойш , ба нөхцөлөөр , дараа нь эсвэл .

Томъёогоор (5) мэдэгдэж байна, юу . Түүнээс хойш .

Тиймээс, энд шугаман тэгшитгэлийн систем байна

Эндээс бид ба . Томьёог (8) харгалзан бид бичнэ.

Жишээ 10Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдвэр.Өгөгдсөн тэгшитгэлээс харахад . , , ба гэж бодъё. Энэ тохиолдолд .

Томъёоны дагуу (1) бид бичиж болно.

(13) тэгшитгэл нь өвөрмөц тохиромжтой язгууртай тул .

Жишээ 11.гэсэн тохиолдолд хамгийн их утгыг ол.

Шийдвэр.-ээс хойш тооцсон арифметик прогресс буурч байна. Үүнтэй холбогдуулан илэрхийлэл нь прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоо байх үед хамгийн их утгыг авна.

Бид томъёо (1) ба баримтыг ашигладаг, аль ба . Дараа нь бид үүнийг эсвэл .

Учир нь , дараа нь эсвэл . Гэсэн хэдий ч энэ тэгш бус байдалдхамгийн том натурал тоо, Тийм учраас .

Хэрэв ба утгыг (6) томъёонд орлуулсан бол бид .

Хариулт: .

Жишээ 12.Бүх хоёр оронтой натурал тоонуудын нийлбэрийг 6-д хуваахад 5 үлдэгдэлтэй болохыг ол.

Шийдвэр.Бүх хоёр утгатай натурал тооны олонлогоор тэмдэглэнэ үү. . Дараа нь бид олонлогийн элементүүдээс (тоо) бүрдэх дэд олонлогийг байгуулдаг бөгөөд үүнийг 6-д хуваахад 5-ын үлдэгдэл гарах болно.

Суулгахад хялбар, юу . Мэдээжийн хэрэг, олонлогийн элементүүдарифметик прогресс үүсгэнэ, аль нь болон .

Олонлогийн үндсэн байдлыг (элементүүдийн тоо) тодорхойлохын тулд бид . Учир нь ба , тэгвэл (1) томъёо нь эсвэл гэсэн утгатай. Томъёо (5)-ыг харгалзан бид .

Асуудлыг шийдвэрлэх дээрх жишээнүүд нь бүрэн гүйцэд гэж хэлэх боломжгүй. Энэхүү нийтлэлийг тухайн сэдвээр ердийн асуудлыг шийдвэрлэх орчин үеийн аргуудын дүн шинжилгээнд үндэслэн бичсэн болно. Арифметик прогресстой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд санал болгож буй уран зохиолын жагсаалтад хандахыг зөвлөж байна.

1. Дээд боловсролын байгууллагад элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. - М .: Дэлхий ба боловсрол, 2013. - 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн нэмэлт хэсгүүд. – М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 х.

3. Медынский М.М. Даалгавар, дасгалын үндсэн математикийн бүрэн курс. 2-р дэвтэр: Тооны дараалал ба дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. - 208 х.

Танд асуух зүйл байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Томъёоны мөн чанар юу вэ?

Энэ томъёо нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .

Мэдээжийн хэрэг та эхний нэр томъёог мэдэх хэрэгтэй a 1болон явцын ялгаа г, За, эдгээр параметргүйгээр та тодорхой дэвшлийг бичиж чадахгүй.

Энэ томъёог цээжлэх (эсвэл хуурах) нь хангалтгүй юм. Үүний мөн чанарыг шингээж, томъёог янз бүрийн асуудалд хэрэглэх шаардлагатай. Тийм ээ, мөн зөв цагт мартаж болохгүй, тийм ээ ...) Хэрхэн мартаж болохгүй-Мэдэхгүй ээ. Бас энд яаж санах вэШаардлагатай бол би танд зөвлөгөө өгөх болно. Хичээлийг эцэс хүртэл эзэмшсэн хүмүүст зориулав.)

Ингээд арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог авч үзье.

Ер нь томьёо гэж юу вэ - бид төсөөлж байна.) Арифметик прогресс, гишүүний тоо, прогрессийн зөрүү гэж юу вэ - өмнөх хичээл дээр тодорхой өгүүлсэн. Уншиж амжаагүй бол үзээрэй. Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ n-р гишүүн.

Прогрессийг ерөнхийд нь дараалсан тоогоор бичиж болно.

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг илэрхийлнэ; a 3- гурав дахь гишүүн a 4- дөрөв дэх гэх мэт. Хэрэв бид тав дахь удаагаа сонирхож байгаа бол хамтран ажиллаж байна гэж бодъё а 5, хэрэв нэг зуун хорь - -аас 120.

Ер нь яаж тодорхойлох вэ ямар чарифметик прогрессийн гишүүн, с ямар чтоо? Маш энгийн! Үүн шиг:

a n

Ийм л байна арифметик прогрессийн n-р гишүүн. N үсгийн дор бүх гишүүдийн тоог нэг дор нуусан болно: 1, 2, 3, 4 гэх мэт.

Ийм бичлэг бидэнд юу өгдөг вэ? Тэд тооны оронд захидал бичсэн гэж бодоод үз дээ ...

Энэхүү тэмдэглэгээ нь арифметик прогресстой ажиллах хүчирхэг хэрэгслийг бидэнд өгдөг. Тэмдэглэгээ ашиглах a n, бид хурдан олох боломжтой ямар чгишүүн ямар чарифметик прогресс. Мөн үе шаттайгаар шийдвэрлэх ёстой олон ажлууд. Та цааш нь харах болно.

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёонд:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- арифметик прогрессийн анхны гишүүн;

n- гишүүний дугаар.

Томъёо нь аливаа дэвшлийн гол параметрүүдийг холбодог: a n ; a 1; гболон n. Эдгээр параметрүүдийн эргэн тойронд бүх оньсого нь аажмаар эргэлддэг.

n-р гишүүний томьёог мөн тодорхой прогресс бичихэд ашиглаж болно. Жишээлбэл, асуудалд ахиц дэвшлийг дараахь нөхцөлөөр өгсөн гэж хэлж болно.

a n = 5 + (n-1) 2.

Ийм асуудал бүр төөрөлдүүлж ч болно ... Цуврал байхгүй, ялгаа байхгүй ... Гэхдээ нөхцөлийг томъёотой харьцуулж үзвэл энэ дэвшилтэд байгааг ойлгоход хялбар байдаг. a 1 \u003d 5, d \u003d 2.

Энэ нь бүр ч ууртай байж болно!) Хэрэв бид ижил нөхцөлийг авбал: a n = 5 + (n-1) 2,тийм ээ, хаалтуудыг онгойлгож, ижил төстэй зүйлийг өгөх үү? Бид шинэ томъёог авна:

an = 3 + 2n.

Энэ бол Зөвхөн ерөнхий биш, харин тодорхой ахиц дэвшилд зориулагдсан. Энд л сүйрлээс болж байна. Зарим хүмүүс эхний нэр томъёог гурав гэж боддог. Хэдийгээр бодит байдал дээр эхний гишүүн нь тав ... Бага зэрэг доогуур бид ийм өөрчлөгдсөн томъёогоор ажиллах болно.

Даалгаврыг ахиулахад өөр нэг тэмдэглэгээ байдаг - a n+1. Энэ бол дэвшлийн "n дээр нэмэх нь эхний" гишүүн юм гэж та таамаглаж байна. Үүний утга нь энгийн бөгөөд хор хөнөөлгүй.) Энэ нь прогрессийн гишүүн бөгөөд тоо нь n-ээс нэгээр их байна. Жишээлбэл, хэрэв бид ямар нэг асуудалд хандвал a nдараа нь тав дахь улирал a n+1зургаа дахь гишүүн болно. гэх мэт.

Ихэнхдээ тэмдэглэгээ a n+1рекурсив томъёонд тохиолддог. Энэ аймшигт үгнээс бүү ай!) Энэ бол зүгээр л арифметик прогрессийн гишүүний илэрхийлэл юм. өмнөх замаар.Бидэнд давтагдах томьёог ашиглан энэ хэлбэрээр арифметик прогресс өгөгдсөн гэж бодъё.

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Дөрөв дэх нь - гурав дахь нь, тав дахь нь - дөрөв дэх нь гэх мэт. Тэгээд яаж нэн даруй тоолох вэ, хорьдугаар нэр томъёог хэлээрэй, нь 20? Гэхдээ ямар ч боломжгүй!) 19-р улирал тодорхойгүй байхад 20-ыг тоолж болохгүй. Энэ нь рекурсив томьёо болон n-р гишүүний томъёоны үндсэн ялгаа юм. Рекурсив нь зөвхөн дамжуулан ажилладаг өмнөхнэр томъёо, мөн n-р гишүүний томьёо - дамжуулан эхлээдмөн зөвшөөрдөг шуудДурын гишүүнийг дугаараар нь олоорой. Бүхэл бүтэн цуврал тоонуудыг дарааллаар нь тооцохгүй.

Арифметик прогрессийн хувьд рекурсив томъёог энгийн томъёо болгон хялбархан хувиргаж болно. Дараалсан хос гишүүнийг тоолж, зөрүүг тооцоол г,шаардлагатай бол эхний нэр томъёог олоорой a 1, томьёог ердийн хэлбэрээр бичиж, түүнтэй ажиллах. ТЕГ-т ийм ажил ихэвчлэн олддог.

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёоны хэрэглээ.

Эхлээд томъёоны шууд хэрэглээг харцгаая. Өмнөх хичээлийн төгсгөлд нэг асуудал гарсан:

Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.

Энэ асуудлыг ямар ч томьёогүйгээр зүгээр л арифметик прогрессийн утгад үндэслэн шийдэж болно. Нэмээрэй, тиймээ нэмнэ үү ... Нэг эсвэл хоёр цаг.)

Мөн томъёоны дагуу шийдэл нь нэг минутаас бага хугацаа шаардагдана. Та цаг гаргаж болно.) Бид шийднэ.

Нөхцөлүүд нь томъёог ашиглах бүх өгөгдлийг өгдөг: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Юу болохыг харах л үлдлээ n.Асуудалгүй! Бид олох хэрэгтэй а 121. Энд бид бичнэ:

Анхаарна уу! Индексийн оронд nтодорхой тоо гарч ирэв: 121. Энэ нь нэлээд логик юм.) Бид арифметик прогрессийн гишүүнийг сонирхож байна. нэг зуун хорин нэг.Энэ бол биднийх болно n.Энэ нь ийм утгатай n= 121-ийг бид хаалтанд томъёонд орлуулах болно. Томъёоны бүх тоог орлуулж, тооцоолно уу:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Энэ бол бүх зүйл. Таван зуун арав дахь гишүүнийг, мянга, гурав дахь гишүүнийг хэн ч олж болно. Бид оронд нь тавьдаг nүсгийн индекс дэх хүссэн тоо " а"мөн хаалтанд, мөн бид авч үзнэ.

Үүний мөн чанарыг танд сануулъя: энэ томъёо нь таныг олох боломжийг олгодог ямар чарифметик прогрессийн гишүүн ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .

Асуудлыг илүү ухаалаг шийдье. Бидэнд дараах асуудал байна гэж бодъё.

a 17 =-2 бол арифметик прогрессийн (a n) эхний гишүүнийг ол; d=-0.5.

Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би эхний алхамыг санал болгох болно. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог бичээрэй!Тийм тийм. Гараа шууд дэвтэр дээрээ бичээрэй:

a n = a 1 + (n-1)d

Одоо томьёоны үсгүүдийг хараад бидэнд ямар өгөгдөл байгаа, юу дутуу байгааг ойлгож байна уу? Боломжтой d=-0.5,арван долоо дахь гишүүн байна ... Бүх зүйл? Хэрэв та үүнийг л гэж бодож байгаа бол та асуудлыг шийдэж чадахгүй, тиймээ ...

Бидэнд бас дугаар бий n! Нөхцөл байдалд a 17 =-2далд хоёр сонголт.Энэ нь арван долоо дахь гишүүний утга (-2) ба түүний тоо (17) хоёулаа юм. Тэдгээр. n=17.Энэ "бяцхан зүйл" толгойн хажуугаар өнгөрч, түүнгүйгээр (толгой биш "жижиг зүйл" байхгүй бол!) Асуудлыг шийдэж чадахгүй. Хэдийгээр ... бас толгойгүй ч гэсэн.)

Одоо бид өгөгдлөө тэнэг байдлаар томъёогоор орлуулж болно:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Өө тиймээ, а 17-2 гэдгийг бид мэднэ. За, үүнийг оруулъя:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Энэ бол үндсэндээ бүх зүйл юм. Томьёоноос арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг илэрхийлж, тооцоолоход л үлддэг. Та хариултыг авна уу: a 1 = 6.

Ийм техник - томьёо бичих, мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулах нь энгийн ажлуудад маш их тусалдаг. Мэдээжийн хэрэг, та томъёоноос хувьсагчийг илэрхийлэх чадвартай байх ёстой, гэхдээ яах вэ!? Энэ чадваргүй бол математикийг огт судлах боломжгүй ...

Өөр нэг түгээмэл асуудал:

a 1 =2 бол арифметик прогрессийн (a n) ялгааг ол; a 15 =12.

Бид юу хийж байна вэ? Та гайхах болно, бид томъёо бичдэг!)

a n = a 1 + (n-1)d

Бидний мэддэг зүйлийг авч үзье: a 1 =2; a 15 =12; ба (онцгой онцлох!) n=15. Дараахь томъёог орлуулж болно.

12=2 + (15-1)d

Арифметикийг хийцгээе.)

12=2 + 14d

г=10/14 = 5/7

Энэ бол зөв хариулт юм.

Тиймээс, даалгавар a n , a 1болон гшийдсэн. Энэ дугаарыг хэрхэн олохыг сурахад л үлддэг.

99 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн бөгөөд a 1 =12; d=3. Энэ гишүүний дугаарыг олоорой.

Бид мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийг n-р гишүүний томъёонд орлуулна.

a n = 12 + (n-1) 3

Эхлээд харахад энд үл мэдэгдэх хоёр хэмжигдэхүүн байна: a n ба n.Гэхдээ a nтоотой прогрессийн зарим гишүүн юм n... Мөн бидний мэдэх энэ ахиц дэвшлийн гишүүн! Энэ бол 99. Бид түүний дугаарыг мэдэхгүй. n,тиймээс энэ тоог бас олох хэрэгтэй. Прогрессийн гишүүн 99-ийг томъёонд орлуул.

99 = 12 + (n-1) 3

Бид томъёогоор илэрхийлнэ n, Бид бодохдоо. Бид хариултыг авна: n=30.

Одоо нэг сэдэвтэй холбоотой асуудал, гэхдээ илүү бүтээлч):

117 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн байх эсэхийг тодорхойлно уу:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Томьёог дахин бичье. Ямар ч сонголт байхгүй юу? Хм... Бидэнд нүд яагаад хэрэгтэй вэ?) Прогрессийн эхний гишүүнийг бид харж байна уу? Бид харж байна. Энэ нь -3.6. Та аюулгүйгээр бичиж болно: a 1 \u003d -3.6.Ялгаа гцувралаас тодорхойлж болох уу? Хэрэв та арифметик прогрессийн ялгаа нь юу болохыг мэдэж байвал амархан.

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Тийм ээ, бид хамгийн энгийн зүйлийг хийсэн. Үл мэдэгдэх тоотой харьцах хэвээр байна nмөн үл ойлгогдох тоо 117. Өмнөх бодлогод ядаж л прогрессийн нэр томъёог өгсөн нь мэдэгдэж байсан. Гэхдээ энд бид үүнийг мэдэхгүй байна ... Яаж байх вэ!? За, яаж байх вэ, яаж байх вэ ... Бүтээлч чадвараа асаагаарай!)

Бид гэж бодъёТэр 117 бол эцсийн эцэст бидний дэвшлийн гишүүн юм. Үл мэдэгдэх дугаартай n. Мөн өмнөх асуудлын нэгэн адил энэ тоог олохыг хичээцгээе. Тэдгээр. Бид томъёог (тийм-тийм!)) бичиж, тоонуудаа орлуулна:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Бид дахин томъёогоор илэрхийлнэn, бид тоолж аваад:

Өө! Тоо гарсан бутархай!Зуун нэг хагас. Мөн прогресс дахь бутархай тоо байж болохгүй.Бид ямар дүгнэлт хийх вэ? Тийм ээ! 117 дугаар бишбидний дэвшлийн гишүүн. Энэ нь 101, 102 дахь гишүүний хооронд байна. Хэрэв тоо нь байгалийн шинж чанартай болсон бол, i.e. эерэг бүхэл тоо байвал тухайн тоо нь олсон тоотой прогрессийн гишүүн байх болно. Мөн бидний тохиолдолд асуудлын хариулт нь: үгүй.

ТЕГ-ын бодит хувилбар дээр үндэслэсэн даалгавар:

Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.

a n \u003d -4 + 6.8n

Прогрессийн эхний ба арав дахь гишүүнийг ол.

Энд ахиц дэвшил нь ер бусын байдлаар тавигддаг. Зарим төрлийн томъёо ... Энэ нь тохиолддог.) Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо (би дээр бичсэнчлэн) - мөн арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёо!Тэр бас зөвшөөрдөг Прогрессийн аль нэг гишүүнийг тоогоор нь олоорой.

Бид анхны гишүүнийг хайж байна. Боддог хүн. Эхний гишүүн нь дөрөвийг хасах нь маш их алдаа юм!) Учир нь бодлого дахь томьёо өөрчлөгдсөн байна. Үүнд арифметик прогрессийн эхний гишүүн далд.Юу ч биш, бид одоо олох болно.)

Өмнөх даалгавруудын нэгэн адил бид орлуулдаг n=1Энэ томъёонд:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

Энд! Эхний гишүүн нь -4 биш, 2.8 байна!

Үүнтэй адилаар бид арав дахь нэр томъёог хайж байна:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Энэ бол бүх зүйл.

Одоо эдгээр мөрүүдийг уншсан хүмүүст амласан урамшуулал.)

ТЕГ эсвэл Улсын нэгдсэн шалгалтын хүнд хэцүү нөхцөлд та арифметик прогрессийн n-р гишүүний ашигтай томъёог мартсан гэж бодъё. Ямар нэг зүйл санаанд орж ирдэг, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар тодорхойгүй ... эсэх nтэнд, эсвэл n+1, эсвэл n-1...Яаж байх вэ!?

Тайвшир! Энэ томъёог гаргахад хялбар байдаг. Маш хатуу биш, гэхдээ итгэлтэй, зөв ​​шийдвэр гаргахад хангалттай!) Дүгнэлт хийхийн тулд арифметик прогрессийн үндсэн утгыг санаж, хэдэн минут зарцуулахад хангалттай. Та зүгээр л зураг зурах хэрэгтэй. Тодорхой болгохын тулд.

Бид тоон тэнхлэгийг зурж, эхнийх нь дээр тэмдэглэнэ. хоёр дахь, гурав дахь гэх мэт. гишүүд. Мөн ялгааг анхаарч үзээрэй ггишүүдийн хооронд. Үүн шиг:

Бид зургийг хараад: хоёр дахь гишүүн юутай тэнцүү вэ? Хоёрдугаарт нэг г:

а 2 =a 1 + 1 г

Гурав дахь нэр томъёо гэж юу вэ? Гурав дахьнэр томъёо нь эхний гишүүнтэй тэнцүү хоёр г.

а 3 =a 1 + 2 г

Та үүнийг ойлгож байна уу? Би зарим үгийг зүгээр л бүдүүн үсгээр бичдэггүй. За, дахиад нэг алхам.)

Дөрөв дэх нэр томъёо гэж юу вэ? Дөрөвдүгээртнэр томъёо нь эхний гишүүнтэй тэнцүү гурав г.

а 4 =a 1 + 3 г

Цоорхойн тоо, i.e. гэдгийг ойлгох цаг болжээ. г, үргэлж Таны хайж буй гишүүний тооноос нэгээр дутуу байна n. Энэ нь тоо хүртэл n, цоорхойн тооболно n-1.Тиймээс томъёо нь (сонголт байхгүй!):

a n = a 1 + (n-1)d

Ер нь математикийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд визуал зураг их тус болдог. Зургийг үл тоомсорлож болохгүй. Гэхдээ хэрэв зураг зурахад хэцүү бол ... зөвхөн томьёо!) Үүнээс гадна, n-р гишүүний томъёо нь математикийн бүх хүчирхэг арсеналыг шийдэлд холбох боломжийг олгодог - тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем гэх мэт. Зургийг тэгшитгэлд оруулж болохгүй...

Бие даасан шийдвэр гаргах даалгавар.

Халаалтын хувьд:

1. Арифметик прогрессоор (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3-ыг олоорой.

Зөвлөгөө: Зургийн дагуу 20 секундын дотор асуудал шийдэгдсэн ... Томъёоны дагуу энэ нь илүү хэцүү болж байна. Гэхдээ томъёог эзэмшихийн тулд энэ нь илүү ашигтай байдаг.) ​​555-р хэсэгт энэ асуудлыг зураг болон томъёогоор хоёуланг нь шийдсэн. Ялгааг мэдэр!)

Энэ нь халаалт байхаа больсон.)

2. Арифметик прогрессийн хувьд (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. 3-ыг ол.

Юу вэ, зураг зурах дургүй юу?) Гэсэн хэдий ч! Энэ нь томьёогоор илүү сайн, тийм ээ ...

3. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. Энэ прогрессийн зуун хорин тав дахь гишүүнийг ол.

Энэ даалгаварт ахиц дэвшлийг давтагдах байдлаар өгдөг. Харин зуун хорин тав хүртэл тоолоход... Хүн бүр ийм эр зориг гаргаж чадахгүй.) Харин n-р гишүүний томьёо нь хүн бүрийн эрх мэдэлд байдаг!

4. Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоог ол.

5. 4-р даалгаврын нөхцлийн дагуу прогрессийн хамгийн бага эерэг ба хамгийн том сөрөг гишүүдийн нийлбэрийг ол.

6. Өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн тав, арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь -2.5, гурав, арван нэг дэх гишүүний нийлбэр нь тэг болно. 14-ийг олоорой.

Хамгийн хялбар ажил биш, тийм ээ ...) Энд "хуруунд" арга ажиллахгүй. Томьёо бичиж, тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Хариултууд (эмх замбараагүй):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Болсон уу? Гоё!)

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Энэ нь тохиолддог. Дашрамд хэлэхэд, сүүлчийн даалгаварт нэг нарийн зүйл бий. Асуудлыг уншихдаа анхааралтай байх шаардлагатай. Мөн логик.

Эдгээр бүх асуудлын шийдлийг 555-р хэсэгт нарийвчлан авч үзсэн болно. Мөн дөрөв дэх нь уран зөгнөлийн элемент, зургаа дахь нь нарийн мөч, n-р хугацааны томъёоны хувьд аливаа асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга замууд - бүх зүйлийг будсан. Санал болгож байна.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.

Хэн нэгэн "хөгжил" гэдэг үгийг дээд математикийн хэсгүүдээс маш нарийн төвөгтэй нэр томъёо гэж болгоомжтой ханддаг. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн арифметик прогресс бол таксины тоолуурын ажил юм (тэд хэвээрээ). Мөн арифметик дарааллын мөн чанарыг (мөн математикт "мөн чанарыг ойлгохоос өөр чухал зүйл гэж байдаггүй) ойлгох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд цөөн хэдэн энгийн ойлголтуудыг шинжилдэг.

Математик тооны дараалал

Тоон дарааллыг хэд хэдэн тоо гэж нэрлэх нь заншилтай бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн дугаартай байдаг.

ба 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;

ба 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;

ба 7 нь дарааллын долоо дахь гишүүн юм;

ба n нь дарааллын n дэх гишүүн;

Гэсэн хэдий ч дур зоргоороо тогтсон тоо, тоо биднийг сонирхдоггүй. Бид n-р гишүүний утга нь түүний дарааллын тоотой математикийн хувьд тодорхой томьёолж болох хамаарлаар холбогдох тоон дараалалд анхаарлаа хандуулах болно. Өөрөөр хэлбэл: n-р тооны тоон утга нь n-ийн зарим функц юм.

a - тоон дарааллын гишүүний утга;

n нь түүний серийн дугаар;

f(n) нь тоон дарааллын n нь аргумент болох функц юм.

Тодорхойлолт

Арифметик прогрессийг ихэвчлэн дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор их (бага) байх тоон дараалал гэж нэрлэдэг. Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо дараах байдалтай байна.

a n - арифметик прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

a n+1 - дараагийн тооны томъёо;

d - ялгаа (тодорхой тоо).

Хэрэв зөрүү эерэг (d>0) байвал авч үзэж буй цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх ба ийм арифметик прогресс нэмэгдэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Доорх графикаас тооны дарааллыг яагаад "өсгөх" гэж нэрлэснийг хялбархан харж болно.

Зөрүү сөрөг гарсан тохиолдолд (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Заасан гишүүний үнэ цэнэ

Заримдаа арифметик прогрессийн дурын a n гишүүний утгыг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Та үүнийг арифметик прогрессийн бүх гишүүдийн утгыг эхнийхээс хүссэн хүртэл дараалан тооцоолох замаар хийж болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, таван мянга, найман сая дахь нөхцлийн утгыг олох шаардлагатай бол энэ аргыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөггүй. Уламжлалт тооцоо хийхэд нэлээд хугацаа шаардагдана. Гэсэн хэдий ч тодорхой арифметик прогрессийг тодорхой томъёог ашиглан судалж болно. Мөн n-р гишүүний томьёо байдаг: арифметик прогрессийн дурын гишүүний утгыг прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг хүссэн гишүүний тоогоор үржүүлж, нэгийг хассан прогрессийн зөрүүгээр тодорхойлж болно. .

Томъёо нь ахиц дэвшлийг нэмэгдүүлэх, бууруулах бүх нийтийн шинж чанартай байдаг.

Тухайн гишүүний үнэ цэнийг тооцоолох жишээ

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний утгыг олох дараах бодлогыг бодъё.

Нөхцөл: параметртэй арифметик прогресс байна:

Дарааллын эхний гишүүн нь 3;

Тооны цувааны зөрүү 1.2 байна.

Даалгавар: 214 гишүүний утгыг олох шаардлагатай

Шийдэл: Тухайн гишүүний утгыг тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

a(n) = a1 + d(n-1)

Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах байдалтай байна:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Хариулт: Дарааллын 214 дэх гишүүн нь 258.6-тай тэнцүү.

Тооцооллын энэ аргын давуу тал нь тодорхой юм - бүх шийдэл нь 2-оос илүүгүй мөр авдаг.

Өгөгдсөн тооны гишүүдийн нийлбэр

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн арифметик цувралд түүний зарим сегментийн утгын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Мөн нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоод дараа нь нэгтгэх шаардлагагүй. Хэрэв нийлбэр нь олдох ёстой нэр томъёоны тоо бага байвал энэ аргыг хэрэглэнэ. Бусад тохиолдолд дараах томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.

1-ээс n хүртэлх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр нь эхний болон n-р гишүүдийн нийлбэрийг n гишүүний тоогоор үржүүлж, хоёрт хуваасантай тэнцүү байна. Хэрэв томъёонд n-р гишүүний утгыг өгүүллийн өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр орлуулсан бол бид дараахь зүйлийг авна.

Тооцооллын жишээ

Жишээлбэл, дараах нөхцлөөр асуудлыг шийдье.

Дарааллын эхний гишүүн нь тэг;

Энэ ялгаа нь 0.5 байна.

Асуудлын хувьд 56-аас 101 хүртэлх цувралын нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдвэр. Прогрессийн нийлбэрийг тодорхойлох томъёог ашиглацгаая.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Эхлээд бид асуудлынхаа өгөгдсөн нөхцөлийг томъёогоор орлуулах замаар прогрессийн 101 гишүүний утгын нийлбэрийг тодорхойлно.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Мэдээжийн хэрэг, 56-аас 101 хүртэлх прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг олохын тулд S 101-ээс S 55-ыг хасах шаардлагатай.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Энэ жишээний арифметик прогрессийн нийлбэр нь:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Арифметик прогрессийн практик хэрэглээний жишээ

Өгүүллийн төгсгөлд эхний догол мөрөнд өгөгдсөн арифметик дарааллын жишээ рүү буцъя - таксиметр (таксины машины тоолуур). Ийм жишээг авч үзье.

Таксинд суух (үүнд 3 км орно) 50 рубль болно. Дараагийн км тутамд 22 рубль / км-ийн төлбөр төлдөг. Аяллын зай 30 км. Аяллын зардлыг тооцоол.

1. Буух зардалд үнэ нь багтсан эхний 3 км-ыг хасъя.

30 - 3 = 27 км.

2. Цаашид тооцоо хийх нь арифметик тооны цувааг задлан шинжлэхээс өөр зүйл биш юм.

Гишүүний дугаар нь аялсан километрийн тоо юм (эхний гурвыг хассан).

Гишүүний үнэ цэнэ нь нийлбэр юм.

Энэ асуудлын эхний нэр томъёо нь 1 = 50 рубльтэй тэнцүү байх болно.

Прогрессийн зөрүү d = 22 х.

бидний сонирхсон тоо - арифметик прогрессийн (27 + 1) гишүүний утга - 27-р километрийн төгсгөлд тоолуурын заалт - 27.999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Дурын урт хугацааны хуанлийн өгөгдлийн тооцоо нь тодорхой тоон дарааллыг тодорхойлсон томьёо дээр суурилдаг. Одон орон судлалын хувьд тойрог замын урт нь геометрийн хувьд селестиел биеийг гэрэлтүүлэгч хүртэлх зайнаас хамаардаг. Үүнээс гадна янз бүрийн тоон цувааг статистик болон математикийн бусад хэрэглээний салбарт амжилттай ашиглаж байна.

Өөр нэг тооны дараалал бол геометр юм

Геометрийн прогресс нь арифметиктэй харьцуулахад их хэмжээний өөрчлөлтийн хурдаар тодорхойлогддог. Улс төр, социологи, анагаах ухаанд ихэвчлэн тодорхой үзэгдлийн тархалтын өндөр хурдыг харуулахын тулд, жишээлбэл, тахал өвчний үед энэ үйл явц экспоненциал байдлаар хөгждөг гэж хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Геометрийн тооны цувралын N-р гишүүн нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд үүнийг зарим тогтмол тоогоор үржүүлдэг - хуваагч, жишээлбэл, эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2, дараа нь:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометр прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

b n+1 - геометр прогрессийн дараагийн гишүүний томъёо;

q нь геометр прогрессийн хуваагч (тогтмол тоо).

Хэрэв арифметик прогрессийн график шулуун шугам бол геометрийн график нь арай өөр зураг зурна.

Арифметикийн нэгэн адил геометр прогресс нь дурын гишүүний утгын томьёотой байдаг. Геометр прогрессийн дурын n-р гишүүн нь эхний гишүүний үржвэр ба n-ийн зэрэглэлийн прогрессийн хуваагчийг нэгээр багасгасантай тэнцүү байна.

Жишээ. Бидэнд эхний гишүүн нь 3-тай тэнцүү, прогрессийн хуваагч нь 1.5-тай тэнцүү геометр прогресс байна. Прогрессийн 5-р гишүүнийг ол

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Өгөгдсөн тооны гишүүдийн нийлбэрийг мөн тусгай томъёогоор тооцдог. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь прогрессийн n-р гишүүн ба хуваагч ба прогрессийн эхний гишүүний үржвэрийн зөрүүг нэгээр багасгасан хуваахтай тэнцүү байна.

Хэрэв b n-ийг дээр дурдсан томъёогоор сольсон бол авч үзсэн тооны цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн утга дараах хэлбэртэй болно.

Жишээ. Геометр прогресс нь 1-тэй тэнцэх эхний гишүүнээс эхэлнэ. Хусагч нь 3-тай тэнцүү байна. Эхний найман гишүүний нийлбэрийг олъё.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг мэдэхгүй хэвээр байгаа гэдгийг дотоод cap нотлох баримт хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс, би таныг урт танилцуулгад зовоохгүй бөгөөд тэр даруй ажилдаа орох болно.

Эхлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг авч үзье:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд тус бүр нь өмнөхөөсөө илүү байна. Хоёрдахь тохиолдолд зэргэлдээх тоонуудын хоорондох зөрүү аль хэдийн тавтай тэнцэх боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ерөнхийдөө үндэс байдаг. Гэсэн хэдий ч $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ байхад $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг зүгээр л арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг эмх цэгцтэйтоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Та дугаарыг солих эсвэл солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та (1; 2; 3; 4; ...) гэх мэт зүйлийг бичвэл энэ нь аль хэдийн хязгааргүй дэвшил юм. Дөрөвийн дараах эллипс нь нэлээд олон тоо цааш явж байгааг сануулж байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь. :)

Мөн ахиц дэвшил нэмэгдэж, буурч байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

За, зүгээр: сүүлчийн жишээ хэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. Хэрэв эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Үүнээс гадна "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол явц нэмэгдэж байна;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүхэл бүтэн прогресс ижил тоонуудын тогтмол дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээрх гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тоо, зүүн талд байгаа тооноос хасахад хангалттай. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Таны харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэхээр сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага багаар олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогресс болон давтагдах томъёоны гишүүд

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ багцын бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг ийм тооны тусламжтайгаар зааж өгсөн болно: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, ахиц дэвшлийн хөрш зэргэлдээ гишүүд дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Ийм томьёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх) мэдэж байгаа ямар ч тоог олох боломжтой. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү төвөгтэй томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томьёог өмнө нь тааралдсан байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, решебникт өгөх дуртай. Математикийн аливаа ухаалаг сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдвэр. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба прогрессийн зөрүү $d=-5$ гэдгийг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; -2)

Тэгээд л болоо! Бидний ахиц дэвшил буурч байгааг анхаарна уу.

Мэдээжийн хэрэг $n=1$-г орлуулах боломжгүй байсан - бид эхний нэр томъёог аль хэдийн мэддэг болсон. Гэсэн хэдий ч, нэгжийг орлуулснаар бид эхний улиралд ч гэсэн бидний томъёо ажиллаж байгаа эсэхийг баталгаажуулсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгаврын дугаар 2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдвэр. Бид асуудлын нөхцөлийг ердийн байдлаар бичдэг.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг биелүүлэх ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) бид дараах зүйлийг олж авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \баруун)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Яг үүнтэй адил бид явцын ялгааг олсон! Системийн аль ч тэгшитгэлд олсон тоог орлуулах хэвээр байна. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдэж.

Хариулт: (-34; -35; -36)

Бидний нээсэн прогрессийн нэгэн сонин шинж чанарт анхаарлаа хандуулаарай: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг гаргана.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Таны мэдэж байх ёстой энгийн боловч маш хэрэгтэй өмч - түүний тусламжтайгаар та олон дэвшилтэт асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгаврын дугаар 3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдвэр. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$-г олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((а)_(10))-((а)_(5))=5д. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Харин $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ нөхцөлөөр бол $5d=6$, эндээс бид:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг зохиож, эхний гишүүн ба зөрүүг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг гишүүдийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, эхний гишүүн нь сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нэр томъёо гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ, элементүүдийг дараалан ангилж, энэ мөчийг "духан дээр" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ асуудлыг томьёог мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас шаардагдахаар төлөвлөгддөг - хариултыг олох хүртэл бид зүгээр л унтдаг. Тиймээс бид эдгээр асуудлыг хурдан шуурхай шийдвэрлэхийг хичээх болно.

Даалгаврын дугаар 4. Арифметик прогрессийн хэдэн сөрөг гишүүн -38.5; -35.8; …?

Шийдвэр. Тиймээс $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, үүнээс бид шууд ялгааг олно:

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгдэж байгааг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл $n$ ямар натурал тоо хүртэл) хадгалагдаж байгааг олж мэдье.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрийг тодруулах шаардлагатай байна. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн бүхэл тоонууд бидэнд тохирох болно (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн их зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$, ямар ч тохиолдолд 16 биш юм.

Даалгаврын дугаар 5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-г мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээх нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн зөрүүг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад, стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний болон зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх асуудалтай ижил төстэй байдлаар үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль хэсэгт эерэг тоо гарч ирэхийг бид олж мэднэ.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Сүүлийн даалгаварт бүх зүйл хатуу тэгш бус байдал руу буурсан тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Одоо бид энгийн бодлогуудыг хэрхэн шийдэж сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг олж мэдье, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно. :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан нөхцөлийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Тооны шулуун дээрх арифметик прогрессийн гишүүд

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын гишүүдийг онцгойлон тэмдэглэсэн бөгөөд ямар ч $((a)_(1)) биш, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Рекурсив томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх гишүүдэд бичье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Гэвч $((a)_(n-1))$ болон $((a)_(n+1))$ гэсэн нэр томъёо нь $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тай тэнцүү байна. Та хязгааргүй үргэлжлүүлж болно, гэхдээ зураг нь утгыг сайн харуулж байна

Прогрессийн гишүүд төвөөс ижил зайд байрладаг

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал та $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг юм.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид гайхалтай мэдэгдлийг гаргасан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнчлэн, бид $((a)_(n))$-оос баруун, зүүн тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар хазайж болно, гэхдээ томъёо зөв хэвээр байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(150))$ ба $((a)_(100))$ ба $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практик дээр арифметик дундажийг ашиглахын тулд олон ажлыг тусгайлан "хурцалсан" байдаг. Үүнийг хар даа:

Даалгаврын дугаар 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ба $14+4((x)^(2))$ тоонууд нь дараалсан гишүүд байхаар $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдвэр. Эдгээр тоо нь прогрессийн гишүүд тул тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үр дүн нь сонгодог квадрат тэгшитгэл юм. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: -3; 2.

Даалгаврын дугаар 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс (энэ дарааллаар) үүсгэхийн тулд $$-ын утгыг ол.

Шийдвэр. Дахин хэлэхэд бид дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар илэрхийлнэ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр нэг квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та хэрцгий тоонуудыг олж авах юмуу эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай заль мэх байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод бид -3 ба 2 гэсэн хариултуудыг авсан гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$ орлуулах:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид -54 гэсэн тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь даалгаврыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн асуудлуудыг шийдвэрлэх явцад бид бас нэг сонирхолтой баримтыг олж мэдсэн бөгөөд үүнийг санах хэрэгтэй.

Хэрэв гурван тоо нь хоёр дахь нь эхний болон сүүлчийнхүүдийн дундаж байхаар байвал эдгээр тоо нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэхүү мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг шууд утгаар нь "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө өмнө нь авч үзсэн зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийн бүлэг ба нийлбэр

Дахиад тооны мөрөнд орцгооё. Бид ахиц дэвшлийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хооронд байж магадгүй юм. бусад олон гишүүдийн үнэ цэнэтэй:

Тооны мөрөнд тэмдэглэгдсэн 6 элемент

"Зүүн сүүл"-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, "баруун сүүл"-ийг $((a)_(k))$, $-оор илэрхийлэхийг хичээцгээе. d$. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах нийлбэрүүд тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+(a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл гэж үзвэл эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлнэ. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн сайн дүрсэлж болно:

Ижил догол мөр нь тэнцүү дүнг өгдөг

Энэ баримтыг ойлгох нь дээр дурдсан асуудлаас үндсээр нь илүү нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгаврын дугаар 8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь боломжит хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдвэр. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$ прогрессийн ялгааг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул бүх шийдэл нь ялгааг тойрон гарах болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би хоёр дахь хаалтаас нийтлэг хүчин зүйл 11-ийг авсан. Тиймээс хүссэн бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчтай холбоотой квадрат функц юм. Тиймээс $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн өндөр утгатай коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо тул бид дээшээ салбарласан параболатай үнэхээр харьцаж байна.

квадрат функцийн график - парабол

Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийн дагуу тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ энэ нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байгааг анхаарна уу:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d\баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисса нь −66 ба −6 тоонуудын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоог бидэнд юу өгдөг вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь хамгийн бага утгыг авдаг (Дашрамд хэлэхэд бид $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь эхний дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгаврын дугаар 9. $-\frac(1)(2)$ ба $-\frac(1)(6)$ тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар өгөгдсөн тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдвэр. Үнэн хэрэгтээ бид эхний болон сүүлчийн тоог аль хэдийн мэддэг таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэ.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас, $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6) доллар. Хэрэв одоогоор $x$ ба $z$ тоонуудаас $y$ авч чадахгүй байгаа бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санаарай:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоонуудыг олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ ба $y=-\frac(1)(3)$ хооронд байгааг анхаарна уу. Тэгэхээр

Үүнтэй адилаар бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг анхны тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар нь хариултанд бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгаврын дугаар 10. 2 ба 42 тоонуудын хооронд эхний, хоёр дахь, сүүлчийн оруулсан тооны нийлбэр нь 56 байх нь мэдэгдэж байгаа бол өгөгдсөн тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна.

Шийдвэр. Өмнөхтэй ижил аргаар арифметик дундажаар шийдэгддэг илүү хэцүү даалгавар. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулахаа мэдэхгүй байгаа явдал юм. Тиймээс тодорхой байхын тулд бид оруулсны дараа яг $n$ тоо байх бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж таамаглаж байна. Энэ тохиолдолд хүссэн арифметик прогрессийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэхдээ $((a)_(2))$ болон $((a)_(n-1))$ тоонуудыг бие бие рүүгээ нэг алхмаар ирмэг дээр зогсож буй 2 ба 42 тооноос авсан болохыг анхаарна уу. , өөрөөр хэлбэл. дарааллын төвд. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дараа нь дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ болон $((a)_(1))$-г мэдсэнээр бид явцын зөрүүг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн гишүүдийг олоход л үлдлээ.

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((а)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байсан: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Процесс бүхий текст даалгавар

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй энгийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзэхийг хүсч байна. За, энгийн зүйл бол: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудын хувьд эдгээр даалгавар нь дохио зангаа мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн OGE болон USE-д яг ийм даалгавар гардаг тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 11. Тус багийнхан 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэсэн байна. Бригад арваннэгдүгээр сард хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдвэр. Мэдээжийн хэрэг, сараар будсан хэсгүүдийн тоо нь арифметик прогрессоор нэмэгдэх болно. Мөн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгаврын дугаар 12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бөгөөд сар бүр өмнөх сараас 4-өөр илүү ном хавсаргасан байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдвэр. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчийн курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Прогрессийн нийлбэрийн томъёо, мөн үүнээс чухал бөгөөд маш ашигтай үр дагаврыг судлах дараагийн хичээл рүү бид аюулгүйгээр шилжиж болно.

Өмнөх нийтлэл: Арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ? Дараагийн нийтлэл: Арифметик прогресс