Арифметик прогрессийн n тоог ол. Арифметик прогресс. Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах.

Хичээлийн зорилго:

• арифметик прогресс ашиглан шийдсэн даалгаврын талаархи оюутнуудын санаа бодлыг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх; арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог гаргахдаа оюутнуудын хайлтын үйл ажиллагааг зохион байгуулах;
• бие даан шинэ мэдлэг олж авах, олж авсан мэдлэгээ зорилгодоо хүрэхийн тулд ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
• олж авсан баримтуудыг нэгтгэх хүсэл, хэрэгцээг хөгжүүлэх, бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.

Даалгаварууд:

• "Арифметик прогресс" сэдвээр байгаа мэдлэгээ нэгтгэх, системчлэх;
• арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг тооцоолох томьёог гаргаж авах;
• олж авсан томъёог янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг заах;
• тоон илэрхийллийн утгыг олох журамд оюутнуудын анхаарлыг хандуулах.

Тоног төхөөрөмж:

• бүлэг, хосоор ажиллах даалгавар бүхий картууд;
• үнэлгээний хуудас;
• танилцуулга"Арифметик прогресс".

I. Суурь мэдлэгийг бодит болгох.

1. Хосоор бие даан ажиллах.

1-р сонголт:

Арифметик прогрессийг тодорхойлно уу. Арифметик прогрессийг тодорхойлсон рекурсив томьёог бич. Арифметик прогрессийн жишээг өгч, ялгааг заана уу.

2-р сонголт:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог бич. Арифметик прогрессийн 100 дахь гишүүнийг ол ( a n}: 2, 5, 8 …
Энэ үед самбарын ард хоёр оюутан ижил асуултын хариултыг бэлдэж байна.
Оюутнууд хамтрагчийнхаа ажлыг самбартай харьцуулан үнэлдэг. (Хариулт бүхий ухуулах хуудсыг гардуулав).

2. Тоглоомын мөч.

Дасгал 1.

Багш аа.Би арифметик прогрессийг төсөөлсөн. Хариултуудын дараа та энэ дэвшлийн 7 дахь гишүүнийг хурдан нэрлэхийн тулд надаас хоёр асуулт асуу. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Оюутнуудын асуулт.

1. Прогрессийн зургаа дахь гишүүн гэж юу вэ, ялгаа нь юу вэ?
2. Прогрессийн найм дахь гишүүн гэж юу вэ, ялгаа нь юу вэ?

Хэрэв нэмэлт асуулт байхгүй бол багш тэднийг өдөөж болно - d (ялгаа) дээр "хориг" тавих, өөрөөр хэлбэл ялгаа нь юу болохыг асуухыг хориглоно. Та асуулт асууж болно: дэвшилтийн 6-р гишүүн, 8-р гишүүн гэж юу вэ?

Даалгавар 2.

Самбар дээр 20 тоо бичсэн байна: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Багш самбар руу нуруугаа харуулан зогсож байна. Оюутнууд тухайн дугаарын дугаарыг хэлж, багш тэр даруй дугаараа өөрөө дууддаг. Би үүнийг яаж хийхийг тайлбарлана уу?

Багш n-р улирлын томъёог санаж байна a n \u003d 3n - 2өгөгдсөн n утгыг орлуулснаар харгалзах утгыг олно a n .

II. Боловсролын даалгаврын мэдэгдэл.

Би Египетийн папиристаас олдсон МЭӨ 2-р мянганы хуучин асуудлыг шийдэхийг санал болгож байна.

Даалгавар:"Та нарт хэлье: 10 хэмжүүр арвайг 10 хүнд хуваа, хүн бүр болон хөршийнхөө хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн 1/8 байна."

• Энэ асуудал арифметик прогрессийн сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? (Дараагийн хүн бүр хэмжүүрийн 1/8-ийг илүү авдаг тул ялгаа нь d=1/8, 10 хүн, тэгэхээр n=10.)
• Таны бодлоор 10 тоо юу гэсэн үг вэ? (Хөгжлийн бүх гишүүдийн нийлбэр.)
• Асуудлын нөхцлийн дагуу арвай хуваахад хялбар, хялбар болгохын тулд өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? (Хөгжлийн эхний үе.)

Хичээлийн зорилго- Прогрессийн гишүүний нийлбэр нь тэдгээрийн тоо, эхний гишүүн, ялгавараас хамаарах хамаарлыг олж, асуудлыг эрт дээр үед зөв шийдсэн эсэхийг шалгах.

Томьёог гаргахын өмнө эртний египетчүүд асуудлыг хэрхэн шийдсэнийг харцгаая.

Тэгээд тэд үүнийг ингэж шийдсэн:

1) 10 хэмжүүр: 10 = 1 хэмжүүр - дундаж хувь;
2) 1 хэмжүүр ∙ = 2 хэмжигдэхүүн - хоёр дахин нэмэгдсэн дундажхуваалцах.
хоёр дахин нэмэгдсэн дундажхувь нь 5, 6 дахь этгээдийн хувьцааны нийлбэр юм.
3) 2 хэмжигдэхүүн - 1/8 хэмжигдэхүүн = 1 7/8 хэмжигдэхүүн - тав дахь хүний ​​хувиас хоёр дахин их.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - тав дахь хувь; гэх мэтээр та өмнөх болон дараагийн хүн бүрийн эзлэх хувийг олох боломжтой.

Бид дарааллыг авна:

III. Даалгаврын шийдэл.

1. Бүлгээр ажиллах

1-р бүлэг:Дараалсан 20 натурал тооны нийлбэрийг ол: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ерөнхийдөө

II бүлэг: 1-ээс 100 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол (Бяцхан Гауссын домог).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Дүгнэлт:

III бүлэг: 1-ээс 21 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Шийдэл: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Дүгнэлт:

IV бүлэг: 1-ээс 101 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Дүгнэлт:

Энэ асуудлыг шийдвэрлэх аргыг "Гаусын арга" гэж нэрлэдэг.

2. Бүлэг бүр асуудлын шийдлийг самбар дээр гаргана.

3. Дурын арифметик прогрессийн санал болгож буй шийдлүүдийн ерөнхий дүгнэлт:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Бид үүнтэй төстэй байдлаар маргаж энэ нийлбэрийг олно.

4. Бид даалгавраа шийдсэн үү?(Тийм.)

IV. Асуудлыг шийдвэрлэхэд олж авсан томъёог анхан шатны ойлголт, хэрэглээ.

1. Хуучин асуудлын шийдлийг томъёогоор шалгах.

2. Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд томьёог хэрэглэх.

3. Бодлого шийдвэрлэхэд томьёог хэрэглэх чадварыг бүрдүүлэх дасгалууд.

A) № 613

Өгөгдсөн :( ба n) -арифметик прогресс;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Олох: S 1500

Шийдвэр: , ба 1 = 1, мөн 1500 = 1500,

B) Өгөгдсөн: ( ба n) -арифметик прогресс;
(ба n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Олох: n
Шийдвэр:

V. Бие дааж, харилцан баталгаажуулсан ажил.

Денис шуудан зөөгчөөр ажиллахаар явсан. Эхний сард түүний цалин 200 рубль байсан бол дараагийн сар бүр 30 рублиэр нэмэгдэв. Тэр нэг жилийн хугацаанд хэр их орлого олсон бэ?

Өгөгдсөн :( ба n) -арифметик прогресс;
a 1 = 200, d=30, n=12
Олох: S 12
Шийдвэр:

Хариулт: Денис жилд 4380 рубль авсан.

VI. Гэрийн даалгавар.

1. х 4.3 - томъёоны гарал үүслийг сурах.
2. №№ 585, 623 .
3. Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан шийдэх бодлого зохио.

VII. Хичээлийг дүгнэж байна.

1. Онооны хуудас

2. Өгүүлбэрүүдийг үргэлжлүүлнэ үү

• Өнөөдөр хичээл дээр би сурсан ...
• Сурсан томъёо...
• Би бодохдоо …

3. 1-ээс 500 хүртэлх тооны нийлбэрийг олно уу? Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд ямар арга хэрэглэх вэ?

Ном зүй.

1. Алгебр, 9-р анги. Боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг. Эд. Г.В. Дорофеева.Москва: Гэгээрэл, 2009 он.

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(найман\); \(арван нэгэн\); \(14\)… нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.

Гэсэн хэдий ч \(d\) нь сөрөг тоо байж болно. Жишээлбэл, арифметик прогрессоор \(16\); \(арав\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Прогрессийг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг үүнийг нэрлэдэг гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогрессийн адил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллаар нь элементийн дугаартай тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд дээрх мэдээлэл нь арифметик прогрессийн бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм (OGE-д санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(b_1=7; d=4\) нөхцлөөр тодорхойлно. \(b_5\) олох.
Шийдвэр:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдвэр:

	Бид дарааллын эхний элементүүдийг өгсөн бөгөөд энэ нь арифметик прогресс гэдгийг мэддэг. Өөрөөр хэлбэл, элемент бүр хөршөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байдаг. Дараагийн элементээс өмнөхийг нь хасаж аль нь болохыг олоорой: \(d=49-62=-13\).
	Одоо бид хүссэн (эхний сөрөг) элемент рүү дэвшлээ сэргээж чадна.
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэсэн элементийн утгыг ол.
Шийдвэр:

	\(x\)-ийг олохын тулд бид дараагийн элемент өмнөхөөсөө хэр их ялгаатай болохыг, өөрөөр хэлбэл прогрессийн зөрүүг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хөрш зэргэлдээх хоёр элементээс олъё: \(d=12.5-10=2.5\).
	Одоо бид хайж байгаа зүйлээ ямар ч асуудалгүйгээр олдог: \(x=5+2.5=7.5\).
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдвэр:

	Бид прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бид тэдгээрийн утгыг мэдэхгүй, зөвхөн эхний элементийг л өгдөг. Тиймээс бид эхлээд өгөгдсөн утгыг ашиглан утгыг ээлжлэн тооцдог. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Бидэнд шаардлагатай зургаан элементийг тооцоолсны дараа бид тэдгээрийн нийлбэрийг олно.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Хүссэн дүнг оллоо.

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдвэр:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тоонуудын гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй ижил тоог нэмэх замаар олж авдаг (ялгаа явцын тухай).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "духан дээр" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, хамгийн эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\) олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ юу вэ, бид \ (385 \) удаа дөрөв нэмэх үү? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Тоолох нь будлиантай байна ...

Тиймээс ийм тохиолдолд тэд "духан дээр" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба эхний гишүүний нийлбэр \(n\) томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) нь \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн юм.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний ба дэвшлийн зөрүүг мэдэхийн тулд дор хаяж гурван зуу, бүр сая дахь элементийг хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдвэр:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо нь: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) нь хамгийн сүүлийн нийлбэр нэр томъёо;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдвэр:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Эхний хорин таван элементийн нийлбэрийг тооцоолохын тулд бид эхний болон хорин тав дахь гишүүний утгыг мэдэх хэрэгтэй. Бидний дэвшлийг тооноос нь хамааруулан n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно (дэлгэрэнгүйг үзнэ үү). \(n\)-г нэгээр сольж эхний элементийг тооцоолъё.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Одоо \(n\) оронд хорин тавыг орлуулж хорин тав дахь гишүүнийг олъё.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		За, одоо бид шаардлагатай хэмжээгээ ямар ч асуудалгүйгээр тооцдог.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томьёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо нь: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) - эхний элементүүдийн шаардлагатай нийлбэр \(n\);
\(a_1\) нь нэгтгэх эхний гишүүн юм;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) - нийлбэр дэх элементүүдийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15,5\); \(арван дөрөв\)…
Шийдвэр:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо танд бараг бүх арифметик прогрессийн бодлогыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдээлэл байна. Зөвхөн томьёо хэрэглэхээс гадна бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн бодлогуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-арван ес\); \(-18.7\)…
Шийдвэр:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Даалгавар нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид ижил аргаар шийдэж эхэлдэг: эхлээд бид \(d\) олно.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Одоо бид нийлбэрийн томъёонд \(d\)-г орлуулах болно ... энд жижиг нюанс гарч ирнэ - бид \(n\) гэдгийг мэдэхгүй. Өөрөөр хэлбэл, хэдэн нэр томьёо нэмэх шаардлагатайг бид мэдэхгүй. Яаж мэдэх вэ? Бодоод үз дээ. Эхний эерэг элемент рүү ороход бид элемент нэмэхээ болино. Өөрөөр хэлбэл, та энэ элементийн дугаарыг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрхэн? Арифметик прогрессийн дурын элементийг тооцоолох томьёог бичье: Манай тохиолдолд \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Бид тэгээс их байхын тулд \(a_n\) хэрэгтэй. Энэ нь юу болох талаар \(n\) олж мэдье.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг \(0,3\) гэж хуваана.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Бид тэмдгүүдийг өөрчлөхөө мартдаггүй, хасах нэгийг шилжүүлдэг
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Тооцоолж байна...
\(n>65,333…\)		…мөн эхний эерэг элемент нь \(66\) гэсэн тоотой болох нь харагдаж байна. Үүний дагуу сүүлийн сөрөг нь \(n=65\) байна. Ямар ч тохиолдолд үүнийг шалгаж үзье.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Тиймээс бид эхний \(65\) элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-р элементээс \(42\) хүртэлх нийлбэрийг ол.
Шийдвэр:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Энэ бодлогод та мөн элементүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй, гэхдээ эхнийхээс биш, харин \(26\)-аас эхэлнэ. Бидэнд энэ талаар томъёолол алга. Хэрхэн шийдэх вэ? Хялбар - \(26\)-аас \(42\)-р нийлбэрийг гаргахын тулд эхлээд \(1\)-ээс \(42\) хүртэлх нийлбэрийг олж, дараа нь түүнээс нийлбэрийг хасах хэрэгтэй. the first to \ (25 \) th (зураг харна уу).
	Бидний явцын хувьд \(a_1=-33\), ялгаа \(d=4\) (эцэст нь бид дараагийн элементийг олохын тулд өмнөх элемент дээр дөрөв нэмнэ). Үүнийг мэдсэнээр бид эхний \(42\)-uh элементүүдийн нийлбэрийг олно.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Одоо эхний \(25\)-р элементийн нийлбэр.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Эцэст нь бид хариултыг тооцоолно.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул энэ өгүүлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо бий. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.

Хэн нэгэн "хөгжил" гэдэг үгийг дээд математикийн хэсгүүдээс маш нарийн төвөгтэй нэр томъёо гэж болгоомжтой ханддаг. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн арифметик прогресс бол таксины тоолуурын ажил юм (тэд хэвээрээ). Мөн арифметик дарааллын мөн чанарыг (мөн математикт "мөн чанарыг ойлгохоос өөр чухал зүйл гэж байдаггүй) ойлгох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд цөөн хэдэн энгийн ойлголтуудыг шинжилдэг.

Математик тооны дараалал

Тоон дарааллыг хэд хэдэн тоо гэж нэрлэх нь заншилтай бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн дугаартай байдаг.

ба 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;

ба 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;

ба 7 нь дарааллын долоо дахь гишүүн юм;

ба n нь дарааллын n дэх гишүүн;

Гэсэн хэдий ч дур зоргоороо тогтсон тоо, тоо биднийг сонирхдоггүй. Бид n-р гишүүний утга нь түүний дарааллын тоотой математикийн хувьд тодорхой томьёолж болох хамаарлаар холбогдох тоон дараалалд анхаарлаа хандуулах болно. Өөрөөр хэлбэл: n-р тооны тоон утга нь n-ийн зарим функц юм.

a - тоон дарааллын гишүүний утга;

n нь түүний серийн дугаар;

f(n) нь тоон дарааллын n нь аргумент болох функц юм.

Тодорхойлолт

Арифметик прогрессийг ихэвчлэн дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор их (бага) байх тоон дараалал гэж нэрлэдэг. Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо дараах байдалтай байна.

a n - арифметик прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

a n+1 - дараагийн тооны томъёо;

d - ялгаа (тодорхой тоо).

Хэрэв зөрүү эерэг (d>0) байвал авч үзэж буй цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх ба ийм арифметик прогресс нэмэгдэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Доорх графикаас тооны дарааллыг яагаад "өсгөх" гэж нэрлэснийг хялбархан харж болно.

Зөрүү сөрөг гарсан тохиолдолд (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Заасан гишүүний үнэ цэнэ

Заримдаа арифметик прогрессийн дурын a n гишүүний утгыг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Та үүнийг арифметик прогрессийн бүх гишүүдийн утгыг эхнийхээс хүссэн хүртэл дараалан тооцоолох замаар хийж болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, таван мянга, найман сая дахь нөхцлийн утгыг олох шаардлагатай бол энэ аргыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөггүй. Уламжлалт тооцоо хийхэд нэлээд хугацаа шаардагдана. Гэсэн хэдий ч тодорхой арифметик прогрессийг тодорхой томъёог ашиглан судалж болно. Мөн n-р гишүүний томьёо байдаг: арифметик прогрессийн дурын гишүүний утгыг прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг хүссэн гишүүний тоогоор үржүүлж, нэгийг хассан прогрессийн зөрүүгээр тодорхойлж болно. .

Томъёо нь ахиц дэвшлийг нэмэгдүүлэх, бууруулах бүх нийтийн шинж чанартай байдаг.

Тухайн гишүүний үнэ цэнийг тооцоолох жишээ

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний утгыг олох дараах бодлогыг бодъё.

Нөхцөл: параметртэй арифметик прогресс байна:

Дарааллын эхний гишүүн нь 3;

Тооны цувааны зөрүү 1.2 байна.

Даалгавар: 214 гишүүний утгыг олох шаардлагатай

Шийдэл: Тухайн гишүүний утгыг тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

a(n) = a1 + d(n-1)

Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах байдалтай байна:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Хариулт: Дарааллын 214 дэх гишүүн нь 258.6-тай тэнцүү.

Тооцооллын энэ аргын давуу тал нь тодорхой юм - бүх шийдэл нь 2-оос илүүгүй мөр авдаг.

Өгөгдсөн тооны гишүүдийн нийлбэр

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн арифметик цувралд түүний зарим сегментийн утгын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Мөн нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоод дараа нь нэгтгэх шаардлагагүй. Хэрэв нийлбэр нь олдох ёстой нэр томъёоны тоо бага байвал энэ аргыг хэрэглэнэ. Бусад тохиолдолд дараах томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.

1-ээс n хүртэлх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр нь эхний болон n-р гишүүдийн нийлбэрийг n гишүүний тоогоор үржүүлж, хоёрт хуваасантай тэнцүү байна. Хэрэв томъёонд n-р гишүүний утгыг өгүүллийн өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр орлуулсан бол бид дараахь зүйлийг авна.

Тооцооллын жишээ

Жишээлбэл, дараах нөхцлөөр асуудлыг шийдье.

Дарааллын эхний гишүүн нь тэг;

Энэ ялгаа нь 0.5 байна.

Асуудлын хувьд 56-аас 101 хүртэлх цувралын нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдвэр. Прогрессийн нийлбэрийг тодорхойлох томъёог ашиглацгаая.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Нэгдүгээрт, бид асуудлынхаа өгөгдсөн нөхцөлийг томъёонд орлуулах замаар прогрессийн 101 гишүүний утгын нийлбэрийг тодорхойлно.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Мэдээжийн хэрэг, 56-аас 101 хүртэлх прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг олохын тулд S 101-ээс S 55-ыг хасах шаардлагатай.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Энэ жишээний арифметик прогрессийн нийлбэр нь:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Арифметик прогрессийн практик хэрэглээний жишээ

Өгүүллийн төгсгөлд эхний догол мөрөнд өгөгдсөн арифметик дарааллын жишээ рүү буцъя - таксиметр (таксины машины тоолуур). Ийм жишээг авч үзье.

Таксинд суух (үүнд 3 км орно) 50 рубль болно. Дараагийн км тутамд 22 рубль / км-ийн төлбөр төлдөг. Аяллын зай 30 км. Аяллын зардлыг тооцоол.

1. Буух зардалд үнэ нь багтсан эхний 3 км-ыг хасъя.

30 - 3 = 27 км.

2. Цаашид тооцоо хийх нь арифметик тооны цувааг задлан шинжлэхээс өөр зүйл биш юм.

Гишүүний дугаар нь аялсан километрийн тоо юм (эхний гурвыг хассан).

Гишүүний үнэ цэнэ нь нийлбэр юм.

Энэ асуудлын эхний нэр томъёо нь 1 = 50 рубльтэй тэнцүү байх болно.

Прогрессийн зөрүү d = 22 х.

бидний сонирхсон тоо - арифметик прогрессийн (27 + 1) гишүүний утга - 27-р километрийн төгсгөлд тоолуурын заалт - 27.999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Дурын урт хугацааны хуанлийн өгөгдлийн тооцоо нь тодорхой тоон дарааллыг тодорхойлсон томьёо дээр суурилдаг. Одон орон судлалын хувьд тойрог замын урт нь геометрийн хувьд селестиел биеийг гэрэлтүүлэгч хүртэлх зайнаас хамаардаг. Үүнээс гадна янз бүрийн тоон цувааг статистик болон математикийн бусад хэрэглээний салбарт амжилттай ашиглаж байна.

Өөр нэг тооны дараалал бол геометр юм

Геометрийн прогресс нь арифметиктэй харьцуулахад их хэмжээний өөрчлөлтийн хурдаар тодорхойлогддог. Улс төр, социологи, анагаах ухаанд ихэвчлэн тодорхой үзэгдлийн тархалтын өндөр хурдыг харуулахын тулд, жишээлбэл, тахал өвчний үед энэ үйл явц экспоненциал байдлаар хөгждөг гэж хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Геометрийн тооны цувралын N-р гишүүн нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд үүнийг зарим тогтмол тоогоор үржүүлдэг - хуваагч, жишээлбэл, эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2, дараа нь:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометр прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

b n+1 - геометр прогрессийн дараагийн гишүүний томъёо;

q нь геометр прогрессийн хуваагч (тогтмол тоо).

Хэрэв арифметик прогрессийн график шулуун шугам бол геометрийн график нь арай өөр зураг зурна.

Арифметикийн нэгэн адил геометр прогресс нь дурын гишүүний утгын томьёотой байдаг. Геометр прогрессийн дурын n-р гишүүн нь эхний гишүүний үржвэр ба n-ийн зэрэглэлийн прогрессийн хуваагчийг нэгээр багасгасантай тэнцүү байна.

Жишээ. Бидэнд эхний гишүүн нь 3-тай тэнцүү, прогрессийн хуваагч нь 1.5-тай тэнцүү геометр прогресс байна. Прогрессийн 5-р гишүүнийг ол

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Өгөгдсөн тооны гишүүдийн нийлбэрийг мөн тусгай томъёогоор тооцдог. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь прогрессийн n-р гишүүн ба хуваагч ба прогрессийн эхний гишүүний үржвэрийн зөрүүг нэгээр багасгасан хуваахтай тэнцүү байна.

Хэрэв b n-ийг дээр дурдсан томъёогоор сольсон бол авч үзсэн тооны цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн утга дараах хэлбэртэй болно.

Жишээ. Геометр прогресс 1-тэй тэнцэх эхний гишүүнээс эхэлнэ. Хусагч нь 3-тай тэнцүү байна. Эхний найман гишүүний нийлбэрийг олъё.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Уран зураг, яруу найргийн нэгэн адил математикт өөрийн гэсэн гоо үзэсгэлэн бий.

Оросын эрдэмтэн, механикч Н.Е. Жуковский

Математикийн элсэлтийн шалгалтын маш түгээмэл даалгавар бол арифметик прогрессийн тухай ойлголттой холбоотой даалгавар юм. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд арифметик прогрессийн шинж чанарыг сайн мэдэж, тэдгээрийг хэрэглэх тодорхой ур чадвартай байх шаардлагатай.

Эхлээд арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг санаж, хамгийн чухал томьёог танилцуулъя, энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.

Тодорхойлолт. Тоон дараалал, дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна, арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ тооявцын зөрүү гэж нэрлэдэг.

Арифметик прогрессийн хувьд томъёонууд хүчинтэй байна

, (1)

хаана. Формула (1)-ийг арифметик прогрессийн нийтлэг гишүүний томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд (2) томъёо нь арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар юм: прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай давхцдаг ба .

Чухам энэ шинж чанараараа авч үзэж буй прогрессийг "арифметик" гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар нэгтгэн харуулав.

(3)

Нийлбэрийг тооцоолохын тулдэхлээд арифметик прогрессийн гишүүдтомъёог ихэвчлэн ашигладаг

(5) хаана ба .

Хэрэв бид томъёог анхаарч үзвэл (1), Дараа нь (5) томъёог илэрхийлнэ

Хэрэв бид зааж өгвөл

хаана. Учир нь (7) ба (8) томъёонууд нь харгалзах (5) ба (6) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.

Тухайлбал , томъёо (5)-аас дараах болно, юу

Ихэнх оюутнуудад бага мэддэг зүйл бол дараах теоремоор томъёолсон арифметик прогрессийн шинж чанар юм.

Теорем.Хэрэв бол

Баталгаа.Хэрэв бол

Теорем нь батлагдсан.

Жишээлбэл , теоремыг ашиглан, гэдгийг харуулж болно

"Арифметик прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдэх ердийн жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 1 Let ба. Олох .

Шийдвэр.(6) томъёог хэрэглэснээр бид . Түүнээс хойш ба , дараа нь эсвэл .

Жишээ 2Гурав дахин их байг, хуваахдаа 2 болж, үлдэгдэл нь 8 болно. ба-г тодорхойл.

Шийдвэр.Тэгшитгэлийн систем нь жишээний нөхцөлөөс хамаарна

, , ба , тэгвэл (10) тэгшитгэлийн системээс олж авна

Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь ба .

Жишээ 3Хэрэв болон -г ол.

Шийдвэр.(5) томъёоны дагуу бид эсвэл . Гэсэн хэдий ч (9) өмчийг ашигласнаар бид .

Үүнээс хойш ба , дараа нь тэгшитгэлээс тэгшитгэл дараах байдалтай байнаэсвэл .

Жишээ 4Хэрвээ олоорой.

Шийдвэр.Томъёогоор (5) бид байна

Гэсэн хэдий ч теоремыг ашиглан хүн бичиж болно

Эндээс болон (11) томъёоноос бид .

Жишээ 5. Өгөгдсөн: . Олох .

Шийдвэр.Түүнээс хойш . Тиймээс .

Жишээ 6 Let , and . Олох .

Шийдвэр.Томъёо (9) ашиглан бид . Иймд хэрэв , тэгвэл эсвэл .

Түүнээс хойш ба тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна

Аль нь болохыг шийдэхэд бид ба .

Тэгшитгэлийн байгалийн язгуурнь .

Жишээ 7Хэрэв болон -г ол.

Шийдвэр.Томъёо (3)-ын дагуу бид ийм байгаа тул асуудлын нөхцөлөөс тэгшитгэлийн систем гарч ирнэ

Хэрэв бид илэрхийллийг орлуулах юм болсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлд оруулна, дараа нь бид эсвэл авна.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь байнаболон .

Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

1. За тэгвэл . Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Энэ тохиолдолд (6) томъёоны дагуу бид байна

2. Хэрэв , тэгвэл , ба

Хариулт: ба.

Жишээ 8Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд Олох .

Шийдвэр.Томъёо (5) болон жишээний нөхцөлийг харгалзан бид бичнэ.

Энэ нь тэгшитгэлийн системийг хэлнэ

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлд нэмбэл бид үүнийг авна.

Томъёоны дагуу (9) бид байна. Үүнтэй холбогдуулан (12)-аас дараах зүйлийг дурдавэсвэл .

Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Хариулт: .

Жишээ 9Хэрэв болон -г ол.

Шийдвэр.Түүнээс хойш , ба нөхцөлөөр , дараа нь эсвэл .

Томъёогоор (5) мэдэгдэж байна, юу . Түүнээс хойш .

Тиймээс, энд шугаман тэгшитгэлийн систем байна

Эндээс бид ба . Томьёог (8) харгалзан бид бичнэ.

Жишээ 10Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдвэр.Өгөгдсөн тэгшитгэлээс харахад . , , ба гэж бодъё. Энэ тохиолдолд .

Томъёоны дагуу (1) бид бичиж болно.

(13) тэгшитгэл нь өвөрмөц тохиромжтой язгууртай тул .

Жишээ 11.гэсэн тохиолдолд хамгийн их утгыг ол.

Шийдвэр.-ээс хойш тооцсон арифметик прогресс буурч байна. Үүнтэй холбогдуулан илэрхийлэл нь прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоо байх үед хамгийн их утгыг авна.

Бид томъёо (1) ба баримтыг ашигладаг, аль ба . Дараа нь бид үүнийг эсвэл .

Учир нь , дараа нь эсвэл . Гэсэн хэдий ч энэ тэгш бус байдалдхамгийн том натурал тоо, Тийм учраас .

Хэрэв ба утгыг (6) томъёонд орлуулсан бол бид .

Хариулт: .

Жишээ 12.Бүх хоёр оронтой натурал тоонуудын нийлбэрийг 6-д хуваахад 5 үлдэгдэлтэй болохыг ол.

Шийдвэр.Бүх хоёр утгатай натурал тооны олонлогоор тэмдэглэнэ үү. . Дараа нь бид олонлогийн элементүүдээс (тоо) бүрдэх дэд олонлогийг байгуулдаг бөгөөд үүнийг 6 тоонд хуваахад 5-ын үлдэгдэл гарах болно.

Суулгахад хялбар, юу . Мэдээжийн хэрэг, олонлогийн элементүүдарифметик прогресс үүсгэнэ, аль нь болон .

Олонлогийн үндсэн байдлыг (элементүүдийн тоо) тодорхойлохын тулд бид . Учир нь ба , тэгвэл (1) томъёо нь эсвэл гэсэн утгатай. Томъёо (5)-ыг харгалзан бид .

Асуудлыг шийдвэрлэх дээрх жишээнүүд нь бүрэн гүйцэд гэж хэлж болохгүй. Энэхүү нийтлэлийг тухайн сэдвээр ердийн асуудлыг шийдвэрлэх орчин үеийн аргуудын дүн шинжилгээнд үндэслэн бичсэн болно. Арифметик прогресстой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд санал болгож буй уран зохиолын жагсаалтад хандахыг зөвлөж байна.

1. Техникийн их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн даалгаврын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. - М .: Дэлхий ба боловсрол, 2013. - 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан математик: сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн нэмэлт хэсгүүд. – М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 х.

3. Медынский М.М. Даалгавар, дасгалын үндсэн математикийн бүрэн курс. 2-р дэвтэр: Тооны дараалал ба дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. - 208 х.

Танд асуух зүйл байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Өмнөх нийтлэл: Арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ? Дараагийн нийтлэл: Арифметик прогресс