Гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд та янз бүрийн томъёог ашиглаж болно. Бүх аргуудаас хамгийн хялбар бөгөөд ихэвчлэн ашиглагддаг нь өндрийг суурийн уртаар үржүүлж, үр дүнг хоёроор хуваах явдал юм. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь цорын ганц аргаас хол байна. Гурвалжны талбайг янз бүрийн томъёо ашиглан хэрхэн олохыг доороос уншиж болно.

Тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжны тодорхой төрлүүдийн талбайг тооцоолох аргуудыг тусад нь авч үзэх болно. Бид томьёо бүрийг түүний мөн чанарыг ойлгоход туслах товч тайлбарын хамт дагалддаг.

Гурвалжны талбайг олох түгээмэл аргууд

Доорх томьёо нь тусгай тэмдэглэгээг ашигладаг. Бид тус бүрийг нь тайлах болно:

• a, b, c нь бидний авч үзэж буй зургийн гурван талын урт;
• r нь бидний гурвалжинд дүрсэлж болох тойргийн радиус;
• R нь тойргийн радиусыг тойрон тайлбарлаж болно;
• α - b ба c талуудын үүсгэсэн өнцгийн утга;
• β нь a ба c хоорондох өнцөг;
• γ - a ба b талуудын үүсгэсэн өнцгийн утга;
• h нь α өнцгөөс а тал руу буулгасан манай гурвалжны өндөр;
• p нь a, b, c талуудын нийлбэрийн хагас юм.

Гурвалжны талбайг яагаад ингэж олох нь логикийн хувьд ойлгомжтой юм. Гурвалжны нэг тал нь диагональ хэлбэрээр ажиллах параллелограммыг хялбархан хийж болно. Параллелограммын талбайг түүний аль нэг талын уртыг түүнд татсан өндрийн утгаар үржүүлэх замаар олно. Диагональ нь энэ нөхцөлт параллелограммыг 2 ижил гурвалжинд хуваана. Тиймээс бидний анхны гурвалжны талбай нь энэ туслах параллелограммын талбайн хагастай тэнцүү байх ёстой нь тодорхой юм.

S=½ a b sin γ

Энэ томьёоны дагуу гурвалжны талбайг түүний хоёр талын уртыг, өөрөөр хэлбэл a ба b-ийг үүсгэсэн өнцгийн синусаар үржүүлэх замаар олно. Энэ томъёо нь өмнөхөөсөө логикоор үүсэлтэй. Хэрэв бид өндрийг β өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарын дагуу а талын уртыг γ өнцгийн синусаар үржүүлэхэд гурвалжны өндрийг авна, өөрөөр хэлбэл h.

Харгалзаж буй зургийн талбайг дотор нь бичиж болох тойргийн радиусын хагасыг периметрээр нь үржүүлэх замаар олно. Өөрөөр хэлбэл, хагас периметрийн үржвэр ба дурдсан тойргийн радиусыг олно.

S= a b c/4R

Энэ томьёоны дагуу зургийн талуудын үржвэрийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар бидэнд хэрэгтэй утгыг олж болно.

Эдгээр томьёо нь бүх нийтийнх бөгөөд тэдгээр нь аливаа гурвалжны талбайг (масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнийг илүү нарийн төвөгтэй тооцооллын тусламжтайгаар хийж болох бөгөөд бид үүнийг нарийвчлан авч үзэхгүй.

Тодорхой шинж чанартай гурвалжны талбайнууд

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ зургийн онцлог нь түүний хоёр тал нь нэгэн зэрэг өндөр юм. Хэрэв a ба b нь хөл, в нь гипотенуз болвол талбайг дараах байдлаар олно.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ нь а урттай хоёр тал, b урттай нэг талтай. Иймд а талын квадратын үржвэрийг γ өнцгийн синусын 2-т хуваах замаар түүний талбайг тодорхойлж болно.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнд бүх талын урт нь a, бүх өнцгийн утга нь α байна. Түүний өндөр нь хажуугийн уртыг 3-ын квадрат язгуурын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна. Энгийн гурвалжны талбайг олохын тулд хажуугийн квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж, 4-т хуваах шаардлагатай.

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй цэгүүдийг холбосон гурван шулуун шугамаас бүрдэх ийм геометрийн дүрс юм. Шугамын холболтын цэгүүд нь латин үсгээр (жишээлбэл, A, B, C) тэмдэглэгдсэн гурвалжны оройнууд юм. Гурвалжны холбосон шулуун шугамыг сегмент гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг ихэвчлэн латин үсгээр тэмдэглэдэг. Гурвалжны дараах төрлүүд байдаг.

• Тэгш өнцөгт.
• мохоо.
• Хурц өнцөгт.
• Олон талт.
• Тэгш талт.
• Хоёр талт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох ерөнхий томъёо

Урт ба өндрийн гурвалжны талбайн томъёо

S=a*h/2,
Энд a - талбайг олох гурвалжны хажуугийн урт, h - суурь руу татсан өндрийн урт.

Хероны томъёо

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
Энд √ квадрат язгуур, p нь гурвалжны хагас периметр, a,b,c гурвалжны тал бүрийн урт. Гурвалжны хагас периметрийг p=(a+b+c)/2 томъёогоор тооцоолж болно.

Сегментийн өнцөг ба уртын хувьд гурвалжны талбайн томьёо

S = (a*b*sin(α))/2,
хаана b,c байнагурвалжны талуудын урт, sin (α) нь хоёр талын өнцгийн синус юм.

Гурвалжны талбайн томьёог бичээстэй тойрог ба гурван талын радиусаар өгөв

S=p*r,
Энд p нь талбайг олох гурвалжны хагас периметр, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус юм.

Гурвалжны талбайн томьёо нь гурван тал ба түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг өгсөн.

S= (a*b*c)/4*R,
a,b,c нь гурвалжны тал бүрийн урт, R нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Цэгүүдийн декарт координат дахь гурвалжны талбайн томъёо

Цэгүүдийн декарт координатууд нь xOy систем дэх координатууд бөгөөд энд x нь абсцисса, у нь ординат юм. Хавтгай дээрх xOy декартын координатын системийг О цэг дээр нийтлэг жишиг цэгтэй Ox ба Oy харилцан перпендикуляр тоон тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ хавтгай дээрх цэгүүдийн координатыг A (x1, y1), B (x2) хэлбэрээр өгвөл. , y2) ба C (x3, y3 ), дараа нь хоёр векторын хөндлөн үржвэрээс гаргаж авсан дараах томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж болно.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
хаана || модуль гэсэн үг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь 90 градусын өнцөгтэй гурвалжин юм. Гурвалжин нь зөвхөн нэг ийм өнцөгтэй байж болно.

Хоёр хөл дээрх тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S=a*b/2,
Үүнд: a,b нь хөлний урт. Хөл нь зөв өнцгөөр зэргэлдээх талууд гэж нэрлэгддэг.

Гипотенуз ба хурц өнцгийг өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томьёо

S = a*b*sin(α)/ 2,
Үүнд: a, b нь гурвалжны хөл, sin(α) нь a, b шулуунуудын огтлолцох өнцгийн синус юм.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хөл ба эсрэг талын өнцгөөр тодорхойлох томъёо

S = a*b/2*tg(β),
Үүнд: a, b нь гурвалжны хөл, tg(β) нь a, b хөлүүдийн холбогдсон өнцгийн тангенс юм.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Хоёр тал нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Эдгээр талуудыг талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд нөгөө тал нь суурь юм. Та ижил тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолохдоо дараах томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно.

Хоёр талт гурвалжны талбайг тооцоолох үндсэн томъёо

S=h*c/2,
Энд c нь гурвалжны суурь, h нь гурвалжны суурь руу буулгасан өндөр.

Хажуу тал ба суурь дээрх ижил өнцөгт гурвалжны томъёо

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Энд c нь гурвалжны суурь, a нь тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг талын утга юм.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Бүх тал нь тэнцүү гурвалжинг тэгш талт гурвалжин гэнэ. Тэгш талт гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглаж болно.
S = (√3*a*a)/4,
Үүнд: a нь тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт.

Дээрх томъёонууд нь гурвалжны шаардлагатай талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Гурвалжны хоорондох зайг тооцоолохын тулд гурвалжны төрөл, тооцоололд ашиглаж болох боломжтой өгөгдлийг харгалзан үзэх шаардлагатай гэдгийг санах нь чухал юм.

Гурвалжин бол гурван тал, гурван оройноос бүрддэг хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Энгийн байдлаас шалтгаалан гурвалжинг эрт дээр үеэс янз бүрийн хэмжилт хийхэд ашиглаж ирсэн бөгөөд өнөөдөр энэ дүрс нь практик болон өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай байж болно.

Гурвалжингийн онцлог

Энэ зургийг эрт дээр үеэс тооцоололд ашиглаж ирсэн, тухайлбал, маркшейдер, одон орон судлаачид талбай, зайг тооцоолохын тулд гурвалжингийн шинж чанарыг ашигладаг. Энэ зургийн талбайгаар дамжуулан ямар ч n-gon-ийн талбайг илэрхийлэхэд хялбар байдаг бөгөөд энэ шинж чанарыг эртний эрдэмтэд олон өнцөгтийн талбайн томъёог гаргахад ашигладаг байжээ. Гурвалжин, ялангуяа тэгш өнцөгт гурвалжинтай тогтмол ажиллах нь математикийн бүхэл бүтэн хэсэг болох тригонометрийн үндэс суурь болсон.

гурвалжны геометр

Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг эрт дээр үеэс судалж ирсэн: гурвалжингийн талаархи хамгийн эртний мэдээллийг 4000 жилийн настай Египетийн папириас олжээ. Дараа нь уг зургийг судалжээ Эртний Грекгурвалжны геометрт хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь Евклид, Пифагор, Херон нар юм. Гурвалжны судалгаа хэзээ ч зогссонгүй, 18-р зуунд Леонхард Эйлер дүрсийн ортоцентр ба Эйлерийн тойрог гэсэн ойлголтыг гаргаж ирэв. 19-20-р зууны зааг дээр гурвалжны талаар бүх зүйл мэдэгдэж байсан мэт санагдах үед Фрэнк Морли гурвалжны өнцгийн теоремыг, Вацлав Сиерпински фрактал гурвалжинг санал болгов.

Сургуулийн геометрийн хичээлээс бидэнд танил болсон хэд хэдэн төрлийн хавтгай гурвалжнууд байдаг.

• хурц өнцөгт - зургийн бүх булангууд нь хурц;
• мохоо - зураг нь нэг мохоо өнцөгтэй (90 градусаас их);
• тэгш өнцөгт - зураг нь 90 градустай тэнцүү нэг зөв өнцгийг агуулна;
• isosceles - хоёр тэнцүү талтай гурвалжин;
• тэгш талт - бүх тэгш талуудтай гурвалжин.
• IN жинхэнэ амьдралБүх төрлийн гурвалжин байдаг бөгөөд зарим тохиолдолд бид геометрийн дүрсийн талбайг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Гурвалжны талбай

Талбай гэдэг нь тухайн зураг хавтгайд хэр их хүрээд байгааг тооцоолдог. Гурвалжны талбайг талууд, өндөр, өнцөг, бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, түүнчлэн Хероны томъёог ашиглан эсвэл хавтгайг хязгаарлаж буй шугамууд дээр давхар интегралыг тооцоолох замаар зургаан аргаар олж болно. Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн энгийн томъёо нь:

a нь гурвалжны тал, h нь түүний өндөр.

Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр геометрийн дүрсийн өндрийг олох нь бидэнд үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Манай тооны машины алгоритм нь дараахь зүйлийг мэдэж, талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

• гурван тал;
• хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
• нэг тал ба хоёр булан.

Талбайг гурван талаас нь тодорхойлохын тулд бид Хероны томъёог ашиглана:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

Энд p нь гурвалжны хагас периметр юм.

Хоёр тал ба өнцгийн талбайн тооцоог сонгодог томъёоны дагуу хийнэ.

S = a × b × sin(alfa),

альфа нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг юм.

Нэг тал ба хоёр булангаар дамжин өнгөрөх талбайг тодорхойлохын тулд бид дараахь харьцааг ашиглана.

a / нүгэл (альфа) = б / нүгэл (бета) = в / нүгэл (гамма)

Энгийн пропорцийг ашиглан бид хоёр дахь талын уртыг тодорхойлж, дараа нь S = a × b × sin (alfa) томъёог ашиглан талбайг тооцоолно. Энэхүү алгоритм нь бүрэн автоматжуулсан бөгөөд та зөвхөн өгөгдсөн хувьсагчдыг оруулаад үр дүнгээ авахад хангалттай. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Бодит амьдралын жишээнүүд

хучилтын хавтан

Та гурвалжин хавтангаар шалыг хучихыг хүсч байгаа бөгөөд шаардлагатай материалын хэмжээг тодорхойлохын тулд нэг хавтангийн талбай, шалны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй гэж бодъё. Хэмжээ нь a = 20 см, b = 21 см, в = 29 см хэмжээтэй хавтанг ашиглан 6 квадрат метр гадаргууг боловсруулах шаардлагатай. Мэдээжийн хэрэг тооцоолуур нь гурвалжны талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашигладаг. үр дүнг өгөх болно:

Тиймээс нэг хавтангийн элементийн талбай 0.021 болно хавтгай дөрвөлжин метр, мөн шалыг гоё болгохын тулд танд 6/0.021 = 285 гурвалжин хэрэгтэй болно. 20, 21, 29 тоонууд нь Пифагорын гурвалсан тоог бүрдүүлдэг. Энэ нь зөв, манай тооны машин гурвалжны бүх өнцгийг тооцоолсон бөгөөд гамма өнцөг нь яг 90 градус байна.

сургуулийн даалгавар

Сургуулийн асуудлын хувьд та гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй, учир нь тал нь 5 см, шархны альфа ба бета өнцөг нь тус тус 30 ба 50 градус байна. Энэ асуудлыг гараар шийдэхийн тулд эхлээд эсрэг талын өнцгийн синус ба талуудын харьцааг ашиглан b талын утгыг олоод дараа нь S = a × b × sin(alfa) энгийн томъёогоор талбайг тодорхойлно. Цаг хэмнэж, тооцоолуурын маягт руу өгөгдлийг оруулаад шуурхай хариулт авцгаая

Тооцоологч ашиглахдаа өнцөг болон талыг зөв зааж өгөх нь чухал бөгөөд эс тэгвээс үр дүн нь буруу байх болно.

Дүгнэлт

Гурвалжин бол бодит амьдрал дээр ч, хийсвэр тооцоололд ч тохиолддог өвөрмөц дүрс юм. Ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг олохын тулд манай онлайн тооцоолуурыг ашиглана уу.

Эсрэг оройноос) ба үүссэн бүтээгдэхүүнийг хоёр хуваана. Хэлбэрийн хувьд энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S = ½ * a * h,

хаана:
S нь гурвалжны талбай,
a нь түүний хажуугийн урт,
h нь энэ тал руу буулгасан өндөр.

Хажуугийн урт ба өндрийг ижил нэгжээр харуулах ёстой. Энэ тохиолдолд гурвалжны талбай нь харгалзах "" нэгжид гарч ирнэ.

Жишээ.
Скален гурвалжны 20 см урттай талуудын аль нэг дээр эсрэг талын оройноос 10 см урттай перпендикуляр буулгасан байна.
Гурвалжны талбай шаардлагатай.
Шийдэл.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Хэрэв та масштабтай гурвалжны аль ч хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг мэддэг бол дараах томъёог ашиглана уу.

S = ½ * a * b * sinγ,

Үүнд: a, b нь дурын хоёр талын урт, γ нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг юм.

Практикт, жишээлбэл, хэмжих үед газар, дээрх томьёог ашиглах нь заримдаа хэцүү байдаг, учир нь нэмэлт барилга байгууламж, өнцгийг хэмжих шаардлагатай байдаг.

Хэрэв та гурвалжны гурван талын уртыг мэддэг бол Хэроны томъёог ашиглана уу.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c нь гурвалжны талуудын урт,
р – хагас периметр: p = (a+b+c)/2.

Хэрэв бүх талуудын уртаас гадна гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиус нь мэдэгдэж байгаа бол дараах нягт томъёог ашиглана уу.

Үүнд: r нь бичээстэй тойргийн радиус (p нь хагас периметр).

Хязгаарлагдсан тойргийн масштабтай гурвалжны талбай ба түүний талуудын уртыг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Үүнд: R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус.

Хэрэв гурвалжны аль нэг тал ба гурван өнцгийн урт нь мэдэгдэж байвал (зарчмын хувьд хоёр нь хангалттай - гурав дахь нь гурвалжны гурван өнцгийн нийлбэрийн тэгшитгэлээс тооцогдоно - 180º), дараа нь ашиглана уу. томъёо:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

энд α нь а талын эсрэг талын өнцгийн утга;
β, γ нь гурвалжны үлдсэн хоёр өнцгийн утгууд юм.

Төрөл бүрийн элементүүд, түүний дотор талбайг олох хэрэгцээ гурвалжин, манай эринээс олон зууны өмнө эртний Грекийн эрдэмт одон орон судлаачдын дунд гарч ирсэн. Талбай гурвалжинтооцоолж болно янз бүрийн арга замуудянз бүрийн томъёог ашиглан. Тооцооллын арга нь аль элементээс хамаарна гурвалжинмэдэгдэж байна.

Заавар

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид b, c хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн утгыг мэдэж байгаа бол талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = (bcsin?)/2.

Хэрэв нөхцлөөс бид a, b хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгээгүй өнцгийн утгыг мэдэж байгаа бол талбай гурвалжин ABC-ийг дараах байдлаар олно.
Өнцөг олох уу?, нүгэл үү? = bsin? / a, цааш нь хүснэгтэд бид өнцгийг өөрөө тодорхойлно.
Өнцөг олох уу? = 180°-?-?.
Талбайг өөрөө олоорой S = (absin?)/2.

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид зөвхөн гурван талын утгыг мэддэг бол гурвалжин a, b ба c, дараа нь талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , энд p нь хагас периметр p = (a+b+c)/2

Хэрэв асуудлын нөхцөл байдлаас бид өндрийг мэдэж байгаа бол гурвалжин h ба энэ өндрийг доошлуулах тал, дараа нь талбай гурвалжин ABC томъёогоор:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Хэрэв бид талуудын үнэ цэнийг мэддэг бол гурвалжин a, b, c ба өгөгдсөн ойролцоо хязгаарлагдсан радиус гурвалжин R, дараа нь энэ талбай гурвалжин ABC-ийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
S = abc/4R.
Хэрэв гурван тал a, b, c ба дотор нь бичээсийн радиусыг мэддэг бол талбайг тодорхойлно гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = pr, энд p нь хагас периметр, p = (a+b+c)/2.

Хэрэв ABC тэгш талт бол талбайг дараах томъёогоор олно.
S = (a^2v3)/4.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт байвал талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, энд c гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин бол талбайг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
S = ab/2, a ба b нь хөл юм гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин бол талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = c^2/4 = a^2/2, энд c нь гипотенуз юм гурвалжин, a=b - хөл.

Холбогдох видео

Эх сурвалжууд:

• гурвалжны талбайг хэрхэн хэмжих вэ

Зөвлөгөө 3: Хэрэв та өнцгийг мэддэг бол гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Зөвхөн нэг параметрийг (өнцгийн утга) мэдэх нь талбайг олоход хангалтгүй юм tre дөрвөлжин . Хэрэв ямар нэгэн нэмэлт хэмжээс байгаа бол талбайг тодорхойлохын тулд өнцгийн утгыг мэдэгдэж буй хувьсагчийн аль нэг болгон ашигладаг томъёоны аль нэгийг сонгож болно. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэд хэдэн томъёог доор жагсаав.

Заавар

Хэрэв хоёр талаас үүссэн өнцгөөс (γ) гадна tre дөрвөлжин , эдгээр талуудын урт (A ба B) нь бас мэдэгдэж байна, тэгвэл талбай(S) тоонуудыг хажуугийн урт ба энэ мэдэгдэж буй өнцгийн синусын хагасын үржвэрээр тодорхойлж болно: S=½×A×B×sin(γ).

Гурвалжин бол хамгийн түгээмэл зүйлүүдийн нэг юм геометрийн хэлбэрүүд, бидний сайн мэддэг бага сургууль. Гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулт геометрийн хичээл дээр байгаа бүх сурагчдад тулгардаг. Тэгэхээр, өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох ямар онцлог шинж чанаруудыг ялгаж болох вэ? Энэ нийтлэлд бид ийм ажлыг гүйцэтгэхэд шаардлагатай үндсэн томъёог авч үзэхээс гадна гурвалжны төрлүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно.

Гурвалжны төрлүүд

Та гурвалжны талбайг бүрэн олох боломжтой янз бүрийн арга замууд, учир нь геометрт гурван өнцөг агуулсан нэгээс олон төрлийн дүрс байдаг. Эдгээр төрлүүд нь:

• мохоо.
• Тэгш талт (зөв).
• Зөв гурвалжин.
• Хоёр талт.

Одоо байгаа гурвалжны төрөл бүрийг нарийвчлан авч үзье.

Ийм геометрийн дүрс нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн түгээмэл гэж тооцогддог. Дурын гурвалжин зурах шаардлагатай бол энэ сонголт нь аврах ажилд ирдэг.

Цочмог гурвалжинд нэрнээс нь харахад бүх өнцөг нь хурц бөгөөд 180 ° хүртэл нэмэгддэг.

Ийм гурвалжин нь маш түгээмэл боловч хурц өнцөгт гурвалжингаас арай бага тохиолддог. Жишээлбэл, гурвалжинг шийдэхдээ (өөрөөр хэлбэл та түүний хэд хэдэн тал, өнцгийг мэддэг бөгөөд үлдсэн элементүүдийг олох хэрэгтэй) заримдаа та өнцөг нь мохоо эсвэл биш эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Косинус нь сөрөг тоо юм.

Нэг өнцгийн утга нь 90 ° -аас хэтэрсэн тул үлдсэн хоёр өнцөг нь жижиг утгыг (жишээлбэл, 15 ° эсвэл бүр 3 °) авч болно.

Гурвалжны талбайг олохын тулд энэ төрлийн, та зарим нэг нарийн ширийн зүйлийг мэдэх хэрэгтэй бөгөөд үүнийг бид дараа нь ярих болно.

Энгийн ба тэгш өнцөгт гурвалжин

Энгийн олон өнцөгт нь бүх тал ба өнцөг нь тэнцүү n өнцөг агуулсан дүрс юм. Энэ бол зөв гурвалжин юм. Гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180° учир гурван өнцөг тус бүр нь 60° байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжинг шинж чанараараа адил талт дүрс гэж нэрлэдэг.

Ердийн гурвалжинд зөвхөн нэг тойргийг дүрсэлж, зөвхөн нэг тойргийг тойрон хүрээлж болох бөгөөд тэдгээрийн төвүүд нь нэг цэг дээр байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Адил талт төрлөөс гадна түүнээс бага зэрэг ялгаатай тэгш өнцөгт гурвалжинг ялгаж болно. Ийм гурвалжинд хоёр тал ба хоёр өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байх ба гурав дахь тал нь (тэнцүү өнцөгүүдтэй залгаа) нь суурь юм.

Зураг дээр D ба F өнцөгүүд нь тэнцүү, DF нь суурь нь тэгш өнцөгт DEF гурвалжинг үзүүлэв.

Зөв гурвалжин

Тэгш өнцөгт гурвалжнуудын нэг нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл 90°-тай тэнцүү байдаг тул ийм нэртэй болсон. Нөгөө хоёр өнцөг нь 90 ° хүртэл нэмэгддэг.

90 ° өнцгийн эсрэг байрлах ийм гурвалжны хамгийн том тал нь гипотенуз, нөгөө хоёр тал нь хөл юм. Энэ төрлийн гурвалжны хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэнэ.

Хөлний уртын квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү байна.

Зураг дээр АС гипотенуз, AB ба ВС хөлтэй BAC тэгш өнцөгт гурвалжинг үзүүлэв.

Тэгш өнцөгтэй гурвалжны талбайг олохын тулд та мэдэх хэрэгтэй тоон утгуудтүүний хөл.

Өгөгдсөн зургийн талбайг олох томъёонууд руу шилжье.

Талбайг олох үндсэн томъёо

Геометрийн хувьд ихэнх гурвалжны, тухайлбал хурц өнцөгт, мохоо өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой хоёр томьёог ялгаж болно. Тэдгээрийг тус бүрд нь дүн шинжилгээ хийцгээе.

Хажуу болон өндрөөрөө

Энэхүү томъёо нь бидний авч үзэж буй зургийн талбайг олоход түгээмэл байдаг. Үүнийг хийхийн тулд хажуугийн урт, түүнд зурсан өндрийн уртыг мэдэхэд хангалттай. Томъёо нь өөрөө (суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагас) дараах байдалтай байна.

Энд А тал байна өгөгдсөн гурвалжин, H нь гурвалжны өндөр.

Жишээлбэл, ACB хурц өнцөгт гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний AB талыг CD өндрөөр үржүүлж, үүссэн утгыг хоёр хуваах хэрэгтэй.

Гэсэн хэдий ч ийм байдлаар гурвалжны талбайг олох нь үргэлж хялбар байдаггүй. Жишээлбэл, энэ томьёог мохоо өнцөгт гурвалжны хувьд ашиглахын тулд та түүний аль нэг талыг үргэлжлүүлж, зөвхөн дараа нь өндрийг зурах хэрэгтэй.

Практикт энэ томъёог бусдаас илүү олон удаа ашигладаг.

Хоёр тал, булан

Энэ томьёо нь өмнөхтэй адил ихэнх гурвалжинд тохиромжтой бөгөөд утгаараа гурвалжны хажуу ба өндрийн талбайг олох томъёоны үр дагавар юм. Өөрөөр хэлбэл, хэлэлцэж буй томъёог өмнөхөөсөө амархан гаргаж болно. Түүний хэллэг дараах байдалтай байна.

S = ½*sinO*A*B,

Энд А ба В нь гурвалжны талууд, О нь А ба В талуудын хоорондох өнцөг юм.

Өнцгийн синусыг Зөвлөлтийн нэрт математикч В.М.Брадисын нэрэмжит тусгай хүснэгтээс харж болно гэдгийг санаарай.

Одоо зөвхөн гурвалжны онцгой төрлүүдэд тохирох бусад томьёо руу шилжье.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай

Гурвалжинд өндрийг зурах хэрэгцээг багтаасан бүх нийтийн томъёоноос гадна тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг түүний хөлөөс олж болно.

Тиймээс, тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүний хөлний үржвэрийн тал хувь, эсвэл:

a ба b нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөл юм.

зөв гурвалжин

Энэ төрөлгеометрийн дүрсүүд нь түүний талбайг зөвхөн нэг талынх нь заасан утгыг олох боломжтой байдгаараа ялгаатай (ердийн гурвалжны бүх талууд тэнцүү тул). Тиймээс "талууд тэнцүү байх үед гурвалжны талбайг олох" даалгавартай тулгарсны дараа та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

S = A 2 *√3 / 4,

Энд А нь тэгш талт гурвалжны тал юм.

Хероны томъёо

Гурвалжны талбайг олох сүүлчийн сонголт бол Хероны томъёо юм. Үүнийг ашиглахын тулд та зургийн гурван талын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Хероны томъёо дараах байдалтай байна.

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

a, b ба c нь өгөгдсөн гурвалжны талууд юм.

Заримдаа даалгавар өгдөг: "энгийн гурвалжны талбай нь түүний хажуугийн уртыг олох явдал юм." Энэ тохиолдолд та ердийн гурвалжны талбайг олохын тулд бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан томьёог ашиглах хэрэгтэй бөгөөд үүнээс хажуугийн (эсвэл квадратын) утгыг гаргаж авах хэрэгтэй.

A 2 \u003d 4S / √3.

Шалгалтын асуудлууд

Математикийн ТЕГ-ын даалгаварт олон томьёо байдаг. Нэмж дурдахад ихэвчлэн алаг цаасан дээр гурвалжны талбайг олох шаардлагатай байдаг.

Энэ тохиолдолд өндрийг зургийн аль нэг талд нь зурж, уртыг нүдээр тодорхойлж, талбайг олох бүх нийтийн томъёог ашиглах нь хамгийн тохиромжтой.

Тиймээс, өгүүлэлд дурдсан томъёог судалсны дараа ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг олоход асуудал гарахгүй.