Функцийн алгоритмын хамгийн их цэгийг ол. Функцийн утга ба хамгийн их ба хамгийн бага оноо
Энэ нийтлэлээс уншигч функциональ үнэ цэнийн экстремум гэж юу болох, мөн түүнийг практикт ашиглах онцлог шинж чанаруудын талаар мэдэх болно. Ийм ойлголтыг судлах нь дээд математикийн үндсийг ойлгоход маш чухал юм. Энэ сэдэв нь хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах үндэс суурь юм.
-тай холбоотой
Экстрим гэж юу вэ?
Сургуулийн хичээл дээр "экстремум" гэсэн ойлголтын олон тодорхойлолтыг өгдөг. Энэхүү нийтлэл нь асуудлыг мэдэхгүй хүмүүст энэ нэр томъёоны талаар хамгийн гүнзгий бөгөөд тодорхой ойлголт өгөх зорилготой юм. Тиймээс энэ нэр томъёо нь тодорхой багц дээр функциональ интервал нь хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгыг хэр хэмжээгээр олж авдаг болохыг ойлгодог.
Экстремум нь функцын хамгийн бага утга ба нэгэн зэрэг хамгийн их утга юм. График дээрх аргументын хамгийн бага ба хамгийн дээд цэгүүд байдаг. Энэхүү ойлголтыг ашигладаг үндсэн шинжлэх ухаанууд:
- статистик;
- машиныг хянах;
- эконометрик.
Өгөгдсөн функцийн дарааллыг тодорхойлоход туйлын цэгүүд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. График дээрх координатын систем хамгийн сайнаараафункциональ өөрчлөлтөөс хамааран туйлын байрлалын өөрчлөлтийг харуулдаг.
Дериватив функцийн экстремум
Мөн "үүсмэл" гэж байдаг. Энэ нь экстремум цэгийг тодорхойлох шаардлагатай. Хамгийн бага эсвэл хамгийн их оноог хамгийн том, хамгийн бага утгатай андуурахгүй байх нь чухал. Эдгээр нь ижил төстэй мэт санагдаж болох ч өөр өөр ойлголтууд юм.
Функцийн утга нь хамгийн их цэгийг хэрхэн олохыг тодорхойлох гол хүчин зүйл юм. Дериватив нь утгуудаас үүсдэггүй, гэхдээ зөвхөн нэг эсвэл өөр дарааллаар түүний туйлын байрлалаас үүсдэг.
Дериватив нь өөрөө хамгийн том эсвэл хамгийн бага утга биш харин туйлын цэгүүдийн өгөгдөл дээр үндэслэн тодорхойлогддог. Оросын сургуулиудад эдгээр хоёр ойлголтын хоорондох шугамыг тодорхой заагаагүй нь энэ сэдвийг ерөнхийд нь ойлгоход нөлөөлдөг.
Одоо "хурц экстремум" гэж ийм зүйлийг авч үзье. Өнөөдрийг хүртэл цочмог хамгийн бага утга, цочмог дээд утга байна. Функцийн чухал цэгүүдийн Оросын ангиллын дагуу тодорхойлолтыг өгсөн болно. Экстремум цэгийн тухай ойлголт нь график дээрх чухал цэгүүдийг олох үндэс суурь юм.
Ийм ойлголтыг тодорхойлохын тулд Фермагийн теоремыг ашигладаг. Энэ нь туйлын цэгүүдийг судлахад хамгийн чухал бөгөөд тэдгээрийн оршин тогтнох талаар тодорхой ойлголт өгдөг. Хэт их байдлыг хангахын тулд график дээр буурах эсвэл нэмэгдүүлэх тодорхой нөхцлийг бүрдүүлэх нь чухал юм.
"Хамгийн дээд цэгийг хэрхэн олох вэ" гэсэн асуултанд үнэн зөв хариулахын тулд та дараах заалтуудыг дагаж мөрдөх ёстой.
- Диаграм дээрх тодорхой тодорхой хэсгийг олох.
- Функцийн дериватив ба экстремум цэгийг хай.
- Аргументийн домайн стандарт тэгш бус байдлыг шийд.
- График дээрх цэг ямар функцээр тодорхойлогддог, тасралтгүй байдгийг батлах чадвартай байх.
Анхаар!Функцийн эгзэгтэй цэгийг хайх нь хамгийн багадаа хоёр дахь эрэмбийн дериватив байгаа тохиолдолд л боломжтой бөгөөд энэ нь экстремум цэгийн өндөр хувь хэмжээгээр баталгааждаг.
Функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл
Экстремум оршин тогтнохын тулд хамгийн бага ба хамгийн дээд цэгүүд байх нь чухал юм. Хэрэв энэ дүрмийг зөвхөн хэсэгчлэн дагаж мөрдвөл экстремум байх нөхцөлийг зөрчсөн болно.
Аливаа байрлал дахь функц бүр шинэ утгыг тодорхойлохын тулд ялгах ёстой. Цэг алга болох тохиолдол нь ялгах цэгийг олох гол зарчим биш гэдгийг ойлгох нь чухал.
Хурц экстремум, мөн функциональ минимум нь хэт утгыг ашиглан математикийн асуудлыг шийдвэрлэх маш чухал тал юм. Энэ бүрэлдэхүүн хэсгийг илүү сайн ойлгохын тулд функцийг хуваарилахдаа хүснэгтэн утгыг анхаарч үзэх нь чухал юм.
| Утгыг бүрэн судлах | Утгыг зурах |
| 1. Утгын өсөлт, бууралтын цэгийг тодорхойлох. 2. Координатын тэнхлэгтэй тасрах цэг, экстремум ба огтлолцлыг олох. 3. График дээрх байрлалын өөрчлөлтийг тодорхойлох үйл явц. 4. Асимптот байгаа эсэхийг харгалзан гүдгэр ба гүдгэрийн индекс, чиглэлийг тодорхойлох. 5. Координатыг тодорхойлох үүднээс судалгааны хураангуй хүснэгтийг бий болгох. 6. Хэт ба цочмог цэгүүдийн өсөлт, бууралтын интервалыг олох. 7. Муруйн гүдгэр ба хотгорыг тодорхойлох. 8. Судалгааны үндсэн дээр график байгуулах нь хамгийн бага эсвэл дээд хэмжээг олох боломжийг олгодог. |
Экстремумуудтай ажиллах шаардлагатай үед гол элемент бол түүний графикийг яг нарийн барих явдал юм. Сургуулийн багш нар ийм чухал зүйлд их анхаарал хандуулдаггүй бөгөөд энэ нь боловсролын үйл явцыг бүдүүлгээр зөрчсөн явдал юм. Графикийг зөвхөн функциональ өгөгдөл, хурц экстремумын тодорхойлолт, түүнчлэн график дээрх цэгүүдийн судалгааны үр дүнд үндэслэн бүтээдэг. Функцийн деривативын огцом экстремумуудыг график дээр харуулав тодорхой утгууд, асимптотыг тодорхойлох стандарт процедурыг ашиглан. |
Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?
Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утга юм.
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) байх шаардлагатай нөхцөл нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, эсвэл хязгааргүй, эсвэл тэг болно. байхгүй.
Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэг дээрх дериватив нь энэ цэгт экстремумгүй функц байхгүй бол алга болж, хязгааргүйд хүрч эсвэл байхгүй болно.
Функцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юу вэ?
Эхний нөхцөл:
Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэгт өөрөө f(x) функц байна. дээд тал нь
Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэгт өөрөө f(x) функц байна. хамгийн бага f(x) функц энд тасралтгүй байх нөхцөлд.
Үүний оронд та функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглаж болно:
x = цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёр дахь уламжлал f??(а) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимумтай, эерэг бол минимумтай байна.
Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?
Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. . Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцийн график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгуудыг бид сонирхож байна, мөн график эвдэрсэн утгууд.
Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.
y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.
Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2
Бид тэгшитгэлийг шийднэ: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Функц нь аргументийн энэ утгын хувьд байна экстремум. Үүнийг авахын тулд олох, бид "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн том ба хамгийн бага үнэ цэнэ?
Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхөд деривативын тэмдэг "нэмэх"-ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэгт хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.
Үзсэн жишээний хувьд:
Бид эгзэгтэй цэгийн зүүн талд байгаа аргументийн дурын утгыг авна: x = -1
x = -1 үед деривативын утга нь у байх болно? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (өөрөөр хэлбэл хасах тэмдэг).
Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1
x = 1-ийн хувьд деривативын утга нь y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (өөрөөр хэлбэл нэмэх тэмдэг) болно.
Таны харж байгаагаар эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх болж өөрчлөгдсөн. Энэ нь x0-ийн эгзэгтэй утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.
Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга интервал дээр(сегмент дээр) ижил журмаар олно, зөвхөн бүх чухал цэгүүд заасан интервалд багтахгүй байж магадгүй гэдгийг харгалзан үзнэ. Интервалаас гадуур байгаа эдгээр чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байгаа бол энэ нь хамгийн их эсвэл хамгийн багатай байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгуудыг харгалзан үзнэ.
Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё
y (x) \u003d 3 нүгэл (x) - 0.5x
интервалтайгаар:
Тэгэхээр функцийн дериватив нь байна
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ
cos(x) = 0.5/3 = 0.16667
x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.
Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (интервалд ороогүй)
x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (интервалд ороогүй)
Бид аргументийн эгзэгтэй утгуудаас функцийн утгыг олдог.
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Эндээс харахад [-9; 9] функц нь x = -4.88 үед хамгийн их утгатай байна:
x = -4.88, y = 5.398,
ба хамгийн бага нь - x = 4.88:
x = 4.88, у = -5.398.
Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганц л чухал цэг бий: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398 байна.
Бид интервалын төгсгөлд функцийн утгыг олно.
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
Интервал дээр [-6; -3] бид функцийн хамгийн том утгатай байна
x = -4.88 үед у = 5.398
хамгийн бага утга нь
x = -3 үед y = 1.077
Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хонхор талыг тодорхойлох вэ?
y \u003d f (x) шугамын бүх гулзайлтын цэгийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. , хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжих үед хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлгах болно. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөхгүй бол нугалах зүйл байхгүй болно.
Тэгшитгэлийн үндэс f ? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун энд дээш хонхойж, сөрөг байвал доошоо байна.
Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?
Оношилгооны талбарт дифференциал болох f(x, y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
1) эгзэгтэй цэгүүдийг олж, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийд
fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0
2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.
бүх цэгийн хувьд (x; y) P0-д хангалттай ойрхон байна. Хэрэв ялгаа нь эерэг тэмдэгтэй хэвээр байвал P0 цэг дээр бид хамгийн бага, сөрөг бол хамгийн их утгатай байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол Р0 цэгт экстремум байхгүй болно.
Үүний нэгэн адил функцийн экстремумыг илүү олон тооны аргументуудад тодорхойлно.
Banderos группын албан ёсны вэбсайт гэж юу вэ
Орос хэлээр ярьдаг хип хоп уран бүтээлчдийн сайтууд: mad-a.ru - MAD-A рэп уран бүтээлчийн албан ёсны сайт (зураг, хөгжим, намтар); st1m.ru - рэп уран бүтээлч St1m-ийн албан ёсны вэбсайт (хөгжим, видео, гэрэл зураг, концертын мэдээлэл, мэдээ, форум); all1.ru - бүтээлч нийгэмлэгийн албан ёсны вэбсайт
Ямар тохиолдолд замын цагдаагийн байцаагч тээврийн хэрэгслийг зогсоох эрхтэй
"Цагдаагийн албаны тухай" хуулийн 13 дугаар зүйлийн 20 дахь хэсэгт заасныг үндэслэн замын цагдаагийн байцаагч зогсоох эрхтэй. тээврийн хэрэгсэл(цаашид - ТС), аюулгүй байдлыг хангахын тулд цагдаагийн байгууллагад өгсөн үүргийг биелүүлэх шаардлагатай бол замын хөдөлгөөнболон бусад тохиолдолд (доорх бүрэн жагсаалтыг үзнэ үү). Хэрэв байцаагч нүдээр
Ажлын номыг ажил олгогч санаатайгаар алдахаас хэрхэн хамгаалах вэ
Ажил олгогчийн зүгээс хөдөлмөрийн дэвтрийг санаатайгаар алдах (гэмтэл) авахаас хамгаалахын тулд аж ахуйн нэгжийн ажилтан хөдөлмөрийн дэвтрийн хуулбарыг хууль ёсны аливаа арга хэрэгслээр, жишээлбэл, зээл авах шалтаг ашиглан олж авахыг зөвлөж байна. аюулгүй газар хадгална уу. Хэрэв шударга бус ажил олгогч нь ажилтны өөрийн аж ахуйн нэгжид ажиллаж байсан баримтыг санаатайгаар устгасан бол (хөдөлмөрийн хууль тогтоомж зөрчигдсөнийг илрүүлэхгүйн тулд.
Бүх утасны тусламжийг интернетээс хаанаас олох вэ
Интернет дэх "Шар хуудас" сайтууд: yellow-pages.ru - онлайн сэтгүүллавлагаа мэдээлэл "Шар хуудас"; ypag.ru - ТУХН-ийн шар хуудас; yellowpages.rin.ru - шар хуудас
Радианд хэдэн градус байна
1 минут нуман (1′) = 60 секунд нуман (60″) 1 градус (1°) = 60 минут нуман (60′) = 3600 секунд нуман (3600″) 1 радиан ≈ 57.295779513° ≈57 °17&prim
Хөгжим бол урлагийн төрөл юм. Хөгжимд сэтгэлийн байдал, мэдрэмжийг дамжуулах хэрэгсэл бол тусгайлан зохион байгуулалттай дуу авиа юм. Хөгжмийн гол элементүүд ба илэрхийлэх хэрэгсэл нь: аялгуу, хэмнэл, хэмжигдэхүүн, хэмнэл, динамик, тембр, эв зохицол, багаж хэрэгсэл гэх мэт. Хөгжим бол хүүхдийн урлагийн амтыг төлөвшүүлэх маш сайн хэрэгсэл юм. Хөгжим нь сэтгэлийн байдалд нөлөөлдөг
2005 онд Формула 1 гран приг аль улсууд зохион байгуулсан бэ?
2005 онд дэлхийн аварга шалгаруулах тэмцээн нь Австрали, Малайз, Бахрейн, Сан-Марино, Испани, Канад, Монако, АНУ, Франц, Их Британи, Герман, Унгар, Турк, Итали зэрэг улсуудад зохиогдсон 19 Гран При тэмцээнээс бүрдсэн. Бельги, Бразил, Япон, Хятад. Европын Гран При Германд (Нюрбург) болсон. Дэлгэрэнгүйг http:/ вэб сайтаас авна уу.
Алокази гэж юу вэ
Alocasia (Alocasia) Aroid гэр бүл. эх орон Өмнөд Америк. ховор ургамалхүлэмжийн нөхцлийг (чийг ба дулаан) хайрладаг тул цэцэг тариалагчдын дунд өргөн хэрэглэгддэггүй. Алоказиа үзэсгэлэнтэй доторх ургамал, том шүүрсэн зууван (эсвэл зүрх хэлбэртэй) навчтай, үүнээс 6-7-оос ихгүй байна. Хамгийн түгээмэл
"Бид энэ цэцгийг аль хэдийн үнэрлэсэн" гэсэн хэллэг ямар утгатай вэ?
"Бид энэ цэцгийг аль хэдийн үнэртэж байна" гэсэн хэллэг нь "Нэг тармуур дээр хоёр удаа гишгэх" гэсэн алдартай хэлц үгтэй ижил утгаар хэрэглэгддэг. танил таагүй нөхцөл байдалтай тулгарах. Энэ илэрхийлэл нь Илья Ильфийн "Залуу хатагтай нар" (1929) фельетонд дараах байдлаар олддог.
Панна кота жорыг хаанаас олох вэ?
Панна котта бол Итали, Эмилиа-Романья мужид бэлтгэдэг цөцгий, желатинаар хийсэн хамгийн нарийн бөгөөд сэтгэл татам амттан юм. Амттаны нэрийг шууд утгаараа "чанасан цөцгий" эсвэл "чанасан цөцгий" гэж орчуулдаг боловч үндсэндээ энэ нь янз бүрийн нэмэлтгүйгээр эсвэл цөцгийтэй пудинг юм.
90 градусын косинус хэд вэ
Косинус нь тригонометрийн функцүүдийн нэг бөгөөд үүнийг cos гэж тэмдэглэнэ. Тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцгийн косинус нь энэ өнцгөөс (зэргэлдээх хөл) гарч буй хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.
Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд нь тодорхой алгоритмын дагуу олддог функцийн экстремум цэгүүд юм. Энэ нь функцийг олох гол үзүүлэлт юм. Хэрэв x0-ийн тодорхой хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x) тэгш бус байдал байвал x0 цэг нь хамгийн бага цэг юм? f(x0) (хамгийн их цэгийн хувьд эсрэг талын тэгш бус байдал нь объектив f(x) ? f(x0) байна).
Заавар
1. Функцийн деривативыг ол. Дериватив нь тодорхой цэг дэх функцийн хувиралтыг тодорхойлдог бөгөөд тэг рүү чиглэсэн функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог. Үүнийг олохын тулд деривативын хүснэгтийг ашиглана уу. y = x3 функцийн дериватив нь y' = x2-тэй тэнцүү байна гэж үзье.
2. Энэ деривативыг тэгтэй тэнцүүл (энэ тохиолдолд x2=0).
3. Өгөгдсөн илэрхийллийн хувьсагчийн утгыг ол. Эдгээр нь энэ дериватив 0-тэй тэнцүү байх утгууд байх болно. Үүнийг хийхийн тулд илэрхийлэлд x-ийн оронд дурын тоог орлуулж, бүх илэрхийлэл тэг болно. 2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1 гэж хэл.
4. Олж авсан утгыг координатын шугамд хэрэглэж, авсан бүх интервалын деривативын тэмдгийг тооцоолно. Координатын шугам дээр цэгүүдийг тэмдэглэсэн бөгөөд үүнийг ишлэлийн оршил болгон авдаг. Интервал дээрх утгыг тооцоолохын тулд шалгуурт тохирсон дурын утгыг орлуулна уу. -1 интервалаас өмнөх өмнөх функцийн хувьд -2 утгыг илүүд үзэхийг зөвшөөрнө гэж бодъё. -1-ээс 1 хүртэлх зайд та 0-г, 1-ээс их бол 2-ыг сонгож болно. Деривативт эдгээр тоог орлуулж, деривативын тэмдгийг олоорой. Энэ тохиолдолд x = -2-тэй дериватив нь -0.24-тэй тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл. сөрөг ба энэ интервалд хасах тэмдэг байх болно. Хэрэв x=0 бол утга нь 2-той тэнцүү байх бөгөөд энэ интервал дээр эерэг тэмдэг тавигдана гэсэн үг юм. Хэрэв x=1 бол дериватив нь мөн -0.24-тэй тэнцүү байх тул хасах тэмдэг тавина.
5. Хэрэв координатын шугам дээрх цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн бага цэг, хэрэв нэмэхээс хасах бол энэ нь хамгийн дээд цэг юм.
Функцийн хамгийн их цэгүүдийг хамгийн бага цэгүүдийн хамт экстремум цэг гэж нэрлэдэг. Эдгээр цэгүүдэд функц нь зан үйлийн мөн чанарыг өөрчилдөг. Экстремумууд нь хязгаарлагдмал тооны интервалаар тодорхойлогддог бөгөөд байнга орон нутгийн шинж чанартай байдаг.
Заавар
1. Орон нутгийн экстремумыг олох үйл явцыг функцийн хайлт гэж нэрлэдэг бөгөөд функцийн эхний болон хоёр дахь деривативуудыг шалгах замаар гүйцэтгэдэг. Хайлтыг эхлүүлэхийн өмнө аргументуудын өгөгдсөн мужид хамаарах эсэхийг шалгаарай боломжит утгууд. F=1/x функцийн хувьд x=0 аргументын утгыг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй гэж хэлье. Эсвэл Y=tg(x) функцийн хувьд аргумент нь x=90° утгатай байж болохгүй.
2. Өгөгдсөн интервал бүрт Y функц ялгах боломжтой эсэхийг шалгаарай. Y'-ийн эхний деривативыг ол. Орон нутгийн дээд цэгт хүрэхээс өмнө функц нэмэгдэж, максимумыг давахад функц буурч байгаа бололтой. Өөрийн гэсэн арга замаар анхны дериватив физик утгафункцийн метаморфозын хурдыг тодорхойлдог. Функц өсч байгаа ч энэ үйл явцын хурд эерэг утгатай байна. Орон нутгийн максимумаар дамжин өнгөрөх үед функц буурч эхэлдэг бөгөөд функцийн хувиралын үйл явцын хурд сөрөг болдог. Функцийн метаморфозын хурд тэг рүү шилжих нь орон нутгийн хамгийн дээд цэгт тохиолддог.
3. Тиймээс, функцийг нэмэгдүүлэх сайт дээр түүний анхны дериватив нь энэ интервал дээрх аргументийн бүх утгын хувьд эерэг байна. Мөн эсрэгээр - функц буурч байгаа газар эхний деривативын утга тэгээс бага байна. Орон нутгийн хамгийн дээд цэг дээр эхний деривативын утга тэг байна. Функцийн локал максимумыг олохын тулд энэ функцийн эхний дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх x? цэгийг олох шаардлагатай бололтой. Судалж буй xx сегмент дээрх аргументийн аль нэг утгын хувьд? - сөрөг.
4. x-г олох уу? Y'=0 тэгшитгэлийг шийд. Хэрэв энэ цэг дэх функцийн хоёр дахь дериватив тэгээс бага байвал Y(x?)-ийн утга нь орон нутгийн максимум болно. Y-ийн хоёрдахь деривативыг ол" гэж үр дүнгийн илэрхийлэлд x \u003d x аргументын утгыг орлуулна уу? тооцооны үр дүнг тэгтэй харьцуулна.
5. -1-ээс 1 хүртэлх интервал дээрх Y=-x?+x+1 функц Y'=-2x+1 тогтмол уламжлалтай гэж үзье. x=1/2 үед дериватив нь 0-тэй тэнцүү байх ба энэ цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг. Y”=-2 функцийн хоёр дахь дериватив. Y=-x?+x+1 функцийн цэг тус бүрээр график байгуулж, абсцисса х=1/2 цэг нь тоон тэнхлэгийн өгөгдсөн сегмент дээрх орон нутгийн максимум мөн эсэхийг шалга.
Холбоотой видеонууд
Хэрэгтэй зөвлөгөө
Деривативыг олохын тулд шаардлагатай утгыг тооцоолж, үр дүнг харуулдаг онлайн үйлчилгээнүүд байдаг. Ийм сайтууд дээр 5-р дараалал хүртэлх деривативыг илрүүлэх боломжтой.
утга учир
Хамгийн агуу
утга учир
Хамгийн бага
Хамгийн дээд цэг
Доод цэг
Функцийн экстремум цэгүүдийг олох даалгаврыг стандарт схемийн дагуу 3 үе шаттайгаар шийддэг.
1-р алхам. Функцийн деривативыг ол
- Анхан функцийн деривативын томьёо, үүсмэлийг олохын тулд ялгах үндсэн дүрмийг цээжил.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Алхам 2. Деривативын тэгийг ол
- Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж деривативын тэгийг ол.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Алхам 3. Экстремум цэгүүдийг ол
- Деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлохын тулд зайны аргыг ашиглах;
- Хамгийн бага цэг дээр дериватив нь тэг байх ба тэмдгээ хасахаас нэмэх, хамгийн их цэг дээр нэмэхээс хасах руу өөрчлөгддөг.
Дараах асуудлыг шийдэхийн тулд энэ аргыг хэрэглэцгээе.
y=x3−243x+19 функцийн хамгийн их цэгийг ол.
1) Деривативыг ол: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) y′(x)=0 тэгшитгэлийг шийд: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Дериватив нь x>9 ба x-ийн хувьд эерэг байна<−9 и отрицательная при −9 Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлыг шийдэх шаардлагатай: Олон ажилд тусалдаг теорем: Хэрэв сегмент дээр зөвхөн нэг экстремум цэг байгаа бөгөөд энэ нь хамгийн бага цэг бол функцийн хамгийн бага утгад хүрнэ. Хэрэв энэ нь хамгийн дээд цэг бол хамгийн дээд цэгт хүрнэ. 14. Тодорхойгүй интегралын тухай ойлголт, үндсэн шинж чанарууд. Хэрэв функц е(х X, ба к- тэгвэл тоо Товчхондоо: тогтмолыг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно. Хэрэв функцууд е(х) ба g(х) интервал дээр эсрэг деривативтай байна X, дараа нь Товчхондоо: нийлбэрийн интеграл нь интегралын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв функц е(х) интервал дээр эсрэг дериватив байна X, дараа нь энэ интервалын дотоод цэгүүдийн хувьд: Товчхондоо: интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү. Хэрэв функц е(х) интервал дээр тасралтгүй байна Xбөгөөд энэ интервалын дотоод цэгүүдэд ялгах боломжтой бол: Товчхондоо: функцийн дифференциалын интеграл нь тухайн функц дээр интегралын тогтмолыг нэмсэнтэй тэнцүү байна. Математикийн нарийн тодорхойлолтыг өгье тодорхойгүй интегралын тухай ойлголтууд. эелдэг илэрхийлэл гэж нэрлэдэг функцийн интеграл f(x)
, хаана f(x)
- өгөгдсөн (мэдэгдэж байгаа) интеграл функц, dx
- дифференциал х
, тэмдэг нь үргэлж байдаг dx
. Тодорхойлолт. Тодорхой бус интегралфункц гэж нэрлэдэг F(x) + C
, дурын тогтмолыг агуулсан C
, түүний дифференциал нь тэнцүү байна интегралилэрхийлэл f(x)dx
, өөрөөр хэлбэл гэдгийг санаарай - функцийн дифференциалбөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогдоно. Асуудлыг хайж байна тодорхойгүй интегралфункцийг олох явдал юм деривативэнэ нь интегралтай тэнцүү байна. Энэ функц нь тогтмол хүртэл тодорхойлогддог, учир нь тогтмолын дериватив нь тэг байна. Жишээлбэл, энэ нь мэдэгдэж байгаа, дараа нь энэ нь болж байна Даалгавар хайж байна тодорхойгүй интегралФункцуудаас авах нь анх харахад тийм ч энгийн бөгөөд хялбар биш юм. Ихэнх тохиолдолд түүнтэй ажиллах ур чадвар байх ёстой тодорхойгүй интеграл,дадлага, байнгын хамт ирдэг туршлага байх ёстой Тодорхойгүй интегралын жишээнүүдийг шийдвэрлэх.Үүнийг анхаарч үзэх нь зүйтэй юм тодорхойгүй интегралуудЗарим функцээс (тэдгээрийн нэлээд олон байдаг) энгийн функцүүдэд авагдаагүй болно. 15. Үндсэн тодорхойгүй интегралын хүснэгт. Үндсэн томъёо 16. Тодорхой интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар. Интегралын геометрийн болон физикийн утга. y=ƒ(x) функцийг [a сегмент дээр тодорхойлъё; b], ба< b. Выполним следующие действия. 1. x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0) цэгүүдийг ашиглан 2. i = 1,2,...,n хэсэгчилсэн сегмент бүрт i є-тэй дурын цэгийг сонгож, түүн дээрх функцийн утгыг, өөрөөр хэлбэл ƒ (i-тэй) утгыг тооцоолно. 3. ƒ (i-ээс) функцийн олсон утгыг харгалзах хэсэгчилсэн сегментийн ∆x i =x i -x i-1 уртаар үржүүлнэ: ƒ (i-ээс) ∆х i. 4. Ийм бүх бүтээгдэхүүний S n нийлбэрийг үүсгэ. (35.1) хэлбэрийн нийлбэрийг [a; б]. Хамгийн том хэсэгчилсэн сегментийн уртыг λ-ээр тэмдэглэ: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. λ→0 байхаар n → ∞ интеграл нийлбэрийн (35.1) хязгаарыг ол. Үүнээс гадна, салшгүй нийлбэр S n нь сегментийг хуваах аргаас хамаарахгүй I хязгаартай бол [a; б] хэсэгчилсэн сегментүүдэд, эсвэл тэдгээрийн цэгүүдийн сонголтоос, дараа нь I тоог [a сегмент дэх y \u003d ƒ (x) функцийн тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг; b] ба ингэж тэмдэглэсэн байна, a ба b тоонуудыг интеграцын доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг, ƒ(x) - интеграл, ƒ(x) dx - интеграл, x - интеграцийн хувьсагч, сегмент [a; b] - интеграцийн талбар (сегмент). y \u003d ƒ (x) функц нь [a; б] энэ интервал дээр интегралдах гэж нэрлэгддэг тодорхой интеграл байна. Одоо тодорхой интегралын оршихуйн теоремыг томъёолъё. Теорем 35.1 (Коши). Хэрэв y = ƒ(x) функц нь [a сегмент дээр тасралтгүй байвал; b], дараа нь тодорхой интеграл Функцийн тасралтгүй байдал нь түүний интегралчлах хангалттай нөхцөл гэдгийг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч тодорхой интеграл нь зарим тасалдалтай функцүүдэд, тухайлбал интервалаар хязгаарлагддаг, дээр нь хязгаарлагдмал тооны тасалдлын цэгүүдтэй ямар ч функцийн хувьд байж болно. Тодорхойлогдсон интегралын тодорхойлолтоос шууд хамаарах зарим шинж чанарыг онцлон тэмдэглэе (35.2). 1. Тодорхой интеграл нь интеграл хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамааралгүй: Энэ нь интеграл нийлбэр (35.1) ба үүний дагуу түүний хязгаар (35.2) нь энэ функцийн аргументыг ямар үсэг илэрхийлж байгаагаас үл хамаарна. 2. Интегралын ижил хязгаартай тодорхой интеграл тэгтэй тэнцүү байна. 3. Аливаа бодит тооны хувьд c. 17. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд. Функцийг зөвшөөр у = f(x)сегмент дээр тасралтгүй
болон F(x)нь энэ сегмент дээрх функцийн эсрэг деривативуудын нэг юм Ньютон-Лейбницийн томъёо: Ньютон-Лейбницийн томьёо гэж нэрлэдэг интеграл тооцооны үндсэн томъёо. Ньютон-Лейбницийн томьёог батлахын тулд хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэсэн ойлголт хэрэгтэй. Хэрэв функц у = f(x)сегмент дээр тасралтгүй
, тэгвэл аргументийн хэлбэрийн интеграл нь дээд хязгаарын функц болно. Бид энэ функцийг тэмдэглэж байна Үнэн хэрэгтээ аргументийн нэмэгдэлд тохирох функцийн өсөлтийг бичиж, тодорхой интегралын тав дахь шинж чанар ба арав дахь шинж чанарын үр дүнг ашиглая. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье Тооцоолох F(a), тодорхой интегралын эхний шинж чанарыг ашиглан: Функцийн өсөлтийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхийн тулд эсрэг деривативуудын аль нэгийг мэдэхэд хангалттай y=F(x)интеграл y=f(x)сегмент дээр
мөн энэ сегмент дээрх эсрэг деривативын өсөлтийг тооцоол. Өгүүлэлд интеграцийн аргуудыг эсрэг деривативыг олох үндсэн аргуудад дүн шинжилгээ хийсэн болно. Тодорхой болгох үүднээс Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох зарим жишээг өгье. Жишээ. Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралын утгыг тооцоол. Шийдэл. Нэгдүгээрт, интеграл нь интервал дээр үргэлжилдэг гэдгийг анхаарна уу
, тиймээс, үүн дээр нэгтгэх боломжтой. (Бид тодорхой интеграл байдаг функцүүдийн тухай хэсэгт интегралдах функцүүдийн талаар ярьсан). Тодорхой бус интегралын хүснэгтээс харахад функцийн хувьд аргументийн бүх бодит утгуудын эсрэг деривативуудын багцыг (тиймээс -ийн хувьд) дараах байдлаар бичдэг. Одоо тодорхой интегралыг тооцоолохдоо Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглахад л үлдлээ. 18. Тодорхой интегралын геометрийн хэрэглээ. ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛЫН ГЕОМЕТРИЙН ХЭРЭГЛЭЭ Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох Зэрэгцээ хэсгүүдийн мэдэгдэж буй хэсгүүдээс биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох: Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн: ; . Жишээ 1. y=sinx муруй, шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол Шийдэл:Зургийн талбайг олох: Жишээ 2. Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол Шийдэл:Эдгээр функцүүдийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг Эндээс бид олдог x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2.5. 19. Дифференциал хяналтын тухай ойлголт. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Дифференциал тэгшитгэл- функцийн деривативын утгыг функц өөрөө, бие даасан хувьсагчийн утгууд, тоонууд (параметрүүд) -тэй холбосон тэгшитгэл. Тэгшитгэлд орсон деривативуудын дараалал өөр байж болно (албан ёсоор энэ нь юугаар ч хязгаарлагдахгүй). Дериватив, функц, бие даасан хувьсагч болон параметрүүдийг тэгшитгэлд янз бүрийн хослолоор оруулах эсвэл дор хаяж нэг деривативаас бусад нь бүхэлдээ байхгүй байж болно. Үл мэдэгдэх функцийн дериватив агуулсан тэгшитгэл нь дифференциал тэгшитгэл биш юм. Тухайлбал, Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл(URCHP) нь хэд хэдэн хувьсагчийн үл мэдэгдэх функцууд болон тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативуудыг агуулсан тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. нь бие даасан хувьсагчид бөгөөд эдгээр хувьсагчдын функц юм. Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн дарааллыг энгийн дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн адил тодорхойлж болно. Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн өөр нэг чухал ангилал бол тэдгээрийг эллипс, параболик, гипербол хэлбэрийн тэгшитгэлд, ялангуяа хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлд хуваах явдал юм. Энгийн дифференциал тэгшитгэл ба хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг хоёуланг нь хувааж болно шугаманболон шугаман бус. Үл мэдэгдэх функц ба түүний дериватив нь тэгшитгэлд зөвхөн эхний зэрэглэлд орох юм бол дифференциал тэгшитгэл нь шугаман байна (мөн бие биетэйгээ үрждэггүй). Ийм тэгшитгэлийн хувьд шийдлүүд нь функцүүдийн орон зайн аффин дэд орон зайг бүрдүүлдэг. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн онолыг шугаман бус тэгшитгэлийн онолоос хавьгүй гүнзгий боловсруулсан. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр n--р захиалга: хаана пи(х) нь тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэгддэг бие даасан хувьсагчийн мэдэгдэж буй функцууд юм. Чиг үүрэг r(х) баруун талд нь гэж нэрлэдэг чөлөөт гишүүн(үл мэдэгдэх функцээс хамаарахгүй цорын ганц нэр томъёо) Шугаман тэгшитгэлийн нэг чухал анги бол шугаман дифференциал тэгшитгэл юм. тогтмол коэффициентүүд. Шугаман тэгшитгэлийн дэд ангилал нь нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл - чөлөөт нэр томъёо агуулаагүй тэгшитгэл: r(х) = 0. Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд суперпозиция зарчим баримтална: ийм тэгшитгэлийн тодорхой шийдүүдийн шугаман хослол нь мөн түүний шийдэл болно. Бусад бүх шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд гэж нэрлэгддэг гетерогендифференциал тэгшитгэл. Ерөнхий тохиолдолд шугаман бус дифференциал тэгшитгэлүүд нь тодорхой ангиудыг эс тооцвол боловсруулсан шийдлийн аргуудгүй байдаг. Зарим тохиолдолд (тодорхойлолтыг ашиглан) тэдгээрийг шугаман болгон бууруулж болно. Жишээлбэл, гармоник осцилляторын шугаман тэгшитгэл · тогтмол коэффициенттэй хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл юм. Шийдэл нь тодорхой шийдлийн хувьд тусад нь заасан анхны нөхцлөөс тодорхойлогддог дурын тогтмолууд бөгөөд функцүүдийн гэр бүл юм. Энэ тэгшитгэл нь 3-ын мөчлөгийн давтамжтай гармоник осцилляторын хөдөлгөөнийг тодорхойлдог. · Ньютоны хоёрдугаар хуулийг дифференциал тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно · Бесселийн дифференциал тэгшитгэл нь хувьсах коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн энгийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм: Түүний шийдлүүд нь Бесселийн функцууд юм. 1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус шугаман бус ердийн дифференциал тэгшитгэлийн жишээ: Дараах бүлгийн жишээнд үл мэдэгдэх функц ухоёр хувьсагчаас хамаарна хболон тэсвэл хболон y. Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл: Нэг хэмжээст долгионы тэгшитгэл - тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн гипербол хэлбэрийн хэсэгчилсэн дериватив дахь нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл нь мөрний чичиргээг, хэрэв - координаттай цэг дээрх мөрний хазайлтыг тодорхойлдог. хтэр үед т, болон параметр амөрийн шинж чанарыг тохируулна: Хоёр хэмжээст орон зай дахь Лапласын тэгшитгэл нь механик, дулаан дамжуулалт, электростатик, гидравлик зэрэг физикийн олон асуудалд үүсдэг тогтмол коэффициент бүхий эллипс хэлбэрийн нэгэн төрлийн шугаман хоёрдугаар дарааллын хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл юм. Korteweg-de Vries тэгшитгэл нь солитон зэрэг хөдөлгөөнгүй шугаман бус долгионыг дүрсэлсэн шугаман бус гуравдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл юм. 20. Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэлүүд. Шугаман тэгшитгэл ба Бернулли арга. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функц болон түүний уламжлалтай холбоотой шугаман тэгшитгэл юм. Энэ нь иймэрхүү байна
эсвэл 
Функцийг дуудаж байна эсрэг дериватив функц. Функцийн эсрэг дериватив нь тогтмол утга хүртэл тодорхойлогддог.
, энд дурын тогтмол байна.
.
, мөн энэ функц нь тасралтгүй ба тэгш байдал юм 
.
хаана.
. Хэрэв бид функцийн деривативын тодорхойлолтыг эргэн санаж, хязгаарт очвол бид . Энэ нь функцийн эсрэг деривативуудын нэг юм у = f(x)сегмент дээр
. Тиймээс бүх эсрэг деривативуудын багц F(x)гэж бичиж болно 
, хаана ХАМТнь дурын тогтмол юм.
, иймээс, . Бид энэ үр дүнг тооцоолохдоо ашигладаг F(б): , тэр бол 
. Энэ тэгшитгэл нь нотлох боломжтой Ньютон-Лейбницийн томъёог өгдөг .
. Энэхүү тэмдэглэгээг ашиглан Ньютон-Лейбницийн томъёо хэлбэрийг авна 
.
. Командыг авч үзье C=0: .
.Тэгш өнцөгт S.K. Параметрээр тодорхойлогдсон функц Полярная С.К.
Онгоцны дүрсүүдийн талбайг тооцоолох
Хавтгай муруйны нумын уртыг тооцоолох
Хувьсгалын гадаргуугийн талбайг тооцоолох
дифференциал тэгшитгэл биш юм.
Математикийн дүүжингийн шугаман бус тэгшитгэлийн ойролцоо тооцоолол гэж үзэж болно 
жижиг далайцтай тохиолдолд, хэзээ y≈ нүгэл y.
хаана м- биеийн жин, х- түүний координат, Ф(х, т) нь координаттай биед үйлчлэх хүч юм хтэр үед т. Үүний шийдэл нь заасан хүчний үйл ажиллагааны дор биеийн замнал юм.
Өмнөх нийтлэл: Өвлийн улиралд sorrel-аас юу хийж болох вэ
Дараагийн нийтлэл: Шарсан Hazel Grouse алхам алхмаар зураг жор