Энэхүү нийтлэл: "Хоёр дахь гайхалтай хязгаар" нь тухайн зүйлийн тодорхойгүй байдлын хүрээнд задруулахад зориулагдсан болно:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ болон $ ^\infty $.

Түүнчлэн, ийм тодорхой бус байдлыг экспоненциал хүчний функцийн логарифм ашиглан илрүүлж болох боловч энэ нь шийдвэрлэх өөр нэг арга бөгөөд үүнийг өөр өгүүллээр авч үзэх болно.

Томъёо ба үр дагавар

ТомъёоХоёрдахь гайхалтай хязгаарыг дараах байдлаар бичсэн байна: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( энд ) e \ойролцоогоор 2.718 $ доллар

Томъёоноос эхлэн дагаж мөрдөөрэй үр дагавар, эдгээр нь хязгаартай жишээг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( хаана ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарыг экспоненциал хүчний функцэд үргэлж хэрэглэж болохгүй, гэхдээ зөвхөн суурь нь нэгдмэл байх хандлагатай байгаа тохиолдолд л хэрэглэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд оюун ухаан дахь суурийн хязгаарыг тооцоолж, дараа нь дүгнэлт хийнэ. Энэ бүгдийг жишээ шийдэлд авч үзэх болно.

Шийдлийн жишээ

Шууд томъёо, түүний үр дагаврыг ашиглан шийдлийн жишээг авч үзье. Бид томъёо шаардлагагүй тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Зөвхөн бэлэн хариултыг бичихэд хангалттай.

Жишээ 1

Хязгаарыг олох $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Шийдвэр

Хязгаарыг хязгаарт орлуулж, тодорхойгүй байдлыг харвал: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Суурийн хязгаарыг ол: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac() 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Бид нэгтэй тэнцүү суурь авсан бөгөөд энэ нь та хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг аль хэдийн хэрэглэж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид нэгийг хасаж, нэмэх замаар функцийн суурийг томъёонд тохируулна. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Бид хоёр дахь үр дагаврыг хараад хариултыг бичнэ. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцтай танилцаж, мэдээлэл цуглуулах боломжтой болно. Энэ нь багшийн кредитийг цаг тухайд нь авахад тусална!

Хариулах

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Жишээ 4

Хязгаарыг шийдэх $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Шийдвэр

Бид суурийн хязгаарыг олоод $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ болохыг харж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэж болно. Төлөвлөгөөний дагуу стандартын дагуу бид градусын үндсэн дээр нэгийг нэмж, хасдаг. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Бид 2-р тайлбарын томъёоны дагуу бутархайг тохируулна. хязгаар: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Одоо зэрэглэлийг тохируулна уу. Экспонент нь $ \frac(3x^2-2)(6) $ суурийн хуваагчтай тэнцүү бутархай байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд зэрэглэлийг үржүүлж, хувааж, үргэлжлүүлэн шийдээрэй. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ дээр байрлах хязгаар нь: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Тиймээс бидэнд байгаа шийдлийг үргэлжлүүлэх нь:

Хариулах

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай төстэй боловч үүнгүйгээр шийдэгдсэн тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

"Хоёр дахь гайхалтай хязгаар: шийдлийн жишээ" гэсэн нийтлэлд томъёонд дүн шинжилгээ хийж, түүний үр дагавар, энэ сэдвээр байнга гардаг асуудлын төрлийг өгсөн болно.

Ихэвчлэн хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дараах хэлбэрээр бичдэг.

\эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\баруун)^x=e\end(тэгшитгэл)

Тэгш байдлын баруун талд (1) заасан $e$ тоо нь иррациональ байна. Энэ тооны ойролцоо утга нь: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Хэрэв бид $t=\frac(1)(x)$ орлуулалтыг хийвэл (1) томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

\эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(тэгшитгэл)

Анхны гайхалтай хязгаарын хувьд (1) томьёоны $x$ хувьсагчийн оронд эсвэл (2) томьёоны $t$ хувьсагчийн оронд аль илэрхийлэл хэрэглэх нь хамаагүй. Хамгийн гол нь хоёр нөхцлийг биелүүлэх явдал юм.

1. Зэрэглэлийн суурь (өөрөөр хэлбэл (1) ба (2) томъёоны хаалт дахь илэрхийлэл) нэг рүү чиглэх ёстой;
2. Экспонент (өөрөөр хэлбэл (1) томьёоны $x$ эсвэл (2) томьёоны $\frac(1)(t)$) нь хязгааргүй байх ёстой.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь $1^\infty$-ын тодорхойгүй байдлыг илчилдэг гэж ярьдаг. (1) томъёонд бид ямар төрлийн хязгааргүй байдлын тухай ($+\infty$ эсвэл $-\infty$) дурдаагүй болохыг анхаарна уу. Эдгээр тохиолдлын аль нэгэнд (1) томъёо үнэн байна. Томъёо (2) дээр $t$ хувьсагч зүүн болон баруун талаасаа тэглэх хандлагатай байдаг.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын хэд хэдэн ашигтай үр дагавар бас байгааг би тэмдэглэж байна. Хоёрдахь гайхалтай хязгаарыг ашиглах жишээ, түүнчлэн түүний үр дагавар нь стандарт стандарт тооцоо, туршилтыг эмхэтгэгчдэд маш их алдартай байдаг.

Жишээ №1

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ хязгаарыг тооцоол.

Зэрэглэлийн суурь (жишээ нь $\frac(3x+1)(3x-5)$) нэг рүү чиглэж байгааг бид шууд тэмдэглэж байна.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\баруун| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = нэг. $$

Энэ тохиолдолд экспонент (илэрхийлэл $4x+7$) нь хязгааргүй байх хандлагатай, i.e. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Зэрэглэлийн суурь нь нэг рүү, илтгэгч нь хязгааргүй рүү чиглэдэг, i.e. Бид $1^\infty$-ийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Энэ тодорхойгүй байдлыг илчлэхийн тулд томъёог ашиглацгаая. $1+\frac(1)(x)$ илэрхийлэл нь томьёоны зэргийн суурь дээр байрлах ба бидний жишээнд зэрэглэлийн суурь нь дараах байдалтай байна: $\frac(3x+1)(3x-5). )$. Тиймээс эхний алхам бол $\frac(3x+1)(3x-5)$ илэрхийллийг $1+\frac(1)(x)$ болгож албан ёсоор тохируулах явдал юм. Нэгийг нэмэх, хасах замаар эхэлцгээе:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\баруун)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\зүүн(1+\фрак(3х+1)(3х-5)-1\баруун)^(4х+7) $$

Зөвхөн нэгж нэмэх боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв бид нэгжийг нэмэхээс өөр аргагүй бол бүх илэрхийллийн утгыг өөрчлөхгүйн тулд үүнийг хасах хэрэгтэй. Шийдлийг үргэлжлүүлэхийн тулд бид үүнийг анхаарч үздэг

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3х+5)(3х-5)=\frac(6)(3х-5). $$

$\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$ тул:

$$ \lim_(x\to\infty)\зүүн(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\баруун)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ зүүн(1+\фрак(6)(3х-5)\баруун)^(4х+7) $$

Тохируулгаа үргэлжлүүлье. Томъёоны $1+\frac(1)(x)$ илэрхийлэлд бутархайн хүртэгч нь 1, харин бидний $1+\frac(6)(3x-5)$ илэрхийллийн тоо нь $6$ байна. Тоолуурт $1$ авахын тулд дараах хувиргалтыг ашиглан хуваагч руу $6$ буулгана.

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Тиймээс,

$$ \lim_(x\to\infty)\зүүн(1+\frac(6)(3x-5)\баруун)^(4х+7) =\lim_(x\to\infty)\зүүн(1+) \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\баруун)^(4х+7) $$

Тэгэхээр, зэрэглэлийн суурь, i.e. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, томъёонд шаардагдах $1+\frac(1)(x)$-д тохирохоор тохируулсан. Одоо экспоненттай ажиллаж эхэлцгээе. Томъёоны илтгэгч болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил байна гэдгийг анхаарна уу.

Энэ нь бидний жишээн дээр илтгэгч болон хуваагчийг ижил хэлбэрт оруулах ёстой гэсэн үг юм. Экспонент доторх $\frac(3x-5)(6)$ илэрхийллийг авахын тулд илтгэгчийг энэ бутархайгаар үржүүлэхэд л хангалттай. Мэдээжийн хэрэг, ийм үржүүлгийг нөхөхийн тулд та нэн даруй харилцан үржүүлэх хэрэгтэй болно, өөрөөр хэлбэл. $\frac(6)(3x-5)$ хүртэл. Тиймээс бидэнд байна:

$$ \lim_(x\to\infty)\зүүн(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\баруун)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\баруун)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\баруун)^(\ frac(3x-5)(6))\баруун)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Хүчин чадалд байрлах $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ бутархайн хязгаарыг тусад нь авч үзье.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\баруун| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\баруун))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3)=8. $$

Хариулах: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) доллар.

Жишээ №4

$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ хязгаарыг ол.

$x>0$-ийн хувьд бидэнд $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ байна, тэгвэл:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ зүүн (\ frac (x + 1) (x) \ баруун) \ баруун) $ $

$\frac(x+1)(x)$ бутархайг $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлбэл бид дараахийг авна:

$$ \lim_(x\to+\infty)\зүүн(x\cdot\ln\зүүн(\frac(x+1)(x)\баруун)\баруун) =\lim_(x\to+\infty)\зүүн (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\баруун)\баруун) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1)) (x)\баруун)^x\баруун) =\ln(e) =1. $$

Хариулах: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Жишээ №5

$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ хязгаарыг ол.

Учир нь $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ ба $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, тэгвэл бид $1^\infty$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Нарийвчилсан тайлбарыг 2-р жишээнд өгсөн боловч энд бид товч шийдлээр хязгаарлагдаж байна. $t=x-2$ орлуулалтыг хийснээр бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\зүүн|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0)) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\баруун)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Та энэ жишээг өөр аргаар шийдэж болно: $t=\frac(1)(x-2)$. Мэдээжийн хэрэг, хариулт ижил байх болно:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\баруун)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\баруун)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\баруун)^(\frac(t)(3))\баруун)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Хариулах: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Жишээ №6

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ хязгаарыг ол.

$\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ илэрхийлэл $x\to\infty$ нөхцөлд ямар хандлагатай болохыг олж мэдье.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\баруун| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Тиймээс, өгөгдсөн хязгаарт бид $1^\infty$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байгаа бөгөөд үүнийг хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглан илрүүлэх болно:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to) \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\баруун)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac) (2x^2-4)(7))\баруун)^(3х)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\баруун)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\баруун)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Хариулах: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд. Тодорхой бус байдал.
Функцийн өсөлтийн дараалал. Орлуулах арга

Жишээ 4

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн энгийн жишээ юм. Санал болгож буй жишээн дээр дахин тодорхойгүй байдал (үндэсээс илүү өсөлтийн дарааллаар).

Хэрэв "x" нь "хасах хязгааргүй" хандлагатай бол

Энэ нийтлэлд "хасах хязгааргүй"-ийн сүнс эргэлдэж байна. Олон гишүүнтийн хязгаарыг авч үзье. Хэд хэдэн нюансыг эс тооцвол шийдвэрлэх зарчим, арга нь хичээлийн эхний хэсэгтэй яг адилхан байх болно.

Практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд шаардагдах 4 чипийг авч үзье.

1) Хязгаарыг тооцоолох

Хязгаарын утга нь өсөлтийн хамгийн дээд дараалалтай тул зөвхөн нэр томъёоноос хамаарна. Хэрэв бол хязгааргүй том модуль сөрөг тооТЭГШ зэрэг болно, энэ тохиолдолд - дөрөв дэх нь "нэмэх хязгааргүй" -тэй тэнцүү байна: . Тогтмол ("хоёр") эерэг, Тийм учраас:

2) Хязгаарыг тооцоол

Ахиад л ахлах зэрэгтэй боллоо бүр, Тийм учраас: . Гэхдээ урд нь "хасах" байна ( сөрөгтогтмол -1), тиймээс:

3) Хязгаарыг тооцоолох

Хязгаарын утга нь зөвхөн . Сургуулиасаа санаж байгаачлан "хасах" нь сондгой зэрэглэлийн доороос "гарч ирдэг" хязгааргүй том модульсөрөг тоог СОНДГОЙ хүчин чадалтай болгонотэнцүү "хасах хязгааргүй", энэ тохиолдолд: .
Тогтмол ("дөрөв") эерэг, гэсэн үг:

4) Хязгаарыг тооцоол

Тосгоны анхны залуу дахиад л байна хачинзэрэг, үүнээс гадна, цээжинд сөрөгтогтмол, энэ нь: Тиймээс:
.

Жишээ 5

Хязгаарыг ол

Дээрх зүйлийг ашиглан бид энд тодорхойгүй байдал байна гэж дүгнэж байна. Тоолуур ба хуваагч нь өсөлтийн дарааллаар ижил бөгөөд энэ нь хязгаарт төгсгөлтэй тоог олж авна гэсэн үг юм. Бид бүх шарсан махыг хаяснаар хариултыг сурдаг.

Шийдэл нь өчүүхэн:

Жишээ 6

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Одоо, магадгүй хамгийн нарийн тохиолдлууд:

Жишээ 7

Хязгаарыг ол

Ахлах нэр томъёог авч үзвэл энд тодорхойгүй байдал байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Тоолуур нь хуваагчаас илүү өсөлтийн дараалалтай байдаг тул бид хязгаарыг хязгааргүй гэж шууд хэлж чадна. Гэхдээ "нэмэх" эсвэл "хасах" ямар хязгааргүй вэ? Хүлээн авалт нь адилхан - тоологч ба хуваарьт бид жижиг зүйлээс салах болно.

Бид шийднэ:

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Жишээ 15

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд дуусгах ойролцоо жишээ.

Хувьсагчийг орлуулах сэдвээр хэд хэдэн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 16

Хязгаарыг ол

Хязгаарт нэгийг орлуулах нь тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Хувьсагчийг солих нь аль хэдийн санал болгож байгаа боловч эхлээд бид томьёог ашиглан шүргэгчийг хөрвүүлнэ. Үнэхээр бидэнд шүргэгч яагаад хэрэгтэй байна вэ?

Тиймээс үүнийг анхаарна уу. Хэрэв энэ нь бүрэн тодорхойгүй бол синусын утгыг харна уу тригонометрийн хүснэгт. Тиймээс бид нэн даруй хүчин зүйлээс салж, үүнээс гадна бид илүү танил болсон 0: 0 тодорхойгүй байдлыг олж авдаг. Манай хязгаар ч тэглэх хандлагатай байвал сайхан байх болно.

Орлуулъя:

Хэрэв бол

Косинусын доор бид "x" байгаа бөгөөд үүнийг "te" -ээр илэрхийлэх шаардлагатай.
Орлуулахаас бид дараахыг илэрхийлж байна.

Бид шийдлийг дуусгана:

(1) Сэлгээ хийх

(2) Косинусын доорх хаалтуудыг тэлэх.

(4) Зохион байгуулах анхны гайхалтай хязгаар, тоологчийг зохиомлоор үржүүлж, .

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Жишээ 17

Хязгаарыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Эдгээр нь тэдний ангийн энгийн даалгавар байсан бөгөөд практик дээр бүх зүйл улам дорддог, үүнээс гадна бууруулах томъёо, нэг өөр ашиглах хэрэгтэй тригонометрийн томъёо, түүнчлэн бусад заль мэх. Complex Limits нийтлэлд би хэд хэдэн бодит жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсэн =)

Баярын өмнөхөн бид нөхцөл байдлыг дахин нэг тодорхойгүй байдлаар тодруулах болно.

"Хязгааргүйн хүчинд нэг" тодорхойгүй байдлыг арилгах

Энэхүү тодорхойгүй байдал нь "үйлчилдэг" хоёр дахь гайхалтай хязгаар, мөн тэр хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт бид ихэнх тохиолдолд практикт олддог шийдлүүдийн стандарт жишээнүүдийг нарийвчлан авч үзсэн. Одоо үзэсгэлэнд оролцогчидтой хийсэн зургийг дуусгах болно, үүнээс гадна хичээлийн эцсийн даалгавруудыг хязгаарт зориулах болно - "заль мэх" нь 2-р гайхалтай хязгаарыг ашиглах шаардлагатай мэт санагдах боловч энэ нь огтхон ч биш юм. хэрэг.

2-р гайхалтай хязгаарын хоёр ажлын томьёоны сул тал нь аргумент нь "нэмэх хязгааргүй" буюу тэг рүү чиглэх ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ хэрүүл маргаан өөр тоо руу чиглэж байвал яах вэ?

Бүх нийтийн томъёо нь аврах ажилд ирдэг (энэ нь үнэндээ хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагавар юм):

Тодорхой бус байдлыг дараахь томъёогоор арилгаж болно.

Тэдний юу гэсэн үг болохыг аль хэдийн тайлбарласан шиг хаа нэгтээ дөрвөлжин хаалт. Онцгой зүйл байхгүй, хаалт нь зүгээр л хаалт юм. Ихэвчлэн тэдгээрийг математик тэмдэглэгээг тод онцлон тэмдэглэхэд ашигладаг.

Томъёоны чухал цэгүүдийг онцолж үзье:

1) Энэ нь тухай юм зөвхөн тодорхой бус байдлын тухай, өөр зүйл байхгүй.

2) Аргумент "x" хандлагатай байж болно дурын үнэ цэнэ(мөн зөвхөн тэг эсвэл ), ялангуяа "хасах хязгааргүй" эсвэл to хэн чэцсийн тоо.

Энэ томьёог ашиглан та хичээлийн бүх жишээг шийдэж болно Гайхалтай хязгаарууд, 2-р гайхамшигтай хязгаарт хамаарах. Жишээлбэл, хязгаарыг тооцоолъё:

Энэ тохиолдолд , мөн томъёоны дагуу :

Үнэн, би танд үүнийг хийхийг зөвлөдөггүй, уламжлал ёсоор та шийдлийн "ердийн" загварыг ашиглах боломжтой бол ашигладаг хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч томъёог ашиглах нь шалгахад маш тохиромжтой"сонгодог" жишээнүүд 2-р гайхалтай хязгаарт.

Төрөл ба хэлбэрийн тодорхойгүй байдал нь хязгаарыг шийдвэрлэх үед шийдвэрлэх шаардлагатай хамгийн нийтлэг тодорхойгүй байдал юм.

Оюутнуудад тохиолдох хязгаарын талаархи ихэнх даалгавар нь ийм тодорхой бус байдлыг агуулдаг. Тэдгээрийг илчлэх, эсвэл тодорхой бус байдлаас зайлсхийхийн тулд хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийллийн хэлбэрийг хувиргах хэд хэдэн хиймэл аргууд байдаг. Эдгээр аргууд нь дараах байдалтай байна: хувьсагчийн хамгийн дээд зэрэглэлийн тоо ба хуваагчийг гишүүнээр хуваах, нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлэх, шийдлийг ашиглан дараа нь багасгахын тулд үржүүлэх арга. квадрат тэгшитгэлболон үржүүлэх товчилсон томъёо.

Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал

Жишээ 1

n 2-той тэнцүү. Иймд бид тоологч ба хуваагчийг гишүүнээр хуваана:

.

Илэрхийллийн баруун талд тайлбар бичнэ үү. Сум болон тоонууд нь оронд орлуулсны дараа бутархайнууд юу болохыг заадаг nхязгааргүй утгууд. Энд жишээ 2-ын адил зэрэг nхуваагч нь тоологчоос илүү их байдаг бөгөөд үүний үр дүнд бүхэл бутархай хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. жижиг хэмжэээсвэл "супер жижиг".

Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь .

Жишээ 2 .

Шийдвэр. Энд хувьсагчийн хамгийн их хүч байна х 1-тэй тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана х:

.

Шийдлийн явцын талаархи тайлбар. Тоолуур дээр бид "X"-ийг гурав дахь зэрэглэлийн язгуур дор жолоодож, түүний анхны зэрэг (1) өөрчлөгдөөгүй хэвээр байхын тулд бид үүнийг үндэстэй ижил зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 3. Сум болон нэмэлт зүйл байхгүй. Энэ оруулгад байгаа тоонууд байгаа тул оюун ухаанаараа оролдоод үзээрэй, гэхдээ өмнөх жишээтэй адилтгаж, "x"-ийн оронд хязгааргүйг орлуулсны дараа тоологч болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ямар хандлагатай байгааг тодорхойл.

Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь тэгтэй тэнцүү гэсэн хариултыг авсан.

Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал

Жишээ 3Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол.

Шийдвэр. Тоолуур нь шоо дөрвөлжингийн зөрүү юм. Хичээлээс товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан үүнийг хүчин зүйл болгон задлан үзье сургуулийн математик:

Хуваагч нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар үржвэр болгон хуваадаг дөрвөлжин гурвалсан тоо юм (дахин квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд):

Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан илэрхийлэлийг бичиж, функцийн хязгаарыг олъё.

Жишээ 4Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол

Шийдвэр. Хэмжилтийн хязгаарын теорем энд хамаарахгүй, учир нь

Тиймээс бид бутархайг ижил байдлаар хувиргадаг: тоологч ба хуваагчийг хоёрын нэгдэлээр хуваагч руу үржүүлж, дараах байдлаар бууруулна. х+1. Теорем 1-ийн үр дүнд үндэслэн бид илэрхийлэлийг олж, үүнийг шийдэж, хүссэн хязгаараа олно.

Жишээ 5Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол

Шийдвэр. Шууд утгыг орлуулах хӨгөгдсөн функц руу = 0 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Үүнийг илчлэхийн тулд бид ижил өөрчлөлтүүдийг хийж, үр дүнд нь хүссэн хязгаарыг олж авдаг.

Жишээ 6Тооцоол

Шийдвэр:хязгаарын теоремуудыг ашиглах

Хариулт: 11

Жишээ 7Тооцоол

Шийдвэр:Энэ жишээнд тоологч ба хуваагчийн хязгаар 0 байна:

; . Тиймээс бид хуваалтын хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй гэдгийг олж мэдсэн.

Бутархайг тэг рүү чиглэсэн нийтлэг хүчин зүйлээр багасгахын тулд бид хуваагч ба хуваагчийг үржвэр болгон хуваадаг тул теорем 3-ыг ашиглах боломжтой болгодог.

Х 1 ба x 2 нь гурвалсан гишүүний үндэс болох томъёогоор бид тоологч дахь дөрвөлжин гурвалжинг томьёо. Фактор ба хуваагч, бутархайг (x-2) бууруулж дараа нь теорем 3-ыг хэрэгжүүлнэ.

Хариулт:

Жишээ 8Тооцоол

Шийдвэр:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байгаа тул теорем 3-ыг шууд хэрэглэснээр тодорхойгүй байдлыг илэрхийлдэг илэрхийлэлийг олж авна. Энэ төрлийн тодорхойгүй байдлаас ангижрахын тулд тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваа. Энэ жишээнд та хуваах хэрэгтэй X:

Хариулт:

Жишээ 9Тооцоол

Шийдвэр: x 3:

Хариулт: 2

Жишээ 10Тооцоол

Шийдвэр:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бид тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваана, өөрөөр хэлбэл. x 5:

=

Бутархайн хуваагч нь 1, хуваагч нь 0 байх тул бутархай нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг.

Хариулт:

Жишээ 11.Тооцоол

Шийдвэр:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бид тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваана, өөрөөр хэлбэл. x 7:

Хариулт: 0

Дериватив.

y = f(x) функцын x аргументтай холбоотой деривативАргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай үед түүний у-ийн өсөлтийн х аргументийн x-ийн харьцааны хязгаарыг дуудна: . Хэрэв энэ хязгаар хязгаарлагдмал бол функц у = f(x) x цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол бид функц гэж хэлдэг у = f(x)х дээр хязгааргүй дериватив байна.

Үндсэн үндсэн функцүүдийн деривативууд:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Ялгах дүрэм:

а)

онд)

Жишээ 1Функцийн деривативыг ол

Шийдвэр:Хэрэв бид хоёр дахь гишүүний деривативыг бутархайг ялгах дүрмээр олвол эхний гишүүн нь нарийн төвөгтэй функц бөгөөд деривативыг томъёогоор олно.

, хаана , дараа нь

Шийдвэрлэхдээ дараах томъёог ашигласан: 1,2,10, a, c, d.

Хариулт:

Жишээ 21.Функцийн деривативыг ол

Шийдвэр:Хоёр нэр томьёо нь нийлмэл функцууд бөгөөд эхнийх нь , , хоёр дахь нь , дараа нь

Хариулт:

Дериватив програмууд.

1. Хурд ба хурдатгал

s(t) функцийг тайлбарлая байрлал t цаг хугацааны зарим координатын систем дэх объект. Тэгвэл s(t) функцийн эхний дериватив агшин зуур байна хурдобьект:
v=s′=f′(t)
s(t) функцийн хоёр дахь дериватив нь агшин зуур юм хурдатгалобьект:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Тангенсийн тэгшитгэл
y−y0=f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) нь мэдрэгчтэй цэгийн координат, f′(x0) нь хүрэх цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утга юм.

3. Хэвийн тэгшитгэл
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

Энд (x0,y0) нь нормаль зурсан цэгийн координат, f′(x0) нь өгөгдсөн цэг дэх f(x) функцийн деривативын утга юм.

4. Өсөх ба буурах функц
Хэрэв f′(x0)>0 бол функц x0 цэг дээр нэмэгдэнэ. Доорх зурагт функц x дээр нэмэгдэж байна x2.
Хэрэв f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Хэрэв f′(x0)=0 буюу дериватив байхгүй бол энэ онцлог нь функцийн нэг төрлийн байдлын мөн чанарыг х0 цэгт тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодоггүй.

5. Функцийн орон нутгийн экстремум
f(x) функц байна орон нутгийн дээд хэмжээ x1 цэгт x1 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x1)≥f(x) тэгш бус байдал биелэх болно.
Үүнтэй адилаар f(x) функц байна орон нутгийн доод хэмжээ x2 цэгт x2 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x2)≤f(x) тэгш бус байдал биелэх болно.

6. Чухал цэгүүд
x0 цэг нь чухал цэгХэрэв түүн дэх f′(x0) дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй бол f(x) функц.

7. Экстремум байгаагийн эхний хангалттай шинж тэмдэг
Хэрэв f(x) функц нь зарим интервалд (a,x1] бүх x-ийн хувьд нэмэгдэж (f′(x)>0) ба буурч байвал (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) интервалаас бүх x-ийн хувьд)

Өмнөх нийтлэл: Шарсан ногоо - зурагтай жор, зууханд хэрхэн хоол хийх талаар Дараагийн нийтлэл: Жин хасах амттай цагаан гааны жор