Ostrogradskio – Gauso teorema. Gauso teorema Elektrostatinės indukcijos vektoriaus srautas

Pagrindinis taikomas elektrostatikos uždavinys – įvairiuose įrenginiuose ir aparatuose generuojamų elektrinių laukų skaičiavimas. Apskritai ši problema išspręsta naudojant Kulono dėsnį ir superpozicijos principą. Tačiau ši užduotis tampa labai sudėtinga, kai atsižvelgiama į didelį taškinių arba erdviškai paskirstytų krūvių skaičių. Dar didesni sunkumai kyla, kai erdvėje yra dielektrikų ar laidininkų, kai veikiant išoriniam laukui E 0 mikroskopiniai krūviai persiskirsto, sukuriant savo papildomą lauką E. Todėl praktiniam šių problemų sprendimui naudojami pagalbiniai metodai. ir metodai naudojami naudojant sudėtingą matematinį aparatą. Mes apsvarstysime paprasčiausią metodą, pagrįstą Ostrogradskio – Gauso teoremos taikymu. Norėdami suformuluoti šią teoremą, pateikiame keletą naujų sąvokų:

A) krūvio tankis

Jei įkrautas kūnas yra didelis, tuomet reikia žinoti krūvių pasiskirstymą kūno viduje.

Tūrinio krūvio tankis- matuojamas pagal mokestį už tūrio vienetą:

Paviršiaus krūvio tankis- matuojamas krūviu, tenkančiu kūno paviršiaus vienetui (kai krūvis pasiskirsto visame paviršiuje):

Linijinio krūvio tankis(krūvio pasiskirstymas išilgai laidininko):

b) vektorius elektrostatinė indukcija

Pagal elektrostatinės indukcijos vektorių (elektrinio poslinkio vektorius) – vektorinis dydis, apibūdinantis elektrinį lauką.

Vektorius yra lygus vektoriaus sandaugai apie absoliučią terpės dielektrinę konstantą tam tikrame taške:

Patikrinkime matmenis D SI vienetais:

nuo
,

tada D ir E matmenys nesutampa, o jų skaitinės reikšmės taip pat skiriasi.

Iš apibrėžimo iš to seka, kad vektoriniam laukui galioja tas pats superpozicijos principas kaip ir lauke :

Laukas yra grafiškai pavaizduotas indukcijos linijomis, kaip ir laukas ... Indukcijos linijos nubrėžtos taip, kad kiekvieno taško liestinė sutaptų su kryptimi , o eilučių skaičius yra lygus skaitinei D reikšmei nurodytoje vietoje.

Norėdami suprasti įžangos prasmę Pažiūrėkime į pavyzdį.

v) srauto vektoriaus elektrostatinė indukcija

Apsvarstykite paviršių S elektriniame lauke ir pasirinkite normalės kryptį

1. Jei laukas vienodas, tai jėgos linijų skaičius per paviršių S:

2. Jei laukas nehomogeniškas, tai paviršius dalijamas į be galo mažus elementus dS, kurie laikomi plokščiais, o laukas aplink juos yra vienodas. Todėl srautas per paviršiaus elementą yra: dN = D n dS,

ir visas srautas per bet kurį paviršių:

(6)

Indukcijos N srautas yra skaliarinis dydis; priklausomai nuo  gali būti> 0 arba< 0, или = 0.

Elektrinių krūvių sąveikos dėsnį – Kulono dėsnį – galima suformuluoti skirtingai, vadinamosios Gauso teoremos forma. Gauso teorema gaunama kaip Kulono dėsnio ir superpozicijos principo pasekmė. Įrodymas grindžiamas dviejų taškinių krūvių sąveikos jėgos atvirkštiniu proporcingumu atstumo tarp jų kvadratui. Todėl Gauso teorema taikytina bet kuriam fizikiniam laukui, kuriame atvirkštinis kvadrato dėsnis ir superpozicijos principas galioja, pavyzdžiui, gravitaciniam laukui.

Ryžiai. 9. Taškinio krūvio elektrinio lauko stiprio linijos, kertančios uždarą paviršių X

Norėdami suformuluoti Gauso teoremą, grįžkime prie nejudančio taško krūvio elektrinio lauko jėgos linijų paveikslo. Vienišo taškinio krūvio jėgos linijos yra simetriškai išsidėsčiusios radialinės tiesės (7 pav.). Tokių linijų galima nubrėžti bet kokį skaičių. Bendrą jų skaičių pažymėkime per Tada jėgos linijų tankis, esantis atstumu nuo krūvio, ty linijų, kertančių spindulio sferos vienetinį paviršių, skaičius yra Lyginant šį ryšį su lauko stiprio išraiška. taškinis krūvis (4), matome, kad linijų tankis yra proporcingas lauko stiprumui. Šias reikšmes galime padaryti skaitiniu lygiu, tinkamai pasirinkę bendrą jėgos linijų skaičių N:

Taigi bet kokio spindulio rutulio paviršius, gaubiantis taškinį krūvį, kerta tiek pat jėgos linijų. Tai reiškia, kad jėgos linijos yra ištisinės: intervale tarp bet kurių dviejų skirtingų spindulių koncentrinių sferų nė viena linija nėra nukirpta ir nepridedama naujų. Kadangi jėgos linijos yra ištisinės, tiek pat jėgos linijų kerta bet kurį uždarą paviršių (9 pav.), dengiantį krūvį.

Jėgos linijos turi kryptį. Esant teigiamam krūviui, jie išeina iš uždaro paviršiaus, supančio krūvį, kaip parodyta Fig. 9. Esant neigiamam krūviui, jie patenka į paviršiaus vidų. Jei išeinančių eilučių skaičius laikomas teigiamu, o įeinančių eilučių skaičius yra neigiamas, tai formulėje (8) galime praleisti krūvio modulio ženklą ir įrašyti jį į formą

Įtampos srautas. Dabar pristatykime lauko stiprumo vektoriaus srauto per paviršių sąvoką. Savavališką lauką galima mintyse suskirstyti į mažas sritis, kuriose intensyvumo dydis ir kryptis keičiasi taip mažai, kad šioje srityje laukas gali būti laikomas vienodu. Kiekvienoje tokioje srityje jėgos linijos yra lygiagrečios tiesės ir turi pastovų tankį.

Ryžiai. 10. Nustatyti lauko stiprumo vektoriaus srautą per aikštelę

Panagrinėkime, kiek jėgos linijų prasiskverbia į mažą plotą, kurio normaliosios kryptis sudaro kampą a su tempimo linijų kryptimi (10 pav.). Leisti būti projekcija į plokštumą, statmeną jėgos linijoms. Kadangi linijų, kertančių tą patį, skaičius ir linijos tankis pagal priimtą sąlygą yra lygus lauko stiprumo moduliui E, tai

Dydis a yra vektoriaus E projekcija į normaliosios kryptį į vietą

Todėl jėgos linijų, kertančių aikštelę, skaičius yra

Produktas vadinamas lauko stiprumo srautu per paviršių. Formulė (10) rodo, kad vektoriaus E srautas per paviršių lygus skaičiui jėgos linijos, kertančios šį paviršių. Atkreipkite dėmesį, kad intensyvumo vektoriaus srautas, taip pat jėgos linijų, einančių per paviršių, skaičius yra skaliarinis.

Ryžiai. 11. Intensyvumo E vektoriaus tekėjimas per aikštelę

Srauto priklausomybė nuo vietos orientacijos jėgos linijų atžvilgiu parodyta Fig.

Lauko stiprumo srautas per savavališką paviršių yra srautų per elementariąsias sritis, į kurias šis paviršius gali būti padalintas, suma. Remiantis (9) ir (10) santykiais, galima teigti, kad taškinio krūvio lauko stiprumo srautas per bet kurį uždarą paviršių 2, gaubiantį krūvį (žr. 9 pav.), kaip atsirandančių jėgos linijų skaičius. nuo šio paviršiaus yra lygus Šiuo atveju normalaus vektorius į elementariąsias sritis uždaras paviršius turi būti nukreiptas į išorę. Jei krūvis paviršiaus viduje yra neigiamas, tai jėgos linijos patenka į šio paviršiaus vidų ir su krūviu susijęs lauko stiprumo vektoriaus srautas taip pat yra neigiamas.

Jei uždarame paviršiuje yra keli krūviai, tai pagal superpozicijos principą jų lauko stiprumų srautai susidės. Bendras srautas bus lygus ten, kur turėtų būti suprantama kaip algebrinė visų paviršiaus viduje esančių krūvių suma.

Jei uždaro paviršiaus viduje nėra elektros krūvių arba jų algebrinė suma lygi nuliui, tai bendras lauko stiprumo srautas per šį paviršių lygus nuliui: kiek jėgos linijų patenka į paviršiaus ribojamą tūrį, tiek ir eina išeiti.

Dabar pagaliau galime suformuluoti Gauso teoremą: elektrinio lauko stiprumo vektoriaus E srautas vakuume per bet kurį uždarą paviršių yra proporcingas bendram krūviui šio paviršiaus viduje. Matematiškai Gauso teorema išreiškiama ta pačia formule (9), kur turima omenyje algebrinė krūvių suma. Absoliučioje elektrostatinėje

CGSE vienetų sistema, koeficientas ir Gauso teorema parašyti formoje

SI ir tempimo srautas per uždarą paviršių išreiškiamas formule

Gauso teorema plačiai naudojama elektrostatikoje. Kai kuriais atvejais juo galima nesunkiai apskaičiuoti simetriškai išsidėsčiusių krūvių sukuriamus laukus.

Subalansuoti šaltinio laukai. Taikykime Gauso teoremą rutulio, kurio spindulys tolygiai įkrautas per paviršių, elektrinio lauko stipriui apskaičiuoti. Tikslumo dėlei mes laikysime jo krūvį teigiamu. Lauką sukuriančių krūvių pasiskirstymas turi sferinę simetriją. Todėl laukas taip pat turi tą pačią simetriją. Tokio lauko jėgos linijos nukreiptos išilgai spindulių, o intensyvumo modulis yra vienodas visuose taškuose, esančiuose vienodu atstumu nuo rutulio centro.

Norėdami nustatyti lauko stiprumą atstumu nuo rutulio centro, mintyse nubrėžkite rutulio paviršių, kurio spindulys yra koncentrinis su rutuliu. Kadangi visuose šios sferos taškuose lauko stiprumas yra nukreiptas statmenai jo paviršiui ir yra vienodas. dydis, intensyvumo srautas yra tiesiog lygus lauko stiprumo sandaugai iš sferos paviršiaus ploto:

Tačiau šis dydis taip pat gali būti išreikštas naudojant Gauso teoremą. Jei mus domina laukas už kamuolio ribų, tai yra tada, pavyzdžiui, SI ir, lyginant su (13), randame

CGSE vienetų sistemoje akivaizdu, kad

Taigi už rutulio ribų lauko stiprumas yra toks pat kaip taškinio krūvio, esančio rutulio centre, lauko. Jei mus domina laukas rutulio viduje, tai yra, kada, tai kadangi visas krūvis, paskirstytas rutulio paviršiuje, yra už sferos ribų, mes mintyse piešime. Todėl kamuoliuko viduje nėra lauko:

Panašiai, naudodamiesi Gauso teorema, galite apskaičiuoti elektrostatinį lauką, kurį sukuria begalinis įkrovimas

plokštuma su pastoviu tankiu visuose plokštumos taškuose. Simetrijos sumetimais galime daryti prielaidą, kad jėgos linijos yra statmenos plokštumai, nukreiptos iš jos į abi puses ir visur turi vienodą tankį. Iš tiesų, jei jėgos linijų tankis skirtinguose taškuose būtų skirtingas, tada įkrautos plokštumos judėjimas išilgai savęs lemtų lauko pokyčius šiuose taškuose, o tai prieštarauja sistemos simetrijai - toks poslinkis neturėtų būti pakeisti lauką. Kitaip tariant, begalinės tolygiai įkrautos plokštumos laukas yra vienodas.

Gauso teoremai taikyti kaip uždarą paviršių pasirenkame cilindro paviršių, sukonstruotą taip: cilindro generatorius yra lygiagretus jėgos linijoms, o pagrindų plotai lygiagrečiai įkrautai plokštumai ir yra priešingoje jo pusės (12 pav.). Lauko stiprumo srautas per šoninį paviršių lygus nuliui, todėl bendras srautas per uždarą paviršių lygus srauto per cilindro pagrindą sumai:

Ryžiai. 12. Tolygiai įkrautos plokštumos lauko stiprio skaičiavimui

Pagal Gauso teoremą tą patį srautą lemia tos plokštumos dalies, kuri yra cilindro viduje, krūvis, o SI yra lygus Palyginę šias srauto išraiškas, randame

CGSE sistemoje vienodai įkrautos begalinės plokštumos lauko stiprumas pateikiamas formule

Vienodai įkrautai baigtinių matmenų plokštelei gautos išraiškos apytiksliai galioja srityje, esančiame pakankamai toli nuo plokštės kraštų ir ne per toli nuo jos paviršiaus. Prie plokštės kraštų laukas nebebus vienodas, o jo jėgos linijos išlinkusios. Esant labai dideliems atstumams, palyginti su plokštės matmenimis, laukas mažėja kartu su atstumu, kaip ir taško krūvio laukas.

Kaip kitus simetriškai paskirstytų šaltinių sukurtų laukų pavyzdžius galima paminėti begalinio tiesinio gijų, vienodai įkrauto per ilgį, lauką, vienodai įkrauto begalinio apskrito cilindro lauką, rutulio lauką,

tolygiai įkrautas per tūrį ir tt Gauso teorema leidžia lengvai apskaičiuoti lauko stiprumą visais šiais atvejais.

Gauso teorema pateikia ryšį tarp lauko ir jo šaltinių, tam tikra prasme priešingą tam, kuris suteikia Kulono dėsnį, leidžiantį nustatyti elektrinį lauką tam tikriems krūviams. Naudojant Gauso teoremą, galima nustatyti bendrą krūvį bet kurioje erdvės srityje, kurioje žinomas elektrinio lauko pasiskirstymas.

Kuo skiriasi tolimojo ir trumpojo veikimo sąvokos apibūdinant elektros krūvių sąveiką? Kiek šios sąvokos gali būti taikomos gravitacinei sąveikai?

Kas yra elektrinio lauko stiprumas? Ką jie reiškia, kai jie tai vadina elektrinio lauko stiprumu?

Kaip iš lauko linijų modelio galima spręsti apie lauko stiprumo kryptį ir modulį tam tikrame taške?

Ar elektrinio lauko jėgos linijos gali susikirsti? Pateikite savo atsakymo priežastis.

Nubraižykite kokybinį dviejų krūvių elektrostatinio lauko jėgos linijų paveikslą, kad.

Elektrinio lauko stiprumo srautas per uždarą paviršių išreiškiamas skirtingomis formulėmis (11) ir (12) GSE ir SI vienetų sistemose. Kaip tai suderinti su geometrinė reikšmė srautas, nustatomas pagal jėgos linijų, kertančių paviršių, skaičių?

Kaip panaudoti Gauso teoremą elektrinio lauko stiprumui rasti su simetrišku jį sukuriančių krūvių pasiskirstymu?

Kaip taikyti formules (14) ir (15) skaičiuojant sferos su neigiamu krūviu lauko stiprumą?

Gauso teorema ir fizinės erdvės geometrija. Pažvelkime į Gauso teoremos įrodymą kiek kitu požiūriu. Grįžkime prie (7) formulės, iš kurios buvo padaryta išvada, kad per bet kurį krūvį supantį sferinį paviršių eina tiek pat jėgos linijų. Tokia išvada padaryta dėl to, kad sumažėja abiejų lygybės pusių vardikliai.

Dešinėje pusėje atsirado dėl to, kad krūvių sąveikos jėga, aprašyta Kulono dėsniu, yra atvirkščiai proporcinga atstumo tarp krūvių kvadratui. Kairėje išvaizda yra susijusi su geometrija: sferos paviršiaus plotas yra proporcingas jo spindulio kvadratui.

Paviršiaus ploto proporcingumas tiesinių matmenų kvadratui yra Euklido geometrijos trimatėje erdvėje požymis. Iš tiesų, erdvei būdingas plotų proporcingumas tiesinių matmenų kvadratams, o ne jokiam kitam sveikajam skaičiui.

trijų matmenų. Tai, kad šis eksponentas yra lygiai du ir nesiskiria nuo dviejų, net ir nežymiai, liudija šios trimatės erdvės nekreivumą, tai yra, kad jos geometrija yra būtent euklidinė.

Taigi Gauso teorema yra fizinės erdvės savybių pasireiškimas pagrindiniame elektros krūvių sąveikos dėsnyje.

Idėją apie glaudų ryšį tarp pagrindinių fizikos dėsnių ir erdvės savybių išreiškė daugelis išskirtiniai protai dar gerokai iki pačių šių įstatymų nustatymo. Taigi I. Kantas likus trims dešimtmečiams iki Kulono dėsnio atradimo apie erdvės savybes rašė: „Trimatiškumas atsiranda, matyt, todėl, kad substancijos egzistuojančiame pasaulyje veikia viena kitą taip, kad veikimo jėga yra atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui“.

Kulono dėsnis ir Gauso teorema iš tikrųjų reiškia tą patį gamtos dėsnį, išreikštą skirtingos formos... Kulono dėsnis atspindi tolimojo veiksmo sampratą, o Gauso teorema kyla iš erdvės užpildančio jėgos lauko sampratos, tai yra iš trumpojo veikimo sąvokos. Elektrostatikoje jėgos lauko šaltinis yra krūvis, o su šaltiniu susijusio lauko charakteristika – intensyvumo srautas – negali kisti tuščioje erdvėje, kur nėra kitų krūvių. Kadangi srautą galima įsivaizduoti kaip jėgos lauko linijų rinkinį, srauto nekintamumas pasireiškia šių linijų tęstinumu.

Gauso teorema, pagrįsta atvirkštiniu sąveikos proporcingumu atstumo kvadratui ir superpozicijos (sąveikos adityvumo) principu, taikytina bet kuriam fizikiniam laukui, kuriame veikia atvirkštinis kvadrato dėsnis. Visų pirma, tai galioja ir gravitaciniam laukui. Akivaizdu, kad tai ne tik atsitiktinis sutapimas, bet ir to fakto, kad trimatėje Euklido fizinėje erdvėje vyksta elektrinės ir gravitacinės sąveikos, atspindys.

Kokia elektros krūvių sąveikos dėsnio ypatybe remiasi Gauso teorema?

Remdamiesi Gauso teorema įrodykite, kad taškinio krūvio elektrinio lauko stipris yra atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui. Kokios erdvės simetrijos savybės naudojamos šiame įrodyme?

Kaip fizinės erdvės geometrija atsispindi Kulono įstatyme ir Gauso teoremoje? Kokia šių dėsnių ypatybė liudija euklidišką fizinės erdvės geometrijos ir trimatės prigimtį?

Bendra formuluotė: Elektrinio lauko stiprumo vektoriaus srautas per bet kurį savavališkai pasirinktą uždarą paviršių yra proporcingas šiame paviršiuje esančiam elektros krūviui.

CGSE sistemoje:

SI sistemoje:

- elektrinio lauko stiprumo vektoriaus srautas per uždarą paviršių.

- bendras krūvis, esantis paviršių ribojančiame tūryje.

- elektros konstanta.

Ši išraiška yra Gauso teorema integralia forma.

Diferencine forma Gauso teorema atitinka vieną iš Maksvelo lygčių ir išreiškiama taip

SI sistemoje:

,

CGSE sistemoje:

Čia yra tūrinis krūvio tankis (esant terpei, bendras laisvųjų ir surištų krūvių tankis) ir yra nabla operatorius.

Gauso teoremai galioja superpozicijos principas, tai yra, įtempių vektoriaus srautas per paviršių nepriklauso nuo krūvio pasiskirstymo paviršiaus viduje.

Gauso teoremos fizikinis pagrindas yra Kulono dėsnis, arba, kitaip tariant, Gauso teorema yra vientisa Kulono dėsnio formuluotė.

Gauso teorema už elektrinė indukcija(elektrinis poslinkis).

Medžiagos laukui Gauso elektrostatinę teoremą galima parašyti kitaip – ​​per elektrinio poslinkio vektoriaus srautą (elektrinę indukciją). Šiuo atveju teoremos formuluotė yra tokia: elektrinio poslinkio vektoriaus srautas per uždarą paviršių yra proporcingas laisvam elektros krūviui, esančiam šiame paviršiuje:

Jei laikysime teoremą apie lauko stiprumą medžiagoje, tada kaip krūvį Q reikia paimti paviršiaus viduje esančio laisvojo krūvio ir dielektriko poliarizacijos (indukuoto, surištojo) krūvio sumą:

,

kur ,
Ar dielektriko poliarizacijos vektorius.

Gauso magnetinės indukcijos teorema

Magnetinės indukcijos vektoriaus srautas per bet kurį uždarą paviršių yra lygus nuliui:

.

Tai prilygsta faktui, kad gamtoje nėra „magnetinių krūvių“ (monopolių), kurie sukurtų magnetinį lauką, nes elektros krūviai sukuria elektrinį lauką. Kitaip tariant, magnetinės indukcijos Gauso teorema rodo, kad magnetinis laukas yra sūkurys.

Gauso teoremos taikymas

Elektromagnetiniams laukams apskaičiuoti naudojami šie dydžiai:

Tūrinio krūvio tankis (žr. aukščiau).

Paviršiaus krūvio tankis

kur dS yra be galo mažas paviršiaus plotas.

Linijinio krūvio tankis

čia dl yra be galo mažo atkarpos ilgis.

Apsvarstykite lauką, kurį sukuria begalinė vienalytė įkrauta plokštuma. Tegul plokštumos paviršiaus krūvio tankis yra toks pat ir lygus σ. Įsivaizduokite cilindrą, kurio generatricos statmenos plokštumai, o pagrindas ΔS yra simetriškai plokštumos atžvilgiu. Dėl simetrijos. Intensyvumo vektoriaus srautas lygus. Taikydami Gauso teoremą gauname:

,

iš kurių

CGSE sistemoje

Svarbu pažymėti, kad, nepaisant jos universalumo ir bendrumo, Gauso teorema integralų pavidalu yra gana ribota dėl integralo skaičiavimo nepatogumų. Tačiau simetriškos problemos atveju jos sprendimas tampa daug paprastesnis nei naudojant superpozicijos principą.

Panagrinėkime, kaip kinta vektoriaus E reikšmė dviejų terpių, pavyzdžiui, oro (ε 1) ir vandens (ε = 81), sąsajoje. Lauko stiprumas vandenyje sumažėja 81 kartą. Šis vektoriaus elgesys E sukuria tam tikrų nepatogumų skaičiuojant laukus įvairiose aplinkose. Siekiant išvengti šių nepatogumų, įvedamas naujas vektorius D Lauko indukcijos arba elektrinio poslinkio vektorius. Nuorodų vektoriai D ir E turi formą

D = ε ε 0 E.

Akivaizdu, kad taškinio krūvio lauko elektrinis poslinkis bus lygus

Nesunku pastebėti, kad elektrinis poslinkis matuojamas C / m 2, nepriklauso nuo savybių ir yra grafiškai pavaizduotas linijomis, panašiomis į įtempimo linijas.

Lauko jėgos linijų kryptis apibūdina lauko kryptį erdvėje (jėgų linijų, žinoma, nėra, jos pateikiamos iliustravimo patogumui) arba lauko stiprumo vektoriaus kryptį. Įtempimo linijų pagalba galima apibūdinti ne tik kryptį, bet ir lauko stiprumo dydį. Tam mes sutikome juos atlikti tam tikru tankiu, kad įtempimo linijų, prasiskverbiančių į paviršiaus vienetą, statmeną įtempimo linijoms, skaičius būtų proporcingas vektoriaus moduliui. E(78 pav.). Tada linijų, prasiskverbiančių į elementariąją sritį, skaičius dS, kurios normalioji n sudaro kampą α su vektoriumi E, yra lygus E dScos α = E n dS,

kur E n yra vektoriaus komponentas E normali kryptis n... Reikšmė dФ Е = E n dS = E d S yra vadinami tempimo vektoriaus srautas per svetainę d S(d S= dS n).

Savavališkam uždaram paviršiui S vektoriaus srautas E per šį paviršių

Panaši išraiška turi elektrinio poslinkio vektoriaus Ф D srautą

.

Ostrogradskio-Gauso teorema

Ši teorema leidžia nustatyti vektorių E ir D srautą iš bet kokio krūvių skaičiaus. Paimkite taškinį krūvį Q ir apibrėžkite vektoriaus srautą E per sferinį r spindulio paviršių, kurio centre jis yra.

Jei sferinis paviršius α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ir

Ф E = E 4 πr 2.

Pakeitę išraišką E, gauname

Taigi iš kiekvieno taško krūvio atsiranda vektoriaus srautas Ф Е E lygus Q / ε 0. Apibendrinus šią išvadą į bendrą atsitiktinio taškinių krūvių skaičiaus atvejį, formuluojama teorema: bendras vektoriaus srautas E per uždarą savavališkos formos paviršių yra skaitine prasme lygi elektrinių krūvių, esančių šiame paviršiuje, algebrinei sumai, padalytai iš ε 0, t.y.

Elektrinio poslinkio vektoriaus srautui D galite gauti panašią formulę

indukcijos vektoriaus srautas per uždarą paviršių lygus elektrinių krūvių, padengtų šiuo paviršiumi, algebrinei sumai.

Jei imsime uždarą paviršių, kuris neuždengia krūvio, tada kiekviena linija E ir D kirs šį paviršių du kartus - prie įėjimo ir išleidimo angos, todėl bendras srautas bus lygus nuliui. Čia būtina atsižvelgti į įeinančių ir išeinančių eilučių algebrinę sumą.

Ostrogradskio-Gausso teoremos taikymas apskaičiuojant plokštumų, rutulio ir cilindro sukuriamus elektrinius laukus

Sferinis R spindulio paviršius turi krūvį Q, tolygiai paskirstytą paviršiuje, kurio paviršiaus tankis σ

Paimkite tašką A už sferos ribų atstumu r nuo centro ir mintyse nubrėžkite r spindulio simetriškai įkrautą sferą (79 pav.). Jo plotas S = 4 πr 2. Vektoriaus E srautas bus lygus

Pagal Ostrogradskio-Gauso teoremą
, vadinasi,
atsižvelgę ​​į tai, kad Q = σ 4 πr 2, gauname

Taškams, esantiems sferos paviršiuje (R = r)

D Taškams tuščiavidurės sferos viduje (sferoje nėra krūvio), E = 0.

2 ... Tuščiaviduris cilindrinis paviršius, kurio spindulys ir ilgis yra R lįkrautas pastoviu paviršiaus krūvio tankiu
(80 pav.). Nubraižykime koaksialinį cilindrinį paviršių, kurio spindulys r> R.

Vektorių srautas E per šį paviršių

Pagal Gauso teoremą

Sulyginę aukščiau paminėtų lygybių dešiniąsias puses, gauname

.

Jei nurodytas cilindro (arba plono sriegio) linijinis įkrovos tankis
tada

3. Begalinių plokštumų, kurių paviršiaus krūvio tankis σ, laukas (81 pav.).

Apsvarstykite lauką, kurį sukuria begalinė plokštuma. Atsižvelgiant į simetriją, išplaukia, kad intensyvumas bet kuriame lauko taške turi statmeną plokštumai kryptį.

Simetriškuose taškuose E bus vienodo dydžio ir priešingos krypties.

Protiškai sukonstruokime cilindro paviršių su pagrindu ΔS. Tada per kiekvieną cilindro pagrindą išeis srautas

Ф Е = Е ΔS, o bendras srautas per cilindrinį paviršių bus lygus Ф Е = 2Е ΔS.

Paviršiaus viduje yra krūvis Q = σ · ΔS. Pagal Gauso teoremą,

kur

Gautas rezultatas nepriklauso nuo pasirinkto cilindro aukščio. Taigi lauko stipris E bet kokiu atstumu yra vienodo dydžio.

Dviejų priešingai įkrautų plokštumų, kurių paviršiaus krūvio tankis yra vienodas σ, pagal superpozicijos principą už erdvės tarp plokštumų lauko stipris lygus nuliui, E = 0, o erdvėje tarp plokštumų
(82a pav.). Jei plokštumos įkraunamos to paties pavadinimo krūviais, kurių paviršinis krūvio tankis yra toks pat, stebimas priešingas vaizdas (82b pav.). Erdvėje tarp plokštumų E = 0, o erdvėje už plokštumų
.

Supažindinkime su elektrinės indukcijos vektoriaus srauto samprata. Apsvarstykite be galo mažą plotą. Daugeliu atvejų būtina žinoti ne tik svetainės dydį, bet ir jos orientaciją erdvėje. Supažindinkime su vektorinės platformos sąvoka. Sutikime, kad vektorius-svetainė reiškia vektorių, nukreiptą statmenai vietai ir skaitiniu požiūriu lygų svetainės dydžiui.

1 paveikslas – prie vektoriaus – vietos apibrėžimo

Pavadinkime vektorinį srautą visoje svetainėje
vektorių taškinė sandauga ir
... Taigi,

Vektorių srautas per savavališką paviršių randamas integruojant visus elementarius srautus

(4)

Jei laukas vienodas ir lygus esantis statmenai laukui, tada:

. (5)

Aukščiau pateikta išraiška nustato jėgos linijų, prasiskverbiančių į vietą, skaičių per laiko vienetą.

Ostrogradskio-Gauso teorema. Elektrinio lauko stiprio divergencija

Elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per savavališką uždarą paviršių lygi algebrinei laisvųjų elektros krūvių sumai padengtas šiuo paviršiumi

(6)

Išraiška (6) yra Teorema O-G integralia forma. 0-D teorema veikia su integraliniu (suminiu) efektu, t.y. jeigu
tada nežinoma, ar tai reiškia krūvių nebuvimą visuose tiriamos erdvės dalies taškuose, ar teigiamų ir neigiamų krūvių, esančių skirtinguose šios erdvės taškuose, suma lygi nuliui.

Norint rasti esamus krūvius ir jų dydį tam tikrame lauke, reikia ryšio, jungiančio elektrinės indukcijos vektorių tam tikrame taške su krūviu tame pačiame taške.

Tarkime, kad turime nustatyti krūvio buvimą taške a(2 pav.)

2 paveikslas – vektoriaus divergencijos apskaičiavimui

Taikome O-G teoremą. Elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per savavališką paviršių, ribojantį tūrį, kuriame yra taškas a, yra lygus

Algebrinę krūvių sumą tūryje galima parašyti tūrio integralo forma

(7)

kur - mokestis už tūrio vienetą ;

- tūrio elementas.

Norėdami gauti ryšį tarp lauko ir krūvio taške a sumažinsime garsumą, patraukdami paviršių į tašką a... Šiuo atveju mes padalijame abi savo lygybės puses iš vertės ... Peržengę ribą, gauname:

.

Dešinė gautos išraiškos pusė pagal apibrėžimą yra tūrinis krūvio tankis nagrinėjamame erdvės taške. Kairioji pusė rodo elektrinės indukcijos vektoriaus srauto per uždarą paviršių santykio su tūriu, kurį riboja šis paviršius, ribą, kai tūris linkęs į nulį. Šis skaliarinis dydis yra svarbi elektrinio lauko charakteristika ir yra vadinama divergencijos vektorius .

Taigi:

,

vadinasi

, (8)

kur - tūrinis įkrovos tankis.

Naudojant šį santykį tiesiog išsprendžiama atvirkštinė elektrostatikos problema, t.y. rasti paskirstytus krūvius per žinomą lauką.

Jei vektorius yra duotas, tada žinomos jo projekcijos
,
,
koordinačių ašyse kaip koordinačių funkcija ir apskaičiuoti krūvių, sukūrusių tam tikrą lauką, paskirstytą tankį, pasirodo, pakanka rasti trijų šių projekcijų dalinių išvestinių atitinkamų kintamųjų atžvilgiu sumą. Tuose taškuose, kuriems
jokių mokesčių. Taškuose, kur
yra teigiamas, yra teigiamas krūvis, kurio tūrinis tankis lygus
, ir tose vietose, kur
turės neigiamą reikšmę, yra neigiamas krūvis, kurio tankis taip pat nustatomas pagal divergencijos reikšmę.

Išraiška (8) parodo teoremą 0-Г diferencine forma. Šioje formoje teorema parodo kad elektrinio lauko šaltiniai yra laisvieji elektros krūviai; elektrinės indukcijos vektoriaus jėgos linijos prasideda ir baigiasi atitinkamai teigiamais ir neigiamais krūviais.