Išvestinės lygties geometrinė reikšmė. geometrinė ir fizinė reikšmė. Parabolės liestinė

Darinys(funkcijos taške) – pagrindinė sąvoka diferencialinis skaičiavimas charakterizuojantys funkcijos kitimo greitį (tam tikrame taške). Apibrėžtas kaip riba funkcijos prieaugio ir jos prieaugio santykis argumentas kai bandoma padidinti argumentą iki nulis jei tokia riba egzistuoja. Funkcija, turinti baigtinę išvestinę (tam tikru momentu), vadinama diferencijuojamąja (tam tikrame taške).

Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija. Atvirkštinis procesas – radimas primityvus - integracija.

Jei funkcija pateikta grafiku, jos išvestinė kiekviename taške yra lygi funkcijos grafiko liestinės nuolydžio liestei. O jei funkcija duota formule, jums padės išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės, tai yra išvestinės radimo taisyklės.

4. Sudėtinės ir atvirkštinės funkcijos išvestinė.

Tegu dabar duota sudėtinga funkcija , t.y. kintamasis yra kintamojo funkcija, o kintamasis savo ruožtu yra nepriklausomo kintamojo funkcija.

Teorema . Jeigu ir  skiriasi jos argumentų funkcijos, tada sudėtinga funkcija yra diferencijuojama funkcija, o jos išvestinė yra lygi duotosios funkcijos išvestinės tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu:

.

Teiginys lengvai gaunamas iš akivaizdžios lygybės (galioja ir ) pereinant prie ribos ties (kas dėl diferencijuojamos funkcijos tęstinumo reiškia ).

Pereikime prie išvestinės svarstymo atvirkštinė funkcija.

Tegul diferencijuojama aibės funkcija turi reikšmių rinkinį, o rinkinyje ji egzistuoja atvirkštinė funkcija .

Teorema . Jei taške išvestinė , tada atvirkštinės funkcijos išvestinė taške egzistuoja ir yra lygus duotosios funkcijos išvestinės atvirkštiniam dydžiui: , arba

Šią formulę nesunku gauti iš geometrinių sumetimų.

T nes yra liestinės linijos polinkio kampo liestinė į ašį, tai yra tos pačios liestinės (tos pačios tiesės) polinkio kampo liestinė tame pačiame ašies taške.

Jei jie aštrūs, tada , o jei buki, tada .

Abiem atvejais . Ši lygybė yra lygiavertė lygybei

5.Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė.

1) Išvestinio fizinė reikšmė.

Jei funkcija y = f(x) ir jos argumentas x yra fiziniai dydžiai, tai išvestinė yra kintamojo y kitimo greitis kintamojo x atžvilgiu taške. Pavyzdžiui, jei S \u003d S (t) yra atstumas, nuvažiuotas laiko tašku t, tada jo išvestinė yra greitis tuo metu. Jei q = q(t) yra elektros kiekis, tekantis per laidininko skerspjūvį momentu t, tai elektros energijos kiekio kitimo greitis laiku, t.y. srovės stiprumas vienu metu.

2) Geometrinė išvestinės reikšmė.

Leiskite būti tam tikra kreivė, būti kreivės tašku.

Bet kuri tiesė, kuri kerta bent du taškus, vadinama sekantu.

Kreivės liestinė taške yra ribinė sekanto padėtis, jei taškas linkęs, judant išilgai kreivės.

Iš apibrėžimo akivaizdu, kad jei taške egzistuoja kreivės liestinė, tada ji yra unikali.

Panagrinėkime kreivę y = f(x) (t.y. funkcijos y = f(x) grafiką). Tegul taške jis turi ne vertikalią liestinę. Jo lygtis yra: (tiesės, einančios per tašką, lygtis ir turintys nuolydis k).

Pagal nuolydžio koeficiento apibrėžimą, kur yra tiesės polinkio į ašį kampas.

Leisti būti pasvirimo kampas sekantas į ašį, kur. Kadangi yra liestinė, tada

Vadinasi,

Taigi gavome, kad tai yra funkcijos y = f(x) grafiko liestinės nuolydis taške (geometrinė funkcijos išvestinės taške reikšmė). Todėl kreivės y = f(x) liestinės lygtis taške galima parašyti formoje

Tema. Darinys. Geometrinė ir mechaninė vedinio reikšmė

Jei ši riba egzistuoja, tada sakoma, kad funkcija taške yra diferencijuojama. Funkcijos išvestinė žymima (2 formulė).

1. geometrinis pojūtis išvestinė. Apsvarstykite funkcijų grafiką. Iš 1 pav. matyti, kad bet kuriems dviem funkcijos grafiko taškams A ir B galima parašyti 3) formulę. Jame - sekanto AB pasvirimo kampas.

Taigi skirtumo santykis yra lygus sekanto nuolydžiui. Jeigu fiksuojame tašką A ir link jo judame tašką B, tai jis neribotai mažėja ir artėja prie 0, o sekantas AB artėja prie liestinės AC. Todėl skirtumo santykio riba yra lygi liestinės nuolydžiui taške A. Taigi daroma išvada.

Funkcijos išvestinė taške yra tos funkcijos grafiko liestinės nuolydis tame taške. Tai geometrinė išvestinės reikšmė.

1. Tangento lygtis . Išveskime funkcijos grafiko liestinės lygtį taške. Bendruoju atveju tiesės su nuolydžiu lygtis yra tokia: . Norėdami rasti b, naudojame tai, kad liestinė eina per tašką A: . Tai reiškia:. Pakeitę šią išraišką b, gauname liestinės lygtį (4 formulė).

Paskaita: Funkcijos išvestinės samprata, geometrinė išvestinės reikšmė

Apsvarstykite kokią nors funkciją f(x), kuri bus ištisinė per visą svarstymo intervalą. Aptariamame intervale pasirenkame tašką x 0, taip pat funkcijos reikšmę šiame taške.

Taigi, pažiūrėkime į grafiką, kuriame pažymime savo tašką x 0, taip pat tašką (x 0 + ∆x). Prisiminkite, kad ∆x yra atstumas (skirtumas) tarp dviejų pasirinktų taškų.

Taip pat verta suprasti, kad kiekvienas x atitinka savo funkcijos y reikšmę.

Skirtumas tarp funkcijos reikšmių taškuose x 0 ir (x 0 + ∆x) vadinamas šios funkcijos prieaugiu: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

Atkreipkime dėmesį į papildomą informaciją, kuri yra diagramoje - tai sekantas, vadinamas KL, taip pat trikampis, kurį jis sudaro intervalais KN ir LN.

Kampas, kuriuo yra sekantas, vadinamas jo pasvirimo kampu ir žymimas α. Galima nesunkiai nustatyti, kad kampo LKN laipsnio matas taip pat lygus α.

O dabar prisiminkime santykius stačiakampiame trikampyje tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Tai yra, sekanto nuolydžio liestinė yra lygi funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykiui.

Vienu metu išvestinė yra funkcijos padidėjimo santykio su argumento prieaugiu be galo mažuose intervaluose riba.

Išvestinė nustato greitį, kuriuo funkcija keičiasi tam tikroje srityje.

Išvestinės geometrinė reikšmė

Jei tam tikru momentu rasite bet kurios funkcijos išvestinę, galite nustatyti kampą, kuriame bus grafiko liestinė tam tikroje srovėje, palyginti su OX ašimi. Atkreipkite dėmesį į grafiką - liestinės polinkio kampas žymimas raide φ ir nustatomas pagal koeficientą k tiesiojoje lygtyje: y \u003d kx + b.

Tai yra, galime daryti išvadą, kad geometrinė išvestinės reikšmė yra liestinės nuolydžio liestinė tam tikrame funkcijos taške.

Pamokos tikslai:

Mokiniai turėtų žinoti:

• tai, kas vadinama tiesės nuolydžiu;
• kampas tarp linijos ir x ašies;
• kokia geometrinė išvestinės reikšmė;
• funkcijos grafiko liestinės lygtis;
• parabolės liestinės sudarymo metodas;
• gebėti teorines žinias pritaikyti praktikoje.

Pamokos tikslai:

Edukacinis: sudaryti sąlygas studentams įsisavinti žinių, įgūdžių ir gebėjimų sistemą su išvestinės mechaninės ir geometrinės reikšmės sąvokomis.

Ugdomasis: formuoti mokinių mokslinę pasaulėžiūrą.

Lavinantis: ugdyti mokinių pažintinį susidomėjimą, kūrybiškumą, valią, atmintį, kalbą, dėmesį, vaizduotę, suvokimą.

Edukacinės ir pažintinės veiklos organizavimo metodai:

• vizualinis;
• praktiška;
• apie protinę veiklą: indukcinis;
• pagal medžiagos asimiliaciją: iš dalies tiriamasis, dauginamasis;
• pagal savarankiškumo laipsnį: laboratoriniai darbai;
• skatinantis: padrąsinimas;
• kontrolė: žodinė priekinė apklausa.

Pamokos planas

1. Burnos pratimai (raskite išvestinį)
2. Studento pranešimas tema „Matematinės analizės atsiradimo priežastys“.
3. Naujos medžiagos mokymasis
4. Fizik. Minutė.
5. Problemų sprendimas.
6. Laboratoriniai darbai.
7. Apibendrinant pamoką.
8. Namų darbų komentavimas.

Įranga: multimedijos projektorius (prezentacija), kortelės ( laboratoriniai darbai).

„Žmogus kažką pasiekia tik ten, kur tiki savimi“

L. Feuerbachas

Klasės organizavimas visos pamokos metu, mokinių pasirengimas pamokai, tvarka ir drausmė.

Mokymosi tikslų nustatymas mokiniams tiek visai pamokai, tiek atskiriems jos etapams.

Nustatykite studijuojamos medžiagos reikšmę tiek šioje temoje, tiek visame kurse.

Žodinis skaičiavimas

1. Raskite išvestines:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Loginis testas.

a) Įterpkite trūkstamą išraišką.

Bendrąją mokslo raidos kryptį galiausiai lemia žmogaus veiklos praktikos reikalavimai. Senovės valstybių su sudėtinga hierarchine valdymo sistema egzistavimas būtų buvęs neįmanomas be pakankamai išplėtotos aritmetikos ir algebros, nes reikėjo surinkti mokesčius, organizuoti kariuomenės aprūpinimą, statyti rūmus ir piramides, sukurti drėkinimo sistemas. sudėtingi skaičiavimai. Renesanso laikais plėtėsi ryšiai tarp įvairių viduramžių pasaulio dalių, vystėsi prekyba, amatai. Prasideda spartus gamybos techninio lygio kilimas, pramoniniu būdu naudojami nauji energijos šaltiniai, nesusiję su žmonių ar gyvūnų raumenų pastangomis. XI-XII amžiais pasirodė staklės ir staklės, o XV viduryje - spaustuvė. Ryšium su poreikiu sparčiai vystyti socialinę gamybą šiuo laikotarpiu, keičiasi gamtos mokslų, kurie buvo aprašomieji nuo antikos laikais, esmė. Gamtos mokslo tikslu tampa nuodugnus gamtos procesų, o ne objektų tyrimas. Antikos aprašomasis gamtos mokslas atitiko matematiką, kuri operavo pastoviomis vertybėmis. Reikėjo sukurti matematinį aparatą, kuris apibūdintų ne proceso rezultatą, o jo tėkmės pobūdį ir jam būdingus modelius. Dėl to iki XII amžiaus pabaigos Niutonas Anglijoje ir Leibnicas Vokietijoje baigė pirmąjį matematinės analizės kūrimo etapą. Kas yra „matematinė analizė“? Kaip galima apibūdinti ir numatyti bet kurio proceso ypatybes? Naudoti šias funkcijas? Giliau įsiskverbti į to ar kito reiškinio esmę?

Eikime Niutono ir Leibnizo keliu ir pažiūrėkime, kaip galime analizuoti procesą, vertindami jį kaip laiko funkciją.

Leiskite pristatyti keletą sąvokų, kurios mums padės toliau.

Tiesinės funkcijos y=kx+ b grafikas yra tiesė, vadinamas skaičius k tiesios linijos nuolydis. k=tg, kur yra tiesės kampas, tai yra kampas tarp šios tiesės ir teigiamos Ox ašies krypties.

1 paveikslas

Apsvarstykite funkcijos y \u003d f (x) grafiką. Nubrėžkite sekantą per bet kuriuos du taškus, pavyzdžiui, sekantą AM. (2 pav.)

Sekanto nuolydis k=tg. Stačiame trikampyje AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

2 pav

3 pav

Pats terminas „greitis“ apibūdina vieno kiekio pokyčio priklausomybę nuo kito kiekio pasikeitimo, o pastarasis nebūtinai turi būti laikas.

Taigi sekanto nuolydžio liestinė tg = .

Mus domina verčių kitimo priklausomybė per trumpesnį laiką. Padėkime argumento padidėjimą iki nulio. Tada dešinioji formulės pusė yra funkcijos taške A išvestinė (paaiškinkite kodėl). Jei x -> 0, tai taškas M grafike juda į tašką A, o tai reiškia, kad tiesė AM artėja prie kokios nors tiesės AB, kuri yra funkcijos y \u003d f (x) grafiko liestinė taške A. (3 pav.)

Sekanto pasvirimo kampas yra linkęs į liestinės pasvirimo kampą.

Geometrinė išvestinės reikšmė ta, kad išvestinės reikšmė taške yra lygi funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui taške.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Liestinės nuolydžio liestinė yra reikšmė, rodanti momentinį funkcijos kitimo greitį tam tikrame taške, tai yra nauja tiriamo proceso charakteristika. Leibnicas pavadino šį kiekį išvestinė, o Niutonas pasakė, kad momentinis greitis.

Nr.91(1) 91 psl. parodyti lentoje.

Kreivės f (x) \u003d x 3 liestinės nuolydis taške x 0 - 1 yra šios funkcijos išvestinės reikšmė x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

Nr.91 (3.5) - pagal diktantą.

Nr.92 (1) – lentoje pagal valią.

Nr. 92 (3) - savarankiškai su patikrinimu žodžiu.

Nr.92 (5) - prie valdybos.

Atsakymai: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Tikslas: „mechaninės darinio reikšmės“ sąvokos sukūrimas.

Išvestinės taikymas mechanikai.

Duotas taško x = x(t), t tiesinio judėjimo dėsnis.

1. Vidutinis judėjimo greitis nurodytu laikotarpiu;
2. Greitis ir pagreitis momentu t 04
3. sustojimo taškai; ar taškas po sustojimo momento toliau juda ta pačia kryptimi, ar pradeda judėti priešinga kryptimi;
4. Didžiausias judėjimo greitis tam tikrą laiką.

Darbas atliekamas pagal 12 variantų, užduotys diferencijuojamos pagal sudėtingumo laipsnį (pirmas variantas – žemiausias sudėtingumo lygis).

Prieš pradedant darbą, pokalbis šiais klausimais:

1. Kokia yra poslinkio išvestinės fizinė reikšmė? (Greitis).
2. Ar galite rasti greičio išvestinę? Ar šis dydis naudojamas fizikoje? kaip tai vadinasi? (Pagreitis).
3. Momentinis greitis lygus nuliui. Ką galima pasakyti apie kūno judėjimą šiuo metu? (Tai yra sustojimo taškas).
4. Kokią fizinę reikšmę turi šie teiginiai: judėjimo išvestinė lygi nuliui taške t 0; ar išvestinė pasikeičia ženklą eidama per tašką t 0? (Kūnas sustoja; judėjimo kryptis pasikeičia į priešingą).

Pavyzdinis darbas studentams.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

4 pav

Priešinga kryptimi.

Nubraižykime schematinį greičio grafiką. Didžiausias greitis pasiekiamas taške

t = 10, v (10) = 3 10 2 -4 10 = 300-40 = 260

5 pav

1) Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?
2) Kokia mechaninė vedinio reikšmė?
3) Padarykite išvadą apie savo darbą.

90 psl. Nr.91 (2,4,6), Nr.92 (2,4,6,), Nr.92 Nr.112.

Naudotos knygos

• Vadovėlis Algebra ir analizės pradžia.
  Autoriai: Yu.M. Kolyaginas, M.V. Tkačiova, N.E. Fedorova, M.I. Šabuninas.
  Redagavo A. B. Žižčenko.
• Algebra 11 klasė. Pamokų planai pagal Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov vadovėlius. 1 dalis.
• Interneto šaltiniai: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Norėdami sužinoti išvestinės geometrinę reikšmę, panagrinėkime funkcijos y = f(x) grafiką. Paimkite savavališką tašką M su koordinatėmis (x, y) ir arti jo esantį tašką N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Nubrėžkime ordinates $\overline(M_(1) M)$ ir $\overline(N_(1) N)$, o iš taško M nubrėžkime tiesę, lygiagrečią OX ašiai.

Santykis $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ yra kampo $\alpha $1, sudaryto iš sekantės MN su teigiama OX ašies kryptimi, liestinė. Kadangi $\Delta $x linkęs į nulį, taškas N priartės prie M, o kreivės liestinė MT taške M taps ribine sekanto MN padėtimi. Taigi išvestinė f`(x) yra lygi liestine kampo $\alpha $, kurį sudaro liestinė, kad kreivė būtų taške M (x, y) teigiama kryptimi į OX ašį - liestinės nuolydis (1 pav.).

1 pav. Funkcijos grafikas

Skaičiuojant reikšmes pagal formules (1), svarbu nepadaryti klaidos ženkluose, nes prieaugis gali būti neigiamas.

Taškas N, esantis kreivėje, gali priartėti prie M iš bet kurios pusės. Taigi, jei 1 paveiksle liestinė nurodyta priešinga kryptimi, kampas $\alpha $ pasikeis $\pi $, o tai reikšmingai paveiks kampo liestinę ir atitinkamai nuolydį.

Išvada

Iš to išplaukia, kad išvestinės egzistavimas yra susijęs su kreivės y = f(x) liestinės egzistavimu, o nuolydis -- tg $\alpha $ = f`(x) yra baigtinis. Todėl liestinė neturi būti lygiagreti OY ašiai, kitaip $\alpha $ = $\pi $/2, ir kampo liestinė bus begalinė.

Kai kuriuose taškuose ištisinė kreivė gali neturėti liestinės arba turėti liestinę, lygiagrečią OY ašiai (2 pav.). Tada funkcija šiose reikšmėse negali turėti išvestinės. Tokių taškų funkcijos kreivėje gali būti bet koks skaičius.

2 pav. Išskirtiniai kreivės taškai

Apsvarstykite 2 paveikslą. Tegul $\Delta $x yra nulis nuo neigiamų arba teigiamų verčių:

\[\Delta x\to -0\begin(masyvas)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(masyvas)\]

Jei šiuo atveju santykiai (1) turi baigtinį praėjimą, jis žymimas taip:

Pirmuoju atveju vedinys kairėje, antruoju – vedinys dešinėje.

Ribos buvimas kalba apie kairiojo ir dešiniojo išvestinių lygiavertiškumą ir lygybę:

Jei kairioji ir dešinioji išvestinės nėra lygios, tai šiame taške yra liestinės, kurios nėra lygiagrečios OY (taškas M1, 2 pav.). Taškuose M2, M3 santykiai (1) linkę į begalybę.

N taškų kairėje nuo M2 $\Delta $x $

$M_2$ dešinėje $\Delta $x $>$ 0, bet išraiška taip pat yra f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Taškui $M_3$ kairėje $\Delta $x $$ 0 ir f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, t.y. išraiškos (1) yra teigiamos kairėje ir dešinėje ir yra linkusios +$\infty $, kai $\Delta $x artėja prie -0 ir +0.

Išvestinės nebuvimo konkrečiuose tiesės taškuose (x = c) atvejis parodytas 3 paveiksle.

3 pav. Išvestinių priemonių nebuvimas

1 pavyzdys

4 paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas ir grafiko liestinė taške su abscise $x_0$. Raskite funkcijos išvestinės reikšmę abscisėje.

Sprendimas. Išvestinė taške yra lygi funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykiui. Parinkime du taškus su sveikosiomis koordinatėmis liestinėje. Pavyzdžiui, tai gali būti taškai F (-3,2) ir C (-2,4).