Išvestinė funkcija. Išvestinės geometrinė reikšmė. Funkcijos nagrinėjimas naudojant išvestinę priemonę

Rodo ryšį tarp išvestinės ženklo ir funkcijos monotoniškumo pobūdžio.

Prašome būti labai atsargiems toliau. Žiūrėk, tvarkaraštis KAS tau duotas! Funkcija arba jos darinys

Jei pateikiamas išvestinės grafikas, tada mus domins tik funkcijos ženklai ir nuliai. Jokios „kalvos“ ir „įdubos“ mums iš principo neįdomios!

1 tikslas.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos grafikas, apibrėžtas intervalu. Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, skaičių.

Sprendimas:

Paveiksle mažėjančios funkcijos sritys yra paryškintos spalva:

Į šias mažėjančios funkcijos sritis patenka 4 sveikųjų skaičių vertės.

2 tikslas.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos grafikas, apibrėžtas intervalu. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiesia linija, skaičių.

Sprendimas:

Kadangi funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti (arba sutampa) su tiesia linija (arba, kuri yra ta pati), turinti nuolydis lygus nuliui, tada liestinė taip pat turi nuolydį.

Tai, savo ruožtu, reiškia, kad liestinė yra lygiagreti ašiai, nes nuolydis yra liestinės kampo prie ašies liestinė.

Todėl grafike randame ekstremalių taškų (maksimalių ir minimalių taškų), - būtent juose funkcijos grafiko liestinės bus lygiagrečios ašiai.

Yra 4 tokie taškai.

3 tikslas.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos išvestinės grafikas, apibrėžtas per tam tikrą intervalą. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiesia linija, skaičių.

Sprendimas:

Kadangi funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti (arba sutampa) su tiesia linija, turinčia nuolydį, tai liestinė turi nuolydį.

Tai savo ruožtu reiškia, kad sąlyčio taškai.

Todėl mes žiūrime, kiek diagramos taškų ordinatė yra lygi.

Kaip matote, yra keturi tokie taškai.

4 užduotis.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos grafikas, apibrėžtas intervalu. Raskite taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra 0, skaičių.

Sprendimas:

Ekstremumo taškuose darinys yra lygus nuliui. Mes turime 4 iš jų:

5 užduotis.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos grafikas ir vienuolika taškų abscisės ašyje:. Kiek iš šių taškų funkcijos išvestinė yra neigiama?

Sprendimas:

Mažėjančios funkcijos intervalais jo darinys įgauna neigiamas reikšmes. Ir funkcija sumažėja taškuose. Yra 4 tokie taškai.

6 užduotis.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos grafikas, apibrėžtas intervalu. Raskite funkcijos kraštutinių taškų sumą.

Sprendimas:

Ekstreminiai taškai Ar maksimalūs taškai (-3, -1, 1) ir mažiausi taškai (-2, 0, 3).

Ekstreminių taškų suma: -3-1 + 1-2 + 0 + 3 = -2.

7 užduotis.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos išvestinės grafikas, apibrėžtas per tam tikrą intervalą. Raskite didėjančios funkcijos intervalus. Atsakyme nurodykite į šiuos intervalus įtrauktų visų taškų sumą.

Sprendimas:

Paveiksle pavaizduoti intervalai, kuriais funkcijos išvestinė yra neigiama.

Mažame sveikų skaičių taške nėra sveikų skaičių taškų, didėjančiame intervale yra keturios sveikųjų skaičių reikšmės: ,, ir.

Jų suma:

8 užduotis.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos išvestinės grafikas, apibrėžtas per tam tikrą intervalą. Raskite didėjančios funkcijos intervalus. Atsakyme nurodykite ilgiausių jų ilgį.

Sprendimas:

Paveiksle visi intervalai, kuriais išvestinė yra teigiama, yra paryškinti spalva, o tai reiškia, kad pati funkcija šiais intervalais didėja.

Ilgiausias iš jų yra 6.

9 problema.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos išvestinės grafikas, apibrėžtas per tam tikrą intervalą. Kuriame segmento taške yra didžiausia vertė.

Sprendimas:

Mes žiūrime, kaip grafikas elgiasi segmente, būtent mus domina tik išvestinis ženklas .

Išvestinės priemonės ženklas yra minusas, nes šio segmento grafikas yra žemiau ašies.

B9 užduotyje pateikiama funkcijos arba išvestinės schema, kurią norite nustatyti vienu iš šių dydžių:

1. Išvestinės priemonės vertė tam tikru momentu x 0,
2. Aukšti ar žemi taškai (ekstremumo taškai),
3. Funkcijos didinimo ir mažėjimo intervalai (monotoniškumo intervalai).

Šioje uždavinyje pateiktos funkcijos ir išvestiniai veiksmai yra nuolatiniai, o tai labai supaprastina sprendimą. Nepaisant to, kad užduotis priklauso matematinės analizės skyriui, ji yra visiškai prieinama net silpniausiems studentams, nes čia nereikia jokių gilių teorinių žinių.

Yra paprasti ir universalūs išvestinės vertės, ekstremalių taškų ir monotoniškumo intervalų nustatymo algoritmai - visi jie bus aptarti toliau.

Atidžiai perskaitykite B9 problemos teiginį, kad išvengtumėte kvailų klaidų: kartais susiduriama su gana ilgais tekstais, bet svarbios sąlygos kurie turi įtakos sprendimo eigai, yra nedaug.

Išvestinės priemonės vertės apskaičiavimas. Dviejų taškų metodas

Jei užduočiai pateikiamas funkcijos f (x) grafikas, liečiantis šį grafiką tam tikru tašku x 0, ir šiuo metu reikia rasti išvestinės vertės, taikomas toks algoritmas:

1. Liestinės grafike raskite du „tinkamus“ taškus: jų koordinatės turi būti sveikieji skaičiai. Pažymėkime šiuos taškus A (x 1; y 1) ir B (x 2; y 2). Teisingai parašykite koordinates - tai yra pagrindinis sprendimo taškas, ir bet kokia klaida čia lemia neteisingą atsakymą.
2. Žinant koordinates, nesunku apskaičiuoti argumento prieaugį Δx = x 2 - x 1 ir funkcijos prieaugį Δy = y 2 - y 1.
3. Galiausiai randame išvestinės reikšmę D = Δy / Δx. Kitaip tariant, jums reikia padalinti funkcijos prieaugį iš argumento prieaugio - ir tai bus atsakymas.

Dar kartą atkreipkite dėmesį: taškų A ir B reikia ieškoti tiksliai liestinėje tiesėje, o ne funkcijos f (x) grafike, kaip dažnai būna. Liestinėje eilutėje būtinai bus bent du tokie taškai - priešingu atveju problema parašyta neteisingai.

Apsvarstykite taškus A (−3; 2) ir B (−1; 6) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Raskite išvestinės reikšmę: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Užduotis. Paveikslėlyje parodyta funkcijos y = f (x) grafikas ir jo liestinė taške su abscisiu x 0. Raskite funkcijos f (x) išvestinės vertės taške x 0.

Apsvarstykite taškus A (0; 3) ir B (3; 0), raskite žingsnius:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = −3.

Dabar randame išvestinės reikšmę: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

Užduotis. Paveikslėlyje parodyta funkcijos y = f (x) grafikas ir jo liestinė taške su abscisiu x 0. Raskite funkcijos f (x) išvestinės vertės taške x 0.

Apsvarstykite taškus A (0; 2) ir B (5; 2) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Belieka rasti išvestinės vertės: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

Iš paskutinio pavyzdžio galime suformuluoti taisyklę: jei liestinė lygiagreti OX ašiai, funkcijos išvestinė liesties taške lygi nuliui. Tokiu atveju jums net nereikia nieko skaičiuoti - tiesiog pažiūrėkite į diagramą.

Skaičiuojant maksimalų ir mažiausią taškų skaičių

Kartais vietoj B9 užduoties funkcijos grafiko pateikiamas išvestinės grafikas ir reikalaujama rasti didžiausią ar mažiausią funkcijos tašką. Esant tokiai situacijai, dviejų taškų metodas yra nenaudingas, tačiau yra dar vienas, dar paprastesnis algoritmas. Pirmiausia apibrėžkime terminiją:

1. Taškas x 0 vadinamas maksimaliu funkcijos f (x) tašku, jei kažkurioje šio taško vietoje yra tokia nelygybė: f (x 0) ≥ f (x).
2. Taškas x 0 vadinamas minimaliu funkcijos f (x) tašku, jei tam tikroje šio taško kaimynystėje yra tokia nelygybė: f (x 0) ≤ f (x).

Norint išvestinės priemonės grafike rasti maksimalių ir mažiausių taškų, pakanka atlikti šiuos veiksmus:

1. Išbraižykite darinio grafiką, pašalindami visą nereikalingą informaciją. Kaip rodo praktika, nereikalingi duomenys tik trukdo sprendimui. Todėl koordinačių ašyje pažymime darinio nulius - viskas.
2. Sužinokite išvestinės požymius intervalais tarp nulių. Jei tam tikru tašku x 0 žinoma, kad f '(x 0) ≠ 0, tada galimi tik du variantai: f' (x 0) ≥ 0 arba f '(x 0) ≤ 0. Išvestinės priemonės ženklas gali lengvai nustatomas pagal pradinį brėžinį: jei išvestinės grafikas yra virš OX ašies, tada f '(x) ≥ 0. Ir atvirkščiai, jei išvestinės grafikas yra žemiau OX ašies, tada f' (x ) ≤ 0.
3. Dar kartą patikrinkite darinio nulius ir ženklus. Kai ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, yra minimalus taškas. Ir atvirkščiai, jei išvestinės priemonės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tai yra didžiausias taškas. Skaičiavimas visada atliekamas iš kairės į dešinę.

Ši schema veikia tik tęstinėms funkcijoms - kitų problemų B9 nėra.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos f (x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [−5; 5]. Raskite minimalų funkcijos f (x) tašką šiame segmente.

Atsikratykime nereikalingos informacijos - paliksime tik sienas [−5; 5] ir nulio išvestinės x = −3 ir x = 2,5. Taip pat atkreipkite dėmesį į ženklus:

Akivaizdu, kad taške x = −3 išvestinės priemonės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Tai yra minimalus taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje parodyta funkcijos f (x) darinio, apibrėžto segmente, grafikas [−3; 7]. Raskite maksimalų funkcijos f (x) tašką šiame segmente.

Nubraižykime grafiką, palikdami tik ribas [−3; 7] ir išvestinės nulio x = −1,7 ir x = 5. Gautame grafike atkreipkite dėmesį į išvestinės ženklus. Mes turime:

Akivaizdu, kad taške x = 5 išvestinės priemonės ženklas keičiasi iš pliuso į minusą - tai yra maksimalus taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje parodyta funkcijos f (x) darinio, apibrėžto segmente, grafikas [−6; 4]. Raskite maksimalų funkcijos f (x) taškų, priklausančių segmentui, skaičių [−4; 3].

Iš problemos teiginio matyti, kad pakanka apsvarstyti tik tą grafiko dalį, kurią riboja segmentas [−4; 3]. Todėl mes statome naujas tvarkaraštis, ant kurių pažymime tik ribas [−4; 3] ir darinio nuliai jo viduje. Būtent, taškai x = −3,5 ir x = 2. Gauname:

Šis grafikas turi tik vieną maksimalų tašką x = 2. Būtent šioje vietoje išvestinės priemonės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą.

Greita pastaba apie taškus, kurių koordinatės yra ne sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, paskutinėje užduotyje taškas buvo laikomas x = −3,5, tačiau lygiai taip pat galite naudoti x = −3,4. Jei problema suformuluota teisingai, tokie pakeitimai neturėtų turėti įtakos atsakymui, nes taškai „nėra pastovios gyvenamosios vietos“ nėra tiesiogiai susiję su problemos sprendimu. Žinoma, šis triukas neveiks su sveikais skaičiais.

Surasti didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus

Esant tokiai užduočiai, kaip ir maksimalus ir minimalus taškai, siūloma išvestinių grafike rasti regionus, kuriuose didėja arba mažėja pati funkcija. Pirmiausia apibrėžkime, kas didėja ir mažėja:

1. Funkcija f (x) vadinama didėjančia segmente, jei bet kurių dviejų taškų x 1 ir x 2 iš šio segmento atveju teiginys yra teisingas: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Kitaip tariant, kuo didesnė argumento vertė, tuo didesnė funkcijos vertė.
2. Funkcija f (x) vadinama mažėjančia segmente, jei bet kuriuose dviejuose taškuose x 1 ir x 2 iš šio segmento yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Tie. kuo didesnė argumento vertė, tuo mažesnė funkcijos reikšmė.

Suformuluokime pakankamas sąlygas didinti ir mažinti:

1. Kad tęstinė funkcija f (x) padidėtų segmente, pakanka, kad jo išvestinė segmento viduje būtų teigiama, t.y. f '(x) ≥ 0.
2. Kad tęstinė funkcija f (x) sumažėtų segmente, pakanka, kad jo išvestinė segmento viduje būtų neigiama, t.y. f '(x) ≤ 0.

Priimkime šiuos teiginius be įrodymų. Taigi mes gauname didėjimo ir mažėjimo intervalų paieškos schemą, kuri daugeliu atžvilgių yra panaši į ekstremalių taškų skaičiavimo algoritmą:

1. Pašalinkite visą nereikalingą informaciją. Pradiniame išvestinės schemoje mus visų pirma domina funkcijos nuliai, todėl paliksime tik juos.
2. Atkreipkite dėmesį į darinio požymius intervalais tarp nulių. Kai f ’(x) ≥ 0, funkcija padidėja, o kai f’ (x) ≤ 0 - sumažėja. Jei problema turi kintamojo x apribojimų, mes juos papildomai pažymime naujame grafike.
3. Dabar, kai žinome funkcijos elgseną ir apribojimą, belieka apskaičiuoti užduotyje reikalaujamą vertę.

Užduotis. Paveikslėlyje parodyta funkcijos f (x) darinio, apibrėžto segmente, grafikas [−3; 7.5]. Raskite funkcijos f (x) sumažėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite į šiuos intervalus įtrauktų sveikųjų skaičių sumą.

Kaip įprasta, perrašykite grafiką ir pažymėkite ribas [−3; 7.5], taip pat išvestinės x = −1,5 ir x = 5,3 nuliai. Tada pažymime darinio požymius. Mes turime:

Kadangi išvestinė yra neigiama intervale (- 1,5), tai yra mažėjančios funkcijos intervalas. Belieka apibendrinti visus sveikus skaičius, esančius šiame intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Užduotis. Paveikslėlyje parodyta funkcijos f (x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [−10; 4]. Raskite funkcijos f (x) didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite ilgiausių jų ilgį.

Atsikratykime nereikalingos informacijos. Palikite tik sienas [−10; 4] ir darinio nuliai, kurie šį kartą pasirodė keturi: x = −8, x = −6, x = −3 ir x = 2. Atkreipkite dėmesį į išvestinės priemonės ženklus ir gaukite tokį vaizdą:

Mus domina funkcijos didinimo intervalai, t.y. toks, kur f '(x) ≥ 0. Grafike yra du tokie intervalai: (−8; −6) ir (−3; 2). Apskaičiuokime jų ilgį:
l 1 = - 6 - (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Kadangi reikia rasti didžiausio intervalo ilgį, atsakyme užrašome reikšmę l 2 = 5.

Mieli draugai! Su išvestine priemone susijusių užduočių grupė apima užduotis - sąlyga pateikia funkcijos grafiką, kelis šios diagramos taškus ir kyla klausimas:

Kurioje vietoje išvestinės finansinės priemonės vertė yra didžiausia (mažiausia)?

Trumpai pakartokime:

Išvestinė taške yra nuolydis liestinė, einanti prošį grafiko tašką.

Turėtiliestinės visuotinis koeficientas savo ruožtu yra lygus šio liestinės pasvirimo kampo liestinei.

* Tai reiškia kampą tarp liestinės ir abscisės.

1. Funkcijos didinimo intervalais išvestinė priemonė turi teigiamą vertę.

2. Jo mažėjimo intervalais išvestinė priemonė turi neigiamą vertę.

Apsvarstykite šį eskizą:

Taškuose 1,2,4 funkcijos išvestinė vertė yra neigiama, nes šie taškai priklauso mažėjimo intervalams.

Taškuose 3,5,6 funkcijos išvestinė vertė yra teigiama, nes šie taškai priklauso didėjantiems intervalams.

Kaip matote, su išvestinės priemonės verte viskas aišku, tai yra, nesunku nustatyti, kokį ženklą jis turi (teigiamą ar neigiamą) tam tikrame grafiko taške.

Be to, jei mintyse šiuose taškuose sukursime liestines, pamatysime, kad tiesios linijos, einančios per 3, 5 ir 6 taškus, sudaro kampus, o oX ašis yra nuo 0 iki 90 o, o tiesios - per 1 taškus , 2 ir 4 formos su ašies ОХ kampais nuo 90 ° iki 180 °.

* Ryšys aiškus: liestinės, einančios per taškus, priklausančius didėjančios funkcijos intervalams, suformuoja aštrius kampus su oX ašimi, liestinės, einančios per taškus, priklausančius mažėjančių funkcijų intervalams, suformuoja stačius kampus su oX ašimi.

Dabar prie svarbaus klausimo!

Kaip kinta išvestinės finansinės priemonės vertė? Juk liestinė skirtinguose nepertraukiamos funkcijos grafiko taškuose formuoja skirtingus kampus, priklausomai nuo to, kuriame grafiko taške jis praeina.

* Arba, pasakyti paprasta kalba, liestinė yra tarsi „horizontali“ arba „vertikali“. Pažiūrėk:

Tiesios linijos sudaro kampus su ašimi ОХ nuo 0 iki 90 °

Tiesios linijos sudaro kampus su ОХ ašimi nuo 90 ° iki 180 °

Todėl, jei kyla klausimų:

- kuriame iš šių grafiko taškų išvestinė priemonė turi mažiausią vertę?

- kuriame iš šių grafiko taškų svarbiausia išvestinės finansinės priemonės vertė?

tada atsakymui reikia suprasti, kaip liestinės kampo liestinės vertė kinta intervale nuo 0 iki 180 о.

* Kaip jau minėta, funkcijos išvestinės vertė taške yra lygi liestinės oX ašies pasvirimo kampo liestinei.

Tangentinė vertė keičiasi taip:

Kai tiesios linijos nuolydžio kampas pasikeičia nuo 0 o iki 90 o, liestinės, taigi ir išvestinės, reikšmė atitinkamai keičiasi nuo 0 iki + ∞;

Kai tiesios linijos nuolydžio kampas pasikeičia nuo 90 ° iki 180 °, liestinės, taigi ir išvestinės, reikšmė atitinkamai pasikeičia nuo –∞ iki 0.

Tai aiškiai matyti iš liestinės funkcijos grafiko:

Paprastais žodžiais tariant:

Liestinės nuolydžio kampu nuo 0 o iki 90 o

Kuo arčiau 0 °, tuo labiau išvestinės finansinės priemonės vertė bus artima nuliui (teigiama pusė).

Kuo arčiau kampas yra 90 °, tuo labiau išvestinės vertės padidės + ∞ link.

Liestinės nuolydžio kampu nuo 90 o iki 180 o

Kuo arčiau 90 °, tuo labiau išvestinės priemonės vertė sumažės iki –∞.

Kuo arčiau kampas yra 180 °, tuo daugiau išvestinės vertės bus artima nuliui (neigiamoje pusėje).

317543. Paveiksle pavaizduota funkcijos y = grafikas f(x) ir pažymėti taškai–2, –1, 1, 2. Kuriame iš šių taškų išvestinės priemonės vertė yra didžiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Turime keturis taškus: du iš jų priklauso intervalams, kuriais funkcija mažėja (tai yra taškai –1 ir 1), ir dviem intervalams, kuriais funkcija didėja (tai yra taškai –2 ir 2).

Iš karto galime daryti išvadą, kad –1 ir 1 taškuose išvestinės priemonės vertė yra neigiama, o –2 ir 2 - teigiama. Todėl šiuo atveju būtina išanalizuoti –2 ir 2 taškus ir nustatyti, kuriame iš jų vertė bus didžiausia. Sukurkime liestines, einančias per nurodytus taškus:

Kampo tarp tiesės a ir abscisės ašies liestinė bus didesnė už kampo tarp tiesės b ir šios ašies liestinę. Tai reiškia, kad išvestinės finansinės priemonės vertė taške –2 bus didžiausia.

Atsakykime į tokį klausimą: kuriame iš taškų –2, –1, 1 ar 2 išvestinės finansinės priemonės vertė yra didžiausia neigiama? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Išvestinė priemonė turės neigiamą reikšmę taškuose, priklausančiuose mažėjimo intervalams, todėl apsvarstykite –2 ir 1 taškus. Sukurkite liestines, einančias per jas:

Matome, kad bukas kampas tarp tiesės b ir oX ašies yra „arčiau“ 180 O , todėl jo liestinė bus didesnė už tiesės a ir oX ašies suformuoto kampo liestinę.

Taigi taške x = 1 išvestinės priemonės vertė bus didžiausia neigiama.

317544. Paveiksle pavaizduota funkcijos y = grafikas f(x) ir pažymėti taškai–2, –1, 1, 4. Kuriame iš šių taškų išvestinės priemonės vertė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Turime keturis taškus: du iš jų priklauso intervalams, kuriais funkcija mažėja (tai yra taškai –1 ir 4), ir dviem intervalams, kuriais funkcija didėja (tai yra taškai –2 ir 1).

Iš karto galime daryti išvadą, kad –1 ir 4 taškuose išvestinės priemonės vertė yra neigiama, o –2 ir 1 - teigiama. Todėl šiuo atveju būtina išanalizuoti taškus –1 ir 4 ir nustatyti - kurio iš jų vertė bus mažiausia. Sukurkime liestines, einančias per nurodytus taškus:

Kampo tarp tiesės a ir abscisės ašies liestinė bus didesnė už kampo tarp tiesės b ir šios ašies liestinę. Tai reiškia, kad išvestinės vertės taške x = 4 bus mažiausia.

Atsakymas: 4

Tikiuosi, kad jūsų „neužgožiau“ rašymo kiekiu. Tiesą sakant, viskas yra labai paprasta, tereikia suprasti darinio savybes, jo geometrinę reikšmę ir tai, kaip kampo liestinės vertė kinta nuo 0 iki 180 о.

1. Pirmiausia nustatykite išvestinės priemonės ženklus duotuose taškuose (+ arba -) ir pasirinkite reikiamus taškus (priklausomai nuo pateikto klausimo).

2. Šiuose taškuose nubrėžkite liestines.

3. Naudodami tangesoid grafiką, nubrėžkite kampus ir parodykiteAleksandras.

P.S: Būčiau dėkingas, jei galėtumėte papasakoti apie svetainę socialiniuose tinkluose.

(1 pav.)

1 pav. Išvestinės grafikas

Išvestinės sklypo savybės

1. Išvestinė yra teigiama didėjant intervalams. Jei išvestinė priemonė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi teigiamą reikšmę, tada funkcijos grafikas didėja per šį intervalą.
2. Mažėjimo intervalais išvestinė priemonė yra neigiama (su minuso ženklu). Jei išvestinė priemonė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi neigiamą reikšmę, tada funkcijos grafikas šiuo intervalu mažėja.
3. Išvestinė taške x yra lygi liestinės nuolydžiui, nubrėžtam į funkcijos grafiką tame pačiame taške.
4. Funkcijos maksimalaus ir mažiausio taškuose išvestinė priemonė lygi nuliui. Funkcijos grafiko liestinė šiame taške yra lygiagreti OX ašiai.

1 pavyzdys

Naudodamiesi darinio grafiku (2 pav.), Nustatykite, kuriame segmento taške [-3; 5] funkcija yra maksimali.

2 pav. Išvestinės grafikas

Sprendimas: šiame segmente išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad funkcija mažėja iš kairės į dešinę, o didžiausia vertė yra kairėje pusėje ties tašku -3.

2 pavyzdys

Nustatykite maksimalų taškų skaičių segmente [-11; 3].

3 pav. Išvestinės grafikas

Sprendimas: maksimalūs taškai atitinka išvestinės priemonės ženklo pasikeitimo iš teigiamo į neigiamą taškus. Per šį intervalą funkcija du kartus keičia ženklą iš pliuso į minusą -taške -10 ir -1. Tai reiškia, kad maksimalus taškų skaičius yra du.

3 pavyzdys

Naudodamiesi darinio grafiku (3 pav.), Nustatykite minimalių taškų skaičių segmente [-11; -1].

Sprendimas: Minimalūs taškai atitinka išvestinės priemonės ženklo pasikeitimo taškus iš neigiamo į teigiamą. Šiame segmente toks taškas yra tik -7. Tai reiškia, kad minimalus taškų skaičius tam tikrame segmente yra vienas.

4 pavyzdys

Naudodamiesi darinio grafiku (3 pav.), Nustatykite ekstremalių taškų skaičių.

Sprendimas: Kraštutiniai taškai yra ir mažiausi, ir didžiausi. Raskite taškų, kuriuose išvestinė keičia ženklą, skaičių.

Funkcijos nagrinėjimas naudojant išvestinę priemonę. Šiame straipsnyje mes analizuosime kai kurias užduotis, susijusias su funkcijos grafiko tyrimu. Esant tokioms problemoms, pateikiamas funkcijos y = f (x) grafikas ir pateikiami klausimai, susiję su taškų, kuriais funkcijos išvestinė yra teigiama (arba neigiama), skaičiaus nustatymu ir kitais. Jie nurodomi išvestinės priemonės funkcijų tyrimui.

Tokių uždavinių ir apskritai su tyrimu susijusių problemų sprendimas yra įmanomas tik visiškai suprantant išvestinės medžiagos savybes, tiriant funkcijų ir darinio grafikus. Todėl primygtinai rekomenduoju jums išstudijuoti atitinkamą teoriją. Galite studijuoti ir pamatyti (bet jame yra santrauka).

Mes taip pat apsvarstysime problemas, kai išvestinės priemonės grafikas pateikiamas būsimuose straipsniuose, nepraleiskite to! Taigi, užduotys:

Paveikslėlyje parodyta funkcijos y = f (x) grafikas, apibrėžtas intervale (−6; 8). Apibrėžkite:

1. Sveikų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, skaičius;

2. Taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė lygiagreti tiesei y = 2, skaičius;

1. Funkcijos išvestinė yra neigiama intervalais, kuriais funkcija mažėja, tai yra intervalais (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). Juose yra sveikieji skaičiai −5, −4, 1, 2, 3, 4 ir 7. Gauti 7 taškai.

2. Tiesioginis y= 2 lygiagreti ašisOiy= 2 tik galutiniuose taškuose (tose vietose, kur diagrama keičia savo elgesį nuo didėjimo iki mažėjimo arba atvirkščiai). Yra keturi tokie taškai: –3; 0; 4,2; 6.9

Spręskite patys:

Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama, skaičių.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos y = f (x) grafikas, apibrėžtas intervale (−5; 5). Apibrėžkite:

2. Sveikų skaičių taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y = 3, skaičius;

3. Taškų, kuriuose darinys yra lygus nuliui, skaičius;

1. Iš funkcijos darinio savybių žinoma, kad jis yra teigiamas intervalais, kuriais funkcija didėja, tai yra intervalais (1.4; 2.5) ir (4.4; 5). Juose yra tik vienas sveikasis skaičius x = 2.

2. Tiesioginis y= 3 lygiagreti ašisOi... Liestinė bus lygiagreti tiesiaiy= 3 tik galutiniuose taškuose (tose vietose, kur diagrama keičia savo elgesį nuo didėjimo iki mažėjimo arba atvirkščiai).

Yra keturi tokie taškai: –4.3; 1,4; 2,5; 4.4

3. Išvestinė yra lygi nuliui keturiuose taškuose (galutiniuose taškuose), mes juos jau nurodėme.

Nuspręskite patys:

Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos f (x) darinys yra neigiamas, skaičių.

Paveikslėlyje parodyta funkcijos y = f (x) grafikas, apibrėžtas intervale (−2; 12). Rasti:

1. Sveikų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama, skaičius;

2. Sveikų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, skaičius;

3. Sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y = 2, skaičius;

4. Taškų, kuriuose darinys yra lygus nuliui, skaičius.

1. Iš funkcijos darinio savybių žinoma, kad jis yra teigiamas intervalais, kuriais funkcija didėja, tai yra intervalais (–2; 1), (2; 4), (7); 9) ir (10; 11). Juose yra sveikieji skaičiai: –1, 0, 3, 8. Jų yra keturi.

2. Funkcijos išvestinė yra neigiama intervalais, kuriais funkcija mažėja, tai yra intervalais (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Juose yra sveikieji skaičiai 5 ir 6. Gauti 2 taškai.

3. Tiesioginis y= 2 lygiagreti ašisOi... Liestinė bus lygiagreti tiesiaiy= 2 tik galutiniuose taškuose (tose vietose, kur diagrama keičia savo elgesį nuo didėjimo iki mažėjimo arba atvirkščiai). Yra septyni tokie punktai: 1; 2; 4; 7; devyni; dešimt; vienuolika.

4. Išvestinė yra lygi nuliui septyniuose taškuose (galutiniuose taškuose), mes juos jau nurodėme.