IV Elektrostatinės indukcijos vektorius Indukcijos srautas Ostrogradskio-Gauso teorema Gauso teorema indukcijai

Elektros krūvių sąveikos dėsnis - Kulono dėsnis - gali būti suformuluotas skirtingai, vadinamosios Gauso teoremos pavidalu. Gausso teorema gaunama kaip Kulono dėsnio ir superpozicijos principo pasekmė. Įrodymas grindžiamas atvirkštiniu dviejų taškų krūvių sąveikos jėgos proporcingumu atstumo tarp jų kvadratui. Todėl Gauso teorema yra taikoma bet kokiam fiziniam laukui, kuriame taikomas atvirkštinio kvadrato dėsnis ir superpozicijos principas, pavyzdžiui, gravitaciniam laukui.

Ryžiai. 9. Įtampos linijos elektrinis laukas taškinis krūvis, kertantis uždarą paviršių X

Norėdami suformuluoti Gauso teoremą, grįžkime prie stacionaraus taško krūvio elektrinio lauko jėgos linijų paveikslo. Vienišo taško krūvio jėgos linijos yra simetriškai išdėstytos radialinės tiesės (7 pav.). Tokių linijų galima nubrėžti bet kokį skaičių. Nurodykime jų bendrą skaičių per Tada jėgos linijų tankis tam tikru atstumu nuo krūvio, ty eilučių, kertančių spindulio rutulio vienetinį paviršių, skaičius yra lygus. Palyginus šį ryšį su lauko stiprio išraiška taško krūvis (4), matome, kad linijų tankis yra proporcingas lauko stiprumui. Šias reikšmes galime padaryti skaitiniu požiūriu lygiomis, tinkamai pasirinkę bendrą jėgos N ​​eilučių skaičių:

Taigi bet kurio spindulio rutulio, apgaubiančio taškinį krūvį, paviršius kerta tą patį jėgos linijų skaičių. Tai reiškia, kad jėgos linijos yra tęstinės: intervale tarp bet kurių dviejų skirtingų spindulių koncentrinių sferų nė viena linija nėra nutraukta ir nepridėta naujų. Kadangi jėgos linijos yra ištisinės, tiek pat jėgos linijų kerta bet kokį uždarą paviršių (9 pav.), Dengiančią krūvį

Jėgos linijos turi kryptį. Teigiamo krūvio atveju jie išeina iš uždaro paviršiaus, supančio krūvį, kaip parodyta Fig. 9. Esant neigiamam krūviui, jie patenka į paviršiaus vidų. Jei išeinančių eilučių skaičius laikomas teigiamu, o gaunamų eilučių skaičius yra neigiamas, tada (8) formulėje galime praleisti krūvio modulio ženklą ir parašyti jį formoje

Įtampos srautas. Dabar pristatykime lauko stiprio vektoriaus srauto per paviršių sąvoką. Savavališką lauką galima protiškai suskirstyti į mažas sritis, kuriose intensyvumas keičiasi tiek daug, tiek kryptimi, kad šioje srityje laukas gali būti laikomas vienodu. Kiekvienoje tokioje srityje jėgos linijos yra lygiagrečios tiesios ir turi pastovų tankį.

Ryžiai. 10. Nustatyti lauko stiprumo vektoriaus srautą per aikštelę

Apsvarstykime, kiek jėgos linijų prasiskverbia į nedidelį plotą, kurio normalios kryptis sudaro kampą a su įtempimo linijų kryptimi (10 pav.). Leisti būti projekcija į plokštumą, statmeną jėgos linijoms. Kadangi linijų, kertančių tą patį, skaičius ir linijos tankis, atsižvelgiant į priimtiną sąlygą, yra lygus lauko stiprio E moduliui

A kiekis yra vektoriaus E projekcija į normos kryptį į vietą

Todėl jėgos linijų, kertančių aikštelę, skaičius yra

Produktas vadinamas lauko stiprio srautu per paviršių Formulė (10) rodo, kad vektoriaus E srautas per paviršių lygus skaičiui jėgos linijos, kertančios šį paviršių. Atkreipkite dėmesį, kad intensyvumo vektoriaus srautas, kaip ir jėgos linijų, einančių per paviršių, skaičius yra skaliaras.

Ryžiai. 11. E intensyvumo vektoriaus srautas per aikštelę

Srauto priklausomybė nuo srities orientacijos jėgos linijų atžvilgiu parodyta fig.

Lauko stiprumo srautas per savavališką paviršių yra srautų per elementarias sritis, į kurias šis paviršius gali būti padalintas, suma. Remiantis ryšiais (9) ir (10), galima teigti, kad taškinio krūvio lauko stiprio srautas per bet kurį uždarą paviršių 2, apimantį krūvį (žr. 9 pav.), Kaip kylančių jėgos linijų skaičius Šiuo atveju normalus vektorius į elementarias sritis uždarytas paviršius turi būti nukreiptas į išorę. Jei krūvis paviršiaus viduje yra neigiamas, tada jėgos linijos patenka į šio paviršiaus vidų ir su krūviu susietas lauko stiprumo vektoriaus srautas taip pat yra neigiamas.

Jei uždaro paviršiaus viduje yra keli krūviai, tai pagal superpozicijos principą jų laukų stiprumo srautai sudės. Bendras srautas bus lygus kur turėtų būti suprantamas kaip visų paviršiaus viduje esančių krūvių algebrinė suma.

Jei uždaro paviršiaus viduje nėra elektros krūvių arba jų algebrinė suma lygi nuliui, tada bendras lauko stiprio srautas per šį paviršių yra lygus nuliui: kiek jėgos linijų patenka į paviršiaus ribojamą tūrį, tiek pat išeina.

Dabar pagaliau galime suformuluoti Gauso teoremą: elektrinio lauko stiprio vektoriaus E srautas vakuume per bet kurį uždarą paviršių yra proporcingas bendram krūviui šio paviršiaus viduje. Matematiškai Gauso teorema išreiškiama ta pačia formule (9), kur turima omenyje algebrinė krūvių suma. Absoliučiai elektrostatiškai

CGSE vienetų sistema, koeficientas ir Gauso teorema užrašomi formoje

SI ir įtampos srautas per uždarą paviršių išreiškiamas formule

Gauso teorema plačiai naudojama elektrostatikoje. Kai kuriais atvejais juo galima lengvai apskaičiuoti laukus, sukurtus pagal simetriškai išdėstytus krūvius.

Subalansuoti šaltinio laukai. Taikykime Gauso teoremą, kad apskaičiuotume rutulio, kurio spindulys tolygiai įkrautas paviršiuje, elektrinio lauko stiprumą. Siekiant aiškumo, jo krūvį laikysime teigiamu. Lauką sukuriančių krūvių pasiskirstymas turi sferinę simetriją. Todėl laukas taip pat turi tą pačią simetriją. Tokio lauko jėgos linijos nukreiptos išilgai spindulių, o intensyvumo modulis yra vienodas visuose taškuose, esančiuose vienodu atstumu nuo rutulio centro.

Norėdami rasti lauko stiprumą tam tikru atstumu nuo rutulio centro, mintyse piešiame rutulio pavidalo sferinį spindulį, kurio spindulys yra koncentriškas. Kadangi visuose šios sferos taškuose lauko stipris yra statmenas jo paviršiui ir yra vienodas pagal dydį intensyvumo srautas yra tiesiog lygus lauko stiprio sandaugai pagal rutulio paviršiaus plotą:

Tačiau šį kiekį galima išreikšti ir naudojant Gauso teoremą. Jei mus domina laukas už kamuoliuko ribų, tai yra, pavyzdžiui, tada SI ir, palyginus su (13), randame

Akivaizdu, kad CGSE vienetų sistemoje

Taigi, už kamuoliuko lauko stipris yra toks pat, kaip ir taško krūvio lauko, esančio rutulio centre. Jei mus domina rutulio viduje esantis laukas, tai yra tada, kai visas rutulio paviršiuje pasiskirstęs krūvis yra už sferos ribų, mes protiškai piešiame. Todėl rutulio viduje nėra lauko:

Panašiai, naudodami Gauso teoremą, galite apskaičiuoti elektrostatinį lauką, kurį sukuria begalinis krūvis

plokštuma su pastoviu tankiu visuose plokštumos taškuose. Dėl simetrijos galime daryti prielaidą, kad jėgos linijos yra statmenos plokštumai, nukreiptos iš jos į abi puses ir visur yra vienodo tankio. Iš tiesų, jei jėgos linijų tankis skirtinguose taškuose būtų skirtingas, tada įkrautos plokštumos judėjimas palei save pakeistų lauką šiuose taškuose, o tai prieštarauja sistemos simetrijai - toks poslinkis neturėtų pakeisti lauką. Kitaip tariant, begalinės vienodai įkrautos plokštumos laukas yra vienodas.

Kaip uždarą paviršių Gauso teoremai taikyti, mes pasirenkame cilindro paviršių, sukonstruotą taip: cilindro generatūra yra lygiagreti jėgos linijoms, o bazės turi sritis, lygiagrečias įkrautai plokštumai ir yra priešingoje pusėje jo šonus (12 pav.). Lauko stiprumo srautas per šoninį paviršių yra lygus nuliui, todėl bendras srautas per uždarą paviršių yra lygus srautų per cilindro pagrindus sumai:

Ryžiai. 12. Į tolygiai įkrautos plokštumos lauko stiprumo apskaičiavimą

Remiantis Gauso teorema, tą patį srautą lemia cilindro viduje esančios plokštumos dalies krūvis, o SI yra lygus. Palyginę šias srauto išraiškas, randame

CGSE sistemoje vienodai įkrautos begalinės plokštumos lauko stipris pateikiamas pagal formulę

Vienodai įkrautai baigtinių matmenų plokštei gautos išraiškos yra maždaug galiojančios regione, esančiame pakankamai toli nuo plokštės kraštų ir ne per toli nuo jo paviršiaus. Netoli plokštės kraštų laukas nebebus vienodas ir jo jėgos linijos sulenktos. Labai dideliais atstumais, palyginti su plokštelės matmenimis, laukas mažėja su atstumu taip pat, kaip ir taškinio krūvio laukas.

Kaip ir kiti simetriškai paskirstytų šaltinių sukurtų laukų pavyzdžiai, galima paminėti begalinio tiesiaeigio gijų lauką, tolygiai įkrautą per visą ilgį, tolygiai įkrauto begalinio apskrito cilindro lauką, rutulio lauką,

tolygiai įkrautas per tūrį ir pan. Gausso teorema leidžia visais šiais atvejais lengvai apskaičiuoti lauko stiprumą.

Gausso teorema suteikia ryšį tarp lauko ir jo šaltinių tam tikra prasme priešingai nei tas, kuris pateikia Kulono dėsnį, leidžiantį nustatyti elektrinį lauką pagal tam tikrus krūvius. Naudojant Gauso teoremą, galima nustatyti bendrą krūvį bet kuriame erdvės regione, kuriame žinomas elektrinio lauko pasiskirstymas.

Kuo skiriasi tolimojo ir mažojo nuotolio sąvokos apibūdinant elektros krūvių sąveiką? Kiek šios sąvokos gali būti taikomos gravitacinei sąveikai?

Kas yra elektrinio lauko stipris? Ką jie reiškia, kai vadina tai elektrinio lauko stiprumu?

Kaip iš lauko linijų modelio galima spręsti apie lauko stiprio kryptį ir modulį tam tikrame taške?

Ar gali susikerti elektrinio lauko jėgos linijos? Pateikite savo atsakymo priežastis.

Nubraižykite dviejų krūvių elektrostatinio lauko jėgų linijų kokybinį vaizdą taip, kad.

Elektrinio lauko stiprumo srautas per uždarą paviršių išreiškiamas skirtingomis formulėmis (11) ir (12) GSE vienetų sistemose ir SI. Kaip tai galima suderinti su srauto geometrine prasme, kurią lemia paviršių kertančių jėgų linijų skaičius?

Kaip pasinaudoti Gauso teorema, norint rasti elektrinio lauko stiprumą simetriškai jį sukuriančių krūvių pasiskirstymu?

Kaip pritaikyti (14) ir (15) formules apskaičiuojant sferos su neigiamu krūviu lauko stiprumą?

Gauso teorema ir fizinės erdvės geometrija. Pažvelkime į Gauso teoremos įrodymą šiek tiek kitu požiūriu. Grįžkime prie (7) formulės, iš kurios buvo padaryta išvada, kad tiek pat jėgos linijų eina per bet kokį krūvį supantį sferinį paviršių. Tokia išvada padaryta dėl to, kad mažėja abiejų lygybės pusių vardikliai.

Dešinėje pusėje jis atsirado dėl to, kad krūvių sąveikos jėga, aprašyta Kulono dėsnyje, yra atvirkščiai proporcinga atstumo tarp krūvių kvadratui. Kairėje išvaizda siejama su geometrija: rutulio paviršiaus plotas yra proporcingas jo spindulio kvadratui.

Paviršiaus proporcingumas linijinių matmenų kvadratui yra Euklido geometrijos bruožas trimatėje erdvėje. Iš tiesų erdvei būdingas plotų proporcingumas tiesinių matmenų kvadratams, o ne jokiam kitam sveikam skaičiui

trys matmenys. Tai, kad šis rodiklis yra lygiai du ir niekuo nesiskiria nuo dviejų, liudija apie šios trimatės erdvės neišlinkimą, tai yra, kad jos geometrija yra tiksliai euklidinė.

Taigi Gauso teorema yra fizinės erdvės savybių apraiška pagrindiniame elektros krūvių sąveikos įstatyme.

Idėją apie glaudų ryšį tarp pagrindinių fizikos dėsnių ir kosmoso savybių išsakė daugelis puikūs protai gerokai prieš pačių šių įstatymų nustatymą. Taigi, I. Kantas, likus trims dešimtmečiams iki Kulono dėsnio atradimo, apie kosmoso savybes rašė: „Trimatis matomumas atsiranda, matyt, todėl, kad esamo pasaulio substancijos veikia viena kitą taip, kad veikimo jėga yra atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui “.

Kulono dėsnis ir Gauso teorema iš tikrųjų reiškia tą patį gamtos dėsnį, išreikštą skirtingos formos... Coulombo dėsnis atspindi tolimojo veikimo koncepciją, o Gausso teorema kyla iš jėgos lauko, užpildančio erdvę, koncepcijos, tai yra, iš trumpo nuotolio veikimo koncepcijos. Elektrostatikoje jėgos lauko šaltinis yra krūvis, o su šaltiniu susijusio lauko charakteristika - intensyvumo srautas - negali pasikeisti tuščioje erdvėje, kur nėra kitų krūvių. Kadangi srautą galima vizualizuoti kaip lauko jėgos linijų rinkinį, srauto nekintamumas pasireiškia šių linijų tęstinumu.

Gauso teorema, pagrįsta atvirkštiniu sąveikos proporcingumu atstumo kvadratui ir superpozicijos (sąveikos adityvumo) principu, taikoma bet kokiam fiziniam laukui, kuriame veikia atvirkštinio kvadrato dėsnis. Visų pirma, jis galioja ir gravitaciniam laukui. Akivaizdu, kad tai ne šiaip atsitiktinis atsitiktinumas, o atspindys to, kad tiek elektrinė, tiek gravitacinė sąveika vyksta trimatėje Euklido fizinėje erdvėje.

Kokia elektros krūvių sąveikos dėsnio ypatybė yra pagrįsta Gauso teorema?

Remdamiesi Gauso teorema įrodykite, kad taškinio krūvio elektrinio lauko stipris yra atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui. Kokios erdvės simetrijos savybės naudojamos šiame įrodyme?

Kaip fizinės erdvės geometrija atsispindi Kulono dėsnyje ir Gauso teoremoje? Koks šių dėsnių bruožas liudija fizinės erdvės geometrijos ir trimatiškumo euklidiškumą?

Pagrindinė elektrostatikos problema yra elektros laukų, susidarančių įvairiuose prietaisuose ir aparatuose, apskaičiavimas. Apskritai ši problema išspręsta naudojant Kulono dėsnį ir superpozicijos principą. Tačiau ši užduotis tampa labai sudėtinga, kai atsižvelgiama į daugybę taškų ar erdvėje paskirstytų krūvių. Dar didesni sunkumai kyla, kai erdvėje yra dielektrikų ar laidininkų, kai veikiant išoriniam laukui E 0, mikroskopiniai krūviai yra perskirstomi, sukuriant savo papildomą lauką E. Todėl praktiniam šių problemų sprendimui naudojami pagalbiniai metodai ir metodai naudojami naudojant sudėtingą matematinį aparatą. Mes apsvarstysime paprasčiausią metodą, pagrįstą Ostrogradskio - Gauso teoremos taikymu. Norėdami suformuluoti šią teoremą, pristatome keletą naujų sąvokų:

A) krūvio tankis

Jei įkrautas kūnas yra didelis, tuomet turite žinoti krūvių pasiskirstymą kūno viduje.

Masinio krūvio tankis- matuojamas įkrova už tūrio vienetą:

Paviršiaus krūvio tankis- matuojamas pagal krūvį kūno paviršiaus vienetui (kai krūvis pasiskirsto per paviršių):

Linijinis krūvio tankis(įkrovos pasiskirstymas išilgai laidininko):

b) vektorinė elektrostatinė indukcija

Pagal elektrostatinės indukcijos vektorių (elektrinio poslinkio vektorius) yra vektorinis kiekis, apibūdinantis elektrinį lauką.

Vektorius yra lygus vektoriaus sandaugai dėl absoliučios terpės dielektrinės konstantos tam tikrame taške:

Patikrinkime matmenis D SI vienetais:

nuo
,

tada matmenys D ir E nesutampa, o jų skaitinės vertės taip pat skiriasi.

Iš apibrėžimo iš to išplaukia, kad vektoriaus laukas galioja tas pats superpozicijos principas kaip ir lauke :

Laukas yra grafiškai pavaizduotas indukcijos linijomis, kaip ir laukas ... Indukcijos linijos nubrėžtos taip, kad liestinė kiekviename taške sutaptų su kryptimi , o eilučių skaičius yra lygus skaitinei D reikšmei nurodytoje vietoje.

Norėdami suprasti įžangos prasmę Pažvelkime į pavyzdį.

v) srauto vektoriaus elektrostatinė indukcija

Apsvarstykite paviršių S elektriniame lauke ir pasirinkite normalaus kryptį

1. Jei laukas yra vienodas, tada jėgos linijų per paviršių skaičius S:

2. Jei laukas yra nevienalytis, tada paviršius yra padalintas į begalybės mažus elementus dS, kurie laikomi plokšti, o laukas aplink juos yra vienodas. Todėl srautas per paviršiaus elementą yra: dN = D n dS,

ir bendras srautas per bet kokį paviršių:

(6)

Indukcijos srautas N yra skaliarinis dydis; priklausomai nuo  jis gali būti> 0 arba< 0, или = 0.

Gauso teorema dėl elektrinės indukcijos (elektros poslinkio) [

Laukui dielektrinėje terpėje Gauso elektrostatinė teorema gali būti parašyta kitaip ir kitaip (alternatyviai) - per elektros poslinkio vektoriaus srautą (elektrinė indukcija). Šiuo atveju teorema formuluojama taip: elektros poslinkio vektoriaus srautas per uždarą paviršių yra proporcingas laisvam elektros krūviui, esančiam šiame paviršiuje:

Diferencine forma:

Gauso magnetinės indukcijos teorema

Magnetinės indukcijos vektoriaus srautas per bet kurį uždarą paviršių yra lygus nuliui:

arba diferencine forma

Tai prilygsta faktui, kad gamtoje nėra „magnetinių krūvių“ (monopolių), kurie sukurtų magnetinį lauką, nes elektros krūviai sukuria elektrinį lauką. Kitaip tariant, Gauso magnetinės indukcijos teorema rodo, kad magnetinis laukas yra (visiškai) sūkurys.

Gauso teorema Niutono gravitacijai

Kalbant apie Niutono gravitacijos lauko stiprį (gravitacijos pagreitį), Gausso teorema praktiškai sutampa su elektrostatikos, išskyrus tik konstantas (tačiau tai vis tiek priklauso nuo savavališko vienetų sistemos pasirinkimo), ir, svarbiausia, ženklas:

kur g- gravitacinio lauko stiprumas, M- gravitacinis krūvis (ty masė) paviršiaus viduje S, ρ - masės tankis, G- Niutono konstanta.

Laidininkai elektriniame lauke. Laukas laidininko viduje ir jo paviršiuje.

Kūnai vadinami laidininkais, per kuriuos elektros krūviai gali pereiti iš įkrauto kūno į neįkrautą. Laidininkų gebėjimas per save perduoti elektros krūvius paaiškinamas tuo, kad juose yra laisvų krūvininkų. Laidininkai - kieto ir skysto metalo korpusai, skysti elektrolitų tirpalai. Laisvojo laidininko krūviai, įvesti į elektrinį lauką, pradeda veikti veikiant. Dėl krūvių perskirstymo pasikeičia elektrinis laukas. Kai laidininko elektrinio lauko stipris tampa lygus nuliui, elektronai nustoja judėti. Skirtingų krūvių atsiskyrimo reiškinys laidininko, esančio elektriniame lauke, vadinamas elektrostatine indukcija. Laidininko viduje nėra elektrinio lauko. Jis naudojamas elektrostatinei apsaugai - apsaugai su metaliniais laidininkais nuo elektrinio lauko. Bet kokios formos laidžiojo kūno paviršius elektriniame lauke yra ekvipotencialinis paviršius.

Kondensatoriai

Norėdami gauti prietaisų, kurių potencialas yra mažas, palyginti su terpe, jie sukauptų (kondensuotų) pastebimus krūvius, naudokite tai, kad laidininko elektrinė talpa padidėja, kai prie jo priartėja kiti kūnai. Iš tiesų, veikiant įkrautų laidininkų sukurtam laukui, ant jo atnešto kūno atsiranda (ant laidininko) arba susiję (ant dielektriko) krūviai (15.5 pav.). Įkrovai, priešingai nei laidininko q krūvis, yra arčiau laidininko nei to paties pavadinimo su q, todėl daro didelę įtaką jo potencialui.

Todėl, kai kūnas patenka į įkrautą laidininką, lauko stipris mažėja, taigi ir laidininko potencialas. Pagal lygtį tai reiškia laidininko talpos padidėjimą.

Kondensatorius susideda iš dviejų laidininkų (plokščių) (15.6 pav.), Atskirtų dielektriniu sluoksniu. Kai laidininkui taikomas tam tikras potencialų skirtumas, jo plokštės įkraunamos vienodais priešingo ženklo krūviais. Kondensatoriaus elektrinė talpa suprantama kaip fizinis dydis, proporcingas krūviui q ir atvirkščiai proporcingas potencialiam plokščių skirtumui

Nustatykime plokščio kondensatoriaus talpą.

Jei plokštės plotas yra S, o krūvis ant jo yra q, tada lauko stipris tarp plokščių yra

Kita vertus, potencialus skirtumas tarp plokščių, iš kur

Taškinių krūvių sistemos, įkrauto laidininko ir kondensatoriaus energija.

Bet kokia mokesčių sistema turi tam tikrą potencialią sąveikos energiją, kuri yra lygi šios sistemos sukūrimo darbui. Taškinių krūvių sistemos energija q 1 , q 2 , q 3 ,… q N apibrėžiama taip:

kur φ 1 - elektrinio lauko potencialas, kurį sukuria visi krūviai, išskyrus q 1 toje vietoje, kur yra mokestis q 1 ir kt. Jei pasikeičia įkrovimo sistemos konfigūracija, keičiasi ir sistemos energija. Norėdami pakeisti sistemos konfigūraciją, turite atlikti tam tikrą darbą.

Taškinių mokesčių sistemos potenciali energija gali būti apskaičiuojama kitu būdu. Potenciali dviejų taškų krūvių energija q 1 , q 2 atstumu vienas nuo kito yra lygus. Jei yra keli krūviai, šios krūvių sistemos potenciali energija gali būti apibrėžiama kaip visų krūvių porų, kurias galima kompensuoti šiai sistemai, potencialių energijų suma. Taigi trijų teigiamų krūvių sistemai sistemos energija yra

Įkrauto vienišo laidininko ir kondensatoriaus energija

Jei vienišas laidininkas turi krūvį q, tai aplink jį egzistuoja elektrinis laukas, kurio potencialas ant laidininko paviršiaus yra lygus, o talpa - C. Padidinkime krūvį dq. Perkeliant įkrovą dq iš begalybės, darbas turi būti lygus ... Bet tam tikro laidininko elektrostatinio lauko potencialas begalybėje yra lygus nuliui. Tada

Kai krūvis dq perkeliamas iš laidininko į begalybę, tą patį darbą atlieka elektrostatinio lauko jėgos. Vadinasi, padidinus laidininko krūvį dq dydžiu, potenciali lauko energija didėja, t.y.

Integruodami šią išraišką, mes randame įkrauto laidininko elektrostatinio lauko potencialią energiją, padidėjus jo krūviui nuo nulio iki q:

Taikant santykį, galima gauti šias potencialios energijos W išraiškas:

Įkrauto kondensatoriaus potencialų skirtumas (įtampa) yra šios elektrostatinio lauko visos energijos santykis

Elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas. Leiskite nedidelį plotą DS(1.2 pav.) Kerta elektrinio lauko jėgos linijas, kurių kryptis yra normali n kampas į šią svetainę a... Darant prielaidą, kad įtampos vektorius E nesikeičia svetainėje DS, apibrėžti tempimo vektoriaus srautas visoje svetainėje DS kaip

DFE =E DS cos a.(1.3)

Kadangi jėgos linijų tankis yra lygus įtempimo skaitinei vertei E, tada jėgos linijų, kertančių aikštelę, skaičiusDS, bus skaitine verte lygi srauto verteiDFEper paviršiųDS... Dešiniąją išraiškos pusę (1.3) vaizduojame kaip vektorių skaliarinį sandaugą E irDS= nDS, kur nAr vienetas yra normalus paviršiaus vektorius?DS... Pradinei svetainei d S išraiška (1.3) įgauna formą

dFE = E d S

Visoje svetainėje S intensyvumo vektoriaus srautas apskaičiuojamas kaip integralas virš paviršiaus

Elektrinis indukcijos vektoriaus srautas. Elektrinės indukcijos vektoriaus srautas nustatomas panašiai kaip elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas

dFD = D d S

Tam tikras neaiškumas pastebimas srautų apibrėžimuose dėl to, kad kiekvienam paviršiui - po du priešingos krypties normaliai. Uždaram paviršiui išorinis normalus laikomas teigiamu.

Gauso teorema. Apsvarstykite taškas teigiamas elektros krūvis q savavališko uždaro paviršiaus viduje S(1.3 pav.). Indukcijos vektoriaus srautas per paviršiaus elementą d S yra lygus
(1.4)

Komponentas d S D = d S cos apaviršiaus elementas d S indukcijos vektoriaus kryptimiDlaikomas sferinio spindulio paviršiaus elementu r, kurio centre yra įkrovimasq.

Atsižvelgiant į tai, kad d S D/ r 2 yra lygus elementarus kūniškas kampas dw, pagal kurią nuo įkrovimo vietosqmatomas paviršiaus elementas d S, išraišką (1.4) paverčiame į formą d FD = q d w / 4 p, iš kur, po integracijos per visą krūvį supančią erdvę, t.y., vienodu kampu nuo 0 iki 4p, mes gauname

FD = q.

Elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per uždarą savavališkos formos paviršių yra lygus krūviui, esančiam šio paviršiaus viduje.

Jei savavališkai uždarytas paviršius S neapima taškinio mokesčio q(1.4 pav.), Tada, sukūrę kūginį paviršių su viršūne toje vietoje, kur yra krūvis, mes padalijame paviršių Sį dvi dalis: S 1 ir S 2. Vektorinis srautas D per paviršių S kaip algebrinė srautų per paviršius suma S 1 ir S 2:

.

Abu paviršiai nuo įkrovimo vietos q matomas vienu tvirtu kampu w... Todėl srautai yra vienodi

Kadangi apskaičiuodami srautą per uždarą paviršių, mes naudojame išorinis normalusį paviršių, nesunku pastebėti, kad srautas Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Bendras srautas Ф D= 0. Tai reiškia, kad elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per uždarą savavališkos formos paviršių nepriklauso nuo krūvių, esančių už šio paviršiaus.

Jei elektrinį lauką sukuria taškinių krūvių sistema q 1 , q 2 ,¼ , q n, kurį dengia uždaras paviršius S, tada, vadovaujantis superpozicijos principu, indukcijos vektoriaus srautas per šį paviršių apibrėžiamas kaip srautų, kuriuos sukuria kiekvienas krūvis, suma. Elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per uždarą savavališkos formos paviršių yra lygus šio paviršiaus padengtų krūvių algebrinei sumai:

Reikėtų pažymėti, kad mokesčiai q i neturi būti taškiniai, būtina sąlyga yra tai, kad įkrauta sritis turi būti visiškai padengta paviršiumi. Jei erdvėje, kurią riboja uždaras paviršius S, elektros krūvis pasiskirsto nuolat, tuomet reikia manyti, kad kiekvienas elementarus tūris d V turi mokestį. Šiuo atveju dešinėje išraiškos pusėje (1.5) algebrinė krūvių sumavimas pakeičiama integracija per tūrį, esantį uždaro paviršiaus viduje S:

(1.6)

Išraiška (1.6) yra labiausiai paplitusi formuluotė Gauso teorema: elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per savavališkos formos uždarą paviršių yra lygus bendram krūviui, esančiam šiame paviršiuje, ir nepriklauso nuo krūvių, esančių už svarstomo paviršiaus... Gauso teorema taip pat gali būti parašyta elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautui:

.

Svarbi elektrinio lauko savybė išplaukia iš Gauso teoremos: jėgos linijos prasideda ar baigiasi tik esant elektros krūviams arba eina iki begalybės... Dar kartą pabrėžiame, kad nepaisant to, kad elektrinio lauko stipris E ir elektrinė indukcija D priklauso nuo visų krūvių vietos erdvėje, šių vektorių srautai per savavališką uždarą paviršių S nustatomas tik tie krūviai, kurie yra paviršiaus viduje S.

Diferencinė Gauso teoremos forma. Prisimink tai vientisą formą Gauso teorema apibūdina ryšį tarp elektrinio lauko šaltinių (krūvių) ir elektrinio lauko charakteristikų (intensyvumo ar indukcijos) tūrio V savavališkas, bet pakankamas vientisiems santykiams, vertybei formuoti. Garso padalijimas V mažiems kiekiams V i, mes gauname išraišką

kuris yra teisingas ir kaip visuma, ir kiekvienam terminui. Pakeiskite gautą išraišką taip:

(1.7)

ir apsvarstykite ribą, iki kurios išraiška dešinėje lygybės pusėje, įtraukta į garbanotus skliaustus, leidžia neribotą tūrio padalijimą V... Matematikoje ši riba vadinama išsiskyrimas vektorius (šiuo atveju elektrinis indukcijos vektorius D):

Vektorinis skirtumas D Dekarto koordinatėmis:

Taigi išraiška (1.7) paverčiama tokia forma:

.

Atsižvelgiant į tai, kad neribotam dalijimui suma paskutinės išraiškos kairėje pusėje pereina į tūrio integralą, gauname

Gautas santykis turi būti įvykdytas bet kokiam savavališkai pasirinktam tūriui V... Tai įmanoma tik tuo atveju, jei kiekvienos erdvės taško integralų reikšmės yra vienodos. Todėl vektoriaus skirtumai D yra susijęs su krūvio tankiu tame pačiame taške lygybe

arba elektrostatinio lauko stiprumo vektoriui

Šios lygybės išreiškia Gauso teoremą diferencinė forma.

Atkreipkite dėmesį, kad pereinant prie diferencinės Gauso teoremos formos, mes gauname ryšį, kuris turi bendras charakteris:

.

Išraiška vadinama Gauso-Ostrogradskio formule ir jungia integralą per vektoriaus divergencijos tūrį su šio vektoriaus srautu per uždarą paviršių, ribojantį tūrį.

Klausimai

1) Kas yra fizinė prasmė Gauso teorema dėl elektrostatinio lauko vakuume

2) Kubo centre yra taškinis mokestisq... Kas yra vektorinis srautas E:

a) per visą kubo paviršių; b) per vieną iš kubo paviršių.

Ar atsakymai pasikeis, jei:

a) krūvis yra ne kubo centre, o jo viduje ; b) krūvis yra už kubo ribų.

3) Kas yra tiesinis, paviršiaus, tūrio krūvio tankis.

4) Nurodykite ryšį tarp tūrio ir paviršiaus krūvio tankio.

5) Ar laukas, esantis už priešingai ir vienodai įkrautų lygiagrečių begalinių plokštumų, gali būti nulis?

6) Elektrinis dipolis yra uždaro paviršiaus viduje. Koks yra srautas per šį paviršių

Sunkiausias yra elektrinių reiškinių tyrimas nevienalytėje elektros aplinkoje. Tokioje terpėje ε turi skirtingas vertes, staiga kintančias ties dielektrikų riba. Tarkime, kad lauko stiprumą nustatome dviejų terpių sąsajoje: ε 1 = 1 (vakuumas arba oras) ir ε 2 = 3 (skystis - alyva). Sąsajoje pereinant iš vakuumo į dielektriką lauko stipris sumažėja tris kartus, o stiprumo vektoriaus srautas sumažėja tiek pat (12.25 pav., A). Staigus elektrostatinio lauko stiprumo vektoriaus pasikeitimas dviejų terpių sąsajoje sukelia tam tikrų sunkumų apskaičiuojant laukus. Kalbant apie Gauso teoremą, šiomis sąlygomis ji visiškai praranda savo prasmę.

Kadangi skirtingų dielektrikų poliarizacija ir stiprumas yra skirtingi, jėgos linijų skaičius kiekviename dielektrike taip pat bus skirtingas. Šį sunkumą galima pašalinti įvedus naują fizinę lauko charakteristiką - elektrinę indukciją D (arba vektorių) elektros poslinkis ).

Pagal formulę

ε 1 Е 1 = ε 2 Е 2 = Е 0 = konst

Padauginę visas šių lygčių dalis iš elektros konstantos ε 0, gauname

ε 0 ε 1 Е 1 = ε 0 ε 2 Е 2 = ε 0 Е 0 = const

Įvedame žymėjimą ε 0 εЕ = D, tada priešpaskutinis santykis įgauna formą

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektorius D, lygus dielektriko elektrinio lauko stiprio ir jo absoliučios dielektrinės konstantos sandaugai, vadinamaselektrinio poslinkio vektorius

(12.45)

Elektros poslinkio blokas - pakabukas vienam kvadratiniam metrui(Cl / m 2).

Elektros poslinkis yra vektorinis dydis, jis taip pat gali būti išreikštas kaip

D = εε 0 E = (1 + χ) ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E + P

(12.46)

Skirtingai nuo stiprumo E, elektrinis poslinkis D yra pastovus visuose dielektrikuose (12.25 pav., B). Todėl nehomogeninės dielektrinės terpės elektrinį lauką patogiai apibūdina ne stiprumas E, o poslinkio vektorius D. Vektorius D apibūdina elektrostatinį lauką, kurį sukuria laisvieji krūviai (ty vakuume), tačiau esant tokiam erdvės pasiskirstymui, kuris egzistuoja esant dielektrikui, nes surišti krūviai, kylantys dielektrikuose, gali sukelti laisvų krūvių persiskirstymą. laukas.

Vektorinis laukas brėžiamas elektros poslinkio linijomis taip pat, kaip ir laukas vaizduojamas jėgos linijomis.

Elektros poslinkio linija - tai linijos, liestinės, kurių kiekviename taške kryptis sutampa su elektros poslinkio vektoriumi.

Vektoriaus E linijos gali prasidėti ir baigtis bet kokiais krūviais - laisvi ir surišti, o vektoriaus linijosD- tik nemokamai. Vektorinės linijosDskirtingai nei įtampos linijos, jos yra tęstinės.

Kadangi elektrinis poslinkio vektorius neturi pertrūkio abiejų terpių sąsajoje, visos indukcijos linijos, kylančios iš krūvių, apsuptų tam tikro uždaro paviršiaus, prasiskverbs pro ją. Todėl elektros poslinkio vektoriui Gauso teorema visiškai išlaiko savo reikšmę nehomogeninei dielektrinei terpei.

Gauso teorema dėl dielektriko elektrostatinio lauko : elektrinio poslinkio vektoriaus srautas per savavališką uždarą paviršių yra lygus šiame paviršiuje esančių krūvių algebrinei sumai.

(12.47)