Elektrinio lauko indukcijos vektorius. Vektorių e ir d srautas. Elektrinės indukcijos vektoriaus Gauso teorema srautas elektrinio lauko indukcijos vektoriui

Elektrinių krūvių sąveikos dėsnį – Kulono dėsnį – galima suformuluoti skirtingai, vadinamosios Gauso teoremos forma. Gauso teorema gaunama kaip Kulono dėsnio ir superpozicijos principo pasekmė. Įrodymas pagrįstas dviejų taškinių krūvių sąveikos jėgos atvirkštiniu proporcingumu atstumo tarp jų kvadratui. Todėl Gauso teorema taikytina bet kuriam fizikiniam laukui, kuriame veikia atvirkštinis kvadrato dėsnis ir superpozicijos principas, pavyzdžiui, gravitaciniam laukui.

Ryžiai. 9. Taškinio krūvio elektrinio lauko stiprio linijos, kertančios uždarą paviršių X

Norėdami suformuluoti Gauso teoremą, grįžkime prie nejudančio taško krūvio elektrinio lauko jėgos linijų paveikslo. Vienišo taškinio krūvio jėgos linijos yra simetriškai išsidėsčiusios radialinės tiesės (7 pav.). Tokių linijų galima nubrėžti bet kokį skaičių. Bendrą jų skaičių pažymime per Tada lauko linijų tankis atstumu nuo krūvio, t.y. linijų, kertančių spindulio rutulio vienetinį paviršių, skaičius yra lygus Lyginant šį santykį su lauko stiprio išraiška taškinis krūvis (4), matome, kad linijų tankis yra proporcingas lauko stiprumui. Šiuos dydžius galime padaryti skaitiniu lygiu, tinkamai pasirinkę bendrą lauko linijų skaičių N:

Taigi bet kokio spindulio sferos, gaubiančios taškinį krūvį, paviršius kerta tiek pat jėgos linijų. Tai reiškia, kad jėgos linijos yra ištisinės: tarpe tarp bet kurių dviejų skirtingo spindulio koncentrinių sferų nė viena linija nenutrūksta ir nepridedama naujų. Kadangi jėgos linijos yra ištisinės, tiek pat jėgos linijų kerta bet kurį uždarą paviršių (9 pav.), apimantį krūvį.

Jėgos linijos turi kryptį. Esant teigiamam krūviui, jie išeina iš uždaro paviršiaus, supančio krūvį, kaip parodyta Fig. 9. Esant neigiamam krūviui, jie patenka į paviršiaus vidų. Jei išeinančių eilučių skaičius laikomas teigiamu, o įeinančių eilučių skaičius yra neigiamas, tai formulėje (8) galima praleisti krūvio modulio ženklą ir įrašyti jį į formą

Įtampos srautas. Dabar pristatykime lauko stiprumo vektoriaus srauto per paviršių sąvoką. Savavališką lauką galima mintyse suskirstyti į mažus regionus, kuriuose intensyvumo dydis ir kryptis skiriasi taip mažai, kad šiame regione laukas gali būti laikomas vienodu. Kiekvienoje tokioje srityje jėgos linijos yra lygiagrečios tiesės ir turi pastovų tankį.

Ryžiai. 10. Nustatyti lauko stiprumo vektoriaus srautą per plotą

Apsvarstykite, kiek jėgos linijų prasiskverbia į mažą plotą, kurio normaliosios kryptis sudaro kampą a su įtempimo linijų kryptimi (10 pav.). Leisti būti projekcija į plokštumą, statmeną jėgos linijoms. Kadangi susikertančių linijų skaičius yra vienodas, o linijų tankis pagal priimtą sąlygą yra lygus lauko stiprio moduliui E, tada

Reikšmė a yra vektoriaus E projekcija normaliosios krypties į vietą

Todėl plotą kertančių jėgos linijų skaičius yra

Produktas vadinamas lauko stiprumo srautu per paviršių.(10) formulė rodo, kad vektoriaus E srautas per paviršių yra lygus skaičiui jėgos linijos, kertančios šį paviršių. Atkreipkite dėmesį, kad intensyvumo vektoriaus srautas, taip pat jėgos linijų, einančių per paviršių, skaičius yra skaliarinis.

Ryžiai. 11. Intensyvumo vektoriaus E srautas per aikštelę

Srauto priklausomybė nuo vietos orientacijos lauko linijų atžvilgiu parodyta Fig.

Lauko stiprumo srautas per savavališką paviršių yra srautų per elementariąsias sritis, į kurias šis paviršius gali būti padalintas, suma. Remiantis (9) ir (10) santykiais, galima teigti, kad taškinio krūvio lauko stiprumo srautas per bet kurį uždarą paviršių 2, gaubiantį krūvį (žr. 9 pav.), kaip atsirandančių jėgos linijų skaičius. nuo šio paviršiaus, yra lygus Šiuo atveju normalus vektorius į elementariąsias sritis uždaro paviršiaus turi būti nukreiptas į išorę. Jei krūvis paviršiaus viduje yra neigiamas, tai jėgos linijos patenka į šio paviršiaus vidų ir su krūviu susijęs lauko stiprumo vektoriaus srautas taip pat yra neigiamas.

Jei uždaro paviršiaus viduje yra keli krūviai, tai pagal superpozicijos principą bus pridedami jų lauko stiprių srautai. Bendras srautas bus lygus ten, kur reikia suprasti visų paviršiaus viduje esančių krūvių algebrinę sumą.

Jei uždaro paviršiaus viduje nėra elektros krūvių arba jų algebrinė suma lygi nuliui, tai bendras lauko stiprumo srautas per šį paviršių lygus nuliui: kiek jėgos linijų įeina į paviršiaus ribojamą tūrį, tiek ir išeina.

Dabar pagaliau galime suformuluoti Gauso teoremą: elektrinio lauko stiprumo vektoriaus E srautas vakuume per bet kurį uždarą paviršių yra proporcingas bendram krūviui šio paviršiaus viduje. Matematiškai Gauso teorema išreiškiama ta pačia formule (9), kur suprantama algebrinė krūvių suma. Absoliučioje elektrostatinėje

CGSE vienetų sistema, koeficientas ir Gauso teorema parašyti forma

SI ir intensyvumo srautas per uždarą paviršių išreiškiamas formule

Gauso teorema plačiai naudojama elektrostatikoje. Kai kuriais atvejais jo pagalba nesunkiai apskaičiuojami simetriškai išsidėsčiusių krūvių sukurti laukai.

Simetrinių šaltinių laukai. Taikykime Gauso teoremą tolygiai įkrauto rutulio spindulio rutulio elektrinio lauko stiprumui apskaičiuoti. Tikslumui darome prielaidą, kad jo krūvis yra teigiamas. Lauką sukuriančių krūvių pasiskirstymas turi sferinę simetriją. Todėl laukas turi tą pačią simetriją. Tokio lauko jėgos linijos nukreiptos išilgai spindulių, o įtempimo modulis yra vienodas visuose taškuose, esančiuose vienodu atstumu nuo rutulio centro.

Norėdami rasti lauko stiprumą atstumu nuo rutulio centro, nubrėžiame rutulio spindulio sferinį paviršių, psichiškai koncentrinį su rutuliu, kadangi visuose šios sferos taškuose lauko stiprumas yra nukreiptas statmenai jo paviršiui ir yra vienodas absoliučia verte stiprumo srautas yra tiesiog lygus lauko stiprumo ir sferos paviršiaus ploto sandaugai:

Tačiau šis dydis taip pat gali būti išreikštas naudojant Gauso teoremą. Jei mus domina laukas už kamuolio ribų, ty tada, pavyzdžiui, SI ir, lyginant su (13), randame

Akivaizdu, kad CGSE vienetų sistemoje

Taigi už rutulio ribų lauko stiprumas yra toks pat kaip taškinio krūvio, esančio rutulio centre, lauko. Tačiau jei mus domina laukas rutulio viduje, t. y. tuo, nes visas kamuolio paviršiuje paskirstytas krūvis yra už sferos, kurią mes mintyse nubrėžėme. Todėl kamuoliuko viduje nėra lauko:

Panašiai, naudojant Gauso teoremą, galima apskaičiuoti elektrostatinį lauką, kurį sukuria begalinis krūvis.

plokštuma su pastoviu tankiu visuose plokštumos taškuose. Simetrijos sumetimais galime daryti prielaidą, kad jėgos linijos yra statmenos plokštumai, nukreiptos iš jos į abi puses ir visur turi vienodą tankį. Iš tiesų, jei lauko linijų tankis skirtinguose taškuose būtų skirtingas, tada įkrautos plokštumos poslinkis išilgai savęs lemtų lauko pokyčius šiuose taškuose, o tai prieštarauja sistemos simetrijai - toks poslinkis neturėtų keisti lauke. Kitaip tariant, begalinės tolygiai įkrautos plokštumos laukas yra vienodas.

Gauso teoremai taikyti kaip uždarą paviršių pasirenkame cilindro paviršių, sukonstruotą taip: cilindro generatorius yra lygiagretus jėgos linijoms, o pagrindų plotai lygiagrečiai įkrautai plokštumai ir yra priešingose ​​pusėse. tai (12 pav.). Lauko stiprio srautas per šoninį paviršių lygus nuliui, taigi bendras srautas per uždarą paviršių lygus srautų per cilindro pagrindus sumai:

Ryžiai. 12. Tolygiai įkrautos plokštumos lauko stiprio skaičiavimui

Pagal Gauso teoremą tą patį srautą nulemia tos plokštumos dalies, kuri yra cilindro viduje, krūvis, o SI jis lygus Palyginę šias srauto išraiškas, randame

CGSE sistemoje vienodai įkrautos begalinės plokštumos lauko stiprumas pateikiamas formule

Vienodai įkrautai baigtinio dydžio plokštelei gautos išraiškos apytiksliai galioja srityje, kuri yra pakankamai toli nuo plokštės kraštų ir ne per toli nuo jos paviršiaus. Prie plokštės kraštų laukas nebebus vienodas, o jo jėgos linijos bus išlenktos. Esant labai dideliems atstumams, palyginti su plokštės matmenimis, laukas mažėja didėjant atstumui taip pat, kaip ir taško krūvio laukas.

Kaip kitus simetriškai paskirstytų šaltinių sukurtų laukų pavyzdžius galima paminėti begalinio tiesinio gijų, vienodai įkrauto per ilgį, lauką, vienodai įkrauto begalinio apskrito cilindro lauką, rutulio lauką,

vienodai įkrautas tūrio ir tt Gauso teorema leidžia lengvai apskaičiuoti lauko stiprumą visais šiais atvejais.

Gauso teorema suteikia ryšį tarp lauko ir jo šaltinių, tam tikra prasme priešingą Kulono dėsniui, leidžiančiam nustatyti elektrinį lauką pagal duotus krūvius. Naudojant Gauso teoremą, galima nustatyti bendrą krūvį bet kurioje erdvės srityje, kurioje žinomas elektrinio lauko pasiskirstymas.

Kuo tolimojo ir trumpojo veikimo sąvokos skiriasi apibūdinant elektros krūvių sąveiką? Kiek šios sąvokos gali būti taikomos gravitacinei sąveikai?

Kas yra elektrinio lauko stiprumas? Ką jie reiškia, kai tai vadinama jėga, būdinga elektriniam laukui?

Kaip iš lauko linijų modelio galima spręsti apie lauko stiprumo kryptį ir modulį tam tikrame taške?

Ar elektrinio lauko linijos gali susikirsti? Pagrįskite savo atsakymą.

Nubraižykite kokybinį dviejų krūvių elektrostatinio lauko linijų paveikslą, kad .

Elektrinio lauko stiprio srautas per uždarą paviršių išreiškiamas skirtingomis formulėmis (11) ir (12) GSE ir SI vienetų sistemose. Kaip jį sujungti su geometrine prasme srautas, nustatomas pagal jėgos linijų, kertančių paviršių, skaičių?

Kaip panaudoti Gauso teoremą elektrinio lauko stiprumui rasti su simetrišku jį sukuriančių krūvių pasiskirstymu?

Kaip pritaikyti (14) ir (15) formules neigiamo krūvio kamuoliuko lauko stiprumui apskaičiuoti?

Gauso teorema ir fizinės erdvės geometrija. Pažvelkime į Gauso teoremos įrodymą kiek kitu požiūriu. Grįžkime prie (7) formulės, iš kurios buvo padaryta išvada, kad per bet kurį krūvį supantį sferinį paviršių eina tiek pat jėgos linijų. Tokia išvada padaryta dėl to, kad sumažėja abiejų lygybės dalių vardikliai.

Dešinėje pusėje jis atsirado dėl to, kad krūvių sąveikos jėga, aprašyta Kulono dėsniu, yra atvirkščiai proporcinga atstumo tarp krūvių kvadratui. Kairėje pusėje išvaizda yra susijusi su geometrija: sferos paviršiaus plotas yra proporcingas jo spindulio kvadratui.

Paviršiaus ploto proporcingumas tiesinių matmenų kvadratui yra Euklido geometrijos trimatėje erdvėje požymis. Iš tiesų, erdvei būdingas plotų proporcingumas tiesinių matmenų kvadratams, o ne jokiam kitam sveikajam skaičiui.

trijų matmenų. Faktas, kad šis rodiklis yra lygiai du ir nesiskiria nuo dviejų, net jei jis yra nereikšmingas mažas kiekis, liudija šios trimatės erdvės nekreivumą, t.y., kad jos geometrija yra būtent euklido.

Taigi Gauso teorema yra fizinės erdvės savybių pasireiškimas pagrindiniame elektros krūvių sąveikos dėsnyje.

Idėją apie glaudų ryšį tarp pagrindinių fizikos dėsnių ir erdvės savybių išreiškė daugelis išskirtiniai protai gerokai anksčiau, nei buvo nustatyti šie įstatymai. Taigi I.Kantas, likus trims dešimtmečiams iki Kulono dėsnio atradimo, apie erdvės savybes rašė: „Trimatiškumas atsiranda, matyt, todėl, kad substancijos egzistuojančiame pasaulyje veikia viena kitą taip, kad veikimo jėga. yra atvirkščiai proporcinga atstumo kvadratui“.

Kulono dėsnis ir Gauso teorema iš tikrųjų reiškia tą patį gamtos dėsnį, išreikštą įvairių formų. Kulono dėsnis atspindi tolimojo veikimo sampratą, o Gauso teorema kyla iš jėgos lauko, užpildančio erdvę, idėjos, t.y. iš trumpojo nuotolio veikimo koncepcijos. Elektrostatikoje jėgos lauko šaltinis yra krūvis, o su šaltiniu susijusio lauko charakteristika – intensyvumo srautas – negali kisti tuščioje erdvėje, kur nėra kitų krūvių. Kadangi srautą galima įsivaizduoti kaip jėgos lauko linijų rinkinį, srauto nekintamumas pasireiškia šių linijų tęstinumu.

Gauso teorema, pagrįsta atvirkštiniu sąveikos proporcingumu atstumo kvadratui ir superpozicijos (sąveikos adityvumo) principu, taikytina bet kuriam fizikiniam laukui, kuriame veikia atvirkštinis kvadrato dėsnis. Visų pirma, tai galioja ir gravitaciniam laukui. Akivaizdu, kad tai ne tik sutapimas, o atspindys to, kad tiek elektrinė, tiek gravitacinė sąveika vyksta trimatėje Euklido fizinėje erdvėje.

Kokiu elektros krūvių sąveikos dėsnio ypatumu remiasi Gauso teorema?

Remdamiesi Gauso teorema įrodykite, kad taškinio krūvio elektrinio lauko stipris yra atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui. Kokios erdvės simetrijos savybės naudojamos šiame įrodyme?

Kaip fizinės erdvės geometrija atsispindi Kulono įstatyme ir Gauso teoremoje? Kokia šių dėsnių ypatybė liudija euklidišką fizinės erdvės geometrijos ir trimačio prigimtį?

Supažindinkime su elektrinės indukcijos vektoriaus srauto samprata. Apsvarstykite be galo mažą plotą. Daugeliu atvejų būtina žinoti ne tik svetainės dydį, bet ir jos orientaciją erdvėje. Supažindinkime su vektorinio ploto samprata. Sutikime ploto vektorių suprasti kaip vektorių, nukreiptą statmenai plotui ir skaitiniu būdu lygų ploto dydžiui.

1 paveikslas – prie vektoriaus – svetainės – apibrėžimo

Pavadinkime vektorinį srautą per svetainę
vektorių taškinė sandauga ir
. Šiuo būdu,

Vektoriaus srautas per savavališką paviršių randama integruojant visus elementarius srautus

(4)

Jei laukas vienodas, o paviršius lygus esantis statmenai laukui, tada:

. (5)

Aukščiau pateikta išraiška nustato lauko linijų, prasiskverbiančių į sritį, skaičių per laiko vienetą.

Ostrogradskio-Gauso teorema. Elektrinio lauko stiprumo divergencija

Elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per savavališką uždarą paviršių lygi algebrinei laisvųjų elektros krūvių sumai padengtas šiuo paviršiumi

(6)

Išraiška (6) yra O-G teorema integralia forma. 0-G teorema veikia su integraliniu (suminiu) efektu, t.y. jeigu
tada nežinia, ar tai reiškia krūvių nebuvimą visuose tiriamos erdvės dalies taškuose, ar skirtinguose šios erdvės taškuose esančių teigiamų ir neigiamų krūvių suma lygi nuliui.

Norint rasti išsidėsčiusius krūvius ir jų dydžius tam tikrame lauke, reikia turėti ryšį, jungiantį elektrinės indukcijos vektorių tam tikrame taške su krūviu tame pačiame taške.

Tarkime, kad turime nustatyti krūvio buvimą taške a(2 pav.)

2 paveikslas – vektoriaus divergencijos apskaičiavimui

Taikome O-G teoremą. Elektrinės indukcijos vektoriaus srautas per savavališką paviršių, ribojantį tūrį, kuriame yra taškas a, yra lygus

Algebrinė tūrio krūvių suma gali būti užrašoma kaip tūrinis integralas

(7)

kur - mokestis už tūrio vienetą ;

- tūrio elementas.

Norėdami gauti ryšį tarp lauko ir krūvio taške a sumažinsime tūrį, sutraukdami paviršių iki taško a. Šiuo atveju abi savo lygybės dalis padalijame iš vertės . Peržengę ribą, gauname:

.

Dešinė gautos išraiškos pusė pagal apibrėžimą yra tūrinis krūvio tankis nagrinėjamame erdvės taške. Kairėje pusėje pavaizduota elektrinės indukcijos vektoriaus srauto per uždarą paviršių ir šio paviršiaus ribojamo tūrio santykio ribą, kai tūris linkęs į nulį. Šis skaliarinis dydis yra svarbi elektrinio lauko charakteristika ir yra vadinama vektoriaus divergencija .

Šiuo būdu:

,

Vadinasi

, (8)

kur yra tūrinis krūvio tankis.

Šio ryšio pagalba tiesiog išsprendžiama atvirkštinė elektrostatikos problema, t.y. paskirstytų krūvių radimas žinomame lauke.

Jei vektorius yra pateiktas, todėl žinomos jo projekcijos
,
,
koordinačių ašyse kaip koordinačių funkcija ir apskaičiuoti tam tikrą lauką sukūrusių krūvių paskirstytą tankį, pasirodo, pakanka rasti trijų šių projekcijų dalinių išvestinių atitinkamų kintamųjų atžvilgiu sumą. Tuose taškuose, kuriems
nėra jokių mokesčių. Taškuose, kur
teigiamas, yra teigiamas krūvis, kurio tūrinis tankis lygus
, ir tose vietose, kur
turės neigiamą reikšmę, randamas neigiamas krūvis, kurio tankį taip pat lemia ir divergencijos reikšmė.

Išraiška (8) reiškia teoremą 0-G diferencine forma. Šioje formoje teorema parodo kad elektrinio lauko šaltiniai yra laisvieji elektros krūviai; elektrinės indukcijos vektoriaus jėgos linijos prasideda ir baigiasi atitinkamai teigiamais ir neigiamais krūviais.

Pagrindinis taikomas elektrostatikos uždavinys – įvairiuose įrenginiuose ir įrenginiuose sukuriamų elektrinių laukų skaičiavimas. Apskritai ši problema išspręsta naudojant Kulono dėsnį ir superpozicijos principą. Tačiau ši problema tampa labai sudėtinga, kai atsižvelgiama į didelį taškinių arba erdviškai paskirstytų krūvių skaičių. Dar didesni sunkumai iškyla erdvėje esant dielektrikams ar laidininkams, kai veikiant išoriniam laukui E 0 persiskirsto mikroskopiniai krūviai, sukuriantys savo papildomą lauką E. Todėl praktiniam šių problemų sprendimui pagalbinis naudojami metodai ir metodai, kuriuose naudojamas sudėtingas matematinis aparatas. Apsvarstysime paprasčiausią metodą, pagrįstą Ostrogradskio-Gausso teoremos taikymu. Norėdami suformuluoti šią teoremą, pristatome keletą naujų sąvokų:

A) krūvio tankis

Jei įkrautas kūnas yra didelis, turite žinoti krūvių pasiskirstymą kūno viduje.

Tūrinio krūvio tankis- matuojamas įkrovimu tūrio vienetui:

Paviršiaus krūvio tankis- matuojamas kūno paviršiaus vieneto krūviu (kai krūvis pasiskirsto paviršiuje):

Linijinio krūvio tankis(krūvio pasiskirstymas išilgai laidininko):

b) elektrostatinės indukcijos vektorius

Vektorinė elektrostatinė indukcija (elektrinio poslinkio vektorius) – vektorinis dydis, apibūdinantis elektrinį lauką.

Vektorius yra lygus vektoriaus sandaugai apie absoliutų terpės laidumą tam tikrame taške:

Patikrinkime matmenis D SI vienetų sistemoje:

, nes
,

tada D ir E matmenys nesutampa, o jų skaitinės reikšmės taip pat skiriasi.

Iš apibrėžimo iš to seka, kad vektoriniam laukui galioja tas pats superpozicijos principas kaip ir lauke :

Laukas grafiškai pavaizduotas indukcijos linijomis, kaip ir laukas . Indukcijos linijos brėžiamos taip, kad liestinė kiekviename taške sutaptų su kryptimi , o eilučių skaičius yra lygus skaitinei D reikšmei nurodytoje vietoje.

Norėdami suprasti įžangos prasmę pažiūrėkime į pavyzdį.

in) elektrostatinės indukcijos vektoriaus srautas

Apsvarstykite paviršių S elektriniame lauke ir pasirinkite normalės kryptį

1. Jei laukas vienodas, tai jėgos linijų skaičius per paviršių S:

2. Jei laukas netolygus, tai paviršius dalijamas į begalinius elementus dS, kurie laikomi plokščiais ir šalia jų esantis laukas yra vienalytis. Todėl srautas per paviršiaus elementą yra: dN = D n dS,

o bendras srautas per bet kurį paviršių yra:

(6)

Indukcijos N srautas yra skaliarinė vertė; priklausomai nuo  gali būti > 0 arba< 0, или = 0.