Raskite maksimalų funkcijos algoritmo tašką. Funkcijų vertės ir maksimalūs bei mažiausi taškai
Iš šio straipsnio skaitytojas sužinos apie tai, kas yra funkcinės vertės ekstremumas, taip pat apie jo naudojimo praktikoje ypatybes. Tokios sąvokos mokymasis yra būtinas norint suprasti aukštosios matematikos pagrindus. Ši tema yra esminė norint giliau išnagrinėti kursą.
Susisiekus su
Kas yra ekstremumas?
Mokykloje yra daug „ekstremumo“ sąvokos apibrėžimų. Šiuo straipsniu siekiama kuo giliau ir aiškiau suprasti šį terminą tiems, kurie nėra informuoti šiuo klausimu. Taigi terminas suprantamas, kiek funkcinis intervalas įgyja mažiausią ar didžiausią tam tikro rinkinio vertę.
Ekstremumas yra ir minimali funkcijos vertė, ir maksimali tuo pačiu metu. Atskirkite minimalų ir maksimalų taškus, tai yra, kraštutines argumento vertes diagramoje. Pagrindiniai mokslai, kuriuose naudojama ši sąvoka:
- statistika;
- mašinų valdymas;
- ekonometrija.
Ekstreminiai taškai atlieka svarbų vaidmenį nustatant tam tikros funkcijos seką. Sklypo koordinačių sistema geriausiu įmanomu būdu rodo kraštutinės padėties pasikeitimą, priklausomai nuo funkcionalumo pasikeitimo.
Funkcijos išvestinės kraštutinumas
Taip pat yra toks reiškinys kaip „išvestinė“. Būtina nustatyti ekstremumo tašką. Svarbu nepainioti minimalaus ar maksimalaus taškų su didžiausiomis ir mažiausiomis vertėmis. Tai skirtingos sąvokos, nors gali atrodyti panašios.
Funkcijos vertė yra pagrindinis veiksnys, lemiantis, kaip rasti maksimalų tašką. Išvestinė nėra suformuota iš vertybių, o išimtinai iš jos kraštutinės padėties viena ar kita tvarka.
Pati išvestinė priemonė nustatoma remiantis kraštutinių taškų duomenimis, o ne aukščiausia ar mažiausia verte. Rusų mokyklose riba tarp šių dviejų sąvokų nėra aiškiai nubrėžta, o tai daro įtaką šios temos supratimui apskritai.
Dabar pažvelkime į tokį dalyką kaip „ūmus ekstremumas“. Šiandien išskiriama aštri minimali vertė ir ūmi maksimali vertė. Apibrėžimas pateikiamas pagal Rusijos kritinių funkcijos taškų klasifikaciją. Kraštutinio taško sąvoka yra esminis elementas ieškant diagramos kritinių taškų.
Norint apibrėžti tokią sąvoką, reikia pasinaudoti Fermato teorema. Jis yra svarbiausias tiriant kraštutinius taškus ir vienaip ar kitaip suteikia aiškų supratimą apie jų egzistavimą. Siekiant užtikrinti kraštutinumą, svarbu sudaryti tam tikras sąlygas grafike mažėti arba didėti.
Norėdami tiksliai atsakyti į klausimą „kaip rasti maksimalų tašką“, turite laikytis šių nuostatų:
- Surasti tikslią apibrėžimo sritį diagramoje.
- Ieškokite funkcijos išvesties ir ekstremaliojo taško.
- Išspręskite standartines nelygybes argumento srityje.
- Kad būtų galima įrodyti, kokiomis funkcijomis grafiko taškas yra apibrėžtas ir tęstinis.
Dėmesio! Funkcijos kritinio taško paieška galima tik tuo atveju, jei yra bent antros eilės išvestinė, kurią užtikrina didelė ekstremalumo taško dalis.
Būtina funkcijos ekstremumo sąlyga
Norint, kad egzistuotų ekstremumas, svarbu, kad būtų tiek minimalių, tiek maksimalių taškų. Jei šios taisyklės laikomasi tik iš dalies, pažeidžiama ekstremumo buvimo sąlyga.
Kiekviena funkcija bet kurioje padėtyje turi būti diferencijuota, kad būtų atskleistos naujos jos reikšmės. Svarbu suprasti, kad taško išnykimas nėra pagrindinis diferencijuojamo taško paieškos principas.
Aštrus kraštutinumas ir minimali funkcija yra nepaprastai svarbus matematinės problemos sprendimo aspektas naudojant kraštutines vertes. Norint geriau suprasti šį komponentą, svarbu nurodyti funkcionalumą lentelėse.
| Pilnas prasmės tyrimas | Vertės brėžimas |
| 1. Didėjančių ir mažėjančių verčių taškų nustatymas. 2. Lūžio, ekstremumo ir sankirtos su koordinačių ašimis radimas. 3. Pozicijos diagramoje pokyčių nustatymo procesas. 4. Išgaubimo ir išgaubimo laipsnio ir krypties nustatymas, atsižvelgiant į asimptotų buvimą. 5. Tyrimo suvestinės lentelės sukūrimas, siekiant nustatyti jo koordinates. 6. Ekstremalių ir aštrių taškų didėjimo ir mažėjimo intervalų radimas. 7. Kreivės išgaubtumo ir įdubimo nustatymas. 8. Pagal tyrimą sudarytas grafikas leidžia rasti minimumą arba maksimumą. |
Pagrindinis elementas, kai reikia dirbti su kraštutinumais, yra tiksli jo grafiko konstrukcija. Mokyklų mokytojai dažnai neskiria maksimalaus dėmesio tokiam svarbiam aspektui, kuris yra šiurkštus ugdymo proceso pažeidimas. Grafiko braižymas vyksta tik atlikus funkcinių duomenų tyrimo rezultatus, nustatant aštrius kraštutinumus, taip pat grafiko taškus. Grafike rodomi aštrūs funkcijos išvestinės kraštutinumai tikslios vertės, naudojant standartinę asimptotų nustatymo procedūrą. |
Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia yra būtina ekstremumo sąlyga?
Funkcijos kraštutinumas vadinamas didžiausiu ir mažiausiu funkcijos dydžiu.
Būtina maksimalios ir minimalios funkcijos (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcija f (x) turi kraštutinumą taške x = a, tai šiuo metu išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja.
Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti iki begalybės arba neegzistuoti, jei funkcija šiuo metu neturi ekstremumo.
Kokios yra pakankamos funkcijos ekstremumo sąlygos (maksimali ar minimali)?
Pirma sąlyga:
Jei pakankamai arti taško x = a darinys f? (X) yra teigiamas kairėje nuo a ir neigiamas dešinėje nuo a, tada pačiame taške x = a funkcija f (x) turi maksimalus
Jei pakankamai arti taško x = a darinys f? (X) yra neigiamas kairėje nuo a ir teigiamas dešinėje nuo a, tada pačiame taške x = a funkcija f (x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f (x) čia yra tęstinė.
Vietoj to galite naudoti antrą pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:
Tegul x = a išnyksta pirmasis darinys f? (X); jei šiuo atveju antrasis darinys f ?? (a) yra neigiamas, tai funkcija f (x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiamas, tada minimumą.
Kas yra funkcijos lūžio taškas ir kaip jį rasti?
Tai yra funkcijos argumento vertė, kai funkcija turi kraštutinumą (t. Y. Didžiausią ar mažiausią). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f? (x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręsti lygtį f? (x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, tai yra argumento, kuriame gali būti ekstremumas. Juos galima lengvai atpažinti pažvelgus išvestinis siužetas: mus domina tos argumento vertės, kuriomis funkcijos grafikas kerta abscisės ašį (ašis Ox), ir tos, prie kurių grafikas lūžta.
Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.
Funkcija y (x) = 3x2 + 2x - 50.
Funkcijos išvestinė: y? (X) = 6x + 2
Išspręsdami lygtį: y? (X) = 0
6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3
Šiuo atveju kritinis taškas yra x0 = -1 / 3. Funkcija turi šią argumento vertę ekstremumas... Kad jį padarytum rasti, pakeiskite rastą skaičių į funkcijos išraišką, o ne „x“:
y0 = 3 * ( - 1/3) 2 + 2 * ( - 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Kaip nustatyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?
Jei išvestinės priemonės ženklas, einant per kritinį tašką x0, pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tada x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės priemonės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tada x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tada taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.
Svarstomam pavyzdžiui:
Mes paimame savavališką argumento vertę į kairę nuo kritinio taško: x = -1
Kai x = -1, išvestinės priemonės vertė bus y? ( -1) = 6 * ( -1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ty ženklas yra „minusas“).
Dabar paimame savavališką argumento vertę į dešinę nuo kritinio taško: x = 1
Kai x = 1, išvestinės priemonės vertė bus y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ty ženklas yra „pliusas“).
Kaip matote, išvestinė priemonė, eidama per kritinį tašką, pakeitė savo ženklą iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei vertei x0, turime minimalų tašką.
Didžiausia ir mažiausia funkcijos vertė ant intervalo(segmente) randami ta pačia tvarka, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai patenka į nurodytą intervalą. Kritiniai taškai, esantys už intervalo ribų, neturėtų būti svarstomi. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jame bus maksimalus arba minimalus. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.
Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes
y (x) = 3sin (x) - 0,5x
intervalais:
Taigi, funkcijos išvestinė yra
y? (x) = 3cos (x) - 0,5
Išsprendus lygtį 3cos (x) - 0,5 = 0
cos (x) = 0,5 / 3 = 0,166667
x = ± arccos (0,166667) + 2πk.
Raskite kritinius taškus intervale [-9; devynios]:
x = arccos (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (neįtrauktas į intervalą)
x = -arccos (0,166667) -2π * 1 = -7,687
x = arccos (0,166667) - 2π * 1 = -4,88
x = -arccos (0,166667) + 2π * 0 = -1,403
x = arccos (0,166667) + 2π * 0 = 1,403
x = -arccos (0,166667) + 2π * 1 = 4,88
x = arccos (0,166667) + 2π * 1 = 7,687
x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (neįtrauktas į intervalą)
Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:
y (-7,687) = 3cos (-7,687)-0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88)-0,5 = 5,398
y (-1,403) = 3cos (-1,403) -0,5 = -2,256
y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885
Matoma, kad intervale [-9; 9], funkcija turi didžiausią reikšmę esant x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
ir mažiausias - x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4.88. Funkcijos reikšmė x = -4,88 yra lygi y = 5,398.
Suraskite funkcijos vertę intervalo pabaigoje:
y (-6) = 3cos (-6)-0,5 = 3,838
y (-3) = 3cos (-3)-0,5 = 1,077
Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos vertę
y = 5,398 prie x = -4,88
mažiausia vertė yra
y = 1,077 prie x = -3
Kaip rasti funkcijos grafiko įlinkio taškus ir nustatyti išgaubtumo ir įgaubimo kraštus?
Norėdami rasti visus tiesės y = f (x) lankstumo taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė yra lygi nuliui , begalinis arba jo nėra. Jei, eidama per vieną iš šių verčių, antroji išvestinė keičia ženklą, tada funkcijos grafikas turi linksnį. Jei jis nesikeičia, tada nėra posūkio.
F lygties šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrojo darinio nepertraukiamumo taškai padalija funkcijos sritį į keletą intervalų. Kiekvieno jų intervalo išgaubtumą lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tada tiesė y = f (x) čia įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tada žemyn.
Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą?
Norėdami rasti funkcijos f (x, y) kraštutinumą, diferencijuojamą jos priskyrimo srityje, jums reikia:
1) raskite kritinius taškus, o tam - išspręskite lygčių sistemą
fx? (x, y) = 0, taip? (x, y) = 0
2) kiekvienam kritiniam taškui Р0 (a; b) ištirti, ar skirtumo ženklas
visiems taškams (x; y) pakankamai arti Po. Jei skirtumas išlaiko teigiamą ženklą, tada taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tada maksimalų. Jei skirtumas neišsaugo ženklo, tada taško P0 nėra ekstremumo.
Funkcijos kraštutinumai panašiai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.
Kas yra oficiali grupės „Banderos“ svetainė
Rusakalbių hiphopo atlikėjų svetainės: mad-a.ru-oficiali repo atlikėjo MAD-A svetainė (nuotraukos, muzika, biografija); st1m.ru - oficiali repo atlikėjo St1m svetainė (muzika, vaizdo įrašai, nuotraukos, informacija apie koncertus, naujienos, forumas); all1.ru - oficiali „Creative United“ svetainė
Kokiais atvejais kelių policijos inspektorius turi teisę sustabdyti transporto priemonę?
Remiantis Įstatymo „Dėl policijos“ 13 straipsnio 20 dalies nuostatomis, kelių policijos inspektorius turi teisę sustabdyti transporto priemonė(toliau - transporto priemonė), jeigu būtina vykdyti policijai pavestas saugumo pareigas kelių eismas ir kitais atvejais (žr. visą sąrašą žemiau). Jei inspektorius yra vizualiai
Kaip apsaugoti darbo knygą nuo tyčinio darbdavio praradimo
Siekiant apsaugoti darbaknygę nuo darbdavio tyčinio praradimo (sugadinimo), įmonės darbuotojui rekomenduojama bet kokiomis teisėtomis priemonėmis, pavyzdžiui, pasiteisinimu gauti paskolą, gauti darbo įrašo kopiją ir ją laikyti saugi vieta. Jei nesąžiningas darbdavys sąmoningai sunaikina darbuotojo įdarbinimo jo įmonėje faktus (siekdamas išvengti darbo teisės pažeidimų atskleidimo
Kur internete rasti visų telefonų pagalbos tarnybą
„Geltonųjų puslapių“ svetainės internete: yellow-pages.ru - internetinis žurnalas informacinė informacija „Geltoni puslapiai“; ypag.ru - geltoni NVS puslapiai; yellowpages.rin.ru - geltoni puslapiai
Kiek laipsnių yra radianais
1 lanko minutė (1 ′) = 60 sekundžių lanko (60 colių) ° 17 ir prim
Muzika yra meno rūšis. Specialiai organizuoti garsai yra priemonė perteikti nuotaiką ir jausmus muzikoje. Pagrindiniai muzikos elementai ir išraiškingos priemonės yra: melodija, ritmas, metras, tempas, dinamika, tembras, harmonija, instrumentika ir kt. Muzika yra labai geras būdas ugdyti vaiko meninį skonį. Muzika gali turėti įtakos nuotaikai
Šalys, kuriose „Formulės 1“ Grand Prix buvo surengtas 2005 m
2005 m. Pasaulio čempionatą sudarė 19 didžiųjų prizų, kurie vyko šiose šalyse: Australijoje, Malaizijoje, Bahreine, San Marine, Ispanijoje, Monake, Kanadoje, JAV, Prancūzijoje, Didžiojoje Britanijoje, Vokietijoje, Vengrijoje, Turkijoje, Italijoje, Belgija, Brazilija, Japonija, Kinija. Vokietijoje (Niurburge) vyko Europos Grand Prix. Daugiau informacijos rasite svetainėje http: /
Kas yra alokazija
Alokazija (Alocasia) Aroidų šeima. Tėvynė Pietų Amerika. Retas augalas mėgstančios šiltnamio sąlygas (drėgmę ir šilumą), todėl nėra plačiai paplitusios tarp gėlių augintojų. Alokazija graži kambarinis augalas, su dideliais rodyklės ovaliais (arba širdies formos) lapais, kurių yra ne daugiau kaip 6-7. Dažniausiai pasitaiko
Ką reiškia frazė „Mes jau užuodėme šią gėlę“?
Frazė „Mes jau užuodėme šią gėlę“ vartojama ta pačia prasme kaip ir gerai žinomas frazeologinis vienetas „Žingsnis ant to paties grėblio du kartus“, t. susidurti su jau pažįstama nemalonia situacija. Ši išraiška randama Iljos Ilfo feljetone „Jaunos ponios“ (1929)
Kur rasti panna cotta receptą
„Panna cotta“ yra subtiliausias gundantis desertas iš grietinėlės ir želatinos, gaminamas Italijoje, Emilijos-Romanijos regione. Žodžiu, deserto pavadinimas verčiamas kaip „virta grietinėlė“ arba „virtas kremas“, tačiau iš esmės tai yra kreminis pudingas su įvairiais priedais arba be jų.
Koks yra 90 laipsnių kosinusas
Kosinusas yra viena iš trigonometrinių funkcijų, žymima cos. Stačiakampio trikampio ūmaus kampo kosinusas yra lygus kojos, besitęsiančios nuo šio kampo (gretimos kojos) ir hipotenzijos, santykiui. Kosinusų reikšmės dažnai pasitaikančių kampų (π yra pi, √ yra kva šaknis
Šiame skyriuje pateikiamos matematikos egzamino problemos, susijusios su funkcijų ir jų darinių tyrimu. Visų pirma, mes kalbame apie tai, kaip rasti maksimalias ir minimalias funkcijų vertes, pateiktas analitiškai, tai yra pagal formulę.
Maksimalus taškas (minimumas ) funkcijas y = f(x) paskambino argumento reikšmė x = a toks, kad yra taško kaimynystė a, kur f(x) f ( a) (f(x) > f(a) ) dėl x ≠ a.
Maksimalus (minimumas ) funkcija vadinama jo prasme ekstremumo taške, t.y. dydžio f(a) .
Taigi,
- jei užduotyje yra reikalavimas nustatyti ekstremumo taškai atsakyme reikėtų parašyti rastą reikšmę x ,
- jei reikia patikslinti patys kraštutinumai, tada reikia nustatyti reikšmę y šiuose taškuose, pakeisdami juos į funkcijos formulę y = f(x) .
Kalbant apie didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės tam tikru intervalu
, tada nuolatinei funkcijai jie gali būti pasiekti tiek segmento viduje, tiek jo galuose.
Šios temos grafinės iliustracijos gali būti
Jei funkcija pasiekia didžiausią (mažiausią) reikšmę vidiniame segmento taške, tada šis taškas sutampa su atitinkamo ekstremumo tašku. Norint atsakyti į tokį užduoties klausimą, reikia palyginti funkcijos reikšmes galutiniuose taškuose su jos reikšmėmis segmento galuose. (Praktiškai, norint išspręsti šią problemą, nebūtina nustatyti galūnės formos; pakanka apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir segmento galuose ir palyginti jas tarpusavyje. )
2018 metais ši užduotis buvo 12.
Funkcijos kraštutinių taškų paieškos užduotys.
Ekstremalių taškų paieškos algoritmas.
1) Raskite funkcijos domeną.2) Raskite jo darinį f "(x).
3) Raskite taškus, kuriuose f "(x) neegzistuoja.
4) Raskite taškus, kuriuose f "(x) = 0.
5) Skaičių eilutėje pažymėkite funkcijos apibrėžimo sritį ir visus 3 ir 4 dalyse nurodytus taškus. Rezultatas yra apibrėžimo srities intervalai, kuriuose išvestinė išlaiko pastovų ženklą.
6) Nustatykite ženklą f "(x) už kiekvieną intervalą. (Tai dažniausiai daroma pakeičiant „patogumo“ vertę x iš šio intervalo į 2 skirsnyje gautos išvestinės formulę.)
7) Išvestinės ženklais nustatykite funkcijos padidėjimo ir sumažėjimo sritis ir padarykite išvadas apie ekstremumo buvimą ar nebuvimą ir jo pobūdį kiekviename kritiniame taške.
1 problema
y = (x+ 7) e 7 − x .
1) Funkcija yra tiesinių ir eksponentinių funkcijų, apibrėžtų visoje realioje ašyje, sandauga.
D(f) = (−∞;∞).
2) Išvestinę apskaičiuojame pagal produkto diferenciacijos taisyklę ir galios bei eksponentinių funkcijų išvestinės formules.
y " = ((x+ 7) e 7 − x)" =
= (x+ 7) "· e 7 − x + (x+ 7) ( e 7 − x)" =
= (1 + 0) e 7 − x + (x+ 7) e 7 − x· (7 - x)" =
= e 7 − x + (x+ 7) e 7 - x(0 - 1) =
= e 7 − x − (x+ 7) e 7 − x .
Išvestinės priemonės apskaičiavimas baigtas, tačiau norint palengvinti veiksmus, pateiktus tolesniuose punktuose, verta jį paversti kompaktiškiausia forma.
e 7 − x − (x+ 7) e 7 − x = e 7 − x· (1 - x − 7) = −e 7 − x ·( x + 6).
Taigi, y " = −e 7 − x ·( x + 6)
.
3) Išraiška - e 7 − x ·( x+ 6) yra apibrėžta visuose tikrosios ašies taškuose.
Nurodo, kur y " neegzistuoja, ne.
4) Išspręskite lygtį
−e 7 − x ·( x + 6) = 0.
e 7 − x≠ 0 bet kurioms reikšmėms x,
(x+ 6) = 0 už x = −6.
5) Mes vaizduojame „begalinę“ skaitinę ašį, kuri mūsų atveju sutampa su funkcijos sritimi. Jame pažymime vienintelį rastą kritinį tašką x = −6.
6) Nustatykite išvestinės ženklus gautose dviejose ašies atkarpose.
Jei x x = −10, mes turime
y " = −e 7 − x ·( x + 6) = −e 7 + 10 (-10 + 6) = - e 17 (−4) = 4 e 17 ≈ 4 2,7 17> 0.
Pavyzdžiui, x> −6 x= 7, mes turime
y " = −e 7 − x ·( x + 6) = −e 7 - 7 (7 + 6) = - e 0 · 13 = −1 · 13 = −13 Ašyje pažymėkite „+“ sritį, kurioje y "> 0 ir „-“ ženklas, kur y "
7) Tose srityse, kuriose išvestinė priemonė yra teigiama, funkcija padidėja, o kai išvestinė - neigiama, funkcija sumažėja. Paveiksle dedame atitinkamas rodykles. Rodyklės rodo, kad taške x= −6, funkcija pereina nuo didėjimo prie mažėjimo, o tai reiškia, kad tai yra norimas maksimalus taškas. 
Atsakymas: −6
Dabar išbandykite savo jėgas. Pirmiausia pabandykite patys išspręsti problemą, tada palyginkite atsakymą, tada galėsite atskleisti mano sprendimą. Jei jūsų sprendimas nėra toks pat kaip mano, tai nebūtinai yra klaidingas.
Dėmesio: Norėdami sustiprinti mokymo poveikį atsakymai ir sprendimai yra įkeliami atskirai kiekvienai užduočiai, nuosekliai spaudžiant mygtukus geltoname fone. (Kai yra daug užduočių, mygtukai gali pasirodyti su vėlavimu. Jei mygtukų visai nematote, patikrinkite, ar jūsų naršyklė leidžiama „JavaScript“.)
2 problema
y = 4x- ln ( x + 11) + 12.
Pagal logaritmo apibrėžimą x+ 11> 0, todėl D(f) = (−11;+∞).
y " = 4 − 1 ______ x + 11 = ______ 4x + 43 x + 11 .
Išvestinis x≠ −11, tačiau ši vertė yra už funkcijos ribų, todėl ji nėra kritinis taškas.
y "= 0 už 4 x + 43 = 0; x = −10,75.
y "(−10,9) = −0,6/0,1 = −6 y "(−10) = 3/1 = 3 > 0;
Vadinasi, x= −10,75 minimalus funkcijos taškas.
Atsakymas: −10,75
3 problema
Raskite maksimalų funkcijos tašką y = √16 − 4x − x 2 ___________ .
Pagal aritmetinės šaknies apibrėžimą 16 - 4 x − x 2 ≥ 0. Kol kas šios nelygybės visiškai neišspręsime. Tik atkreipkite dėmesį, kad tai yra kvadratinė nelygybė, o atitinkamos parabolės šakos nukreiptos žemyn. Galima daryti išvadą, kad kvadratinio trinomio plotas tarp jo šaknų turės neneigiamų verčių. D(f) = [x 1 ; x 2 ].
y " = 1 ____________ 2√16 − 4x − x 2 __________ (16-4 x − x 2)" = − x + 2 ___________ √16 − 4x − x 2 __________ .
y " nėra taškuose, kur trupmenos vardiklis lygus nuliui, t.y.
16-4 val x − x 2 = 0. Mes jau pažymėjome šiuos taškus x 1 ir x 2. Jie yra funkcijos apimties kraštai.
y "= 0 už x + 2 = 0, x = −2.
Renkantis vertybes x patikrinti išvestinės priemonės požymius gautuose dviejuose skyriuose. Tegul tai yra –3 ir 0. Įsitikinkime, kad neperžengėme funkcijos apibrėžimo srities, t.y. tai, kad dėl šių punktų patenkinama radikalios išraiškos nelygybė. (Jei nelygybę iš karto užbaigtume iki galo, to daryti nereikėtų. Taškai būtų parenkami pagal paveikslėlį.)
16 − 4x − x 2 ≥ 0.
16 - 4 (−3) - (−3) 2 = 19 ≥ 0.
16 - 4 0 - 0 2 = 16 ≥ 0.
Šiuose taškuose nustatykite darinio požymius
y "(x) = − x + 2 ___________ √16 − 4x − x 2 __________ .
y "(−3) = − −3 + 2 _____ √19 __ = 1 ___ √19 __ > 0.
y "(0) = − 0 + 2 ____ √16 __ = − 2 _ 4 = −0,5
Vadinasi, x
Atsakymas: −2
Komentaras:
Kai kuriems gali būti lengviau apsispręsti iš karto kvadratinė lygtis ir aiškiai nupieškite galutinį piešinį. Daryk tai.
Tokiu atveju x 1 = −2 − 2√5_
≈ −6,5; x 2 = −2 + 2√5_
≈ 2,5.
4 problema
Raskite minimalų funkcijos tašką y = (0,5 − x) cos x+ nuodėmė x, priklausantis intervalui (0, π / 2).
D(f) = (−∞;∞).
y "
= (0,5 − x) “· Nes x + (0,5 − x) (Žr x) "+ (nuodėmė x)" =
= −cos x − (0,5 − x) Nuodėmė x+ cos x = (x- 0,5) nuodėmė x
Nurodo, kur y " neegzistuoja, ne.
Lygties sprendimas y " = 0.
(x- 0,5) nuodėmė x= 0 tais atvejais, kai
arba ( x − 0,5) = 0, x = 0,5;
arba nuodėmė x = 0, x n = πn.
Tikrinant rastų vertybių priklausomybę x tam tikrą intervalą.
Vertės, kurios yra π kartotinės, nepriklauso intervalui. Jei n = 0, x 0 = 0, tačiau nurodytas tarpas yra intervalas, o 0 į jį neįtrauktas. Kitos vertės yra didesnės nei π /
2 arba mažiau nei 0.
0/2 ≈ 1.57. Taškas x= 0,5 yra įtrauktas į nurodytą intervalą ir yra kraštutinis taškas. Ji yra vienintelė kandidatė į atsakymą. Tačiau turėtumėte įsitikinti, kad tai yra minimali funkcija. Norėdami patikrinti kaimynystėje esančios išvestinės priemonės požymius x= 0,5, pavyzdžiui, x= 0,45 ir x = 0,55
.
y "(0,45) = (0,45 - 0,5) sin0,45 = -0,05sin0,45 y "(0,45) = (0,55 - 0,5) sin0,55 = 0,05sin0,55> 0
Taigi į kairę nuo 0,5 taško funkcija sumažėja, o į dešinę - padidėja. Taškas yra minimalus taškas.
Atsakymas: 0,5
Komentaras: sin0.45 ir sin0.55 yra teigiami, nes tirtas intervalas atitinka pirmąjį trigonometrinio apskritimo ketvirtį.
Funkcijos kraštutinumų paieškos problemos.
1) Raskite funkcijos kraštutinius taškus ir nustatykite jų charakterį taip pat, kaip ir aukščiau pateiktose užduotyse.2) Funkcijos reikšmes mes nustatome maksimalių ar minimalių taškuose pagal problemos klausimą.
3) Jei funkcijos srityje yra keli maksimalūs (mažiausi) taškai, tada maksimumai (minimumai) vadinami vietiniais, o didžiausias (mažiausias) vadinamas visuotine maksimalia (minimalia) arba didžiausia (mažiausia) reikšme funkcija. Dar kartą perskaitykite problemos klausimą ir pasirinkite jums reikalingą.
5 problema
y = √5 − 4x − x 2 _________ .
Pirmoji sprendimo dalis visiškai sutampa su 3 problemos sprendimu.
5 − 4x − x 2 ≥ 0. D(f) = [x 1 ; x 2]. Čia x 1 = −5; x 2 = 1.
y " = − x + 2 ___________ √5 − 4x − x 2 __________ .
y " nėra taškuose -5 ir 1.
y "= 0 už x + 2 = 0, x = −2.
y "(−3) = 1 __ √8_ > 0; y "(0) = − 2 __ √5_
Vadinasi, x= −2 maksimalus funkcijos taškas.
Šiuo metu nustatykite funkcijos vertę
y(x) = √5 − 4x − x 2 __________
y(−2) = √5 - 4 (−2) - (−2) 2 _______________ = √9_
= 3.
Rodyklės paveikslėlyje rodo, kad maksimalus visoje funkcijos srityje yra unikalus, todėl gauta reikšmė y (−2) = 3 bus didžiausia funkcijos reikšmė.
Atsakymas: 3
6 problema
Raskite mažiausią funkcijos vertę y= log 3 ( x 2 − 6x + 10) + 2.
Pagal logaritmo apibrėžimą x 2 − 6x+ 10> 0. Šio kvadratinio trinomio diskriminantas D= 36 - 40 koeficientas x 2 yra lygus 1> 0, todėl visos jo vertės yra teigiamos. Funkcijų apimtis D(f) = (−∞;+∞).
y " = 1 ______________ (x 2 − 6x+ 10) ln3·( x 2 − 6x + 10)"+ 0 = ______________ 2x − 6 (x 2 − 6x+ 10) ln3.
Šios trupmenos vardiklis> 0 (ln3> 1, nes 3> e ≈ 2,7), todėl taškai, kur y " neegzistuoja, ne.
y "= 0, jei 2 x − 6 = 0; x = 3.
Rastas galutinis taškas yra vienintelis funkcijos apibrėžimo srityje; jis padalija jį į dvi dalis ir x x> 3 y "> 0, tai reiškia, kad tai yra visuotinio minimumo taškas.
Šiuo metu raskite funkcijos vertę
y(3) = žurnalas 3 ( x 2 − 6x+ 10) + 2 = log 3 (3 2 - 6 3 + 10) + 2 = log 3 1 + 2 = 0 + 2 = 2.
Tai yra mažiausia funkcijos vertė visoje srityje.
Atsakymas: 2
Užduotys nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos vertę segmente.
Nuolatinė segmento funkcija pasiekia mažiausią ir didžiausią reikšmę intervalo vidiniuose taškuose arba galuose. Todėl, norint išspręsti šio skyriaus problemas, pakanka nustatyti funkcijos reikšmes galutiniuose taškuose ir palyginti jas su jos reikšmėmis segmento galuose. Nebūtina nustatyti ekstremumo tipo.
Jei bent viena iš dviejų sąlygų nėra įvykdyta - funkcija yra nepertraukiama arba intervalas (pusė intervalo) nurodomas kaip intervalas -, tada reikės atlikti išsamią funkcijos ir jos darinio elgesio analizę , o ne tai, kad atsakymas bus. Egzamino metu problemos su tokiomis sudėtingomis sąlygomis dar nebuvo rastos, o tie, kurie tiesiog domisi, gali sekti nuorodą ir
7 problema
Raskite didžiausią funkcijos vertę y = x 3 + 2x 2 + x + 3 segmente [−4; −1].
D(f) = (−∞;+∞).
y " = 3x 2 + 4x + 1.
Funkcija yra tęstinė visoje srityje.
Nurodo, kur y " neegzistuoja, ne.
Lygties sprendimas y " = 0: 3x 2 + 4x + 1 = 0
Diskriminacinis D= 16 - 12 = 4. Šaknys x 1,2 = −4 ± 2 ______ 6, x 1 = −1/3; x 2 = −1.
Raskite funkcijos reikšmes šiuose taškuose ir segmento kraštuose
y(x) = x 3 + 2x 2 + x + 3;
y(−4) = (−4) 3 + 2 (−4) 2 - 4 + 3 = −64 + 2 16 - 4 + 3 = −33;
y(−1/3) = (−1/3) 3 + 2 (−1/3) 2 - 1/3 + 3 = −1/27 + 2 1/9 −1/3 + 3 = 2 23
__
27
;
y(−1) = (−1) 3 + 2 (−1) 2 - 1 + 3 = −1 + 2 - 1 + 3 = 3.
Iš gautų verčių pasirenkant didžiausią y... tai y(−1) = 3.
Atsakymas: 3
8 problema
Raskite didžiausią funkcijos vertę y= 36 tg x − 36x+ 9π + 7 segmente [−π / 4; π / 4].
Segmente [−π / 4; π / 4], duota funkcija yra apibrėžta ir nuolatinė (žr. grafiką tg x).
y "= 36 _____ 1 cos 2 x − 36 + 0;
y " cos neegzistuoja x = 0, x n = _ π 2· N, n Є Z. Nė vienas iš šių taškų nėra įtrauktas į intervalą [−π / 4; π / 4].y "= 0 esant cos 2 x= 1, cos x= ± 1, x k = πk, k Є Z. Segmentas [−π / 4; π / 4] priklauso tik taškas x 0 = 0.
Nustatykite funkcijos reikšmes šiame taške ir segmento galuose.
y(x) = 36 tg x − 36x+ 9π + 7
y(0) = 36 tg0 - 36 0 + 9π + 7 = 0 - 0 + 9π + 7 ≈ 9 3,14 + 7 = 35,26
y(−π / 4) = 36 tg (−π / 4) - 36 (−π / 4) + 9π + 7 = 36 (−1) + 9π + 9π + 7 = −29 + 18π ≈ −29 + 18 3.14 = 27.52
y(π / 4) = 36 tg (π / 4) - 36 π / 4 + 9π + 7 = 36 1 - 9π + 9π + 7 = 43.
Didžiausias iš šių skaičių yra 43.
Atsakymas: 43
Komentaras: Diferencijuodami atminkite, kad π yra ta pati konstanta kaip ir bet kuris kitas skaičius. Todėl π "= 0.
9 problema
Raskite didžiausią funkcijos vertę y = 2x 2 − 13x+ 9 mln x + 8 segmente [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ] .
Funkcija yra apibrėžta ir nenutrūkstama visiems x> 0, įskaitant segmentą [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ].
y " = 4x- 13 + 9 1 _ x + 0 = 4x 2 − 13x + 9 ___________ x
y " neegzistuoja x= 0. Šis taškas neįtrauktas į nurodytą intervalą. Mes to nesvarstome.y "= 0 už 4 x 2 − 13x + 9 = 0
Šią kvadratinę lygtį sprendžiame per diskriminantą, randame šaknis x 1 = 1, x 2 = 9/4 = 2,25.
x 1 = 1 yra tam tikro segmento vidurys, x 2 = 2,25 nepriklauso segmentui. Taigi reikia nustatyti funkcijos y (13/14), y (1) ir y (15/14) reikšmes ir jas palyginti. Tačiau šiuo atveju y (13/14) ir y (15/14) reikšmių apskaičiavimas gali pasirodyti pernelyg sudėtingas ir greičiausiai gali sukelti klaidų. Lengviau grįžti prie išvestinės elgsenos tyrimo šalia rasto ekstremumo taško.
y " yra trupmena, kurios vardiklis yra teigiamas segmente. Tai reiškia, kad išvestinės priemonės ženklas šiame segmente priklauso tik nuo skaitiklio, t.y. apibrėžiamas kvadratinio trinomio ženklu 4 x 2 − 13x + 9. 
Šios kvadratinės trinomės grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų (4> 0), kertančios abscisės ašį dviejuose taškuose x 1 ir x 2. Mes „ranka“ nupiešiame šio grafiko eskizą ir matome tai kairėje nuo šaknies x 1 kvadratinis trinominis, o tai reiškia, kad visa išvestinė turės „+“ ženklą, o dešinėje - „ -“ ženklą.
Išvada: funkcija, nurodyta problemos pareiškime tam tikrame segmente kairėje x 1 = 1 didėja, dešinėje - mažėja. Šis taškas yra didžiausias taškas segmento viduje, jame esančios funkcijos vertė bus didžiausia.
Mes jį apibrėžiame
y(x) = 2x 2 − 13x+ 9 mln x + 8
y(1) = 2 1 2 - 13 1 + 9 ln1 + 8 = 2 - 13 + 9 0 + 8 = −3.
Atsakymas: −3) = x 2 + 25 ______ x ;
y(1) = 1 2 + 25 ______ 1 = 26;
y(5) = 5 2 + 25 ______ 5 = 10;
y(10) = 10 2 + 25 _______ 10 = 12,5.
Mažiausia vertė y(5) = 10.
Maksimalūs ir mažiausi taškai yra galutiniai funkcijos taškai, kurie randami pagal tam tikrą algoritmą. Tai yra pagrindinis rodiklis ieškant funkcijos. Taškas x0 yra minimalus taškas, jei nelygybė f (x)? f (x0) (maksimaliam taškui objektyviai yra priešinga nelygybė f (x)? f (x0)).
Instrukcijos
1. Raskite funkcijos išvestinę. Išvestinė apibūdina funkcijos metamorfozę tam tikru momentu ir yra apibrėžiama kaip funkcijos padidėjimo ir argumento padidėjimo santykio riba, ta, kuri traukiasi iki nulio. Norėdami tai rasti, naudokite išvestinių priemonių lentelę. Tarkime, kad funkcijos y = x3 darinys bus lygus y ’= x2.
2. Nustatykite šią išvestinę nulį (šiuo atveju x2 = 0).
3. Raskite nurodytos išraiškos kintamojo reikšmę. Tai bus reikšmės, kuriomis šis darinys bus lygus 0. Norėdami tai padaryti, vietoj x išraiškoje pakeiskite savavališkus skaitmenis, prie kurių visa išraiška taps lygi nuliui. Tarkime: 2-2 × 2 = 0 (1-x) (1 + x) = 0x1 = 1, x2 = -1
4. Nubraižykite gautas vertes koordinačių linijoje ir apskaičiuokite išvestinės ženklo ženklą visiems gautiems intervalams. Taškai pažymėti koordinačių linijoje, kurie laikomi atskaitos įžanga. Norėdami apskaičiuoti vertę tam tikrais intervalais, pakeiskite savavališkas vertes, kurios atitinka kriterijus. Tarkime, ankstesnei funkcijai iki intervalo -1 leidžiama teikti pirmenybę reikšmei -2. Intervale nuo -1 iki 1 leidžiama teikti pirmenybę 0, o didesnėms nei 1 reikšmėms pasirinkite 2. Pakeiskite šiuos skaičius išvestine ir sužinokite išvestinės priemonės ženklą. Tokiu atveju darinys su x = -2 bus -0,24, t.y. neigiamas ir šiame intervale bus minuso ženklas. Jei x = 0, tada vertė bus lygi 2, o tai reiškia, kad šiame intervale yra teigiamas ženklas. Jei x = 1, išvestinė taip pat bus -0,24, todėl įdedamas minusas.
5. Jei, eidama per tašką koordinačių linijoje, išvestinė keičia savo ženklą iš minuso į pliusą, tai yra minimalus taškas, o jei iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas.
Maksimalūs funkcijos taškai kartu su minimaliais taškais vadinami ekstremaliais taškais. Šiuose taškuose funkcija keičia elgesio pobūdį. Kraštutinumai nustatomi ribotais skaitiniais intervalais ir visada yra vietiniai.
Instrukcijos
1. Vietinio kraštutinumo radimo procesas vadinamas funkcijos radimu ir atliekamas žiūrint į pirmąjį ir antrąjį funkcijos darinius. Prieš pradėdami tyrimą įsitikinkite, kad nurodytas argumento verčių diapazonas priklauso galimas vertybes... Pavyzdžiui, funkcijai F = 1 / x argumento x = 0 reikšmė yra nepriimtina. Arba, jei funkcija Y = tg (x), argumentas negali turėti reikšmės x = 90 °.
2. Įsitikinkite, kad Y funkcija kiekviename segmente skiriasi. Raskite pirmąjį išvestinį Y '. Matyt, prieš pasiekiant vietinio maksimumo tašką, funkcija padidėja, o einant per maksimumą - mažėja. Pirmasis išvestinis savaip fizine prasme apibūdina funkcijų metamorfozės greitį. Nors funkcija didėja, šio proceso greitis yra teigiamas. Praeinant per vietinį maksimumą, funkcija pradeda mažėti, o funkcijos metamorfozės greitis tampa neigiamas. Funkcijos metamorfozės greičio perėjimas per nulį įvyksta vietinio maksimumo taške.
3. Vadinasi, didėjančios funkcijos srityje jo pirmoji išvestinė yra teigiama visoms šio intervalo argumento reikšmėms. Ir atvirkščiai, mažėjančios funkcijos segmente pirmosios išvestinės priemonės vertė yra mažesnė už nulį. Vietinio maksimumo taške pirmosios išvestinės priemonės vertė lygi nuliui. Matyt, norint rasti vietinį funkcijos maksimumą, reikia rasti tašką x ?, kuriame pirmasis šios funkcijos išvestis lygus nuliui. Bet kokiai argumento vertei tirtame segmente xx? - neigiamas.
4. Rasti x? Išspręskite lygtį Y '= 0. Y (x?) Reikšmė bus vietinis maksimumas, jei antrasis funkcijos išvestis šiame taške yra mažesnis už nulį. Raskite antrąją išvestinę Y “, gautoje išraiškoje pakeiskite argumento x = x reikšmę? ir palyginkite sumą iki nulio.
5. Tarkime, kad funkcija Y = -x? + X + 1 intervale nuo -1 iki 1 turi pastovią išvestinę Y '= -2x + 1. Kai x = 1/2, išvestinė yra lygi nuliui, o einant per šį tašką, išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“. Funkcijos Y antrasis darinys = ” - 2. Funkciją Y = -x? + X + 1 nubraižykite taškais ir patikrinkite, ar taškas su abscisėmis x = 1/2 yra vietinis maksimumas tam tikrame skaitinės ašies segmente.
Susiję vaizdo įrašai
Naudingas patarimas
Norėdami rasti išvestinę priemonę, yra internetinių paslaugų, kurios apskaičiuoja reikiamas vertes ir parodo bendrą sumą. Tokiose svetainėse leidžiama rasti išvestinę iki 5 -os eilės.
reikšmę
Didžiausias
reikšmę
Mažiausiai
Maksimalus taškas
Minimalus taškas
Funkcijos kraštutinių taškų paieškos problemos sprendžiamos pagal standartinę schemą 3 etapais.
1 žingsnis... Raskite funkcijos išvestinę
- Norėdami rasti išvestinę, įsiminkite elementariosios funkcijos išvestinės formules ir pagrindines diferenciacijos taisykles.
y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243.
2 žingsnis... Raskite darinio nulius
- Išspręskite gautą lygtį, kad surastumėte darinio nulius.
3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9.
3 žingsnis... Raskite ekstremalius taškus
- Išvestinės požymiams nustatyti naudokite tarpų metodą;
- Minimaliame taške išvestinė priemonė yra lygi nuliui ir keičia ženklą iš minuso į pliusą, o maksimaliame taške - iš pliuso į minusą.
Pasinaudokime šiuo metodu, kad išspręstume šią problemą:
Raskite maksimalų funkcijos y = x3−243x + 19 tašką.
1) Raskite darinį: y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243;
2) Išspręskite lygtį y ′ (x) = 0: 3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9;
3) Išvestinė yra teigiama x> 9 ir x<−9 и отрицательная при −9 Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos vertę Išspręsti didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių paieškos problemą būtinas: Padeda atlikti daugybę užduočių teorema: Jei segmente yra tik vienas ekstremalus taškas ir tai yra minimalus taškas, tada pasiekiama mažiausia funkcijos vertė. Jei tai yra didžiausias taškas, tada pasiekiama didžiausia vertė. 14. Neapibrėžto integralo samprata ir pagrindinės savybės. Jei funkcija f(x X, ir k Vadinasi, skaičius Trumpai tariant: konstantą galima išimti iš vientiso ženklo. Jei funkcijos f(x) ir g(x) turi antiderivatyvių priemonių X, tada Trumpai tariant: sumos integralas lygus integralo sumai. Jei funkcija f(x) intervale turi antiderivatyvą X, tada šio intervalo vidiniams taškams: Trumpai tariant: integralo išvestinė yra lygi integrandui. Jei funkcija f(x) yra nepertraukiamas intervalu X ir skiriasi šio intervalo vidiniuose taškuose, tada: Trumpai tariant: funkcijos diferencialo integralas yra lygus šiai funkcijai plius integracijos konstanta. Pateiksime griežtą matematinį apibrėžimą neapibrėžtos vientisos sąvokos. Tokia išraiška vadinama funkcijos integralas f (x)
, kur f (x)
- integralas, kuris yra pateiktas (žinomas), dx
- diferencialas x
, su simboliu visada yra dx
. Apibrėžimas. Neribotas integralas vadinama funkcija F (x) + C.
kuriame yra savavališka konstanta C
kurio skirtumas lygus integrand išraiška f (x) dx
, t.y. Prisimink tai - diferencinė funkcija ir apibrėžiama taip: Rasti problemą neapibrėžtas integralas tai rasti tokią funkciją, išvestinis kuris yra lygus integrandui. Ši funkcija nustatoma iki pastovios, nes konstantos darinys lygus nuliui. Pavyzdžiui, žinoma, kad tada paaiškėja Rasti užduotį neapibrėžtas integralas iš funkcijų nėra taip paprasta ir lengva, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Daugeliu atvejų reikia turėti įgūdžių dirbti neapibrėžti integralai, turi būti patirties, kuri ateina su praktika ir nuolat neapibrėžtų integralų pavyzdžių sprendimas. Verta atsižvelgti į tai, kad neapibrėžti integralai kai kurios funkcijos (jų yra daug) neįtraukiamos į pradines funkcijas. 15. Pagrindinių neapibrėžtų integralų lentelė. Pagrindinės formulės 16. Apibrėžtasis integralas kaip integralinės sumos riba. Integralo geometrinė ir fizinė reikšmė. Tegul funkcija y = ƒ (x) yra apibrėžta segmente [a; b], ir< b. Выполним следующие действия. 1. Taškų x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0) pagalba 2. Kiekviename daliniame segmente, i = 1,2, ..., n, pasirinkite savavališką tašką su i є ir apskaičiuokite jame esančios funkcijos reikšmę, tai yra reikšmę ƒ (su i). 3. Padauginkite nustatytą funkcijos ƒ reikšmę (su i) iš atitinkamo dalinio segmento ilgio ∆x i = x i -x i -1: ƒ (su i) ∆x i. 4. Sudarykime visų tokių produktų sumą S n: Formos (35.1) suma vadinama integrale funkcijos y = ƒ (x) intervale [a; b]. Tegul λ žymi didžiausio dalinio segmento ilgį: λ = max ∆x i (i = 1,2, ..., n). 5. Raskime vientisosios sumos (35.1) ribą kaip n → ∞, kad λ → 0. Jei šiuo atveju vientisa suma S n turi ribą I, kuri nepriklauso nuo segmento skaidymo metodo [a; b] į dalinius segmentus arba iš taškų pasirinkimo juose, tada skaičius I vadinamas apibrėžtu integralu funkcijos y = ƒ (x) segmente [a; b] ir žymimas taip Skaičiai a ir b atitinkamai vadinami apatine ir viršutine integracijos ribomis, ƒ (x) - integrandas, ƒ (x) dx - integrandas, x - integracijos kintamasis, segmentas [a; b] - integracijos sritis (segmentas). Funkcija y = ƒ (x), kuriai segmente [a; b] šiame intervale yra apibrėžtas integralas, vadinamas integruotu. Dabar suformuluokime teoremą apie apibrėžto integralo egzistavimą. 35.1 teorema (Cauchy). Jei funkcija y = ƒ (x) segmente [a; b], tada apibrėžtas integralas Atminkite, kad funkcijos tęstinumas yra pakankama jos integravimo sąlyga. Tačiau kai kurioms nepertraukiamoms funkcijoms gali būti nustatytas aiškus integralas, visų pirma, bet kuriai funkcijai, apribotai tam tikru intervalu ir turinčiai baigtinį taškų skaičių. Atkreipkime dėmesį į kai kurias apibrėžto integralo savybes, tiesiogiai kylančias iš jo apibrėžimo (35.2). 1. Konkretus integralas nepriklauso nuo integracijos kintamojo žymėjimo: Tai išplaukia iš to, kad vientisoji suma (35.1) ir atitinkamai jos riba (35.2) nepriklauso nuo to, kuri raidė žymi šios funkcijos argumentą. 2. Neabejotinas integralas su tomis pačiomis integracijos ribomis yra lygus nuliui: 3. Bet kuriam realiam skaičiui c. 17. Niutono-Leibnico formulė. Pagrindinės apibrėžto integralo savybės. Leiskite funkcijai y = f (x) tęstinis segmente
ir F (x) yra vienas iš šio segmento funkcijos antiderivatyvų Niutono-Leibnico formulė: Vadinama Niutono-Leibnico formulė pagrindinė integralaus skaičiavimo formulė. Norėdami įrodyti Niutono-Leibnico formulę, mums reikia integralo su kintama viršutine riba koncepcijos. Jei funkcija y = f (x) tęstinis segmente
, tada argumentui formos integralas yra viršutinės ribos funkcija. Mes žymime šią funkciją Iš tiesų, užrašome funkcijos prieaugį, atitinkantį argumento prieaugį, ir naudojame penktąją apibrėžto integralo savybę bei dešimtosios savybės pasekmę: Mes perrašome šią lygybę kaip Paskaičiuokime F (a) naudojant pirmąją apibrėžto integralo savybę: Funkcijos prieaugis paprastai žymimas kaip Norėdami pritaikyti Niutono-Leibnico formulę, mums tereikia žinoti vieną iš antiderivatyvų y = F (x) integruota funkcija y = f (x) segmente
ir apskaičiuoti šio antiderivatyvo prieaugį šiame segmente. Straipsnyje analizuojami integracijos metodai, pagrindiniai būdai, kaip surasti antiderivatyvą. Pateikiame keletą aiškių integralo skaičiavimo pavyzdžių, naudojant paaiškinimą Niutono-Leibnico formulę. Pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžto integralo vertę naudodami Niutono-Leibnico formulę. Sprendimas. Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad segmentas yra integruotas
, todėl yra integruotas į jį. (Apie integruotas funkcijas kalbėjome skyriuje apie funkcijas, kurioms yra nustatytas integralas). Iš neapibrėžtų integralų lentelės matyti, kad funkcijai visų išvestinių argumentų (taigi ir Dabar reikia naudoti Niutono-Leibnico formulę, kad būtų galima apskaičiuoti konkretų integralą: 18. Neapibrėžto integralo geometriniai pritaikymai. GEOMETRINĖS TAMTINIO INTEGRALO TAIKYMAS Kūno tūrio apskaičiavimas Kūno tūrio apskaičiavimas iš žinomų lygiagrečių sekcijų sričių: Sukimosi korpuso tūris :; ... 1 pavyzdys... Raskite figūros plotą, apribotą kreive y = sinx, tiesios linijos Sprendimas: Raskite figūros plotą: 2 pavyzdys... Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis Sprendimas: Raskime šių funkcijų grafikų susikirtimo taškų abscises. Norėdami tai padaryti, mes išsprendžiame lygčių sistemą Iš čia randame x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Diferencialinio valdymo sąvoka. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Diferencialinė lygtis- lygtis, jungianti funkcijos išvestinės reikšmę su pačia funkcija, nepriklausomo kintamojo reikšmes, skaičius (parametrus). Į lygtį įtrauktų išvestinių finansinių priemonių tvarka gali būti skirtinga (formaliai ji niekuo neribojama). Išvestinės priemonės, funkcijos, nepriklausomi kintamieji ir parametrai gali būti įvesti į lygtį įvairiais deriniais arba visi, išskyrus bent vieną išvestinę, gali iš viso nebūti. Ne kiekviena lygtis, kurioje yra nežinomos funkcijos dariniai, yra diferencialinė lygtis. Pavyzdžiui, Dalinės diferencialinės lygtys(PDE) yra lygtys, kuriose yra nežinomų kelių kintamųjų funkcijų ir jų dalinių darinių. Bendra tokių lygčių forma gali būti pavaizduota taip: kur yra nepriklausomi kintamieji ir yra šių kintamųjų funkcija. Dalinių diferencialinių lygčių eiliškumą galima nustatyti taip pat, kaip ir įprastoms diferencialinėms lygtims. Kita svarbi dalinių diferencialinių lygčių klasifikacija yra jų padalijimas į elipsinio, parabolinio ir hiperbolinio tipo lygtis, ypač antros eilės lygčių atveju. Tiek įprastas, tiek dalines diferencialines lygtis galima suskirstyti į linijinis ir netiesinis... Diferencialinė lygtis yra tiesinė, jei nežinoma funkcija ir jos dariniai į lygtį patenka tik iki pirmojo laipsnio (ir nėra dauginami vienas su kitu). Tokioms lygtims sprendimai sudaro afininę funkcijų erdvės pogrupį. Tiesinės DE teorija išplėtota daug giliau nei netiesinių lygčių teorija. Bendras linijinės diferencialinės lygties vaizdas n-trečiasis užsakymas: kur p i(x) yra žinomos nepriklausomo kintamojo funkcijos, vadinamos lygties koeficientais. Funkcija r(x) dešinėje pusėje vadinamas laisvas narys(vienintelis terminas, nepriklausantis nuo nežinomos funkcijos) Svarbi ypatinga linijinių lygčių klasė yra linijinės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai. Linijinių lygčių poklasis yra vienalytis diferencialinės lygtys - lygtys, kuriose nėra laisvo termino: r(x). Visos kitos tiesinės diferencialinės lygtys vadinamos nevienalytis diferencialinės lygtys. Paprastai netiesinės diferencialinės lygtys neturi sukurtų sprendimo metodų, išskyrus kai kurias konkrečias klases. Kai kuriais atvejais (naudojant tam tikrus apytikslius) juos galima sumažinti iki linijinių. Pavyzdžiui, harmoninė osciliatoriaus tiesinė lygtis · - vienalytė antrosios eilės diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Sprendimas yra funkcijų šeima, kurioje ir yra savavališkos konstantos, kurios konkrečiam sprendimui nustatomos pagal atskirai nurodytas pradines sąlygas. Ši lygtis visų pirma apibūdina harmoninio osciliatoriaus, kurio ciklo dažnis yra 3, judėjimą. Antrasis Niutono dėsnis gali būti parašytas kaip diferencialinė lygtis · Beselio diferencialinė lygtis yra įprasta tiesinė vienalytė antrosios eilės lygtis su kintamaisiais koeficientais: jos sprendimai yra Beselio funkcijos. Nevienodos netiesinės įprastos pirmosios eilės diferencialinės lygties pavyzdys: Kitoje pavyzdžių grupėje nežinoma funkcija u priklauso nuo dviejų kintamųjų x ir t arba x ir y. Homogeninė pirmosios eilės dalinė diferencinė lygtis: Vienmatė bangų lygtis - vienalytė antrosios eilės hiperbolinio tipo tiesinė dalinė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais, apibūdina stygos vibraciją, jei - eilutės įlinkis taške, kurio koordinatė xšiuo metu t ir parametras a nustato eilutės ypatybes: Laplaso lygtis dvimatėje erdvėje yra vienalytė antrosios eilės elipsės tipo dalinė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais, atsirandanti dėl daugelio fizinių mechanikos, šilumos laidumo, elektrostatikos, hidraulikos problemų: Korteweg - de Vries lygtis, trečiosios eilės netiesinė dalinė diferencialinė lygtis, apibūdinanti stacionarias netiesines bangas, įskaitant solitonus: 20. Taikomos diferencialinės lygtys su atskiriamosiomis. Tiesinės lygtys ir Bernulio metodas. Pirmosios eilės linijinė diferencialinė lygtis yra lygtis, kuri yra tiesinė nežinomos funkcijos ir jos darinio atžvilgiu. Ji turi formą
arba 
Funkcija vadinama antiderivatinė funkcija... Funkcijos antiderivatyvas nustatomas pastovios vertės ribose.
, čia yra savavališka konstanta.
.
, ir ši funkcija yra tęstinė ir lygi 
.
kur.
... Jei prisiminsime funkcijos išvestinės apibrėžimą ir pereisime prie ribos ties, tada gausime. Tai yra, jis yra vienas iš funkcijos antiderivatyvų y = f (x) segmente
... Taigi, visų antiderivatyvų rinkinys F (x) galima rašyti kaip 
, kur SU Ar savavališka konstanta.
, vadinasi ,. Šį rezultatą naudosime skaičiuodami F (b): , tai yra 
... Ši lygybė suteikia patikrintą Niutono-Leibnico formulę .
... Naudojant šį žymėjimą, Niutono-Leibnico formulė įgauna formą 
.
... Imkitės antiderivatyvinės priemonės C = 0: .
.Stačiakampis S.K. Funkcija, pateikta parametriškai Polyarnaya S.K.
Plokščiųjų figūrų plotų apskaičiavimas
Plokštumos kreivės lanko ilgio apskaičiavimas
Apsisukimo paviršiaus ploto apskaičiavimas
nėra diferencialinė lygtis.
galima laikyti netiesinės matematinės švytuoklės lygties aproksimacija 
mažų amplitudžių atveju, kai y≈ nuodėmė y.
kur m- kūno masė, x- jo koordinatės, F(x, t) yra jėga, veikianti kūną su koordinatėmis xšiuo metu t... Jo sprendimas yra kūno trajektorija veikiant nurodytai jėgai.
Ankstesnis straipsnis: Uretrito gydymo tepalas uretrito gydymui
Kitas straipsnis: Kaip perduodama ureaplazmozė?