Kaip apskaičiuoti apskritimo atkarpos plotą. Kaip apskaičiuoti atkarpos plotą ir rutulio atkarpos plotą. Atsižvelgiant į lanko ilgį L ir centrinį kampą φ

Apskrito atkarpos plotas yra lygus skirtumui tarp atitinkamo apskritimo sektoriaus ploto ir trikampio ploto, sudaryto iš atkarpą atitinkančio sektoriaus spindulių ir atkarpą ribojančios stygos.

1 pavyzdys

Apskritimą aprėpiančios stygos ilgis lygus a. Lanko, atitinkančio stygą, laipsnio matas yra 60°. Raskite apskritimo segmento plotą.

Sprendimas

Trikampis, sudarytas iš dviejų spindulių ir stygos, yra lygiašonis, todėl aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršūnės iki stygos suformuoto trikampio kraštinės, taip pat bus centrinio kampo pusiausvyra, dalijant jį pusiau ir mediana. , dalijant akordą per pusę. Žinodami, kad kampo β sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui, galime apskaičiuoti spindulio reikšmę:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, kur h yra aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršaus iki stygos. Pagal Pitagoro teoremą h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Atitinkamai S▲=√3/4*a².

Atkarpos plotas, apskaičiuotas kaip Sceg = Sc - S▲, yra lygus:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Pakeičiant skaitinė reikšmė vietoj vertės a galite lengvai apskaičiuoti segmento ploto skaitinę reikšmę.

2 pavyzdys

Apskritimo spindulys lygus a. Atkarpą atitinkančio lanko laipsnio matas yra 60°. Raskite apskritimo segmento plotą.

Sprendimas:

Tam tikrą kampą atitinkančio sektoriaus plotą galima apskaičiuoti pagal šią formulę:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Sektorių atitinkančio trikampio plotas apskaičiuojamas taip:

S▲=1/2*ah, kur h yra aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršaus iki stygos. Pagal Pitagoro teoremą h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Atitinkamai S▲=√3/4*a².

Ir galiausiai segmento plotas, apskaičiuotas kaip Sceg = Sc - S▲, yra lygus:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Abiejų atvejų sprendimai yra beveik identiški. Taigi galime daryti išvadą, kad paprasčiausiu atveju, norint apskaičiuoti atkarpos plotą, pakanka žinoti kampo, atitinkančio atkarpos lanką, reikšmę ir vieną iš dviejų parametrų - arba atkarpos spindulį. apskritimas arba atkarpą sudarančio apskritimo lanką aplenkiančios stygos ilgis.

Apskritimas, jo dalys, jų dydžiai ir santykiai – tai dalykai, su kuriais juvelyras nuolat susiduria. Žiedai, apyrankės, kastos, vamzdeliai, rutuliukai, spiralės – daug apvalių dalykų reikia padaryti. Kaip galite visa tai apskaičiuoti, ypač jei jums pasisekė praleisti geometrijos pamokas mokykloje? ..

Pirmiausia pažiūrėkime, kokios apskritimo dalys yra ir kaip jos vadinamos.

• Apskritimas yra linija, kuri gaubia apskritimą.
• Lankas yra apskritimo dalis.
• Spindulys yra atkarpa, jungianti apskritimo centrą su apskritimo tašku.
• Akordas yra linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus.
• Atkarpa yra apskritimo dalis, kurią riboja styga ir lankas.
• Sektorius yra apskritimo dalis, kurią riboja du spinduliai ir lankas.

Mus dominantys kiekiai ir jų pavadinimai:

Dabar pažiūrėkime, kokias užduotis, susijusias su apskritimo dalimis, reikia išspręsti.

• Raskite bet kurios žiedo dalies (apyrankės) išsivystymo ilgį. Atsižvelgdami į skersmenį ir stygą (parinktis: skersmuo ir centrinis kampas), raskite lanko ilgį.
• Plokštumoje yra brėžinys, jo dydį reikia sužinoti projekcijoje po lenkimo į lanką. Atsižvelgdami į lanko ilgį ir skersmenį, raskite stygos ilgį.
• Išsiaiškinkite detalės aukštį, gautą sulenkus plokščią ruošinį į lanką. Pradinių duomenų parinktys: lanko ilgis ir skersmuo, lanko ilgis ir styga; raskite segmento aukštį.

Gyvenimas pareikalaus kitų pavyzdžių, ir aš juos pateikiau tik norėdamas parodyti, kad reikia nustatyti bet kokius du parametrus, kad būtų galima rasti visus kitus. Tai mes ir padarysime. Būtent, paimame penkis segmento parametrus: D, L, X, φ ir H. Tada iš jų pasirinkę visas įmanomas poras, laikysime juos pradiniais duomenimis, o visus likusius rasime smegenų šturmu.

Kad neapsunkinčiau skaitytojo veltui, detalių sprendimų nepateiksiu, o tik pateiksiu rezultatus formulių pavidalu (tuos atvejus, kai nėra formalaus sprendimo, patikslinsiu pakeliui).

Ir dar viena pastaba: apie matavimo vienetus. Visi dydžiai, išskyrus centrinį kampą, matuojami tais pačiais abstrakčiais vienetais. Tai reiškia, kad jei, pavyzdžiui, nurodysite vieną reikšmę milimetrais, tada kitos nereikia nurodyti centimetrais, o gautos vertės bus matuojamos tais pačiais milimetrais (o plotai kvadratiniais milimetrais) . Tą patį galima pasakyti apie colius, pėdas ir jūrmyles.

Ir tik centrinis kampas visais atvejais matuojamas laipsniais ir niekuo kitu. Nes, kaip rodo praktika, žmonės, kuriantys kažką apvalaus, nėra linkę matuoti kampų radianais. Frazė „pi kampas keturiais“ daugelį suklaidina, o „keturiasdešimt penkių laipsnių kampas“ yra suprantamas visiems, nes jis tik penkiais laipsniais viršija normą. Tačiau visose formulėse kaip tarpinė reikšmė bus dar vienas kampas – α. Kalbant apie prasmę, tai yra pusė centrinio kampo, matuojama radianais, tačiau galite drąsiai nesigilinti į šią reikšmę.

1. Pateiktas skersmuo D ir lanko ilgis L

; akordo ilgis ;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

2. Pateikiamas skersmuo D ir stygos ilgis X

; arkos ilgis;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

Kadangi styga padalija apskritimą į dvi atkarpas, ši problema turi ne vieną, o du sprendimus. Norėdami gauti antrąjį, turite pakeisti kampą α kampu aukščiau pateiktose formulėse.

3. Pateiktas skersmuo D ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

4. Duotas skersmuo D ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis;
akordo ilgis ; centrinis kampas .

6. Duotas lanko ilgis L ir centrinis kampas φ

; skersmuo;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

8. Duotas stygos ilgis X ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis ;
skersmuo; segmento aukštis .

9. Duotas stygos ilgis X ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis ;
skersmuo; centrinis kampas .

10. Duotas centrinis kampas φ ir atkarpos H aukštis

; skersmuo ;
arkos ilgis; akordo ilgis .

Dėmesingas skaitytojas negalėjo nepastebėti, kad praleidau du variantus:

5. Duotas lanko ilgis L ir stygos ilgis X

7. Duotas lanko ilgis L ir atkarpos H aukštis

Tai tik tie du nemalonūs atvejai, kai problema neturi sprendimo, kurį būtų galima parašyti formulės forma. Ir užduotis nėra tokia reta. Pavyzdžiui, turite plokščią L ilgio gabalą ir norite jį sulenkti taip, kad jo ilgis būtų X (arba aukštis būtų H). Kokio skersmens paimti šerdį (skersinį)?

Ši užduotis sumažinama iki lygčių sprendimo:
; - 5 variante
; - 7 variante
ir nors jie nesprendžiami analitiškai, bet lengvai išsprendžiami programiškai. Ir net žinau, kur gauti tokią programą: šioje svetainėje pavadinimu . Viską, ką aš čia ilgai pasakoju, ji daro per mikrosekundes.

Norėdami užbaigti paveikslėlį, prie mūsų skaičiavimų rezultatų pridėkite apskritimą ir tris plotų reikšmes - apskritimą, sektorių ir atkarpą. (Plotai mums labai padės skaičiuojant bet kokių apvalių ir pusapvalių dalių masę, bet apie tai – atskirame straipsnyje.) Visi šie dydžiai apskaičiuojami naudojant tas pačias formules:

perimetras;
apskritimo plotas ;
sektoriaus srityje ;
segmento plotas ;

Ir pabaigai leiskite man dar kartą priminti apie absoliučiai egzistavimą nemokama programa, kuris atlieka visus aukščiau nurodytus skaičiavimus, todėl jums nereikia prisiminti, kas yra lanko liestinė ir kur jos ieškoti.

Iš pradžių tai atrodo taip:

463.1 pav. a) esamą lanką, b) atkarpos stygos ilgio ir aukščio nustatymą.

Taigi, kai yra lankas, galime sujungti jo galus ir gauti L ilgio stygą. Akordo viduryje galime nubrėžti stygai statmeną liniją ir taip gauti atkarpos H aukštį. stygos ilgį ir atkarpos aukštį, pirmiausia galime nustatyti centrinį kampą α, t.y. kampas tarp spindulių, nubrėžtų nuo atkarpos pradžios ir pabaigos (neparodyta 463.1 pav.), o tada apskritimo spindulys.

Tokios problemos sprendimas buvo pakankamai išsamiai aptartas straipsnyje „Arkos sąramos skaičiavimas“, todėl čia pateiksiu tik pagrindines formules:

tg( a/4) = 2H/L (278.1.2)

a/4 = arctan( 2H/L)

R = H/(1 - cos( a/2)) (278.1.3)

Kaip matote, matematikos požiūriu nėra jokių problemų nustatant apskritimo spindulį. Šis metodas leidžia nustatyti lanko spindulio vertę bet kokiu galimu tikslumu. Tai yra pagrindinis šio metodo privalumas.

Dabar pakalbėkime apie trūkumus.

Šio metodo problema net ne ta, kad reikia atsiminti formules iš mokyklos geometrijos kurso, sėkmingai pamirštas prieš daugelį metų - norint prisiminti formules - yra internetas. O štai skaičiuotuvas su funkcija arctg, arcsin ir pan. Ne kiekvienas vartotojas jį turi. Ir nors internetas taip pat sėkmingai išsprendžia šią problemą, nereikėtų pamiršti, kad sprendžiame gana taikomą problemą. Tie. toli gražu ne visada reikia nustatyti apskritimo spindulį 0,0001 mm tikslumu, 1 mm tikslumas gali būti gana priimtinas.

Be to, norėdami rasti apskritimo centrą, turite išplėsti atkarpos aukštį ir nustatyti atstumą, lygų šios tiesios linijos spinduliui. Kadangi praktikoje susiduriame su ne idealiais matavimo prietaisais, prie to turėtume pridėti galimą žymėjimo klaidą, paaiškėja, kad kuo mažesnis segmento aukštis, palyginti su stygos ilgiu, tuo didesnė paklaida nustatant. lanko centras.

Vėlgi, nereikėtų pamiršti, kad nesvarstome idealaus atvejo, t.y. Taip kreivę iš karto pavadinome lanku. Tiesą sakant, tai gali būti kreivė, aprašyta gana sudėtingu matematiniu ryšiu. Todėl tokiu būdu rastas apskritimo spindulys ir centras gali nesutapti su tikruoju centru.

Šiuo atžvilgiu noriu pasiūlyti kitą apskritimo spindulio nustatymo metodą, kurį pats dažnai naudoju, nes šiuo metodu daug greičiau ir paprasčiau nustatyti apskritimo spindulį, nors tikslumas daug mažesnis.

Antrasis lanko spindulio nustatymo metodas (nuoseklaus aproksimavimo metodas)

Taigi tęskime dabartinę situaciją.

Kadangi vis tiek turime rasti apskritimo centrą, pirmiausia iš taškų, atitinkančių lanko pradžią ir pabaigą, nubrėžiame bent du savavališko spindulio lankus. Per šių lankų sankirtą eis tiesi linija, kurioje yra norimo apskritimo centras.

Dabar reikia sujungti lankų sankirtą su stygos viduriu. Tačiau jei iš nurodytų taškų brėžsime ne išilgai vieno lanko, o dviem, tai ši tiesi linija eis per šių lankų sankirtą, o tada stygos vidurio ieškoti visai nebūtina.

Jei atstumas nuo lankų sankirtos iki svarstomo lanko pradžios arba pabaigos yra didesnis nei atstumas nuo lankų sankirtos iki taško, atitinkančio atkarpos aukštį, tada nagrinėjamo lanko centras yra žemiau tiesi linija, nubrėžta per lankų ir stygos vidurio sankirtą. Jei mažiau, tada norimas lanko centras yra aukščiau tiesioje linijoje.

Remiantis tuo, ant tiesės imamas kitas taškas, tikriausiai atitinkantis lanko centrą, ir iš jo atliekami tie patys matavimai. Tada imamas kitas taškas ir matavimai kartojami. Su kiekvienu nauju tašku matavimų skirtumas bus vis mažesnis.

Tai iš tikrųjų viskas. Nepaisant tokio ilgo ir sudėtingo aprašymo, tokiu būdu nustatyti lanko spindulį 1 mm tikslumu užtrunka 1-2 minutes.

Teoriškai tai atrodo maždaug taip:

463.2 pav. Lanko centro nustatymas nuoseklių aproksimacijų metodu.

Bet praktikoje kažkas panašaus:

463.1 nuotrauka. Sudėtingos formos ruošinio žymėjimas skirtingais spinduliais.

Čia tik pridursiu, kad kartais tenka susirasti ir nupiešti kelis spindulius, nes nuotraukoje labai daug dalykų sumaišyta.

Matematinė vietovės vertė buvo žinoma nuo tada Senovės Graikija. Dar tais tolimais laikais graikai išsiaiškino, kad plotas yra ištisinė paviršiaus dalis, kurią iš visų pusių riboja uždaras kontūras. Tai skaitinė reikšmė, matuojama kvadratiniais vienetais. Plotas yra skaitinė tiek plokščių geometrinių figūrų (planimetrinė), tiek erdvėje esančių kūnų paviršių (tūrinė) charakteristika.

Šiuo metu jis randamas ne tik rėmuose mokyklos mokymo programa geometrijos ir matematikos pamokose, bet ir astronomijoje, kasdieniame gyvenime, statybose, dizaino kūrime, gamyboje ir daugelyje kitų žmonių. Labai dažnai segmentų plotus skaičiuojame asmeniniame sklype projektuodami kraštovaizdžio zoną arba taisydami itin modernų kambario dizainą. Todėl žinios apie skirtingų plotų apskaičiavimo metodus bus naudingos visada ir visur.

Norint apskaičiuoti apskritimo ir rutulio segmento plotą, būtina suprasti geometrinius terminus, kurių prireiks skaičiavimo procese.

Visų pirma, apskritimo atkarpa yra fragmentas plokščia figūra apskritimas, esantis tarp apskritimo lanko ir jį nupjaunančios stygos. Šios sąvokos nereikėtų painioti su sektoriaus skaičiumi. Tai visiškai skirtingi dalykai.

Styga yra linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus.

Centrinis kampas susidaro tarp dviejų segmentų – spindulių. Jis matuojamas laipsniais pagal lanką, ant kurio jis remiasi.

Rutulio atkarpa susidaro, kai dalis nupjaunama kokia nors plokštuma.Šiuo atveju sferinės atkarpos pagrindas yra apskritimas, o aukštis – statmuo, išeinantis iš apskritimo centro į sankirtą su paviršiumi. sferos. Šis susikirtimo taškas vadinamas rutulio atkarpos viršūne.

Norint nustatyti rutulio segmento plotą, reikia žinoti ribinį apskritimą ir rutulio segmento aukštį. Šių dviejų komponentų sandauga bus rutulio atkarpos plotas: S=2πRh, kur h – atkarpos aukštis, 2πR – apskritimas, o R – didžiojo apskritimo spindulys.

Norėdami apskaičiuoti apskritimo atkarpos plotą, galite naudoti šias formules:

1. Rasti segmento plotą, kuriame yra daugiausia paprastu būdu, reikia apskaičiuoti skirtumą tarp sektoriaus, kuriame atkarpa įrašyta ir kurio pagrindas yra atkarpos styga, ploto: S1=S2-S3, kur S1 – atkarpos plotas, S2 yra sektoriaus plotas, o S3 yra trikampio plotas.

Apskritimo atkarpos plotui apskaičiuoti galite naudoti apytikslę formulę: S=2/3*(a*h), kur a yra trikampio pagrindas arba h yra atkarpos aukštis, kuris yra rezultatas. skirtumo tarp apskritimo spindulio ir

2. Atkarpos, išskyrus puslankį, plotas apskaičiuojamas taip: S = (π R2:360)*α ± S3, kur π R2 yra apskritimo plotas, α yra centrinio kampo, kuriame yra apskritimo atkarpos lankas, laipsnio matas, S3 yra trikampio, susidariusio tarp dviejų apskritimo spindulių, plotas ir styga, kuriai priklauso kampas centriniame apskritimo taške ir dvi viršūnės, kuriose spinduliai liečiasi apskritimą.

Jeigu kampas α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 laipsnių, pritaikytas pliuso ženklas.

3. Galite apskaičiuoti atkarpos plotą kitais metodais naudodami trigonometriją. Paprastai trikampis imamas kaip pagrindas. Jei centrinis kampas matuojamas laipsniais, priimtina ši formulė: S \u003d R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, kur R2 yra apskritimo spindulio kvadratas, α yra centrinio kampo laipsnio matas.

4. Norėdami apskaičiuoti atkarpos plotą naudodami trigonometrines funkcijas, galite naudoti kitą formulę, jei centrinis kampas matuojamas radianais: S \u003d R2 * (α - sin α) / 2, kur R2 yra apskritimo spindulio kvadratas, α yra laipsnio matavimo centrinis kampas.

Apskritimo atkarpos apibrėžimas

Segmentas- tai geometrinė figūra, kuris gaunamas styga nupjovus dalį apskritimo.

Internetinis skaičiuotuvas

Ši figūra yra tarp stygos ir apskritimo lanko.

Tai segmentas, esantis apskritimo viduje ir jungiantis du savavališkai pasirinktus taškus.

Nupjaunant dalį apskritimo styga, galima laikyti dvi figūras: tai mūsų atkarpa ir lygiašonis trikampis, kurio kraštinės yra apskritimo spinduliai.

Atkarpos plotą galima rasti kaip skirtumą tarp apskritimo ir šio lygiašonio trikampio sektoriaus plotų.

Segmento plotą galima rasti keliais būdais. Pakalbėkime apie juos išsamiau.

Apskritimo atkarpos ploto formulė pagal apskritimo lanko spindulį ir ilgį, trikampio aukštį ir pagrindą

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS =2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅a

R R R- apskritimo spindulys;
s s s- arkos ilgis;
h val h- lygiašonio trikampio aukštis;
a a a yra šio trikampio pagrindo ilgis.

Duotas apskritimas, jo spindulys skaičiais lygus 5 (žr.), aukštis, nubrėžtas iki trikampio pagrindo, lygus 2 (žr.), lanko ilgis 10 (žr.). Raskite apskritimo atkarpos plotą.

Sprendimas

R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s=1 0

Norėdami apskaičiuoti plotą, mums trūksta tik trikampio pagrindo. Raskime pagal formulę:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 - 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot Rh))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R−h)​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Dabar galite apskaičiuoti segmento plotą:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S =2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅a =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (žr. kv.)

Atsakymas: 17 cm kvadratas

Apskritimo atkarpos ploto formulė atsižvelgiant į apskritimo spindulį ir centrinį kampą

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S =2 R 2 ​ ⋅ (α − nuodėmė (α ) )

R R R- apskritimo spindulys;
α\alfa α yra centrinis kampas tarp dviejų spindulių, besiribojančių su styga, matuojamas radianais.

Raskite apskritimo atkarpos plotą, jei apskritimo spindulys yra 7 (cm), o centrinis kampas yra 30 laipsnių.

Sprendimas

R = 7 R = 7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Pirmiausia paverskime kampą laipsniais į radianus. Tiek, kiek π\pi π radianas lygus 180 laipsnių, tada:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radianas. Tada segmento plotas:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\apytiksliai 0,57S =2 R 2 ​ ⋅ (α − nuodėmė (α ) ) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − nuodėmė ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (žr. kv.)

Atsakymas: 0,57 cm kvadratas