Materialaus taško ir standaus kūno pusiausvyros sąlyga. Statika. Mechaninės sistemos (absoliučiai standaus kūno) pusiausvyra. Plokščios figūros svorio centras

Akivaizdu, kad kūnas gali būti ramybėje tik vienos konkrečios koordinačių sistemos atžvilgiu. Statikoje kūnų pusiausvyros sąlygos tiriamos būtent tokioje sistemoje. Esant pusiausvyrai, visų kūno dalių (elementų) greičiai ir pagreičiai yra lygūs nuliui. Atsižvelgiant į tai, naudojant masės centro judėjimo teoremą galima nustatyti vieną iš būtinų kūnų pusiausvyros sąlygų (žr. § 7.4).

Vidinės jėgos neturi įtakos masės centro judėjimui, nes jų suma visada lygi nuliui. Tik išorinės jėgos lemia kūno (arba kūnų sistemos) masės centro judėjimą. Kadangi kūno pusiausvyroje visų jo elementų pagreitis lygus nuliui, tai masės centro pagreitis taip pat lygus nuliui. Bet masės centro pagreitį lemia kūną veikiančių išorinių jėgų vektorinė suma (žr. (7.4.2) formulę). Todėl esant pusiausvyrai ši suma turėtų būti lygi nuliui.

Iš tiesų, jei išorinių jėgų F i suma lygi nuliui, tada masės centro pagreitis a c \u003d 0. Iš to išplaukia, kad masės centro greitis c \u003d const. Jei pradiniu momentu masės centro greitis buvo lygus nuliui, tai masės centras lieka ramybės būsenoje ir ateityje.

Gauta masės centro nejudrumo sąlyga yra būtina (bet, kaip netrukus pamatysime, nepakankama) standaus kūno pusiausvyros sąlyga. Tai vadinamoji pirmosios pusiausvyros sąlyga. Jį galima suformuluoti taip.

Kūno pusiausvyrai būtina, kad kūną veikiančių išorinių jėgų suma būtų lygi nuliui:

Jei jėgų suma lygi nuliui, tai visų trijų koordinačių ašių jėgų projekcijų suma taip pat lygi nuliui. Išorines jėgas pažymėdami 1, 2, 3 ir tt, gauname tris lygtis, lygiavertes vienai vektorinei lygčiai (8.2.1):

Kad kūnas pailsėtų, taip pat būtina, kad pradinis masės centro greitis būtų lygus nuliui.

Antroji standaus kūno pusiausvyros sąlyga

Kūną veikiančių išorinių jėgų sumos lygybė nuliui būtina pusiausvyrai, bet nepakankama. Jei ši sąlyga įvykdoma, ramybės būsenoje būtinai bus tik masės centras. Tai lengva patikrinti.

Skirtinguose taškuose taikykime plokštei vienodo dydžio ir priešingos krypties jėgas, kaip parodyta 8.1 paveiksle (dvi tokios jėgos vadinamos jėgų pora). Šių jėgų suma lygi nuliui: + (-) = 0. Bet lenta pasisuks. Tik masės centras yra ramybės būsenoje, jei jo pradinis greitis (greitis prieš veikiant jėgas) buvo lygus nuliui.

Ryžiai. 8.1

Lygiai taip pat dvi vienodo dydžio ir priešingos krypties jėgos suka dviračio ar automobilio vairą (8.2 pav.) aplink sukimosi ašį.

Ryžiai. 8.2

Nesunku suprasti, kas čia vyksta. Bet kuris kūnas yra pusiausvyroje, kai visų jėgų, veikiančių kiekvieną jo elementą, suma yra lygi nuliui. Bet jei išorinių jėgų suma lygi nuliui, tai visų jėgų, veikiančių kiekvieną kūno elementą, suma gali būti nelygi nuliui. Tokiu atveju kūnas nebus pusiausvyroje. Nagrinėjamuose pavyzdžiuose lenta ir vairas nėra pusiausvyroje, nes visų jėgų, veikiančių atskirus šių kėbulų elementus, suma nėra lygi nuliui. Kūnai sukasi.

Išsiaiškinkime, kokia dar sąlyga, be išorinių jėgų sumos lygybės nuliui, turi būti įvykdyta, kad kūnas nesisuktų ir būtų pusiausvyroje. Norėdami tai padaryti, naudojame pagrindinę dinamikos lygtį sukamasis judesys standus korpusas (žr. § 7.6):

Prisiminkite, kad formulėje (8.2.3)

reiškia išorinių jėgų, veikiančių kūną aplink sukimosi ašį, momentų sumą, o J yra kūno inercijos aplink tą pačią ašį momentų.

Jei , tada P = 0, ty kūnas neturi kampinio pagreičio, taigi ir kūno kampinio greičio

Jei pradiniu momentu kampinis greitis buvo lygus nuliui, tai ateityje kūnas sukamojo judesio neatliks. Todėl lygybė

(jei ω = 0) yra antroji sąlyga, būtina standaus kūno pusiausvyrai.

Kai standus kūnas yra pusiausvyroje, visų išorinių jėgų, veikiančių jį apie bet kurią ašį, momentų suma(1), nulis.

Bendruoju savavališko skaičiaus išorinių jėgų atveju standaus kūno pusiausvyros sąlygos gali būti parašytos taip:

Šios sąlygos yra būtinos ir pakankamos bet kurio standaus kūno pusiausvyrai. Jei jie įvykdomi, tai jėgų (išorinių ir vidinių), veikiančių kiekvieną kūno elementą, vektorinė suma lygi nuliui.

Deformuojamų kūnų pusiausvyra

Jei kūnas nėra absoliučiai standus, tai veikiant jį veikiančioms išorinėms jėgoms, jis gali nebūti pusiausvyroje, nors išorinių jėgų ir jų momentų suma apie bet kurią ašį yra lygi nuliui. Taip atsitinka todėl, kad veikiant išorinėms jėgoms kūnas gali deformuotis, o deformacijos procese visų jėgų, veikiančių kiekvieną jo elementą, suma šiuo atveju nebus lygi nuliui.

Pavyzdžiui, guminės virvelės galams pritaikykime dvi vienodo dydžio jėgas, nukreiptas išilgai virvelės priešingomis kryptimis. Veikiant šioms jėgoms, virvelė nebus pusiausvyroje (virvelė ištempta), nors išorinių jėgų suma lygi nuliui, o jų momentų suma apie ašį, einanti per bet kurį laido tašką, lygi nuliui.

Kai kūnai deformuojasi, be to, keičiasi jėgų pečiai ir atitinkamai keičiasi jėgų momentai esant tam tikroms jėgoms. Taip pat atkreipiame dėmesį, kad tik standžiųjų kūnų atveju jėgos taikymo tašką išilgai jėgos veikimo linijos galima perkelti į bet kurį kitą kūno tašką. Tai nekeičia jėgos momento ir vidinės kūno būklės.

Realiuose kūnuose jėgos taikymo tašką galima perkelti išilgai jos veikimo linijos tik tada, kai šios jėgos sukeliamos deformacijos yra mažos ir gali būti nepaisoma. Šiuo atveju kūno vidinės būklės pokytis, kai perkeliamas jėgos taikymo taškas, yra nežymus. Jei negalima nepaisyti deformacijų, toks perkėlimas yra nepriimtinas. Taigi, pavyzdžiui, jei dvi jėgos 1 ir 2, lygios absoliučia verte ir tiesiai priešingos krypties, yra taikomos išilgai guminės juostos į du jos galus (8.3 pav., a), tada strypas bus ištemptas. Perkeliant šių jėgų taikymo taškus išilgai veikimo linijos į priešingus strypo galus (8.3 pav., b), tos pačios jėgos suspaus strypą ir jo vidinė būsena skirsis.

Ryžiai. 8.3

Norint apskaičiuoti deformuojamų kūnų pusiausvyrą, reikia žinoti jų tampriąsias savybes, t.y., deformacijų priklausomybę nuo veikiančių jėgų. Šios sunkios problemos neišspręsime. Paprasti deformuojamų kūnų elgesio atvejai bus nagrinėjami kitame skyriuje.

(1) Atsižvelgėme į jėgų momentus, palyginti su realia kūno sukimosi ašimi. Tačiau galima įrodyti, kad kai kūnas yra pusiausvyroje, jėgų momentų suma yra lygi nuliui bet kurios ašies (geometrinės linijos) atžvilgiu, ypač trijų koordinačių ašių arba ašies, einančios per centro centrą, atžvilgiu. masė.

Pagrindinis kūnų sąveikos dinamikoje požymis yra pagreičių atsiradimas. Tačiau dažnai reikia žinoti, kokiomis sąlygomis kūnas, kurį veikia kelios skirtingos jėgos, nejuda su pagreičiu. Pakabinkime

kamuolys ant virvelės. Gravitacijos jėga veikia rutulį, bet nesukelia pagreitinto judėjimo Žemės link. Tam neleidžia veikti tamprumo jėga, lygi absoliučia verte ir nukreipta priešinga kryptimi. Sunkio jėga ir tamprumo jėga viena kitą balansuoja, jų rezultantas lygus nuliui, todėl ir rutulio pagreitis lygus nuliui (40 pav.).

Taškas, per kurį bet kurioje kūno vietoje eina sunkio jėgos rezultatas, vadinamas svorio centru (41 pav.).

Mechanikos šaka, tirianti jėgų pusiausvyros sąlygas, vadinama statika.

Nesisukančių kūnų pusiausvyra.

Vienodas tiesinis kūno ar jo atramos judėjimas galimas tik tada, kai visų kūną veikiančių jėgų geometrinė suma lygi nuliui.

Nesisukantis kūnas yra pusiausvyroje, jei jį veikiančių jėgų geometrinė suma lygi nuliui.

Kūnų, turinčių sukimosi ašį, pusiausvyra.

Kasdieniame gyvenime ir technologijose dažnai pasitaiko kūnų, kurie negali judėti į priekį, bet gali suktis aplink ašį. Tokių kėbulų pavyzdžiai yra durys ir langai, automobilio ratai, sūpynės ir kt. Jei jėgos vektorius P yra tiesėje, kertančioje sukimosi ašį, tai ši jėga yra subalansuota tamprios jėgos iš sukimosi ašies pusės. (42 pav.).

Jei tiesi linija, ant kurios yra jėgos vektorius F, nesikerta su sukimosi ašimi, tada ši jėga negali būti subalansuota

tamprumo jėga iš sukimosi ašies pusės, o kūnas sukasi aplink ašį (43 pav.).

Kūno sukimąsi aplink ašį, veikiant vienai jėgai, galima sustabdyti veikiant antrai jėgai Patirtis rodo, kad jei dvi jėgos atskirai sukelia kūno sukimąsi priešingomis kryptimis, tai veikdamos vienu metu kūnas yra pusiausvyra, jei įvykdoma ši sąlyga:

kur yra trumpiausi atstumai nuo tiesių, kuriose yra jėgų vektoriai (jėgų veikimo linijos), iki sukimosi ašies (44 pav.). Atstumas vadinamas jėgos ranka, o jėgos modulio ir rankos sandauga vadinama jėgos momentu M:

Jei teigiamas ženklas priskiriamas jėgų, dėl kurių kūnas sukasi aplink ašį pagal laikrodžio rodyklę, momentams, o neigiamas ženklas jėgų, sukeliančių sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę, momentams, tada kūno su sukimosi ašimi pusiausvyros sąlyga gali būti suformuluota kaip momentų taisyklė: kūnas, turintis fiksuotą sukimosi ašį, yra pusiausvyroje, jei visų jėgų, veikiančių kūną apie šią ašį, momentų algebrinė suma lygi nuliui:

SI sukimo momento vienetas yra 1 N jėgos momentas, kurio veikimo linija yra nutolusi nuo sukimosi ašies. Šis vienetas vadinamas niutonmetru.

Bendra kūno pusiausvyros būklė. Sujungę dvi išvadas galime suformuluoti bendrą kūno pusiausvyros sąlygą: kūnas yra pusiausvyroje, jei visų jam veikiančių jėgų vektorių geometrinė suma ir šių jėgų momentų apie sukimosi ašį algebrinė suma yra lygi. lygus nuliui.

Kai įvykdoma bendroji pusiausvyros sąlyga, kūnas nebūtinai ilsisi. Pagal antrąjį Niutono dėsnį, kai visų jėgų rezultatas lygus nuliui, kūno pagreitis lygus nuliui ir jis gali būti ramybės būsenoje ar? judėkite tolygiai ir tiesia linija.

Jėgų momentų algebrinės sumos lygybė nuliui taip pat nereiškia, kad šiuo atveju kūnas būtinai yra ramybės būsenoje. Keletą milijardų metų Žemės sukimasis aplink savo ašį tęsiasi pastoviu periodu būtent todėl, kad jėgų, veikiančių Žemę iš kitų kūnų, momentų algebrinė suma yra labai maža. Dėl tos pačios priežasties besisukantis dviračio ratas ir toliau sukasi pastoviu dažniu, o šį sukimąsi sustabdo tik išorinės jėgos.

Balanso rūšys.

Praktikoje svarbų vaidmenį vaidina ne tik kūnų pusiausvyros sąlygos įvykdymas, bet ir kokybinė pusiausvyros charakteristika, vadinama stabilumu. Yra trys kūnų pusiausvyros tipai: stabilus, nestabilus ir abejingas.

Pusiausvyra vadinama stabilia, jeigu po nedidelių išorinių poveikių organizmas grįžta į pradinę pusiausvyros būseną. Taip atsitinka, jei, šiek tiek pasislinkus kūnui bet kuria kryptimi nuo pradinės padėties, kūną veikiančių jėgų rezultantas tampa nuliniu ir yra nukreiptas į pusiausvyros padėtį. Stabilioje pusiausvyroje yra, pavyzdžiui, rutulys įdubos apačioje (45 pav.).

Pusiausvyra vadinama nestabilia, jei, šiek tiek pasislinkus kūnui iš pusiausvyros padėties, į jį veikiančių jėgų atstumas yra nelygus nuliui ir nukreiptas iš pusiausvyros padėties (46 pav.).

Jei, esant nedideliems kūno poslinkiams iš pradinės padėties, kūną veikiančių jėgų rezultatas lieka lygus nuliui, tai kūnas yra abejingos pusiausvyros būsenoje. Rutulys yra abejingoje pusiausvyroje ant horizontalaus paviršiaus (47 pav.).

Standaus kūno pusiausvyros sąlygos vidurinės mokyklos fizikos kurse nagrinėjamos skyriuje „Mechanika“, studijuojant statiką kaip mechanikos skyrių. Tai pabrėžia faktą, kad kūno judėjimas yra dviejų tipų: transliacinis ir sukamasis. Transliacinis judesys – tai judesys, kai bet kuri tiesi linija, nubrėžta per bet kuriuos du kūno taškus tam tikroje inercinėje atskaitos sistemoje, judesio metu lieka lygiagreti sau pačiam. Sukamasis judėjimas yra toks judėjimas, kai visi kūno taškai tam tikrą laiką sukasi sukimosi ašies atžvilgiu tuo pačiu kampu.

Įvedamas kūno svorio centras. Norėdami tai padaryti, kūnas yra psichiškai padalintas į daugybę elementų. Svorio centras bus tiesių susikirtimo taškas, kuriame guli kūno elementus veikiančių gravitacijos jėgų vektoriai. Toliau nagrinėjami specialūs atvejai, iliustruojantys standaus kūno judėjimo tipo priklausomybę nuo išorinės jėgos taikymo taško:

1. Tegul jėga veikia svorio centrą arba nefiksuotą sukimosi ašį – kūnas judės į priekį, sukimosi nebus;
2. Tegul jėga taikoma savavališkam kūno taškui, o sukimosi ašis yra fiksuota - kūnas suksis, nebus transliacinio judesio;
3. Tegul jėga taikoma savavališkam kūno taškui, o sukimosi ašis nėra fiksuota - kūnas suksis aplink savo ašį ir tuo pačiu judės į priekį.

Įvedamas jėgos momentas. Jėgos momentas yra vektorinis fizikinis dydis, apibūdinantis jėgos sukimosi poveikį. Matematiškai universiteto bendrosios fizikos kurse jėgos momentas įvedamas kaip jėgos peties vektorinė sandauga ir šios jėgos vektorius:

kur yra jėgos ranka. Akivaizdu, kad (2) lygtis yra (1) lygties pasekmė.

Mokiniams paaiškinama, kad jėgos petys yra trumpiausias atstumas nuo atramos taško (arba sukimosi ašies) iki jėgos veikimo linijos.

Pirmoji sąlyga ((3) lygtis) užtikrina transliacinio judėjimo nebuvimą, antroji sąlyga ((4) lygtis) – sukimosi nebuvimą. Būtų malonu atkreipti dėmesį į tai, kad (3) lygtis yra ypatingas 2-ojo Niutono dėsnio (už ) atvejis.

Mokiniai turi išmokti, kad jėgos momentas yra vektorinis dydis, todėl rašant (4) lygtį skaliariškai, būtina atsižvelgti į momento ženklą. Mokyklos mokiniams taisyklės yra tokios:

1. Jei jėga linkusi sukti kūną prieš laikrodžio rodyklę, jos momentas apie nurodytą ašį yra teigiamas;
2. Jei jėga linkusi pasukti kūną pagal laikrodžio rodyklę, jos momentas apie nurodytą ašį yra neigiamas.

Kieto kūno pusiausvyros sąlygų taikymo pavyzdys yra svirčių ir blokų naudojimas. Tegul jėga veikia vieną svirties ranką, kitą – (1 pav.).

Šiuo atveju įsivaizduokite, kad kūno atrama yra nejudanti, todėl mums reikia tik antrosios pusiausvyros sąlygos:

Skaliarine forma, atsižvelgiant į ženklus, gauname:

Gauta išraiška vadinama svirties pusiausvyros sąlyga. Mokiniai turėtų tvirtai suvokti, kad tai tik ypatinga byla, o bendresniais atvejais reikia remtis (4) lygtimi.

Kaip žinote iš 7 klasės kurso, kaladėlės yra kilnojamos ir fiksuotos. Pusiausvyros sąlygų pagalba analizuojamas vienodo krovinio kėlimo fiksuoto bloko ir kilnojamųjų bei fiksuotų blokų sistemos pagalba darbas.

1. Fiksuotas blokas.
Tegul bloko skersmuo d. Naudodami pusiausvyros sąlygą (4), gauname: Gautas faktas iliustruoja, kad fiksuotas blokas nepadidina stiprumo, tai yra, norėdami pakelti krovinį, turėsime taikyti jėgą, lygią absoliučia krovinio svoriui. Fiksuotas blokas naudojamas tik patogumui, daugiausia kartu su kilnojamu bloku.
2. Kilnojamas blokas.
Lygtį (4) naudojame panašiai kaip fiksuoto bloko atveju:

Mes nustatėme, kad judamųjų ir nepajudinamų blokų sistemoje, kai nėra trinties jėgų, jėgos padidėjimas gaunamas 2 kartus. Šiuo atveju blokų skersmenys buvo vienodi. Su mokiniais bus naudinga išanalizuoti būdus, kaip padidinti jėgą 4, 6 ir kt. kartus.

Apibendrinant, išanalizavus tai, kas buvo pasakyta aukščiau, suformuluota „auksinė mechanikos taisyklė“. Išspręstos problemos dėl svirčių, blokų ir kiti kūnų pusiausvyros atvejai.

« Fizika – 10 klasė

Prisiminkite, kas yra jėgos momentas.
Kokiomis sąlygomis kūnas ilsisi?

Jei kūnas yra ramybės būsenoje pasirinktos atskaitos sistemos atžvilgiu, tada sakoma, kad kūnas yra pusiausvyroje. Pastatai, tiltai, sijos su atramomis, mašinų dalys, knyga ant stalo ir daugelis kitų kūnų yra ramybės būsenoje, nepaisant to, kad juos veikia jėgos iš kitų kūnų. Kūnų pusiausvyros sąlygų tyrimo problema turi didelę praktinę reikšmę mechanikos inžinerijai, statybai, instrumentų gamybai ir kitoms technologijos sritims. Visi tikri kūnai, veikiami juos veikiančių jėgų, keičia savo formą ir dydį arba, kaip sakoma, deformuojasi.

Daugeliu praktikoje pasitaikančių atvejų kūnų deformacijos jų pusiausvyroje yra nereikšmingos. Tokiais atvejais galima nepaisyti deformacijų ir atlikti skaičiavimus, atsižvelgiant į kėbulą absoliučiai tvirtas.

Trumpumui bus vadinamas absoliučiai standus korpusas tvirtas kūnas arba tiesiog kūnas. Ištyrę standaus kūno pusiausvyros sąlygas, rasime pusiausvyros sąlygas realiems kūnams tais atvejais, kai jų deformacijų galima nepaisyti.

Prisiminkite tobulai standaus kūno apibrėžimą.

Vadinama mechanikos šaka, kurioje tiriamos absoliučiai standžių kūnų pusiausvyros sąlygos statinis.

Statikoje atsižvelgiama į kūnų matmenis ir formą, šiuo atveju reikšminga ne tik jėgų reikšmė, bet ir jų taikymo taškų padėtis.

Pirmiausia išsiaiškinkime, naudodamiesi Niutono dėsniais, kokiomis sąlygomis bet kuris kūnas bus pusiausvyroje. Šiuo tikslu mintyse padalinkime visą kūną į daugybę mažų elementų, kurių kiekvienas gali būti laikomas materialiu tašku. Jėgas, veikiančias kūną iš kitų kūnų, kaip įprasta, vadiname išorinėmis, o jėgas, su kuriomis sąveikauja patys kūno elementai, vidinėmis (7.1 pav.). Taigi jėga 1.2 yra jėga, veikianti elementą 1 iš elemento 2. Jėga 2.1 veikia elementą 2 iš elemento 1. Tai yra vidinės jėgos; tai taip pat apima 1.3 ir 3.1, 2.3 ir 3.2 jėgas. Akivaizdu, kad geometrinė vidinių jėgų suma lygi nuliui, nes pagal trečiąjį Niutono dėsnį

12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 ir tt

Statika yra ypatingas dinamikos atvejis, nes likę kūnai, kai juos veikia jėgos, yra ypatingas judėjimo atvejis (= 0).

Apskritai kiekvieną elementą gali veikti kelios išorinės jėgos. 1, 2, 3 ir tt reiškia visas išorines jėgas, atitinkamai taikomas elementams 1, 2, 3, ... . Lygiai taip pat per " 1 , " 2 , " 3 ir tt žymime geometrinę vidinių jėgų, veikiančių elementus 2, 2, 3, ... atitinkamai, sumą (šios jėgos nepateiktos paveiksle), t.y

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... ir tt

Jei kūnas yra ramybės būsenoje, tada kiekvieno elemento pagreitis yra lygus nuliui. Todėl pagal antrąjį Niutono dėsnį visų bet kurį elementą veikiančių jėgų geometrinė suma taip pat bus lygi nuliui. Todėl galime rašyti:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Kiekviena iš šių trijų lygčių išreiškia standaus kūno elemento pusiausvyros sąlygą.

Pirmoji standaus kūno pusiausvyros sąlyga.

Išsiaiškinkime, kokias sąlygas turi tenkinti išorinės jėgos, veikiančios kietąjį kūną, kad jis būtų pusiausvyroje. Norėdami tai padaryti, pridedame lygtis (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

Pirmuosiuose šios lygybės skliausteliuose rašoma visų kūną veikiančių išorinių jėgų vektorinė suma, o antrajame - visų vidinių jėgų, veikiančių šio kūno elementus, vektorinė suma. Tačiau, kaip žinote, visų sistemos vidinių jėgų vektorinė suma yra lygi nuliui, nes pagal trečiąjį Niutono dėsnį bet kuri vidinė jėga atitinka jėgą, lygią jai absoliučia verte ir priešinga kryptimi. Todėl kairėje paskutinės lygybės pusėje liks tik geometrinė išorinių jėgų, veikiančių kūną, suma:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

Absoliučiai standaus kūno atveju vadinama sąlyga (7.2). pirmoji jo pusiausvyros sąlyga.

Tai būtina, bet nepakankama.

Taigi, jei standusis kūnas yra pusiausvyroje, tada jį veikiančių išorinių jėgų geometrinė suma lygi nuliui.

Jei išorinių jėgų suma lygi nuliui, tai šių jėgų projekcijų į koordinačių ašis suma taip pat lygi nuliui. Visų pirma, išorinių jėgų projekcijoms į OX ašį galima parašyti:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Tokias pat lygtis galima parašyti ir jėgų projekcijoms ant OY ir OZ ašių.

Antroji standaus kūno pusiausvyros sąlyga.

Patikrinkite, ar sąlyga (7.2) yra būtina, bet nepakankama standaus kūno pusiausvyrai. Ant stalo gulinčią lentą skirtinguose taškuose pritaikykime dvi vienodo dydžio ir priešingos krypties jėgas, kaip parodyta 7.2 pav. Šių jėgų suma lygi nuliui:

+ (-) = 0. Tačiau lenta vis tiek suksis. Lygiai taip pat dvi vienodo dydžio ir priešingos krypties jėgos suka dviračio ar automobilio vairą (7.3 pav.).

Kokia dar išorinių jėgų sąlyga, be jų sumos lygybės nuliui, turi būti įvykdyta, kad kietasis kūnas būtų pusiausvyroje? Mes naudojame teoremą apie kinetinės energijos kitimą.

Raskime, pavyzdžiui, taške O ant horizontalios ašies šarnyrinio strypo pusiausvyros sąlygą (7.4 pav.). Šis paprastas prietaisas, kaip žinote iš pradinės mokyklos fizikos kurso, yra pirmos rūšies svirtis.

Tegul jėgos 1 ir 2 veikia svirtį statmenai strypui.

Be jėgų 1 ir 2, normali reakcijos jėga 3, nukreipta vertikaliai į viršų, veikia svirtį iš svirties ašies pusės. Kai svirtis yra pusiausvyroje, visų trijų jėgų suma lygi nuliui: 1 + 2 + 3 = 0.

Apskaičiuokime išorinių jėgų atliekamą darbą, kai svirtis pasukama labai mažu kampu α. Jėgų 1 ir 2 taikymo taškai eis išilgai takai s 1 = BB 1 ir s 2 = CC 1 (lankai BB 1 ir CC 1 esant mažais kampais α gali būti laikomi tiesiomis atkarpomis). Jėgos 1 darbas A 1 \u003d F 1 s 1 yra teigiamas, nes taškas B juda jėgos kryptimi, o jėgos 2 darbas A 2 \u003d -F 2 s 2 yra neigiamas, nes taškas C juda ta kryptimi priešinga jėgos krypčiai 2. 3 jėga neveikia, nes jos taikymo taškas nejuda.

Nuvažiuotus kelius s 1 ir s 2 galima išreikšti svirties a sukimosi kampu, išmatuotu radianais: s 1 = α|BO| ir s 2 = α|СО|. Turėdami tai omenyje, perrašykime išraiškas, kad jos veiktų taip:

А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
A 2 \u003d -F 2 α | CO |.

Apskritimų lankų BO ir CO spinduliai, aprašyti jėgų 1 ir 2 taikymo taškais, yra statmenai, nuleisti nuo sukimosi ašies šių jėgų veikimo linijoje.

Kaip jau žinote, jėgos ranka yra trumpiausias atstumas nuo sukimosi ašies iki jėgos veikimo linijos. Jėgos ranką pažymėsime raide d. Tada |BO| = d 1 – jėgos ranka 1 ir |CO| \u003d d 2 – 2 jėgos ranka. Šiuo atveju išraiškos (7.4) įgauna formą

A 1 \u003d F 1 αd 1, A 2 \u003d -F 2 αd 2. (7.5)

Iš (7.5) formulių matyti, kad kiekvienos iš jėgų darbas yra lygus jėgos momento ir svirties sukimosi kampo sandaugai. Vadinasi, darbo išraiškos (7.5) gali būti perrašytos į formą

A 1 = M 1 α, A 2 = M 2 α, (7.6)

o suminis išorinių jėgų darbas gali būti išreikštas formule

A \u003d A 1 + A 2 \u003d (M 1 + M 2) α. α, (7,7)

Kadangi jėgos momentas 1 yra teigiamas ir lygus M 1 \u003d F 1 d 1 (žr. 7.4 pav.), O jėgos momentas 2 yra neigiamas ir lygus M 2 \u003d -F 2 d 2, tada darbui A galite parašyti išraišką

A \u003d (M 1 - | M 2 |) α.

Kai kūnas juda, jo kinetinė energija didėja. Norint padidinti kinetinę energiją, turi veikti išorinės jėgos, ty šiuo atveju A ≠ 0 ir atitinkamai M 1 + M 2 ≠ 0.

Jeigu išorinių jėgų darbas lygus nuliui, tai kūno kinetinė energija nekinta (lieka lygi nuliui) ir kūnas lieka nejudantis. Tada

M 1 + M 2 = 0. (7.8)

(7 8) lygtis yra antroji standaus kūno pusiausvyros sąlyga.

Kai standus kūnas yra pusiausvyroje, visų išorinių jėgų, veikiančių jį aplink bet kurią ašį, momentų suma lygi nuliui.

Taigi, esant savavališkam išorinių jėgų skaičiui, absoliučiai standaus kūno pusiausvyros sąlygos yra tokios:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Antroji pusiausvyros sąlyga gali būti išvesta iš pagrindinės standaus kūno sukamojo judėjimo dinamikos lygties. Pagal šią lygtį, kur M yra visas kūną veikiančių jėgų momentas, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε yra kampinis pagreitis. Jei standusis kūnas yra nejudantis, tai ε = 0, taigi ir M = 0. Taigi antroji pusiausvyros sąlyga yra M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Jei kūnas nėra absoliučiai standus, tai veikiant jį išorinėms jėgoms, jis gali neišlikti pusiausvyroje, nors išorinių jėgų suma ir jų momentų suma apie bet kurią ašį yra lygi nuliui.

Pavyzdžiui, pritaikykime dvi jėgas, kurių dydis yra lygus ir nukreiptas išilgai laido priešingomis kryptimis į guminio laido galus. Veikiant šioms jėgoms, virvelė nebus pusiausvyroje (virvelė ištempta), nors išorinių jėgų suma lygi nuliui, o nulis yra jų momentų suma apie ašį, einanti per bet kurį laido tašką.

Statinis inžinerinių konstrukcijų skaičiavimas daugeliu atvejų susiaurinamas iki pusiausvyros sąlygų statiniui iš kūnų, sujungtų tam tikromis jungtimis, sistemos. Šios konstrukcijos dalis jungiančios jungtys bus vadinamos vidinis Skirtingai nei išorės jungtys, tvirtinančios konstrukciją su korpusais, kurie į ją neįeina (pavyzdžiui, su atramomis).

Jei, atmetus išorinius ryšius (atramas), konstrukcija išlieka standi, tai statikos problemos jai išsprendžiamos kaip absoliučiai standžiam kūnui. Tačiau gali būti tokių inžinerinių konstrukcijų, kurios, atmetus išorines grandis, nelieka standžios. Tokio dizaino pavyzdys yra trijų vyrių arka. Jei atmetamos atramos A ir B, arka nebus standi: jos dalys gali suktis aplink vyrį C.

Remiantis kietėjimo principu, tokią konstrukciją veikiančių jėgų sistema, esant pusiausvyrai, turi tenkinti kieto kūno pusiausvyros sąlygas. Tačiau šios sąlygos, kaip buvo pažymėta, nors ir būtinos, jų nepakaks; todėl iš jų neįmanoma nustatyti visų nežinomų dydžių. Norint išspręsti problemą, būtina papildomai apsvarstyti vienos ar kelių konstrukcijos dalių pusiausvyrą.

Pavyzdžiui, sudarydami pusiausvyros sąlygas jėgoms, veikiančioms trijų vyrių lanką, gauname tris lygtis su keturiais nežinomaisiais X A, Y A, X B, Y B . Papildomai įvertinę kairiosios (arba dešinės) jos pusės pusiausvyros sąlygas, gauname dar tris lygtis, kuriose yra du nauji nežinomieji X C, Y C, pav. 61 nerodomas. Išspręsdami gautą šešių lygčių sistemą, randame visus šešis nežinomuosius.

14. Ypatingi erdvinės jėgų sistemos mažinimo atvejai

Jei jėgų sistemą sumažinus iki dinaminio sraigto, pagrindinis dinamo momentas buvo lygus nuliui, o pagrindinis vektorius skiriasi nuo nulio, tai reiškia, kad jėgų sistema sumažinama iki gaunamo. , o centrinė ašis yra šio rezultato veikimo linija. Išsiaiškinkime, kokiomis sąlygomis, atsižvelgiant į pagrindinį vektorių Fp ir ​​pagrindinį momentą M 0, tai gali būti. Kadangi pagrindinis dinamo momentas M * yra lygus pagrindinio momento M 0 komponentui, nukreiptam išilgai pagrindinio vektoriaus, tada nagrinėjamas atvejis M * \u003d O reiškia, kad pagrindinis momentas M 0 yra statmenas pagrindiniam vektoriui, ty / 2 \u003d Fo * M 0 \u003d 0. Tai tiesiogiai reiškia, kad jei pagrindinis vektorius F 0 nėra lygus nuliui, o antrasis invariantas lygus nuliui, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9), tada laikoma sistema sumažinama iki rezultato.

Visų pirma, jei bet kuriam redukcijos centrui F 0 ≠ 0, o M 0 = 0, tai reiškia, kad jėgų sistema sumažinama iki rezultato, einančio per šis centras mesti; tokiu atveju bus tenkinama ir sąlyga (7.9) V skyriuje pateiktą teoremą dėl rezultato momento (Varinjono teorema) apibendrinkime erdvinės jėgų sistemos atveju. Jeigu erdvinė sistema. jėgos sumažinamos iki rezultatyvaus, tada rezultato momentas savavališko taško atžvilgiu yra lygus visų jėgų momentų geometrinei sumai to paties taško atžvilgiu. P
tegul jėgų sistema turi rezultatinį R ir tašką O yra šio rezultato veikimo linijoje. Jei pateiktą jėgų sistemą pritrauksime iki šio taško, tada gausime, kad pagrindinis momentas yra lygus nuliui.
Paimkime kitą atskaitos centrą O1; (7.10)C
kita vertus, remiantis (4.14) formule turime Mo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11), nes М 0 = 0. Lyginant (7.10) ir (7.11) išraiškas ir atsižvelgiant į tai, kad šiuo atveju F 0 = R, gauname (7.12).

Taigi teorema įrodyta.

Tegu bet kuriuo redukcijos centro pasirinkimu Fo=O, M ≠0. Kadangi pagrindinis vektorius nepriklauso nuo redukcijos centro, jis yra lygus nuliui bet kuriam kitam redukcijos centro pasirinkimui. Todėl pagrindinis momentas taip pat nesikeičia pasikeitus redukcijos centrui, todėl šiuo atveju jėgų sistema redukuojama į jėgų porą, kurios momentas lygus M0.

Dabar pateiksime visų galimų erdvinės jėgų sistemos mažinimo atvejų lentelę:

Jei visos jėgos yra toje pačioje plokštumoje, pavyzdžiui, plokštumoje Oho tada jų projekcijos ašyje G ir akimirkos apie kirvius X ir adresu bus lygus nuliui. Todėl Fz=0; Mox = 0, Moy = 0. Įvedę šias reikšmes į (7.5) formulę, nustatome, kad plokštumos jėgų sistemos antrasis invariantas yra lygus nuliui. Tą patį rezultatą gauname ir erdvinei lygiagrečių jėgų sistemai. Iš tiesų, tegul visos jėgos yra lygiagrečios ašiai z. Tada jų projekcijos ant ašių X ir adresu o momentai apie z ašį bus lygūs 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

Remiantis tuo, kas buvo įrodyta, galima teigti, kad plokščia jėgų sistema ir lygiagrečių jėgų sistema nėra redukuojama į dinaminį sraigtą.

11. Kūno pusiausvyra esant slydimo trinčiai Jei du kūnai / ir // (6.1 pav.) sąveikauja vienas su kitu, liečiasi taške A, tada visada reakcija RA, veikianti, pavyzdžiui, iš kūno pusės // ir nukreipta į kūną /, gali būti suskaidyta į du komponentus: N.4, nukreipta išilgai bendrosios normalios į besiliečiančių kūnų paviršių ties taškas L ir T 4, esantis liestinės plokštumoje . Komponentas N.4 vadinamas normalus atsakymas, jėga T l vadinama slydimo trinties jėga - ji neleidžia „slysti kūnui / per kūną //. Pagal aksiomą 4 (3 Niutono dėsnis) ant kūno // iš kūno pusės / yra vienodo dydžio ir priešingos krypties reakcijos jėga. Jo dedamoji, statmena liestinės plokštumai, vadinama normalaus slėgio jėga. Kaip minėta aukščiau, trinties jėga T A = O jei poravimosi paviršiai idealiai lygūs. Realiomis sąlygomis paviršiai yra grubūs ir daugeliu atvejų negalima nepaisyti trinties jėgos. 6.2, a. Prie korpuso 5, esančio ant fiksuotos plokštės D, pritvirtintas sriegis, permestas per bloką C, kurio laisvas galas yra su atramine platforma A. Jei padas A palaipsniui apkraunama, tada padidėjus bendram jo svoriui, sriegio įtempimas padidės S, kuri linkusi perkelti kūną į dešinę. Tačiau tol, kol bendra apkrova nėra per didelė, trinties jėga T išlaikys kūną V ramybėje. Ant pav. 6.2, b vaizduojamas veikiantis kūną V jėgos, o P – gravitacijos jėga, o N – normali plokštės reakcija D. Jei apkrovos nepakanka, kad sulaužytų likusią dalį, galioja šios pusiausvyros lygtys: N- P = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2).Iš čia išplaukia, kad N = Pir T = S. Taigi, kūnui esant ramybės būsenoje, trinties jėga išlieka lygi sriegio įtempimo jėgai S. Žymėkite Tmaks trinties jėga kritiniu apkrovos proceso momentu, kai kūnas V praranda pusiausvyrą ir pradeda slysti plokšte D. Todėl, jei kūnas yra pusiausvyroje, tada T≤Tmax.Didžiausia trinties jėga T maks priklauso nuo medžiagų, iš kurių pagaminti korpusai, savybių, jų būklės (pavyzdžiui, nuo paviršiaus apdorojimo pobūdžio), taip pat nuo normalaus slėgio dydžio N. Kaip rodo patirtis, maksimali trinties jėga yra maždaug proporcinga normaliam slėgiui, t.y. e. yra lygybė Tmaks= fN. (6.4).Šis ryšys vadinamas Amontono-Kulono dėsnis. Bedimensinis koeficientas / vadinamas slydimo trinties koeficientas. Kaip matyti iš patirties, tai vertė plačiame diapazone nepriklauso nuo besiliečiančių paviršių ploto, bet priklauso nuo medžiagos ir besiliečiančių paviršių šiurkštumo laipsnio. Trinties koeficientų reikšmės nustatomos empiriškai ir jas galima rasti informacinėse lentelėse. Nelygybė“ (6.3) dabar gali būti parašytas kaip T≤fN (6.5) Griežtos lygybės atvejis (6.5) atitinka didžiausią trinties jėgos reikšmę. Tai reiškia, kad trinties jėgą galima apskaičiuoti pagal formulę T = fN tik tais atvejais, kai iš anksto žinoma, kad yra kritinis atvejis. Visais kitais atvejais trinties jėgą reikia nustatyti pagal pusiausvyros lygtis.. Apsvarstykite kūną, esantį ant grubaus paviršiaus. Darysime prielaidą, kad veikiant aktyviosioms ir reakcijos jėgoms kūnas yra ribinėje pusiausvyroje. Ant pav. 6.6, a parodyta ribinė reakcija R ir jos komponentai N ir T max (šiame paveiksle pavaizduotoje padėtyje aktyviosios jėgos linkusios stumti kūną į dešinę, didžiausia trinties jėga T max nukreipta į kairę). Injekcija f tarp ribinės reakcijos R o normalioji paviršiaus atžvilgiu vadinama trinties kampu. Suraskime šį kampelį. Iš pav. 6.6, bet mes turime tgφ \u003d Tmax / N arba, naudojant išraišką (6.4), tgφ \u003d f (6-7)

pateikiami abu kiekiai).

Ankstesnis straipsnis: Titano dioksidas - kas tai? Kitas straipsnis: Šaldyta krabų mėsa - kalorijos ir sudėtis