Եռանկյունի տարածքը որոշելու համար կարող եք օգտագործել տարբեր բանաձևեր. Բոլոր մեթոդներից ամենահեշտն ու ամենահաճախ օգտագործվողը բարձրության բազմապատկումն է հիմքի երկարությամբ, որին հաջորդում է արդյունքը երկուսի բաժանելը։ Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը հեռու է միակից: Ստորև կարող եք կարդալ, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան մակերեսը տարբեր բանաձևերի միջոցով:

Առանձին-առանձին մենք կքննարկենք եռանկյունների հատուկ տեսակների տարածքը հաշվարկելու մեթոդները `ուղղանկյուն, հավասարաչափ և հավասարակողմ: Մենք ուղեկցում ենք յուրաքանչյուր բանաձևի կարճ բացատրություն, որը կօգնի ձեզ հասկանալ դրա էությունը:

Եռանկյունու տարածքը գտնելու ունիվերսալ եղանակներ

Ստորև բերված բանաձևերը օգտագործում են հատուկ նշում: Մենք կվերծանենք դրանցից յուրաքանչյուրը.

• a, b, c-ն մեր դիտարկած նկարի երեք կողմերի երկարություններն են.
• r-ը շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է ներգծել մեր եռանկյունու մեջ.
• R-ն այն շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է նկարագրել դրա շուրջը.
• α - b և c կողմերի կողմից ձևավորված անկյան արժեքը;
• β-ն անկյունն է a-ի և c-ի միջև;
• γ - a և b կողմերի կողմից ձևավորված անկյան արժեքը.
• h-ն մեր եռանկյունու բարձրությունն է՝ իջեցված α անկյունից դեպի a կողմ;
• p-ը a, b և c կողմերի գումարի կեսն է:

Տրամաբանորեն պարզ է, թե ինչու կարելի է այս կերպ գտնել եռանկյունու մակերեսը։ Եռանկյունը հեշտությամբ լրացվում է դեպի զուգահեռագիծ, որում եռանկյան մի կողմը կգործի որպես անկյունագիծ: Զուգահեռագծի մակերեսը հայտնաբերվում է նրա կողմերից մեկի երկարությունը բազմապատկելով դեպի դրան գծված բարձրության արժեքով: Անկյունագիծը այս պայմանական զուգահեռագիծը բաժանում է 2 միանման եռանկյունների։ Հետևաբար, ակնհայտ է, որ մեր սկզբնական եռանկյունու մակերեսը պետք է հավասար լինի այս օժանդակ զուգահեռագծի տարածքի կեսին:

S=½ a b sin γ

Այս բանաձևի համաձայն՝ եռանկյան մակերեսը հայտնաբերվում է՝ բազմապատկելով նրա երկու կողմերի երկարությունները, այսինքն՝ a և b, նրանց կազմած անկյան սինուսով։ Այս բանաձևը տրամաբանորեն բխում է նախորդից։ Եթե ​​բարձրությունը β անկյանց իջեցնենք b կողմ, ապա, ըստ ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունների, a կողմի երկարությունը γ անկյան սինուսով բազմապատկելիս ստանում ենք եռանկյան բարձրությունը, այսինքն՝ h։

Քննարկվող պատկերի մակերեսը հայտնաբերվում է շրջանագծի շառավիղի կեսը, որը կարելի է մակագրել, իր պարագծով բազմապատկելով: Այսինքն՝ գտնում ենք նշված շրջանագծի կիսաշրջագծի և շառավղի արտադրյալը։

S= a b c/4R

Ըստ այս բանաձևի՝ մեզ անհրաժեշտ արժեքը կարելի է գտնել՝ նկարի կողմերի արտադրյալը բաժանելով նրա շուրջը շրջագծված շրջանագծի 4 շառավղով։

Այս բանաձևերը համընդհանուր են, քանի որ դրանք հնարավորություն են տալիս որոշել ցանկացած եռանկյունու մակերեսը (սանդղակ, հավասարաչափ, հավասարակողմ, ուղղանկյուն): Դա կարելի է անել ավելի բարդ հաշվարկների օգնությամբ, որոնց մասին մենք մանրամասն չենք անդրադառնա։

Հատուկ հատկություններով եռանկյունների տարածքները

Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը: Այս գործչի առանձնահատկությունն այն է, որ նրա երկու կողմերը միաժամանակ նրա բարձրությունն են: Եթե ​​a-ն և b-ն ոտքեր են, իսկ c-ն դառնում է հիպոթենուս, ապա տարածքը հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.

Ինչպե՞ս գտնել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը: Այն ունի երկու կողմ՝ a երկարությամբ և մեկ կողմ՝ b երկարությամբ։ Այսպիսով, նրա մակերեսը կարելի է որոշել՝ a կողմի քառակուսու արտադրյալը 2-ի բաժանելով γ անկյան սինուսի վրա։

Ինչպե՞ս գտնել հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը: Նրանում բոլոր կողմերի երկարությունը a է, իսկ բոլոր անկյունների արժեքը՝ α։ Նրա բարձրությունը հավասար է կողմի երկարության արտադրյալի կեսին և 3-ի քառակուսի արմատին: Կանոնավոր եռանկյունու մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է Ա կողմի քառակուսին բազմապատկել 3-ի քառակուսի արմատով և բաժանել 4-ի:

Եռանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը բաղկացած է երեք գծերից, որոնք հանդիպում են այն կետերում, որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա: Գծերի միացման կետերը եռանկյան գագաթներն են, որոնք նշվում են լատինական տառերով (օրինակ՝ A, B, C)։ Եռանկյան միացնող ուղիղ գծերը կոչվում են հատվածներ, որոնք նույնպես սովորաբար նշվում են լատինատառով։ Կան եռանկյունների հետևյալ տեսակները.

• Ուղղանկյուն:
• բութ.
• Սուր անկյունային.
• Բազմակողմանի.
• Հավասարակողմ.
• Isosceles.

Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու ընդհանուր բանաձևեր

Եռանկյունի տարածքի երկարության և բարձրության բանաձևը

S=a*h/2,
որտեղ a-ն եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որի մակերեսը պետք է գտնել, h-ը հիմքի վրա գծված բարձրության երկարությունն է:

Հերոնի բանաձեւը

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
որտեղ √ քառակուսի արմատն է, p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, a,b,c-ն եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունն է: Եռանկյան կիսաշրջագիծը կարելի է հաշվարկել p=(a+b+c)/2 բանաձևով։

Եռանկյան տարածքի բանաձևը հատվածի անկյան և երկարության առումով

S = (a*b*sin(α))/2,
որտեղ b,c էեռանկյան կողմերի երկարությունը, sin (α) երկու կողմերի միջև անկյան սինուսն է:

Եռանկյան տարածքի բանաձևը, որը տրված է ներգծված շրջանագծի և երեք կողմերի շառավղով

S=p*r,
որտեղ p-ն այն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, որի մակերեսը պետք է գտնել, r-ն այս եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղն է:

Եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է երեք կողմերին և նրա շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավղին

S= (a*b*c)/4*R,
որտեղ a,b,c-ն եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունն է, R-ը եռանկյան շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է:

Եռանկյան մակերեսի բանաձևը կետերի դեկարտյան կոորդինատներում

Կետերի դեկարտյան կոորդինատները կոորդինատներ են xOy համակարգում, որտեղ x-ը աբսցիսա է, իսկ y-ը օրդինատն է: Հարթության վրա դեկարտյան կոորդինատային համակարգը xOy կոչվում է Ox և Oy փոխադարձ ուղղահայաց թվային առանցքներ O կետում ընդհանուր հղման կետով: Եթե այս հարթության կետերի կոորդինատները տրված են A (x1, y1), B (x2) ձևով: , y2) և C (x3, y3), այնուհետև կարող եք հաշվարկել եռանկյան մակերեսը հետևյալ բանաձևով, որը ստացվում է երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալից:
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
որտեղ || հանդես է գալիս որպես մոդուլ:

Ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը

Ուղղանկյուն եռանկյունը այն եռանկյունն է, որն ունի մեկ անկյուն 90 աստիճան: Եռանկյունը կարող է ունենալ միայն մեկ այդպիսի անկյուն։

Երկու ոտքերի վրա ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսի բանաձևը

S=a*b/2,
որտեղ a,b-ը ոտքերի երկարությունն է: Ոտքերը կոչվում են աջ անկյունին հարող կողմեր։

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է հիպոթենուսի և սուր անկյունի համար

S = a*b*sin(α)/ 2,
որտեղ a, b-ն եռանկյան ոտքերն են, իսկ sin(α)-ն այն անկյան սինուսն է, որով հատվում են a, b ուղիղները:

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսի բանաձևը ըստ ոտքի և հակառակ անկյունի

S = a*b/2*tg (β),
որտեղ a, b-ն եռանկյան ոտքերն են, tg(β)-ն այն անկյան շոշափումն է, որով a, b ոտքերը միացված են:

Ինչպես հաշվարկել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը

Հավասարաչափ եռանկյունին այն եռանկյունն է, որն ունի երկու հավասար կողմեր: Այս կողմերը կոչվում են կողմեր, իսկ մյուս կողմը հիմք է: Հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ բանաձևերից մեկը:

Հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու հիմնական բանաձևը

S=h*c/2,
որտեղ c-ն եռանկյան հիմքն է, h-ը եռանկյան բարձրությունն է, որը իջեցվել է հիմքի վրա:

Կողային կողմի և հիմքի վրա հավասարաչափ եռանկյունու բանաձևը

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
որտեղ c-ն եռանկյան հիմքն է, a-ն հավասարաչափ եռանկյան կողմերից մեկի արժեքն է:

Ինչպես գտնել հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը

Հավասարակողմ եռանկյունը եռանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են: Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ բանաձևը.
S = (√3*a*a)/4,
որտեղ a-ն հավասարակողմ եռանկյան կողմի երկարությունն է:

Վերոնշյալ բանաձևերը թույլ կտան հաշվարկել եռանկյունու անհրաժեշտ տարածքը: Կարևոր է հիշել, որ եռանկյունների տարածությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվի առնել եռանկյունու տեսակը և առկա տվյալները, որոնք կարող են օգտագործվել հաշվարկի համար:

Եռանկյունը ամենապարզ երկրաչափական պատկերն է, որը բաղկացած է երեք կողմերից և երեք գագաթներից։ Իր պարզության շնորհիվ եռանկյունը հնագույն ժամանակներից օգտագործվել է տարբեր չափումների համար, իսկ այսօր գործիչը կարող է օգտակար լինել գործնական և առօրյա խնդիրների լուծման համար։

Եռանկյունի առանձնահատկությունները

Նկարը հնագույն ժամանակներից օգտագործվել է հաշվարկների համար, օրինակ՝ գեոդեզիստներն ու աստղագետները գործում են եռանկյունների հատկություններով՝ տարածքներն ու հեռավորությունները հաշվարկելու համար։ Այս նկարի տարածքի միջոցով հեշտ է արտահայտել ցանկացած n-gon տարածքը, և այս հատկությունը օգտագործվել է հին գիտնականների կողմից՝ բազմանկյունների տարածքների համար բանաձևեր ստանալու համար: Եռանկյունների հետ մշտական ​​աշխատանքը, հատկապես ուղղանկյուն եռանկյունու հետ, հիմք է դարձել մաթեմատիկայի մի ամբողջ բաժնի՝ եռանկյունաչափության համար։

եռանկյունի երկրաչափություն

Երկրաչափական պատկերի հատկությունները ուսումնասիրվել են դեռևս հնագույն ժամանակներից. եռանկյունու մասին ամենավաղ տեղեկությունները հայտնաբերվել են եգիպտական ​​պապիրուսներում՝ 4000 տարեկան: Այնուհետև նկարն ուսումնասիրվել է Հին Հունաստանև եռանկյունու երկրաչափության մեջ ամենամեծ ներդրումը կատարել են Էվկլիդեսը, Պյութագորասը և Հերոնը: Եռանկյունու ուսումնասիրությունը երբեք չդադարեց, և 18-րդ դարում Լեոնհարդ Էյլերը ներկայացրեց գործչի ուղղանկյուն և Էյլերի շրջան հասկացությունը։ 19-րդ և 20-րդ դարերի վերջին, երբ թվում էր, թե եռանկյունու մասին բացարձակապես ամեն ինչ հայտնի է, Ֆրենկ Մորլին ձևակերպեց անկյան եռակողմ թեորեմը, իսկ Վացլավ Սիերպինսկին առաջարկեց ֆրակտալ եռանկյունին։

Դպրոցական երկրաչափության դասընթացից մեզ ծանոթ հարթ եռանկյունների մի քանի տեսակներ կան.

• սուր անկյուն - գործչի բոլոր անկյունները սուր են;
• բութ - գործիչն ունի մեկ բութ անկյուն (90 աստիճանից ավելի);
• ուղղանկյուն - նկարը պարունակում է մեկ ուղիղ անկյուն, որը հավասար է 90 աստիճանի;
• isosceles - երկու հավասար կողմերով եռանկյունի;
• հավասարակողմ - բոլոր հավասար կողմերով եռանկյունի:
• Վ իրական կյանքկան բոլոր տեսակի եռանկյուններ, և որոշ դեպքերում մեզ կարող է անհրաժեշտ լինել հաշվարկել երկրաչափական գործչի մակերեսը:

Եռանկյունի մակերեսը

Մակերեսը գնահատվում է այն բանի, թե որքանով է սահմանվում նկարը: Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել վեց եղանակով՝ օգտագործելով կողմերը, բարձրությունը, անկյունները, ներգծված կամ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը, ինչպես նաև օգտագործելով Հերոնի բանաձևը կամ կրկնակի ինտեգրալը հաշվարկելով հարթությունը սահմանափակող գծերի վրա: Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու ամենապարզ բանաձևը հետևյալն է.

որտեղ a-ն եռանկյան կողմն է, h-ը նրա բարձրությունն է:

Այնուամենայնիվ, գործնականում մեզ համար միշտ չէ, որ հարմար է գտնել երկրաչափական գործչի բարձրությունը։ Մեր հաշվիչի ալգորիթմը թույլ է տալիս հաշվարկել տարածքը՝ իմանալով.

• երեք կողմ;
• երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը;
• մի կողմ և երկու անկյուն:

Տարածքը երեք կողմերից որոշելու համար մենք օգտագործում ենք Հերոնի բանաձևը.

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

որտեղ p-ը եռանկյան կիսաշրջագիծն է:

Երկու կողմի և անկյունի տարածքի հաշվարկը կատարվում է դասական բանաձևով.

S = a × b × sin (ալֆա),

որտեղ ալֆան անկյունն է a և b կողմերի միջև:

Մեկ կողմի և երկու անկյունների տարածքը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք այն հարաբերությունը, որը.

a / sin(alfa) = b / sin (beta) = c / sin(gamma)

Պարզ համամասնությամբ որոշում ենք երկրորդ կողմի երկարությունը, որից հետո մակերեսը հաշվարկում ենք S = a × b × sin (ալֆա) բանաձևով։ Այս ալգորիթմը լիովին ավտոմատացված է, և անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել տվյալ փոփոխականները և ստանալ արդյունքը։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Իրական կյանքի օրինակներ

սալահատակ սալիկներ

Ենթադրենք, ուզում եք հատակը հարթել եռանկյունաձև սալիկներով, և անհրաժեշտ նյութի քանակը որոշելու համար պետք է պարզել մեկ սալիկի և հատակի մակերեսը: Թող անհրաժեշտ լինի մշակել 6 քառակուսի մետր մակերես՝ օգտագործելով սալիկ, որի չափերն են a = 20 սմ, b = 21 սմ, c = 29 սմ: Ակնհայտ է, որ հաշվիչը օգտագործում է Հերոնի բանաձևը եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար և արդյունքը կտա.

Այսպիսով, մեկ սալիկի տարրի մակերեսը կլինի 0,021 քառակուսի մետր, իսկ հատակը գեղեցկացնելու համար անհրաժեշտ կլինի 6/0,021 = 285 եռանկյունի։ 20, 21 և 29 թվերը կազմում են Պյութագորասի եռակի թվերը, որոնք բավարարում են . Եվ դա ճիշտ է, մեր հաշվիչը հաշվարկել է նաև եռանկյան բոլոր անկյունները, իսկ գամմա անկյունը ուղիղ 90 աստիճան է։

դպրոցական առաջադրանք

Դպրոցական խնդրի դեպքում դուք պետք է գտնեք եռանկյունու մակերեսը՝ իմանալով, որ կողմը a \u003d 5 սմ է, իսկ վերքի ալֆա և բետա անկյունները համապատասխանաբար 30 և 50 աստիճան են: Այս խնդիրը ձեռքով լուծելու համար մենք նախ կգտնենք b կողմի արժեքը՝ օգտագործելով կողմերի և հակառակ անկյունների սինուսների հարաբերակցությունը, այնուհետև կորոշենք տարածքը՝ օգտագործելով S = a × b × sin(alfa) պարզ բանաձևը: Եկեք խնայենք ժամանակը, մուտքագրենք տվյալները հաշվիչի ձևաթղթում և ստանանք ակնթարթային պատասխան

Հաշվիչ օգտագործելիս կարևոր է ճիշտ նշել անկյունները և կողմերը, հակառակ դեպքում արդյունքը սխալ կլինի:

Եզրակացություն

Եռանկյունը եզակի պատկեր է, որը տեղի է ունենում ինչպես իրական կյանքում, այնպես էլ վերացական հաշվարկներում: Օգտագործեք մեր առցանց հաշվիչը ցանկացած տեսակի եռանկյունների տարածքը գտնելու համար:

Հակառակ գագաթից) և ստացված արդյունքը բաժանեք երկուսի: Ձևով այն ունի հետևյալ տեսքը.

S = ½ * a * h,

որտեղ:
S-ը եռանկյան մակերեսն է,
a-ն նրա կողմի երկարությունն է,
h-ն այս կողմ իջեցված բարձրությունն է:

Կողքի երկարությունը և բարձրությունը պետք է ներկայացվեն նույն միավորներով: Այս դեպքում եռանկյունու տարածքը կհայտնվի համապատասխան «» միավորներով:

Օրինակ.
20 սմ երկարությամբ սկալեն եռանկյան կողմերից մեկի վրա հակառակ գագաթից 10 սմ երկարությամբ ուղղահայաց է իջեցված։
Պահանջվում է եռանկյունու տարածքը:
Լուծում.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (սմ²):

Եթե ​​գիտեք սանդղակի եռանկյունու ցանկացած երկու կողմերի երկարությունը և նրանց միջև եղած անկյունը, ապա օգտագործեք բանաձևը.

S = ½ * a * b * sinγ,

որտեղ՝ a, b-ը երկու կամայական կողմերի երկարություններն են, իսկ γ՝ նրանց միջև եղած անկյունը:

Գործնականում, օրինակ, չափելիս հողատարածքներ, վերը նշված բանաձևերի օգտագործումը երբեմն դժվար է, քանի որ այն պահանջում է լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ և անկյունների չափում։

Եթե ​​գիտեք սկալեն եռանկյունու բոլոր երեք կողմերի երկարությունները, ապա օգտագործեք Հերոնի բանաձևը.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c եռանկյան կողմերի երկարություններն են,
р – կիսաշրջագիծ՝ p = (a+b+c)/2.

Եթե, բացի բոլոր կողմերի երկարություններից, հայտնի է նաև եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը, ապա օգտագործեք հետևյալ կոմպակտ բանաձևը.

որտեղ r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է (p-ը կիսաշրջագիծն է):

Սահմանված շրջանագծի սանդղակի եռանկյունու մակերեսը և նրա կողմերի երկարությունը հաշվարկելու համար օգտագործեք բանաձևը.

որտեղ R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է:

Եթե ​​հայտնի է եռանկյան կողմերից մեկի և երեք անկյունների երկարությունը (սկզբունքորեն երկուսը բավարար են. երրորդի արժեքը հաշվարկվում է եռանկյան երեք անկյունների գումարի հավասարությունից՝ 180º), ապա օգտագործեք. բանաձեւը:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

որտեղ α-ն a-ին հակառակ անկյան արժեքն է.
β, γ-ն եռանկյան մնացած երկու անկյունների արժեքներն են:

Տարբեր տարրեր, ներառյալ տարածքը գտնելու անհրաժեշտությունը եռանկյուն, հայտնվել է մեր դարաշրջանից շատ դարեր առաջ Հին Հունաստանի գիտուն աստղագետների շրջանում։ Քառակուսի եռանկյունկարելի է հաշվարկել տարբեր ճանապարհներօգտագործելով տարբեր բանաձևեր. Հաշվարկի մեթոդը կախված է նրանից, թե որ տարրերից եռանկյունհայտնի է.

Հրահանգ

Եթե ​​պայմանից գիտենք երկու կողմերի b, c և նրանց կողմից կազմված անկյունի արժեքները, ապա մակերեսը. եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = (bcsin?)/2.

Եթե ​​պայմանից գիտենք երկու կողմերի a, b և դրանցով չձևավորված անկյան արժեքները, ապա մակերեսը. եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.
Անկյուն գտնելու՞մ, մե՞ղք. = bsin? / a, սեղանի վրա մենք ինքնին որոշում ենք անկյունը:
Անկյուն գտնելու՞: = 180°-?-?:
Գտե՛ք ինքնին տարածքը S = (աբսին?)/2.

Եթե ​​պայմանից գիտենք միայն երեք կողմերի արժեքները եռանկյուն a, b և c, ապա տարածքը եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , որտեղ p-ն կիսաշրջագիծն է p = (a+b+c)/2

Եթե ​​խնդրի վիճակից իմանանք բարձրությունը եռանկյուն h և այն կողմը, որին իջեցվել է այս բարձրությունը, ապա տարածքը եռանկյուն ABC բանաձևով.
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2:

Եթե ​​մենք գիտենք կողմերի արժեքները եռանկյուն a, b, c և տրվածի մոտ սահմանափակվածի շառավիղը եռանկյուն R, ապա սրա տարածքը եռանկյուն ABC-ն որոշվում է բանաձևով.
S = abc/4R:
Եթե ​​հայտնի են երեք կողմերը a, b, c և մակագրվածի շառավիղը, ապա մակերեսը եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = pr, որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է, p = (a+b+c)/2:

Եթե ​​ABC-ն հավասարակողմ է, ապա տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = (a^2v3)/4.
Եթե ​​ABC եռանկյունը հավասարաչափ է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, որտեղ c-ն է եռանկյուն.
Եթե ​​ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = ab/2, որտեղ a-ն և b-ն ոտքեր են եռանկյուն.
Եթե ​​ABC եռանկյունը ուղղանկյուն հավասարաչափ եռանկյուն է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = c^2/4 = a^2/2, որտեղ c-ն հիպոթենուսն է եռանկյուն, a=b - ոտք.

Առնչվող տեսանյութեր

Աղբյուրներ:

• ինչպես չափել եռանկյան մակերեսը

Հուշում 3. Ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, եթե գիտեք անկյունը

Միայն մեկ պարամետր (անկյան արժեքը) իմանալը բավարար չէ տարածքը գտնելու համար tre քառակուսի . Եթե ​​կան լրացուցիչ չափումներ, ապա տարածքը որոշելու համար կարող եք ընտրել բանաձեւերից մեկը, որում անկյան արժեքը նույնպես օգտագործվում է որպես հայտնի փոփոխականներից մեկը: Ամենատարածված բանաձևերից մի քանիսը թվարկված են ստորև:

Հրահանգ

Եթե, բացի երկու կողմերի կազմած անկյունից (γ). tre քառակուսի , հայտնի են նաև այս կողմերի երկարությունները (A և B), ապա քառակուսի(S) թվերը կարող են սահմանվել որպես այս հայտնի անկյան կողմերի երկարությունների և սինուսի արտադրյալի կեսը՝ S=½×A×B×sin(γ):

Եռանկյունը ամենատարածվածներից մեկն է երկրաչափական ձևեր, որը մեզ ծանոթ է տարրական դպրոց. Հարցին, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, բախվում է յուրաքանչյուր ուսանողի երկրաչափության դասերին: Այսպիսով, որո՞նք են տվյալ գործչի տարածքը գտնելու առանձնահատկությունները, որոնք կարելի է առանձնացնել: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք նման առաջադրանքը կատարելու համար անհրաժեշտ հիմնական բանաձևերը, ինչպես նաև կվերլուծենք եռանկյունների տեսակները:

Եռանկյունների տեսակները

Դուք կարող եք բացարձակապես գտնել եռանկյունու տարածքը տարբեր ճանապարհներ, քանի որ երկրաչափության մեջ կա երեք անկյուն պարունակող մեկից ավելի պատկեր։ Այս տեսակները ներառում են.

• բութ.
• Հավասարակողմ (ճիշտ):
• Ուղղանկյուն եռանկյուն.
• Isosceles.

Եկեք ավելի սերտ նայենք եռանկյունների գոյություն ունեցող տեսակներից յուրաքանչյուրին:

Նման երկրաչափական պատկերը համարվում է ամենատարածվածը երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս։ Երբ անհրաժեշտ է դառնում գծել կամայական եռանկյունի, այս տարբերակը գալիս է օգնության:

Սուր եռանկյունում, ինչպես ենթադրում է անունը, բոլոր անկյունները սուր են և գումարվում են մինչև 180°:

Նման եռանկյունը նույնպես շատ տարածված է, բայց որոշ չափով ավելի քիչ տարածված է, քան սուր անկյունայինը: Օրինակ՝ եռանկյուններ լուծելիս (այսինքն՝ գիտես նրա մի քանի կողմերն ու անկյունները, և պետք է գտնել մնացած տարրերը), երբեմն պետք է որոշել՝ անկյունը բութ է, թե ոչ։ Կոսինուսը բացասական թիվ է։

Անկյուններից մեկի արժեքը գերազանցում է 90 °, ուստի մնացած երկու անկյունները կարող են փոքր արժեքներ վերցնել (օրինակ, 15 ° կամ նույնիսկ 3 °):

Եռանկյան մակերեսը գտնելու համար այս տեսակի, անհրաժեշտ է իմանալ որոշ նրբերանգներ, որոնց մասին կխոսենք ավելի ուշ։

Կանոնավոր և հավասարաչափ եռանկյուններ

Կանոնավոր բազմանկյունը այն պատկերն է, որը ներառում է n անկյուն, որի բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են: Սա ուղղանկյուն եռանկյունին է: Քանի որ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է, երեք անկյուններից յուրաքանչյուրը 60° է։

Ուղղանկյուն եռանկյունը, իր հատկության շնորհիվ, կոչվում է նաև հավասարակողմ պատկեր։

Հարկ է նաև նշել, որ կանոնավոր եռանկյունու մեջ կարելի է մակագրել միայն մեկ շրջան, և նրա շուրջը կարելի է շրջագծել միայն մեկ շրջան, և դրանց կենտրոնները գտնվում են մեկ կետում։

Բացի հավասարակողմ տիպից կարելի է առանձնացնել նաև հավասարաչափ եռանկյունին, որը փոքր-ինչ տարբերվում է նրանից։ Նման եռանկյունում երկու կողմերն ու երկու անկյունները հավասար են միմյանց, իսկ երրորդ կողմը (որին միանում են հավասար անկյունները) հիմքն է։

Նկարում պատկերված է DEF հավասարաչափ եռանկյուն, որի D և F անկյունները հավասար են, իսկ DF-ը հիմքն է:

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյունին այդպես են անվանել, քանի որ նրա անկյուններից մեկն ուղղանկյուն է, այսինքն՝ հավասար 90°-ի: Մյուս երկու անկյունները գումարվում են մինչև 90°:

Նման եռանկյան ամենամեծ կողմը, որը գտնվում է 90 ° անկյան դիմաց, հիպոթենուսն է, իսկ մյուս երկու կողմերը ոտքերն են: Այս տեսակի եռանկյունների համար կիրառելի է Պյութագորասի թեորեմը.

Ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի երկարության քառակուսուն։

Նկարում ներկայացված է BAC ուղղանկյուն եռանկյունը AC հիպոթենուզով և AB և BC ոտքերով:

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ թվային արժեքներնրա ոտքերը.

Եկեք անցնենք տվյալ գործչի տարածքը գտնելու բանաձևերին:

Տարածքը գտնելու հիմնական բանաձևերը

Երկրաչափության մեջ կարելի է առանձնացնել երկու բանաձև, որոնք հարմար են եռանկյունների մեծամասնության տեսակների տարածքը գտնելու համար, մասնավորապես՝ սուր անկյուն, բութ անկյուն, կանոնավոր և հավասարաչափ եռանկյունների համար: Եկեք վերլուծենք դրանցից յուրաքանչյուրը։

Կողքից և բարձրությունից

Այս բանաձևը ունիվերսալ է մեր դիտարկած գործչի տարածքը գտնելու համար: Դա անելու համար բավական է իմանալ կողմի երկարությունը և դրան գծված բարձրության երկարությունը։ Բանաձևն ինքնին (հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսը) հետևյալն է.

որտեղ Ա-ն կողմն է տրված եռանկյունին, իսկ H-ն եռանկյան բարձրությունն է։

Օրինակ՝ ACB սուր անկյունով եռանկյունու տարածքը գտնելու համար հարկավոր է նրա AB կողմը բազմապատկել CD բարձրությամբ և ստացված արժեքը բաժանել երկուսի:

Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ հեշտ է այս կերպ գտնել եռանկյունու տարածքը: Օրինակ, բութ անկյուն ունեցող եռանկյունու համար այս բանաձևը օգտագործելու համար հարկավոր է շարունակել նրա կողմերից մեկը և միայն դրանից հետո բարձրություն քաշել դեպի այն:

Գործնականում այս բանաձևը օգտագործվում է ավելի հաճախ, քան մյուսները:

Երկու կողմ և անկյուն

Այս բանաձևը, ինչպես և նախորդը, հարմար է եռանկյունների մեծամասնության համար և իր իմաստով եռանկյան կողքով և բարձրության մակերեսը գտնելու բանաձևի հետևանք է։ Այսինքն, քննարկվող բանաձեւը հեշտությամբ կարելի է եզրակացնել նախորդից։ Դրա ձևակերպումն ունի հետևյալ տեսքը.

S = ½*sinO*A*B,

որտեղ A և B-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ O-ն անկյունն է A և B կողմերի միջև:

Հիշեցնենք, որ անկյան սինուսը կարելի է դիտել հատուկ աղյուսակում, որն անվանվել է նշանավոր խորհրդային մաթեմատիկոս Վ.Մ. Բրադիսի անունով:

Իսկ հիմա անցնենք այլ բանաձեւերի, որոնք հարմար են միայն բացառիկ տեսակի եռանկյունների համար։

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը

Ի հավելումն ունիվերսալ բանաձևի, որը ներառում է եռանկյունու մեջ բարձրություն գծելու անհրաժեշտությունը, նրա ոտքերից կարելի է գտնել եռանկյունու տարածքը, որը պարունակում է ուղիղ անկյուն:

Այսպիսով, ուղղանկյուն պարունակող եռանկյան մակերեսը նրա ոտքերի արտադրյալի կեսն է, կամ.

որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյունու ծայրերն են:

ուղղանկյուն եռանկյուն

Այս տեսակըերկրաչափական պատկերները տարբերվում են նրանով, որ դրա տարածքը կարելի է գտնել միայն նրա կողմերից մեկի նշված արժեքով (քանի որ կանոնավոր եռանկյան բոլոր կողմերը հավասար են): Այսպիսով, հանդիպելով «գտնել եռանկյան տարածքը, երբ կողմերը հավասար են» առաջադրանքին, դուք պետք է օգտագործեք հետևյալ բանաձևը.

S = A 2 *√3 / 4,

որտեղ A-ն հավասարակողմ եռանկյան կողմն է:

Հերոնի բանաձեւը

Եռանկյան մակերեսը գտնելու վերջին տարբերակը Հերոնի բանաձևն է։ Այն օգտագործելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նկարի երեք կողմերի երկարությունները։ Հերոնի բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

որտեղ a, b և c տրված եռանկյան կողմերն են:

Երբեմն առաջադրանք է տրվում. «կանոնավոր եռանկյունու տարածքը նրա կողմի երկարությունը գտնելն է»: Այս դեպքում կանոնավոր եռանկյունու մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել մեզ արդեն հայտնի բանաձևը և դրանից ստանալ կողմի (կամ նրա քառակուսու) արժեքը.

A 2 \u003d 4S / √3:

Քննության խնդիրներ

Մաթեմատիկայի GIA-ի առաջադրանքներում կան բազմաթիվ բանաձևեր: Բացի այդ, բավականին հաճախ անհրաժեշտ է վանդակավոր թղթի վրա գտնել եռանկյունու տարածքը:

Այս դեպքում առավել հարմար է բարձրությունը նկարել նկարի կողմերից մեկին, որոշել դրա երկարությունը բջիջներով և օգտագործել տարածքը գտնելու ունիվերսալ բանաձևը.

Այսպիսով, հոդվածում ներկայացված բանաձևերը ուսումնասիրելուց հետո, որևէ տեսակի եռանկյունու մակերեսը գտնելու հետ կապված խնդիրներ չեք ունենա: