El producto de logaritmos con bases diferentes ejemplos. Logaritmo de la regla de acción con logaritmos

Instrucción

Escriba la expresión logarítmica dada. Si la expresión usa el logaritmo de 10, entonces su notación se acorta y se ve así: lg b es el logaritmo decimal. Si el logaritmo tiene como base el número e, entonces la expresión se escribe: ln b es el logaritmo natural. Se entiende que el resultado de cualquiera es la potencia a la que se debe elevar el número base para obtener el número b.

Al encontrar la suma de dos funciones, solo necesita diferenciarlas una por una y sumar los resultados: (u+v)" = u"+v";

Para encontrar la derivada del producto de dos funciones, es necesario multiplicar la derivada de la primera función por la segunda y sumar la derivada de la segunda función, multiplicada por la primera función: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Para encontrar la derivada del cociente de dos funciones es necesario, del producto de la derivada del dividendo por la función divisor, restar el producto de la derivada del divisor por la función divisor, y dividir todo esto por la función divisor al cuadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Si se da una función compleja, entonces es necesario multiplicar la derivada de la función interna y la derivada de la externa. Sea y=u(v(x)), luego y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando lo obtenido anteriormente, puede diferenciar casi cualquier función. Así que veamos algunos ejemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
También hay tareas para calcular la derivada en un punto. Deje que se dé la función y=e^(x^2+6x+5), necesita encontrar el valor de la función en el punto x=1.
1) Encuentra la derivada de la función: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcular el valor de la función en el punto dado y"(1)=8*e^0=8

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Aviso util

Aprende la tabla de derivadas elementales. Esto ahorrará mucho tiempo.

Fuentes:

• derivada constante

Entonces, ¿cuál es la diferencia entre una ecuación irracional y una racional? Si la variable desconocida está bajo el signo de la raíz cuadrada, entonces la ecuación se considera irracional.

Instrucción

El método principal para resolver tales ecuaciones es el método de elevar ambas partes ecuaciones en un cuadrado. Sin embargo. esto es natural, el primer paso es deshacerse de la señal. Técnicamente, este método no es difícil, pero a veces puede causar problemas. Por ejemplo, la ecuación v(2x-5)=v(4x-7). Al elevar al cuadrado ambos lados, obtienes 2x-5 = 4x-7. Tal ecuación no es difícil de resolver; x=1. Pero el número 1 no se dará ecuaciones. ¿Por qué? Sustituye la unidad en la ecuación en lugar del valor de X. Y los lados derecho e izquierdo contendrán expresiones que no tienen sentido, es decir. Tal valor no es válido para una raíz cuadrada. Por lo tanto, 1 es una raíz extraña y, por lo tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Entonces, la ecuación irracional se resuelve utilizando el método de elevar al cuadrado sus dos partes. Y habiendo resuelto la ecuación, es necesario cortar raíces extrañas. Para hacer esto, sustituye las raíces encontradas en la ecuación original.

Considere otro.
2x+vx-3=0
Por supuesto, esta ecuación se puede resolver usando la misma ecuación que la anterior. Compuestos de transferencia ecuaciones, que no tienen raíz cuadrada, al lado derecho y luego usa el método de elevar al cuadrado. resolver la ecuación racional resultante y las raíces. Pero otro, más elegante. Introduzca una nueva variable; vx=y. En consecuencia, obtendrá una ecuación como 2y2+y-3=0. Es decir, lo habitual ecuación cuadrática. Encuentra sus raíces; y1=1 y y2=-3/2. A continuación, resuelve dos ecuaciones vx=1; vx \u003d -3/2. La segunda ecuación no tiene raíces, de la primera encontramos que x=1. No te olvides de la necesidad de revisar las raíces.

Resolver identidades es bastante fácil. Esto requiere hacer transformaciones idénticas hasta lograr el objetivo. Así, con la ayuda de las operaciones aritméticas más simples, se resolverá la tarea.

Necesitará

• - papel;
• - lápiz.

Instrucción

Las transformaciones más simples son las multiplicaciones abreviadas algebraicas (como el cuadrado de la suma (diferencia), la diferencia de cuadrados, la suma (diferencia), el cubo de la suma (diferencia)). Además, hay muchos fórmulas trigonométricas, que son esencialmente las mismas identidades.

En efecto, el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo, es decir, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

simplificar ambos

Principios generales de solución

Repita de un libro de texto sobre análisis matemático o matemáticas superiores, que es una integral definida. Como sabes, la solución de una integral definida es una función cuya derivada dará un integrando. Esta función se llama antiderivada. De acuerdo con este principio, se construyen las integrales básicas.
Determine por la forma del integrando cuál de las integrales de tabla es adecuada en este caso. No siempre es posible determinar esto inmediatamente. A menudo, la forma tabular se vuelve perceptible solo después de varias transformaciones para simplificar el integrando.

Método de sustitución de variables

Si el integrando es una función trigonométrica cuyo argumento es algún polinomio, entonces intente usar el método de cambio de variables. Para hacer esto, reemplace el polinomio en el argumento del integrando con alguna variable nueva. Con base en la razón entre la variable nueva y la antigua, determine los nuevos límites de integración. Al derivar esta expresión, encuentre un nuevo diferencial en . Así recibirás el nuevo tipo la primera integral, cercana o incluso correspondiente a cualquier tabular.

Solución de integrales de segunda clase

Si la integral es una integral del segundo tipo, la forma vectorial del integrando, entonces deberá usar las reglas para pasar de estas integrales a las escalares. Una de esas reglas es la relación Ostrogradsky-Gauss. Esta ley permite pasar del flujo del rotor de alguna función vectorial a una integral triple sobre la divergencia de un campo vectorial dado.

Sustitución de límites de integración

Después de encontrar la antiderivada, es necesario sustituir los límites de integración. Primero, sustituye el valor del límite superior en la expresión de la antiderivada. Recibirás algún número. A continuación, reste del número resultante otro número, el límite inferior resultante de la antiderivada. Si uno de los límites de integración es infinito, entonces al sustituirlo en la función antiderivada, es necesario ir al límite y encontrar a qué tiende la expresión.
Si la integral es bidimensional o tridimensional, tendrás que representar los límites geométricos de integración para entender cómo calcular la integral. De hecho, en el caso de, digamos, una integral tridimensional, los límites de integración pueden ser planos enteros que limitan el volumen a integrar.

(del griego λόγος - "palabra", "relación" y ἀριθμός - "número") números B por razon a(registro α B) se llama tal número C, y B= una c, es decir, log α B=C y b=aC son equivalentes. El logaritmo tiene sentido si a > 0, a ≠ 1, b > 0.

En otras palabras logaritmo números B por razon a formulado como un exponente al que debe elevarse un número a para obtener el número B(el logaritmo existe solo para números positivos).

De esta formulación se sigue que el cálculo x= log α B, es equivalente a resolver la ecuación a x =b.

Por ejemplo:

log 2 8 = 3 porque 8=2 3 .

Observamos que la formulación indicada del logaritmo permite determinar inmediatamente valor del logaritmo cuando el número bajo el signo del logaritmo es una determinada potencia de la base. En efecto, la formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número B por razon a es igual Con. También está claro que el tema del logaritmo está estrechamente relacionado con el tema grado de número.

El cálculo del logaritmo se refiere a logaritmo. Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar un logaritmo, los productos de factores se transforman en sumas de términos.

Potenciación es la operación matemática inversa al logaritmo. Al potenciar, la base dada se eleva a la potencia de la expresión sobre la que se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en el producto de factores.

Muy a menudo se utilizan logaritmos reales con base 2 (binario), número de Euler e ≈ 2,718 (logaritmo natural) y 10 (decimal).

En esta etapa, vale la pena considerar muestras de logaritmos registro 7 2 , en √ 5, lg0.0001.

Y las entradas lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 no tienen sentido, ya que en la primera de ellas se coloca un número negativo bajo el signo del logaritmo, en la segunda - numero negativo en la base, y en el tercero, y un número negativo bajo el signo del logaritmo y una unidad en la base.

Condiciones para determinar el logaritmo.

Vale la pena considerar por separado las condiciones a > 0, a ≠ 1, b > 0. Definición de logaritmo. Consideremos por qué se toman estas restricciones. Esto nos ayudará con una igualdad de la forma x = log α B, llamada la identidad logarítmica básica, que se deriva directamente de la definición del logaritmo dada anteriormente.

Toma la condición a≠1. Como uno es igual a uno elevado a cualquier potencia, entonces la igualdad x=log α B solo puede existir cuando b=1, pero log 1 1 será cualquier número real. Para eliminar esta ambigüedad, tomamos a≠1.

Probemos la necesidad de la condición a>0. En un=0 según la formulación del logaritmo, sólo puede existir cuando b=0. Y luego en consecuencia registro 0 0 puede ser cualquier número real distinto de cero, ya que cero a cualquier potencia distinta de cero es cero. Para eliminar esta ambigüedad, la condición a≠0. Y cuando a<0 tendríamos que rechazar el análisis de los valores racionales e irracionales del logaritmo, ya que el exponente con exponente racional e irracional se define solo para bases no negativas. Es por ello que la condición a>0.

Y la última condición b>0 se sigue de la desigualdad a>0, ya que x=log α B, y el valor del grado con base positiva a siempre positivo.

Características de los logaritmos.

logaritmos caracterizado por distintivos características, lo que llevó a su uso generalizado para facilitar en gran medida los cálculos minuciosos. En la transición "al mundo de los logaritmos", la multiplicación se transforma en una suma mucho más fácil, la división en resta, y la elevación a una potencia y la raíz se transforman en multiplicación y división por exponente, respectivamente.

La formulación de logaritmos y una tabla de sus valores (para funciones trigonométricas) fue publicada por primera vez en 1614 por el matemático escocés John Napier. Las tablas logarítmicas, ampliadas y detalladas por otros científicos, se usaron ampliamente en cálculos científicos y de ingeniería, y siguieron siendo relevantes hasta que comenzaron a usarse calculadoras electrónicas y computadoras.

Seguimos estudiando logaritmos. En este artículo hablaremos de cálculo de logaritmos, este proceso se llama logaritmo. Primero, nos ocuparemos del cálculo de logaritmos por definición. A continuación, considere cómo se encuentran los valores de los logaritmos usando sus propiedades. Después de eso, nos detendremos en el cálculo de logaritmos a través de los valores dados inicialmente de otros logaritmos. Finalmente, aprendamos a usar tablas de logaritmos. Toda la teoría se proporciona con ejemplos con soluciones detalladas.

Navegación de página.

Cálculo de logaritmos por definición

En los casos más simples, es posible realizar rápida y fácilmente encontrar el logaritmo por definición. Echemos un vistazo más de cerca a cómo se lleva a cabo este proceso.

Su esencia es representar el número b en la forma a c , de donde, por la definición del logaritmo, el número c es el valor del logaritmo. Es decir, por definición, encontrar el logaritmo corresponde a la siguiente cadena de igualdades: log a b=log a a c =c .

Entonces, el cálculo del logaritmo, por definición, se reduce a encontrar un número c tal que a c \u003d b, y el número c en sí mismo es el valor deseado del logaritmo.

Dada la información de los párrafos anteriores, cuando el número bajo el signo del logaritmo está dado por algún grado de la base del logaritmo, entonces puede indicar de inmediato a qué es igual el logaritmo: es igual al exponente. Vamos a mostrar ejemplos.

Ejemplo.

Encuentra log 2 2 −3 , y también calcula el logaritmo natural de e 5.3 .

Solución.

La definición del logaritmo nos permite decir de inmediato que log 2 2 −3 = −3 . De hecho, el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base 2 a la potencia −3.

De manera similar, encontramos el segundo logaritmo: lne 5.3 =5.3.

Respuesta:

log 2 2 −3 = −3 y lne 5.3 =5.3 .

Si el número b bajo el signo del logaritmo no se da como la potencia de la base del logaritmo, entonces debe considerar cuidadosamente si es posible llegar a una representación del número b en la forma a c . A menudo esta representación es bastante obvia, especialmente cuando el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base a la potencia de 1, o 2, o 3,...

Ejemplo.

Calcule los logaritmos log 5 25 y .

Solución.

Es fácil ver que 25=5 2 , esto te permite calcular el primer logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Procedemos al cálculo del segundo logaritmo. Un número se puede representar como una potencia de 7: (ver si es necesario). Por eso, .

Reescribamos el tercer logaritmo de la siguiente forma. Ahora puedes ver eso , de donde concluimos que . Por lo tanto, por la definición del logaritmo .

Brevemente, la solución podría escribirse de la siguiente manera:

Respuesta:

logaritmo 5 25=2 , y .

Cuando un número natural suficientemente grande está bajo el signo del logaritmo, entonces no está de más descomponerlo en factores primos. A menudo ayuda representar un número como una potencia de la base del logaritmo y, por lo tanto, calcular este logaritmo por definición.

Ejemplo.

Encuentra el valor del logaritmo.

Solución.

Algunas propiedades de los logaritmos le permiten especificar inmediatamente el valor de los logaritmos. Estas propiedades incluyen la propiedad del logaritmo de uno y la propiedad del logaritmo de un número igual a la base: log 1 1=log a a 0 =0 y log a a=log a a 1 =1 . Es decir, cuando el número 1 o el número a está bajo el signo del logaritmo, igual a la base del logaritmo, entonces en estos casos los logaritmos son 0 y 1, respectivamente.

Ejemplo.

¿Cuáles son los logaritmos y lg10?

Solución.

Como , se sigue de la definición del logaritmo .

En el segundo ejemplo, el número 10 bajo el signo del logaritmo coincide con su base, por lo que el logaritmo decimal de diez es igual a uno, es decir, lg10=lg10 1 =1.

Respuesta:

Y lg10=1 .

Tenga en cuenta que calcular logaritmos por definición (que discutimos en el párrafo anterior) implica el uso de la igualdad log a a p = p , que es una de las propiedades de los logaritmos.

En la práctica, cuando el número bajo el signo del logaritmo y la base del logaritmo se representan fácilmente como potencia de algún número, es muy conveniente utilizar la fórmula , que corresponde a una de las propiedades de los logaritmos. Considere un ejemplo de cómo encontrar el logaritmo, que ilustra el uso de esta fórmula.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de .

Solución.

Respuesta:

.

Las propiedades de los logaritmos no mencionadas anteriormente también se utilizan en el cálculo, pero hablaremos de esto en los siguientes párrafos.

Encontrar logaritmos en términos de otros logaritmos conocidos

La información en este párrafo continúa con el tema del uso de las propiedades de los logaritmos en su cálculo. Pero aquí la principal diferencia es que las propiedades de los logaritmos se utilizan para expresar el logaritmo original en términos de otro logaritmo, cuyo valor se conoce. Tomemos un ejemplo para aclarar. Digamos que sabemos que log 2 3≈1.584963 , entonces podemos encontrar, por ejemplo, log 2 6 haciendo una pequeña transformación usando las propiedades del logaritmo: registro 2 6=registro 2 (2 3)=registro 2 2+registro 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

En el ejemplo anterior, nos bastó con usar la propiedad del logaritmo del producto. Sin embargo, mucho más a menudo tienes que usar un arsenal más amplio de propiedades de logaritmos para calcular el logaritmo original en términos de los dados.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de 27 en base 60 si se sabe que log 60 2=a y log 60 5=b .

Solución.

Entonces necesitamos encontrar log 60 27 . Es fácil ver que 27=3 3 , y el logaritmo original, debido a la propiedad del logaritmo del grado, se puede reescribir como 3·log 60 3 .

Ahora veamos cómo se puede expresar log 60 3 en términos de logaritmos conocidos. La propiedad del logaritmo de un número igual a la base te permite escribir el logaritmo de igualdad 60 60=1 . Por otro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= registro 60 2 2 + registro 60 3 + registro 60 5 = 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . De este modo, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Por eso, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Finalmente, calculamos el logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Respuesta:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Por separado, vale la pena mencionar el significado de la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo de la forma. . Te permite pasar de logaritmos con cualquier base a logaritmos con una base específica, cuyos valores se conocen o es posible encontrarlos. Normalmente, del logaritmo original, según la fórmula de transición, se pasa a logaritmos en una de las bases 2, e o 10, ya que para estas bases existen tablas de logaritmos que permiten calcularlos con cierto grado de precisión. En la siguiente sección, mostraremos cómo se hace esto.

Tablas de logaritmos, su uso.

Para un cálculo aproximado de los valores de los logaritmos, se puede utilizar tablas de logaritmos. Las más utilizadas son la tabla de logaritmos en base 2, la tabla de logaritmos naturales y la tabla de logaritmos decimales. Cuando se trabaja en el sistema numérico decimal, es conveniente utilizar una tabla de logaritmos en base diez. Con su ayuda, aprenderemos a encontrar los valores de los logaritmos.

La tabla presentada permite, con una precisión de una diezmilésima, encontrar los valores de los logaritmos decimales de los números del 1.000 al 9.999 (con tres decimales). Analizaremos el principio de encontrar el valor del logaritmo usando una tabla de logaritmos decimales usando un ejemplo específico: es más claro. Encontremos lg1,256 .

En la columna de la izquierda de la tabla de logaritmos decimales encontramos los dos primeros dígitos del número 1,256, es decir, encontramos 1,2 (este número está rodeado en azul para mayor claridad). El tercer dígito del número 1.256 (número 5) se encuentra en la primera o última línea a la izquierda de la doble línea (este número está encerrado en un círculo rojo). El cuarto dígito del número original 1.256 (número 6) se encuentra en la primera o última línea a la derecha de la doble línea (este número está rodeado por un círculo verde). Ahora encontramos los números en las celdas de la tabla de logaritmos en la intersección de la fila marcada y las columnas marcadas (estos números están resaltados naranja). La suma de los números marcados da el valor deseado del logaritmo decimal hasta el cuarto decimal, es decir, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

¿Es posible, usando la tabla anterior, encontrar los valores de los logaritmos decimales de números que tienen más de tres dígitos después del punto decimal y también van más allá de los límites de 1 a 9.999? Sí tu puedes. Vamos a mostrar cómo se hace esto con un ejemplo.

Calculemos lg102.76332 . primero tienes que escribir número en forma estándar: 102,76332=1,0276332 10 2 . Después de eso, la mantisa debe redondearse al tercer decimal, tenemos 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mientras que el logaritmo decimal original es aproximadamente igual al logaritmo del número resultante, es decir, tomamos lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Ahora aplica las propiedades del logaritmo: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Finalmente encontramos el valor del logaritmo lg1.028 según la tabla de logaritmos decimales lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Como resultado, todo el proceso de cálculo del logaritmo se ve así: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

En conclusión, vale la pena señalar que al usar la tabla de logaritmos decimales, puede calcular el valor aproximado de cualquier logaritmo. Para hacer esto, basta con usar la fórmula de transición para ir a logaritmos decimales, encontrar sus valores en la tabla y realizar los cálculos restantes.

Por ejemplo, calculemos log 2 3 . De acuerdo con la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo, tenemos . De la tabla de logaritmos decimales encontramos lg3≈0.4771 y lg2≈0.3010. De este modo, .

Bibliografía.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los comienzos del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas generales.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas).

Uno de los elementos del álgebra de nivel primitivo es el logaritmo. El nombre proviene del idioma griego de la palabra "número" o "grado" y significa el grado en que es necesario elevar el número en la base para encontrar el número final.

tipos de logaritmos

• log a b es el logaritmo del número b en base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - logaritmo decimal (logaritmo base 10, a = 10);
• ln b - logaritmo natural (logaritmo base e, a = e).

¿Cómo resolver logaritmos?

El logaritmo del número b en base a es un exponente, lo que requiere que la base a se eleve al número b. El resultado se pronuncia así: “logaritmo de b en base a a”. La solución a los problemas logarítmicos es que necesitas determinar el grado dado por los números por los números especificados. Existen algunas reglas básicas para determinar o resolver el logaritmo, así como para transformar la notación misma. Con ellos se resuelven ecuaciones logarítmicas, se encuentran derivadas, se resuelven integrales y se realizan muchas otras operaciones. Básicamente, la solución del logaritmo en sí es su notación simplificada. A continuación se muestran las principales fórmulas y propiedades:

Para cualquier a ; a > 0; a ≠ 1 y para cualquier x ; y > 0.

• a log a b = b es la identidad logarítmica básica
• registrar un 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , para k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - fórmula para la transición a una nueva base
• log a x = 1/log x a

Cómo resolver logaritmos: instrucciones paso a paso para resolver

• Primero, escribe la ecuación requerida.

Tenga en cuenta: si el logaritmo base es 10, entonces el registro se acorta, se obtiene un logaritmo decimal. Si hay un número natural e, entonces lo escribimos, reduciéndolo a un logaritmo natural. Significa que el resultado de todos los logaritmos es la potencia a la que se eleva el número base para obtener el número b.

Directamente, la solución está en el cálculo de este grado. Antes de resolver una expresión con un logaritmo, se debe simplificar según la regla, es decir, usando fórmulas. Puede encontrar las principales identidades retrocediendo un poco en el artículo.

Al sumar y restar logaritmos con dos números diferentes pero con la misma base, reemplazar con un solo logaritmo con el producto o división de los números b y c, respectivamente. En este caso, puede aplicar la fórmula de transición a otra base (ver arriba).

Si usa expresiones para simplificar el logaritmo, debe tener en cuenta algunas limitaciones. Y eso es: la base del logaritmo a es solo un número positivo, pero no igual a uno. El número b, como a, debe ser mayor que cero.

Hay casos en los que, al simplificar la expresión, no podrá calcular el logaritmo en forma numérica. Sucede que tal expresión no tiene sentido, porque muchos grados son números irracionales. Bajo esta condición, deja la potencia del número como un logaritmo.

Se dan las principales propiedades del logaritmo natural, gráfico, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, desarrollo en serie de potencias y representación de la función ln x mediante números complejos.

Definición

logaritmo natural es la función y = en x, inversa al exponente, x \u003d e y , y que es el logaritmo en base al número e: ln x = log e x.

El logaritmo natural se usa mucho en matemáticas porque su derivada tiene la forma más simple: (ln x)′ = 1/ x.

Establecido definiciones, la base del logaritmo natural es el número mi:
mi ≅ 2.718281828459045...;
.

Gráfica de la función y = en x.

Gráfica del logaritmo natural (funciones y = en x) se obtiene a partir de la gráfica del exponente por reflexión especular sobre la recta y = x .

El logaritmo natural se define para valores positivos de x. Crece monótonamente en su dominio de definición.

Como x → 0 el límite del logaritmo natural es menos infinito ( - ∞ ).

Como x → + ∞, el límite del logaritmo natural es más infinito ( + ∞ ). Para x grande, el logaritmo aumenta con bastante lentitud. Cualquier función de potencia x a con un exponente positivo a crece más rápido que el logaritmo.

Propiedades del logaritmo natural

Dominio de definición, conjunto de valores, extremos, aumento, disminución

El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo natural se presentan en la tabla.

en valores de x

registro 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturales

Fórmulas derivadas de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo de base

Cualquier logaritmo se puede expresar en términos de logaritmos naturales utilizando la fórmula de cambio de base:

Las pruebas de estas fórmulas se presentan en la sección "Logaritmo".

Función inversa

El recíproco del logaritmo natural es el exponente.

si, entonces

Si, entonces.

Derivada ln x

Derivada del logaritmo natural:
.
Derivada del logaritmo natural del módulo x:
.
Derivada de orden n:
.
Derivación de fórmulas > > >

Integral

La integral se calcula por integración por partes:
.
Entonces,

Expresiones en términos de números complejos

Considere una función de una variable compleja z :
.
Expresemos la variable compleja z a través del módulo r y argumento φ :
.
Usando las propiedades del logaritmo, tenemos:
.
O
.
El argumento φ no está definido de manera única. si ponemos
, donde n es un número entero,
entonces será el mismo número para diferentes n.

Por lo tanto, el logaritmo natural, como función de una variable compleja, no es una función de un solo valor.

Expansión de la serie de potencia

Para , la expansión tiene lugar:

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.

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