Derivación de fórmulas trigonométricas. Seno, coseno, tangente: ¿qué es? Cómo encontrar seno, coseno y tangente

Datos de referencia para tangente (tg x) y cotangente (ctg x). Definición geométrica, propiedades, gráficos, fórmulas. Tabla de tangentes y cotangentes, derivadas, integrales, expansiones de series. Expresiones en términos de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.

Definición geométrica

| BD | - la longitud del arco de un círculo centrado en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.

Tangente ( tg α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto | BC | a la longitud del cateto adyacente | AB | ...

Cotangente ( ctg α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente | AB | a la longitud del cateto opuesto | BC | ...

Tangente

Dónde norte- entero.

En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
;
;
.

Gráfica de la función tangente, y = tg x

Cotangente

Dónde norte- entero.

En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se adoptan las siguientes designaciones:
;
;
.

Gráfico de la función cotangente, y = ctg x

Propiedades tangentes y cotangentes

Periodicidad

Funciones y = tg x y y = ctg x periódica con un período de π.

Paridad

Las funciones tangente y cotangente son impares.

Dominios y valores, aumentando, disminuyendo

Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver la prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).

	y = tg x	y = ctg x
Dominio de definición y continuidad
Rango de valores	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendente		-
Descendiendo	-
Extremos	-	-
Ceros, y = 0
Puntos de intersección con el eje y, x = 0	y = 0	-

Fórmulas

Expresiones en términos de seno y coseno

; ;
; ;
;

Fórmulas para tangente y cotangente de suma y diferencia

El resto de fórmulas son fáciles de obtener, por ejemplo

Producto de tangentes

Fórmula para la suma y diferencia de tangentes.

Esta tabla muestra los valores de tangentes y cotangentes para algunos valores del argumento.

Expresiones en términos de números complejos

Expresiones en términos de funciones hiperbólicas.

;
;

Derivados

; .

.
Derivada de n-ésimo orden con respecto a la variable x de la función:
.
Derivación de fórmulas para tangente >>>; para cotangente >>>

Integrales

Expansiones de series

Para obtener una expansión de la tangente en potencias de x, necesitas tomar varios términos de la expansión en una serie de potencias para las funciones pecado x y cos x y dividir estos polinomios entre sí. Esto produce las siguientes fórmulas.

A .

a .
dónde B n- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
dónde .
O según la fórmula de Laplace:

Funciones inversas

Las funciones inversas de tangente y cotangente son arco tangente y arco cotangente, respectivamente.

Arctangent, arctg

, dónde norte- entero.

Arccotangente, arcctg

, dónde norte- entero.

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de instituciones técnicas, "Lan", 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.

- Ciertamente habrá tareas en trigonometría. La trigonometría a menudo es desagradable por la necesidad de abarrotar una gran cantidad de fórmulas difíciles repletas de senos, cosenos, tangentes y cotangentes. El sitio ya dio una vez consejos sobre cómo recordar una fórmula olvidada, utilizando las fórmulas de Euler y Peel como ejemplos.

Y en este artículo intentaremos demostrar que basta con conocer con firmeza solo cinco de las fórmulas trigonométricas más simples, y tener una idea general del resto y derivarlas a lo largo del camino. Es como con el ADN: una molécula no almacena planos completos de una criatura viviente terminada. Más bien, contiene instrucciones para ensamblarlo a partir de los aminoácidos disponibles. Entonces en trigonometría, conociendo algunos principios generales, obtendremos todas las fórmulas necesarias de un pequeño conjunto de las que hay que tener en cuenta.

Nos basaremos en las siguientes fórmulas:

A partir de las fórmulas para el seno y el coseno de las sumas, conociendo la paridad de la función coseno y la rareza de la función seno, sustituyendo -b en lugar de b, obtenemos las fórmulas para las diferencias:

1. Seno de la diferencia: pecado(a-b) = pecadoaporque(-B)+porqueapecado(-B) = pecadoaporqueB-porqueapecadoB
2. El coseno de la diferencia: porque(a-b) = porqueaporque(-B)-pecadoapecado(-B) = porqueaporqueB+pecadoapecadoB

Suponiendo a = b las mismas fórmulas, obtenemos las fórmulas para el seno y el coseno de los ángulos dobles:

1. Seno de doble ángulo: pecado2a = pecado(a + a) = pecadoaporquea+porqueapecadoa = 2pecadoaporquea
2. Coseno de doble ángulo: porque2a = porque(a + a) = porqueaporquea-pecadoapecadoa = porque2 a-pecado2 a

Las fórmulas para otros ángulos múltiples se obtienen de forma similar:

1. Seno de triple ángulo: pecado3a = pecado(2a + a) = pecado2aporquea+porque2apecadoa = (2pecadoaporquea)porquea+(porque2 a-pecado2 a)pecadoa = 2pecadoaporque2 a+pecadoaporque2 a-pecado 3 a = 3 pecadoaporque2 a-pecado 3 a = 3 pecadoa(1-pecado2 a)-pecado 3 a = 3 pecadoa-4pecado 3 a
2. Coseno de triple ángulo: porque3a = porque(2a + a) = porque2aporquea-pecado2apecadoa = (porque2 a-pecado2 a)porquea-(2pecadoaporquea)pecadoa = porque 3 a- pecado2 aporquea-2pecado2 aporquea = porque 3 a-3 pecado2 aporquea = porque 3 a-3 (1- porque2 a)porquea = 4porque 3 a-3 porquea

Antes de continuar, veamos un problema.
Dado: el ángulo es agudo.
Encuentra su coseno si
Solución dada por un estudiante:
Porque , luego pecadoa= 3, y porquea = 4.
(Del humor matemático)

Entonces, la definición de la tangente conecta esta función tanto con el seno como con el coseno. Pero puede obtener una fórmula que proporcione la relación de la tangente solo con el coseno. Para derivarlo, tomamos la identidad trigonométrica básica: pecado 2 a+porque 2 a= 1 y dividirlo por porque 2 a... Obtenemos:

Entonces la solución a este problema será:

(Dado que el ángulo es agudo, se toma el signo + al extraer la raíz)

La fórmula de la tangente de la suma es otra difícil de recordar. Mostrémoslo así:

Inmediatamente mostrado y

A partir de la fórmula del coseno de doble ángulo, puede obtener las fórmulas del seno y el coseno para la mitad. Para hacer esto, al lado izquierdo de la fórmula del coseno de doble ángulo:
porque2 a = porque 2 a-pecado 2 a
agregamos uno, y a la derecha, una unidad trigonométrica, es decir la suma de los cuadrados del seno y el coseno.
porque2a+1 = porque2 a-pecado2 a+porque2 a+pecado2 a
2porque 2 a = porque2 a+1
Expresando porquea a través de porque2 a y realizando el cambio de variables, obtenemos:

El signo se toma según el cuadrante.

De manera similar, restando uno del lado izquierdo de la igualdad y del lado derecho, la suma de los cuadrados del seno y el coseno, obtenemos:
porque2a-1 = porque2 a-pecado2 a-porque2 a-pecado2 a
2pecado 2 a = 1-porque2 a

Y finalmente, para transformar la suma de funciones trigonométricas en un producto, usamos la siguiente técnica. Digamos que necesitamos representar la suma de senos como un producto pecadoa+pecadoB... Introduzcamos las variables xey tales que a = x + y, b + x-y. Luego
pecadoa+pecadoB = pecado(x + y) + pecado(x-y) = pecado X porque y + porque X pecado y + pecado X porque y- porque X pecado y = 2 pecado X porque y. Expresemos ahora xey en términos de ay b.

Dado que a = x + y, b = x-y, entonces. Es por eso

Puede retirarse inmediatamente

1. Fórmula de partición productos de seno y coseno v la suma: pecadoaporqueB = 0.5(pecado(a + b)+pecado(a-b))

Le recomendamos que practique y obtenga sus propias fórmulas para convertir al producto de la diferencia de senos y la suma y diferencia de cosenos, así como para dividir en la suma de los productos de senos y cosenos. Después de completar estos ejercicios, dominará a fondo la habilidad de derivar fórmulas trigonométricas y no se perderá ni siquiera en los controles, olimpiadas o pruebas más difíciles.

No te convenceré de que no escribas hojas de trucos. ¡Escribir! Incluyendo y trucos sobre trigonometría. Más adelante, planeo explicar por qué se necesitan las hojas de trucos y por qué son útiles las hojas de trucos. Y aquí, información sobre cómo no aprender, pero recuerde algunas fórmulas trigonométricas. Entonces, ¡trigonometría sin una hoja de trucos! Usamos asociaciones para la memorización.

1. Fórmulas de suma:

los cosenos siempre "van en pares": coseno-coseno, seno-seno. Y una cosa más: los cosenos son "inadecuados". No son "así", por lo que cambian los signos: "-" a "+", y viceversa.

Senos - "mezcla": seno coseno, coseno seno.

2. Fórmulas para suma y diferencia:

los cosenos siempre "van en pares". Añadiendo dos cosenos - "koloboks", obtenemos un par de cosenos - "koloboks". Y después de restar, definitivamente no obtendremos koloboks. Obtenemos un par de senos. También con un signo menos por delante.

Senos - "mezcla" :

3. Fórmulas para convertir un producto en una suma y una diferencia.

¿Cuándo obtenemos un par de cosenos? Cuando sumamos los cosenos. Es por eso

¿Cuándo tenemos un par de senos nasales? Al restar cosenos. Por eso:

La "mezcla" se obtiene tanto al sumar como al restar senos. ¿Qué es mejor: sumar o restar? Eso es correcto, doble. Y para la fórmula, se suman:

En la primera y tercera fórmulas, la suma está entre paréntesis. La suma no cambia de la reordenación de los lugares de los términos. El orden es fundamental solo para la segunda fórmula. Pero, para no confundirnos, para facilitar la memorización, en las tres fórmulas del primer paréntesis tomamos la diferencia

y en segundo lugar, la cantidad

Las hojas de trucos en su bolsillo le dan tranquilidad: si olvida la fórmula, puede cancelarla. Y te dan confianza: si no logras usar la hoja de trucos, las fórmulas se pueden recordar fácilmente.

Los conceptos de seno (), coseno (), tangente (), cotangente () están indisolublemente ligados al concepto de ángulo. Para comprender bien estos, a primera vista, conceptos complejos (que causan horror en muchos escolares), y para asegurarnos de que "el diablo no es tan terrible como lo pintan", comencemos desde el principio y entendamos el concepto de ángulo.

Concepto de ángulo: radianes, grados

Echemos un vistazo a la imagen. El vector "giró" con relación al punto en una cierta cantidad. Entonces, la medida de esta rotación relativa a la posición inicial será inyección.

¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, por supuesto, ¡unidades angulares!

El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.

Un ángulo en (un grado) se llama esquina central en un círculo, descansando sobre un arco circular igual a parte del círculo. Por lo tanto, todo el círculo consta de "piezas" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es igual a.

Es decir, la imagen de arriba muestra un ángulo igual, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular con el tamaño de la circunferencia.

Un ángulo en radianes es el ángulo central de un círculo que descansa sobre un arco circular cuya longitud es igual al radio del círculo. Bueno, lo averiguaste? Si no es así, averigüémoslo dibujando.

Entonces, la figura muestra un ángulo igual a un radianes, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud es igual a la longitud o radio igual a la longitud arcos). Por lo tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:

¿Dónde está el ángulo central en radianes?

Bueno, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene el ángulo descrito por el círculo? Sí, para esto debes recordar la fórmula de la circunferencia. Ahí está ella:

Bueno, ahora relacionemos estas dos fórmulas y obtengamos que el ángulo descrito por el círculo es igual. Es decir, correlacionando el valor en grados y radianes, obtenemos eso. Respectivamente,. Como puede ver, a diferencia de "grados", la palabra "radianes" se omite porque la unidad suele ser clara en el contexto.

¿Cuántos radianes hay? ¡Eso es correcto!

¿Entiendo? Entonces arregla adelante:

¿Tienes dificultades? Entonces mira las respuestas:

Triángulo de ángulo recto: seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo

Entonces, descubrimos el concepto de ángulo. Pero, ¿qué es seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo después de todo? Vamos a averiguarlo. Para ello, nos ayudará un triángulo rectángulo.

¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, la hipotenusa y los catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo, este es el lado); los catetos son los dos lados restantes y (los que están adyacentes al ángulo recto), además, si consideramos los catetos en relación con el ángulo, entonces el cateto es el cateto adyacente y el cateto es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?

Ángulo sinusoidal es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo.

Coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo.

Tangente de ángulo es la relación entre la pierna opuesta (distante) y la pierna adyacente (cercana).

En nuestro triángulo.

Cotangente de ángulo es la relación entre la pierna adyacente (cercana) y la pierna opuesta (distante).

En nuestro triángulo.

Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe darse cuenta claramente de que en tangente y cotangense sólo las piernas se sientan, y la hipotenusa aparece sólo en seno y coseno... Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:

Coseno → toque → toque → adyacente;

Cotangente → toque → toque → adyacente.

En primer lugar, es necesario recordar que seno, coseno, tangente y cotangente como razones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en un ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrese de mirar la imagen:

Considere, por ejemplo, el coseno de un ángulo. Por definición, a partir de un triángulo :, pero podemos calcular el coseno de un ángulo a partir de un triángulo :. Verá, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Por tanto, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.

Si descubrió las definiciones, ¡adelante y corríjalas!

Para el triángulo que se muestra en la figura siguiente, encuentre.

Bueno, ¿entendido? Entonces pruébelo usted mismo: cuente lo mismo para la esquina.

Círculo unitario (trigonométrico)

Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a. Tal círculo se llama soltero... Resulta muy útil para aprender trigonometría. Por lo tanto, detengámonos en ello con un poco más de detalle.

Como puede ver, este círculo está construido en un sistema de coordenadas cartesiano. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen, la posición inicial del vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje (en nuestro ejemplo, este es el radio).

Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada a lo largo del eje y la coordenada a lo largo del eje. ¿Y qué son estos números-coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema en cuestión? Para hacer esto, debe recordar sobre el triángulo rectángulo considerado. En la imagen de arriba, puedes ver dos triángulos enteros en ángulo recto. Considere un triángulo. Es rectangular ya que es perpendicular al eje.

¿A qué es igual el triángulo? Eso está bien. Además, sabemos que - es el radio del círculo unitario y, por lo tanto,. Sustituye este valor en nuestra fórmula de coseno. Esto es lo que sucede:

¿Y qué es igual a del triángulo? ¡Bueno, por supuesto! Sustituya el valor del radio en esta fórmula y obtenga:

Entonces, ¿puedes decirnos cuáles son las coordenadas de un punto que pertenece a un círculo? Bueno, de ninguna manera? ¿Y si te das cuenta de eso y son solo números? ¿A qué coordenada corresponde? Bueno, por supuesto, ¡la coordenada! ¿Y a qué coordenada corresponde? Eso es correcto, coordina! Entonces el punto.

¿Y entonces qué son iguales a y? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso, a.

¿Y si el ángulo es mayor? Aquí, por ejemplo, como en esta figura:

¿Qué ha cambiado en este ejemplo? Vamos a averiguarlo. Para hacer esto, vuelva a girar hacia un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo: esquina (como adyacente a la esquina). ¿Cuál es el valor de seno, coseno, tangente y cotangente para un ángulo? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:

Bueno, como puede ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada; el valor del coseno del ángulo - coordenada; y los valores de la tangente y cotangente a las proporciones correspondientes. Por lo tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector de radio.

Ya se mencionó que la posición inicial del vector de radio es a lo largo de la dirección positiva del eje. Hasta ahora hemos rotado este vector en sentido antihorario, pero ¿y si lo rotamos en sentido horario? Nada extraordinario, también resultará un ángulo de cierta magnitud, pero solo será negativo. Por lo tanto, cuando gira el vector de radio en sentido antihorario, obtiene ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj - negativo.

Entonces, sabemos que toda la revolución del vector de radio en un círculo es o. ¿Es posible rotar el vector de radio por o por? ¡Por supuesto que puede! En el primer caso, por tanto, el vector de radio hará una revolución completa y se detendrá en la posición o.

En el segundo caso, es decir, el vector de radio hará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición o.

Por lo tanto, a partir de los ejemplos anteriores, podemos concluir que los ángulos que difieren en o (donde es cualquier número entero) corresponden a la misma posición del vector de radio.

La siguiente imagen muestra el ángulo. La misma imagen corresponde a la esquina, etc. La lista sigue y sigue. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general o (donde es un número entero)

Ahora, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y usando el círculo unitario, intente responder a qué son iguales los valores:

Aquí hay un círculo de unidad para ayudarlo:

¿Tienes dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces, sabemos que:

A partir de aquí, determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas del ángulo. Bueno, comencemos en orden: la esquina corresponde a un punto con coordenadas, por lo tanto:

No existe;

Además, siguiendo la misma lógica, encontramos que las esquinas en corresponden a puntos con coordenadas, respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de las funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero, luego verifique las respuestas.

Respuestas:

No existe

No existe

No existe

No existe

Así, podemos elaborar la siguiente tabla:

No es necesario recordar todos estos significados. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:

Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y, dados en la siguiente tabla, necesito recordar:

No tengas miedo, ahora te mostraremos uno de los ejemplos. memorización bastante sencilla de los valores correspondientes:

Para usar este método, es vital recordar los valores del seno para las tres medidas del ángulo (), así como el valor de la tangente del ángulo en. Conociendo estos valores, es bastante fácil restaurar toda la tabla como un todo: los valores de coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:

Sabiendo esto, puede restaurar los valores de. El numerador "" coincidirá y el denominador "" coincidirá. Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas de la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con flechas, será suficiente recordar todos los valores de la tabla.

Coordenadas de puntos en un círculo

¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo, conociendo las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación?

¡Bueno, por supuesto que puedes! Vamos a traer fórmula general para encontrar las coordenadas de un punto.

Aquí, por ejemplo, tenemos un círculo de este tipo:

Se nos da que el punto es el centro del círculo. El radio del círculo es. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenidas girando el punto en grados.

Como puede ver en la figura, la longitud del segmento corresponde a la coordenada del punto. La longitud del segmento corresponde a la coordenada del centro del círculo, es decir, es igual a. La longitud de un segmento se puede expresar usando la definición de coseno:

Entonces tenemos eso para el punto la coordenada.

Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto. Por lo tanto,

Así que en vista general las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:

Coordenadas del centro del círculo,

Radio del círculo,

El ángulo de rotación del radio del vector.

Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son iguales a cero y el radio es igual a uno:

Bueno, ¿probaremos estas fórmulas practicando la búsqueda de puntos en un círculo?

1. Encuentra las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenidas al girar el punto en.

2. Encuentra las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenidas al girar el punto en.

3. Encuentra las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenidas al girar el punto en.

4. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenidas al rotar el vector de radio inicial en.

5. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenidas al rotar el vector de radio inicial en.

¿Tiene problemas para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo?

Resuelva estos cinco ejemplos (o comprenda bien la solución) y aprenderá a encontrarlos.

1.

Puedes ver eso. Pero sabemos lo que corresponde a una revolución completa del punto de partida. Así, el punto deseado estará en la misma posición que cuando se gira. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:

2. El círculo es una unidad con un centro en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Puedes ver eso. Sabemos lo que corresponde a dos revoluciones completas del punto de partida. Así, el punto deseado estará en la misma posición que cuando se gira. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:

El seno y el coseno son valores tabulares. Recordamos sus significados y obtenemos:

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

3. El círculo es una unidad con un centro en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Puedes ver eso. Representemos el ejemplo considerado en la figura:

El radio forma ángulos con el eje igual ay. Sabiendo que los valores tabulares del coseno y del seno son iguales, y habiendo determinado que el coseno aquí toma un valor negativo y el seno es positivo, tenemos:

Ejemplos similares se analizan con más detalle al estudiar las fórmulas para convertir funciones trigonométricas en el tema.

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

4.

El ángulo de rotación del radio del vector (por condición,)

Para determinar los signos correspondientes del seno y el coseno, construimos el círculo unitario y el ángulo:

Como puede ver, el valor, es decir, positivo, y el valor, es decir, negativo. Conociendo los valores tabulares de las funciones trigonométricas correspondientes, obtenemos que:

Sustituye los valores obtenidos en nuestra fórmula y encuentra las coordenadas:

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

5. Para resolver este problema, usaremos fórmulas en forma general, donde

Las coordenadas del centro del círculo (en nuestro ejemplo,

Radio del círculo (por condición)

El ángulo de rotación del radio del vector (por condición,).

Sustituye todos los valores en la fórmula y obtén:

y - valores tabulares. Los recordamos y los sustituimos en la fórmula:

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

El seno del ángulo es la razón del cateto opuesto (lejano) a la hipotenusa.

El coseno del ángulo es la razón del cateto adyacente (cercano) a la hipotenusa.

La tangente del ángulo es la relación entre el lado opuesto (lejano) y el lado adyacente (cercano).

La cotangente de un ángulo es la razón del lado adyacente (cercano) al lado opuesto (lejano).

En este artículo, analizaremos en profundidad. Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y le permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través del otro conocido.

Enumeremos inmediatamente las principales identidades trigonométricas, que analizaremos en este artículo. Anotémoslas en la tabla, ya continuación damos la derivación de estas fórmulas y proporcionamos las explicaciones necesarias.

Navegación de página.

Relación entre seno y coseno de un ángulo

A veces no hablan de las identidades trigonométricas básicas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola identidad trigonométrica básica del tipo ... La explicación de este hecho es bastante simple: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica principal después de dividir sus dos partes por y, respectivamente, y las igualdades y se siguen de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.

Es decir, de especial interés es precisamente la igualdad, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica básica.

Antes de probar la identidad trigonométrica básica, demos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.

La identidad trigonométrica básica se usa con mucha frecuencia cuando convertir expresiones trigonométricas... Permite que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo sea reemplazada por uno. No menos a menudo, la identidad trigonométrica básica también se usa en orden inverso: la unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo.

Tangente y cotangente en términos de seno y coseno

Identidades que conectan la tangente y la cotangente con el seno y el coseno de un ángulo de la forma y se siguen inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la razón de la ordenada a la abscisa, es decir, , y la cotangente es la relación entre la abscisa y la ordenada, es decir, .

Debido a esta obviedad de las identidades y a menudo, las definiciones de tangente y cotangente no se dan a través de la relación entre las abscisas y las ordenadas, sino a través de la relación entre el seno y el coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón del seno al coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón del coseno al seno.

Como conclusión de este párrafo, cabe señalar que las identidades y se mantiene para todos los ángulos para los que las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido. Entonces, la fórmula es válida para cualquier otro que (de lo contrario, habrá cero en el denominador y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todos los demás que, donde z es cualquiera.

Relación entre tangente y cotangente

Una identidad trigonométrica aún más obvia que las dos anteriores es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma. ... Está claro que tiene lugar para cualquier ángulo distinto de, de lo contrario, la tangente o la cotangente no están definidas.

Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de donde ... La prueba podría haberse llevado a cabo de forma un poco diferente. Desde y , luego .

Entonces, la tangente y cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido es.

Artículo anterior: Pupilas constreñidas - ¿que significa? Artículo siguiente: Cateterismo vesical con catéter blando