Cómo calcular el área de un segmento de un círculo. Como calcular el area de un segmento y el area de un segmento de una esfera. Dada la longitud del arco L y el ángulo central φ

El área de un segmento circular es igual a la diferencia entre el área del sector circular correspondiente y el área del triángulo formado por los radios del sector correspondiente al segmento y la cuerda que delimita el segmento.

Ejemplo 1

La longitud de la cuerda que subtiende el círculo es igual a a. La medida en grados del arco correspondiente a la cuerda es de 60°. Encuentra el área del segmento circular.

Solución

Un triángulo formado por dos radios y una cuerda es isósceles, por lo que la altura trazada desde el vértice del ángulo central al lado del triángulo formado por la cuerda será también la bisectriz del ángulo central, dividiéndola por la mitad y la mediana , dividiendo la cuerda por la mitad. Sabiendo que el seno del ángulo β es igual a la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa, podemos calcular el valor del radio:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, donde h es la altura trazada desde la parte superior del ángulo central hasta la cuerda. Por el teorema de Pitágoras h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

En consecuencia, S▲=√3/4*a².

El área del segmento, calculada como Sceg = Sc - S▲, es igual a:

Seg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Sustituyendo valor numérico en lugar del valor a, puede calcular fácilmente el valor numérico del área del segmento.

Ejemplo 2

El radio del círculo es igual a a. La medida en grados del arco correspondiente al segmento es 60°. Encuentra el área del segmento circular.

Solución:

El área del sector correspondiente a un ángulo dado se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

Sc = π²/360°*60° = πa²/6,

El área del triángulo correspondiente al sector se calcula de la siguiente manera:

S▲=1/2*ah, donde h es la altura trazada desde la parte superior del ángulo central hasta la cuerda. Por el teorema de Pitágoras h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

En consecuencia, S▲=√3/4*a².

Y finalmente, el área del segmento, calculada como Sceg = Sc - S▲, es igual a:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Las soluciones en ambos casos son casi idénticas. Por lo tanto, podemos concluir que, en el caso más simple, para calcular el área de un segmento, es suficiente conocer el valor del ángulo correspondiente al arco del segmento y uno de los dos parámetros, ya sea el radio del segmento. círculo o la longitud de la cuerda que subtiende el arco del círculo que forma el segmento.

El círculo, sus partes, sus tamaños y proporciones son cosas que el joyero encuentra constantemente. Anillos, pulseras, castas, tubos, bolas, espirales: hay que hacer muchas cosas redondas. ¿Cómo puedes calcular todo esto, especialmente si tuviste la suerte de saltarte las lecciones de geometría en la escuela?...

Primero veamos qué partes tiene el círculo y cómo se llaman.

• Un círculo es una línea que encierra un círculo.
• Un arco es parte de un círculo.
• Un radio es un segmento de línea que conecta el centro de un círculo con un punto en el círculo.
• Una cuerda es un segmento de línea que conecta dos puntos en un círculo.
• Un segmento es una parte de un círculo delimitado por una cuerda y un arco.
• Un sector es una parte de un círculo delimitado por dos radios y un arco.

Las cantidades que nos interesan y sus designaciones:

Ahora veamos qué tareas relacionadas con las partes del círculo hay que resolver.

• Encuentre la longitud del desarrollo de cualquier parte del anillo (pulsera). Dado el diámetro y la cuerda (opción: diámetro y ángulo central), encuentra la longitud del arco.
• Hay un dibujo en el plano, debe averiguar su tamaño en proyección después de doblarse en un arco. Dada la longitud del arco y el diámetro, encuentre la longitud de la cuerda.
• Averigüe la altura de una pieza obtenida al doblar una pieza de trabajo plana en un arco. Opciones de datos iniciales: longitud de arco y diámetro, longitud de arco y cuerda; encontrar la altura del segmento.

La vida sugerirá otros ejemplos, y los di solo para mostrar la necesidad de establecer dos parámetros cualesquiera para encontrar todos los demás. Eso es lo que vamos a hacer. Es decir, tomamos cinco parámetros de segmento: D, L, X, φ y H. Luego, eligiendo todos los pares posibles de ellos, los consideraremos como datos iniciales y encontraremos el resto mediante una lluvia de ideas.

Para no agobiar al lector en vano, no daré soluciones detalladas, sino que solo daré resultados en forma de fórmulas (discutiré aquellos casos en los que no haya una solución formal en el camino).

Y una observación más: sobre las unidades de medida. Todas las cantidades, excepto el ángulo central, se miden en las mismas unidades abstractas. Esto significa que si, por ejemplo, especifica un valor en milímetros, entonces no es necesario especificar el otro en centímetros, y los valores resultantes se medirán en los mismos milímetros (y las áreas en milímetros cuadrados) . Lo mismo puede decirse de pulgadas, pies y millas náuticas.

Y solo el ángulo central en todos los casos se mide en grados y nada más. Porque, como muestra la práctica, las personas que diseñan algo redondo no tienden a medir ángulos en radianes. La frase "el ángulo de pi por cuatro" confunde a muchos, mientras que el "ángulo de cuarenta y cinco grados" es comprensible para todos, ya que está solo cinco grados por encima de la norma. Sin embargo, en todas las fórmulas habrá un ángulo más - α - como valor intermedio. En términos de significado, esto es la mitad del ángulo central, medido en radianes, pero no puedes profundizar en este significado con seguridad.

1. Se dan el diámetro D y la longitud del arco L

; longitud de cuerda ;
altura del segmento ; esquina central .

2. Se dan el diámetro D y la longitud de la cuerda X

; longitud de arco;
altura del segmento ; esquina central .

Como la cuerda divide la circunferencia en dos segmentos, este problema no tiene una, sino dos soluciones. Para obtener el segundo, debe reemplazar el ángulo α con el ángulo en las fórmulas anteriores.

3. Se dan el diámetro D y el ángulo central φ

; longitud de arco;
longitud de cuerda ; altura del segmento .

4. Dado el diámetro D y la altura del segmento H

; longitud de arco;
longitud de cuerda ; esquina central .

6. Dada la longitud del arco L y el ángulo central φ

; diámetro ;
longitud de cuerda ; altura del segmento .

8. Dada la longitud de la cuerda X y el ángulo central φ

; longitud de arco ;
diámetro ; altura del segmento .

9. Dada la longitud de la cuerda X y la altura del segmento H

; longitud de arco ;
diámetro ; esquina central .

10. Dado el ángulo central φ y la altura del segmento H

; diámetro ;
longitud de arco; longitud de cuerda .

El lector atento no pudo evitar notar que se me escaparon dos opciones:

5. Dada la longitud del arco L y la longitud de la cuerda X

7. Dada la longitud del arco L y la altura del segmento H

Estos son solo esos dos casos desagradables en los que el problema no tiene una solución que pueda escribirse en forma de fórmula. Y la tarea no es tan rara. Por ejemplo, tiene una pieza plana de longitud L y desea doblarla para que su longitud se convierta en X (o su altura se convierta en H). ¿Qué diámetro tomar un mandril (travesaño)?

Esta tarea se reduce a resolver las ecuaciones:
; - en la opción 5
; - en la opción 7
y aunque no se resuelven analíticamente, se resuelven fácilmente programáticamente. E incluso sé dónde conseguir dicho programa: en este mismo sitio, bajo el nombre . Todo lo que cuento aquí extensamente, lo hace en microsegundos.

Para completar la imagen, agreguemos a los resultados de nuestros cálculos la circunferencia y tres valores de áreas: un círculo, un sector y un segmento. (Las áreas nos ayudarán mucho al calcular la masa de cualquier parte redonda y semicircular, pero más sobre eso en un artículo separado). Todas estas cantidades se calculan usando las mismas fórmulas:

circunferencia ;
area de un circulo ;
área de sector ;
área del segmento ;

Y en conclusión, permítanme recordarles una vez más la existencia de absolutamente programa gratis, que realiza todos los cálculos anteriores, liberándote de tener que recordar qué es el arco tangente y dónde buscarlo.

Inicialmente se ve así:

Figura 463.1. a) el arco existente, b) determinación de la longitud y altura de la cuerda del segmento.

Así, cuando hay un arco, podemos conectar sus extremos y obtener una cuerda de longitud L. En el medio de la cuerda podemos trazar una línea perpendicular a la cuerda y así obtener la altura del segmento H. Ahora, conociendo el longitud de la cuerda y la altura del segmento, primero podemos determinar el ángulo central α, es decir el ángulo entre los radios trazados desde el principio y el final del segmento (no mostrado en la Figura 463.1), y luego el radio del círculo.

La solución de tal problema se consideró con suficiente detalle en el artículo "Cálculo de un dintel arqueado", por lo tanto, aquí solo daré las fórmulas básicas:

tg( a/4) = 2A/B (278.1.2)

pero/4 = arctan( 2H/L)

R = H/(1 - porque( a/2)) (278.1.3)

Como puede ver, desde el punto de vista de las matemáticas, no hay problemas para determinar el radio de un círculo. Este método le permite determinar el valor del radio del arco con cualquier precisión posible. Esta es la principal ventaja de este método.

Ahora hablemos de las desventajas.

El problema de este método ni siquiera es que se requiera recordar las fórmulas del curso de geometría de la escuela, olvidadas con éxito hace muchos años, para recordar las fórmulas, existe Internet. Y aquí hay una calculadora con la función arctg, arcsin, etc. No todos los usuarios tienen uno. Y aunque Internet también resuelve con éxito este problema, no debemos olvidar que estamos resolviendo un problema bastante aplicado. Esos. está lejos de ser siempre necesario determinar el radio de un círculo con una precisión de 0,0001 mm, una precisión de 1 mm puede ser bastante aceptable.

Además, para encontrar el centro del círculo, debe extender la altura del segmento y reservar una distancia igual al radio en esta línea recta. Dado que en la práctica estamos ante instrumentos de medida no ideales, habría que sumar a esto el posible error en el marcado, resulta que cuanto menor es la altura del segmento en relación a la longitud de la cuerda, mayor es el error en la determinación el centro del arco.

Nuevamente, no debemos olvidar que no estamos considerando un caso ideal, es decir Así es como inmediatamente llamamos a la curva un arco. De hecho, puede ser una curva descrita por una relación matemática bastante compleja. Por lo tanto, el radio y el centro del círculo encontrado de esta manera pueden no coincidir con el centro real.

En este sentido, quiero ofrecer otro método para determinar el radio de un círculo, que yo mismo uso a menudo, porque este método es mucho más rápido y más fácil para determinar el radio de un círculo, aunque la precisión es mucho menor.

El segundo método para determinar el radio del arco (método de aproximaciones sucesivas)

Así que sigamos con la situación actual.

Como todavía necesitamos encontrar el centro del círculo, para empezar, desde los puntos correspondientes al principio y al final del arco, dibujamos al menos dos arcos de radio arbitrario. Una línea recta pasará por la intersección de estos arcos, en la que se encuentra el centro del círculo deseado.

Ahora necesitas conectar la intersección de los arcos con la mitad de la cuerda. Sin embargo, si dibujamos desde los puntos indicados no a lo largo de un arco, sino de dos, entonces esta línea recta pasará por la intersección de estos arcos, y entonces no es necesario buscar el centro de la cuerda.

Si la distancia desde la intersección de los arcos hasta el principio o el final del arco considerado es mayor que la distancia desde la intersección de los arcos hasta el punto correspondiente a la altura del segmento, entonces el centro del arco considerado es más bajo en la línea recta trazada a través de la intersección de los arcos y la mitad de la cuerda. Si es menor, entonces el centro deseado del arco está más alto en la línea recta.

En base a esto, se toma el siguiente punto en la línea recta, presumiblemente correspondiente al centro del arco, y se toman las mismas medidas a partir de él. Luego se toma el siguiente punto y se repiten las medidas. Con cada nuevo punto, la diferencia de medidas será cada vez menor.

Eso es todo. A pesar de una descripción tan larga e intrincada, toma de 1 a 2 minutos determinar el radio del arco de esta manera con una precisión de 1 mm.

Teóricamente, se ve algo como esto:

Figura 463.2. Determinación del centro del arco por el método de aproximaciones sucesivas.

Pero en la práctica, algo como esto:

Foto 463.1. Marcado de una pieza de trabajo de forma compleja con diferentes radios.

Solo agregaré aquí que a veces tienes que encontrar y dibujar varios radios, porque hay muchas cosas mezcladas en la foto.

El valor matemático del área se conoce desde antigua Grecia. Incluso en aquellos tiempos lejanos, los griegos descubrieron que el área es una parte continua de la superficie, que está delimitada por todos lados por un contorno cerrado. Este es un valor numérico, que se mide en unidades cuadradas. El área es una característica numérica tanto de figuras geométricas planas (planimétricas) como de superficies de cuerpos en el espacio (volumétricas).

Actualmente, se encuentra no sólo en el marco de currículum escolar en las lecciones de geometría y matemáticas, pero también en astronomía, en la vida cotidiana, en la construcción, en el desarrollo del diseño, en la producción y en muchas otras personas. Muy a menudo, recurrimos al cálculo de las áreas de los segmentos en una parcela personal cuando diseñamos una zona de paisaje o cuando reparamos un diseño ultramoderno de una habitación. Por lo tanto, el conocimiento de los métodos para calcular el área de diferentes será útil siempre y en todas partes.

Para calcular el área de un segmento circular y un segmento de esfera, es necesario comprender los términos geométricos que se necesitarán en el proceso computacional.

En primer lugar, un segmento de un círculo es un fragmento. figura plana círculo, que se encuentra entre el arco de un círculo y la cuerda que lo corta. Este concepto no debe confundirse con la figura del sector. Estas son cosas completamente diferentes.

Una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos en un círculo.

El ángulo central se forma entre dos segmentos: radios. Se mide en grados por el arco sobre el que descansa.

Un segmento de una esfera se forma cuando una parte es cortada por un plano. En este caso, la base del segmento esférico es un círculo, y la altura es una perpendicular que emana desde el centro del círculo hasta la intersección con la superficie. de la esfera Este punto de intersección se llama vértice del segmento de bola.

Para determinar el área de un segmento de una esfera, debe conocer el círculo de corte y la altura del segmento esférico. El producto de estas dos componentes será el área del segmento de la esfera: S=2πRh, donde h es la altura del segmento, 2πR es la circunferencia y R es el radio del círculo máximo.

Para calcular el área de un segmento de un círculo, puedes recurrir a las siguientes fórmulas:

1. Para encontrar el área de un segmento con más de una manera sencilla, es necesario calcular la diferencia entre el área del sector en el que está inscrito el segmento y cuya base es la cuerda del segmento: S1=S2-S3, donde S1 es el área del segmento, S2 es el área del sector y S3 es el área del triángulo.

Puedes usar la fórmula aproximada para calcular el área de un segmento circular: S=2/3*(a*h), donde a es la base del triángulo o h es la altura del segmento, que es el resultado de la diferencia entre el radio del círculo y

2. El área de un segmento que no sea un semicírculo se calcula de la siguiente manera: S = (π R2:360)*α ± S3, donde π R2 es el área del círculo, α es la medida en grados del ángulo central que contiene el arco del segmento del círculo, S3 es el área del triángulo que se formó entre los dos radios del círculo y la cuerda que posee el ángulo en el punto central del círculo y dos vértices donde los radios tocan el círculo.

Si el ángulo α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 grados, signo más aplicado.

3. Puede calcular el área de un segmento usando otros métodos usando trigonometría. Como regla general, se toma un triángulo como base. Si el ángulo central se mide en grados, entonces la siguiente fórmula es aceptable: S \u003d R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, donde R2 es el cuadrado del radio del círculo, α es la medida en grados del ángulo central.

4. Para calcular el área de un segmento usando funciones trigonométricas, puede usar otra fórmula, siempre que el ángulo central se mida en radianes: S \u003d R2 * (α - sin α) / 2, donde R2 es el cuadrado del radio del círculo, α es la esquina central medida en grados.

Definición de un segmento circular

Segmento- esta figura geometrica, que se obtiene cortando parte del círculo con una cuerda.

Calculadora online

Esta figura se encuentra entre la cuerda y el arco del círculo.

Este es un segmento que se encuentra dentro del círculo y conecta dos puntos elegidos arbitrariamente en él.

Al cortar parte del círculo con una cuerda, se pueden considerar dos figuras: este es nuestro segmento y un triángulo isósceles, cuyos lados son los radios del círculo.

El área de un segmento se puede encontrar como la diferencia entre las áreas del sector del círculo y este triángulo isósceles.

El área de un segmento se puede encontrar de varias maneras. Detengámonos en ellos con más detalle.

La fórmula para el área de un segmento de un círculo en términos del radio y la longitud del arco del círculo, la altura y la base del triángulo.

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ un S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅a

R R R- radio del círculo;
s s s- longitud de arco;
S.S h- altura de un triángulo isósceles;
un un a es la longitud de la base de este triángulo.

Se da un círculo, su radio, numéricamente igual a 5 (ver), la altura que se dibuja a la base del triángulo, igual a 2 (ver), la longitud del arco es 10 (ver). Encuentra el área de un segmento circular.

Solución

R=5 R=5 R=5
hora=2 hora=2 h =2
s=10 s=10 s=1 0

Para calcular el área, solo nos falta la base del triángulo. Encontrémoslo por la fórmula:

UN = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 - 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot Rh))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8un =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R−h)​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Ahora puedes calcular el área del segmento:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ un = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅un =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (ver cuadrados)

Responder: 17cm cuadrado

La fórmula para el área de un segmento de círculo dado el radio del círculo y el ángulo central

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ​ ⋅ (α − pecado (a)

R R R- radio del círculo;
α \ alfa α es el ángulo central entre dos radios que subtienden la cuerda, medido en radianes.

Encuentra el área de un segmento de un círculo si el radio del círculo es de 7 (cm) y el ángulo central es de 30 grados.

Solución

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Primero vamos a convertir el ángulo en grados a radianes. En la medida en π\pi π radianes es igual a 180 grados, entonces:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radián. Entonces el área del segmento:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\aproximadamente 0,57S=2 R 2 ​ ⋅ (α − pecado (α) ) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − pecado ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (ver cuadrados)

Responder: 0,57 cm cuadrado