Condición de equilibrio de un punto material y un cuerpo rígido. Estática. Equilibrio de un sistema mecánico (cuerpo absolutamente rígido). Centro de gravedad de una figura plana

Es obvio que un cuerpo solo puede estar en reposo con respecto a un sistema de coordenadas particular. En estática, las condiciones de equilibrio de los cuerpos se estudian precisamente en tal sistema. En el equilibrio, las velocidades y aceleraciones de todas las secciones (elementos) del cuerpo son iguales a cero. Teniendo esto en cuenta, una de las condiciones necesarias para el equilibrio de los cuerpos puede establecerse mediante el teorema del movimiento del centro de masas (ver § 7.4).

Las fuerzas internas no afectan el movimiento del centro de masa, ya que su suma siempre es cero. Solo las fuerzas externas determinan el movimiento del centro de masa de un cuerpo (o un sistema de cuerpos). Dado que en el equilibrio del cuerpo la aceleración de todos sus elementos es igual a cero, entonces la aceleración del centro de masa también es igual a cero. Pero la aceleración del centro de masa está determinada por la suma vectorial de las fuerzas externas aplicadas al cuerpo (ver fórmula (7.4.2)). Por lo tanto, en el equilibrio, esta suma debe ser igual a cero.

De hecho, si la suma de las fuerzas externas F i es igual a cero, entonces la aceleración del centro de masa a c \u003d 0. De ello se deduce que la velocidad del centro de masa c \u003d const. Si en el momento inicial la velocidad del centro de masas era igual a cero, entonces el centro de masas permanece en reposo en el futuro.

La condición obtenida para la inmovilidad del centro de masa es una condición necesaria (pero, como pronto veremos, insuficiente) para el equilibrio cuerpo solido. Esta es la llamada primera condición de equilibrio. Se puede formular de la siguiente manera.

Para el equilibrio del cuerpo es necesario que la suma de las fuerzas externas aplicadas al cuerpo sea igual a cero:

Si la suma de las fuerzas es igual a cero, entonces la suma de las proyecciones de las fuerzas_en los tres ejes de coordenadas también es igual a cero. Denotando las fuerzas externas como 1, 2, 3, etc., obtenemos tres ecuaciones que son equivalentes a una ecuación vectorial (8.2.1):

Para que el cuerpo descanse, también es necesario que la velocidad inicial del centro de masa sea igual a cero.

La segunda condición para el equilibrio de un cuerpo rígido.

La igualdad a cero de la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es necesaria para el equilibrio, pero no suficiente. Si se cumple esta condición, sólo el centro de masas estará necesariamente en reposo. Esto es fácil de verificar.

Apliquemos fuerzas de igual magnitud y dirección opuesta a la tabla en diferentes puntos, como se muestra en la figura 8.1 (dos de estas fuerzas se denominan un par de fuerzas). La suma de estas fuerzas es cero: + (-) = 0. Pero el tablero girará. Solo el centro de masa está en reposo si su velocidad inicial (la velocidad antes de la aplicación de fuerzas) era igual a cero.

Arroz. 8.1

De la misma manera, dos fuerzas idénticas en magnitud y de dirección opuesta hacen girar el manillar de una bicicleta o un automóvil (figura 8.2) alrededor del eje de rotación.

Arroz. 8.2

No es difícil ver lo que está pasando aquí. Cualquier cuerpo está en equilibrio cuando la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de sus elementos es igual a cero. Pero si la suma de las fuerzas externas es igual a cero, entonces la suma de todas las fuerzas aplicadas a cada elemento del cuerpo puede no ser cero. En este caso, el cuerpo no estará en equilibrio. En los ejemplos considerados, el tablero y el volante no están en equilibrio porque la suma de todas las fuerzas que actúan sobre los elementos individuales de estos cuerpos no es igual a cero. Los cuerpos dan vueltas.

Averigüemos qué otra condición, además de la igualdad de la suma de fuerzas externas a cero, debe cumplirse para que el cuerpo no gire y esté en equilibrio. Para hacer esto, usamos la ecuación básica para la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido (ver § 7.6):

Recuérdese que en la fórmula (8.2.3)

representa la suma de los momentos de las fuerzas externas aplicadas al cuerpo con respecto al eje de rotación, y J es el momento de inercia del cuerpo con respecto al mismo eje.

Si , entonces P = 0, es decir, el cuerpo no tiene aceleración angular y, por lo tanto, la velocidad angular del cuerpo

Si en el momento inicial la velocidad angular era igual a cero, en el futuro el cuerpo no realizará un movimiento de rotación. Por lo tanto, la igualdad

(para ω = 0) es la segunda condición necesaria para el equilibrio de un cuerpo rígido.

Cuando un cuerpo rígido está en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas externas que actúan sobre él con respecto a cualquier eje(1), cero.

En el caso general de un número arbitrario de fuerzas externas, las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido se pueden escribir como:

Estas condiciones son necesarias y suficientes para el equilibrio de cualquier cuerpo rígido. Si se cumplen, entonces la suma vectorial de fuerzas (externas e internas) que actúan sobre cada elemento del cuerpo es igual a cero.

Equilibrio de cuerpos deformables

Si el cuerpo no es absolutamente rígido, entonces, bajo la acción de fuerzas externas que se le aplican, puede no estar en equilibrio, aunque la suma de las fuerzas externas y la suma de sus momentos alrededor de cualquier eje sea cero. Esto se debe a que, bajo la acción de fuerzas externas, el cuerpo puede deformarse y, en el proceso de deformación, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de sus elementos, en este caso, no será igual a cero.

Apliquemos, por ejemplo, a los extremos de una cuerda de goma dos fuerzas de igual magnitud y dirigidas a lo largo de la cuerda en direcciones opuestas. Bajo la acción de estas fuerzas, la cuerda no estará en equilibrio (la cuerda se estira), aunque la suma de las fuerzas externas sea cero y la suma de sus momentos alrededor del eje que pasa por cualquier punto de la cuerda sea igual a cero.

Cuando los cuerpos se deforman, además, hay un cambio en los hombros de las fuerzas y, en consecuencia, un cambio en los momentos de las fuerzas dadas. También notamos que solo para cuerpos rígidos es posible transferir el punto de aplicación de la fuerza a lo largo de la línea de acción de la fuerza a cualquier otro punto del cuerpo. Esto no cambia el momento de fuerza y ​​el estado interno del cuerpo.

En los cuerpos reales, es posible transferir el punto de aplicación de una fuerza a lo largo de su línea de acción solo cuando las deformaciones causadas por esta fuerza son pequeñas y pueden despreciarse. En este caso, el cambio en el estado interno del cuerpo cuando se transfiere el punto de aplicación de la fuerza es insignificante. Si no se pueden despreciar las deformaciones, entonces tal transferencia es inaceptable. Entonces, por ejemplo, si dos fuerzas 1 y 2, iguales en valor absoluto y directamente opuestas en dirección, se aplican a lo largo de una barra de goma en sus dos extremos (Fig. 8.3, a), entonces la barra se estirará. Al transferir los puntos de aplicación de estas fuerzas a lo largo de la línea de acción a los extremos opuestos de la barra (Fig. 8.3, b), las mismas fuerzas comprimirán la barra y su estado interno será diferente.

Arroz. 8.3

Para calcular el equilibrio de los cuerpos deformables, es necesario conocer sus propiedades elásticas, es decir, la dependencia de las deformaciones de las fuerzas actuantes. No resolveremos este difícil problema. En el próximo capítulo se considerarán casos simples del comportamiento de cuerpos deformables.

(1) Consideramos los momentos de fuerzas relativos al eje real de rotación del cuerpo. Pero se puede demostrar que cuando el cuerpo está en equilibrio, la suma de los momentos de las fuerzas es cero con respecto a cualquier eje (recta geométrica), en particular, con respecto a los tres ejes de coordenadas o con respecto al eje que pasa por el centro de masa.

El principal signo de la interacción de los cuerpos en dinámica es la aparición de aceleraciones. Sin embargo, a menudo es necesario saber bajo qué condiciones un cuerpo, sobre el que actúan varias fuerzas diferentes, no se mueve con aceleración. vamos a colgar

pelota en una cuerda. La fuerza de la gravedad actúa sobre la pelota, pero no provoca un movimiento acelerado hacia la Tierra. Esto es impedido por la acción de una fuerza elástica igual en valor absoluto y dirigida en dirección opuesta. La fuerza de gravedad y la fuerza de elasticidad se equilibran entre sí, su resultante es cero, por lo tanto, la aceleración de la pelota también es cero (Fig. 40).

El punto a través del cual pasa la resultante de la gravedad en cualquier lugar del cuerpo se llama centro de gravedad (Fig. 41).

La sección de la mecánica que estudia las condiciones para el equilibrio de fuerzas se llama estática.

Equilibrio de cuerpos que no giran.

El movimiento de traslación rectilíneo uniforme de un cuerpo o su reposo solo es posible si la suma geométrica de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo es igual a cero.

Un cuerpo que no gira está en equilibrio si la suma geométrica de las fuerzas aplicadas al cuerpo es cero.

Equilibrio de cuerpos que tienen un eje de rotación.

EN La vida cotidiana y la tecnología, a menudo hay cuerpos que no pueden avanzar, pero pueden girar alrededor de un eje. Ejemplos de tales cuerpos son puertas y ventanas, ruedas de automóviles, columpios, etc. Si el vector de fuerza P se encuentra en una línea recta que interseca el eje de rotación, entonces esta fuerza se equilibra con la fuerza elástica del lado del eje de rotación. (Figura 42).

Si la línea recta en la que se encuentra el vector de fuerza F no interseca el eje de rotación, entonces esta fuerza no se puede equilibrar.

fuerza elástica desde el lado del eje de rotación, y el cuerpo gira alrededor del eje (Fig. 43).

La rotación de un cuerpo alrededor de un eje bajo la acción de una fuerza puede ser detenida por la acción de una segunda fuerza.La experiencia muestra que si dos fuerzas por separado hacen que el cuerpo gire en direcciones opuestas, entonces cuando actúan simultáneamente, el cuerpo es en equilibrio si se cumple la siguiente condición:

donde están las distancias más cortas desde las líneas rectas en las que se encuentran los vectores de fuerza (líneas de acción de las fuerzas) hasta el eje de rotación (Fig. 44). La distancia se llama brazo de la fuerza, y el producto del módulo de fuerza y ​​el brazo se llama momento de fuerza M:

Si se asigna un signo positivo a los momentos de las fuerzas que hacen que el cuerpo gire alrededor de un eje en el sentido de las manecillas del reloj y un signo negativo a los momentos de las fuerzas que causan la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces la condición de equilibrio para un cuerpo con un eje de rotación puede ser formulada como una regla de momentos: un cuerpo que tiene un eje de rotación fijo está en equilibrio si la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo alrededor de este eje es igual a cero:

La unidad SI de torque es un momento de fuerza de 1 N, cuya línea de acción está a una distancia del eje de rotación. Esta unidad se llama newton metro.

La condición general para el equilibrio de un cuerpo. Combinando las dos conclusiones, podemos formular una condición de equilibrio general para un cuerpo: un cuerpo está en equilibrio si la suma geométrica de los vectores de todas las fuerzas que se le aplican y la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas con respecto al eje de rotación son igual a cero.

Cuando se cumple la condición de equilibrio general, el cuerpo no está necesariamente en reposo. Según la segunda ley de Newton, cuando la resultante de todas las fuerzas es igual a cero, la aceleración del cuerpo es igual a cero y puede estar en reposo o? moverse uniformemente y en línea recta.

La igualdad a cero de la suma algebraica de los momentos de las fuerzas tampoco significa que en este caso el cuerpo esté necesariamente en reposo. Durante varios miles de millones de años, la rotación de la Tierra alrededor de su eje continúa con un período constante precisamente porque la suma algebraica de los momentos de las fuerzas que actúan sobre la Tierra desde otros cuerpos es muy pequeña. Por la misma razón, la rueda de una bicicleta que gira continúa girando a una frecuencia constante y solo las fuerzas externas detienen esta rotación.

Tipos de equilibrio.

En la práctica, juega un papel importante no solo el cumplimiento de la condición de equilibrio de los cuerpos, sino también la característica cualitativa del equilibrio, llamada estabilidad. Hay tres tipos de equilibrio de los cuerpos: estable, inestable e indiferente.

El equilibrio se llama estable si, después de pequeñas influencias externas, el cuerpo vuelve a su estado original de equilibrio. Esto ocurre si, con un ligero desplazamiento del cuerpo en cualquier dirección desde la posición inicial, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se vuelve distinta de cero y se dirige hacia la posición de equilibrio. En equilibrio estable está, por ejemplo, una bola en el fondo del hueco (Fig. 45).

Se dice que el equilibrio es inestable si, con un ligero desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio, la resultante de las fuerzas que se le aplican es distinta de cero y está dirigida desde la posición de equilibrio (Fig. 46).

Si, para pequeños desplazamientos del cuerpo desde su posición original, la resultante de las fuerzas aplicadas al cuerpo permanece igual a cero, entonces el cuerpo se encuentra en un estado de equilibrio indiferente. La pelota está en equilibrio indiferente sobre una superficie horizontal (Fig. 47).

Las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido en el curso de física de la escuela secundaria se estudian en la sección "Mecánica" cuando se estudia la estática como una sección de mecánica. Destaca el hecho de que el movimiento del cuerpo es de dos tipos: de traslación y de rotación. El movimiento de traslación es un movimiento en el que cualquier línea recta trazada a través de dos puntos cualesquiera del cuerpo en un sistema inercial la referencia en el proceso de movimiento permanece paralela a sí misma. El movimiento de rotación es un movimiento en el que todos los puntos que pertenecen al cuerpo, durante un período de tiempo dado, giran en relación con el eje de rotación en el mismo ángulo.

Se introduce el centro de gravedad del cuerpo. Para hacer esto, el cuerpo se divide mentalmente en muchos elementos. El centro de gravedad será el punto de intersección de las líneas, sobre el que se encuentran los vectores de fuerzas de gravedad que actúan sobre los elementos del cuerpo. A continuación, se consideran casos especiales que ilustran la dependencia del tipo de movimiento de un cuerpo rígido en el punto de aplicación de una fuerza externa:

1. Deje que la fuerza se aplique al centro de gravedad o un eje de rotación no fijo: el cuerpo se moverá hacia adelante, no habrá rotación;
2. Deje que la fuerza se aplique a un punto arbitrario del cuerpo, mientras que el eje de rotación está fijo: el cuerpo girará, no habrá movimiento de traslación;
3. Deje que la fuerza se aplique a un punto arbitrario del cuerpo, mientras que el eje de rotación no está fijo: el cuerpo girará alrededor de su eje y al mismo tiempo avanzará.

Se introduce el momento de fuerza. El momento de la fuerza es una cantidad física vectorial que caracteriza el efecto rotacional de la fuerza. Matemáticamente, en el curso universitario de física general, el momento de la fuerza se introduce como el producto vectorial del hombro de la fuerza y ​​el vector de esta fuerza:

donde esta el brazo de la fuerza. Obviamente, la ecuación (2) es una consecuencia de la ecuación (1).

Se explica a los estudiantes que el hombro de una fuerza es la distancia más corta desde el punto de apoyo (o eje de rotación) hasta la línea de acción de la fuerza.

La primera condición (ecuación (3)) asegura la ausencia de movimiento de traslación, la segunda condición (ecuación (4)) - la ausencia de rotación. Sería bueno prestar atención al hecho de que la ecuación (3) es un caso especial de la segunda ley de Newton (para ).

Los estudiantes deben aprender que el momento de la fuerza es una cantidad vectorial, por lo tanto, al escribir la ecuación (4) de forma escalar, es necesario tener en cuenta el signo del momento. Para los estudiantes de la escuela, las reglas son las siguientes:

1. Si la fuerza tiende a hacer girar el cuerpo en sentido antihorario, su momento con respecto al eje dado es positivo;
2. Si la fuerza tiende a hacer girar el cuerpo en el sentido de las agujas del reloj, su momento con respecto al eje dado es negativo.

Como ejemplo de aplicación de las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido está el uso de palancas y bloques. Deje que la fuerza actúe sobre un brazo de la palanca, sobre el otro - (Fig. 1).

En este caso, imagine que el soporte del cuerpo está inmóvil, por lo que solo necesitamos la segunda condición de equilibrio:

En forma escalar, teniendo en cuenta los signos, obtenemos:

La expresión resultante se denomina condición de equilibrio de la palanca. Los estudiantes deben entender firmemente que esto es sólo caso especial, y en casos más generales es necesario basarse en la ecuación (4).

Como saben por el curso del 7º grado, los bloques son móviles y fijos. Con la ayuda de las condiciones de equilibrio se analiza el trabajo de levantamiento uniforme de la carga con la ayuda de un bloque fijo y un sistema de bloques móviles y fijos.

1. Bloque fijo.
Sea el diámetro del bloque d. Usando la condición de equilibrio (4), obtenemos: El hecho obtenido ilustra que un bloque fijo no da una ganancia en fuerza, es decir, tendremos que aplicar una fuerza igual en valor absoluto al peso de la carga para levantar la carga. El bloque fijo se usa solo por conveniencia, principalmente junto con el bloque móvil.
2. Bloque móvil.
Usamos la ecuación (4) de manera similar al caso con un bloque fijo:

Hemos encontrado que en el sistema de bloques móviles e inmóviles en ausencia de fuerzas de fricción, se obtiene una ganancia de fuerza por un factor de 2. En este caso, los diámetros de los bloques eran los mismos. Será útil que los estudiantes analicen formas de aumentar la fuerza 4, 6, etc. veces.

En conclusión, habiendo analizado lo dicho anteriormente, se formula la “regla de oro” de la mecánica. Se resuelven problemas sobre palancas, bloques y otros casos de equilibrio de cuerpos.

« Física - Grado 10 "

Recuerda lo que es un momento de fuerza.
¿En qué condiciones está el cuerpo en reposo?

Si el cuerpo está en reposo con respecto al marco de referencia elegido, se dice que está en equilibrio. Edificios, puentes, vigas con soportes, partes de máquinas, un libro sobre una mesa y muchos otros cuerpos están en reposo, a pesar de que se les aplican fuerzas de otros cuerpos. El problema de estudiar las condiciones de equilibrio de los cuerpos es de gran importancia práctica para la ingeniería mecánica, la construcción, la fabricación de instrumentos y otras áreas de la tecnología. Todos los cuerpos reales bajo la influencia de las fuerzas que se les aplican cambian de forma y tamaño, o, como dicen, se deforman.

En muchos casos que se dan en la práctica, las deformaciones de los cuerpos en su equilibrio son insignificantes. En estos casos se pueden despreciar las deformaciones y se puede realizar el cálculo considerando el cuerpo absolutamente sólido.

Por brevedad, un cuerpo absolutamente rígido se llamará cuerpo solido o simplemente cuerpo. Habiendo estudiado las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido, encontraremos las condiciones de equilibrio para cuerpos reales en los casos en que se puedan ignorar sus deformaciones.

Recuerde la definición de un cuerpo perfectamente rígido.

La rama de la mecánica en la que se estudian las condiciones de equilibrio de los cuerpos absolutamente rígidos se denomina estático.

En estática, se tienen en cuenta las dimensiones y la forma de los cuerpos; en este caso, no solo es significativo el valor de las fuerzas, sino también la posición de los puntos de su aplicación.

Averigüemos primero, usando las leyes de Newton, bajo qué condiciones cualquier cuerpo estará en equilibrio. Con este fin, dividamos mentalmente todo el cuerpo en un gran número de pequeños elementos, cada uno de los cuales puede considerarse como un punto material. Como de costumbre, llamamos a las fuerzas que actúan sobre el cuerpo desde otros cuerpos, externas, y las fuerzas con las que interactúan los elementos del propio cuerpo, internas (Fig. 7.1). Entonces, la fuerza 1.2 es la fuerza que actúa sobre el elemento 1 desde el elemento 2. La fuerza 2.1 actúa sobre el elemento 2 desde el elemento 1. Estas son fuerzas internas; estos también incluyen las fuerzas 1.3 y 3.1, 2.3 y 3.2. Es obvio que la suma geométrica de las fuerzas internas es igual a cero, ya que según la tercera ley de Newton

12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 etc

La estática es un caso especial de la dinámica, ya que el resto de cuerpos, cuando sobre ellos actúan fuerzas, es un caso especial de movimiento (= 0).

En general, sobre cada elemento pueden actuar varias fuerzas externas. Bajo 1 , 2 , 3 etc. nos referimos a todas las fuerzas externas aplicadas respectivamente a los elementos 1, 2, 3, ... . De la misma manera, mediante "1", "2", "3, etc., denotamos la suma geométrica de las fuerzas internas aplicadas a los elementos 2, 2, 3, ... respectivamente (estas fuerzas no se muestran en la figura), es decir.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... etc.

Si el cuerpo está en reposo, entonces la aceleración de cada elemento es cero. Por lo tanto, según la segunda ley de Newton, la suma geométrica de todas las fuerzas que actúan sobre cualquier elemento también será igual a cero. Por lo tanto, podemos escribir:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Cada uno de estos tres ecuaciones expresa la condición de equilibrio para un elemento de un cuerpo rígido.

La primera condición para el equilibrio de un cuerpo rígido.

Averigüemos qué condiciones deben cumplir las fuerzas externas aplicadas a un cuerpo sólido para que esté en equilibrio. Para ello, sumamos las ecuaciones (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

En los primeros corchetes de esta igualdad, se escribe la suma vectorial de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo, y en el segundo, la suma vectorial de todas las fuerzas internas que actúan sobre los elementos de este cuerpo. Pero, como saben, la suma vectorial de todas las fuerzas internas del sistema es igual a cero, ya que según la tercera ley de Newton, cualquier fuerza interna corresponde a una fuerza igual a ella en valor absoluto y de dirección opuesta. Por lo tanto, en el lado izquierdo de la última igualdad, solo quedará la suma geométrica de las fuerzas externas aplicadas al cuerpo:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

En el caso de un cuerpo absolutamente rígido, la condición (7.2) se llama la primera condición para su equilibrio.

Es necesario, pero no suficiente.

Entonces, si un cuerpo rígido está en equilibrio, entonces la suma geométrica de las fuerzas externas que se le aplican es igual a cero.

Si la suma de las fuerzas externas es igual a cero, entonces la suma de las proyecciones de estas fuerzas en los ejes de coordenadas también es igual a cero. En particular, para las proyecciones de fuerzas externas sobre el eje OX, se puede escribir:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Las mismas ecuaciones se pueden escribir para las proyecciones de fuerzas en los ejes OY y OZ.

La segunda condición para el equilibrio de un cuerpo rígido.

Verifiquemos que la condición (7.2) es necesaria pero no suficiente para el equilibrio de un cuerpo rígido. Apliquemos al tablero que está sobre la mesa, en puntos diferentes, dos fuerzas de igual magnitud y direcciones opuestas, como se muestra en la figura 7.2. La suma de estas fuerzas es cero:

+ (-) = 0. Pero el tablero seguirá girando. De la misma manera, dos fuerzas de idéntica magnitud y direcciones opuestas hacen girar el volante de una bicicleta o un automóvil (figura 7.3).

¿Qué otra condición para las fuerzas externas, además de la igualdad de su suma a cero, debe cumplirse para que un cuerpo sólido esté en equilibrio? Usamos el teorema sobre el cambio en la energía cinética.

Encontremos, por ejemplo, la condición de equilibrio para una barra articulada sobre un eje horizontal en el punto O (figura 7.4). Este dispositivo simple, como saben por el curso de física de la escuela primaria, es una palanca del primer tipo.

Deje que las fuerzas 1 y 2 se apliquen a la palanca perpendicular a la barra.

Además de las fuerzas 1 y 2, la fuerza de reacción normal 3 dirigida verticalmente hacia arriba actúa sobre la palanca desde el lado del eje de la palanca. Cuando la palanca está en equilibrio, la suma de las tres fuerzas es cero: 1 + 2 + 3 = 0.

Calculemos el trabajo realizado por fuerzas externas cuando la palanca gira un ángulo α muy pequeño. Los puntos de aplicación de las fuerzas 1 y 2 seguirán las trayectorias s 1 = BB 1 y s 2 = CC 1 (los arcos BB 1 y CC 1 con pequeños ángulos α pueden considerarse segmentos rectos). El trabajo A 1 \u003d F 1 s 1 de la fuerza 1 es positivo, porque el punto B se mueve en la dirección de la fuerza, y el trabajo A 2 \u003d -F 2 s 2 de la fuerza 2 es negativo, ya que el punto C se mueve en la dirección opuesta a la dirección de la fuerza 2. La Fuerza 3 no realiza trabajo, ya que el punto de su aplicación no se mueve.

Los caminos recorridos por s 1 y s 2 pueden expresarse en términos del ángulo de rotación de la palanca a, medido en radianes: s 1 = α|BO| y s 2 = α|СО|. Con esto en mente, reescribamos las expresiones para que funcionen así:

À 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
A 2 \u003d -F 2 α | CO |.

Los radios de BO y CO de los arcos de círculo descritos por los puntos de aplicación de las fuerzas 1 y 2 son perpendiculares desde el eje de rotación sobre la línea de acción de estas fuerzas.

Como ya sabes, el brazo de una fuerza es la distancia más corta desde el eje de rotación hasta la línea de acción de la fuerza. Denotaremos el brazo de la fuerza con la letra d. Entonces |BO| = d 1 - brazo de fuerza 1 , y |CO| \u003d d 2 - brazo de fuerza 2. En este caso, las expresiones (7.4) toman la forma

A 1 \u003d F 1 αd 1, A 2 \u003d -F 2 αd 2. (7.5)

De las fórmulas (7.5) se puede ver que el trabajo de cada una de las fuerzas es igual al producto del momento de la fuerza y ​​el ángulo de rotación de la palanca. En consecuencia, las expresiones (7.5) para el trabajo se pueden reescribir en la forma

UN 1 = METRO 1 α, UN 2 = METRO 2 α, (7.6)

y el trabajo total de las fuerzas externas se puede expresar mediante la fórmula

A \u003d A 1 + A 2 \u003d (M 1 + M 2) α. α, (7.7)

Dado que el momento de la fuerza 1 es positivo e igual a M 1 \u003d F 1 d 1 (ver Fig. 7.4), y el momento de la fuerza 2 es negativo e igual a M 2 \u003d -F 2 d 2, entonces para el trabajo A puedes escribir la expresión

A \u003d (M 1 - | M 2 |) α.

Cuando un cuerpo está en movimiento, su energía cinética aumenta. Para aumentar la energía cinética, las fuerzas externas deben realizar un trabajo, es decir, en este caso A ≠ 0 y, en consecuencia, M 1 + M 2 ≠ 0.

Si el trabajo de las fuerzas externas es igual a cero, entonces la energía cinética del cuerpo no cambia (permanece igual a cero) y el cuerpo permanece inmóvil. Entonces

METRO 1 + METRO 2 = 0. (7.8)

La ecuación (7 8) es la segunda condición para el equilibrio de un cuerpo rígido.

Cuando un cuerpo rígido está en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas externas que actúan sobre él con respecto a cualquier eje es igual a cero.

Entonces, en el caso de un número arbitrario de fuerzas externas, las condiciones de equilibrio para un cuerpo absolutamente rígido son las siguientes:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
METRO 1 + METRO 2 + METRO 3 + ... = 0.

La segunda condición de equilibrio puede derivarse de la ecuación básica de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido. De acuerdo con esta ecuación donde M es el momento total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε es la aceleración angular. Si el cuerpo rígido está inmóvil, entonces ε = 0 y, en consecuencia, M = 0. Así, la segunda condición de equilibrio tiene la forma M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Si el cuerpo no es absolutamente rígido, entonces, bajo la acción de fuerzas externas que se le aplican, puede no permanecer en equilibrio, aunque la suma de las fuerzas externas y la suma de sus momentos alrededor de cualquier eje sean iguales a cero.

Apliquemos, por ejemplo, dos fuerzas de igual magnitud y dirigidas a lo largo de la cuerda en direcciones opuestas a los extremos de una cuerda de caucho. Bajo la acción de estas fuerzas, la cuerda no estará en equilibrio (la cuerda se estira), aunque la suma de las fuerzas externas es cero y cero es la suma de sus momentos alrededor del eje que pasa por cualquier punto de la cuerda.

El cálculo estático de estructuras de ingeniería en muchos casos se reduce a la consideración de las condiciones de equilibrio para una estructura a partir de un sistema de cuerpos conectados por algún tipo de conexiones. Las conexiones que conectan las partes de esta construcción se llamarán interno A diferencia de externo conexiones que sujetan la estructura con cuerpos que no están incluidos en ella (por ejemplo, con soportes).

Si, después de desechar las uniones externas (soportes), la estructura permanece rígida, entonces los problemas de estática se resuelven para ella como para un cuerpo absolutamente rígido. Sin embargo, pueden existir tales estructuras de ingeniería que, después de desechar los enlaces externos, no permanezcan rígidas. Un ejemplo de tal diseño es un arco de tres bisagras. Si se descartan los soportes A y B, entonces el arco no será rígido: sus partes pueden girar alrededor de la bisagra C.

Basado en el principio de solidificación, el sistema de fuerzas que actúa sobre tal estructura debe, en equilibrio, satisfacer las condiciones de equilibrio de un cuerpo sólido. Pero estas condiciones, como se ha señalado, si bien son necesarias, no serán suficientes; por lo tanto, es imposible determinar todas las cantidades desconocidas a partir de ellos. Para resolver el problema, es necesario considerar adicionalmente el equilibrio de una o más partes de la estructura.

Por ejemplo, compilando las condiciones de equilibrio para las fuerzas que actúan sobre un arco de tres bisagras, obtenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas X A, Y A, X B, Y B . Habiendo considerado adicionalmente las condiciones de equilibrio para la mitad izquierda (o derecha), obtenemos tres ecuaciones más que contienen dos nuevas incógnitas X C, Y C, en la Fig. 61 no se muestra. Resolviendo el sistema resultante de seis ecuaciones, encontramos las seis incógnitas.

14. Casos particulares de reducción del sistema espacial de fuerzas

Si, cuando el sistema de fuerzas se reduce a un tornillo dinámico, el momento principal de la dínamo resulta ser igual a cero y el vector principal es diferente de cero, entonces esto significa que el sistema de fuerzas se reduce a la resultante , y el eje central es la línea de acción de esta resultante. Averigüemos bajo qué condiciones, en relación con el vector principal Fp y el momento principal M 0 , esto puede ser. Dado que el momento principal de la dínamo M * es igual al componente del momento principal M 0 dirigido a lo largo del vector principal, entonces el caso bajo consideración M * \u003d O significa que el momento principal M 0 es perpendicular al vector principal, es decir / 2 \u003d Fo * M 0 \u003d 0. Esto implica directamente que si el vector principal F 0 no es igual a cero, y el segundo invariante es igual a cero, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9) entonces el considerado el sistema se reduce a una resultante.

En particular, si para cualquier centro de reducción F 0 ≠ 0, y M 0 = 0, entonces esto significa que el sistema de fuerzas se reduce a una resultante que pasa por este centro emitir; en este caso también se cumplirá la condición (7.9) Generalicemos el teorema sobre el momento de la resultante (teorema de Varignon) dado en el capítulo V al caso de un sistema espacial de fuerzas. Si el sistema espacial. fuerzas se reduce a la resultante, entonces el momento de la resultante con respecto a un punto arbitrario es igual a la suma geométrica de los momentos de todas las fuerzas con respecto al mismo punto. PAG
sea ​​el sistema de fuerzas una resultante R y un punto O se encuentra en la línea de acción de esta resultante. Si llevamos el sistema de fuerzas dado a este punto, obtenemos que el momento principal es igual a cero.
Tomemos algún otro centro de referencia O1; (7.10)C
por otro lado, con base en la fórmula (4.14) tenemos Mo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11) porque М 0 = 0. Comparando las expresiones (7.10) y (7.11) y teniendo en cuenta que en este caso F 0 = R, obtenemos (7.12).

Entonces el teorema esta probado.

Sea cual sea la elección del centro de reducción Fo=O, M ≠0. Dado que el vector principal no depende del centro de reducción, es igual a cero para cualquier otra elección del centro de reducción. Por lo tanto, el momento principal tampoco cambia cuando cambia el centro de reducción y, por lo tanto, en este caso, el sistema de fuerzas se reduce a un par de fuerzas con un momento igual a M0.

Hagamos ahora una tabla de todos los casos posibles de reducción del sistema espacial de fuerzas:

Si todas las fuerzas están en el mismo plano, por ejemplo, en el plano Ohu entonces sus proyecciones sobre el eje GRAMO y momentos sobre los ejes X y en será igual a cero. Por tanto, Fz=0; Mox=0, Moy=0. Introduciendo estos valores en la fórmula (7.5), encontramos que la segunda invariante del sistema plano de fuerzas es igual a cero, obtendremos el mismo resultado para el sistema espacial de fuerzas paralelas. De hecho, sean todas las fuerzas paralelas al eje z. Entonces sus proyecciones sobre los ejes X y en y los momentos sobre el eje z serán iguales a 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

En base a lo probado, se puede argumentar que un sistema plano de fuerzas y un sistema de fuerzas paralelas no se reducen a un tornillo dinámico.

11. Equilibrio del cuerpo en presencia de rozamiento por deslizamiento Si dos cuerpos / y // (Fig. 6.1) interactúan entre sí, tocándose en un punto PERO, entonces siempre la reacción R A, actuando, por ejemplo, del lado del cuerpo // y aplicada al cuerpo /, se puede descomponer en dos componentes: N.4, dirigida a lo largo de la normal común a la superficie de los cuerpos en contacto en punto L, y T 4, que se encuentran en el plano tangente. El componente N.4 se llama respuesta normal, la fuerza T l se llama fuerza de rozamiento por deslizamiento - impide el "deslizamiento del cuerpo / sobre el cuerpo //. De acuerdo con el axioma 4 (3 Ley de Newton) el cuerpo // desde el lado del cuerpo / es afectado por una fuerza de reacción igual en valor absoluto y de dirección opuesta. Su componente perpendicular al plano tangente se llama fuerza de presión normal. Como se mencionó anteriormente, la fuerza de fricción T PERO = Oh, si las superficies de contacto son perfectamente lisas. En condiciones reales, las superficies son rugosas y en muchos casos no se puede despreciar la fuerza de fricción. 6.2, una. Al cuerpo 5, ubicado en una placa fija D, se le une un hilo tirado sobre el bloque C, cuyo extremo libre está provisto de una plataforma de soporte PERO. Si almohadilla PERO carga gradualmente, luego, con un aumento en su peso total, la tensión del hilo aumentará S, que tiende a mover el cuerpo hacia la derecha. Sin embargo, siempre que la carga total no sea demasiado grande, la fuerza de fricción T mantendrá el cuerpo EN en reposo. En la fig. 6.2, b representado actuando sobre el cuerpo EN fuerzas, y P es la fuerza de gravedad, y N es la reacción normal de la placa D. Si la carga es insuficiente para perturbar al resto, son válidas las siguientes ecuaciones de equilibrio: norte- PAG = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2) De aquí se sigue que norte = PAGy T = S. Así, mientras el cuerpo está en reposo, la fuerza de fricción permanece igual a la fuerza de tensión del hilo S. Denotar por Tmáx fuerza de fricción en el momento crítico del proceso de carga, cuando el cuerpo EN pierde el equilibrio y comienza a deslizarse sobre la losa D. Por lo tanto, si el cuerpo está en equilibrio, entonces T≤Tmax. Fuerza de fricción máxima T máximo depende de las propiedades de los materiales de los que están hechos los cuerpos, de su estado (por ejemplo, de la naturaleza del tratamiento superficial), así como de la magnitud de la presión normal NORTE. Como muestra la experiencia, la fuerza de fricción máxima es aproximadamente proporcional a la presión normal, es decir mi. hay una igualdad Tmáx= fN. (6.4) Esta relación se llama Ley de Amonton-Coulomb. El coeficiente adimensional / se llama coeficiente de rozamiento por deslizamiento. Como se desprende de la experiencia, se el valor en un amplio rango no depende del área de las superficies de contacto, pero depende del material y del grado de rugosidad de las superficies de contacto. Los valores de los coeficientes de fricción se establecen empíricamente y se pueden encontrar en tablas de referencia. Desigualdad" (6.3) ahora se puede escribir como T≤fN (6.5) El caso de igualdad estricta en (6.5) corresponde al valor máximo de la fuerza de fricción. Esto significa que la fuerza de fricción se puede calcular mediante la fórmula T = fN sólo en aquellos casos en los que se sepa de antemano que existe un caso crítico. En todos los demás casos, la fuerza de fricción debe determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio Considere un cuerpo ubicado sobre una superficie rugosa. Supondremos que como resultado de la acción de las fuerzas activas y de las fuerzas de reacción, el cuerpo se encuentra en equilibrio límite. En la fig. 6.6, un se muestra la reacción límite R y sus componentes N y T max (en la posición que se muestra en esta figura, las fuerzas activas tienden a mover el cuerpo hacia la derecha, la fuerza de fricción máxima T max se dirige hacia la izquierda). Inyección F entre reacción límite R y la normal a la superficie se llama ángulo de fricción. Encontremos este rincón. De la fig. 6.6, pero tenemos tgφ \u003d Tmax / N o, usando la expresión (6.4), tgφ \u003d f (6-7)

se dan ambas cantidades).

Artículo anterior: Interpretación de los sueños según el Corán y la Sunnah Próximo artículo: Ashura - un día fatídico en la historia de la humanidad