Ecuación de un plano que pasa por tres puntos. Ecuación de un plano: ¿cómo componer? Tipos de ecuaciones del plano Ecuación del plano por un punto perpendicular al vector

Para obtener la ecuación general del plano, analizamos el plano que pasa por un punto dado.

Que haya tres ejes de coordenadas que ya conocemos en el espacio: Buey, Oye y Onz. Sostenga la hoja de papel para que quede plana. El plano será la propia hoja y su continuación en todas las direcciones.

Dejar PAGS plano arbitrario en el espacio. Cualquier vector perpendicular a él se llama vector normal a este avión. Naturalmente, estamos hablando de un vector distinto de cero.

Si se conoce algún punto del plano PAGS y algún vector de la normal a él, entonces por estas dos condiciones el plano en el espacio está completamente determinado(por un punto dado, solo hay un plano perpendicular a un vector dado). La ecuación general del plano se verá como:

Entonces, hay condiciones que establecen la ecuación del plano. para conseguirlo yo mismo ecuación plana, que tiene la forma anterior, tomamos en el plano PAGS arbitrario punto METRO con coordenadas variables X, y, z. Este punto pertenece al plano sólo si vector perpendicular al vector(Figura 1). Para ello, según la condición de perpendicularidad de los vectores, es necesario y suficiente que el producto escalar de estos vectores sea igual a cero, es decir

El vector viene dado por la condición. Encontramos las coordenadas del vector por la fórmula :

Ahora, usando la fórmula del producto escalar de vectores , expresamos el producto escalar en forma de coordenadas:

Desde el punto M(x; y; z) se elige arbitrariamente en el plano, entonces la última ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en el plano PAGS. por punto norte, no acostado en un plano dado, , i.e. se viola la igualdad (1).

Ejemplo 1 Escribe una ecuación para un plano que pasa por un punto y es perpendicular a un vector.

Solución. Usamos la fórmula (1), mírala de nuevo:

En esta fórmula, los números A , B y C coordenadas vectoriales y números X0 , y0 y z0 - coordenadas del punto.

Los cálculos son muy simples: sustituimos estos números en la fórmula y obtenemos

Multiplicamos todo lo que hay que multiplicar y sumamos solo números (que no tienen letras). Resultado:

La ecuación requerida del plano en este ejemplo resultó estar expresada por la ecuación general de primer grado con respecto a coordenadas variables x, y, z punto arbitrario del plano.

Entonces, una ecuación de la forma

llamado la ecuación general del plano .

Ejemplo 2 Construya en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares el plano dado por la ecuación .

Solución. Para construir un plano, es necesario y suficiente conocer cualquiera de sus tres puntos que no se encuentran en una línea recta, por ejemplo, los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.

¿Cómo encontrar estos puntos? Para encontrar el punto de intersección con el eje Onz, necesita sustituir ceros en lugar de x e y en la ecuación dada en el enunciado del problema: X = y= 0 . Por lo tanto, obtenemos z= 6 . Por lo tanto, el plano dado interseca al eje Onz en el punto A(0; 0; 6) .

De la misma manera, encontramos el punto de intersección del plano con el eje Oye. En X = z= 0 obtenemos y= −3 , es decir, un punto B(0; −3; 0) .

Y finalmente encontramos el punto de intersección de nuestro plano con el eje Buey. En y = z= 0 obtenemos X= 2 , es decir, un punto C(2; 0; 0) . Según los tres puntos obtenidos en nuestra solución A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) y C(2; 0; 0) construimos el plano dado.

Considere ahora casos especiales de la ecuación general del plano. Estos son casos en los que ciertos coeficientes de la ecuación (2) desaparecen.

1. cuando re= 0 ecuación define un plano que pasa por el origen, ya que las coordenadas de un punto 0 (0; 0; 0) satisfacen esta ecuación.

2. cuando A= 0 ecuación define un plano paralelo al eje Buey, ya que el vector normal de este plano es perpendicular al eje Buey(su proyección sobre el eje Buey es igual a cero). Del mismo modo, cuando B= 0 avión eje paralelo Oye, y cuando C= 0 avión paralelo al eje Onz.

3. cuando A=D= 0 ecuación define un plano que pasa por el eje Buey porque es paralelo al eje Buey (A=re= 0). De manera similar, el plano pasa por el eje Oye, y el plano que pasa por el eje Onz.

4. cuando A=B= 0 ecuación define un plano paralelo al plano de coordenadas xOy porque es paralelo a los ejes Buey (A= 0) y Oye (B= 0). Asimismo, el plano es paralelo al plano yOz, y el avión - el avión xOz.

5. Cuando A=B=D= 0 ecuación (o z= 0) define el plano de coordenadas xOy, ya que es paralelo al plano xOy (A=B= 0) y pasa por el origen ( re= 0). Del mismo modo, la ecuación y= 0 en el espacio define el plano de coordenadas xOz, y la ecuación x= 0 - plano de coordenadas yOz.

Ejemplo 3 Componer la ecuación del plano. PAGS pasando por el eje Oye y punto .

Solución. Entonces el avión pasa por el eje Oye. Así que en su ecuación y= 0 y esta ecuación tiene la forma . Para determinar los coeficientes A y C usamos el hecho de que el punto pertenece al plano PAGS .

Por lo tanto, entre sus coordenadas están las que se pueden sustituir en la ecuación del plano, que ya hemos derivado (). Veamos de nuevo las coordenadas del punto:

METRO0 (2; −4; 3) .

Entre ellos X = 2 , z= 3 . Los sustituimos en la ecuación general y obtenemos la ecuación para nuestro caso particular:

2A + 3C = 0 .

dejamos 2 A en el lado izquierdo de la ecuación, transferimos 3 C hacia el lado derecho y obtener

A = −1,5C .

Sustituyendo el valor encontrado A en la ecuación, obtenemos

o .

Esta es la ecuación requerida en la condición del ejemplo.

Resuelva el problema en las ecuaciones del plano usted mismo y luego mire la solución

Ejemplo 4 Determinar el plano (o planos si hay más de uno) con respecto a los ejes de coordenadas o planos de coordenadas si el plano(s) está dado por la ecuación.

Soluciones a problemas típicos que se presentan en las pruebas - en el manual "Problemas en un plano: paralelismo, perpendicularidad, intersección de tres planos en un punto".

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos

Como ya se mencionó, una condición necesaria y suficiente para construir un plano, además de un punto y un vector normal, son también tres puntos que no se encuentran en una línea recta.

Sean dados tres puntos diferentes , y , que no estén sobre la misma línea recta. Como estos tres puntos no están en una línea recta, los vectores y no son colineales, y por lo tanto cualquier punto del plano está en el mismo plano que los puntos , y si y solo si los vectores , y coplanar, es decir si y solo si el producto mixto de estos vectores es igual a cero

Usando la expresión del producto mixto en coordenadas, obtenemos la ecuación plana

(3)

Después de expandir el determinante, esta ecuación se convierte en una ecuación de la forma (2), es decir la ecuación general del plano.

Ejemplo 5 Escribe una ecuación para un plano que pasa por tres puntos dados que no están sobre una línea recta:

y determinar un caso particular de la ecuación general de la recta, si la hubiere.

Solución. De acuerdo con la fórmula (3) tenemos:

Ecuación normal del plano. Distancia del punto al plano

La ecuación normal de un plano es su ecuación, escrita en la forma

En este artículo, hablaremos sobre cómo la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio tridimensional es perpendicular a una línea recta dada. Primero, analizaremos el principio de encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una línea recta dada, después de lo cual analizaremos en detalle las soluciones a ejemplos y problemas típicos.

Navegación de página.

Encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio perpendicular a una línea dada.

Plantémonos la siguiente tarea.

Sea Oxyz fijo en un espacio tridimensional, se dé un punto, una línea a, y se requiere escribir la ecuación del plano que pasa por el punto M 1 perpendicular a la línea a.

Primero, recordemos un hecho importante.

En las lecciones de geometría en la escuela secundaria, se demuestra un teorema: un solo plano pasa por un punto dado en el espacio tridimensional, perpendicular a una línea dada (puede encontrar la demostración de este teorema en el libro de texto de geometría para los grados 10-11, indicado en la bibliografía al final del artículo).

Ahora mostraremos cómo se encuentra la ecuación de este único plano que pasa por un punto dado perpendicular a una línea dada.

En la condición del problema, se nos dan las coordenadas x 1, y 1, z 1 del punto M 1 por donde pasa el avión. Entonces, si encontramos las coordenadas del vector normal del plano, entonces podemos componer la ecuación requerida del plano que pasa por el punto dado perpendicular a la línea recta dada.

Ejemplos de elaboración de la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada.

Considere las soluciones de varios ejemplos en los que se encuentra la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio perpendicular a una línea recta dada.

Ejemplo.

Escribe la ecuación del plano que pasa por el punto y es perpendicular a la línea coordenada Oz.

Solución.

El vector de dirección de la línea de coordenadas Oz es obviamente el vector de coordenadas. Entonces el vector normal del plano, cuya ecuación necesitamos componer, tiene coordenadas. Escribamos la ecuación de un plano que pasa por un punto y tiene un vector normal con coordenadas:
.

Veamos la segunda forma de resolver este problema.

El plano perpendicular a la línea de coordenadas Oz define una ecuación general incompleta del plano de la forma . Encontremos los valores C y D en los que el plano pasa por el punto sustituyendo las coordenadas de este punto en la ecuación: . Así, los números C y D están relacionados por la relación . Tomando C=1, obtenemos D=-5. Sustituimos los C=1 y D=-5 encontrados en la ecuación y obtenemos la ecuación deseada del plano perpendicular a la línea Oz y que pasa por el punto . Parece que .

Respuesta:

Ejemplo.

Escribe la ecuación de un plano que pasa por el origen y es perpendicular a la recta .

Solución.

Como el plano cuya ecuación necesitamos obtener es perpendicular a la recta , entonces el vector normal del plano puede tomarse como el vector director de la recta dada. Entonces . Queda por escribir la ecuación del plano que pasa por el punto y tiene un vector normal : . Esta es la ecuación deseada del plano que pasa por el origen perpendicular a la línea dada.

Respuesta:

Ejemplo.

Dos puntos y se dan en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz en el espacio tridimensional. El plano pasa por el punto A perpendicular a la línea AB. Escribe la ecuación del plano en segmentos.

Solución.

Ecuación general de un plano que pasa por un punto y tiene un vector plano normal , se escribirá como .

Queda por pasar a la ecuación requerida del plano en segmentos:

.

Respuesta:

En conclusión, notamos que hay problemas en los que se requiere escribir la ecuación de un plano que pasa por un punto dado y es perpendicular a dos planos que se cortan. De hecho, la solución de este problema se reduce a componer la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada, ya que dos planos que se cortan definen una recta. En este caso, la principal dificultad es el proceso de encontrar las coordenadas del vector normal del plano, cuya ecuación debe componerse.

Por lo tanto, el vector es el vector normal del plano perpendicular a la recta a . Escribamos la ecuación del plano que pasa por el punto y teniendo un vector normal :
.

Esta es la ecuación deseada de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una línea recta dada.

Respuesta:

Bibliografía.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometría. Grados 7 - 9: un libro de texto para instituciones educativas.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometría. Libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria.
Pogorelov A.V., Geometría. Libro de texto para los grados 7-11 de instituciones educativas.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen Uno: Elementos de Álgebra Lineal y Geometría Analítica.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.

Este artículo da una idea de cómo escribir la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio tridimensional perpendicular a una línea dada. Analicemos el algoritmo anterior usando el ejemplo de resolución de problemas típicos.

Encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio perpendicular a una línea dada

Sea en él un espacio tridimensional y un sistema de coordenadas rectangulares O x y z. También se dan el punto M 1 (x 1, y 1, z 1), la recta a y el plano α que pasa por el punto M 1 perpendicular a la recta a. Es necesario escribir la ecuación del plano α.

Antes de proceder a resolver este problema, recordemos el teorema de geometría del programa para los grados 10 - 11, que dice:

Definición 1

Un solo plano pasa por un punto dado en el espacio tridimensional y es perpendicular a una línea dada.

Ahora considere cómo encontrar la ecuación de este único plano que pasa por el punto de partida y es perpendicular a la línea dada.

Es posible escribir la ecuación general de un plano si se conocen las coordenadas de un punto perteneciente a este plano, así como las coordenadas del vector normal del plano.

Por la condición del problema, se nos dan las coordenadas x 1, y 1, z 1 del punto M 1 por donde pasa el plano α. Si determinamos las coordenadas del vector normal del plano α, entonces podremos escribir la ecuación deseada.

El vector normal del plano α, dado que es distinto de cero y está sobre la recta a, perpendicular al plano α, será cualquier vector director de la recta a. Así, el problema de encontrar las coordenadas del vector normal del plano α se transforma en el problema de determinar las coordenadas del vector director de la recta a.

La determinación de las coordenadas del vector director de la recta a puede llevarse a cabo por diferentes métodos: depende de la variante de establecer la recta a en las condiciones iniciales. Por ejemplo, si la línea a en la condición del problema está dada por ecuaciones canónicas de la forma

x - x 1 una x = y - y 1 una y = z - z 1 una z

o ecuaciones paramétricas de la forma:

x = x 1 + un x λ y = y 1 + un y λ z = z 1 + un z λ

entonces el vector director de la recta tendrá las coordenadas ax, ay y az. En el caso de que la línea recta a esté representada por dos puntos M 2 (x 2, y 2, z 2) y M 3 (x 3, y 3, z 3), entonces las coordenadas del vector de dirección se determinarán como (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

Definición 2

Algoritmo para hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada:

Determine las coordenadas del vector director de la recta a: un → = (un x, un y, un z) ;

Definimos las coordenadas del vector normal del plano α como las coordenadas del vector director de la recta a:

n → = (A , B , C) , donde UN = un X , segundo = un y , C = un z;

Escribimos la ecuación del plano que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y que tiene un vector normal n→=(A, B, C) en la forma A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Esta será la ecuación requerida de un plano que pasa por un punto dado en el espacio y es perpendicular a una línea dada.

La ecuación general resultante del plano: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 permite obtener la ecuación del plano en segmentos o la ecuación normal del plano.

Resolvamos algunos ejemplos usando el algoritmo obtenido arriba.

Ejemplo 1

Se da un punto M 1 (3, - 4, 5) por el que pasa el plano, y este plano es perpendicular a la línea de coordenadas O z.

Solución

el vector director de la recta coordenada O z será el vector coordenado k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Por tanto, el vector normal del plano tiene coordenadas (0 , 0 , 1) . Escribamos la ecuación de un plano que pasa por un punto dado M 1 (3, - 4, 5) cuyo vector normal tiene coordenadas (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Respuesta: z - 5 = 0 .

Considere otra forma de resolver este problema:

Ejemplo 2

Un plano que sea perpendicular a la línea O z estará dado por una ecuación general incompleta del plano de la forma С z + D = 0 , C ≠ 0 . Definamos los valores de C y D: aquellos por los que el plano pasa por un punto dado. Sustituyendo las coordenadas de este punto en la ecuación C z + D = 0 , obtenemos: C · 5 + D = 0 . Aquellos. números, C y D están relacionados por - D C = 5 . Tomando C \u003d 1, obtenemos D \u003d - 5.

Sustituya estos valores en la ecuación C z + D = 0 y obtenga la ecuación requerida para un plano perpendicular a la línea O z y que pasa por el punto M 1 (3, - 4, 5) .

Se verá como: z - 5 = 0.

Respuesta: z - 5 = 0 .

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para un plano que pasa por el origen y es perpendicular a la línea x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solución

Con base en las condiciones del problema, se puede argumentar que el vector guía de una línea recta dada puede tomarse como un vector normal n → de un plano dado. Así: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Escribamos la ecuación de un plano que pasa por el punto O (0, 0, 0) y que tiene un vector normal n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Hemos obtenido la ecuación requerida para el plano que pasa por el origen perpendicular a la línea dada.

Respuesta:- 3x - 7y + 2z = 0

Ejemplo 4

Dado un sistema de coordenadas rectangulares O x y z en un espacio tridimensional, contiene dos puntos A (2 , - 1 , - 2) y B (3 , - 2 , 4) . El plano α pasa por el punto A perpendicular a la línea AB Es necesario componer la ecuación del plano α en segmentos.

Solución

El plano α es perpendicular a la recta A B, entonces el vector A B → será el vector normal del plano α. Las coordenadas de este vector se determinan como la diferencia entre las coordenadas correspondientes de los puntos B (3, - 2, 4) y A (2, - 1, - 2):

UN segundo → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ UN segundo → = (1 , - 1 , 6)

La ecuación general del plano se escribirá de la siguiente forma:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Ahora componemos la ecuación deseada del plano en los segmentos:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Respuesta:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

También hay que señalar que existen problemas cuyo requisito es escribir una ecuación para un plano que pasa por un punto dado y es perpendicular a dos planos dados. En general, la solución a este problema es escribir una ecuación para un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una línea dada, ya que dos planos que se cortan definen una línea recta.

Ejemplo 5

Se da un sistema de coordenadas rectangulares O x y z, en él hay un punto M 1 (2, 0, - 5) . También se dan las ecuaciones de dos planos 3 x + 2 y + 1 = 0 y x + 2 z - 1 = 0, que se cortan a lo largo de la línea recta a . Es necesario componer una ecuación para un plano que pasa por el punto M 1 perpendicular a la línea a.

Solución

Determinemos las coordenadas del vector director de la recta a . Es perpendicular tanto al vector normal n 1 → (3 , 2 , 0) del plano n → (1 , 0 , 2) como al vector normal 3 x + 2 y + 1 = 0 del x + 2 z - 1 = 0 plano.

Entonces el vector director α → recta a tomamos el producto vectorial de los vectores n 1 → y n 2 → :

un → = norte 1 → × norte 2 → = yo → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 yo → - 6 j → - 2 k → ⇒ un → = (4 , - 6 , - 2 )

Así, el vector n → = (4, - 6, - 2) será el vector normal del plano perpendicular a la recta a. Escribimos la ecuación deseada del plano:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Respuesta: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Si todos los números A, B, C y D son distintos de cero, entonces la ecuación general del plano se llama completo. En caso contrario, la ecuación general del plano se llama incompleto.

Consideremos todas las posibles ecuaciones generales incompletas del plano en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz en el espacio tridimensional.

Sea D = 0, entonces tenemos una ecuación general incompleta del plano de la forma . Este plano en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz pasa por el origen. De hecho, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación incompleta resultante del plano, llegamos a la identidad .

Para , o , o tenemos ecuaciones generales incompletas de los planos , o , o respectivamente. Estas ecuaciones definen planos que son paralelos a los planos de coordenadas Oxy , Oxz y Oyz respectivamente (ver el artículo Condición de paralelismo para planos) y que pasan por los puntos y correspondientemente. En. Desde el punto pertenece al plano por condición, entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación del plano, es decir, la igualdad debe ser verdadera. A partir de aquí nos encontramos. Por lo tanto, la ecuación deseada tiene la forma .

Presentamos la segunda forma de resolver este problema.

Dado que el plano, cuya ecuación general necesitamos componer, es paralelo al plano Oyz , entonces como su vector normal podemos tomar el vector normal del plano Oyz . El vector normal del plano de coordenadas Oyz es el vector de coordenadas . Ahora conocemos el vector normal del plano y el punto del plano, por lo tanto, podemos escribir su ecuación general (resolvimos un problema similar en el párrafo anterior de este artículo):
, entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano. Por lo tanto, la igualdad donde nos encontramos Ahora podemos escribir la ecuación general deseada del plano, tiene la forma .

Respuesta:

Bibliografía.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen Uno: Elementos de Álgebra Lineal y Geometría Analítica.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.

ÁNGULO ENTRE PLANOS

Consideremos dos planos α 1 y α 2 dados respectivamente por las ecuaciones:

Bajo ángulo entre dos planos nos referimos a uno de los ángulos diedros formados por estos planos. Es obvio que el ángulo entre los vectores normales y los planos α 1 y α 2 es igual a uno de los ángulos diédricos adyacentes indicados o . Entonces . Porque y , entonces

Ejemplo. Determinar el ángulo entre planos. X+2y-3z+4=0 y 2 X+3y+z+8=0.

Condición de paralelismo de dos planos.

Dos planos α 1 y α 2 son paralelos si y solo si sus vectores normales y son paralelos, y por lo tanto .

Entonces, dos planos son paralelos entre sí si y solo si los coeficientes en las coordenadas correspondientes son proporcionales:

Condición de perpendicularidad de los planos.

Es claro que dos planos son perpendiculares si y solo si sus vectores normales son perpendiculares, y por lo tanto, o .

De este modo, .

Ejemplos.

DIRECTO EN EL ESPACIO.

ECUACION VECTORIAL DIRECTA.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DIRECTAS

La posición de una línea recta en el espacio se determina completamente especificando cualquiera de sus puntos fijos METRO 1 y un vector paralelo a esta recta.

Un vector paralelo a una recta se llama estrella de guía el vector de esta línea.

Así que deja la recta yo pasa por un punto METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1) sobre una recta paralela al vector .

Considere un punto arbitrario M(x,y,z) en línea recta. Se puede ver en la figura que .

Los vectores y son colineales, por lo que existe tal número t, qué , dónde está el multiplicador t puede tomar cualquier valor numérico dependiendo de la posición del punto METRO en línea recta. Factor t se llama parámetro. Denotar los vectores de radio de los puntos METRO 1 y METRO respectivamente, a través de y , obtenemos . Esta ecuación se llama vector ecuación de línea recta. Muestra que cada valor de parámetro t corresponde al radio vector de algún punto METRO acostado en línea recta.

Escribimos esta ecuación en forma de coordenadas. Darse cuenta de , y desde aquí

Las ecuaciones resultantes se llaman paramétrico ecuaciones de linea recta

Al cambiar el parámetro t cambio de coordenadas X, y y z y punto METRO se mueve en línea recta.

ECUACIONES CANÓNICAS DIRECTAS

Dejar METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punto que se encuentra en una línea recta yo, y es su vector director. Nuevamente, tome un punto arbitrario en una línea recta M(x,y,z) y considere el vector .

Es claro que los vectores y son colineales, por lo que sus respectivas coordenadas deben ser proporcionales, por lo tanto

– canónico ecuaciones de linea recta

Observación 1. Tenga en cuenta que las ecuaciones canónicas de la línea podrían obtenerse de las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro t. De hecho, a partir de las ecuaciones paramétricas obtenemos o .

Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta. de forma paramétrica.

Denotar , por eso X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observación 2. Sea la línea perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, por ejemplo, el eje Buey. Entonces el vector director de la recta es perpendicular Buey, por eso, metro=0. En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de la línea recta toman la forma

Eliminando el parámetro de las ecuaciones t, obtenemos las ecuaciones de la recta en la forma

Sin embargo, también en este caso, acordamos escribir formalmente las ecuaciones canónicas de la línea recta en la forma . Por lo tanto, si el denominador de una de las fracciones es cero, significa que la línea es perpendicular al eje de coordenadas correspondiente.

Del mismo modo, las ecuaciones canónicas corresponde a una recta perpendicular a los ejes Buey y Oye o eje paralelo Onz.

Ejemplos.

ECUACIONES GENERALES UNA LÍNEA DIRECTA COMO LÍNEA DE INTERCEPCIÓN DE DOS PLANOS

A través de cada línea recta en el espacio pasa un número infinito de planos. Dos cualesquiera de ellos, intersecándose, lo definen en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones de cualquiera de estos dos planos, consideradas juntas, son las ecuaciones de esta recta.

En general, cualesquiera dos planos no paralelos dados por las ecuaciones generales

determinar su línea de intersección. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones generales derecho.

Ejemplos.

Construir una línea recta dada por ecuaciones

Para construir una línea, es suficiente encontrar dos de sus puntos. La forma más fácil es elegir los puntos de intersección de la línea con los planos de coordenadas. Por ejemplo, el punto de intersección con el plano xOy obtenemos de las ecuaciones de una recta, asumiendo z= 0:

Resolviendo este sistema, encontramos el punto METRO 1 (1;2;0).

Del mismo modo, suponiendo y= 0, obtenemos el punto de intersección de la recta con el plano xOz:

De las ecuaciones generales de una línea recta, se puede proceder a sus ecuaciones canónicas o paramétricas. Para hacer esto, necesitas encontrar algún punto. METRO 1 en la línea y el vector de dirección de la línea.

Coordenadas del punto METRO 1 obtenemos de este sistema de ecuaciones, dando a una de las coordenadas un valor arbitrario. Para encontrar el vector de dirección, tenga en cuenta que este vector debe ser perpendicular a ambos vectores normales y . Por tanto, para el vector director de la recta yo puedes tomar el producto cruz de vectores normales:

Ejemplo. Dar las ecuaciones generales de la recta. a la forma canónica.

Encuentra un punto en una línea recta. Para ello, elegimos arbitrariamente una de las coordenadas, por ejemplo, y= 0 y resuelve el sistema de ecuaciones:

Los vectores normales de los planos que definen la línea tienen coordenadas Por lo tanto, el vector director será recto

. Por eso, yo: .

ÁNGULO ENTRE DERECHAS

esquina entre rectas en el espacio llamaremos a cualquiera de los ángulos adyacentes formados por dos rectas trazadas por un punto arbitrario paralelo a los datos.

Sean dadas dos rectas en el espacio:

Obviamente, el ángulo φ entre las líneas se puede tomar como el ángulo entre sus vectores directores y . Como , entonces de acuerdo con la fórmula para el coseno del ángulo entre los vectores obtenemos

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