Encuentre el punto máximo del algoritmo de la función. Valores de función y puntos máximos y mínimos
A partir de este artículo, el lector aprenderá qué es un extremo de valor funcional, así como las características de su uso en la práctica. Aprender tal concepto es esencial para comprender los fundamentos de las matemáticas superiores. Este tema es fundamental para un estudio más profundo del curso.
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¿Qué es un extremo?
En el curso escolar, hay muchas definiciones del concepto de "extremo". Este artículo tiene como objetivo brindar la comprensión más profunda y clara del término para quienes no estén informados en la materia. Entonces, el término se entiende en qué medida el intervalo funcional adquiere el valor mínimo o máximo en un conjunto particular.
El extremo es tanto el valor mínimo de la función como el máximo al mismo tiempo. Distinga entre un punto mínimo y un punto máximo, es decir, los valores extremos del argumento en el gráfico. Las principales ciencias en las que se utiliza este concepto:
- Estadísticas;
- Control de maquina;
- econometría.
Los puntos extremos juegan un papel importante en la determinación de la secuencia de una función dada. Sistema de coordenadas en la parcela en De la mejor manera posible muestra el cambio en la posición extrema en función del cambio de funcionalidad.
Los extremos de la derivada de una función
También existe un fenómeno llamado "derivado". Es necesario para determinar el punto extremo. Es importante no confundir los puntos mínimos o máximos con los valores más altos y más bajos. Son conceptos diferentes, aunque parezcan similares.
El valor de la función es el factor principal para determinar cómo encontrar el punto máximo. La derivada no se forma a partir de valores, sino exclusivamente a partir de su posición extrema en un orden u otro.
La derivada en sí se determina basándose en los datos de los puntos extremos, y no en el valor más alto o más bajo. En las escuelas rusas, la línea divisoria entre estos dos conceptos no está claramente trazada, lo que afecta la comprensión de este tema en general.
Veamos ahora algo como "extremo agudo". Hoy, se distingue un valor mínimo agudo y un valor máximo agudo. La definición se da de acuerdo con la clasificación rusa de puntos críticos de una función. El concepto de un punto extremo es fundamental para encontrar puntos críticos en un gráfico.
Para definir tal concepto, se recurre al teorema de Fermat. Es el más importante en el estudio de los puntos extremos y da una idea clara de su existencia de una forma u otra. Para garantizar la extremado, es importante crear ciertas condiciones para disminuir o aumentar en el gráfico.
Para obtener una respuesta precisa a la pregunta "cómo encontrar el punto máximo", debe seguir las siguientes disposiciones:
- Encontrar el área exacta de definición en el gráfico.
- Busque la derivada de la función y el punto extremo.
- Resuelve desigualdades estándar para el dominio del argumento.
- Ser capaz de demostrar en qué funciones el punto del gráfico está definido y es continuo.
¡Atención! La búsqueda del punto crítico de una función solo es posible en el caso de la existencia de una derivada de al menos segundo orden, que está garantizada por una alta proporción de la presencia de un punto extremo.
Una condición necesaria para el extremo de una función.
Para que exista un extremo, es importante que haya puntos mínimos y máximos. Si esta regla se observa solo parcialmente, entonces se viola la condición para la existencia de un extremo.
Cada función en cualquier posición debe diferenciarse para revelar sus nuevos significados. Es importante entender que el caso de la desaparición de un punto no es el principio básico para encontrar un punto diferenciable.
Un extremo agudo, así como un mínimo de una función, es un aspecto extremadamente importante de la resolución de un problema matemático utilizando valores extremos. Para comprender mejor este componente, es importante consultar los valores tabulares para especificar la funcionalidad.
| Un estudio completo del significado | Trazar un valor |
| 1. Determinación de los puntos de valores crecientes y decrecientes. 2. Encontrar puntos de ruptura, extremo e intersección con los ejes coordenados. 3. El proceso de determinar cambios de posición en el gráfico. 4. Determinación del exponente y dirección de convexidad y convexidad, teniendo en cuenta la presencia de asíntotas. 5. Creación de una tabla resumen del estudio en cuanto a la determinación de sus coordenadas. 6. Encontrar los intervalos de puntos extremos y agudos crecientes y decrecientes. 7. Determinación de la convexidad y concavidad de una curva. 8. La construcción de una gráfica basada en el estudio le permite encontrar un mínimo o un máximo. |
El elemento principal, cuando es necesario trabajar con extremos, es la construcción precisa de su gráfico. Los profesores de escuela no suelen prestar la máxima atención a un aspecto tan importante, que constituye una grave violación del proceso educativo. El trazado se lleva a cabo solo en función de los resultados del estudio de datos funcionales, determinación de extremos agudos y puntos en el gráfico. Los extremos agudos de la derivada de la función se muestran en el gráfico. valores exactos, utilizando el procedimiento estándar para determinar las asíntotas. |
¿Qué es un extremo de una función y cuál es la condición necesaria para un extremo?
El extremo de una función se denomina máximo y mínimo de una función.
La condición necesaria para el máximo y mínimo (extremo) de la función es la siguiente: si la función f (x) tiene un extremo en el punto x = a, entonces en este punto la derivada es cero o infinita, o no no existe.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. La derivada en el punto x = a puede desaparecer hasta el infinito o no existir sin que la función tenga un extremo en este punto.
¿Cuál es la condición suficiente para el extremo de la función (máximo o mínimo)?
Primera condición:
Si en suficiente proximidad al punto x = a la derivada f? (X) es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha de a, entonces en el punto x = a la función f (x) tiene máximo
Si en suficiente proximidad al punto x = a la derivada f? (X) es negativa a la izquierda de a y positiva a la derecha de a, entonces en el punto x = a la función f (x) tiene mínimo siempre que la función f (x) sea continua aquí.
En su lugar, puede utilizar la segunda condición suficiente para el extremo de la función:
Sea en el punto x = a la primera derivada f? (X) desaparece; si en este caso la segunda derivada f ?? (a) es negativa, entonces la función f (x) tiene un máximo en el punto x = a, si es positiva, entonces un mínimo.
¿Cuál es el punto de inflexión de una función y cómo puedo encontrarlo?
Este es el valor del argumento de la función en el que la función tiene un extremo (es decir, máximo o mínimo). Para encontrarlo necesitas encontrar la derivada función f? (x) y, equiparándola a cero, resuelve la ecuación f? (x) = 0. Las raíces de esta ecuación, así como los puntos en los que no existe la derivada de esta función, son puntos críticos, es decir, los valores del argumento en los que puede haber un extremum. Pueden identificarse fácilmente mirando gráfico derivado: nos interesan aquellos valores del argumento en los que la gráfica de la función cruza el eje de abscisas (eje Ox) y aquellos en los que se rompe la gráfica.
Por ejemplo, busquemos extremo de una parábola.
Función y (x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivada de la función: y? (X) = 6x + 2
Resolviendo la ecuación: y? (X) = 0
6x + 2 = 0.6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3
En este caso, el punto crítico es x0 = -1 / 3. Es por este valor del argumento que la función tiene extremo... Para hacerle encontrar, sustituye el número encontrado en la expresión de la función en lugar de "x":
y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Cómo determinar el máximo y el mínimo de una función, es decir sus valores más grandes y más pequeños?
Si el signo de la derivada al pasar por el punto crítico x0 cambia de "más" a "menos", entonces x0 es punto máximo; si el signo de la derivada cambia de menos a más, entonces x0 es punto mínimo; si el signo no cambia, entonces en el punto x0 no hay máximo ni mínimo.
Para el ejemplo considerado:
Tomamos un valor arbitrario del argumento a la izquierda del punto crítico: x = -1
Cuando x = -1, el valor de la derivada será y? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (es decir, el signo es "menos").
Ahora tomamos un valor arbitrario del argumento a la derecha del punto crítico: x = 1
Cuando x = 1, el valor de la derivada será y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (es decir, el signo es "más").
Como puede ver, la derivada cambió su signo de menos a más al pasar por el punto crítico. Esto significa que en el valor crítico x0 tenemos un punto mínimo.
Valor de función más grande y más pequeño en el intervalo(en el segmento) se encuentran mediante el mismo procedimiento, solo teniendo en cuenta el hecho de que, quizás, no todos los puntos críticos se encontrarán dentro del intervalo especificado. Los puntos críticos que están fuera del intervalo deben excluirse de la consideración. Si solo hay un punto crítico dentro del intervalo, contendrá un máximo o un mínimo. En este caso, para determinar los valores más grande y más pequeño de la función, también tenemos en cuenta los valores de la función en los extremos del intervalo.
Por ejemplo, busquemos los valores más grande y más pequeño de la función
y (x) = 3sin (x) - 0.5x
a intervalos:
Entonces, la derivada de la función es
y? (x) = 3cos (x) - 0.5
Resolver la ecuación 3cos (x) - 0.5 = 0
cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667
x = ± arcos (0,16667) + 2πk.
Encuentre puntos críticos en el intervalo [-9; nueve]:
x = arccos (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (no incluido en el intervalo)
x = -arcos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687
x = arcos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88
x = -arcos (0,16667) + 2π * 0 = -1,403
x = arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403
x = -arcos (0,16667) + 2π * 1 = 4,88
x = arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687
x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (no incluido en el intervalo)
Encontramos los valores de la función en los valores críticos del argumento:
y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398
y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256
y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885
Se ve que en el intervalo [-9; 9], la función tiene el mayor valor en x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
y el más pequeño - en x = 4.88:
x = 4,88, y = -5,398.
En el intervalo [-6; -3] tenemos un solo punto crítico: x = -4,88. El valor de la función en x = -4,88 es igual ay = 5,398.
Encuentre el valor de la función al final del intervalo:
y (-6) = 3cos (-6) - 0.5 = 3.838
y (-3) = 3cos (-3) - 0.5 = 1.077
En el intervalo [-6; -3] tenemos el valor más alto de la función
y = 5,398 en x = -4,88
el valor más pequeño es
y = 1.077 en x = -3
¿Cómo encontrar los puntos de inflexión de la gráfica de una función y determinar los lados de la convexidad y la concavidad?
Para encontrar todos los puntos de inflexión de la recta y = f (x), necesitas encontrar la segunda derivada, igualarla a cero (resolver la ecuación) y probar todos los valores de x para los cuales la segunda derivada es cero. , infinito o no existe. Si, al pasar por uno de estos valores, la segunda derivada cambia de signo, entonces la gráfica de la función tiene una inflexión en este punto. Si no cambia, entonces no hay inflexión.
¿Las raíces de la ecuación f? (x) = 0, así como los posibles puntos de discontinuidad de la función y la segunda derivada, dividen el dominio de la función en varios intervalos. La convexidad en cada uno de sus intervalos está determinada por el signo de la segunda derivada. Si la segunda derivada en un punto del intervalo investigado es positiva, entonces la línea y = f (x) es cóncava hacia arriba aquí, y si es negativa, hacia abajo.
¿Cómo encontrar los extremos de una función de dos variables?
Para encontrar los extremos de la función f (x, y), diferenciables en la región de su asignación, necesita:
1) encuentre los puntos críticos y, para ello, resuelva el sistema de ecuaciones
fx? (x, y) = 0, fу? (x, y) = 0
2) para cada punto crítico Р0 (a; b) investigue si el signo de la diferencia
para todos los puntos (x; y) suficientemente cercanos a Po. Si la diferencia conserva un signo positivo, entonces en el punto P0 tenemos un mínimo, si es negativo, entonces un máximo. Si la diferencia no conserva el signo, entonces no hay un extremo en el punto P0.
Los extremos de la función se determinan de forma similar para un mayor número de argumentos.
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Esta sección contiene los problemas del examen de matemáticas sobre temas relacionados con el estudio de funciones y sus derivadas. En particular, estamos hablando de encontrar los valores máximo y mínimo de funciones, dados analíticamente, es decir, mediante una fórmula.
Punto máximo (mínimo ) funciones y = F(X) llamado el valor del argumento x = a tal que hay una vecindad del punto a, en donde F(X) f ( a) (F(X) > F(a) ) por X ≠ a.
Máximo (mínimo ) se llama a la función su definicion en el punto extremo, es decir magnitud F(a) .
Por lo tanto,
- si la tarea contiene un requisito para determinar puntos extremos la respuesta debe escribir el encontrado sentido X ,
- si necesitas especificar los extremos mismos, entonces necesitas determinar sentido y en estos puntos, sustituyéndolos en la fórmula de la función y = F(X) .
Sobre los valores más grande y más pequeño de la función en un intervalo dado
, entonces para una función continua se pueden lograr tanto dentro del segmento como en sus extremos.
Las ilustraciones gráficas para este tema pueden ser
Si la función alcanza el valor más grande (más pequeño) en el punto interior del segmento, entonces este punto coincide con el punto del extremo correspondiente. Para responder a esta pregunta de tarea, se deben comparar los valores de la función en los puntos extremos con sus valores en los extremos del segmento. (En la práctica, para resolver este problema, no es necesario determinar la forma del extremo; basta con calcular los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento y compararlos entre sí. )
En 2018, esta tarea tiene el número 12.
Problemas para encontrar los puntos extremos de una función.
Algoritmo para encontrar puntos extremos.
1) Encuentra el dominio de la función.2) Encuentra su derivada F "(X).
3) Encuentra los puntos en los que F "(X) no existe.
4) Encuentra los puntos en los que F "(X) = 0.
5) Marcar en la recta numérica el dominio de definición de la función y todos los puntos identificados en los párrafos 3 y 4. El resultado son los intervalos del dominio de definición en los que la derivada conserva un signo constante.
6) Determine el signo F "(X) para cada intervalo. (Esto se hace con mayor frecuencia sustituyendo un valor de "conveniencia" X de este intervalo en la fórmula para la derivada obtenida en la Sección 2.)
7) Determinar las áreas de aumento y disminución de la función mediante los signos de la derivada y sacar conclusiones sobre la presencia o ausencia de un extremo y su naturaleza en cada uno de los puntos críticos.
Problema 1
y = (X+ 7) mi 7 − X .
1) La función es el producto de funciones lineales y exponenciales, que se definen en todo el eje real.
D(F) = (−∞;∞).
2) Calculamos la derivada usando la regla de diferenciación del producto y las fórmulas para la derivada de las funciones potencia y exponencial.
y " = ((X+ 7) mi 7 − X)" =
= (X+ 7) "· mi 7 − X + (X+ 7) ( mi 7 − X)" =
= (1 + 0) mi 7 − X + (X+ 7) mi 7 − X· (7 - X)" =
= mi 7 − X + (X+ 7) mi 7 - X(0 - 1) =
= mi 7 − X − (X+ 7) mi 7 − X .
El cálculo de la derivada está completo, pero para facilitar las acciones en los siguientes párrafos, vale la pena convertirlo a la forma más compacta.
mi 7 − X − (X+ 7) mi 7 − X = mi 7 − X· (1 - X − 7) = −mi 7 − X ·( X + 6).
Entonces, y " = −mi 7 − X ·( X + 6)
.
3) Expresión - mi 7 − X ·( X+ 6) se define en todos los puntos del eje real.
Puntos donde y " no existe, no.
4) Resuelve la ecuación
−mi 7 − X ·( X + 6) = 0.
mi 7 − X≠ 0 para cualquier valor X,
(X+ 6) = 0 para X = −6.
5) Representamos el eje numérico "infinito", que en nuestro caso coincide con el dominio de la función. Marcamos en él el único punto crítico encontrado X = −6.
6) Determine los signos de la derivada en las dos secciones resultantes del eje.
Para x x = −10, tenemos
y " = −mi 7 − X ·( X + 6) = −mi 7 + 10 (−10 + 6) = - mi 17 (−4) = 4 mi 17 ≈ 4 2,7 17> 0.
Para x> −6, por ejemplo, para X= 7, tenemos
y " = −mi 7 − X ·( X + 6) = −mi 7-7 (7 + 6) = - mi 0 · 13 = −1 · 13 = −13 Marque en el eje con el signo "+" el área donde y "> 0 y el signo "-", donde y "
7) En áreas donde la derivada es positiva, la función aumenta y donde la derivada es negativa, la función disminuye. Colocamos las flechas correspondientes en la figura. Las flechas muestran que en el punto X= −6, la función pasa de aumentar a disminuir, lo que significa que este es el punto máximo deseado. 
Respuesta: −6
Ahora prueba tu fuerza. Primero intente resolver el problema usted mismo, luego compare la respuesta y luego podrá revelar mi solución. Si su solución no es la misma que la mía, no es necesariamente incorrecta.
Atención: Para mejorar el efecto de enseñanza respuestas y soluciones se cargan por separado para cada tarea presionando secuencialmente botones sobre un fondo amarillo. (Cuando hay muchas tareas, los botones pueden aparecer con un retraso. Si los botones no están visibles en absoluto, verifique si su navegador está permitido JavaScript.)
Tarea 2
y = 4X- en ( X + 11) + 12.
Por la definición del logaritmo X+ 11> 0, por lo tanto D(F) = (−11;+∞).
y " = 4 − 1 ______ X + 11 = ______ 4X + 43 X + 11 .
Derivado X≠ −11, pero este valor está fuera del alcance de la función, por lo que no es un punto crítico.
y "= 0 para 4 X + 43 = 0; X = −10,75.
y "(−10,9) = −0,6/0,1 = −6 y "(−10) = 3/1 = 3 > 0;
Por eso, X= −10,75 el punto mínimo de la función.
Respuesta: −10,75
Problema 3
Encuentra el punto máximo de la función y = √16 − 4X − X 2 ___________ .
Según la definición de la raíz aritmética 16 - 4 X − X 2 ≥ 0. Por ahora, no resolveremos por completo esta desigualdad. Tenga en cuenta solo que esta es una desigualdad cuadrada y las ramas de la parábola correspondiente se dirigen hacia abajo. Se puede concluir que un trinomio cuadrado tendrá valores no negativos en el área entre sus raíces. D(F) = [X 1 ; X 2 ].
y " = 1 ____________ 2√16 − 4X − X 2 __________ (16 - 4 X − X 2)" = − X + 2 ___________ √16 − 4X − X 2 __________ .
y " no existe en los puntos donde el denominador de la fracción es cero, es decir
a los 16 - 4 X − X 2 = 0. Ya hemos designado estos puntos X 1 y X 2. Son los bordes del alcance de la función.
y "= 0 para X + 2 = 0, X = −2.
Elegir valores X para comprobar los signos de la derivada en las dos secciones resultantes. Sea −3 y 0. Asegurémonos de no sobrepasar el dominio de la definición de la función, es decir, el hecho de que para estos puntos se satisfaga la desigualdad para la expresión radical. (Si completáramos inmediatamente la desigualdad hasta el final, entonces esto no tendría que hacerse. Los puntos se elegirían de acuerdo con la figura).
16 − 4X − X 2 ≥ 0.
16 - 4 (−3) - (−3) 2 = 19 ≥ 0.
16 - 4 0 - 0 2 = 16 ≥ 0.
Determine los signos de la derivada en estos puntos.
y "(X) = − X + 2 ___________ √16 − 4X − X 2 __________ .
y "(−3) = − −3 + 2 _____ √19 __ = 1 ___ √19 __ > 0.
y "(0) = − 0 + 2 ____ √16 __ = − 2 _ 4 = −0,5
Por eso, X
Respuesta: −2
Comentario:
A algunos les puede resultar más fácil decidir de inmediato ecuación cuadrática y dibuja el dibujo final explícitamente. Hacer esto.
En este caso X 1 = −2 − 2√5_
≈ −6,5; X 2 = −2 + 2√5_
≈ 2,5.
Problema 4
Encuentra el punto mínimo de la función y = (0,5 − X) porque X+ pecado X, perteneciente al intervalo (0, π / 2).
D(F) = (−∞;∞).
y "
= (0,5 − X) "· Porque X + (0,5 − X) (Porque X) "+ (pecado X)" =
= −cos X − (0,5 − X) Pecado X+ porque X = (X- 0.5) pecado X
Puntos donde y " no existe, no.
Resolver la ecuación y " = 0.
(X- 0.5) pecado X= 0 en los casos en que
cualquiera ( X − 0,5) = 0, X = 0,5;
o pecado X = 0, X n = πn.
Comprobando la pertenencia de los valores encontrados X un intervalo dado.
Los valores que son múltiplos de π no pertenecen al intervalo. Para n = 0, X 0 = 0, pero el espaciado dado es un intervalo y 0 no está incluido en él. Otros valores son mayores que π /
2 o menos de 0.
0/2 ≈ 1,57. Punto X= 0.5 se incluye en el intervalo especificado y es el punto extremo. Ella es la única candidata para una respuesta. Sin embargo, debe asegurarse de que este sea exactamente el mínimo de la función. Para comprobar los signos de la derivada en el vecindario. X= 0.5 tome, por ejemplo, X= 0,45 y X = 0,55
.
y "(0.45) = (0.45 - 0.5) sin0.45 = −0.05sin0.45 y "(0.45) = (0.55 - 0.5) sin0.55 = 0.05sin0.55> 0
Así, a la izquierda del punto 0.5, la función disminuye y a la derecha aumenta. El punto es el punto mínimo.
Respuesta: 0,5
Comentario: sin0.45 y sin0.55 son positivos porque el intervalo investigado corresponde al primer cuarto del círculo trigonométrico.
Problemas para encontrar los extremos de una función.
1) Encuentre los puntos extremos de la función y determine su carácter de la misma manera que en los problemas anteriores.2) Determinamos los valores de la función en los puntos de máximo o mínimo de acuerdo con la pregunta del problema.
3) Si hay varios puntos máximos (mínimos) en el dominio de la función, entonces los máximos (mínimos) se denominan locales y el mayor (menor) se denomina máximo global (mínimo) o el valor más grande (menor) de la función. Una vez más, lea la pregunta del problema y seleccione el que necesita.
Problema 5
y = √5 − 4X − X 2 _________ .
La primera parte de la solución coincide completamente con la solución del problema 3.
5 − 4X − X 2 ≥ 0. D(F) = [X 1 ; X 2]. Aquí X 1 = −5; X 2 = 1.
y " = − X + 2 ___________ √5 − 4X − X 2 __________ .
y " no existe en los puntos −5 y 1.
y "= 0 para X + 2 = 0, X = −2.
y "(−3) = 1 __ √8_ > 0; y "(0) = − 2 __ √5_
Por eso, X= −2 el punto máximo de la función.
Determine el valor de la función en este punto.
y(X) = √5 − 4X − X 2 __________
y(−2) = √5 - 4 (−2) - (−2) 2 _______________ = √9_
= 3.
Las flechas en la figura muestran que el máximo en todo el dominio de la función es único; por lo tanto, el valor obtenido y (−2) = 3 será el valor más grande de la función.
Respuesta: 3
Problema 6
Encuentra el valor de función más pequeño y= log 3 ( X 2 − 6X + 10) + 2.
Por la definición del logaritmo X 2 − 6X+ 10> 0. El discriminante de este trinomio cuadrado D= 36 - 40 coeficiente en X 2 es igual a 1> 0, por lo que todos sus valores son positivos. Alcance de la función D(F) = (−∞;+∞).
y " = 1 ______________ (X 2 − 6X+ 10) ln3·( X 2 − 6X + 10)"+ 0 = ______________ 2X − 6 (X 2 − 6X+ 10) ln3.
El denominador de esta fracción> 0 (ln3> 1, ya que 3> e ≈ 2.7), por lo tanto los puntos donde y " no existe, no.
y "= 0 si 2 X − 6 = 0; X = 3.
El punto extremo encontrado es el único en el dominio de definición de la función; lo divide en dos secciones, y para X x> 3 y "> 0, lo que significa que este es el punto del mínimo global.
Encuentra el valor de la función en este punto
y(3) = log 3 ( X 2 − 6X+ 10) + 2 = log 3 (3 2-6 3 + 10) + 2 = log 3 1 + 2 = 0 + 2 = 2.
Este es el valor más pequeño de la función en todo el dominio.
Respuesta: 2
Tareas para determinar el valor más grande (más pequeño) de una función en un segmento.
Función continua en un segmento alcanza sus valores más pequeños y más grandes en los puntos interiores del intervalo o en sus extremos. Por tanto, para resolver los problemas de esta sección, basta con determinar los valores de la función en los puntos extremos y compararlos con sus valores en los extremos del segmento. No es necesario identificar el tipo de extremidad.
Si al menos una de las dos condiciones no se cumple - la función resulta ser discontinua o se especifica un intervalo (medio intervalo) como intervalo, entonces se requerirá un análisis completo del comportamiento de la función y su derivada, y no el hecho de que la respuesta existirá. En el examen, aún no se han encontrado problemas con condiciones tan complicadas, y aquellos que simplemente estén interesados pueden seguir el enlace y
Problema 7
Encuentra el valor de función más grande y = X 3 + 2X 2 + X + 3 en el segmento [−4; −1].
D(F) = (−∞;+∞).
y " = 3X 2 + 4X + 1.
La función es continua en todo el dominio.
Puntos donde y " no existe, no.
Resolver la ecuación y " = 0: 3X 2 + 4X + 1 = 0
Discriminante D= 16 - 12 = 4. Raíces X 1,2 = −4 ± 2 ______ 6, X 1 = −1/3; X 2 = −1.
Encuentra los valores de la función en estos puntos y en los bordes del segmento.
y(X) = X 3 + 2X 2 + X + 3;
y(−4) = (−4) 3 + 2 (−4) 2-4 + 3 = −64 + 2 16-4 + 3 = −33;
y(−1/3) = (−1/3) 3 + 2 (−1/3) 2 - 1/3 + 3 = −1/27 + 2 1/9 −1/3 + 3 = 2 23
__
27
;
y(−1) = (−1) 3 + 2 (−1) 2-1 + 3 = −1 + 2-1 + 3 = 3.
Elegir el mayor de los valores resultantes y... eso y(−1) = 3.
Respuesta: 3
Problema 8
Encuentra el valor de función más grande y= 36tg X − 36X+ 9π + 7 en el segmento [−π / 4; π / 4].
En el segmento [−π / 4; π / 4], la función dada es definida y continua (ver gráfico tg X).
y "= 36 _____ 1 cos 2 X − 36 + 0;
y " no existe para cos X = 0, X n = _ π 2· N, n Є Z. Ninguno de estos puntos está incluido en el intervalo [−π / 4; π / 4].y "= 0 en cos 2 X= 1, cos X= ± 1, X k = πk, k Є Z. El segmento [−π / 4; π / 4] solo el punto pertenece X 0 = 0.
Determine los valores de la función en este punto y en los extremos del segmento.
y(X) = 36tg X − 36X+ 9π + 7
y(0) = 36tg0 - 36 0 + 9π + 7 = 0-0 + 9π + 7 ≈ 9 3,14 + 7 = 35,26
y(−π / 4) = 36tg (−π / 4) - 36 (−π / 4) + 9π + 7 = 36 (−1) + 9π + 9π + 7 = −29 + 18π ≈ −29 + 18 3,14 = 27,52
y(π / 4) = 36tg (π / 4) - 36 π / 4 + 9π + 7 = 36 1 - 9π + 9π + 7 = 43.
El mayor de estos números es 43.
Respuesta: 43
Comentario: Al diferenciar, recuerde que π es la misma constante que cualquier otro número. Por lo tanto, π "= 0.
Problema 9
Encuentra el valor de función más grande y = 2X 2 − 13X+ 9ln X + 8 en el segmento [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ] .
La función está definida y continua para todos X> 0, incluido en el segmento [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ].
y " = 4X- 13 + 9 1 _ X + 0 = 4X 2 − 13X + 9 ___________ X
y " no existe para X= 0. Este punto no está incluido en el intervalo especificado. No lo consideramos.y "= 0 para 4 X 2 − 13X + 9 = 0
Resolvemos esta ecuación cuadrática mediante el discriminante, hallamos las raíces X 1 = 1, X 2 = 9/4 = 2,25.
X 1 = 1 es el punto medio de un segmento dado, X 2 = 2,25 no pertenece al segmento. Por lo tanto, debe determinar los valores de la función y (13/14), y (1) y y (15/14) y compararlos entre sí. Sin embargo, en este caso, calcular los valores de y (13/14) y y (15/14) puede ser demasiado engorroso y muy probablemente conducir a errores. Es más fácil volver al estudio del comportamiento de la derivada en la vecindad del punto extremo encontrado.
y " es una fracción, cuyo denominador es positivo en el segmento. Esto significa que el signo de la derivada en este segmento depende solo del numerador, es decir definido por el signo del trinomio cuadrado 4 X 2 − 13X + 9. 
La gráfica de este trinomio cuadrado es una parábola con ramas apuntando hacia arriba (4> 0), que cruzan el eje de abscisas en dos puntos. X 1 y X 2. Dibujamos "a mano" un boceto de este gráfico y vemos que a la izquierda de la raíz X 1 trinomio cuadrado, lo que significa que toda la derivada tendrá un signo "+" y, a la derecha, un signo "-".
Conclusión: la función especificada en el enunciado del problema en un segmento dado a la izquierda X 1 = 1 aumenta, a la derecha - disminuye. Este punto es el punto máximo dentro del segmento, el valor de la función en él será el más grande.
Lo definimos
y(X) = 2X 2 − 13X+ 9ln X + 8
y(1) = 2 1 2-13 1 + 9 ln1 + 8 = 2-13 + 9 0 + 8 = −3.
Respuesta: −3) = X 2 + 25 ______ X ;
y(1) = 1 2 + 25 ______ 1 = 26;
y(5) = 5 2 + 25 ______ 5 = 10;
y(10) = 10 2 + 25 _______ 10 = 12,5.
Valor más pequeño y(5) = 10.
Los puntos máximo y mínimo son los puntos extremos de la función, que se encuentran de acuerdo con un algoritmo determinado. Este es el indicador principal al buscar una función. Un punto x0 es un punto mínimo si la desigualdad f (x)? f (x0) (para el punto máximo, existe objetivamente la desigualdad opuesta f (x)? f (x0)).
Instrucciones
1. Encuentra la derivada de la función. La derivada caracteriza la metamorfosis de una función en un punto determinado y se define como el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, el que gravita a cero. Para encontrarlo, use la tabla de derivadas. Digamos que la derivada de la función y = x3 será igual ay ’= x2.
2. Establezca esta derivada en cero (en este caso, x2 = 0).
3. Encuentra el valor de la variable de la expresión dada. Estos serán aquellos valores en los que esta derivada será igual a 0. Para hacer esto, sustituya dígitos arbitrarios en la expresión en lugar de x, en los que toda la expresión se convertirá en cero. Digamos: 2-2 × 2 = 0 (1-x) (1 + x) = 0x1 = 1, x2 = -1
4. Grafique los valores obtenidos en la línea de coordenadas y calcule el signo de la derivada para todos los intervalos obtenidos. Los puntos se marcan en la línea de coordenadas, que se toman como prefacio de la referencia. Para calcular el valor a intervalos, sustituya los valores arbitrarios que se ajusten a los criterios. Digamos que para la función anterior hasta el intervalo -1 se permite preferir el valor -2. En el intervalo de -1 a 1, se permite preferir 0, y para valores mayores que 1, elija 2. Sustituya estos números en la derivada y averigüe el signo de la derivada. En este caso, la derivada con x = -2 será -0,24, es decir negativo y habrá un signo menos en este intervalo. Si x = 0, entonces el valor será igual a 2, lo que significa que se coloca un signo positivo en este intervalo. Si x = 1, entonces la derivada también será -0,24 y, por lo tanto, se pone menos.
5. Si, al pasar por un punto en la línea de coordenadas, la derivada cambia su signo de menos a más, entonces este es el punto mínimo, y si de más a menos, entonces este es el punto máximo.
Los puntos máximos de la función, junto con los puntos mínimos, se denominan puntos extremos. En estos puntos, la función cambia el carácter del comportamiento. Los extremos se determinan a intervalos numéricos limitados y son invariablemente locales.
Instrucciones
1. El proceso de encontrar extremos locales se llama encontrar una función y se realiza observando la primera y segunda derivadas de la función. Antes de comenzar la investigación, asegúrese de que el rango de valores dado del argumento pertenece a valores posibles... Por ejemplo, para la función F = 1 / x, el valor del argumento x = 0 es inaceptable. O, para la función Y = tg (x), el argumento no puede tener el valor x = 90 °.
2. Asegúrese de que la función Y sea diferenciable en cada segmento dado. Encuentre la primera derivada Y '. Al parecer, antes de llegar al punto de máximo local, la función aumenta, y al pasar por el máximo, la función se vuelve decreciente. La primera derivada a su manera sentido fisico caracteriza la tasa de metamorfosis funcional. Mientras la función aumenta, la tasa de este proceso es positiva. Al pasar por el máximo local, la función comienza a disminuir y la velocidad del proceso de metamorfosis de la función se vuelve negativa. La transición de la tasa de metamorfosis de una función a través de cero ocurre en el punto de un máximo local.
3. En consecuencia, en el área de función creciente, su primera derivada es positiva para todos los valores del argumento en este intervalo. Y por el contrario, en el segmento de función decreciente, el valor de la primera derivada es menor que cero. En el punto del máximo local, el valor de la primera derivada es igual a cero. Aparentemente, para encontrar el máximo local de la función, es necesario encontrar el punto x ?, en el que la primera derivada de esta función es igual a cero. ¿Para cualquier valor del argumento en el segmento investigado xx? - negativo.
4. Para encontrar x? Resuelve la ecuación Y '= 0. El valor Y (x?) Será un máximo local si la segunda derivada de la función en este punto es menor que cero. Encuentra la segunda derivada Y ”, sustituye en la expresión resultante el valor del argumento x = x? y compare el total con cero.
5. Digamos que la función Y = -x? + X + 1 en el intervalo de -1 a 1 tiene una derivada constante Y ’= - 2x + 1. Cuando x = 1/2, la derivada es igual a cero, y al pasar por este punto, la derivada cambia de signo de "+" a "-". La segunda derivada de la función Y ”= - 2. Grafique la función Y = -x? + X + 1 por puntos y verifique si el punto con la abscisa x = 1/2 es un máximo local en un segmento dado del eje numérico.
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Consejo útil
Para encontrar la derivada, existen servicios en línea que calculan los valores requeridos y muestran el total. En tales sitios, se permite encontrar un derivado hasta el quinto orden.
sentido
La mayor
sentido
Menos
Punto máximo
Punto mínimo
Los problemas de encontrar los puntos extremos de la función se resuelven según el esquema estándar en 3 pasos.
Paso 1... Encuentra la derivada de la función
- Memorizar las fórmulas para la derivada de una función elemental y las reglas básicas de diferenciación para encontrar la derivada.
y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243.
Paso 2... Encuentra los ceros de la derivada
- Resuelve la ecuación resultante para encontrar los ceros de la derivada.
3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9.
Paso 3... Encuentra puntos extremos
- Utilice el método de espaciado para determinar los signos de la derivada;
- En el punto mínimo, la derivada es cero y cambia de signo de menos a más, y en el punto máximo, de más a menos.
Tomemos este enfoque para resolver el siguiente problema:
Encuentre el punto máximo de la función y = x3−243x + 19.
1) Encuentre la derivada: y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243;
2) Resuelve la ecuación y ′ (x) = 0: 3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9;
3) La derivada es positiva para x> 9 y x<−9 и отрицательная при −9 Cómo encontrar el valor más grande y más pequeño de una función Para resolver el problema de encontrar los valores más grande y más pequeño de la función. necesario: Ayuda en muchas tareas. teorema: Si solo hay un punto extremo en el segmento, y este es el punto mínimo, entonces el valor más pequeño de la función se logra allí. Si este es un punto máximo, entonces se alcanza el valor más alto allí. 14. Concepto y propiedades básicas de la integral indefinida. Si la función F(X X, y k Es un número, entonces Hablando brevemente: la constante se puede sacar del signo integral. Si funciones F(X) y gramo(X) tienen antiderivadas en el intervalo X, luego Hablando brevemente: la integral de la suma es igual a la suma de las integrales. Si la función F(X) tiene una antiderivada en el intervalo X, luego para los puntos interiores de este intervalo: Hablando brevemente: la derivada de la integral es igual al integrando. Si la función F(X) es continuo en el intervalo X y diferenciable en los puntos interiores de este intervalo, entonces: Hablando brevemente: la integral de la diferencial de una función es igual a esta función más la constante de integración. Demos una definición matemática rigurosa conceptos integrales indefinidos. Una expresión del tipo se llama integral de función f (x)
, dónde f (x)
- el integrando, que se da (conocido), dx
- diferencial X
, con el símbolo siempre está presente dx
. Definición. Integral indefinida llamado la función F (x) + C
que contiene una constante arbitraria C
cuyo diferencial es igual a integrando expresión f (x) dx
, es decir. Recordar que - función diferencial y se define de la siguiente manera: La tarea de encontrar integral indefinida es encontrar tal función, derivado que es igual al integrando. Esta función se determina hasta una constante, ya que la derivada de la constante es igual a cero. Por ejemplo, se sabe que, luego resulta que Encontrar tarea integral indefinida de funciones no es tan simple y fácil como parece a primera vista. En muchos casos, debe haber habilidad para trabajar con Integrales indefinidas, debe haber experiencia que viene con la práctica y con constantes solución de ejemplos para integrales indefinidas. Vale la pena considerar el hecho de que Integrales indefinidas algunas funciones (hay muchas) no se toman en funciones elementales. 15. Tabla de integrales indefinidas básicas. Fórmulas básicas 16. La integral definida como límite de la suma integral. Significado geométrico y físico de la integral. Sea la función y = ƒ (x) definida en el segmento [a; b], y< b. Выполним следующие действия. 1.Con la ayuda de los puntos x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. En cada segmento parcial, i = 1,2, ..., n, elija un punto arbitrario con i є y calcule el valor de la función en él, es decir, el valor ƒ (con i). 3. Multiplica el valor encontrado de la función ƒ (con i) por la longitud ∆x i = x i -x i-1 del segmento parcial correspondiente: ƒ (con i) ∆x i. 4. Compongamos la suma S n de todos esos productos: La suma de la forma (35.1) se denomina suma integral de la función y = ƒ (x) en el intervalo [a; B]. Sea λ la longitud del segmento parcial más grande: λ = max ∆x i (i = 1,2, ..., n). 5. Encontremos el límite de la suma integral (35.1) cuando n → ∞ de modo que λ → 0. Si, en este caso, la suma integral S n tiene un límite I, que no depende del método de partición del segmento [a; b] a segmentos parciales, o de la elección de puntos en ellos, entonces el número I se llama integral definida de la función y = ƒ (x) en el segmento [a; b] y se denota así Los números ayb se denominan respectivamente los límites inferior y superior de integración, ƒ (x) - el integrando, ƒ (x) dx - el integrando, x - la variable de integración, el segmento [a; b] - área (segmento) de integración. La función y = ƒ (x), para la cual en el segmento [a; b] hay una integral definida llamada integrable en este intervalo. Formulemos ahora un teorema sobre la existencia de una integral definida. Teorema 35.1 (Cauchy). Si la función y = ƒ (x) es continua en el segmento [a; b], entonces la integral definida Nótese que la continuidad de una función es condición suficiente para su integrabilidad. Sin embargo, también puede existir una integral definida para algunas funciones discontinuas, en particular, para cualquier función limitada en un intervalo y que tenga un número finito de puntos de discontinuidad en él. Señalemos algunas propiedades de la integral definida que se derivan directamente de su definición (35.2). 1. La integral definida es independiente de la designación de la variable de integración: Esto se sigue del hecho de que la suma integral (35.1) y, en consecuencia, su límite (35.2) no dependen de qué letra denota el argumento de esta función. 2. Una integral definida con los mismos límites de integración es igual a cero: 3. Para cualquier número real c. 17. Fórmula de Newton-Leibniz. Propiedades básicas de una integral definida. Deja que la función y = f (x) continuo en el segmento
y F (x) es una de las antiderivadas de la función en este segmento, entonces Fórmula de Newton-Leibniz: La fórmula de Newton-Leibniz se llama la fórmula básica del cálculo integral. Para probar la fórmula de Newton-Leibniz, necesitamos el concepto de integral con un límite superior variable. Si la función y = f (x) continuo en el segmento
, entonces, para el argumento, la integral de la forma es una función del límite superior. Denotamos esta función De hecho, escribimos el incremento de la función correspondiente al incremento del argumento y usamos la quinta propiedad de la integral definida y la consecuencia de la décima propiedad: Reescribimos esta igualdad como Vamos a calcular F (a) usando la primera propiedad de la integral definida: El incremento de la función generalmente se denota como Para aplicar la fórmula de Newton-Leibniz, solo necesitamos conocer una de las antiderivadas y = F (x) función integrando y = f (x) en el segmento
y calcule el incremento de esta antiderivada en este segmento. En el artículo, se analizan los métodos de integración de las principales formas de encontrar la antiderivada. Aquí hay algunos ejemplos de cálculo de integrales definidas usando la fórmula de Newton-Leibniz para aclarar. Ejemplo. Calcula el valor de la integral definida usando la fórmula de Newton-Leibniz. Solución. Para empezar, observe que el integrando es continuo en el segmento
, por tanto, es integrable en él. (Hablamos de funciones integrables en la sección de funciones para las que existe una integral definida). De la tabla de integrales indefinidas se puede ver que para una función el conjunto de antiderivadas para todos los valores reales del argumento (y por lo tanto para) se escribe como Ahora queda usar la fórmula de Newton-Leibniz para calcular una integral definida: 18. Aplicaciones geométricas de una integral definida. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE CIERTO INTEGRAL Calcular el volumen corporal Cálculo del volumen de un cuerpo a partir de las áreas conocidas de secciones paralelas: El volumen del cuerpo de rotación :; ... Ejemplo 1... Encuentra el área de una figura delimitada por una curva y = sinx, líneas rectas Solución: Encuentra el área de la figura: Ejemplo 2... Calcular el área de una forma delimitada por líneas Solución: Encuentra las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de estas funciones. Para hacer esto, resolvemos el sistema de ecuaciones. Desde aqui encontramos x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. El concepto de controles diferenciales. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuación diferencial- una ecuación que conecta el valor de la derivada de una función con la función en sí, los valores de la variable independiente, números (parámetros). El orden de las derivadas incluidas en la ecuación puede ser diferente (formalmente, no está limitado por nada). Las derivadas, funciones, variables independientes y parámetros pueden entrar en la ecuación en varias combinaciones, o todas, excepto por lo menos una derivada, pueden estar ausentes por completo. No todas las ecuaciones que contienen derivadas de una función desconocida son ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, Ecuaciones diferenciales parciales(PDE) son ecuaciones que contienen funciones desconocidas de varias variables y sus derivadas parciales. La forma general de tales ecuaciones se puede representar como: donde están las variables independientes, y es la función de estas variables. El orden de las ecuaciones diferenciales parciales se puede determinar de la misma forma que para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales parciales es su división en ecuaciones de tipo elíptico, parabólico e hiperbólico, especialmente para las ecuaciones de segundo orden. Tanto las ecuaciones diferenciales ordinarias como las ecuaciones diferenciales parciales se pueden dividir en lineal y no lineal... Una ecuación diferencial es lineal si la función desconocida y sus derivadas entran en la ecuación solo en el primer grado (y no se multiplican entre sí). Para tales ecuaciones, las soluciones forman un subespacio afín del espacio funcional. La teoría de la ED lineal se desarrolla mucho más profundamente que la teoría de las ecuaciones no lineales. Vista general de una ecuación diferencial lineal norte-th orden: dónde Pi(X) son funciones conocidas de la variable independiente, llamadas coeficientes de la ecuación. Función r(X) en el lado derecho se llama miembro gratuito(el único término independiente de la función desconocida) Una clase especial importante de ecuaciones lineales son las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Una subclase de ecuaciones lineales son homogéneo ecuaciones diferenciales: ecuaciones que no contienen un término libre: r(X) = 0. Para ecuaciones diferenciales homogéneas, se cumple el principio de superposición: una combinación lineal de soluciones particulares de dicha ecuación también será su solución. Todas las demás ecuaciones diferenciales lineales se denominan heterogéneo ecuaciones diferenciales. En el caso general, las ecuaciones diferenciales no lineales no han desarrollado métodos de solución, excepto para algunas clases particulares. En algunos casos (usando ciertas aproximaciones) se pueden reducir a lineales. Por ejemplo, la ecuación lineal de un oscilador armónico · - Ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La solución es una familia de funciones, donde y son constantes arbitrarias, que para una solución específica se determinan a partir de condiciones iniciales especificadas por separado. Esta ecuación, en particular, describe el movimiento de un oscilador armónico con una frecuencia cíclica de 3. La segunda ley de Newton se puede escribir en forma de ecuación diferencial. · La ecuación diferencial de Bessel es una ecuación lineal ordinaria homogénea de segundo orden con coeficientes variables: sus soluciones son las funciones de Bessel. Un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria no lineal no uniforme de primer orden: En el siguiente grupo de ejemplos, la función desconocida tu depende de dos variables X y t o X y y. Ecuación diferencial parcial lineal homogénea de primer orden: Ecuación de onda unidimensional: una ecuación diferencial parcial lineal homogénea del tipo hiperbólico de segundo orden con coeficientes constantes, describe la vibración de la cuerda, si: la desviación de la cuerda en un punto con la coordenada. X en este momento t y el parámetro a establece las propiedades de la cadena: La ecuación de Laplace en el espacio bidimensional es una ecuación diferencial parcial lineal homogénea de segundo orden de tipo elíptico con coeficientes constantes, que surge en muchos problemas físicos de mecánica, conducción de calor, electrostática, hidráulica: La ecuación de Korteweg-de Vries, una ecuación diferencial parcial no lineal de tercer orden que describe ondas no lineales estacionarias, incluidos los solitones: 20. Ecuaciones diferenciales con separables aplicables. Ecuaciones lineales y método de Bernoulli. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación lineal con respecto a una función desconocida y su derivada. Tiene la forma
o 
La función se llama función antiderivada... La antiderivada de la función se determina dentro de un valor constante.
, aquí hay una constante arbitraria.
.
, y esta función es continua y la igualdad 
.
dónde .
... Si recordamos la definición de la derivada de una función y vamos al límite en, obtenemos. Es decir, es una de las antiderivadas de la función y = f (x) en el segmento
... Por tanto, el conjunto de todas las antiderivadas F (x) Se puede escribir como 
, dónde CON Es una constante arbitraria.
, por eso, . Usaremos este resultado al calcular F (b): , es decir 
... Esta igualdad da la fórmula probada de Newton-Leibniz .
... Usando esta notación, la fórmula de Newton-Leibniz toma la forma 
.
... Tome la antiderivada para C = 0: .
.Rectangular S.K. Función, dada paramétricamente Polyarnaya S.K.
Calcular las áreas de figuras planas
Calcular la longitud del arco de una curva plana
Calcular el área de superficie de revolución
no es una ecuación diferencial.
puede considerarse como una aproximación de la ecuación no lineal de un péndulo matemático 
para el caso de pequeñas amplitudes, cuando y≈ pecado y.
dónde metro- masa corporal, X- su coordenada, F(X, t) es la fuerza que actúa sobre el cuerpo con la coordenada X en este momento t... Su solución es la trayectoria del cuerpo bajo la acción de la fuerza especificada.
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