El significado geométrico de la ecuación derivada. significado geométrico y físico. tangente a parábola

Derivado(funciones en un punto) - concepto básico calculo diferencial que caracteriza la tasa de cambio de la función (en un punto dado). Definido como límite la razón del incremento de una función a su incremento argumento al intentar incrementar el argumento a cero si tal límite existe. Una función que tiene una derivada finita (en algún punto) se llama diferenciable (en un punto dado).

El proceso de calcular la derivada se llama diferenciación. Proceso inverso - encontrar primitivo - integración.

Si una función viene dada por una gráfica, su derivada en cada punto es igual a la tangente de la pendiente de la tangente a la gráfica de la función. Y si la función viene dada por una fórmula, te ayudarán la tabla de derivadas y las reglas de derivación, es decir, las reglas para hallar la derivada.

4. Derivada de una función compleja e inversa.

Vamos ahora dado función compleja , es decir. una variable es una función de una variable, y una variable es, a su vez, una función de una variable independiente.

Teorema . Si y  diferenciable funciones de sus argumentos, entonces una función compleja es una función derivable y su derivada es igual al producto de la derivada de la función dada con respecto al argumento intermedio y la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente:

.

La afirmación se obtiene fácilmente a partir de la igualdad obvia (válido para y ) pasando al límite en (que, por la continuidad de la función diferenciable, implica ).

Pasemos a la consideración de la derivada función inversa.

Deje que una función diferenciable en un conjunto tenga un conjunto de valores y en el conjunto existe función inversa .

Teorema . Si en el punto derivado , entonces la derivada de la función inversa en el punto existe y es igual al recíproco de la derivada de la función dada: , o

Esta fórmula se obtiene fácilmente a partir de consideraciones geométricas.

T como hay una tangente del ángulo de inclinación de la recta tangente al eje, es decir, la tangente del ángulo de inclinación de la misma tangente (la misma recta) en el mismo punto al eje.

Si son afiladas, entonces , y si son romas, entonces .

En ambos casos . Esta igualdad es equivalente a la igualdad

5. Significado geométrico y físico de la derivada.

1) El significado físico de la derivada.

Si la función y = f(x) y su argumento x son cantidades físicas, entonces la derivada es la tasa de cambio de la variable y relativa a la variable x en un punto. Por ejemplo, si S \u003d S (t) es la distancia recorrida por un punto en el tiempo t, entonces su derivada es la velocidad en ese momento. Si q = q(t) es la cantidad de electricidad que fluye a través de la sección transversal del conductor en el momento t, entonces es la tasa de cambio en la cantidad de electricidad en el momento, es decir fuerza actual a la vez.

2) El significado geométrico de la derivada.

Sea alguna curva, sea un punto en la curva.

Toda recta que corta al menos dos puntos se llama secante.

La tangente a la curva en el punto es la posición límite de la secante si el punto tiende a moverse a lo largo de la curva.

Es obvio a partir de la definición que si existe una tangente a una curva en un punto, entonces es única.

Considere la curva y = f(x) (es decir, la gráfica de la función y = f(x)). Deja en el punto tiene una tangente no vertical. Su ecuación es: (la ecuación de una recta que pasa por un punto y teniendo Pendiente k).

Por definición del coeficiente de pendiente, donde es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje.

Sea el ángulo de inclinación de la secante al eje, donde. Como es tangente, entonces

Por eso,

Así, hemos obtenido que es la pendiente de la tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto (significado geométrico de la derivada de una función en un punto). Por tanto, la ecuación de la tangente a la curva y = f(x) en el punto se puede escribir en la forma

Tema. Derivado. Significado geométrico y mecánico de la derivada

Si existe este límite, se dice que la función es diferenciable en un punto. La derivada de una función se denota (fórmula 2).

1. sentido geométrico derivado. Considere la función gráfica. Se puede ver en la Fig. 1 que para dos puntos cualesquiera A y B del gráfico de la función, se puede escribir la fórmula 3). En él, el ángulo de inclinación de la secante AB.

Por lo tanto, la razón de la diferencia es igual a la pendiente de la secante. Si fijamos el punto A y movemos el punto B hacia él, entonces decrece indefinidamente y tiende a 0, y la secante AB tiende a la tangente AC. Por lo tanto, el límite de la relación de diferencias es igual a la pendiente de la tangente en el punto A. Por lo tanto, se sigue la conclusión.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la gráfica de esa función en ese punto. Este es el significado geométrico de la derivada.

1. Ecuación tangente . Derivemos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto. En el caso general, la ecuación de una recta con pendiente tiene la forma: . Para encontrar b, usamos el hecho de que la tangente pasa por el punto A: . Esto implica: . Sustituyendo esta expresión por b, obtenemos la ecuación tangente (fórmula 4).

Conferencia: El concepto de la derivada de una función, el significado geométrico de la derivada

Considere alguna función f(x), que será continua a lo largo de todo el intervalo de consideración. En el intervalo considerado, elegimos el punto x 0, así como el valor de la función en este punto.

Entonces, veamos un gráfico en el que marcamos nuestro punto x 0, así como el punto (x 0 + ∆x). Recuerda que ∆x es la distancia (diferencia) entre dos puntos seleccionados.

También vale la pena entender que cada x corresponde a su propio valor de la función y.

La diferencia entre los valores de la función en el punto x 0 y (x 0 + ∆x) se llama incremento de esta función: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

Prestemos atención a la información adicional que está disponible en el gráfico: esta es la secante, que se llama KL, así como el triángulo que forma con los intervalos KN y LN.

El ángulo en el que se encuentra la secante se denomina ángulo de inclinación y se denota por α. Se puede determinar fácilmente que la medida en grados del ángulo LKN también es igual a α.

Y ahora recordemos las relaciones en un triángulo rectángulo tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Es decir, la tangente de la pendiente de la secante es igual a la razón del incremento de la función al incremento del argumento.

Al mismo tiempo, la derivada es el límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento en intervalos infinitesimales.

La derivada determina la velocidad a la que cambia la función en un área determinada.

El significado geométrico de la derivada.

Si encuentra la derivada de cualquier función en algún punto, puede determinar el ángulo en el que se ubicará la tangente al gráfico en una corriente dada, en relación con el eje OX. Preste atención al gráfico: el ángulo de inclinación de la tangente se indica con la letra φ y está determinado por el coeficiente k en la ecuación de línea recta: y \u003d kx + b.

Es decir, podemos concluir que el significado geométrico de la derivada es la tangente de la pendiente de la tangente en algún punto de la función.

Objetivos de la lección:

Los estudiantes deben saber:

• lo que se llama la pendiente de una recta;
• el ángulo entre la línea y el eje x;
• cuál es el significado geométrico de la derivada;
• la ecuación de la tangente a la gráfica de la función;
• un método para construir una tangente a una parábola;
• Ser capaz de aplicar los conocimientos teóricos en la práctica.

Objetivos de la lección:

Educativo: crear condiciones para que los estudiantes dominen el sistema de conocimientos, destrezas y habilidades con los conceptos del significado mecánico y geométrico de la derivada.

Educativo: para formar una cosmovisión científica en los estudiantes.

Desarrollo: para desarrollar el interés cognitivo, la creatividad, la voluntad, la memoria, el habla, la atención, la imaginación, la percepción de los estudiantes.

Métodos de organización de actividades educativas y cognitivas:

• visual;
• práctico;
• sobre la actividad mental: inductivo;
• según la asimilación del material: parcialmente exploratorio, reproductivo;
• por grado de independencia: trabajo de laboratorio;
• estimulante: estímulo;
• control: encuesta frontal oral.

Plan de estudios

1. Ejercicios orales (encontrar la derivada)
2. Informe del estudiante sobre el tema "Las razones de la aparición del análisis matemático".
3. Aprendiendo nuevo material
4. física Minuto.
5. Resolución de problemas.
6. Trabajo de laboratorio.
7. Resumiendo la lección.
8. Comentando la tarea.

Equipamiento: proyector multimedia (presentación), tarjetas ( trabajo de laboratorio).

“Una persona logra algo solo cuando cree en sí misma”

L. Feuerbach

La organización de la clase a lo largo de la lección, la preparación de los estudiantes para la lección, el orden y la disciplina.

Establecer objetivos de aprendizaje para los estudiantes, tanto para toda la lección como para sus etapas individuales.

Determinar la importancia del material que se estudia tanto en este tema como en todo el curso.

conteo verbal

1. Encuentra derivadas:

" , ()" , (4sen x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Prueba de lógica.

a) Inserta la expresión que falta.

La dirección general del desarrollo de la ciencia está determinada en última instancia por los requisitos de la práctica de la actividad humana. La existencia de estados antiguos con un complejo sistema jerárquico de gobierno hubiera sido imposible sin un desarrollo suficiente de la aritmética y el álgebra, porque la recaudación de impuestos, la organización de los suministros del ejército, la construcción de palacios y pirámides, la creación de sistemas de riego requerían cálculos complejos. Durante el Renacimiento, se expandieron los lazos entre varias partes del mundo medieval, se desarrollaron el comercio y la artesanía. Comienza un rápido ascenso en el nivel técnico de producción, se utilizan industrialmente nuevas fuentes de energía, no conectadas con los esfuerzos musculares de humanos o animales. En los siglos XI-XII, aparecieron bataneros y telares, ya mediados del XV, una imprenta. En relación con la necesidad del rápido desarrollo de la producción social durante este período, cambia la esencia de las ciencias naturales, que han sido descriptivas desde la antigüedad. El objetivo de las ciencias naturales se convierte en un estudio en profundidad de los procesos naturales, no de los objetos. Las ciencias naturales descriptivas de la antigüedad correspondían a las matemáticas, que operaban con valores constantes. Era necesario crear un aparato matemático que describiera no el resultado del proceso, sino la naturaleza de su flujo y sus patrones inherentes. Como resultado, a fines del siglo XII, Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania completaron la primera etapa en la creación del análisis matemático. ¿Qué es el "análisis matemático"? ¿Cómo se pueden caracterizar y predecir las características de cualquier proceso? ¿Usar estas funciones? ¿Para penetrar más profundamente en la esencia de este o aquel fenómeno?

Sigamos el camino de Newton y Leibniz y veamos cómo podemos analizar el proceso, considerándolo en función del tiempo.

Introduzcamos algunas nociones que nos ayudarán más.

La gráfica de la función lineal y=kx+ b es una línea recta, el número k se llama la pendiente de la recta. k=tg, donde es el ángulo de una recta, es decir, el ángulo entre esta recta y la dirección positiva del eje Ox.

Foto 1

Considere el gráfico de la función y \u003d f (x). Dibuja una secante a través de dos puntos cualesquiera, por ejemplo, la secante AM. (Figura 2)

La pendiente de la secante k=tg. En un triángulo rectángulo AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Figura 2

figura 3

El término "velocidad" en sí mismo caracteriza la dependencia de un cambio en una cantidad de un cambio en otra, y esta última no tiene por qué ser el tiempo.

Entonces, la tangente de la pendiente de la secante tg = .

Nos interesa la dependencia del cambio de valores en un periodo de tiempo más corto. Tendamos el incremento del argumento a cero. Entonces el lado derecho de la fórmula es la derivada de la función en el punto A (explique por qué). Si x -> 0, entonces el punto M se mueve a lo largo de la gráfica hasta el punto A, lo que significa que la línea AM se acerca a alguna línea AB, que es tangente al gráfico de la función y \u003d f (x) en el punto A. (Fig. 3)

El ángulo de inclinación de la secante tiende al ángulo de inclinación de la tangente.

El significado geométrico de la derivada es que el valor de la derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en el punto.

El significado mecánico de la derivada.

La tangente de la pendiente de la tangente es un valor que muestra la tasa de cambio instantánea de la función en un punto dado, es decir, una nueva característica del proceso en estudio. Leibniz llamó a esta cantidad derivado, y Newton dijo que la instantánea velocidad.

N° 91(1) página 91 - mostrar en la pizarra.

La pendiente de la tangente a la curva f (x) \u003d x 3 en el punto x 0 - 1 es el valor de la derivada de esta función en x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

No. 91 (3.5) - bajo dictado.

No. 92 (1) - en el tablero a voluntad.

No. 92 (3) - de forma independiente con verificación oral.

No. 92 (5) - en el tablero.

Respuestas: 45 0, 135 0, 1.5 y 2.

Propósito: desarrollo del concepto de “significado mecánico de la derivada”.

Aplicaciones de la derivada a la mecánica.

Se da la ley del movimiento rectilíneo de un punto x = x(t), t.

1. La velocidad promedio de movimiento en el período de tiempo especificado;
2. Velocidad y aceleración en el tiempo t 04
3. puntos de parada; si el punto continúa moviéndose en la misma dirección después del momento de detenerse o comienza a moverse en la dirección opuesta;
4. La mayor velocidad de movimiento durante un período de tiempo específico.

El trabajo se realiza de acuerdo con 12 opciones, las tareas se diferencian por el nivel de complejidad (la primera opción es el nivel de complejidad más bajo).

Antes de comenzar a trabajar, una conversación sobre las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es el significado físico de la derivada de desplazamiento? (Velocidad).
2. ¿Puedes encontrar la derivada de la velocidad? ¿Se utiliza esta cantidad en física? ¿Cómo se llama? (Aceleración).
3. La velocidad instantánea es cero. ¿Qué se puede decir sobre el movimiento del cuerpo en este momento? (Este es el punto de parada).
4. ¿Cuál es el significado físico de las siguientes afirmaciones: la derivada del movimiento es igual a cero en el punto t 0; ¿La derivada cambia de signo al pasar por el punto t 0? (El cuerpo se detiene; la dirección del movimiento cambia al contrario).

Ejemplo de trabajo para los estudiantes.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

Figura 4

En la dirección opuesta.

Dibujemos un gráfico de velocidad esquemático. La velocidad máxima se alcanza en el punto

t=10, v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

Figura 5

1) ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada?
2) ¿Cuál es el significado mecánico de la derivada?
3) Haz una conclusión sobre tu trabajo.

Página 90. N° 91 (2,4,6), N° 92 (2,4,6,), p.92 N° 112.

Libros usados

• Álgebra de libro de texto y el comienzo del análisis.
  Autores: Yu.M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, NE Fedorova, MI Shabunin.
  Editado por A. B. Zhizhchenko.
• Álgebra grado 11. Planes de lecciones según el libro de texto de Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov. Parte 1.
• Recursos de Internet: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Para encontrar el valor geométrico de la derivada, considera la gráfica de la función y = f(x). Tome un punto M arbitrario con coordenadas (x, y) y un punto N cercano a él (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Dibujemos las ordenadas $\overline(M_(1) M)$ y $\overline(N_(1) N)$, y dibujemos una línea paralela al eje OX desde el punto M.

La razón $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ es la tangente del ángulo $\alpha $1 formado por la secante MN con la dirección positiva del eje OX. Como $\Delta $x tiende a cero, el punto N se aproximará a M, y la tangente MT a la curva en el punto M se convertirá en la posición límite de la secante MN Por lo tanto, la derivada f`(x) es igual a la tangente del ángulo $\alpha $ formado por la tangente a la curva en el punto M (x, y) con una dirección positiva al eje OX - la pendiente de la tangente (Fig. 1).

Figura 1. Gráfica de una función

Al calcular los valores utilizando las fórmulas (1), es importante no cometer errores en los signos, porque incremento puede ser negativo.

El punto N que se encuentra sobre la curva puede aproximarse a M desde cualquier lado. Entonces, si en la Figura 1, la tangente tiene la dirección opuesta, el ángulo $\alpha $ cambiará en $\pi $, lo que afectará significativamente la tangente del ángulo y, en consecuencia, la pendiente.

Conclusión

Se sigue que la existencia de la derivada está conectada con la existencia de una tangente a la curva y = f(x), y la pendiente -- tg $\alpha $ = f`(x) es finita. Por tanto, la tangente no debe ser paralela al eje OY, de lo contrario $\alpha $ = $\pi $/2, y la tangente del ángulo será infinita.

En algunos puntos, una curva continua puede no tener tangente o tener una tangente paralela al eje OY (Fig. 2). Entonces la función no puede tener una derivada en estos valores. Puede haber cualquier número de tales puntos en la curva de la función.

Figura 2. Puntos excepcionales de la curva

Considere la Figura 2. Deje que $\Delta $x tienda a cero desde valores negativos o positivos:

\[\Delta x\to -0\begin(matriz)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(matriz)\]

Si en este caso las relaciones (1) tienen un pasillo finito, se denota como:

En el primer caso, la derivada por la izquierda, en el segundo, la derivada por la derecha.

La existencia de un límite habla de la equivalencia e igualdad de las derivadas izquierda y derecha:

Si las derivadas izquierda y derecha no son iguales, entonces en este punto hay tangentes que no son paralelas a OY (punto M1, Fig. 2). En los puntos M2, M3, las relaciones (1) tienden a infinito.

Para N puntos a la izquierda de M2, $\Delta $x $

A la derecha de $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, pero la expresión también es f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Para el punto $M_3$ a la izquierda $\Delta $x $$ 0 y f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, es decir las expresiones (1) son positivas tanto a la izquierda como a la derecha y tienden a +$\infty $ tanto cuando $\Delta $x tiende a -0 como a +0.

El caso de ausencia de derivada en puntos específicos de la recta (x = c) se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Ausencia de derivados

Ejemplo 1

La figura 4 muestra la gráfica de la función y la tangente a la gráfica en el punto con la abscisa $x_0$. Encuentra el valor de la derivada de la función en la abscisa.

Solución. La derivada en un punto es igual a la razón del incremento de la función al incremento del argumento. Elijamos dos puntos con coordenadas enteras en la tangente. Sean, por ejemplo, estos puntos F (-3.2) y C (-2.4).