Derivada de función. El significado geométrico de la derivada. Investigar una función usando una derivada

Mostrando la relación del signo de la derivada con la naturaleza de la monotonicidad de la función.

Tenga mucho cuidado con lo siguiente. ¡Mira, el horario de QUÉ te está dando! Función o su derivada

Dada una gráfica de la derivada, entonces solo nos interesan los signos y ceros de función. En principio, ¡no nos interesan los "montículos" ni los "huecos"!

Tarea 1.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Determine el número de puntos enteros donde la derivada de la función es negativa.

Solución:

En la figura, las áreas de función decreciente están resaltadas en color:

4 valores enteros caen en estas áreas de función decreciente.

Tarea 2.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Encuentra el número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincidente con la línea.

Solución:

Como la tangente a la función gráfica es paralela (o coincide) con una recta (o lo que es lo mismo) que tiene Pendiente , cero, entonces la tangente tiene pendiente .

Esto a su vez significa que la tangente es paralela al eje, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje.

Por lo tanto, encontramos puntos extremos en el gráfico (puntos máximos y mínimos), - es en ellos donde las funciones tangentes al gráfico serán paralelas al eje.

Hay 4 de esos puntos.

Tarea 3.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . Encuentra el número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincidente con la línea.

Solución:

Como la tangente a la gráfica de la función es paralela (o coincide) con una recta, que tiene pendiente, entonces la tangente tiene pendiente.

Esto a su vez significa que en los puntos de contacto.

Por lo tanto, miramos cuántos puntos en el gráfico tienen una ordenada igual a .

Como puede ver, hay cuatro puntos de este tipo.

Tarea 4.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Encuentra el número de puntos donde la derivada de la función es 0.

Solución:

La derivada es cero en los puntos extremos. Tenemos 4 de ellos:

Tarea 5.

La figura muestra el gráfico de una función y once puntos en el eje x:. ¿En cuántos de estos puntos la derivada de la función es negativa?

Solución:

En intervalos de función decreciente, su derivada toma valores negativos. Y la función decrece en los puntos. Hay 4 de esos puntos.

Tarea 6.

La figura muestra la gráfica de una función definida en un intervalo. Encuentra la suma de los puntos extremos de la función.

Solución:

puntos extremos son los puntos máximos (-3, -1, 1) y los puntos mínimos (-2, 0, 3).

La suma de los puntos extremos: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tarea 7.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . Encuentre los intervalos de la función creciente. En su respuesta, indique la suma de los puntos enteros incluidos en estos intervalos.

Solución:

La figura destaca los intervalos en los que la derivada de la función no es negativa.

No hay puntos enteros en el pequeño intervalo de aumento, en el intervalo de aumento hay cuatro valores enteros: , y .

Su suma:

Tarea 8.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . Encuentre los intervalos de la función creciente. En tu respuesta, escribe la longitud del mayor de ellos.

Solución:

En la figura, se resaltan todos los intervalos en los que la derivada es positiva, lo que significa que la función misma crece en estos intervalos.

La longitud del mayor de ellos es 6.

Tarea 9.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo . ¿En qué punto del segmento toma el mayor valor?

Solución:

Observamos cómo se comporta el gráfico en el segmento, es decir, estamos interesados ​​en signo derivado solamente .

El signo de la derivada de es menos, ya que la gráfica de este segmento está debajo del eje.

En el problema B9 se da una gráfica de una función o derivada, a partir de la cual se requiere determinar una de las siguientes cantidades:

1. El valor de la derivada en algún punto x 0,
2. Puntos altos o bajos (puntos extremos),
3. Intervalos de funciones crecientes y decrecientes (intervalos de monotonicidad).

Las funciones y derivadas presentadas en este problema son siempre continuas, lo que simplifica mucho la solución. A pesar de que la tarea pertenece a la sección de análisis matemático, está bastante al alcance incluso de los estudiantes más débiles, ya que aquí no se requieren conocimientos teóricos profundos.

Para encontrar el valor de la derivada, los puntos extremos y los intervalos de monotonicidad, existen algoritmos simples y universales; todos ellos se discutirán a continuación.

Lea atentamente la condición del problema B9 para no cometer errores estúpidos: a veces aparecen textos bastante voluminosos, pero condiciones importantes, que afectan el curso de la solución, hay pocos.

Cálculo del valor de la derivada. método de dos puntos

Si al problema se le da una gráfica de la función f(x), tangente a esta gráfica en algún punto x 0 , y se requiere encontrar el valor de la derivada en ese punto, se aplica el siguiente algoritmo:

1. Encuentre dos puntos "adecuados" en el gráfico tangente: sus coordenadas deben ser enteras. Denotemos estos puntos como A (x 1 ; y 1) y B (x 2 ; y 2). Escriba las coordenadas correctamente: este es el punto clave de la solución, y cualquier error aquí conduce a una respuesta incorrecta.
2. Conociendo las coordenadas, es fácil calcular el incremento del argumento Δx = x 2 − x 1 y el incremento de la función Δy = y 2 − y 1 .
3. Finalmente, encontramos el valor de la derivada D = Δy/Δx. En otras palabras, debe dividir el incremento de la función por el incremento del argumento, y esta será la respuesta.

Una vez más, observamos: los puntos A y B deben buscarse precisamente en la tangente, y no en la gráfica de la función f(x), como suele ser el caso. La tangente necesariamente contendrá al menos dos de esos puntos, de lo contrario, el problema se formula incorrectamente.

Considere los puntos A (−3; 2) y B (−1; 6) y encuentre los incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Encontremos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Una tarea. La figura muestra el gráfico de la función y \u003d f (x) y la tangente en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 3) y B (3; 0), encuentre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Ahora encontramos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Una tarea. La figura muestra el gráfico de la función y \u003d f (x) y la tangente en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 2) y B (5; 2) y encuentre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Queda por encontrar el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Del último ejemplo, podemos formular la regla: si la tangente es paralela al eje OX, la derivada de la función en el punto de contacto es igual a cero. En este caso, ni siquiera necesita calcular nada, solo mire el gráfico.

Cálculo de puntos altos y bajos

A veces, en lugar de una gráfica de una función en el problema B9, se da una gráfica derivada y se requiere encontrar el punto máximo o mínimo de la función. En este escenario, el método de dos puntos es inútil, pero hay otro algoritmo aún más simple. Primero, definamos la terminología:

1. El punto x 0 se llama el punto máximo de la función f(x) si la siguiente desigualdad se cumple en alguna vecindad de este punto: f(x 0) ≥ f(x).
2. El punto x 0 se llama el punto mínimo de la función f(x) si la siguiente desigualdad se cumple en alguna vecindad de este punto: f(x 0) ≤ f(x).

Para encontrar los puntos máximos y mínimos en la gráfica de la derivada, basta con realizar los siguientes pasos:

1. Vuelva a dibujar la gráfica de la derivada, eliminando toda la información innecesaria. Como muestra la práctica, los datos adicionales solo interfieren con la solución. Por lo tanto, marcamos los ceros de la derivada en el eje de coordenadas, y eso es todo.
2. Encuentra los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Si para algún punto x 0 se sabe que f'(x 0) ≠ 0, entonces solo son posibles dos opciones: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. El signo de la derivada es fácil de determinar a partir del dibujo original: si el gráfico de la derivada se encuentra por encima del eje OX, entonces f'(x) ≥ 0. Por el contrario, si el gráfico de la derivada se encuentra por debajo del eje OX, entonces f'(x) ≤ 0.
3. Comprobamos nuevamente los ceros y signos de la derivada. Donde el signo cambia de menos a más, hay un punto mínimo. Por el contrario, si el signo de la derivada cambia de más a menos, este es el punto máximo. El conteo siempre se hace de izquierda a derecha.

Este esquema funciona solo para funciones continuas; no hay otros en el problema B9.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−5; cinco]. Encuentra el punto mínimo de la función f(x) en este segmento.

Eliminemos la información innecesaria: dejaremos solo los bordes [−5; 5] y los ceros de la derivada x = −3 y x = 2.5. También tenga en cuenta los signos:

Obviamente, en el punto x = −3, el signo de la derivada cambia de menos a más. Este es el punto mínimo.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−3; 7]. Encuentra el punto máximo de la función f(x) en este segmento.

Redibujemos el gráfico, dejando solo los límites [−3; 7] y los ceros de la derivada x = −1.7 y x = 5. Note los signos de la derivada en el gráfico resultante. Tenemos:

Obviamente, en el punto x = 5, el signo de la derivada cambia de más a menos: este es el punto máximo.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−6; 4]. Encuentra el número de puntos máximos de la función f(x) que pertenecen al intervalo [−4; 3].

De las condiciones del problema se sigue que es suficiente considerar sólo la parte del gráfico acotada por el segmento [−4; 3]. Por lo tanto, estamos construyendo Nuevo horario, en el que marcamos solo los límites [−4; 3] y los ceros de la derivada dentro de él. Es decir, los puntos x = −3.5 y x = 2. Obtenemos:

En este gráfico, solo hay un punto máximo x = 2. Es en él que el signo de la derivada cambia de más a menos.

Una pequeña nota sobre puntos con coordenadas no enteras. Por ejemplo, en el último problema se consideró el punto x = −3,5, pero con el mismo acierto podemos tomar x = −3,4. Si el problema está formulado correctamente, dichos cambios no deberían afectar la respuesta, ya que los puntos "sin lugar fijo de residencia" no están directamente involucrados en la solución del problema. Por supuesto, con puntos enteros tal truco no funcionará.

Encontrar intervalos de aumento y disminución de una función

En tal problema, como los puntos de máximo y mínimo, se propone encontrar áreas en las que la propia función crece o decrece a partir de la gráfica de la derivada. Primero, definamos qué es ascendente y descendente:

1. Una función f(x) se llama creciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento el enunciado es verdadero: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). En otras palabras, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función.
2. Una función f(x) se llama decreciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento el enunciado es verdadero: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Esos. un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

Formulamos condiciones suficientes para aumentar y disminuir:

1. Para que una función continua f(x) crezca en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea positiva, es decir f'(x) ≥ 0.
2. Para que una función continua f(x) decrezca en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea negativa, es decir f'(x) ≤ 0.

Aceptamos estas afirmaciones sin pruebas. Así, obtenemos un esquema para encontrar intervalos de aumento y disminución, que es en muchos aspectos similar al algoritmo para calcular puntos extremos:

1. Eliminar toda la información redundante. En el gráfico original de la derivada, estamos interesados ​​principalmente en los ceros de la función, por lo que los dejamos solo.
2. Marca los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Donde f'(x) ≥ 0, la función crece, y donde f'(x) ≤ 0, decrece. Si el problema tiene restricciones en la variable x, las marcamos adicionalmente en el nuevo gráfico.
3. Ahora que conocemos el comportamiento de la función y la restricción, resta calcular el valor requerido en el problema.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−3; 7.5]. Encuentra los intervalos de la función decreciente f(x). En tu respuesta, escribe la suma de los enteros incluidos en estos intervalos.

Como de costumbre, volvemos a dibujar el gráfico y marcamos los límites [−3; 7.5], así como los ceros de la derivada x = −1.5 y x = 5.3. Luego marcamos los signos de la derivada. Tenemos:

Dado que la derivada es negativa en el intervalo (− 1.5), este es el intervalo de la función decreciente. Queda por sumar todos los enteros que están dentro de este intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−10; 4]. Encuentra los intervalos de la función creciente f(x). En tu respuesta, escribe la longitud del mayor de ellos.

Deshagámonos de la información redundante. Dejamos solo los límites [−10; 4] y ceros de la derivada, que esta vez resultó ser cuatro: x = −8, x = −6, x = −3 y x = 2. Fíjate en los signos de la derivada y obtén la siguiente imagen:

Estamos interesados ​​en los intervalos de función creciente, es decir donde f'(x) ≥ 0. Hay dos intervalos de este tipo en el gráfico: (−8; −6) y (−3; 2). Calculemos sus longitudes:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Como se requiere encontrar la longitud del mayor de los intervalos, escribimos el valor l 2 = 5 en respuesta.

¡Queridos amigos! El grupo de tareas relacionadas con la derivada incluye tareas: en la condición, se da el gráfico de la función, varios puntos en este gráfico y la pregunta es:

¿En qué punto el valor de la derivada es mayor (menor)?

Repitamos brevemente:

La derivada en un punto es coeficiente angular tangente que pasaeste punto de la gráfica.

Enel coeficiente global de la tangente, a su vez, es igual a la tangente de la pendiente de esta tangente.

*Esto se refiere al ángulo entre la tangente y el eje x.

1. En intervalos de función creciente, la derivada tiene un valor positivo.

2. En los intervalos de su disminución, la derivada tiene un valor negativo.

Considere el siguiente esquema:

En los puntos 1,2,4, la derivada de la función tiene un valor negativo, ya que estos puntos pertenecen a los intervalos decrecientes.

En los puntos 3,5,6, la derivada de la función tiene un valor positivo, ya que estos puntos pertenecen a los intervalos de crecimiento.

Como ves, todo queda claro con el valor de la derivada, es decir, no es difícil determinar qué signo tiene (positivo o negativo) en un determinado punto de la gráfica.

Además, si construimos mentalmente tangentes en estos puntos, veremos que las líneas que pasan por los puntos 3, 5 y 6 forman ángulos con el eje oX en el rango de 0 a 90 °, y las líneas que pasan por los puntos 1, 2 y 4 forman con el eje oX, ángulos que van desde 90 o hasta 180 o.

* La relación es clara: las tangentes que pasan por puntos pertenecientes a intervalos de funciones crecientes forman ángulos agudos con el eje oX, las tangentes que pasan por puntos pertenecientes a intervalos de funciones decrecientes forman ángulos obtusos con el eje oX.

¡Ahora la pregunta importante!

¿Cómo cambia el valor de la derivada? Después de todo, la tangente en diferentes puntos de la gráfica de una función continua forma diferentes ángulos, según el punto de la gráfica por el que pase.

*O hablando lenguaje simple, la tangente se ubica, por así decirlo, "más horizontalmente" o "más verticalmente". Mirar:

Las líneas rectas forman ángulos con el eje oX que van desde 0 a 90 o

Las líneas rectas forman ángulos con el eje oX que van desde 90 o hasta 180 o

Así que si hay alguna pregunta:

- ¿En cuál de los puntos dados en el gráfico el valor de la derivada tiene el valor más pequeño?

- ¿En cuál de los puntos dados en el gráfico el valor de la derivada tiene el mayor valor?

luego, para la respuesta, es necesario comprender cómo cambia el valor de la tangente del ángulo de la tangente en el rango de 0 a 180 o.

*Como ya se mencionó, el valor de la derivada de la función en un punto es igual a la tangente de la pendiente de la tangente al eje x.

El valor de la tangente cambia de la siguiente manera:

Cuando la pendiente de la línea recta cambia de 0 o a 90 o, el valor de la tangente, y por tanto la derivada, cambia de 0 a +∞, respectivamente;

Cuando la pendiente de la línea recta cambia de 90 o a 180 o, el valor de la tangente y, por lo tanto, el de la derivada, cambia en consecuencia –∞ a 0.

Esto se puede ver claramente en el gráfico de la función tangente:

En lenguaje sencillo:

Cuando el ángulo de inclinación de la tangente es de 0 o a 90 o

Cuanto más cerca esté de 0 o, mayor será el valor de la derivada cerca de cero (en el lado positivo).

Cuanto más cerca esté el ángulo de 90°, más aumentará el valor de la derivada hacia +∞.

Cuando el ángulo de inclinación de la tangente es de 90° a 180°

Cuanto más cerca esté de 90 o, más disminuirá el valor de la derivada hacia –∞.

Cuanto más cerca esté el ángulo de 180 o, mayor será el valor de la derivada cerca de cero (en el lado negativo).

317543. La figura muestra una gráfica de la función y = F(X) y puntos marcados–2, –1, 1, 2. ¿En cuál de estos puntos es mayor el valor de la derivada? Indique este punto en su respuesta.

Tenemos cuatro puntos: dos de ellos pertenecen a los intervalos en los que la función decrece (estos son los puntos –1 y 1) y dos a los intervalos en los que la función crece (estos son los puntos –2 y 2).

Inmediatamente podemos concluir que en los puntos -1 y 1 la derivada tiene un valor negativo, en los puntos -2 y 2 tiene un valor positivo. Por lo tanto, en este caso, es necesario analizar los puntos -2 y 2 y determinar cuál de ellos tendrá el mayor valor. Construyamos tangentes que pasen por los puntos indicados:

El valor de la tangente del ángulo entre la línea a y el eje de abscisas será mayor que el valor de la tangente del ángulo entre la línea b y este eje. Esto significa que el valor de la derivada en el punto -2 será el mayor.

Respondamos a la siguiente pregunta: ¿en cuál de los puntos -2, -1, 1 ó 2 el valor de la derivada es el mayor negativo? Indique este punto en su respuesta.

La derivada tendrá valor negativo en los puntos pertenecientes a los intervalos decrecientes, así que considera los puntos -2 y 1. Construyamos las tangentes que pasan por ellos:

Vemos que el ángulo obtuso entre la recta b y el eje oX está "más cerca" de 180 sobre , por lo que su tangente será mayor que la tangente del ángulo formado por la recta a y el eje x.

Así, en el punto x = 1, el valor de la derivada será el mayor negativo.

317544. La figura muestra una gráfica de la función y = F(X) y puntos marcados–2, –1, 1, 4. ¿En cuál de estos puntos el valor de la derivada es el más pequeño? Indique este punto en su respuesta.

Tenemos cuatro puntos: dos de ellos pertenecen a los intervalos en los que la función decrece (estos son los puntos -1 y 4) y dos a los intervalos en los que la función crece (estos son los puntos -2 y 1).

Inmediatamente podemos concluir que en los puntos -1 y 4 la derivada tiene un valor negativo, en los puntos -2 y 1 tiene un valor positivo. Por lo tanto, en este caso, es necesario analizar los puntos –1 y 4 y determinar cuál de ellos tendrá el menor valor. Construyamos tangentes que pasen por los puntos indicados:

El valor de la tangente del ángulo entre la línea a y el eje de abscisas será mayor que el valor de la tangente del ángulo entre la línea b y este eje. Esto significa que el valor de la derivada en el punto x = 4 será el más pequeño.

Respuesta: 4

Espero no haberte "sobrecargado" con la cantidad de escritos. De hecho, todo es muy simple, solo hay que entender las propiedades de la derivada, su significado geométrico y cómo cambia el valor de la tangente del ángulo de 0 a 180 o.

1. Primero, determine los signos de la derivada en estos puntos (+ o -) y seleccione los puntos necesarios (según la pregunta planteada).

2. Construya tangentes en estos puntos.

3. Usando la gráfica tangesoide, marque esquemáticamente las esquinas y muestreAlejandro.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

(Figura 1)

Figura 1. Gráfica de la derivada

Propiedades de la gráfica derivada

1. En intervalos crecientes, la derivada es positiva. Si la derivada en un cierto punto de algún intervalo tiene un valor positivo, entonces la gráfica de la función en este intervalo aumenta.
2. En intervalos decrecientes, la derivada es negativa (con signo menos). Si la derivada en un cierto punto de algún intervalo tiene un valor negativo, entonces la gráfica de la función en este intervalo decrece.
3. La derivada en el punto x es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en el mismo punto.
4. En los puntos máximo-mínimo de la función, la derivada es igual a cero. La tangente a la gráfica de la función en este punto es paralela al eje OX.

Ejemplo 1

De acuerdo con el gráfico (Fig. 2) de la derivada, determine en qué punto del segmento [-3; 5] la función es máxima.

Figura 2. Gráfica de la derivada

Solución: En este segmento, la derivada es negativa, lo que significa que la función decrece de izquierda a derecha y el valor mayor está en el lado izquierdo en el punto -3.

Ejemplo 2

De acuerdo con el gráfico (Fig. 3) de la derivada, determine el número de puntos máximos en el segmento [-11; 3].

Figura 3. Gráfica de la derivada

Solución: Los puntos máximos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de positivo a negativo. En este intervalo, la función cambia de signo dos veces de más a menos: en el punto -10 y en el punto -1. Así que el número de puntos máximos es dos.

Ejemplo 3

De acuerdo con el gráfico (Fig. 3) de la derivada, determine el número de puntos mínimos en el segmento [-11; -una].

Solución: Los puntos mínimos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de negativo a positivo. En este segmento, solo -7 es tal punto. Esto significa que el número de puntos mínimos en un segmento dado es uno.

Ejemplo 4

De acuerdo con el gráfico (Fig. 3) de la derivada, determine el número de puntos extremos.

Solución: El extremo es el punto tanto del mínimo como del máximo. Encuentre el número de puntos en los que la derivada cambia de signo.

Investigación de una función con la ayuda de una derivada. En este artículo analizaremos algunas de las tareas asociadas al estudio de la gráfica de una función. En tales tareas, se proporciona un gráfico de la función y = f (x) y se plantean preguntas relacionadas con la determinación del número de puntos en los que la derivada de la función es positiva (o negativa), entre otras. Se clasifican como tareas de aplicación de la derivada al estudio de funciones.

La solución de tales problemas, y en general los problemas relacionados con el estudio, solo es posible con una comprensión completa de las propiedades de la derivada para el estudio de gráficos de funciones y la derivada. Por lo tanto, le recomiendo enfáticamente que estudie la teoría relevante. Se puede estudiar y también mirar (pero contiene un resumen).

También consideraremos tareas donde se da el gráfico de la derivada en futuros artículos, ¡no te lo pierdas! Entonces las tareas son:

La figura muestra un gráfico de la función y \u003d f (x), definida en el intervalo (−6; 8). Definir:

1. El número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa;

2. El número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta y = 2;

1. La derivada de la función es negativa en los intervalos en los que la función decrece, es decir, en los intervalos (−6; -3), (0; 4.2), (6.9; 8). Contienen puntos enteros -5, -4, 1, 2, 3, 4 y 7. Obtuvimos 7 puntos.

2. directo y= 2 ejes paralelosOhy= 2 solo en los puntos extremos (en los puntos donde la gráfica cambia su comportamiento de creciente a decreciente o viceversa). Hay cuatro puntos de este tipo: –3; 0; 4.2; 6.9

Decide por ti mismo:

Determine el número de puntos enteros donde la derivada de la función es positiva.

La figura muestra un gráfico de la función y \u003d f (x), definida en el intervalo (−5; 5). Definir:

2. El número de puntos enteros en los que la tangente al gráfico de la función es paralela a la línea recta y \u003d 3;

3. El número de puntos donde la derivada es cero;

1. De las propiedades de la derivada de una función, se sabe que es positiva en los intervalos en los que la función crece, es decir, en los intervalos (1.4; 2.5) y (4.4; 5). Contienen solo un punto entero x = 2.

2. directo y= 3 ejes paralelosOh. la tangente sera paralela a la rectay= 3 solo en los puntos extremos (en los puntos donde la gráfica cambia su comportamiento de creciente a decreciente o viceversa).

Hay cuatro puntos de este tipo: –4.3; 1,4; 2,5; 4.4

3. La derivada es igual a cero en cuatro puntos (en los puntos extremos), ya los hemos indicado.

Decide por ti mismo:

Determine el número de puntos enteros donde la derivada de la función f(x) es negativa.

La figura muestra un gráfico de la función y \u003d f (x), definida en el intervalo (−2; 12). Encontrar:

1. El número de puntos enteros en los que la derivada de la función es positiva;

2. El número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa;

3. El número de puntos enteros en los que la tangente al gráfico de la función es paralela a la línea recta y \u003d 2;

4. El número de puntos donde la derivada es igual a cero.

1. De las propiedades de la derivada de una función, se sabe que es positiva en los intervalos en los que la función crece, es decir, en los intervalos (–2; 1), (2; 4), (7; 9 ) y (10; 11). Contienen puntos enteros: -1, 0, 3, 8. Hay cuatro en total.

2. La derivada de la función es negativa en los intervalos en los que la función decrece, es decir, en los intervalos (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Contienen los puntos enteros 5 y 6. Obtuvimos 2 puntos.

3. directo y= 2 ejes paralelosOh. la tangente sera paralela a la rectay= 2 solo en los puntos extremos (en los puntos donde la gráfica cambia su comportamiento de creciente a decreciente o viceversa). Hay siete puntos de este tipo: 1; 2; 4; 7; nueve; 10; once.

4. La derivada es igual a cero en siete puntos (en los puntos extremos), ya los hemos indicado.