Plokštumos, einančios per tris taškus, lygtis. Plokštumos lygtis: kaip sudaryti? Plokštumos lygčių tipai Plokštumos lygtis per tašką, statmeną vektoriui

Norėdami gauti bendrą plokštumos lygtį, analizuojame plokštumą, einanti per tam tikrą tašką.

Tebūnie trys mums jau žinomos koordinačių ašys erdvėje - Jautis, Oy Ir Ozas. Laikykite popieriaus lapą taip, kad jis liktų plokščias. Lėktuvas bus pats lapas ir jo tęsinys visomis kryptimis.

Leisti būti P savavališka plokštuma erdvėje. Bet koks jam statmenas vektorius vadinamas normalus vektorius į šį lėktuvą. Natūralu, kad mes kalbame apie nulinį vektorių.

Jeigu žinomas koks nors plokštumos taškas P ir tam tikras jo normaliosios vektorius, tada šiomis dviem sąlygomis plokštuma erdvėje yra visiškai nustatyta(per tam tikrą tašką yra tik viena plokštuma, statmena tam tikram vektoriui). Bendroji plokštumos lygtis atrodys taip:

Taigi, yra sąlygų, kurios nustato plokštumos lygtį. Norėdami tai gauti patys plokštumos lygtis, kuris turi aukščiau nurodytą formą, paimame į lėktuvą P savavališkas tašką M su kintamomis koordinatėmis x, y, z. Šis taškas priklauso plokštumai tik tuo atveju, jei vektorius statmenai vektoriui(1 pav.). Tam, atsižvelgiant į vektorių statmenumo sąlygą, būtina ir pakanka, kad šių vektorių skaliarinė sandauga būtų lygi nuliui, t.

Vektorius pateikiamas pagal sąlygą. Vektoriaus koordinates randame pagal formulę :

Dabar, naudojant vektorių taškinės sandaugos formulę , skaliarinį sandaugą išreiškiame koordinačių forma:

Nuo taško M(x; y; z) plokštumoje pasirenkamas savavališkai, tada paskutinę lygtį tenkina bet kurio plokštumoje esančio taško koordinatės P. Už tašką N, negulėti duotoje plokštumoje, , t.y. pažeidžiama lygybė (1).

1 pavyzdys Parašykite plokštumos, einančios per tašką ir statmenos vektoriui, lygtį.

Sprendimas. Mes naudojame formulę (1), pažiūrėkite dar kartą:

Šioje formulėje skaičiai A , B Ir C vektorių koordinatės ir skaičiai x0 , y0 Ir z0 - taško koordinatės.

Skaičiavimai labai paprasti: pakeičiame šiuos skaičius į formulę ir gauname

Viską, ką reikia padauginti, padauginame ir sudedame tik skaičius (kurie yra be raidžių). Rezultatas:

Reikalinga plokštumos lygtis šiame pavyzdyje pasirodė išreikšta bendra pirmojo laipsnio lygtimi kintamųjų koordinačių atžvilgiu x, y, z savavališkas plokštumos taškas.

Taigi, formos lygtis

paskambino bendroji plokštumos lygtis .

2 pavyzdys Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje sukonstruokite lygties pateiktą plokštumą .

Sprendimas. Norint sukonstruoti plokštumą, būtina ir pakanka žinoti bet kuriuos tris jos taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, pavyzdžiui, plokštumos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus.

Kaip rasti šiuos taškus? Norėdami rasti susikirtimo tašką su ašimi Ozas, problemos teiginyje pateiktoje lygtyje vietoj x ir y turite pakeisti nulius: x = y= 0. Todėl gauname z= 6. Taigi duotoji plokštuma kerta ašį Ozas taške A(0; 0; 6) .

Lygiai taip pat randame plokštumos susikirtimo tašką su ašimi Oy. At x = z= 0 gauname y= −3 , tai yra taškas B(0; −3; 0) .

Ir galiausiai randame savo plokštumos susikirtimo tašką su ašimi Jautis. At y = z= 0 gauname x= 2 , tai yra taškas C(2; 0; 0) . Pagal mūsų sprendime gautus tris taškus A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) ir C(2; 0; 0) pastatome duotąją plokštumą.

Apsvarstykite dabar ypatingi plokštumos bendrosios lygties atvejai. Tai atvejai, kai tam tikri (2) lygties koeficientai išnyksta.

1. Kada D = 0 lygtis apibrėžia plokštumą, einančią per pradžios tašką, nes taško koordinatės 0 (0; 0; 0) tenkina šią lygtį.

2. Kada A= 0 lygtis apibrėžia ašiai lygiagrečią plokštumą Jautis, nes šios plokštumos normalusis vektorius yra statmenas ašiai Jautis(jo projekcija ant ašies Jautis lygus nuliui). Panašiai, kai B= 0 lėktuvas ašis lygiagreti Oy, ir kada C= 0 lėktuvas lygiagrečiai ašiai Ozas.

3. Kada A=D= 0 lygtis apibrėžia plokštumą, einančią per ašį Jautis nes yra lygiagreti ašiai Jautis (A=D = 0). Panašiai plokštuma eina per ašį Oy, o plokštuma per ašį Ozas.

4. Kada A=B= 0 lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių plokštumai xOy nes yra lygiagreti ašims Jautis (A= 0) ir Oy (B= 0). Taip pat plokštuma lygiagreti plokštumai yOz, o lėktuvas – lėktuvas xOz.

5. Kada A=B=D= 0 lygtis (arba z= 0) apibrėžia koordinačių plokštumą xOy, nes jis yra lygiagretus plokštumai xOy (A=B= 0) ir eina per pradinę vietą ( D = 0). Panašiai ir lygtis y= 0 erdvėje apibrėžia koordinačių plokštumą xOz, ir lygtis x= 0 – koordinačių plokštuma yOz.

3 pavyzdys Sudarykite plokštumos lygtį P einančios per ašį Oy ir taškas .

Sprendimas. Taigi plokštuma eina per ašį Oy. Taigi jos lygtyje y= 0 ir ši lygtis turi formą . Koeficientams nustatyti A Ir C mes naudojame tai, kad taškas priklauso plokštumai P .

Todėl tarp jo koordinačių yra tų, kurias galima pakeisti į plokštumos lygtį, kurią jau išvedėme (). Dar kartą pažiūrėkime į taško koordinates:

M0 (2; −4; 3) .

Tarp jų x = 2 , z= 3. Pakeiskite juos į lygtį bendras vaizdas ir mes gauname lygtį mūsų konkrečiam atvejui:

2A + 3C = 0 .

Paliekame 2 A kairėje lygties pusėje perkeliame 3 Cį dešinę pusę ir gaukite

A = −1,5C .

Rastos vertės pakeitimas Aį lygtį gauname

arba .

Tai lygtis, kurios reikia pavyzdinėje sąlygoje.

Išspręskite plokštumos lygčių uždavinį patys, o tada pažiūrėkite į sprendimą

4 pavyzdys Nustatykite plokštumą (arba plokštumas, jei daugiau nei viena) koordinačių ašių arba koordinačių plokštumų atžvilgiu, jei plokštuma (-os) pateiktos pagal lygtį .

Tipinių problemų, atsirandančių atliekant bandymus, sprendimai – vadove „Uždaviniai plokštumoje: lygiagretumas, statmenumas, trijų plokštumų susikirtimas viename taške“ .

Plokštumos, einančios per tris taškus, lygtis

Kaip jau minėta, būtina ir pakankama plokštumos konstravimo sąlyga, be vieno taško ir normalaus vektoriaus, yra ir trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje.

Tegul turi būti pateikti trys skirtingi taškai Ir , Ne guli ant tos pačios tiesios linijos. Kadangi šie trys taškai nėra vienoje tiesėje, vektoriai ir nėra kolinearūs, todėl bet kuris plokštumos taškas yra toje pačioje plokštumoje su taškais Ir tada, jei vektoriai , ir koplanarinis, t.y. Jeigu, ir tik jeigu mišrus šių vektorių sandauga lygus nuliui.

Naudodami mišrios sandaugos išraišką koordinatėse, gauname plokštumos lygtį

(3)

Išplėtus determinantą, ši lygtis tampa (2) formos lygtimi, t.y. bendroji plokštumos lygtis.

5 pavyzdys Parašykite lygtį plokštumai, kertančiai tris nurodytus taškus, kurie nėra tiesioje linijoje:

ir apibrėžti ypatinga byla bendroji tiesės lygtis, jei tokia yra.

Sprendimas. Pagal (3) formulę turime:

Normalioji plokštumos lygtis. Atstumas nuo taško iki plokštumos

Normalioji plokštumos lygtis yra jos lygtis, parašyta forma

Šiame straipsnyje kalbėsime apie tai, kaip plokštumos, einančios per tam tikrą tašką trimatėje erdvėje, lygtis yra statmena nurodytai tiesei. Pirmiausia išanalizuosime plokštumos, einančios per duotą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygties radimo principą, po to išsamiai išanalizuosime tipinių pavyzdžių ir problemų sprendimus.

Puslapio naršymas.

Plokštumos, einančios per tam tikrą erdvės tašką, statmeną nurodytai tiesei, lygties radimas.

Iškelkime sau tokią užduotį.

Tegu Oxyz fiksuojamas trimatėje erdvėje, duotas taškas, tiesė a ir reikia parašyti plokštumos, einančios per tašką M 1 statmeną tiesei a, lygtį.

Pirmiausia prisiminkime vieną svarbų faktą.

Geometrijos pamokose vidurinėje mokykloje įrodinėjama teorema: viena plokštuma eina per duotą trimatės erdvės tašką, statmeną duotai tiesei (šios teoremos įrodymą rasite geometrijos vadovėlyje 10-11 kl. nurodyta literatūros sąraše straipsnio pabaigoje).

Dabar parodysime, kaip randama šios vienos plokštumos, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Uždavinio sąlygoje mums pateikiamos taško M 1, per kurį eina plokštuma, koordinatės x 1, y 1, z 1. Tada, jei randame plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates, galime sudaryti reikiamą plokštumos, einančios per nurodytą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtį.

Plokštumos, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygties sudarymo pavyzdžiai.

Apsvarstykite kelių pavyzdžių sprendinius, kuriuose randama plokštumos, einančios per tam tikrą erdvės tašką, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis.

Pavyzdys.

Parašykite plokštumos, kertančios tašką ir statmenos koordinačių tiesei Oz, lygtį.

Sprendimas.

Koordinačių linijos Oz krypties vektorius akivaizdžiai yra koordinačių vektorius . Tada plokštumos, kurios lygtį turime sudaryti, normalusis vektorius turi koordinates. Parašykime plokštumos, einančios per tašką ir turinčios normalųjį vektorių su koordinatėmis, lygtį:
.

Parodykime antrąjį šios problemos sprendimo būdą.

Koordinačių tiesei Oz statmena plokštuma apibrėžia nepilną bendrąją formos plokštumos lygtį . Raskime reikšmes C ir D, kuriomis plokštuma eina per tašką, pakeisdami šio taško koordinates į lygtį: . Taigi skaičiai C ir D yra susiję ryšiu . Paėmę C=1, gauname D=-5. Rastuosius C=1 ir D=-5 pakeičiame į lygtį ir gauname norimą plokštumos, statmenos tiesei Oz ir einančios per tašką , lygtį. Atrodo .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Parašykite lygtį plokštumai, kuri eina per pradžios tašką ir yra statmena tiesei .

Sprendimas.

Kadangi plokštuma, kurios lygtį turime gauti, yra statmena tiesei , tada plokštumos normalusis vektorius gali būti paimtas kaip nurodytos tiesės krypties vektorius. Tada . Belieka parašyti plokštumos, einančios per tašką ir turinčios normalųjį vektorių, lygtį : . Tai yra norima lygtis plokštumos, einančios per pradinę vietą statmenai nurodytai tiesei.

Atsakymas:

Pavyzdys.

Du taškai ir yra pateikti stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje. Plokštuma eina per tašką A statmenai tiesei AB. Parašykite plokštumos lygtį atkarpomis.

Sprendimas.

Bendroji plokštumos, einančios per tašką ir turinčios normaliosios plokštumos vektorių, lygtis , bus parašyta kaip .

Belieka pereiti prie reikiamos plokštumos lygties segmentais:

.

Atsakymas:

Pabaigoje pažymime, kad yra problemų, kuriose reikia parašyti plokštumos, einančios per tam tikrą tašką ir statmenos dviem nurodytoms susikertančioms plokštumoms, lygtį. Iš esmės šios problemos sprendimas yra sudarytas plokštumos, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtį, nes dvi susikertančios plokštumos apibrėžia tiesę. Šiuo atveju pagrindinis sunkumas yra plokštumos normaliojo vektoriaus, kurio lygtį reikia sudaryti, koordinačių suradimo procesas.

Todėl vektorius yra tiesei a statmenos plokštumos normalusis vektorius. Parašykime plokštumos, einančios per tašką, lygtį ir turintys normalų vektorių :
.

Tai yra norima plokštumos, einančios per tam tikrą tašką, statmeną nurodytai tiesei, lygtis.

Atsakymas:

Bibliografija.

Atanasjanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7 - 9 klasės: vadovėlis ugdymo įstaigoms.
Atanasjanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Vadovėlis 10-11 gimnazijos klasėms.
Pogorelovas A.V., Geometrija. Vadovėlis ugdymo įstaigų 7-11 klasėms.
Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M. Aukštoji matematika. Pirmas tomas: tiesinės algebros ir analitinės geometrijos elementai.
Iljinas V.A., Poznyak E.G. Analitinė geometrija.

Šiame straipsnyje pateikiama idėja, kaip parašyti plokštumos, einančios per nurodytą tašką trimatėje erdvėje, statmenai nurodytai tiesei, lygtį. Išanalizuokime aukščiau pateiktą algoritmą naudodami tipinių problemų sprendimo pavyzdį.

Plokštumos, einančios per tam tikrą erdvės tašką, statmeną nurodytai tiesei, lygties radimas

Tegu joje pateikta trimatė erdvė ir stačiakampė koordinačių sistema O x y z. Taip pat pateiktas taškas M 1 (x 1, y 1, z 1), tiesė a ir plokštuma α, einanti per tašką M 1, statmeną tiesei a. Būtina užrašyti plokštumos α lygtį.

Prieš pradėdami spręsti šią problemą, prisiminkime geometrijos teoremą iš 10–11 klasių programos, kuri parašyta:

1 apibrėžimas

Viena plokštuma eina per tam tikrą trimatės erdvės tašką ir yra statmena nurodytai tiesei.

Dabar apsvarstykite, kaip rasti šios vienos plokštumos, einančios per pradinį tašką ir statmenos nurodytai tiesei, lygtį.

Galima parašyti bendrąją plokštumos lygtį, jei žinomos šiai plokštumai priklausančio taško koordinatės, taip pat plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės.

Pagal uždavinio sąlygą mums duotos taško M 1, per kurį eina plokštuma α, koordinatės x 1, y 1, z 1. Jei nustatysime plokštumos α normaliojo vektoriaus koordinates, tai galėsime užrašyti norimą lygtį.

Plokštumos α normalusis vektorius, kadangi jis nėra lygus nuliui ir yra tiesėje a, statmenoje plokštumai α, bus bet koks tiesės a nukreipiantis vektorius. Taigi plokštumos α normaliojo vektoriaus koordinačių radimo uždavinys paverčiamas tiesės a nukreipiamojo vektoriaus koordinačių nustatymo uždaviniu.

Tiesės a krypties vektoriaus koordinatės gali būti nustatomos įvairiais būdais: tai priklauso nuo tiesės a nustatymo varianto pradinėmis sąlygomis. Pavyzdžiui, jei uždavinio sąlygoje esanti tiesė a yra pateikta formos kanoninėmis lygtimis

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

arba tokios formos parametrines lygtis:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tada tiesės krypties vektorius turės koordinates a x, a y ir a z. Tuo atveju, kai tiesė a vaizduojama dviem taškais M 2 (x 2, y 2, z 2) ir M 3 (x 3, y 3, z 3), tada krypties vektoriaus koordinatės bus nustatytos kaip (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

2 apibrėžimas

Algoritmas plokštumos, einančios per tam tikrą tašką, statmeną nurodytai tiesei, lygties radimui:

Nustatykite tiesės a krypties vektoriaus koordinates: a → = (a x, a y, a z) ;

Plokštumos α normaliojo vektoriaus koordinates apibrėžiame kaip tiesės a krypties vektoriaus koordinates:

n → = (A , B , C) , kur A = a x, B = a y, C = a z;

Rašome lygtį plokštumos, einančios per tašką M 1 (x 1, y 1, z 1) ir turinčios normalųjį vektorių n→=(A, B, C) forma A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Tai bus reikalinga lygtis plokštumos, kuri eina per tam tikrą erdvės tašką ir yra statmena nurodytai tiesei.

Gauta bendroji plokštumos lygtis: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 leidžia gauti plokštumos lygtį segmentais arba normaliąją plokštumos lygtį.

Išspręskime keletą pavyzdžių naudodami aukščiau pateiktą algoritmą.

1 pavyzdys

Duotas taškas M 1 (3, - 4, 5), per kurį eina plokštuma, ir ši plokštuma yra statmena koordinačių tiesei O z.

Sprendimas

koordinačių tiesės O z krypties vektorius bus koordinačių vektorius k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Todėl normalusis plokštumos vektorius turi koordinates (0 , 0 , 1) . Parašykime lygtį plokštumos, einančios per duotą tašką M 1 (3, - 4, 5), kurio normalusis vektorius turi koordinates (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Atsakymas: z-5 = 0.

Apsvarstykite kitą šios problemos sprendimo būdą:

2 pavyzdys

Plokštuma, kuri yra statmena tiesei O z, bus pateikta nepilna bendroji plokštumos, kurios formos С z + D = 0, C ≠ 0, lygtis. Apibrėžkime C ir D reikšmes: tas, kurių plokštuma eina per tam tikrą tašką. Pakeiskite šio taško koordinates lygtyje C z + D = 0 , gausime: C · 5 + D = 0 . Tie. skaičiai, C ir D yra susiję - D C = 5 . Paėmę C \u003d 1, gauname D \u003d - 5.

Pakeiskite šias reikšmes į lygtį C z + D = 0 ir gaukite reikiamą lygtį plokštumai, statmenai tiesei O z ir einančia per tašką M 1 (3, - 4, 5) .

Tai atrodys taip: z - 5 = 0.

Atsakymas: z-5 = 0.

3 pavyzdys

Parašykite lygtį plokštumai, kuri eina per pradžios tašką ir statmena tiesei x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Sprendimas

Remiantis uždavinio sąlygomis, galima teigti, kad tam tikros tiesės nukreipiamąjį vektorių galima paimti kaip duotosios plokštumos normalųjį vektorių n →. Taigi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Parašykime lygtį plokštumos, einančios per tašką O (0, 0, 0) ir turinčios normalųjį vektorių n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Gavome reikiamą lygtį plokštumai, einančia per pradinę vietą statmenai nurodytai tiesei.

Atsakymas:- 3x - 7y + 2z = 0

4 pavyzdys

Duota stačiakampė koordinačių sistema O x y z trimatėje erdvėje, joje yra du taškai A (2 , - 1 , - 2) ir B (3 , - 2 , 4) . Plokštuma α eina per tašką A statmenai tiesei AB. Būtina sudaryti plokštumos α lygtį atkarpomis.

Sprendimas

Plokštuma α yra statmena tiesei A B, tada vektorius A B → bus normalusis plokštumos α vektorius. Šio vektoriaus koordinatės nustatomos kaip skirtumas tarp atitinkamų taškų B (3, - 2, 4) ir A (2, - 1, - 2) koordinačių:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Bendroji plokštumos lygtis bus parašyta tokia forma:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Dabar sudarome norimą plokštumos lygtį segmentuose:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Atsakymas:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Taip pat reikia atkreipti dėmesį į tai, kad yra problemų, kurių reikalavimas yra parašyti lygtį plokštumai, kertančiai per tam tikrą tašką ir statmenai dviem duotoms plokštumoms. Apskritai šios problemos sprendimas yra parašyti lygtį plokštumai, einančia per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, nes dvi susikertančios plokštumos nusako tiesią liniją.

5 pavyzdys

Duota stačiakampė koordinačių sistema O x y z, joje yra taškas M 1 (2, 0, - 5) . Taip pat pateiktos dviejų plokštumų 3 x + 2 y + 1 = 0 ir x + 2 z - 1 = 0 lygtys, kurios susikerta išilgai tiesės a . Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kertančiai tašką M 1, statmeną tiesei a.

Sprendimas

Nustatykime tiesės a nukreipiamojo vektoriaus koordinates. Jis statmenas n → (1 , 0 , 2) plokštumos normaliajam vektoriui n 1 → (3 , 2 , 0), ir x + 2 z - normaliajam vektoriui 3 x + 2 y + 1 = 0 1 = 0 plokštuma.

Tada nukreipimo vektorius α → tiesė a paimame vektorių n 1 → ir n 2 → vektorinę sandaugą:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Taigi vektorius n → = (4, - 6, - 2) bus plokštumos, statmenos tiesei a, normalusis vektorius. Rašome norimą plokštumos lygtį:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Atsakymas: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Jei visi skaičiai A, B, C ir D yra ne nuliai, tada bendroji plokštumos lygtis vadinama užbaigti. Priešingu atveju vadinama bendroji plokštumos lygtis Nebaigtas.

Panagrinėkime visas galimas bendrąsias nepilnas plokštumos lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje.

Tegu D = 0, tada turime bendrąją nepilną formos plokštumos lygtį. Ši stačiakampės koordinačių sistemos Oxyz plokštuma eina per pradžios tašką. Iš tiesų, pakeisdami taško koordinates į gautą nepilną plokštumos lygtį, gauname tapatybę .

Dėl , Ar , Ar mes turime bendrąsias neišsamias plokštumų lygtis , arba , arba atitinkamai. Šios lygtys apibrėžia plokštumas, kurios yra lygiagrečios koordinačių plokštumoms Oxy , Oxz ir Oyz atitinkamai (žr. straipsnį Lygiagretumo sąlyga plokštumoms) ir eina per taškus. ir atitinkamai. At. Nuo taško priklauso plokštumai pagal sąlygą, tai šio taško koordinatės turi tenkinti plokštumos lygtį, tai yra, lygybė turi būti teisinga. Iš čia randame. Taigi norima lygtis turi formą .

Pateikiame antrąjį šios problemos sprendimo būdą.

Kadangi plokštuma, kurios bendrąją lygtį turime sudaryti, yra lygiagreti Oyz plokštumai, tai normaliuoju vektoriumi galime laikyti Oyz plokštumos normalųjį vektorių. Normalusis koordinačių plokštumos Oyz vektorius yra koordinačių vektorius . Dabar žinome normalųjį plokštumos vektorių ir plokštumos tašką, todėl galime užrašyti jo bendrąją lygtį (panašią problemą išsprendėme ankstesnėje šio straipsnio pastraipoje):
, tada jo koordinatės turi tenkinti plokštumos lygtį. Todėl lygybė kur randame. Dabar galime parašyti norimą bendrąją plokštumos lygtį, ji turi formą .

Atsakymas:

Bibliografija.

Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M. Aukštoji matematika. Pirmas tomas: tiesinės algebros ir analitinės geometrijos elementai.
Iljinas V.A., Poznyak E.G. Analitinė geometrija.

KAMPAS TARP PLOKTUMU

Panagrinėkime dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai gautas pagal lygtis:

Pagal kampu tarp dviejų plokštumų turime omenyje vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių arba . Štai kodėl . Nes Ir , tada

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.

Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.

Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai ir yra lygiagrečios, taigi .

Taigi, dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai koeficientai atitinkamose koordinatėse yra proporcingi:

arba

Plokštumų statmenumo sąlyga.

Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .

Šiuo būdu, .

Pavyzdžiai.

TIESIOGIAI ERDVĖJE.

VEKTORINĖ LYGTIS TIESIOGIAI.

PARAMETRINĖS LYGTYBĖS TIESIOGINĖS

Tiesios linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš fiksuotų jos taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.

Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vadovaujantisšios linijos vektorius.

Taigi leiskite tiesiai l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) gulėti ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .

Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo matyti, kad .

Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali priimti bet kurį skaitinė reikšmė priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. faktorius t vadinamas parametru. Žymintys taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvieno parametro reikšmė t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M guli ant tiesios linijos.

Šią lygtį užrašome koordinačių forma. Pastebėti, kad , ir iš čia

Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesiosios lygtys.

Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y Ir z ir taškas M juda tiesia linija.

KANONINĖS LYGTYS TIESIOGIAI

Leisti būti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - taškas, esantis tiesioje linijoje l, Ir yra jo krypties vektorius. Vėlgi, paimkite savavališką tašką tiesioje linijoje M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .

Akivaizdu, kad vektoriai ir yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos

– kanoninis tiesiosios lygtys.

1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių lygčių pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname arba .

Pavyzdys. Parašykite tiesės lygtį parametriniu būdu.

Pažymėti , vadinasi x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2 pastaba. Tegul linija yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, Vadinasi, m=0. Vadinasi, parametrinės tiesės lygtys įgauna formą

Parametro pašalinimas iš lygčių t, gauname formos tiesės lygtis

Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje . Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad linija yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.

Panašiai ir kanoninės lygtys atitinka ašims statmeną tiesę Jautis Ir Oy arba lygiagreti ašis Ozas.

Pavyzdžiai.

BENDROSIOS LYGTYBĖS TIESIOGINĖ LINIJA KAIP Dviejų PLOKTUČIŲ SUVEŽIMO LINIJA

Per kiekvieną tiesę erdvėje eina begalinis skaičius plokštumų. Bet kurie du iš jų, susikertantys, apibrėžia jį erdvėje. Todėl bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, yra šios linijos lygtys.

Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis

nustatyti jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai.

Pavyzdžiai.

Sukurkite tiesę, nurodytą lygtimis

Norint sukurti tiesę, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių plokštumomis. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:

Išspręsdami šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).

Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:

Iš bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninės arba parametrines lygtis. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 ant linijos ir linijos krypties vektorius.

Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams Ir . Todėl tiesės krypties vektoriui l galite paimti normaliųjų vektorių kryžminę sandaugą:

Pavyzdys. Vadovauti bendrosios lygtys tiesiai į kanoninę formą.

Raskite tašką tiesioje linijoje. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:

Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates Todėl krypties vektorius bus tiesus

. Vadinasi, l: .

KAMPAS TARP TEISIŲ

kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje nurodytos dvi tiesės:

Akivaizdu, kad kampas φ tarp linijų gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Kadangi , tada pagal kampo tarp vektorių kosinuso formulę gauname

Ankstesnis straipsnis: Rusijos vidaus politinė raida pirmųjų Romanovų laikais Kitas straipsnis: Rusijos politinė sistema pirmųjų Romanovų laikais