Parašykite kanonines ir parametrines tiesės lygtis. Kanoninės tiesės erdvėje lygtys – teorija, pavyzdžiai, uždavinių sprendimas. Tiesės lygtis pagal tašką ir nuolydį

3.1. Kanoninės tiesės lygtys.

Tegul Oxyz koordinačių sistemoje pateikiama tiesė, kuri eina per tašką

(žr. 18 pav.) Pažymėti
vektorius, lygiagretus duotai tiesei. Vektorius paskambino nukreipiantis tiesės vektorius. Eikite į tiesų tašką
ir apsvarstykite vektorius vektorius
kolinearinės, todėl jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos:

(3.3.1 )

Šios lygtys vadinamos kanonines lygtis tiesiai.

Pavyzdys: Parašykite tiesės, einančios per tašką M (1, 2, –1), lygiagrečią vektoriui, lygtis.

Sprendimas: Vektorius yra norimos tiesės krypties vektorius. Taikydami formules (3.1.1), gauname:

Tai kanoninės tiesės lygtys.

Komentuoti: Vieno iš vardiklių išnykimas reiškia atitinkamo skaitiklio išnykimą, tai yra, y - 2 = 0; y = 2. Ši tiesė yra y = 2 plokštumoje, lygiagrečioje Oxz plokštumai.

3.2. Parametrinės tiesės lygtys.

Tegul tiesė pateikiama kanoninėmis lygtimis

Mes pažymime
tada
Reikšmė t vadinama parametru ir gali turėti bet kokias reikšmes:
.

Išreikškime x, y ir z kaip t:

(3.2.1 )

Gautos lygtys vadinamos tiesės parametrinės lygtys.

1 pavyzdys: Parašykite parametrines lygtis tiesės, einančios per tašką M (1, 2, –1), lygiagrečiai vektoriui

Sprendimas:Šios linijos kanoninės lygtys gaunamos 3.1 skyriaus pavyzdyje:

Norėdami rasti tiesės parametrines lygtis, taikome formulių (3.2.1) išvedimą:

Taigi,
- duotosios tiesės parametrinės lygtys.

Atsakymas:

2 pavyzdys. Parašykite parametrines lygtis tiesės, einančios per tašką M (–1, 0, 1), lygiagrečiai vektoriui
kur A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).

Sprendimas: Vektorius
yra norimos tiesės krypties vektorius.

Raskite vektorių
.

= (–3; 2; 3). Naudodamiesi formulėmis (3.2.1), užrašome tiesės lygtis:

yra ieškomos tiesės parametrinės lygtys.

3.3. Tiesios linijos, einančios per du duotus taškus, lygtys.

Viena tiesė eina per du duotus erdvės taškus (žr. 20 pav.). Duoti taškai Vektorius
gali būti laikomas šios linijos krypties vektoriumi. Tada randamos tiesės lygtys pagal formules (3.1.1):
).

(3.3.1)

1 pavyzdys. Parašykite per taškus einančios tiesės kanonines ir parametrines lygtis

Sprendimas: Taikome formulę (3.3.1)

Gautos kanoninės tiesės lygtys. Norėdami gauti parametrines lygtis, taikome formulių išvedimą (3.2.1). Mes gauname

yra parametrinės tiesės lygtys.

2 pavyzdys. Parašykite per taškus einančios tiesės kanonines ir parametrines lygtis

Sprendimas: Pagal formules (3.3.1) gauname:

Tai yra kanoninės lygtys.

Pereikime prie parametrinių lygčių:

- parametrinės lygtys.

Gauta tiesi linija lygiagreti oz ašiai (žr. 21 pav.).

Tegu erdvėje pateiktos dvi plokštumos

Jei šios plokštumos nesutampa ir nėra lygiagrečios, tada jos susikerta tiesia linija:

Ši dviejų tiesinių lygčių sistema apibrėžia tiesę kaip dviejų plokštumų susikirtimo liniją. Iš lygčių (3.4.1) galima pereiti prie kanoninių lygčių (3.1.1) arba parametrinių lygčių (3.2.1). Norėdami tai padaryti, turite rasti tašką
gulint ant tiesios linijos, ir krypties vektorius Taško koordinatės
gauname iš sistemos (3.4.1), vienai iš koordinačių priskirdami savavališką reikšmę (pavyzdžiui, z = 0). Už krypties vektoriaus galime paimti vektorių sandaugą, tai yra

1 pavyzdys. Parašykite kanonines tiesės lygtis

Sprendimas: Tegu z = 0. Išspręskite sistemą

Sudėjus šias lygtis, gauname: 3x + 6 = 0
x = –2. Rastą reikšmę x = –2 pakeiskite pirmąja sistemos lygtimi ir gaukite: –2 + y + 1 = 0
y = 1.

Taigi taškas
guli ant norimos tiesios linijos.

Norėdami rasti tiesės krypties vektorių, užrašome normaliuosius plokštumų vektorius: ir randame jų vektorinę sandaugą:

Tiesės lygtys randamos pagal formules (3.1.1):

Atsakymas:
.

Kitas būdas: Kanonines ir parametrines tiesės (3.4.1) lygtis galima lengvai gauti iš sistemos (3.4.1) suradus du skirtingus tiesės taškus, tada pritaikius formules (3.3.1) ir išvedus formules (3.2.1). ).

2 pavyzdys. Parašykite kanonines ir parametrines tiesės lygtis

Sprendimas: Tegu y = 0. Tada sistema įgauna tokią formą:

Sudėję lygtis, gauname: 2x + 4 = 0; x = –2. Pakeiskite x = –2 antrąją sistemos lygtį ir gaukite: –2 –z +1 = 0
z = –1. Taigi mes radome esmę

Norėdami rasti antrąjį tašką, įdedame x = 0. Turėsime:

Tai yra

Gautos kanoninės tiesės lygtys.

Sudarykime parametrines tiesės lygtis:

Atsakymas:
;
.

3.5. Santykinė dviejų tiesių padėtis erdvėje.

Tegul tiesios linijos
pateikiamos lygtimis:

:
;
:

.

Kampas tarp šių tiesių suprantamas kaip kampas tarp jų krypties vektorių (žr. 22 pav.). Šis kampelis randame pagal formulę iš vektorinės algebros:
arba

(3.5.1)

Jei tiesiai
statmenai (
), tada
Vadinasi,

Tai dviejų tiesių erdvėje statmenumo sąlyga.

Jei tiesiai
lygiagrečiai (
), tada jų krypties vektoriai yra kolineariniai (
), tai yra

(3.5.3 )

Tai yra dviejų tiesių erdvėje lygiagretumo sąlyga.

1 pavyzdys. Raskite kampą tarp tiesių:

a).
ir

b).
ir

Sprendimas: a). Užrašome tiesės krypties vektorių
Raskite krypties vektorių
plokštumos įtrauktos į sistemą Tada randame jų kryžminę sandaugą:

(žr. 3.4 pastraipos 1 pavyzdį).

Pagal formulę (3.5.1) gauname:

Vadinasi,

b). Užrašykime tiesių duomenų krypties vektorius: Vektorius
kolinearinės, nes jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos:

Reiškia tiesiai
lygiagrečiai (
), tai yra

Atsakymas: a).
b).

2 pavyzdys.Įrodykite tiesių statmenumą:

ir

Sprendimas: Užrašome pirmosios tiesės krypties vektorių

Raskite krypties vektorių antra tiesi linija. Norėdami tai padaryti, randame normaliuosius vektorius
į sistemą įtrauktos plokštumos: Apskaičiuokime jų skersinį sandaugą:

(Žr. 1 pavyzdį, 3.4 punktą).

Taikome tiesių statmenumo sąlygą (3.5.2):

Sąlyga įvykdyta; todėl tiesios linijos yra statmenos (
).

KAMPAS TARP PLOKTUMU

Apsvarstykite dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai gautas pagal lygtis:

Pagal kampu tarp dviejų plokštumų turime omenyje vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių kampų arba ... Taigi ... Nes ir , tada

.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+ 4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.

Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.

Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai ir yra lygiagrečios, o tai reiškia .

Taigi, dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai koeficientai atitinkamose koordinatėse yra proporcingi:

arba

Plokštumų statmenumo sąlyga.

Aišku, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai yra statmeni, taigi, arba.

Šiuo būdu, .

Pavyzdžiai.

TIESIAI ERDVĖJE.

VEKTORINĖS LINIJAS LYGYTIS.

PARAMETRINĖS LINĖS LYGTYBĖS

Tiesios linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš fiksuotų jos taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.

Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vadovaujantisšios linijos vektorius.

Taigi tegul būna tiesiai l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) gulint ant tiesės, lygiagrečios vektoriui.

Apsvarstykite savavališką tašką M (x, y, z) tiesioje linijoje. Paveikslas tai rodo .

Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas, kur yra veiksnys t gali paimti bet kokį skaitinė reikšmė priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. faktorius t vadinamas parametru. Žymintys taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir, gauname. Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvienai parametro vertei t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M guli ant tiesios linijos.

Parašykime šią lygtį koordinačių forma. Pastebėti, kad , ir iš čia

Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesės lygtys.

Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y ir z ir taškas M juda tiesia linija.

Kanoninės tiesios lygtys

Leisti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) yra taškas, esantis tiesioje linijoje l, ir Ar jo krypties vektorius. Vėlgi, paimkite savavališką tašką tiesioje linijoje M (x, y, z) ir apsvarstykite vektorių.

Akivaizdu, kad vektoriai ir yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos

– kanoninis tiesės lygtys.

1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanoninės tiesės lygtys gali būti gaunamos iš parametrinių, atmetus parametrą t... Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname arba .

Pavyzdys. Parašykite tiesės lygtį parametrine forma.

Mes pažymime , iš čia x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2 pastaba. Tegul tiesė yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis... Tada nukreipimo vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m= 0. Vadinasi, parametrinės tiesės lygtys įgauna formą

Parametro pašalinimas iš lygčių t, gauname formos tiesės lygtis

Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje ... Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad linija yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.

Panašiai ir kanoninės lygtys atitinka ašims statmeną tiesę Jautis ir Oy arba lygiagrečiai ašiai Ozas.

Pavyzdžiai.

BENDROSIOS LYGTYBĖS TIESĖS KAIP Dviejų PLOKŠTUMŲ SANKRAIŠĖS

Nesuskaičiuojamas skaičius plokštumų eina per kiekvieną tiesę erdvėje. Bet kurie du iš jų, susikertantys, apibrėžia jį erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėjamos kartu, atspindi šios tiesės lygtis.

Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis

apibrėžti jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai.

Pavyzdžiai.

Sukurkite tiesę, nurodytą lygtimis

Norint nutiesti tiesią liniją, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių plokštumomis. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės, nustatymo lygčių z= 0:

Išsprendę šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).

Panašiai nustatant y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:

Iš bendrųjų tiesės lygčių galite pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 ant linijos ir linijos krypties vektorius.

Taško koordinatės M 1 bus gautas iš šios lygčių sistemos, vienai iš koordinačių priskyrus savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams ir ... Todėl už tiesės krypties vektoriaus l galime paimti normaliųjų vektorių kryžminę sandaugą:

.

Pavyzdys. Pateikite bendrąsias tiesės lygtis į kanoninę formą.

Raskite tašką tiesioje linijoje. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:

Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates Todėl tiesės krypties vektorius bus

... Vadinasi, l: .

KAMPAS TARP TIESIOJŲ

Kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje nurodytos dvi tiesės:

Akivaizdu, kad kampas tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir. Kadangi tada pagal kampo tarp vektorių kosinuso formulę gauname

Viena iš tiesės erdvės lygčių tipų yra kanoninė lygtis. Mes apsvarstysime šią koncepciją visomis detalėmis, nes ją būtina žinoti norint išspręsti daugelį praktinių problemų.

Pirmajame skyriuje suformuluosime pagrindines tiesės, esančios trimatėje erdvėje, lygtis ir pateiksime keletą pavyzdžių. Toliau parodysime, kaip apskaičiuoti krypties vektoriaus koordinates pateiktoms kanoninėms lygtims ir atvirkštinės problemos sprendimą. Trečioje dalyje aprašysime, kaip sudaroma tiesės, einančios per 2 duotus taškus trimatėje erdvėje, lygtis, o paskutinėje pastraipoje nurodysime kanoninių lygčių ryšius su kitomis. Visi samprotavimai bus iliustruoti problemų sprendimo pavyzdžiais.

Apie tai, kas apskritai yra kanoninės tiesės lygtys, jau kalbėjome straipsnyje, skirtame tiesės lygtims plokštumoje. Analogiškai analizuosime atvejį su trimate erdve.

Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą O x y z, kurioje nurodyta tiesė. Kaip prisimename, galite nustatyti tiesią liniją Skirtingi keliai... Naudosime paprasčiausią iš jų – nustatysime tašką, per kurį eis tiesė, ir nurodysime krypties vektorių. Jei tiesę pažymėsime raide a, o tašką M, tai galime parašyti, kad M 1 (x 1, y 1, z 1) yra tiesėje a ir šios tiesės krypties vektorius bus a → = (ax, ay, az). Kad taškų aibė M (x, y, z) apibrėžtų tiesę a, vektoriai M 1 M → ir a → turi būti kolinearūs,

Jei žinome vektorių M 1 M → ir a → koordinates, tai būtiną ir pakankamą jų kolineariškumo sąlygą galime užrašyti koordinačių forma. Iš pradinių sąlygų jau žinome koordinates a →. Kad gautume koordinates M 1 M →, turime apskaičiuoti skirtumą tarp M (x, y, z) ir M 1 (x 1, y 1, z 1). Užsirašykime:

M 1 M → = x - x 1, y - y 1, z - z 1

Po to reikiamą sąlygą galime suformuluoti taip: M 1 M → = x - x 1, y - y 1, z - z 1 ir a → = (ax, ay, az): M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az

Čia kintamojo λ reikšmė gali būti bet koks realusis skaičius arba nulis. Jei λ = 0, tai M (x, y, z) ir M 1 (x 1, y 1, z 1) sutampa, o tai neprieštarauja mūsų samprotavimams.

Vertėms a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0 galime išspręsti visas sistemos lygtis, atsižvelgiant į parametrą λ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y z - z 1 = λ a z

Po to tarp dešiniųjų dalių bus galima dėti lygybės ženklą:

x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay λ = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az

Kaip rezultatas, mes gavome lygtis x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z, su kuriomis galite nustatyti norimą tiesę trimatėje erdvėje. Tai mums reikalingos kanoninės lygtys.

Toks žymėjimas naudojamas net su nulinėmis vieno ar dviejų parametrų x, a y, a z reikšmėmis, nes tokiais atvejais jis taip pat bus teisingas. Visi trys parametrai negali būti lygūs 0, nes krypties vektorius a → = (a x, a y, a z) negali būti lygus nuliui.

Jei vienas ar du parametrai a lygūs 0, tai lygtis x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z yra sąlyginė. Jis turėtų būti laikomas lygiu šiam įrašui:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ, λ ∈ R.

Specialius kanoninių lygčių atvejus analizuosime trečioje straipsnio pastraipoje.

Apibrėžus kanoninę tiesės erdvėje lygtį, galima padaryti keletą svarbių išvadų. Apsvarstykime juos.

1) jei pradinė tiesi linija eina per du taškus M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada kanoninės lygtys bus tokios formos:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z arba x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z.

2) kadangi a → = (ax, ay, az) yra pradinės linijos krypties vektorius, tai visi vektoriai μ a → = μ ax, μ ay, μ az, μ ∈ R, μ ≠ 0 ... Tada tiesę galima nustatyti naudojant lygtį x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z arba x - x 1 μ a x = y - y 1 μ a y = z - z 1 μ a z.

Štai keletas tokių lygčių su nurodytomis reikšmėmis pavyzdžių:

1 pavyzdys 2 pavyzdys

Kaip parašyti kanoninę tiesės lygtį erdvėje

Išsiaiškinome, kad formos x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az kanoninės lygtys atitiks tiesę, einančią per tašką M 1 (x 1, y 1, z 1), o vektorius a → = ( ​​ax, ay, az) jam vadovaus. Tai reiškia, kad jei žinome tiesės lygtį, tai galime apskaičiuoti jos krypties vektoriaus koordinates, o atsižvelgiant į duotas vektoriaus ir kokio nors taško, esančio tiesėje, koordinates, galime užrašyti jos kanonines lygtis.

Pažvelkime į keletą konkrečių užduočių.

3 pavyzdys

Turime tiesę, apibrėžtą trimatėje erdvėje, naudojant lygtį x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5. Užrašykite visų jo krypties vektorių koordinates.

Sprendimas

Norėdami gauti krypties vektoriaus koordinates, tereikia iš lygties paimti vardiklių reikšmes. Gauname, kad vienas iš krypties vektorių bus a → = (4, 2, - 5), o visų panašių vektorių aibę galima suformuluoti kaip μ · a → = 4 · μ, 2 · μ, - 5 · μ . Čia parametras μ yra bet koks realusis skaičius (išskyrus nulį).

Atsakymas: 4 μ, 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0

4 pavyzdys

Užrašykite kanonines lygtis, jei tiesė erdvėje eina per M 1 (0, - 3, 2) ir turi krypties vektorių su koordinatėmis - 1, 0, 5.

Sprendimas

Turime duomenų, kad x 1 = 0, y 1 = - 3, z 1 = 2, a x = - 1, a y = 0, a z = 5. To visiškai pakanka, kad būtų galima pradėti rašyti kanonines lygtis.

Padarykime tai:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Atsakymas: x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Šios užduotys yra lengviausios, nes jose yra visi arba beveik visi įvesties duomenys, skirti rašyti lygtį arba vektorines koordinates. Praktikoje dažnai galite rasti tas, kuriose pirmiausia reikia rasti norimas koordinates, o tada užrašyti kanonines lygtis. Tokių problemų pavyzdžius išanalizavome straipsniuose, skirtuose tiesės, einančios per erdvės tašką, lygiagrečią duotajam, lygtis, taip pat tiesės, einančios per tam tikrą erdvės tašką, statmeną plokštumai.

Jau sakėme, kad viena ar dvi parametrų a x, a y, a z reikšmės lygtyse gali turėti nulines reikšmes. Šiuo atveju žymėjimas x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ tampa formalus, nes gauname vieną ar dvi trupmenas su nuliniais vardikliais. Jį galima perrašyti taip (kai λ ∈ R):

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

Panagrinėkime šiuos atvejus išsamiau. Tarkime, kad a x = 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0, a x ≠ 0, a y = 0, a z ≠ 0 arba a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z = 0. Tokiu atveju reikiamas lygtis galime užrašyti taip:

1. Pirmuoju atveju:
   x - x 1 0 = y - y 1 ay = z - z 1 az = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 ay = z - z 1 az = λ

Antruoju atveju:
x - x 1 ax = y - y 1 0 = z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y - y 1 = 0 z = z 1 + az λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 ax = z - z 1 az = λ

Trečiuoju atveju:
x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 ax = y - y 1 ay = λ

Pasirodo, su tokia parametrų reikšme reikalingos tiesės yra plokštumose x - x 1 = 0, y - y 1 = 0 arba z - z 1 = 0, kurios yra lygiagrečios koordinačių plokštumoms ( jei x 1 = 0, y 1 = 0 arba z 1 = 0). Tokių tiesių linijų pavyzdžiai pateikti iliustracijoje.

Todėl kanonines lygtis galėsime užrašyti kiek kitaip.

1. Pirmuoju atveju: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z λ, λ ∈ R
2. Antroje: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y λ, λ ∈ R z - z 1 = 0
3. Trečiajame: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x λ, λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

Visais trimis atvejais pradinės tiesės sutaps su koordinačių ašimis arba pasirodys joms lygiagrečios: x 1 = 0 y 1 = 0, x 1 = 0 z 1 = 0, y 1 = 0 z 1 = 0 . Jų krypties vektoriai turi koordinates 0, 0, a z, 0, a y, 0, a x, 0, 0. Jeigu koordinačių tiesių krypties vektorius pažymėsime i →, j →, k →, tai duotųjų tiesių krypties vektoriai jų atžvilgiu bus kolinearūs. Paveikslėlyje parodyti šie atvejai:

Pateiksime pavyzdžius, kaip šios taisyklės taikomos.

5 pavyzdys

Raskite kanonines lygtis, pagal kurias galima nustatyti koordinačių tieses O z, O x, O y erdvėje.

Sprendimas

Koordinačių vektoriai i → = (1, 0, 0), j → = 0, 1, 0, k → = (0, 0, 1) bus orientyrai pradinėms tiesioms linijoms. Taip pat žinome, kad mūsų linijos būtinai eis per tašką O (0, 0, 0), nes tai yra pradžia. Dabar turime visus duomenis, kad galėtume užrašyti reikiamas kanonines lygtis.

Tiesei O x: x 1 = y 0 = z 0

Tiesei O y: x 0 = y 1 = z 0

Tiesei O z: x 0 = y 0 = z 1

Atsakymas: x 1 = y 0 = z 0, x 0 = y 1 = z 0, x 0 = y 0 = z 1.

6 pavyzdys

Erdvėje duota tiesė, kuri eina per tašką M 1 (3, - 1, 12). Taip pat žinoma, kad jis yra lygiagretus ordinatai. Užrašykite šios eilutės kanonines lygtis.

Sprendimas

Atsižvelgdami į lygiagretumo sąlygą, galime teigti, kad vektorius j → = 0, 1, 0 bus reikiamos tiesės kreiptuvai. Todėl ieškomos lygtys turės tokią formą:

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Atsakymas: x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Tarkime, kad turime du nesutampančius taškus M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), per kuriuos eina tiesė. Kaip tada galime suformuluoti kanoninę lygtį?

Norėdami pradėti, vektorių M 1 M 2 → (arba M 2 M 1 →) laikysime šios linijos krypties vektoriumi. Kadangi turime reikiamų taškų koordinates, iš karto apskaičiuojame vektoriaus koordinates:

M 1 M 2 → = x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1

Gautos lygybės yra kanoninės tiesės, einančios per du nurodytus taškus, lygtys. Pažvelkite į iliustraciją:

Pateiksime problemos sprendimo pavyzdį.

7 pavyzdys

erdvėje yra du taškai, kurių koordinatės M 1 (- 2, 4, 1) ir M 2 (- 3, 2, - 5), per kuriuos eina tiesė. Užrašykite jai kanonines lygtis.

Sprendimas

Pagal sąlygas x 1 = - 2, y 1 = - 4, z 1 = 1, x 2 = - 3, y 2 = 2, z 2 = - 5. Turime įjungti šias reikšmes į kanoninę lygtį:

x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

Jei imsime x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 lygtis, gausime: x - (- 3) - 3 - (- 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

Atsakymas: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 arba x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6.

Erdvės tiesės kanoninių lygčių transformavimas į kitų tipų lygtis

Kartais nelabai patogu naudoti kanonines x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z formos lygtis. Norint išspręsti kai kurias problemas, geriau naudoti užrašą x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ. Kai kuriais atvejais pageidautina nustatyti norimą tiesę naudojant dviejų susikertančių plokštumų lygtis A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Todėl šiame skyriuje analizuosime, kaip galite pereiti nuo kanoninių lygčių prie kitų formų, jei mums to reikia pagal problemos sąlygas.

Nesunku suprasti perėjimo prie parametrinių lygčių taisykles. Pirmiausia kiekvieną lygties dalį prilyginame parametrui λ ir išsprendžiame šias lygtis kitų kintamųjų atžvilgiu. Dėl to gauname:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ⇔ x - x 1 ax = λ y - y 1 ay = λ z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ

Parametro λ reikšmė gali būti bet koks realusis skaičius, nes ir x, y, z gali turėti bet kokias realias reikšmes.

8 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje duota tiesė, kuri apibrėžiama lygtimi x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0. Užrašykite kanoninę lygtį parametrine forma.

Sprendimas

Pirma, kiekvieną trupmenos dalį prilyginame λ.

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ

Dabar išsprendžiame pirmąją dalį x atžvilgiu, antrąją - y, trečiąją - z atžvilgiu. Mes gausime:

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7 + 0 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = -7

Atsakymas: x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

Kitas mūsų žingsnis bus kanoninių lygčių pavertimas dviejų susikertančių plokštumų lygtimi (tai pačiai tiesei).

Lygybė x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z pirmiausia turi būti pavaizduota lygčių sistemos forma:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

Kadangi p q = r s suprantame kaip p s = q r, galime rašyti:

x - x 1 ax = y - y 1 ayx - x 1 ax = z - z 1 azy - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) az (X - x 1) = ax (z - z 1) az (y - y 1) = ay (z - z 1) ⇔ ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

Kaip rezultatas, mes gavome tai:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

Aukščiau pažymėjome, kad visi trys parametrai a negali būti nuliai vienu metu. Taigi pagrindinės sistemos matricos rangas bus lygus 2, nes a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 ir vienas iš antros eilės determinantų nėra lygus 0:

ay - axaz 0 = ax az, ay 0 az - ax = ax ay, - ax 0 0 - ax = ax 2 ay - ax 0 az = ay az, ay 0 0 - ay = - ay 2, - ax 0 az - ay = ax ayaz 0 0 az = az 2, az - ax 0 - ay = - ay az, 0 - axaz - ay = ax az

Tai leidžia iš mūsų skaičiavimų pašalinti vieną lygtį. Taigi kanoninės tiesės lygtys gali būti transformuojamos į dviejų tiesinių lygčių sistemą, kurioje bus 3 nežinomieji. Tai bus dviejų mums reikalingų susikertančių plokštumų lygtys.

Motyvavimas atrodo gana sudėtingas, tačiau praktiškai viskas atliekama gana greitai. Parodykime tai pavyzdžiu.

9 pavyzdys

Tiesi linija pavaizduota kanonine lygtimi x - 1 2 = y 0 = z + 2 0. Užrašykite jam susikertančių plokštumų lygtį.

Sprendimas

Pradėkime nuo trupmenų porinio lyginimo.

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 1) = 2 y 0 (x - 1) = 2 (z + 2) 0 y = 0 (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

Dabar paskutinę lygtį neįtraukiame iš skaičiavimų, nes ji bus teisinga bet kuriam x, y ir z. Šiuo atveju x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0.

Tai yra dviejų susikertančių plokštumų lygtys, kurios susikirsdamos sudaro tiesę, kurią sudaro lygtis x - 1 2 = y 0 = z + 2 0

Atsakymas: y = 0 z + 2 = 0

10 pavyzdys

Tiesė pavaizduota lygtimis x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3, raskite dviejų plokštumų, susikertančių išilgai šios tiesės, lygtį.

Sprendimas

Poromis sulyginame trupmenas.

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

Gauname, kad gautos sistemos pagrindinės matricos determinantas bus lygus 0:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 1 = 0

Šiuo atveju antrosios eilės minoras nebus nulis: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6. Tada galime tai laikyti pagrindine nepilnamete.

Dėl to galime apskaičiuoti sistemos x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 pagrindinės matricos rangą. Tai bus 2. Trečioji lygtis neįtraukiama į skaičiavimą ir gauname:

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Atsakymas: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Stačiakampėje plokštumos koordinačių sistemoje tiesę galima nurodyti kanonine tiesės lygtimi. Šiame straipsnyje pirmiausia išvedame, užrašome kanonines tiesių lygtis plokštumoje, kurios yra lygiagrečios koordinačių ašims arba sutampa su jomis, taip pat pateikiame pavyzdžių. Toliau parodysime kanoninės tiesės lygties plokštumoje ryšį su kitų tipų šios tiesės lygtimis. Apibendrinant, mes išsamiai apsvarstysime tipinių pavyzdžių ir problemų, susijusių su kanoninės tiesės lygties sudarymo plokštumoje, sprendimus.

Puslapio naršymas.

Kanoninė tiesės plokštumoje lygtis – aprašymas ir pavyzdžiai.

Tegul Oxy yra pritvirtintas prie lėktuvo. Iškelkime sau užduotį: gauti tiesės a lygtį, jei yra kuris nors tiesės taškas a ir yra tiesės a krypties vektorius.

Leisti būti tiesės linijos slankiuoju tašku. Tada vektorius yra tiesės a krypties vektorius ir turi koordinates (jei reikia, žr. straipsnį). Akivaizdu, kad visų plokštumos taškų aibė apibrėžia tiesę, einančią per tašką ir turinčią krypties vektorių tada ir tik tada, kai ir vektoriai yra kolinearūs.

Pavyzdys.

Parašykite kanoninę tiesės lygtį, kuri stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy plokštumoje eina per du taškus ir.

Sprendimas.

Iš žinomų pradžios ir pabaigos taškų koordinačių galime rasti vektoriaus koordinates: ... Šis vektorius yra tiesės, kurios lygties ieškome, krypties vektorius. Kanoninė tiesės, einančios per tašką ir turinčios krypties vektorių, lygtis.

Sprendimas.

Normalios linijos vektorius turi koordinates, o šis vektorius yra tiesės krypties vektorius, kurios lygties ieškome dėl tiesių statmenumo. Taigi norimą kanoninę tiesės lygtį plokštumoje galima parašyti kaip .

Atsakymas:

Bibliografija.

• Bugrovas Y.S., Nikolskis S.M. Aukštoji matematika. Pirmas tomas: tiesinės algebros ir analitinės geometrijos elementai.
• Iljinas V.A., Poznyak E.G. Analitinė geometrija.

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Per bet kurį tašką galite nubrėžti be galo daug tiesių linijų.

Vieną tiesią liniją galima nubrėžti per bet kuriuos du nesutampančius taškus.

Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų tiesių linijų santykinės padėties parinktys:

• susikerta tiesios linijos;

• tiesios linijos yra lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas... Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

su pastoviu A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B ir SU galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- tiesi linija eina per pradžią

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠ 0- tiesi linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairių formų priklausomai nuo bet kurio duoto

pradines sąlygas.

Tiesės išilgai taško ir normaliojo vektoriaus lygtis.

Apibrėžimas... Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys... Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A (1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas... Esant A = 3 ir B = -1, sudarome tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C

gautoje išraiškoje pakeiskite duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,

eina per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti prilygintas nuliui. Ant

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydis tiesiai.

Pavyzdys... Raskite tiesės, einančios per taškus A (1, 2) ir B (3, 4), lygtį.

Sprendimas... Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės išilgai taško lygtis ir nuolydis.

Jeigu bendroji lygtis tiesiai Ax + Wu + C = 0 veda į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesios linijos išilgai taško ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su pastraipa, kurioje nagrinėjama tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtis, galite įvesti užduotį

tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas... Kiekvienas nulinis vektorius (α 1, α 2) kurio komponentai tenkina sąlygą

Аα 1 + Вα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys... Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A (1, 2) lygtį.

Sprendimas... Reikalingos tiesės lygtis bus ieškoma tokia forma: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C / A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, tada dalijant iš -C gauname:

arba kur

Geometrinė reikšmė koeficientai, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys... Pateikiama bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ± ženklą reikia parinkti taip, kad μ * C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,

a φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys... Pateikiama bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0... Rašyti būtina skirtingi tipai lygtys

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Tiesios linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas... Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2... Dvi tiesios linijos yra statmenos,

jeigu k 1 = -1 / k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi

А 1 = λА, В 1 = λВ... Jei taip pat С 1 = λС, tada tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Apibrėžimas... Linija per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

yra pavaizduotas lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema... Jei duodamas taškas M (x 0, y 0), atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas... Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą

tiesi linija. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną

duota tiesi linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Ankstesnis straipsnis: SSRS herojus pokriškinas. Aleksandras pokriškinas. Aukščiausio laipsnio didvyriškumo atvejai Kitas straipsnis: Rasė ir nusikalstamumas Anglijoje