Šis straipsnis: „Antroji reikšminga riba“ yra skirtas atskleisti rūšių neapibrėžtumus:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ir $ ^\infty $.

Taip pat tokius neapibrėžtumus galima atskleisti naudojant eksponentinės galios funkcijos logaritmą, tačiau tai dar vienas sprendimo būdas, apie kurį bus kalbama kitame straipsnyje.

Formulė ir pasekmės

Formulė antroji žymi riba parašyta taip: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( kur ) e \apytiksliai 2,718 $ $

Iš formulės seka pasekmes, kurie yra labai patogūs sprendžiant pavyzdžius su apribojimais: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( kur ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \iki 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Reikėtų pažymėti, kad antroji žymi riba ne visada gali būti taikoma eksponentinės galios funkcijai, bet tik tais atvejais, kai bazė linkusi į vienybę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia mintyse apskaičiuokite pagrindo ribą, o tada padarykite išvadas. Visa tai bus aptarta sprendimų pavyzdžiuose.

Sprendimo pavyzdžiai

Apsvarstykite sprendimų pavyzdžius naudojant tiesioginę formulę ir jos pasekmes. Taip pat analizuosime atvejus, kai formulė nereikalinga. Užtenka užsirašyti tik paruoštą atsakymą.

1 pavyzdys

Rasti limitą $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Sprendimas

Pakeičiant begalybę į ribą ir žiūrint į neapibrėžtumą: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Raskite bazės ribą: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Gavome bazę, lygią vienai, vadinasi, jau galite taikyti antrą nuostabų limitą. Norėdami tai padaryti, funkcijos pagrindą pritaikysime prie formulės, atimdami ir pridėdami vieną: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Mes žiūrime į antrąją pasekmę ir užrašome atsakymą: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite susipažinti su skaičiavimo eiga ir surinkti informaciją. Tai padės jums laiku gauti kreditą iš mokytojo!

Atsakymas

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

4 pavyzdys

Išspręskite limitą $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Sprendimas

Randame bazės ribą ir matome, kad $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, todėl galime pritaikyti antrą nuostabią ribą. Standartiškai pagal planą pridedame ir atimame vieną iš laipsnio pagrindo: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Trupmeną koreguojame pagal 2-osios natos formulę. riba: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Dabar pakoreguokite laipsnį. Rodyklėje turi būti trupmena, lygi bazės $ \frac(3x^2-2)(6) $ vardikliui. Norėdami tai padaryti, laipsnį padauginkite ir padalinkite iš jo ir toliau spręskite: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ galios riba yra: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Taigi, tęsdami sprendimą, turime:

Atsakymas

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Išanalizuokime atvejus, kai problema panaši į antrąją reikšmingą ribą, bet išsprendžiama be jos.

Straipsnyje: „Antra žymi riba: sprendimų pavyzdžiai“ buvo išanalizuota formulė, pateikiamos jos pasekmės ir dažni problemų tipai šia tema.

Paprastai antroji žymi riba rašoma tokia forma:

\begin(lygtis) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(lygtis)

Skaičius $e$, nurodytas dešinėje lygybės (1) pusėje, yra neracionalus. Apytikslė šio skaičiaus reikšmė: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Jei pakeisime $t=\frac(1)(x)$, tada formulę (1) galima perrašyti tokia forma:

\begin(lygtis) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(lygtis)

Kalbant apie pirmą reikšmingą ribą, nesvarbu, kuri išraiška naudojama vietoj kintamojo $x$ formulėje (1) arba vietoj kintamojo $t$ formulėje (2). Svarbiausia, kad būtų įvykdytos dvi sąlygos:

1. Laipsnio bazė (t. y. (1) ir (2) formulių išraiška skliausteliuose) turi būti vieneto;
2. Rodiklis (t. y. $x$ formulėje (1) arba $\frac(1)(t)$ formulėje (2)) turi būti linkęs į begalybę.

Sakoma, kad antroji puiki riba atskleidžia $1^\infty$ neapibrėžtumą. Atkreipkite dėmesį, kad formulėje (1) nenurodome, apie kokią begalybę ($+\infty$ arba $-\infty$) kalbama. Bet kuriuo iš šių atvejų (1) formulė yra teisinga. (2) formulėje kintamasis $t$ gali būti lygus nuliui tiek iš kairės, tiek iš dešinės.

Atkreipiu dėmesį, kad taip pat yra keletas naudingų antrosios nepaprastos ribos pasekmių. Antrosios nepaprastos ribos naudojimo pavyzdžiai ir jos pasekmės yra labai populiarūs standartinių standartinių skaičiavimų ir testų rengėjų.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite ribą $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Iš karto pažymime, kad laipsnio bazė (ty $\frac(3x+1)(3x-5)$) yra linkusi į vieną:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = vienas. $$

Šiuo atveju eksponentas (išraiška $4x+7$) linkęs į begalybę, t.y. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Laipsnio bazė linksta į vienetą, rodiklis – į begalybę, t.y. mes susiduriame su $1^\infty$ neapibrėžtumu. Taikykime formulę, kad atskleistume šį neapibrėžtumą. Išraiška $1+\frac(1)(x)$ yra formulės laipsnio bazėje, o mūsų pavyzdyje laipsnio bazė yra tokia: $\frac(3x+1)(3x-5 )$. Todėl pirmas žingsnis yra formaliai pakoreguoti išraišką $\frac(3x+1)(3x-5)$ į $1+\frac(1)(x)$. Pradėkime pridėdami ir atimdami vieną:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Reikėtų pažymėti, kad vieneto tiesiog pridėti neįmanoma. Jei esame priversti pridėti vienetą, jį taip pat reikia atimti, kad nepasikeistų visos išraiškos reikšmė. Norėdami tęsti sprendimą, atsižvelgiame į tai

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5)=\frac(6)(3x-5). $$

Kadangi $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, tada:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ kairėje(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) $$

Tęskime koregavimą. Formulės išraiškoje $1+\frac(1)(x)$ trupmenos skaitiklis yra 1, o mūsų reiškinyje $1+\frac(6)(3x-5)$ skaitiklis yra $6$. Norėdami gauti $1$ į skaitiklį, į vardiklį įmeskite $6$ naudodami šią transformaciją:

$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Šiuo būdu,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Taigi, laipsnio bazė, t.y. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, pakoreguota taip, kad atitiktų $1+\frac(1)(x)$, reikalaujamą formulėje . Dabar pradėkime dirbti su eksponentu. Atkreipkite dėmesį, kad formulėje eksponentų ir vardiklio išraiškos yra vienodos:

Tai reiškia, kad mūsų pavyzdyje rodiklis ir vardiklis turi būti suvesti į tą pačią formą. Norėdami gauti išraišką $\frac(3x-5)(6)$ eksponente, tiesiog padauginkite rodiklį iš šios trupmenos. Natūralu, kad norint kompensuoti tokį dauginimą, teks iš karto dauginti iš abipusio, t.y. į $\frac(6)(3x-5)$. Taigi mes turime:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Atskirai apsvarstykite laipsnyje esančios trupmenos $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ ribą:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3)=8. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

4 pavyzdys

Raskite ribą $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Kadangi $x>0$ turime $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, tada:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ left(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Išplėsdami trupmeną $\frac(x+1)(x)$ į trupmenų $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ sumą, gauname:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1)) (x)\dešinė)^x\dešinė) =\ln(e) =1. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

5 pavyzdys

Raskite ribą $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Kadangi $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ ir $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, tada turime reikalą su formos $1^\infty$ neapibrėžtumu. Išsamūs paaiškinimai pateikti pavyzdyje Nr. 2, tačiau čia apsiribojame trumpu sprendimu. Pakeitę $t=x-2$, gauname:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin (sulygiuotas)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end (sulygiuota)\dešinė| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Šį pavyzdį galite išspręsti kitaip, naudodami pakeitimą: $t=\frac(1)(x-2)$. Žinoma, atsakymas bus tas pats:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(lygiuotas)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(sulygiuota)\dešinė| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

6 pavyzdys

Raskite ribą $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Išsiaiškinkime, ką reiškia išraiška $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$, esant sąlygai $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Taigi, pateiktoje riboje mes susiduriame su formos $1^\infty$ neapibrėžtumu, kurį atskleisime naudodami antrąją reikšmingą ribą:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Ribų sprendimo būdai. Neaiškumai.
Funkcijų augimo tvarka. Pakeitimo metodas

4 pavyzdys

Raskite ribą

Tai paprastesnis „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Siūlomame pavyzdyje vėlgi neapibrėžtumas (aukštesnio augimo nei šaknis).

Jei "x" linkęs į "minus begalybę"

Šiame straipsnyje jau seniai sklando „minuso begalybės“ vaiduoklis. Apsvarstykite ribas su polinomais, kuriuose . Sprendimo principai ir metodai bus lygiai tokie patys kaip ir pirmoje pamokos dalyje, išskyrus kai kuriuos niuansus.

Apsvarstykite 4 lustus, kurių prireiks norint išspręsti praktines užduotis:

1) Apskaičiuokite ribą

Limito reikšmė priklauso tik nuo termino, nes ji turi didžiausią augimo tvarką. Jei tada be galo didelis modulis neigiamas skaičius iki LYGIO laipsnio, šiuo atveju - ketvirtajame, yra lygus "plius begalybė": . Pastovi ("du") teigiamas, Štai kodėl:

2) Apskaičiuokite ribą

Štai ir vėl vyresnysis laipsnis net, Štai kodėl: . Bet priekyje yra „minusas“ ( neigiamas konstanta –1), todėl:

3) Apskaičiuokite ribą

Ribos reikšmė priklauso tik nuo . Kaip prisimenate iš mokyklos laikų, „minusas“ „iššoka“ iš po nelyginio laipsnio, taigi be galo didelis modulis neigiamas skaičius iki ODD laipsnio lygus „minus begalybei“, šiuo atveju: .
Pastovi ("keturi") teigiamas, reiškia:

4) Apskaičiuokite ribą

Pirmasis vaikinas kaime vėl turi nelyginis laipsnis, be to, krūtinėje neigiamas konstanta, o tai reiškia: Taigi:
.

5 pavyzdys

Raskite ribą

Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, darome išvadą, kad čia yra neapibrėžtumo. Skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios augimo eilės, o tai reiškia, kad riboje bus gautas baigtinis skaičius. Mes sužinome atsakymą, išmesdami visus mailius:

Sprendimas yra trivialus:

6 pavyzdys

Raskite ribą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

O dabar turbūt pats subtiliausias atvejis:

7 pavyzdys

Raskite ribą

Atsižvelgdami į vyresniąsias kadencijas, darome išvadą, kad čia yra neapibrėžtumo. Skaitiklis yra aukštesnės eilės augimo nei vardiklis, todėl iš karto galime pasakyti, kad riba yra begalybė. Bet kokia begalybė, „pliusas“ ar „minusas“? Priėmimas yra tas pats - skaitiklyje ir vardiklyje atsikratysime smulkmenų:

Mes nusprendžiame:

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš

15 pavyzdys

Raskite ribą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Apytikslis užbaigimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Dar keli įdomūs pavyzdžiai kintamųjų pakeitimo tema:

16 pavyzdys

Raskite ribą

Pakeitus vieną į ribą, atsiranda neapibrėžtumas. Kintamojo pakeitimas jau rodo, bet pirmiausia mes konvertuojame liestinę naudodami formulę. Iš tiesų, kam mums reikia liestinės?

Atkreipkite dėmesį, kad todėl . Jei tai nėra visiškai aišku, pažiūrėkite į sinuso reikšmes trigonometrinė lentelė. Taip iš karto atsikratome faktoriaus, be to, gauname labiau pažįstamą neapibrėžtumą 0:0. Būtų gerai, jei mūsų limitas taip pat siektų nulį.

Pakeiskime:

Jei tada

Po kosinusu turime „x“, kurį taip pat reikia išreikšti per „te“.
Iš pakeitimo išreiškiame: .

Mes užbaigiame sprendimą:

(1) Atliekant keitimą

(2) Išplėskite skliaustus po kosinusu.

(4) Organizuoti pirmoji nuostabi riba, dirbtinai padauginkite skaitiklį iš ir atvirkštinės vertės .

Užduotis savarankiškam sprendimui:

17 pavyzdys

Raskite ribą

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Tai buvo paprastos užduotys jų klasėje, praktiškai viskas yra blogiau, be to redukcijos formules, reikia naudoti skirtingus trigonometrines formules, taip pat kitų gudrybių. Straipsnyje „Sudėtingos ribos“ išanalizavau keletą realių pavyzdžių =)

Šventės išvakarėse situaciją pagaliau išsiaiškinsime dar vienu dažnu neaiškumu:

Neapibrėžtumo pašalinimas „vienas iki begalybės galios“

Šis neapibrėžtumas yra „aptarnaujamas“ antra nuostabi riba, o antroje tos pamokos dalyje labai išsamiai išnagrinėjome standartinius sprendimų pavyzdžius, kurie dažniausiai randami praktikoje. Dabar paveikslas su parodos dalyviais bus baigtas, be to, paskutinės pamokos užduotys bus skirtos riboms - „gudrybėms“, kuriose, atrodo, reikia pritaikyti 2 nuostabią ribą, nors tai visai ne atvejis.

Dviejų 2-osios reikšmingos ribos darbinių formulių trūkumas yra tas, kad argumentas turi būti linkęs į „plius begalybę“ arba į nulį. Bet ką daryti, jei argumentas linkęs į kitą skaičių?

Į pagalbą ateina universali formulė (tai iš tikrųjų yra antrosios nepaprastos ribos pasekmė):

Neapibrėžtumą galima pašalinti pagal formulę:

Kažkur jau buvo paaiškinta, ką jie reiškia laužtiniai skliaustai. Nieko ypatingo, skliausteliuose yra tik skliausteliuose. Paprastai jie naudojami aiškiai paryškinti matematinį žymėjimą.

Pabrėžkime esminius formulės punktus:

1) Tai apie tik apie netikrumą ir ne ką kita.

2) Argumentas "x" gali būti linkęs savavališka vertė(ir ne tik iki nulio arba ), ypač iki „minuso begalybės“ arba iki bet kas galutinis skaičius.

Naudodami šią formulę galite išspręsti visus pamokos pavyzdžius Įspūdingos ribos, kurie priklauso 2-ajai nuostabiai ribai. Pavyzdžiui, apskaičiuokime ribą:

Tokiu atveju , ir pagal formulę :

Tiesa, to daryti nepatariu, tradiciškai vis dar naudojate „įprastą“ sprendimo dizainą, jei jį galima pritaikyti. bet naudojant formulę labai patogu patikrinti„klasikiniai“ pavyzdžiai iki 2-osios nuostabios ribos.

Tipo ir formos neapibrėžtumas yra dažniausiai pasitaikantys neapibrėžtumai, į kuriuos reikia atsižvelgti sprendžiant ribas.

Dauguma užduočių apie ribas, su kuriomis susiduria studentai, yra tokios neapibrėžtumo. Norint juos atskleisti arba, tiksliau, išvengti dviprasmybių, yra keletas dirbtinių būdų transformuoti išraiškos formą po ribos ženklu. Šie metodai yra tokie: skaitiklio ir vardiklio padalijimas pagal terminą pagal didžiausią kintamojo laipsnį, dauginimas iš konjuguotos išraiškos ir faktorinavimas, kad vėliau būtų sumažinta naudojant sprendimus. kvadratines lygtis ir sutrumpintos daugybos formulės.

Rūšies neapibrėžtumas

1 pavyzdys

n yra lygus 2. Todėl skaitiklį ir vardiklį dalijame iš termino iš:

.

Komentuokite dešinėje išraiškos pusėje. Rodyklės ir skaičiai rodo, kokios yra trupmenos po pakeitimo n begalybės vertybės. Čia, kaip 2 pavyzdyje, laipsnis n vardiklyje yra daugiau nei skaitiklyje, ko pasekoje visa trupmena linksta be galo mažas dydis arba „labai mažas“.

Gauname atsakymą: šios funkcijos su kintamuoju, linkusiu į begalybę, riba yra .

2 pavyzdys .

Sprendimas. Čia didžiausia kintamojo galia x yra lygus 1. Todėl dalijame skaitiklio ir vardiklio narį iš termino iš x:

.

Komentaras apie sprendimo eigą. Skaitiklyje po trečiojo laipsnio šaknies važiuojame „X“ ir, kad jo pradinis laipsnis (1) liktų nepakitęs, priskiriame jam tokį patį laipsnį kaip ir šaknies, tai yra 3. Nėra rodyklių ir papildomų skaičiai šiame įraše, todėl pabandykite mintyse, bet pagal analogiją su ankstesniu pavyzdžiu nustatykite, kokios yra skaitiklio ir vardiklio išraiškos, pakeitus „x“ begalybe.

Gavome atsakymą: šios funkcijos riba su kintamuoju, linkusiu į begalybę, yra lygi nuliui.

Rūšies neapibrėžtumas

3 pavyzdys Atskleiskite netikrumą ir raskite ribą.

Sprendimas. Skaitiklis yra kubelių skirtumas. Išskaidykime jį į veiksnius naudodami kurso sutrumpintą daugybos formulę mokyklinė matematika:

Vardiklis yra kvadratinis trinaris, kurį faktorinuojame spręsdami kvadratinę lygtį (dar kartą nuoroda į kvadratinių lygčių sprendimą):

Užrašykime išraišką, gautą atlikus transformacijas, ir raskime funkcijos ribą:

4 pavyzdys Atskleiskite netikrumą ir raskite ribą

Sprendimas. Dalinio ribos teorema čia netinka, nes

Todėl trupmeną transformuojame identiškai: skaitiklį ir vardiklį padaugindami iš dvinario konjugato su vardikliu ir sumažindami x+1. Pagal 1 teoremos išvadą gauname išraišką, kurią išsprendę randame norimą ribą:

5 pavyzdys Atskleiskite netikrumą ir raskite ribą

Sprendimas. Tiesioginis vertės pakeitimas x= 0 į tam tikrą funkciją lemia formos 0/0 neapibrėžtumą. Norėdami jį atskleisti, atliekame identiškas transformacijas ir dėl to gauname norimą ribą:

6 pavyzdys Apskaičiuoti

Sprendimas: naudokite ribines teoremas

Atsakymas: 11

7 pavyzdys Apskaičiuoti

Sprendimas:Šiame pavyzdyje skaitiklio ir vardiklio ribos yra 0:

; . Gavome, todėl koeficiento ribos teorema negali būti taikoma.

Skaitiklį ir vardiklį suskaidome faktoriais, kad trupmeną sumažintume bendru koeficientu, linkusiu į nulį, ir todėl būtų galima taikyti 3 teoremą.

Kvadratinį trinarį skaitiklyje išplečiame pagal formulę, kur x 1 ir x 2 yra trinalio šaknys. Faktoringas ir vardiklis, sumažinkite trupmeną (x-2), tada pritaikykite 3 teoremą.

Atsakymas:

8 pavyzdys Apskaičiuoti

Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę, todėl tiesiogiai taikydami 3 teoremą gauname išraišką , kuri reiškia neapibrėžtį. Norėdami atsikratyti tokio neapibrėžtumo, padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš didžiausios argumento galios. Šiame pavyzdyje reikia padalyti iš X:

Atsakymas:

9 pavyzdys Apskaičiuoti

Sprendimas: x 3:

Atsakymas: 2

10 pavyzdys Apskaičiuoti

Sprendimas: Skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį dalijame iš didžiausios argumento galios, t.y. x 5:

=

Trupmenos skaitiklis linkęs į 1, vardiklis į 0, taigi trupmena linkusi į begalybę.

Atsakymas:

11 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas: Skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį dalijame iš didžiausios argumento galios, t.y. x 7:

Atsakymas: 0

Darinys.

Funkcijos y = f(x) išvestinė argumento x atžvilgiu jo prieaugio y ir argumento x prieaugio x santykio riba iškviečiama, kai argumento prieaugis linkęs į nulį: . Jei ši riba yra baigtinė, tada funkcija y = f(x) vadinamas diferencijuojamu taške x. Jei ši riba egzistuoja, tada sakome, kad funkcija y = f(x) turi begalinę išvestinę ties x.

Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Atskyrimo taisyklės:

a)

in)

1 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas: Jei antrojo nario išvestinę randame pagal trupmenos diferenciacijos taisyklę, tai pirmasis narys yra sudėtinga funkcija, kurios išvestinė randama pagal formulę:

, kur , tada

Sprendžiant buvo naudojamos šios formulės: 1,2,10, a, c, d.

Atsakymas:

21 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas: abu terminai yra sudėtingos funkcijos, kur pirmasis , , o antrasis , , tada

Atsakymas:

Išvestinės programos.

1. Greitis ir pagreitis

Tegul funkcija s(t) apibūdina padėtis objektas kokioje nors koordinačių sistemoje momentu t. Tada pirmoji funkcijos s(t) išvestinė yra momentinė greitis objektas:
v=s′=f′(t)
Antroji funkcijos s(t) išvestinė yra momentinė pagreitis objektas:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangento lygtis
y-y0=f′(x0)(x-x0),
čia (x0,y0) – prisilietimo taško koordinatės, f′(x0) – funkcijos f(x) išvestinės reikšmė lietimo taške.

3. Normalioji lygtis
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

čia (x0,y0) yra taško, kuriame nubrėžta normalioji, koordinatės, f′(x0) yra funkcijos f(x) išvestinės reikšmė duotame taške.

4. Funkcija didėjanti ir mažėjanti
Jei f′(x0)>0, tai taške x0 funkcija didėja. Žemiau esančiame paveikslėlyje funkcija didėja ties x x2.
Jei f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Jei f′(x0)=0 arba išvestinė neegzistuoja, tai ši savybė neleidžia nustatyti funkcijos monotoniškumo taške x0 pobūdžio.

5. Vietinis funkcijos ekstremumas
F(x) funkcija turi vietinis maksimumas taške x1, jei egzistuoja taško x1 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x1)≥f(x).
Panašiai turi ir funkcija f(x). vietinis minimumas taške x2, jei egzistuoja taško x2 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x2)≤f(x).

6. Kritiniai taškai
Taškas x0 yra kritinis taškas funkcija f(x), jei išvestinė f′(x0) joje lygi nuliui arba neegzistuoja.

7. Pirmas pakankamas ekstremumo egzistavimo požymis
Jei funkcija f(x) didėja (f′(x)>0) visiems x tam tikrame intervale (a,x1] ir mažėja (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiems x iš intervalo )

Ankstesnis straipsnis: PJSC „Rostelecom“ filialo organizacinės struktūros analizė Kitas straipsnis: Elektroninio biudžeto bandomojo projekto konsoliduotos ataskaitos