IV. Էլեկտրաստատիկ ինդուկցիայի վեկտոր: Ինդուկցիոն հոսք: Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմ Գաուսի թեորեմը ինդուկցիայի համար

Էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցության օրենքը ՝ Կուլոնի օրենքը, կարող է ձևակերպվել այլ կերպ ՝ այսպես կոչված Գաուսի թեորեմի տեսքով: Գաուսի թեորեմը ստացվում է որպես Կուլոնի օրենքի և սուպերպոզիցիայի սկզբունքի հետևանք: Ապացույցը հիմնված է երկու կետային լիցքերի փոխազդեցության ուժի հակադարձ համեմատականության վրա `նրանց միջև եղած հեռավորության քառակուսու վրա: Հետևաբար, Գաուսի թեորեմը կիրառելի է ցանկացած ֆիզիկական դաշտի համար, որտեղ հակադարձ քառակուսի օրենքը և գերադրման սկզբունքը կիրառվում են, օրինակ ՝ գրավիտացիոն դաշտի նկատմամբ:

Բրինձ 9. Լարվածության գծեր էլեկտրական դաշտկետային լիցքը, որը հատում է փակ մակերեսը X

Գաուսի թեորեմը ձևակերպելու համար վերադառնանք անշարժ կետային լիցքի էլեկտրական դաշտի ուժի գծերի պատկերին: Մենակետային լիցքի ուժի գծերը սիմետրիկորեն դասավորված ճառագայթային ուղիղ գծեր են (նկ. 7): Numberանկացած քանակությամբ նման գծեր կարելի է գծել: Եկեք նրանց ընդհանուր թիվը նշենք միջոցով Հետո ուժի գծերի խտությունը լիցքից հեռավորության վրա, այսինքն ՝ շառավիղի գնդի միավոր մակերեսը հատող գծերի թիվը հավասար է: կետային լիցք (4), մենք տեսնում ենք, որ գծերի խտությունը համաչափ է դաշտի ուժին: Այս արժեքները կարող ենք թվայինորեն հավասար դարձնել ՝ համապատասխանաբար ընտրելով N ուժի տողերի ընդհանուր թիվը:

Այսպիսով, ցանկացած շառավիղի գնդի մակերեսը, որը ներառում է կետային լիցք, հատում է նույն թվով ուժային գծեր: Սա նշանակում է, որ ուժի գծերը շարունակական են. Տարբեր շառավղերի երկու համակենտրոն ոլորտների միջև ընկած ժամանակահատվածում տողերից ոչ մեկը չի կտրվում, և նորերը չեն ավելացվում: Քանի որ ուժի գծերը շարունակական են, ուժի նույն քանակը հատում է ցանկացած փակ մակերես (նկ. 9) ՝ ծածկելով լիցքը

Ուժի գծերն ունեն ուղղություն: Դրական լիցքի դեպքում նրանք դուրս են գալիս լիցքը շրջապատող փակ մակերևույթից, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 9. Բացասական լիցքի դեպքում նրանք մտնում են մակերեսի ներսը: Եթե ​​ելքային տողերի թիվը համարվում է դրական, իսկ մուտքային գծերի թիվը `բացասական, ապա (8) բանաձևում մենք կարող ենք բաց թողնել լիցքի մոդուլի նշանը և գրել այն տեսքով

Լարվածության հոսք:Եկեք այժմ ներկայացնենք մակերեսի միջոցով դաշտի ուժի վեկտորի հոսքի հասկացությունը: Կամայական դաշտը կարող է մտովի բաժանվել փոքր տարածքների, որոնցում ինտենսիվությունը մեծության և ուղղության մեջ այնքան քիչ է փոխվում, որ այս տարածքի ներսում դաշտը կարելի է համարել միատեսակ: Յուրաքանչյուր այդպիսի տարածքում ուժային գծերը զուգահեռ ուղիղ են և ունեն մշտական ​​խտություն:

Բրինձ 10. Որոշել դաշտի ուժի վեկտորի հոսքը տեղանքի միջոցով

Եկեք հաշվի առնենք, թե քանի ուժի տող է ներթափանցում մի փոքր տարածք, որի նորմալի ուղղությունը ձգվող գծերի ուղղությամբ անկյան անկյուն է կազմում (նկ. 10): Թող լինի պրոյեկցիա ուժի գծերին ուղղահայաց հարթության վրա: Քանի որ նույնը հատող գծերի թիվը և գծի խտությունը, ըստ ընդունված պայմանի, հավասար են դաշտի ուժի E մոդուլին, ապա

A- ի մեծությունը E վեկտորի պրոյեկցիան է ՝ դեպի նորմայի տեղամաս

Հետևաբար, ուժգնության գծերի թիվը, որը հատում է կայքը, հավասար է

Արտադրանքը կոչվում է դաշտի ուժի հոսք մակերեսի միջով: Բանաձևը (10) ցույց է տալիս, որ E վեկտորի հոսքը մակերևույթի միջոցով համարին հավասարուժի գծերը, որոնք հատում են այս մակերեսը: Ուշադրություն դարձրեք, որ ինտենսիվության վեկտորի հոսքը, ինչպես մակերևույթով անցնող ուժի տողերի քանակը, սկալար է:

Բրինձ 11. E ինտենսիվության վեկտորի հոսքը տեղանքով

Ուժի գծերի նկատմամբ տարածքի կողմնորոշումից հոսքի կախվածությունը պատկերված է Նկ.

Դաշտի ուժի հոսքը կամայական մակերևույթի միջոցով այն տարրական տարածքների հոսքերի գումարն է, որոնց կարելի է բաժանել այս մակերեսը: Հարաբերությունների շնորհիվ (9) և (10), կարելի է պնդել, որ կետային լիցքի դաշտի ուժի հոսքը ցանկացած փակ մակերևույթի միջով, որը պարուրում է լիցքը (տե՛ս նկ. 9), քանի որ առաջանում է ուժի գծերի քանակ: այս մակերևույթից հավասար է: Այս դեպքում նորմալ վեկտորը դեպի տարրական տարածքներ փակ մակերեսը պետք է ուղղված լինի դեպի դուրս: Եթե ​​մակերեսի ներսում լիցքը բացասական է, ապա ուժի գծերը մտնում են այս մակերեսի ներսում, և լիցքի հետ կապված դաշտի ուժի վեկտորի հոսքը նույնպես բացասական է:

Եթե ​​փակ մակերեսի ներսում կան մի քանի լիցքեր, ապա, սուպերպոզիցիայի սկզբունքի համաձայն, նրանց դաշտային հզորությունների հոսքերը կհամալրվեն: Ընդհանուր հոսքը հավասար կլինի այնտեղ, որտեղ պետք է ընկալվի որպես մակերևույթի ներսում բոլոր լիցքերի հանրահաշվական գումար:

Եթե ​​փակ մակերեսի ներսում էլեկտրական լիցքեր չկան կամ դրանց հանրահաշվական գումարը զրո է, ապա այս մակերևույթի միջոցով դաշտի ուժի ընդհանուր հոսքը զրո է. Քանի ուժի տող է մտնում մակերևույթով սահմանափակված ծավալի մեջ, նույնքան էլ դուրս է գալիս:

Այժմ մենք վերջապես կարող ենք ձևակերպել Գաուսի թեորեմը. Էլեկտրական դաշտի ուժի վեկտորի հոսքը վակուումում ցանկացած փակ մակերևույթի միջոցով համամասնական է այս մակերեսի ներսում ընդհանուր լիցքին: Մաթեմատիկական առումով Գաուսի թեորեմն արտահայտվում է նույն բանաձեւով (9), որտեղ լիցքերի հանրահաշվական գումարը նշանակում է: Բացարձակ էլեկտրաստատիկ վիճակում

CGSE միավորների համակարգը, գործակիցը և Գաուսի թեորեմը գրված են ձևով

SI- ում և փակ մակերևույթի միջոցով լարվածության հոսքն արտահայտվում է բանաձևով

Գաուսի թեորեմը լայնորեն կիրառվում է էլեկտրաստատիկայում: Որոշ դեպքերում այն ​​կարող է օգտագործվել սիմետրիկորեն տեղակայված լիցքերով ստեղծված դաշտերը հեշտությամբ հաշվարկելու համար:

Հավասարակշռված աղբյուրի դաշտեր:Եկեք կիրառենք Գաուսի թեորեմը ՝ մակերևույթի վրա հավասարաչափ լիցքավորված շառավղով գնդի էլեկտրական դաշտի ուժը հաշվարկելու համար: Որոշակիության համար մենք դրա լիցքը դրական կհամարենք: Լիցքերի բաշխումը, որոնք ստեղծում են դաշտը, ունի գնդաձև համաչափություն: Հետևաբար, դաշտը նույնպես ունի նույն համաչափությունը: Նման դաշտի ուժային գծերն ուղղված են շառավիղների երկայնքով, իսկ ինտենսիվության մոդուլը նույնն է գնդակի կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա գտնվող բոլոր կետերում:

Գնդակի կենտրոնից հեռավորության վրա դաշտի ուժը գտնելու համար մենք մտովի գնդակի հետ գծում ենք շառավիղի համակենտրոն գնդաձև մակերես: Քանի որ այս ոլորտի բոլոր կետերում դաշտի ուժը ուղղահայաց է նրա մակերեսին և նույնն է մեծությամբ ինտենսիվության հոսքը պարզապես հավասար է դաշտի ուժի արտադրյալին ՝ ոլորտի մակերևույթով.

Բայց այս քանակը կարող է արտահայտվել նաև Գաուսի թեորեմի միջոցով: Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է գնդակը դուրս գտնվող դաշտը, այսինքն ՝ այն ժամանակ, օրինակ, SI- ում և, համեմատելով (13) -ի հետ, գտնում ենք

CGSE միավորների համակարգում, ակնհայտորեն,

Այսպիսով, գնդակից դուրս դաշտի ուժը նույնն է, ինչ գնդակի կենտրոնում տեղադրված կետային լիցքի դաշտը: Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է գնդակը ներսում գտնվող դաշտը, այսինքն, երբ այդ ժամանակ, քանի որ գնդի մակերևույթի վրա բաշխված ամբողջ լիցքը գտնվում է ոլորտից դուրս, մենք մտովի նկարում ենք: Հետևաբար, գնդակի ներսում դաշտ չկա.

Նմանապես, օգտագործելով Գաուսի թեորեմը, կարող եք հաշվարկել անսահմանափակ լիցքավորված էլեկտրաստատիկ դաշտը

հարթության բոլոր կետերում հաստատուն խտությամբ հարթություն: Համաչափության պատճառով մենք կարող ենք ենթադրել, որ ուժի գծերը ուղղահայաց են հարթության վրա, ուղղվում են դրանից երկու ուղղություններով և ամենուր ունեն նույն խտությունը: Իրոք, եթե տարբեր կետերում ուժի գծերի խտությունը տարբեր լիներ, ապա լիցքավորված հարթության տեղաշարժն իր երկայնքով կհանգեցներ դաշտի փոփոխության այս կետերում, ինչը հակասում է համակարգի համաչափությանը. Նման տեղաշարժը չպետք է փոխել դաշտը: Այլ կերպ ասած, անվերջ հավասարաչափ լիցքավորված հարթության դաշտը միատեսակ է:

Որպես փակ մակերես Գաուսի թեորեմի կիրառման համար մենք ընտրում ենք հետևյալ ձևով կառուցված մխոցի մակերեսը. Մխոցի գեներացիան զուգահեռ է ուժի գծերին, իսկ հիմքերը լիցքավորված հարթությանը զուգահեռ տարածքներ ունեն և գտնվում են հակառակ դրա կողմերը (նկ. 12): Դաշտի ուժի հոսքը կողային մակերևույթի միջոցով զրո է, հետևաբար փակ մակերևույթի միջոցով ընդհանուր հոսքը հավասար է գլանների հիմքերի միջոցով հոսքերի գումարին.

Բրինձ 12. Միատեսակ լիցքավորված հարթության դաշտային ուժի հաշվարկին

Ըստ Գաուսի թեորեմի, նույն հոսքը որոշվում է գլանի ներսում գտնվող հարթության այն հատվածի լիցքով, իսկ SI- ում հավասար է: Այս արտահայտությունները հոսքի համար համեմատելով ՝ գտնում ենք

CGSE համակարգում միատեսակ լիցքավորված անսահման հարթության դաշտային ուժը տրված է բանաձևով

Վերջնական չափերի միատեսակ լիցքավորված ափսեի համար ստացված արտահայտությունները մոտավորապես վավեր են այն տարածքում, որը գտնվում է ափսեի եզրերից բավականաչափ հեռու և դրա մակերևույթից ոչ շատ հեռու: Ափսեի եզրերի մոտ դաշտը այլևս չի լինի միատեսակ, և դրա ուժի գծերը թեքված են: Շատ մեծ հեռավորությունների վրա, ափսեի չափսերի համեմատ, դաշտը հեռավորության հետ նվազում է այնպես, ինչպես կետային լիցքի դաշտը:

Որպես սիմետրիկորեն բաշխված աղբյուրների ստեղծած դաշտերի այլ օրինակներ, կարելի է մեջբերել անվերջ ուղղագիծ թելքի դաշտը, որը հավասարաչափ լիցքավորված է երկայնքով, միատեսակ լիցքավորված անվերջ շրջանաձև գլանի դաշտը, գնդակի դաշտը,

միատեսակ լիցքավորված ծավալի վրա և այլն: Գաուսի թեորեմը հնարավորություն է տալիս հեշտությամբ հաշվարկել դաշտի ուժը այս բոլոր դեպքերում:

Գաուսի թեորեմը տալիս է հարաբերություն դաշտի և դրա աղբյուրների միջև, ինչ -որ իմաստով ՝ հակադարձը նրան, ինչը տալիս է Կուլոնի օրենքը, որը թույլ է տալիս որոշել էլեկտրական դաշտը տվյալ լիցքերի համար: Օգտագործելով Գաուսի թեորեմը, հնարավոր է որոշել ընդհանուր լիցքը տիեզերքի ցանկացած շրջանում, որտեղ հայտնի է էլեկտրական դաշտի բաշխումը:

Ո՞րն է տարբերությունը հեռահար և կարճ հեռահար հասկացությունների միջև ՝ էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցությունը նկարագրելիս: Որքանո՞վ կարող են այդ հասկացությունները կիրառվել գրավիտացիոն փոխազդեցության վրա:

Ի՞նչ է էլեկտրական դաշտի ուժը: Ի՞նչ են նշանակում, երբ այն անվանում են էլեկտրական դաշտի բնորոշ ուժ:

Ինչպե՞ս կարելի է դաշտի գծերի օրինակից որոշակի կետում դատել դաշտի ուժի ուղղությունն ու մոդուլը:

Կարո՞ղ են էլեկտրական դաշտի ուժային գծերը հատվել: Նշեք ձեր պատասխանի պատճառները:

Նկարեք երկու լիցքի էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժի գծերի որակական պատկերը այնպես, որ.

Փակ մակերևույթի միջոցով էլեկտրական դաշտի ուժի հոսքը արտահայտվում է տարբեր բանաձևերով (11) և (12) GSE- ի միավորների համակարգերում և SI- ում: Ինչպե՞ս կարելի է դա հաշտվել հոսքի երկրաչափական նշանակության հետ, որը որոշվում է մակերևույթով անցնող ուժագծերի քանակով:

Ինչպե՞ս օգտագործել Գաուսի թեորեմը ՝ էլեկտրական դաշտի ուժը գտնելու համար այն ստեղծող լիցքերի սիմետրիկ բաշխմամբ:

Ինչպե՞ս կիրառել (14) և (15) բանաձևերը բացասական լիցք ունեցող ոլորտի դաշտի ուժի հաշվարկման համար:

Գաուսի թեորեմը և ֆիզիկական տարածության երկրաչափությունը:Եկեք նայենք Գաուսի թեորեմի ապացույցին մի փոքր այլ տեսանկյունից: Եկեք վերադառնանք բանաձևին (7), որից եզրակացվեց, որ նույն քանակությամբ ուժային գծեր են անցնում լիցքը շրջապատող ցանկացած գնդաձև մակերևույթի միջով: Այս եզրակացությունը պայմանավորված է նրանով, որ կա հավասարության երկու կողմերի հայտարարների նվազում:

Աջ կողմից այն առաջացել է այն պատճառով, որ Կուլոնի օրենքով նկարագրված լիցքերի փոխազդեցության ուժը հակադարձ համեմատական ​​է լիցքերի միջև հեռավորության քառակուսու հետ: Ձախ կողմում արտաքին տեսքը կապված է երկրաչափության հետ. Գնդի մակերեսը համաչափ է նրա շառավիղի քառակուսուն:

Մակերևույթի համաչափությունը գծային չափերի քառակուսու համար էվկլիդեսյան երկրաչափության բնորոշ նշանն է եռաչափ տարածության մեջ: Իրոք, տարածքների համաչափությունը հենց գծային չափերի քառակուսիների, և ոչ թե որևէ այլ ամբողջական աստիճանի, բնորոշ է տարածությանը

երեք հարթություն: Այն փաստը, որ այս ցուցիչը ճշգրիտ երկուս է և չի տարբերվում երկուսից, նույնիսկ աննշան չափով, վկայում է այս եռաչափ տարածության ոչ կորության մասին, այսինքն այն մասին, որ նրա երկրաչափությունը ճշգրիտ Էվկլիդեսյան է:

Այսպիսով, Գաուսի թեորեմը ֆիզիկական տարածության հատկությունների դրսևորում է էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցության հիմնարար օրենքում:

Ֆիզիկայի հիմնարար օրենքների և տարածության հատկությունների միջև սերտ կապի գաղափարը արտահայտվեց շատերի կողմից աչքի ընկնող մտքերայդ օրենքների ստեղծումից շատ առաջ: Այսպիսով, Ի. Կանտը, Կուլոնի օրենքի հայտնաբերումից երեք տասնամյակ առաջ, տիեզերքի հատկությունների մասին գրել է. հակադարձ համեմատական ​​է հեռավորության քառակուսուն »:

Կուլոնի օրենքը և Գաուսի թեորեմը իրականում ներկայացնում են բնության նույն օրենքը, որն արտահայտված է տարբեր ձևեր... Կուլոնի օրենքը արտացոլում է հեռահար գործողության հայեցակարգը, մինչդեռ Գաուսի թեորեմը բխում է ուժի դաշտ հասկացությունից, որը լրացնում է տարածությունը, այսինքն ՝ կարճ հեռավորության գործողության հայեցակարգից: Էլեկտրաստատիկայում ուժի դաշտի աղբյուրը լիցք է, իսկ աղբյուրի հետ կապված դաշտի բնութագիրը ՝ ինտենսիվության հոսքը, չի կարող փոխվել դատարկ տարածության մեջ, որտեղ այլ լիցքեր չկան: Քանի որ հոսքը կարող է պատկերացվել որպես ուժային դաշտի մի շարք, հոսքի անփոփոխելիությունն արտահայտվում է այդ գծերի շարունակականության մեջ:

Գաուսի թեորեմը, որը հիմնված է հեռավորության քառակուսու հետ փոխազդեցության հակադարձ համաչափության և սուպերպոզիցիայի սկզբունքի վրա (փոխազդեցության հավելում), կիրառելի է ցանկացած ֆիզիկական դաշտի համար, որտեղ գործում է հակադարձ քառակուսի օրենքը: Մասնավորապես, այն վավեր է նաև գրավիտացիոն դաշտի համար: Հասկանալի է, որ սա պարզապես պատահական զուգադիպություն չէ, այլ արտացոլում է այն փաստը, որ ինչպես էլեկտրական, այնպես էլ գրավիտացիոն փոխազդեցությունները խաղում են եռաչափ Էվկլիդեսյան ֆիզիկական տարածության մեջ:

Էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցության օրենքի ո՞ր հատկանիշի վրա է հիմնված Գաուսի թեորեմը:

Գաուսի թեորեմի հիման վրա ապացուցեք, որ կետային լիցքի էլեկտրական դաշտի ուժը հակադարձ համեմատական ​​է հեռավորության քառակուսու հետ: Տիեզերքի համաչափության ի՞նչ հատկություններ են օգտագործվում այս ապացույցում:

Ինչպե՞ս է ֆիզիկական տարածության երկրաչափությունը արտացոլված Կուլոնի օրենքում և Գաուսի թեորեմում: Այս օրենքների ո՞ր հատկանիշն է վկայում ֆիզիկական տարածության երկրաչափության էվկլիդեսյան բնույթի և եռաչափության մասին:

Էլեկտրաստատիկայի հիմնական կիրառական խնդիրը տարբեր սարքերում և ապարատներում առաջացած էլեկտրական դաշտերի հաշվարկն է: Ընդհանուր առմամբ, այս խնդիրը լուծվում է Կուլոնի օրենքի և սուպերպոզիցիայի սկզբունքի հիման վրա: Այնուամենայնիվ, այս խնդիրը դառնում է շատ բարդ, երբ հաշվի են առնվում մեծ թվով կետային կամ տարածականորեն բաշխված վճարներ: Նույնիսկ ավելի մեծ դժվարություններ են ծագում, երբ տիեզերքում կան դիէլեկտրիկներ կամ հաղորդիչներ, երբ E 0 արտաքին դաշտի ազդեցության ներքո տեղի է ունենում մանրադիտակային լիցքերի վերաբաշխում ՝ ստեղծելով իրենց լրացուցիչ դաշտը Ե. Հետևաբար, այս խնդիրների գործնական լուծման համար մեթոդներն ու տեխնիկան օգտագործվում են բարդ մաթեմատիկական ապարատի միջոցով: Մենք կդիտարկենք ամենապարզ մեթոդը `հիմնված Օստոգրադսկու` Գաուսի թեորեմի կիրառման վրա: Այս թեորեմը ձևակերպելու համար մենք ներկայացնում ենք մի քանի նոր հասկացություններ.

Ա) լիցքավորման խտությունը

Եթե ​​լիցքավորված մարմինը մեծ է, ապա դուք պետք է իմանաք մարմնի ներսում լիցքերի բաշխումը:

Bulանգվածային լիցքի խտություն- չափվում է ծավալի միավորի լիցքով.

Մակերևութային լիցքի խտություն- չափվում է մարմնի մակերևույթի մեկ միավորի լիցքով (երբ լիցքը տարածվում է մակերեսի վրա).

Լիցքավորման գծային խտություն(լիցքի բաշխում դիրիժորի երկայնքով).

բ) վեկտորային էլեկտրաստատիկ ինդուկցիա

Էլեկտրաստատիկ ինդուկցիայի վեկտորով (էլեկտրական տեղաշարժի վեկտոր) էլեկտրական դաշտը բնութագրող վեկտորային մեծություն է:

Վեկտոր հավասար է վեկտորի արտադրյալին տվյալ կետի միջավայրի բացարձակ դիէլեկտրական հաստատունի վրա.

Եկեք ստուգենք չափը Դ SI միավորներում.

ի վեր
,

ապա D և E չափերը չեն համընկնում, և դրանց թվային արժեքները նույնպես տարբեր են:

Սահմանումից հետևում է, որ վեկտորի դաշտի համար գործում է նույն սուպերպոզիցիոն սկզբունքը, ինչ վերաբերում է ոլորտին :

Դաշտ գրաֆիկորեն պատկերված է ինդուկցիայի գծերով, ինչպես դաշտը ... Ինդուկցիոն գծերը գծված են այնպես, որ յուրաքանչյուր կետում շոշափողը համընկնի ուղղության հետ , և տողերի թիվը հավասար է այս վայրում D- ի թվային արժեքին:

Ներածության իմաստը հասկանալու համար Եկեք նայենք օրինակին:

v) հոսքի վեկտորի էլեկտրաստատիկ ինդուկցիա

Մտածեք S մակերևույթը էլեկտրական դաշտում և ընտրեք նորմալի ուղղությունը

1. Եթե դաշտը միատեսակ է, ապա S մակերևույթի միջոցով ուժի գծերի թիվը.

2. Եթե դաշտը անհամասեռ է, ապա մակերեսը բաժանվում է dS անսահմանափակ տարրերի, որոնք համարվում են հարթ, իսկ նրանց շուրջը դաշտը ՝ միատեսակ: Հետևաբար, մակերևույթի տարրի միջոցով հոսքը հետևյալն է. DN = D n dS,

և ցանկացած մակերևույթի միջոցով ընդհանուր հոսքը.

(6)

N ինդուկցիայի հոսքը սկալարային մեծություն է. կախված  այն կարող է լինել> 0 կամ< 0, или = 0.

Գաուսի թեորեմը էլեկտրական ինդուկցիայի (էլեկտրական տեղաշարժ) համար [

Դիէլեկտրական միջավայրի դաշտի համար Գաուսի էլեկտրաստատիկ թեորեմը կարող է գրվել այլ կերպ և այլ կերպ (այլընտրանքային եղանակով) `էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքի միջոցով (էլեկտրական ինդուկցիա): Այս դեպքում թեորեմի ձևակերպումը հետևյալն է. Փակ մակերևույթի միջոցով էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքը համամասնական է այս մակերևույթի ներսում պարունակվող ազատ էլեկտրական լիցքին:

Դիֆերենցիալ տեսքով.

Մագնիսական ինդուկցիայի Գաուսի թեորեմը

Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը ցանկացած փակ մակերևույթի միջոցով զրո է.

կամ դիֆերենցիալ տեսքով

Սա համարժեք է նրան, որ բնության մեջ չկան «մագնիսական լիցքեր» (մոնոպոլներ), որոնք կստեղծեն մագնիսական դաշտ, քանի որ էլեկտրական լիցքերը ստեղծում են էլեկտրական դաշտ: Այլ կերպ ասած, մագնիսական ինդուկցիայի Գաուսի թեորեմը ցույց է տալիս, որ մագնիսական դաշտը (ամբողջությամբ) հորձանուտ.

Գաուսի տեսությունը Նյուտոնի ձգողության համար

Նյուտոնի ձգողության դաշտի ուժի համար (ձգողության արագացում) Գաուսի թեորեմը գործնականում համընկնում է էլեկտրաստատիկայի բնագավառում, բացառությամբ միայն հաստատունների (այնուամենայնիվ, դա դեռ կախված է միավորների համակարգի կամայական ընտրությունից) և, որ ամենակարևորն է, նշան:

որտեղ է- գրավիտացիոն դաշտի ուժը, Մ- գրավիտացիոն լիցք (այսինքն ՝ զանգված) մակերեսի ներսում Ս, ρ - զանգվածային խտություն, Գ- Նյուտոնի հաստատուն:

Էլեկտրական դաշտի դիրիժորներ: Դաշտը դիրիժորի ներսում և դրա մակերեսին:

Մարմինները կոչվում են հաղորդիչներ, որոնց միջոցով էլեկտրական լիցքերը կարող են լիցքավորված մարմնից անցնել չլիցքավորվածի:Էլեկտրական լիցքերն իրենց միջոցով փոխանցելու ունակությունը բացատրվում է դրանցում անվճար լիցքավորիչների առկայությամբ: Հաղորդիչներ - մետաղական մարմիններ պինդ և հեղուկ վիճակում, էլեկտրոլիտների հեղուկ լուծույթներ: Էլեկտրական դաշտ ներմուծված դիրիժորի անվճար լիցքերը շարժվում են դրա գործողության ներքո: Լիցքերի վերաբաշխումը առաջացնում է էլեկտրական դաշտի փոփոխություն: Երբ հաղորդիչի մեջ էլեկտրական դաշտի ուժը դառնում է զրո, էլեկտրոնները դադարում են շարժվել: Էլեկտրական դաշտում տեղադրված հաղորդիչի մեջ ի տարբերություն լիցքերի տարանջատման երևույթը կոչվում է էլեկտրաստատիկ ինդուկցիա: Հաղորդիչի ներսում էլեկտրական դաշտ չկա: Այն օգտագործվում է էլեկտրաստատիկ պաշտպանության համար `էլեկտրական դաշտից մետաղական հաղորդիչներով պաշտպանվելու համար: Էլեկտրական դաշտում ցանկացած ձևի հաղորդիչ մարմնի մակերեսը հավասարազոր մակերես է:

Կոնդենսատորներ

Սարքավորումներ ձեռք բերելու համար, որոնք միջավայրի նկատմամբ պոտենցիալ ցածր հարաբերակցությամբ կկուտակեն (խտացնեն) իրենց վրա նկատելի լիցքեր, նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ հաղորդիչի էլեկտրական հզորությունը մեծանում է, երբ այլ մարմիններ մոտենում են դրան: Իրոք, լիցքավորված դիրիժորների ստեղծած դաշտի ազդեցության տակ, առաջացած (դիրիժորի վրա) կամ հարակից (դիէլեկտրիկի վրա) լիցքեր հայտնվում են դրան բերված մարմնի վրա (Նկար 15.5): Լիցքավորումները, հակառակ նշանի q հաղորդիչի լիցքի, գտնվում են ավելի մոտ դիրիժորին, քան q- ով նույն անունով բեռները, և, հետևաբար, մեծ ազդեցություն են ունենում դրա ներուժի վրա:

Հետևաբար, երբ մարմինը բերվում է լիցքավորված դիրիժորի մոտ, դաշտի ուժը նվազում է, և, հետևաբար, դիրիժորի ներուժը նվազում է: Ըստ հավասարման ՝ սա նշանակում է հաղորդիչի հզորության բարձրացում:

Կոնդենսատորը բաղկացած է երկու հաղորդիչներից (թիթեղներ) (Նկար 15.6), որոնք բաժանված են դիէլեկտրիկ շերտով: Երբ դիրիժորի վրա կիրառվում է որոշակի պոտենցիալ տարբերություն, դրա թիթեղները գանձվում են հակառակ նշանի հավասար լիցքերով: Կոնդենսատորի էլեկտրական հզորությունը հասկացվում է որպես ֆիզիկական մեծություն, որը համամասնական է լիցքին q և հակադարձ համեմատական ​​սալերի միջև եղած պոտենցիալ տարբերությանը

Եկեք որոշենք հարթ կոնդենսատորի հզորությունը:

Եթե ​​ափսեի մակերեսը S է, և դրա վրա լիցքը q է, ապա թիթեղների միջև դաշտի ուժն է

Մյուս կողմից, որտեղից է ափսեների պոտենցիալ տարբերությունը

Կետային լիցքերի համակարգի էներգիա, լիցքավորված հաղորդիչ և կոնդենսատոր:

Լիցքերի ցանկացած համակարգ ունի փոխազդեցության որոշակի պոտենցիալ էներգիա, որը հավասար է այս համակարգի ստեղծման վրա ծախսված աշխատանքին: Կետային լիցքերի համակարգի էներգիան ք 1 , ք 2 , ք 3 ,… ք Նսահմանվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ φ 1 - էլեկտրական դաշտի ներուժը, որը ստեղծվել է բոլոր լիցքերով, բացառությամբ ք 1 այն վայրում, որտեղ լիցքն է ք 1 և այլն Եթե ​​փոխվում է լիցքերի համակարգի կազմաձևը, ապա փոխվում է նաև համակարգի էներգիան: Համակարգի կազմաձևումը փոխելու համար հարկավոր է որոշակի աշխատանք կատարել:

Կետային լիցքերի համակարգի պոտենցիալ էներգիան կարելի է հաշվարկել այլ կերպ: Երկու կետային լիցքերի պոտենցիալ էներգիա ք 1 , ք 2 -ը միմյանցից հեռավորության վրա հավասար է. Եթե ​​կան մի քանի լիցքեր, ապա լիցքերի այս համակարգի պոտենցիալ էներգիան կարող է սահմանվել որպես բոլոր զույգ լիցքերի պոտենցիալ էներգիաների գումար, որոնք կարող են լրացվել այս համակարգի համար: Այսպիսով, երեք դրական լիցքերի համակարգի համար համակարգի էներգիան է

Լիցքավորված միայնակ հաղորդիչի և կոնդենսատորի էներգիա

Եթե ​​միայնակ հաղորդիչն ունի լիցք q, ապա դրա շուրջ գոյություն ունի էլեկտրական դաշտ, որի ներուժը դիրիժորի մակերեսին հավասար է, իսկ տարողությունը ՝ C. Եկեք լիցքը բարձրացնենք dq- ով: Dq լիցքն անվերջությունից փոխանցելիս աշխատանքը պետք է կատարվի հավասար ... Բայց անսահմանության դեպքում տվյալ դիրիժորի էլեկտրաստատիկ դաշտի ներուժը զրո է: Հետո

Երբ dq լիցքը հաղորդիչից տեղափոխվում է անվերջություն, նույն աշխատանքը կատարում են էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժերը: Հետևաբար, դիրիժորի լիցքի dq չափով ավելանալով, դաշտի պոտենցիալ էներգիան մեծանում է, այսինքն.

Այս արտահայտությունը ինտեգրելով ՝ մենք գտնում ենք լիցքավորված դիրիժորի էլեկտրաստատիկ դաշտի պոտենցիալ էներգիան ՝ դրա լիցքի զրոյից մինչև q:

Կիրառելով հարաբերակցությունը ՝ պոտենցիալ էներգիայի W- ի համար կարող են ստացվել հետևյալ արտահայտությունները.

Լիցքավորված կոնդենսատորի համար պոտենցիալ տարբերությունը (լարման) այն է, որ դրա էլեկտրաստատիկ դաշտի ընդհանուր էներգիայի հարաբերակցությունը ունի

Էլեկտրական դաշտի ուժի վեկտորի հոսքը:Թողեք մի փոքր տարածք ԴՍ(Նկար 1.2) հատում են էլեկտրական դաշտի ուժի գծերը, որոնց ուղղությունը նորմալի հետ է n անկյուն այս կայքի նկատմամբ ա... Ենթադրելով, որ լարվածության վեկտորը Է չի փոխվում կայքի ներսում ԴՍ, սահմանել լարվածության վեկտորի հոսքամբողջ կայքում ԴՍինչպես

ԴՖԷ =Է ԴՍ cos ա.(1.3)

Քանի որ ուժի գծերի խտությունը հավասար է լարվածության թվային արժեքին Է, այնուհետև ուժի գծերի թիվը, որոնք հատում են կայքըԴՍ, թվայինորեն հավասար կլինի հոսքի արժեքինԴՖԷմակերեսի վրայովԴՍ... Մենք արտահայտման աջ կողմը (1.3) ներկայացնում ենք որպես վեկտորների սանդղակի արդյունք ԷեւԴՍ= nԴՍ, որտեղ nԱրդյո՞ք միավորը մակերևույթի նորմալ վեկտոր էԴՍ... Տարրական կայքի համար դ Սարտահայտությունը (1.3) ընդունում է ձևը

դՖԷ = Էդ Ս

Ամբողջ կայքում Սինտենսիվության վեկտորի հոսքը հաշվարկվում է որպես ինտեգրալ մակերեսի վրա

Էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի հոսք:Էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը որոշվում է էլեկտրական դաշտի ուժի վեկտորի հոսքի նմանությամբ

դՖԴ = Դդ Ս

Որոշակի երկիմաստություն նկատելի է հոսքերի սահմանումների մեջ, քանի որ յուրաքանչյուր մակերևույթի համար երկու հակառակ ուղղության նորմալները: Փակ մակերեսի համար արտաքին նորմալը համարվում է դրական:

Գաուսի թեորեմը:Հաշվի առեք կետը դրական էէլեկտրական լիցք քկամայական փակ մակերեսի ներսում Ս(նկ. 1.3): Ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը մակերեսի տարրի միջոցով d Սհավասար է
(1.4)

Բաղադրիչ դ Ս Դ = դ Ս cos ամակերեսային տարր դ Սինդուկցիայի վեկտորի ուղղությամբԴհամարվում է շառավղի գնդաձև մակերևույթի տարր ռ, որի կենտրոնում լիցքն էք.

Հաշվի առնելով, որ դ Ս Դ/ ռ 2 -ը հավասար է տարրական մարմնականանկյուն դw, որի տակ լիցքավորման գտնվելու վայրիցքմակերևույթի տարրը տեսանելի է Ս, մենք արտահայտությունը (1.4) փոխակերպում ենք ձևիդ ՖԴ = ք դ w / 4 էջ, որտեղից, լիցքը շրջապատող ամբողջ տարածության վրա ինտեգրվելուց հետո, այսինքն ՝ 0 -ից 4 -ի պինդ անկյան սահմաններումէջ, ստանում ենք

ՖԴ = ք.

Էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը կամայական ձևի փակ մակերևույթի միջոցով հավասար է այս մակերեսի ներսում պարունակվող լիցքին.

Եթե ​​կամայական փակ մակերես Սչի ծածկում կետային վճարը ք(Նկ. 1.4), այնուհետև, գագաթնակետով կոնաձև մակերևույթ կառուցելով, որտեղ լիցքը գտնվում է, մենք բաժանում ենք մակերեսը Սերկու մասի ՝ Ս 1 և Ս 2 Վեկտորային հոսք Դ մակերեսի վրայով Սմակերեսների միջով հոսքերի հանրահաշվական գումար ենք գտնում Ս 1 և Ս 2:

.

Երկու մակերեսներն էլ լիցքի տեղակայման վայրից քտեսանելի է մեկ ամուր անկյան տակ w... Հետևաբար, հոսքերը հավասար են

Քանի որ փակ մակերևույթի միջոցով հոսքը հաշվարկելիս մենք օգտագործում ենք արտաքին նորմալմակերեսին, հեշտ է տեսնել, որ Ф հոսքը 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ֆ – ի ընդհանուր հոսքը Դ= 0. Սա նշանակում է, որ կամայական ձևի փակ մակերևույթի միջոցով էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը կախված չէ այս մակերեսից դուրս տեղակայված լիցքերից:

Եթե ​​էլեկտրական դաշտը ստեղծվում է կետային լիցքերի համակարգով ք 1 , ք 2 ,¼ , q n, որը ծածկված է փակ մակերեսով Ս, ապա, սուպերպոզիցիայի սկզբունքի համաձայն, ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը այս մակերևույթի միջոցով սահմանվում է որպես լիցքերից յուրաքանչյուրի կողմից ստեղծված հոսքերի գումար: Էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը կամայական ձևի փակ մակերևույթի միջոցով հավասար է այս մակերեսով ծածկված լիցքերի հանրահաշվական գումարին:

Հարկ է նշել, որ մեղադրանքները q iպարտադիր չէ, որ այն նման լինի կետին, անհրաժեշտ պայման է, որ լիցքավորված տարածքը պետք է ամբողջությամբ ծածկված լինի մակերեսով: Եթե ​​փակ մակերեսով սահմանափակված տարածության մեջ Ս, էլեկտրական լիցքը բաշխվում է շարունակաբար, ապա պետք է ենթադրել, որ յուրաքանչյուր տարրական ծավալ դ Վգանձում ունի: Այս դեպքում, արտահայտության աջ կողմում (1.5), լիցքերի հանրահաշվական գումարը փոխարինվում է փակ մակերեսի ներսում պարունակվող ծավալի ինտեգրմամբ: Ս:

(1.6)

Արտահայտությունը (1.6) ամենաընդհանուր ձևակերպումն է Գաուսի թեորեմը: կամայական ձևի փակ մակերևույթի միջոցով էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը հավասար է այս մակերեսով պարունակվող ծավալի ընդհանուր լիցքին և կախված չէ դիտարկվող մակերեսից դուրս տեղակայված լիցքերից:... Գաուսի թեորեմը կարող է գրվել նաև էլեկտրական դաշտի ուժի վեկտորի հոսքի համար.

.

Գաուսի թեորեմից հետևում է էլեկտրական դաշտի մի կարևոր հատկություն. ուժի գծերը սկսվում կամ ավարտվում են միայն էլեկտրական լիցքերով կամ գնում են դեպի անսահմանություն... Մեկ անգամ ևս շեշտում ենք, որ չնայած այն բանին, որ էլեկտրական դաշտի ուժը Է և էլեկտրական ինդուկցիա Դ կախված են տիեզերքում բոլոր լիցքերի տեղադրությունից, այդ վեկտորների հոսքերից կամայական փակ մակերևույթի միջով Սորոշված ​​է միայն այն լիցքերը, որոնք գտնվում են մակերեսի ներսում Ս.

Գաուսի թեորեմի դիֆերենցիալ ձևը:Նկատի ունեցեք, որ անբաժանելի ձևԳաուսի թեորեմը բնութագրում է էլեկտրական դաշտի աղբյուրների (լիցքերի) և ծավալում էլեկտրական դաշտի բնութագրիչների (ինտենսիվության կամ ինդուկցիայի) հարաբերությունները: Վկամայական, բայց բավարար անբաժանելի հարաբերությունների, արժեքի ձևավորման համար: Ձայնի բաժանում Վփոքր ծավալների համար V i, մենք ստանում ենք արտահայտությունը

ինչը ճշմարիտ է ինչպես ամբողջությամբ, այնպես էլ յուրաքանչյուր տերմինի համար: Ստացված արտահայտությունը վերափոխենք հետևյալ կերպ.

(1.7)

և հաշվի առեք այն սահմանը, որով հավասարության աջ կողմում արտահայտությունը ՝ փակված գանգուր փակագծերում, ձգտում է ծավալի անսահմանափակ բաժանման Վ... Մաթեմատիկայում այս սահմանը կոչվում է տարբերությունվեկտոր (այս դեպքում `էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորը) Դ):

Վեկտորի շեղում Դքարտեզյան կոորդինատներում.

Այսպիսով, արտահայտությունը (1.7) փոխակերպվում է ձևի.

.

Հաշվի առնելով, որ անսահմանափակ բաժանումով, վերջին արտահայտության ձախ կողմի գումարը անցնում է ծավալային ինտեգրալին, մենք ստանում ենք

Ստացված հարաբերակցությունը պետք է կատարվի կամայականորեն ընտրված ցանկացած ծավալի համար Վ... Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե տարածության յուրաքանչյուր կետում ինտեգրենդների արժեքները նույնն են: Հետեւաբար, վեկտորի տարբերությունը Դկապված է լիցքի խտության հետ նույն կետում `հավասարությամբ

կամ էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժի վեկտորի համար

Այս հավասարությունները արտահայտում են Գաուսի թեորեմը դիֆերենցիալ ձև.

Նկատի ունեցեք, որ Գաուսի թեորեմի դիֆերենցիալ ձևին անցնելու գործընթացում մենք ստանում ենք այնպիսի հարաբերություն, որն ունի ընդհանուր բնույթ:

.

Արտահայտությունը կոչվում է Գաուս-Օստրոգրադսկու բանաձև և միացնում է ինտեգրալը վեկտորի շեղման ծավալի նկատմամբ այս վեկտորի հոսքի հետ, որը փակելով ծավալը:

Հարցեր

1) Ինչ է ֆիզիկական իմաստԳաուսի թեորեմը վակուումում էլեկտրաստատիկ դաշտի համար

2) Խորանարդի կենտրոնում կա կետային լիցքք... Ո՞րն է վեկտորի հոսքը Է:

ա) խորանարդի ամբողջ մակերևույթի միջով. բ) խորանարդի երեսներից մեկի միջով:

Պատասխանները կփոխվեն, եթե ՝

ա) լիցքը խորանարդի կենտրոնում չէ, այլ դրա ներսում ; բ) լիցքը խորանարդից դուրս է:

3) Ի՞նչ է գծային, մակերեսային, ծավալային լիցքի խտությունը:

4) Նշեք զանգվածի և մակերևույթի լիցքի խտության հարաբերակցությունը:

5) Հակառակ և միատեսակ լիցքավորված զուգահեռ անվերջ հարթություններից դուրս դաշտը կարո՞ղ է ոչ զրո լինել:

6) Փակ մակերեսի ներսում տեղադրվում է էլեկտրական երկբևեռ: Ո՞րն է հոսքը այս մակերևույթի միջով

Ամենադժվարը էլեկտրական երևույթների ուսումնասիրությունն է անհամասեռ էլեկտրական միջավայրում: Նման միջավայրում ε -ն ունի տարբեր արժեքներ ՝ կտրուկ փոխվելով դիէլեկտրիկների սահմանին: Ենթադրենք, որ մենք դաշտի ուժը որոշում ենք երկու միջավայրի միջև `ε 1 = 1 (վակուում կամ օդ) և ε 2 = 3 (հեղուկ` յուղ): Վակուումից դիէլեկտրիկի անցման միջակայքում դաշտի ուժը նվազում է երեք անգամ, իսկ ուժի վեկտորի հոսքը նվազում է նույն չափով (նկ. 12.25, ա): Երկու լրատվամիջոցների միջերեսում էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժի վեկտորի կտրուկ փոփոխությունը որոշակի դժվարություններ է ստեղծում դաշտերը հաշվարկելիս: Ինչ վերաբերում է Գաուսի թեորեմին, ապա այս պայմաններում այն ​​ամբողջովին կորցնում է իր իմաստը:

Քանի որ տարբեր դիէլեկտրիկների բևեռայնությունը և ուժը տարբեր են, յուրաքանչյուր դիէլեկտրիկում ուժի գծերի թիվը նույնպես տարբեր կլինի: Այս դժվարությունը կարող է վերացվել `ներդնելով դաշտի նոր ֆիզիկական բնութագիր` էլեկտրական ինդուկցիա D (կամ վեկտոր) էլեկտրական տեղաշարժ ).

Ըստ բանաձևի

ε 1 Ե 1 = ε 2 Ե 2 = Ե 0 = կոնստ

Այս հավասարությունների բոլոր մասերը բազմապատկելով ε 0 էլեկտրական հաստատունով, մենք ստանում ենք

ε 0 ε 1 Ե 1 = ε 0 ε 2 Ե 2 = ε 0 Ե 0 = կոնստ

Ներկայացնում ենք ε 0 εΕ = D նշումը, ապա նախավերջին հարաբերությունը ստանում է ձևը

D 1 = D 2 = D 0 = const

D վեկտորը, որը հավասար է դիէլեկտրիկում էլեկտրական դաշտի ուժի արտադրյալին և դրա բացարձակ դիէլեկտրական հաստատունին, կոչվում էէլեկտրական տեղաշարժի վեկտոր

(12.45)

Էլեկտրական տեղաշարժման միավոր - կախազարդ մեկ քառակուսի մետրի համար(Cl / մ 2):

Էլեկտրական տեղաշարժը վեկտորային մեծություն է, այն կարող է արտահայտվել նաև որպես

D = εε 0 E = (1 + χ) ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E + P

(12.46)

Ի տարբերություն E ուժի, D էլեկտրական տեղաշարժը հաստատուն է բոլոր դիէլեկտրիկներում (Նկար 12.25, բ): Հետևաբար, միատարր դիէլեկտրիկ միջավայրում էլեկտրական դաշտը հարմար բնութագրվում է ոչ թե E ուժով, այլ տեղաշարժման վեկտորով D: D վեկտորը նկարագրում է անվճար լիցքերով (այսինքն ՝ վակուումում) ստեղծված էլեկտրաստատիկ դաշտը, սակայն տիեզերքում նման բաշխվածությամբ, որը գոյություն ունի դիէլեկտրիկի առկայության դեպքում, քանի որ դիէլեկտրիկում առաջացած կապված լիցքերը կարող են առաջացնել ազատ լիցքերի վերաբաշխում, որոնք առաջացնում են դաշտը.

Վեկտորային դաշտ գծագրված է էլեկտրական տեղաշարժման գծերով, ինչպես դաշտը պատկերված է ուժի գծերով:

Էլեկտրական տեղաշարժման գիծ - դրանք գծեր են, շոշափողներ, որոնց յուրաքանչյուր կետում համընկնում են էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի ուղղությամբ:

E վեկտորի տողերը կարող են սկսվել և ավարտվել ցանկացած մեղադրանքով `անվճար և կապված, մինչդեռ վեկտորի տողերըԴ- միայն անվճար վճարներով: Վեկտորային տողերԴի տարբերություն լարվածության գծերի, դրանք շարունակական են:

Քանի որ էլեկտրական տեղաշարժման վեկտորը երկու միջավայրի միջերեսում անընդհատություն չի զգում, որոշ փակ մակերեսով շրջապատված լիցքերից բխող ինդուկցիայի բոլոր տողերը ներթափանցելու են այնտեղ: Հետեւաբար, էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի համար Գաուսի թեորեմը լիովին պահպանում է իր իմաստը անհամասեռ դիէլեկտրական միջավայրի համար:

Գաուսի թեորեմը դիէլեկտրիկում էլեկտրաստատիկ դաշտի համար էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքը կամայական փակ մակերևույթի միջոցով հավասար է այս մակերևույթի մեջ պարունակվող լիցքերի հանրահաշվական գումարին:

(12.47)