Էլեկտրական դաշտի ինդուկցիոն վեկտոր. e և d վեկտորների հոսք. Էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի Գաուսի թեորեմի հոսքը էլեկտրական դաշտի ինդուկցիոն վեկտորի համար

Էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցության օրենքը՝ Կուլոնի օրենքը, կարելի է տարբեր կերպ ձևակերպել՝ այսպես կոչված Գաուսի թեորեմի տեսքով։ Գաուսի թեորեմը ստացվել է Կուլոնի օրենքի և սուպերպոզիցիայի սկզբունքի արդյունքում։ Ապացույցը հիմնված է երկու կետային լիցքերի փոխազդեցության ուժի հակադարձ համեմատության վրա նրանց միջև հեռավորության քառակուսու վրա։ Հետևաբար, Գաուսի թեորեմը կիրառելի է ցանկացած ֆիզիկական դաշտի համար, որտեղ հակադարձ քառակուսի օրենքը և սուպերպոզիցիայի սկզբունքը կիրառվում են, օրինակ, գրավիտացիոն դաշտի նկատմամբ։

Բրինձ. 9. Փակ X մակերեսը հատող կետային լիցքի էլեկտրական դաշտի ուժգնության գծեր

Գաուսի թեորեմը ձևակերպելու համար վերադառնանք անշարժ կետային լիցքի էլեկտրական դաշտի ուժային գծերի պատկերին։ Միայնակ կետային լիցքի ուժի գծերը սիմետրիկ դասավորված շառավղային ուղիղ գծեր են (նկ. 7): Նման գծերի ցանկացած քանակ կարելի է գծել: Նշենք դրանց ընդհանուր թիվը մինչև Լիցքից հեռավորության վրա գտնվող ուժի գծերի խտությունը, այսինքն՝ շառավղով ոլորտի միավոր մակերեսը հատող գծերի թիվը հավասար է Համեմատելով այս կապը դաշտի ուժգնության արտահայտության հետ։ կետային լիցք (4), մենք տեսնում ենք, որ գծերի խտությունը համամասնական է դաշտի ուժգնությանը: Մենք կարող ենք այս արժեքները թվայինորեն հավասարեցնել՝ համապատասխան կերպով ընտրելով N ուժի գծերի ընդհանուր թիվը.

Այսպիսով, կետային լիցքը պարփակող ցանկացած շառավղով ոլորտի մակերեսը հատում է նույն թվով ուժային գծեր։ Սա նշանակում է, որ ուժի գծերը շարունակական են. տարբեր շառավղով ցանկացած երկու համակենտրոն գնդերի միջև ընկած ժամանակահատվածում գծերից ոչ մեկը չի կտրվում և նորերը չեն ավելացվում: Քանի որ ուժի գծերը շարունակական են, նույն թվով ուժային գծեր հատում են ցանկացած փակ մակերես (նկ. 9)՝ ծածկելով լիցքը։

Ուժի գծերն ունեն ուղղություն. Դրական լիցքի դեպքում դրանք դուրս են գալիս լիցքը շրջապատող փակ մակերեսից, ինչպես ցույց է տրված նկ. 9. Բացասական լիցքի դեպքում դրանք մտնում են մակերեսի ներս։ Եթե ​​ելքային տողերի թիվը համարվում է դրական, իսկ ներգնա տողերի թիվը՝ բացասական, ապա (8) բանաձևում կարող ենք բաց թողնել լիցքի մոդուլի նշանը և այն գրել ձևով.

Լարվածության հոսք.Այժմ ներկայացնենք մակերևույթի միջով դաշտի ուժգնության վեկտորի հոսքի հայեցակարգը: Կամայական դաշտը մտովի կարելի է բաժանել փոքր տարածքների, որոնցում ինտենսիվությունը մեծությամբ և ուղղությամբ այնքան քիչ է փոխվում, որ այս տարածքում դաշտը կարելի է համարել միատեսակ: Յուրաքանչյուր այդպիսի տարածքում ուժի գծերը զուգահեռ ուղիղ գծեր են և ունեն մշտական ​​խտություն։

Բրինձ. 10. Որոշել դաշտի ուժգնության վեկտորի հոսքը տեղամասով

Դիտարկենք, թե ուժի քանի գիծ է թափանցում փոքր տարածք, որի ուղղությունը նորմալի ուղղությունը ձգման գծերի ուղղության հետ կազմում է անկյուն (նկ. 10): Թող լինի ելք ուժի գծերին ուղղահայաց հարթության վրա: Քանի որ նույն հատվող գծերի թիվը և գծի խտությունը, ըստ ընդունված պայմանի, հավասար են դաշտի ուժգնության E մոդուլին, ապա.

a մեծությունը E վեկտորի պրոյեկցիան է դեպի նորմայի ուղղությամբ դեպի տեղանք

Հետևաբար, տեղանքը հատող ուժային գծերի թիվը կազմում է

Արտադրանքը կոչվում է դաշտի ուժի հոսք մակերևույթի միջով Բանաձևը (10) ցույց է տալիս, որ E վեկտորի հոսքը մակերևույթի միջով թվին հավասարուժի գծերը, որոնք հատում են այս մակերեսը: Նկատի ունեցեք, որ ինտենսիվության վեկտորի հոսքը, ինչպես նաև մակերևույթի միջով անցնող ուժի գծերի քանակը սկալյար է:

Բրինձ. 11. E ինտենսիվության վեկտորի հոսքը տեղանքով

Հոսքի կախվածությունը տեղանքի կողմնորոշումից ուժի գծերի նկատմամբ պատկերված է Նկ.

Դաշտի ուժգնության հոսքը կամայական մակերևույթի միջով այն հոսքերի գումարն է այն տարրական տարածքների միջով, որոնց կարելի է բաժանել այս մակերեսը: Համաձայն (9) և (10) հարաբերությունների՝ կարելի է պնդել, որ կետային լիցքի դաշտի ուժի հոսքը լիցքը պարփակող ցանկացած փակ մակերևույթի 2 միջով (տես Նկար 9), որպես առաջացող ուժի գծերի քանակ։ այս մակերևույթից հավասար է: Այս դեպքում նորմալ վեկտորը դեպի տարրական տարածքներ փակ մակերեսը պետք է ուղղված լինի դեպի դուրս: Եթե ​​մակերևույթի ներսում լիցքը բացասական է, ապա ուժի գծերը մտնում են այս մակերևույթի ներս և դաշտի ուժգնության վեկտորի հոսքը, որը կապված է լիցքի հետ, նույնպես բացասական է:

Եթե ​​փակ մակերևույթի ներսում մի քանի լիցքեր կան, ապա, ըստ սուպերպոզիցիայի սկզբունքի, դրանց դաշտի ուժգնության հոսքերը կավելանան։ Ընդհանուր հոսքը հավասար կլինի նրան, թե որտեղ պետք է հասկանալ որպես մակերեսի ներսում գտնվող բոլոր մեղադրանքների հանրահաշվական գումար:

Եթե ​​փակ մակերևույթի ներսում էլեկտրական լիցքեր չկան կամ դրանց հանրահաշվական գումարը հավասար է զրոյի, ապա դաշտի ուժգնության ընդհանուր հոսքը այս մակերևույթով զրո է. .

Այժմ մենք վերջապես կարող ենք ձևակերպել Գաուսի թեորեմը. E էլեկտրական դաշտի ուժգնության վեկտորի հոսքը վակուումում ցանկացած փակ մակերևույթի միջով համաչափ է այս մակերեսի ներսում գտնվող ընդհանուր լիցքին: Մաթեմատիկորեն Գաուսի թեորեմն արտահայտվում է նույն բանաձևով (9), որտեղ նկատի ունի լիցքերի հանրահաշվական գումարը։ Բացարձակ էլեկտրաստատիկ

CGSE միավորների համակարգը, գործակիցը և Գաուսի թեորեմը գրված են ձևով

SI-ում և փակ մակերևույթի միջով լարվածության հոսքը արտահայտվում է բանաձևով

Գաուսի թեորեմը լայնորեն կիրառվում է էլեկտրաստատիկայում։ Որոշ դեպքերում այն ​​կարող է օգտագործվել սիմետրիկ տեղակայված լիցքերով ստեղծված դաշտերը հեշտությամբ հաշվարկելու համար:

Հավասարակշռված աղբյուրի դաշտեր:Եկեք կիրառենք Գաուսի թեորեմը՝ մակերեսի վրա հավասարաչափ լիցքավորված շառավղով գնդիկի էլեկտրական դաշտի ուժը հաշվարկելու համար: Հստակության համար դրա լիցքը դրական կհամարենք։ Դաշտը ստեղծող լիցքերի բաշխումն ունի գնդային համաչափություն։ Հետևաբար, դաշտը նույնպես ունի նույն համաչափությունը։ Նման դաշտի ուժի գծերն ուղղված են շառավիղների երկայնքով, իսկ ինտենսիվության մոդուլը նույնն է գնդակի կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա գտնվող բոլոր կետերում։

Գնդակի կենտրոնից հեռավորության վրա դաշտի ուժը գտնելու համար մտովի գծեք գնդակի հետ շառավղով գնդաձև մակերևույթ: Քանի որ այս ոլորտի բոլոր կետերում դաշտի ուժգնությունը ուղղահայաց է նրա մակերեսին և նույնն է. մեծությունը, ինտենսիվության հոսքը պարզապես հավասար է դաշտի ուժգնության և ոլորտի մակերեսի արտադրյալին.

Բայց այս մեծությունը կարող է արտահայտվել նաև Գաուսի թեորեմի միջոցով։ Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է գնդակից դուրս դաշտը, այսինքն՝ դրա համար, օրինակ, SI-ով և, համեմատելով (13-ի հետ), գտնում ենք.

CGSE միավորների համակարգում ակնհայտ է, որ

Այսպիսով, գնդակից դուրս դաշտի ուժը նույնն է, ինչ գնդակի կենտրոնում տեղադրված կետային լիցքի դաշտի ուժը: Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է գնդակի ներսում գտնվող դաշտը, այսինքն՝ երբ, ապա քանի որ գնդակի մակերևույթի վրա բաշխված ամբողջ լիցքը ոլորտից դուրս է, մենք մտովի նկարում ենք: Հետևաբար, գնդակի ներսում դաշտ չկա.

Նմանապես, օգտագործելով Գաուսի թեորեմը, դուք կարող եք հաշվարկել անսահման լիցքավորված էլեկտրաստատիկ դաշտը

հարթություն՝ հարթության բոլոր կետերում հաստատուն խտությամբ: Համաչափության նկատառումներից ելնելով կարող ենք ենթադրել, որ ուժի գծերը ուղղահայաց են հարթությանը, նրանից ուղղված երկու ուղղություններով և ամենուր ունեն նույն խտությունը։ Իրոք, եթե տարբեր կետերում ուժի գծերի խտությունը տարբեր լինեին, ապա լիցքավորված հարթության շարժումն ինքնին կհանգեցներ դաշտի փոփոխության այդ կետերում, ինչը հակասում է համակարգի համաչափությանը. նման տեղաշարժը չպետք է լինի: փոխել դաշտը. Այլ կերպ ասած, անսահման միատեսակ լիցքավորված հարթության դաշտը միատեսակ է։

Որպես Գաուսի թեորեմի կիրառման փակ մակերևույթ՝ ընտրում ենք գլանի մակերեսը, որը կառուցված է հետևյալ կերպ. դրա կողմերը (նկ. 12): Դաշտի ուժգնության հոսքը կողային մակերևույթի միջով զրոյական է, հետևաբար փակ մակերևույթի միջով ընդհանուր հոսքը հավասար է մխոցի հիմքի միջով անցնող հոսքի գումարին.

Բրինձ. 12. Հավասար լիցքավորված հարթության դաշտի ուժի հաշվարկին

Գաուսի թեորեմի համաձայն, նույն հոսքը որոշվում է հարթության այն մասի լիցքով, որը գտնվում է գլանում, իսկ SI-ում հավասար է:Հոսքի այս արտահայտությունները համեմատելով՝ մենք գտնում ենք.

CGSE համակարգում հավասարաչափ լիցքավորված անսահման հարթության դաշտի ուժգնությունը տրվում է բանաձևով

Վերջնական չափերի միատեսակ լիցքավորված ափսեի համար ստացված արտահայտությունները մոտավորապես վավերական են ափսեի եզրերից բավական հեռու և դրա մակերեսից ոչ շատ հեռու գտնվող տարածքում: Թիթեղի եզրերի մոտ դաշտն այլևս միատարր չի լինի, և դրա ուժի գծերը թեքված են: Շատ մեծ հեռավորությունների վրա՝ համեմատած ափսեի չափսերի հետ, դաշտը հեռավորության հետ նվազում է այնպես, ինչպես կետային լիցքի դաշտը։

Որպես սիմետրիկ բաշխված աղբյուրներով ստեղծված դաշտերի այլ օրինակներ, կարելի է մեջբերել անսահման ուղղագիծ թելի դաշտը, որը հավասարապես լիցքավորված է երկարությամբ, միատեսակ լիցքավորված անսահման շրջանաձև գլան, գնդիկի դաշտ,

հավասարաչափ լիցքավորված ծավալով և այլն: Գաուսի թեորեմը թույլ է տալիս հեշտությամբ հաշվարկել դաշտի ուժգնությունը բոլոր այս դեպքերում:

Գաուսի թեորեմը կապ է տալիս դաշտի և դրա աղբյուրների միջև, ինչ-որ իմաստով հակառակը, որը տալիս է Կուլոնի օրենքը, որը թույլ է տալիս որոշել էլեկտրական դաշտը տվյալ լիցքերի համար: Օգտագործելով Գաուսի թեորեմը, հնարավոր է որոշել ընդհանուր լիցքը տարածության ցանկացած տարածքում, որտեղ հայտնի է էլեկտրական դաշտի բաշխումը։

Ո՞րն է տարբերությունը հեռահար և կարճ հեռահարության գործողության հասկացությունների միջև էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցությունը նկարագրելիս: Որքանո՞վ կարող են այս հասկացությունները կիրառվել գրավիտացիոն փոխազդեցության համար:

Ի՞նչ է էլեկտրական դաշտի ուժը: Ի՞նչ նկատի ունեն, երբ դա անվանում են էլեկտրական դաշտին բնորոշ ուժ։

Ինչպե՞ս կարելի է դաշտի գծերի օրինակից դատել դաշտի ուժի ուղղությունն ու մոդուլը որոշակի կետում:

Կարո՞ղ են էլեկտրական դաշտի ուժի գծերը հատվել: Պատճառաբանեք ձեր պատասխանը:

Գծե՛ք երկու լիցքերի էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժի գծերի որակական պատկերը, որպեսզի.

Էլեկտրական դաշտի ուժգնության հոսքը փակ մակերևույթի միջով արտահայտվում է տարբեր բանաձևերով (11) և (12) GSE-ի և SI-ի միավորների համակարգերում: Ինչպես հաշտեցնել սա երկրաչափական իմաստհոսքը որոշվում է մակերեսը հատող ուժի գծերի քանակով:

Ինչպե՞ս օգտագործել Գաուսի թեորեմը՝ գտնելու էլեկտրական դաշտի ուժը՝ այն ստեղծող լիցքերի սիմետրիկ բաշխմամբ:

Ինչպե՞ս կիրառել (14) և (15) բանաձևերը բացասական լիցք ունեցող գնդիկի դաշտի ուժի հաշվարկում:

Գաուսի թեորեմը և ֆիզիկական տարածության երկրաչափությունը։Եկեք նայենք Գաուսի թեորեմի ապացուցմանը մի փոքր այլ տեսանկյունից։ Վերադառնանք բանաձևին (7), որտեղից եզրակացություն արվեց, որ նույն թվով ուժային գծեր են անցնում լիցքը շրջապատող ցանկացած գնդաձև մակերևույթով։ Այս եզրակացությունը պայմանավորված է նրանով, որ կա հավասարության երկու կողմերի հայտարարների կրճատում։

Աջ կողմում առաջացել է այն փաստը, որ լիցքերի փոխազդեցության ուժը, որը նկարագրված է Կուլոնի օրենքով, հակադարձ համեմատական ​​է լիցքերի միջև հեռավորության քառակուսուն: Ձախ կողմում արտաքին տեսքը կապված է երկրաչափության հետ՝ ոլորտի մակերեսը համաչափ է նրա շառավիղի քառակուսու հետ։

Մակերեւույթի մակերեսի համաչափությունը գծային չափերի քառակուսու հետ եռաչափ տարածության մեջ էվկլիդեսյան երկրաչափության հատկանիշն է։ Իրոք, տարածքների համաչափությունը հենց գծային չափերի քառակուսիներին, և ոչ թե որևէ այլ ամբողջ աստիճանի, բնորոշ է տարածությանը.

եռաչափ. Այն փաստը, որ այս ցուցանիշը ճիշտ երկու է, և չի տարբերվում երկուսից, թեկուզ աննշան չափով, վկայում է այս եռաչափ տարածության ոչ կորության մասին, այսինքն՝ նրա երկրաչափությունը հենց էվկլիդեսյան է։

Այսպիսով, Գաուսի թեորեմը ֆիզիկական տարածության հատկությունների դրսեւորումն է էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցության հիմնարար օրենքի մեջ։

Ֆիզիկայի հիմնարար օրենքների և տարածության հատկությունների միջև սերտ կապի գաղափարը արտահայտվել է շատերի կողմից ականավոր մտքերայդ օրենքների հաստատումից շատ առաջ: Այսպիսով, Ի. Կանտը Կուլոնի օրենքի հայտնաբերումից երեք տասնամյակ առաջ գրել է տարածության հատկությունների մասին. «Եռաչափությունը տեղի է ունենում, ըստ երևույթին, քանի որ գոյություն ունեցող աշխարհում նյութերը միմյանց վրա գործում են այնպես, որ գործողության ուժը հակադարձ է. հեռավորության քառակուսու համեմատ»։

Կուլոնի օրենքը և Գաուսի թեորեմը իրականում ներկայացնում են բնության նույն օրենքը, որն արտահայտված է տարբեր ձևեր... Կուլոնի օրենքն արտացոլում է հեռահար գործողության հայեցակարգը, մինչդեռ Գաուսի թեորեմը բխում է ուժային դաշտի հայեցակարգից, որը լրացնում է տարածությունը, այսինքն՝ փոքր հեռահարության գործողության հայեցակարգից։ Էլեկտրաստատիկայում ուժային դաշտի աղբյուրը լիցքն է, իսկ աղբյուրի հետ կապված դաշտի բնութագիրը՝ ինտենսիվության հոսքը, չի կարող փոխվել դատարկ տարածության մեջ, որտեղ այլ լիցքեր չկան։ Քանի որ հոսքը կարելի է պատկերացնել որպես ուժի դաշտային գծերի մի շարք, հոսքի անփոփոխությունը դրսևորվում է այս գծերի շարունակականության մեջ:

Գաուսի թեորեմը, որը հիմնված է հեռավորության քառակուսու փոխազդեցության հակադարձ համեմատության և սուպերպոզիցիային (փոխազդեցության հավելյալություն) սկզբունքի վրա, կիրառելի է ցանկացած ֆիզիկական դաշտի համար, որտեղ գործում է հակադարձ քառակուսի օրենքը։ Մասնավորապես, այն գործում է նաև գրավիտացիոն դաշտի համար։ Հասկանալի է, որ սա պարզապես պատահական զուգադիպություն չէ, այլ արտացոլում է այն փաստը, որ ինչպես էլեկտրական, այնպես էլ գրավիտացիոն փոխազդեցությունները տեղի են ունենում եռաչափ Էվկլիդեսյան ֆիզիկական տարածության մեջ:

Էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցության օրենքի ո՞ր հատկանիշի վրա է հիմնված Գաուսի թեորեմը։

Ապացուցեք, հիմնվելով Գաուսի թեորեմի վրա, որ կետային լիցքի էլեկտրական դաշտի ուժգնությունը հակադարձ համեմատական ​​է հեռավորության քառակուսուն։ Տարածության համաչափության ի՞նչ հատկություններ են օգտագործվում այս ապացույցում:

Ինչպե՞ս է ֆիզիկական տարածության երկրաչափությունն արտացոլված Կուլոնի օրենքում և Գաուսի թեորեմում: Այս օրենքների ո՞ր հատկանիշն է վկայում ֆիզիկական տարածության երկրաչափության և եռաչափության էվկլիդեսյան բնույթի մասին։

Ներկայացնենք էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքի հայեցակարգը: Դիտարկենք անսահման փոքր տարածք: Շատ դեպքերում անհրաժեշտ է իմանալ ոչ միայն կայքի չափը, այլև դրա կողմնորոշումը տարածության մեջ: Ներկայացնենք վեկտոր-պլատֆորմ հասկացությունը։ Եկեք համաձայնվենք վեկտոր-կայք ասելով, որ նկատի ունենանք տեղանքին ուղղահայաց և թվայինորեն հավասար տեղանքի չափին ուղղված վեկտոր:

Նկար 1 - Վեկտորի սահմանմանը `կայք

Եկեք անվանենք վեկտորային հոսք ամբողջ կայքում
վեկտորների կետային արտադրյալ և
... Այս կերպ,

Վեկտորային հոսք կամայական մակերեսի միջոցով հայտնաբերվում է բոլոր տարրական հոսքերի ինտեգրմամբ

(4)

Եթե ​​դաշտը միատարր է և հարթ գտնվում է դաշտին ուղղահայաց, ապա.

. (5)

Վերոնշյալ արտահայտությունը որոշում է կայք ներթափանցող ուժի գծերի քանակը ժամանակի միավորի համար:

Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմ. Էլեկտրական դաշտի ուժի շեղում

Էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքը կամայական փակ մակերեսով հավասար է ազատ էլեկտրական լիցքերի հանրահաշվական գումարին ծածկված այս մակերեսով

(6)

Արտահայտությունը (6) է Թեորեմ O-Gինտեգրալ ձևով։ 0-D թեորեմը գործում է ինտեգրալ (ընդհանուր) էֆեկտով, այսինքն. եթե
Հայտնի չէ, արդյոք դա նշանակում է լիցքերի բացակայություն տարածության ուսումնասիրված մասի բոլոր կետերում, թե՞ այս տարածության տարբեր կետերում տեղակայված դրական և բացասական լիցքերի գումարը հավասար է զրոյի:

Տվյալ դաշտի համար տեղակայված լիցքերը և դրանց մեծությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորը միացնող հարաբերություն տվյալ կետում նույն կետում լիցքավորմամբ:

Ենթադրենք, մենք պետք է որոշենք լիցքի առկայությունը կետում ա(նկ. 2)

Նկար 2 - Վեկտորային դիվերգենցիայի հաշվարկ

Մենք կիրառում ենք O-G թեորեմը. Էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքը կամայական մակերեսի միջով, որը սահմանում է այն ծավալը, որում գտնվում է կետը ա, հավասար է

Հատորում լիցքերի հանրահաշվական գումարը կարելի է գրել ծավալային ինտեգրալի տեսքով

(7)

որտեղ - լիցքավորում մեկ միավորի ծավալով ;

- ծավալի տարր:

Կետում դաշտի և լիցքի միջև կապ ձեռք բերելու համար ամենք կնվազեցնենք ծավալը՝ մակերեսը քաշելով դեպի կետը ա... Այս դեպքում մենք մեր հավասարության երկու կողմերն էլ բաժանում ենք արժեքի վրա ... Անցնելով սահմանին, մենք ստանում ենք.

.

Ստացված արտահայտության աջ կողմը, ըստ սահմանման, ծավալային լիցքի խտությունն է տարածության դիտարկված կետում։ Ձախ կողմը ներկայացնում է փակ մակերևույթի միջով էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքի հարաբերակցության սահմանը այս մակերեսով սահմանափակված ծավալին, երբ ծավալը ձգտում է զրոյի: Այս սկալյար մեծությունը էլեկտրական դաշտի կարևոր բնութագիրն է և կոչվում է շեղման վեկտոր .

Այս կերպ:

,

հետևաբար

, (8)

որտեղ - զանգվածային լիցքավորման խտություն:

Օգտագործելով այս հարաբերակցությունը, էլեկտրաստատիկության հակադարձ խնդիրը պարզապես լուծվում է, այսինքն. գտնել բաշխված գանձումներ հայտնի դաշտի վրա:

Եթե ​​վեկտորը տրված է, ապա հայտնի են նրա կանխատեսումները
,
,
կոորդինատների առանցքների վրա՝ որպես կոորդինատների ֆունկցիա, և հաշվարկելու լիցքերի բաշխված խտությունը, որոնք ստեղծել են տվյալ դաշտը, պարզվում է, որ բավական է գտնել այս կանխատեսումների երեք մասնակի ածանցյալների գումարը՝ համապատասխան փոփոխականների նկատմամբ: Այն կետերում, որոնց համար
ոչ մի մեղադրանք: Այն կետերում, որտեղ
դրական է, կա դրական լիցք, որի զանգվածային խտությունը հավասար է
, և այն կետերում, որտեղ
կունենա բացասական արժեք, կա բացասական լիցք, որի խտությունը նույնպես որոշվում է դիվերգենցիայի արժեքով։

Արտահայտությունը (8) ներկայացնում է 0-Г թեորեմը դիֆերենցիալ տեսքով: Այս ձևով թեորեմը ցույց է տալիս որ էլեկտրական դաշտի աղբյուրները ազատ էլեկտրական լիցքեր են.էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի ուժի գծերը սկսվում և ավարտվում են, համապատասխանաբար, դրական և բացասական լիցքերի վրա:

Էլեկտրաստատիկայի հիմնական կիրառական խնդիրը տարբեր սարքերում և ապարատներում առաջացած էլեկտրական դաշտերի հաշվարկն է: Ընդհանուր առմամբ, այս խնդիրը լուծվում է Կուլոնի օրենքի և սուպերպոզիցիայի սկզբունքի միջոցով։ Այնուամենայնիվ, այս խնդիրը շատ բարդ է դառնում, երբ հաշվի ենք առնում մեծ թվով կետային կամ տարածական բաշխված վճարներ: Նույնիսկ ավելի մեծ դժվարություններ են առաջանում, երբ տիեզերքում կան դիէլեկտրիկներ կամ հաղորդիչներ, երբ արտաքին E 0 դաշտի ազդեցությամբ միկրոսկոպիկ լիցքերը վերաբաշխվում են՝ ստեղծելով իրենց սեփական լրացուցիչ դաշտը E։ Հետևաբար, այս խնդիրների գործնական լուծման համար օգտագործվում են օժանդակ մեթոդներ։ և տեխնիկան օգտագործվում է բարդ մաթեմատիկական ապարատի միջոցով: Մենք կդիտարկենք Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմի կիրառման վրա հիմնված ամենապարզ մեթոդը։ Այս թեորեմը ձևակերպելու համար մենք ներկայացնում ենք մի քանի նոր հասկացություններ.

Ա) լիցքի խտությունը

Եթե ​​լիցքավորված մարմինը մեծ է, ապա դուք պետք է իմանաք լիցքերի բաշխումը մարմնի ներսում։

Զանգվածային լիցքավորման խտությունը- չափվում է մեկ միավորի ծավալի լիցքով.

Մակերեւութային լիցքավորման խտությունը- չափվում է մարմնի միավորի մակերեսի լիցքով (երբ լիցքը բաշխվում է մակերեսի վրա).

Գծային լիցքավորման խտություն(լիցքի բաշխում դիրիժորի երկայնքով).

բ) վեկտոր էլեկտրաստատիկ ինդուկցիա

Էլեկտրաստատիկ ինդուկցիայի վեկտորով (էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորը) էլեկտրական դաշտը բնութագրող վեկտորային մեծություն։

Վեկտոր հավասար է վեկտորի արտադրյալին տվյալ կետում միջավայրի բացարձակ դիէլեկտրական հաստատունի վրա.

Եկեք ստուգենք չափը Դ SI միավորներով.

քանի որ
,

ապա D և E չափերը չեն համընկնում, և դրանց թվային արժեքները նույնպես տարբեր են:

Սահմանումից հետևում է, որ վեկտորային դաշտի համար նույն սուպերպոզիցիոն սկզբունքն է գործում, ինչ դաշտի համար :

Դաշտ գրաֆիկորեն պատկերված է ինդուկցիայի գծերով, ինչպես դաշտը ... Ինդուկցիոն գծերը գծված են այնպես, որ յուրաքանչյուր կետում շոշափողը համընկնի ուղղության հետ , իսկ տողերի թիվը հավասար է D-ի թվային արժեքին տվյալ վայրում։

Ներածության իմաստը հասկանալու համար Դիտարկենք մի օրինակ։

v) հոսքի վեկտորի էլեկտրաստատիկ ինդուկցիա

Դիտարկենք S մակերեսը էլեկտրական դաշտում և ընտրե՛ք նորմալի ուղղությունը

1. Եթե դաշտը միատարր է, ապա S մակերևույթով անցնող ուժի գծերի թիվը.

2. Եթե դաշտը անհամասեռ է, ապա մակերեսը բաժանվում է անվերջ փոքր տարրերի dS, որոնք համարվում են հարթ և նրանց շուրջը միատարր է։ Հետևաբար, մակերեսային տարրի միջով հոսքը հետևյալն է. dN = D n dS,

և ընդհանուր հոսքը ցանկացած մակերեսով.

(6)

Ինդուկցիայի N հոսքը սկալյար մեծություն է. կախված -ից կարող է լինել> 0 կամ< 0, или = 0.