Ածանցյալ հավասարման երկրաչափական նշանակությունը. երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակություն. Պարաբոլային շոշափող

Ածանցյալ(գործում է մի կետում) - հիմնական հասկացություն դիֆերենցիալ հաշվարկբնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը (տվյալ կետում): Սահմանվում է որպես սահմանֆունկցիայի աճի և նրա աճի հարաբերակցությունը փաստարկերբ փորձում եք արգումենտը ավելացնել մինչև զրոեթե այդպիսի սահման կա. Այն ֆունկցիան, որն ունի վերջավոր ածանցյալ (որոշ կետում) կոչվում է դիֆերենցիալ (տվյալ կետում):

Ածանցյալի հաշվարկման գործընթացը կոչվում է տարբերակում. Հակադարձ գործընթաց՝ գտնել պարզունակ - ինտեգրում.

Եթե ​​ֆունկցիան տրված է գրաֆիկով, ապա դրա ածանցյալը յուրաքանչյուր կետում հավասար է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքության շոշափմանը: Իսկ եթե ֆունկցիան տրված է բանաձևով, ապա ձեզ կօգնեն ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման կանոնները, այսինքն՝ ածանցյալը գտնելու կանոնները։

4. Բարդ և հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալ:

Թող հիմա տրվի բարդ գործառույթ , այսինքն. փոփոխականը փոփոխականի ֆունկցիա է, իսկ փոփոխականն իր հերթին անկախ փոփոխականի ֆունկցիա է։

Թեորեմ . Եթե Եվ  տարբերակելի իր արգումենտների գործառույթները, ապա բարդ ֆունկցիա տարբերվող ֆունկցիա է, և դրա ածանցյալը հավասար է տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ.

.

Պնդումը հեշտությամբ ստացվում է ակնհայտ հավասարությունից (վավեր է և )-ի համար (վավերական է և )-ի համար (որը, դիֆերենցիալ ֆունկցիայի շարունակականության պատճառով, ենթադրում է) սահմանին:

Անցնենք ածանցյալի դիտարկմանը հակադարձ ֆունկցիա.

Թող դիֆերենցիալ ֆունկցիան բազմության վրա ունենա արժեքների հավաքածու, իսկ բազմության վրա գոյություն ունի հակադարձ ֆունկցիա .

Թեորեմ . Եթե ​​կետում ածանցյալ , ապա հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը կետում գոյություն ունի և հավասար է տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալի փոխադարձին: , կամ

Այս բանաձևը հեշտությամբ կարելի է ձեռք բերել երկրաչափական նկատառումներից:

Տ քանի որ առկա է շոշափող գծի թեքության անկյան շոշափում դեպի առանցքը, այսինքն՝ նույն շոշափողի (նույն ուղիղի) թեքության անկյան շոշափողը նույն կետում դեպի առանցքը։

Եթե ​​դրանք սուր են, ապա , իսկ եթե դրանք բութ են, ապա .

Երկու դեպքում էլ . Այս հավասարությունը համարժեք է հավասարությանը

5.Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը.

1) ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը.

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան և նրա x արգումենտը ֆիզիկական մեծություններ են, ապա ածանցյալը y փոփոխականի փոփոխության արագությունն է x փոփոխականի նկատմամբ մի կետում: Օրինակ, եթե S \u003d S (t) t ժամանակի մի կետի անցած ճանապարհն է, ապա դրա ածանցյալը տվյալ պահին արագությունն է: Եթե ​​q = q(t) t ժամանակում հաղորդիչի խաչմերուկով հոսող էլեկտրաէներգիայի քանակն է, ապա տվյալ պահին էլեկտրաէներգիայի քանակի փոփոխության արագությունն է, այսինքն. ընթացիկ ուժը միաժամանակ:

2) ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Թող լինի ինչ-որ կոր, լինի մի կետ կորի վրա:

Ցանկացած ուղիղ, որը հատում է առնվազն երկու կետ, կոչվում է սեկանտ։

Կետում կորի շոշափողը հատվածի սահմանափակող դիրքն է, եթե կետը հակված է դեպի կորի երկայնքով շարժվելը:

Սահմանումից ակնհայտ է, որ եթե մի կետում գոյություն ունի կորի շոշափում, ապա այն եզակի է:

Դիտարկենք y = f(x) կորը (այսինքն՝ y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը): Թողեք կետում այն ունի ոչ ուղղահայաց շոշափող: Դրա հավասարումը հետևյալն է. (Կետի միջով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը և ունենալով լանջինժա):

Լանջի գործակցի սահմանմամբ, որտեղ է ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի առանցքը:

Թող լինի հատվածի թեքության անկյունը դեպի առանցքը, որտեղ. Քանի որ շոշափող է, ուրեմն

հետևաբար,

Այսպիսով, մենք ստացել ենք, որ այն կետում y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունն է: (կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը): Հետևաբար, կետում y = f(x) կորի շոշափողի հավասարումը կարելի է գրել ձևով

Թեմա. Ածանցյալ. Ածանցյալի երկրաչափական և մեխանիկական նշանակությունը

Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի, ապա ֆունկցիան համարվում է տարբերվող մի կետում: Նշվում է ֆունկցիայի ածանցյալը (բանաձև 2):

1. երկրաչափական իմաստածանցյալ. Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Նկար 1-ից երևում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկի A և B ցանկացած երկու կետերի համար կարելի է գրել 3) բանաձևը։ Դրանում - AB հատվածի թեքության անկյունը:

Այսպիսով, տարբերության հարաբերակցությունը հավասար է սեկենտի թեքությանը: Եթե ​​ամրագրենք A կետը և B կետը տեղափոխենք դեպի այն, ապա այն անորոշ ժամանակով նվազում է և մոտենում 0-ին, իսկ AB հատվածը մոտենում է շոշափող AC-ին։ Հետևաբար, տարբերության հարաբերության սահմանը հավասար է A կետի շոշափողի թեքությանը: Հետևաբար հետևում է եզրակացությունը.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունն է: Սա ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունն է։

1. Շոշափող հավասարում . Բերենք կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը։ Ընդհանուր դեպքում թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև՝ . b-ն գտնելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ շոշափողը անցնում է A կետով. Սա ենթադրում է. Այս արտահայտությունը b-ով փոխարինելով՝ ստանում ենք շոշափող հավասարումը (բանաձև 4):

Դասախոսություն: Գործառույթի ածանցյալ հասկացությունը, ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Դիտարկենք f(x) մի քանի ֆունկցիա, որը շարունակական կլինի դիտարկման ողջ միջակայքում: Քննարկվող միջակայքում մենք ընտրում ենք x 0 կետը, ինչպես նաև այս կետի ֆունկցիայի արժեքը։

Այսպիսով, եկեք նայենք մի գրաֆիկի, որի վրա մենք նշում ենք մեր կետը x 0, ինչպես նաև կետը (x 0 + ∆x): Հիշեցնենք, որ ∆x-ը երկու ընտրված կետերի հեռավորությունն է (տարբերությունը):

Արժե նաև հասկանալ, որ յուրաքանչյուր x համապատասխանում է y ֆունկցիայի իր արժեքին։

Ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունը x 0 կետում և (x 0 + ∆x) կոչվում է այս ֆունկցիայի աճ. ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0):

Եկեք ուշադրություն դարձնենք գծապատկերում առկա լրացուցիչ տեղեկատվությանը. սա այն հատվածն է, որը կոչվում է KL, ինչպես նաև այն եռանկյունին, որը կազմում է KN և LN ընդմիջումներով:

Անկյունը, որի վրա գտնվում է հատվածը, կոչվում է նրա թեքության անկյուն և նշանակվում α-ով։ Հեշտությամբ կարելի է որոշել, որ LKN անկյան աստիճանի չափումը նույնպես հավասար է α-ի։

Եվ հիմա հիշենք ուղղանկյուն եռանկյան հարաբերությունները tgα = LN / KN = ∆у / ∆х:

Այսինքն՝ սեկանտի թեքության շոշափողը հավասար է ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերությանը։

Մի ժամանակ ածանցյալը ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է արգումենտի աճին անվերջ փոքր ընդմիջումներով։

Ածանցյալը որոշում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը որոշակի տարածքում:

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Եթե ​​ինչ-որ պահի գտնում եք որևէ ֆունկցիայի ածանցյալ, ապա կարող եք որոշել, թե որ անկյունը, որով գրաֆիկին շոշափողը կլինի տվյալ հոսանքի մեջ՝ համեմատած OX առանցքի: Ուշադրություն դարձրեք գրաֆիկին. շոշափողի թեքության անկյունը նշվում է φ տառով և որոշվում է k գործակցով ուղիղ գծի հավասարման մեջ. y \u003d kx + b:

Այսինքն՝ կարող ենք եզրակացնել, որ ածանցյալի երկրաչափական իմաստը ֆունկցիայի ինչ-որ կետում շոշափողի թեքության շոշափումն է։

Դասի նպատակները.

Ուսանողները պետք է իմանան.

• ինչ կոչվում է ուղիղ գծի թեքություն;
• գծի և x առանցքի միջև ընկած անկյունը;
• ո՞րն է ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.
• ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը.
• պարաբոլային շոշափող կառուցելու մեթոդ;
• կարողանալ գործնականում կիրառել տեսական գիտելիքները.

Դասի նպատակները.

Ուսումնական. պայմաններ ստեղծել ուսանողների համար ածանցյալի մեխանիկական և երկրաչափական նշանակության հասկացությունների հետ տիրապետելու գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների համակարգին:

Ուսումնական՝ ուսանողների մոտ ձևավորել գիտական ​​աշխարհայացք.

Զարգացնել ուսանողների ճանաչողական հետաքրքրությունը, ստեղծագործական կարողությունը, կամքը, հիշողությունը, խոսքը, ուշադրությունը, երևակայությունը, ընկալումը:

Ուսումնական և ճանաչողական գործունեության կազմակերպման մեթոդներ.

• տեսողական;
• գործնական;
• մտավոր գործունեության վրա՝ ինդուկտիվ;
• ըստ նյութի յուրացման՝ մասամբ հետախուզական, վերարտադրողական;
• ըստ անկախության աստիճանի՝ լաբորատոր աշխատանք;
• խթանող՝ խրախուսում;
• հսկողություն՝ բանավոր ճակատային հետազոտություն։

Դասի պլան

1. Բանավոր վարժություններ (գտեք ածանցյալը)
2. Ուսանողի զեկույց «Մաթեմատիկական վերլուծության առաջացման պատճառները» թեմայով:
3. Նոր նյութ սովորելը
4. Ֆիզ. Րոպե.
5. Խնդրի լուծում.
6. Լաբորատոր աշխատանք.
7. Ամփոփելով դասը.
8. Մեկնաբանելով տնային աշխատանքը.

Սարքավորումներ՝ մուլտիմեդիա պրոյեկտոր (պրեզենտացիա), քարտեր ( լաբորատոր աշխատանք).

«Մարդը ինչ-որ բանի է հասնում միայն այնտեղ, որտեղ հավատում է իրեն»

Լ.Ֆոյերբախ

Դասի կազմակերպումը ամբողջ դասի ընթացքում, սովորողների պատրաստակամությունը դասին, կարգուկանոնը և կարգապահությունը:

Ուսանողների համար ուսումնական նպատակների սահմանում ինչպես ամբողջ դասի, այնպես էլ դրա առանձին փուլերի համար:

Որոշե՛ք ուսումնասիրվող նյութի նշանակությունը թե՛ այս թեմայում, թե՛ ողջ դասընթացի համար։

Բանավոր հաշվում

1. Գտեք ածանցյալներ.

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Տրամաբանական թեստ.

ա) Տեղադրեք բաց թողնված արտահայտությունը.

Գիտության զարգացման ընդհանուր ուղղությունը, ի վերջո, որոշվում է մարդկային գործունեության պրակտիկայի պահանջներով։ Կառավարման բարդ հիերարխիկ համակարգով հնագույն պետությունների գոյությունն անհնարին կլիներ առանց թվաբանության և հանրահաշվի բավարար զարգացման, քանի որ հարկերի հավաքագրումը, բանակի մատակարարումների կազմակերպումը, պալատների և բուրգերի կառուցումը, ոռոգման համակարգերի ստեղծումը պահանջում էին։ բարդ հաշվարկներ. Վերածննդի դարաշրջանում միջնադարյան աշխարհի տարբեր մասերի միջև ընդլայնվել են կապերը, զարգացել առևտուրն ու արհեստները։ Սկսվում է արտադրության տեխնիկական մակարդակի արագ բարձրացում, էներգիայի նոր աղբյուրներ օգտագործվում են արդյունաբերական ճանապարհով, որոնք կապված չեն մարդկանց կամ կենդանիների մկանային ջանքերի հետ։ XI–XII դարերում առաջացել են ֆուլլերներ և ջուլհակներ, իսկ XV-ի կեսերին՝ տպարան։ Այս ժամանակաշրջանում հասարակական արտադրության արագ զարգացման անհրաժեշտության հետ կապված՝ փոխվում է բնագիտության էությունը, որը նկարագրական է դեռ հնուց։ Բնական գիտության նպատակը դառնում է ոչ թե առարկաների, այլ բնական գործընթացների խորը ուսումնասիրությունը: Անտիկ ժամանակաշրջանի նկարագրական բնագիտությունը համապատասխանում էր մաթեմատիկային, որը գործում էր հաստատուն արժեքներով։ Անհրաժեշտ էր ստեղծել մաթեմատիկական ապարատ, որը նկարագրեր ոչ թե գործընթացի արդյունքը, այլ դրա հոսքի բնույթն ու դրա բնորոշ օրենքները: Արդյունքում 12-րդ դարի վերջում Նյուտոնը Անգլիայում և Լայբնիցը Գերմանիայում ավարտեցին մաթեմատիկական վերլուծության ստեղծման առաջին փուլը։ Ի՞նչ է «մաթեմատիկական վերլուծությունը»: Ինչպե՞ս կարելի է բնութագրել և կանխատեսել որևէ գործընթացի առանձնահատկությունները: Օգտագործե՞լ այս հնարավորությունները: Ավելի խորը թափանցե՞լ այս կամ այն ​​երեւույթի էության մեջ։

Եկեք գնանք Նյուտոնի և Լայբնիցի ճանապարհով և տեսնենք, թե ինչպես կարող ենք վերլուծել գործընթացը՝ այն դիտարկելով որպես ժամանակի ֆունկցիա։

Ներկայացնենք մի քանի հասկացություններ, որոնք կօգնեն մեզ հետագա:

y=kx+ b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ է, կոչվում է k թիվը ուղիղ գծի թեքությունը. k=tg, որտեղ է ուղիղ գծի անկյունը, այսինքն՝ այս ուղիղ գծի և Ox առանցքի դրական ուղղության անկյունը։

Նկար 1

Դիտարկենք y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Ցանկացած երկու կետի միջով գծե՛ք հատված, օրինակ՝ AM հատվածով: (նկ.2)

Կ=տգ հատվածի թեքությունը։ Ուղղանկյուն եռանկյունու AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Նկար 2

Նկար 3

«Արագություն» տերմինն ինքնին բնութագրում է մի մեծության փոփոխության կախվածությունը մյուսի փոփոխությունից, և վերջինս պարտադիր չէ, որ լինի ժամանակ:

Այսպիսով, կտրվածքի թեքության շոշափողը tg = .

Մեզ հետաքրքրում է արժեքների փոփոխության կախվածությունը ավելի կարճ ժամանակահատվածում։ Եկեք ուղղենք փաստարկի աճը զրոյի: Այնուհետև բանաձևի աջ կողմը A կետի ֆունկցիայի ածանցյալն է (բացատրեք, թե ինչու): Եթե ​​x -> 0, ապա M կետը շարժվում է գրաֆիկի երկայնքով դեպի A կետ, ինչը նշանակում է, որ AM ուղիղը մոտենում է AB որոշ ուղղին, որը A կետում y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող. (նկ.3)

Սեկանտի թեքության անկյունը ձգտում է դեպի շոշափողի թեքության անկյունը։

Ածանցյալի երկրաչափական իմաստն այն է, որ ածանցյալի արժեքը կետում հավասար է տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությանը:

Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը.

Տանգենսի թեքության շոշափողը տվյալ կետում ֆունկցիայի փոփոխության ակնթարթային արագությունը ցույց տվող արժեք է, այսինքն՝ ուսումնասիրվող գործընթացի նոր բնութագիր։ Լայբնիցն անվանել է այս մեծությունը ածանցյալ, իսկ Նյուտոնն ասաց, որ ակնթարթային արագություն.

Թիվ 91(1) էջ 91 - ցույց տալ գրատախտակին:

f (x) \u003d x 3 կորի վրա շոշափողի թեքությունը x 0 - 1 կետում այս ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքն է x \u003d 1: f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3:

Թիվ 91 (3.5) - թելադրանքով.

Թիվ 92 (1) - տախտակի վրա ըստ ցանկության:

Թիվ 92 (3) - ինքնուրույն բանավոր ստուգմամբ։

Թիվ 92 (5) - տախտակի մոտ.

Պատասխաններ՝ 45 0, 135 0, 1.5 e 2:

Նպատակը. «ածանցյալի մեխանիկական նշանակություն» հասկացության մշակում:

Ածանցյալի կիրառությունները մեխանիկայի մեջ.

Տրված է կետի ուղղագիծ շարժման օրենքը x = x(t), t.

1. Շարժման միջին արագությունը նշված ժամանակահատվածում.
2. Արագություն և արագացում t 04 ժամանակում
3. կանգառի կետեր; արդյոք կետը կանգ առնելու պահից հետո շարունակում է շարժվել նույն ուղղությամբ, թե՞ սկսում է շարժվել հակառակ ուղղությամբ.
4. Շարժման ամենաբարձր արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում:

Աշխատանքը կատարվում է ըստ 12 տարբերակի, առաջադրանքները տարբերվում են ըստ բարդության աստիճանի (առաջին տարբերակը բարդության ամենացածր մակարդակն է)։

Աշխատանքն սկսելուց առաջ զրույց հետևյալ հարցերի շուրջ.

1. Ո՞րն է տեղաշարժման ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը: (Արագություն):
2. Կարո՞ղ եք գտնել արագության ածանցյալը: Արդյո՞ք այս քանակությունը օգտագործվում է ֆիզիկայում: Ինչ է դա կոչվում: (Արագացում):
3. Ակնթարթային արագությունը զրոյական է: Ի՞նչ կարելի է ասել այս պահին մարմնի շարժման մասին։ (Սա կանգառի կետն է):
4. Ո՞րն է հետևյալ պնդումների ֆիզիկական նշանակությունը. t 0 կետում շարժման ածանցյալը հավասար է զրոյի; Արդյո՞ք ածանցյալը նշան է փոխվում t 0 կետով անցնելիս: (Մարմինը կանգ է առնում, շարժման ուղղությունը փոխվում է հակառակը):

Աշխատանքի նմուշ ուսանողների համար.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

Նկար 4

Հակառակ ուղղությամբ.

Եկեք գծենք արագության սխեմատիկ գրաֆիկ: Ամենաբարձր արագությունը հասնում է կետում

t=10, v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

Նկար 5

1) Ո՞րն է ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը:
2) Ո՞րն է ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը:
3) եզրակացություն արեք ձեր աշխատանքի մասին.

Էջ 90։ Թիվ 91 (2,4,6), թիվ 92 (2,4,6,), էջ 92 թիվ 112։

Օգտագործված գրքեր

• Դասագիրք Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ.
  Հեղինակներ՝ Յու.Մ. Կոլյագին, Մ.Վ. Տկաչևա, Ն.Ե. Ֆեդորովա, Մ.Ի. Շաբունին.
  Խմբագրվել է A. B. Zhizhchenko- ի կողմից:
• Հանրահաշիվ 11-րդ դասարան. Դասի պլաններ ըստ Շ.Ա.Ալիմովի, Յու.Մ.Կոլյագինի, Յու.Վ.Սիդորովի դասագրքի: Մաս 1.
• Ինտերնետային ռեսուրսներ. http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Ածանցյալի երկրաչափական արժեքը պարզելու համար դիտարկենք y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Վերցրեք կամայական M կետը կոորդինատներով (x, y) և դրան մոտ N կետ (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y): Եկեք գծենք $\overline(M_(1) M)$ և $\overline(N_(1) N)$ օրդինատները և M կետից գծենք OX առանցքին զուգահեռ ուղիղ:

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ հարաբերակցությունը $\alpha $1 անկյան շոշափումն է, որը ձևավորվում է OX առանցքի դրական ուղղությամբ MN հատվածով: Քանի որ $\Delta $x-ը հակված է զրոյի, N կետը կմոտենա M-ին, և M կետում կորի շոշափողը կդառնա MN հատվածի սահմանային դիրքը: Այսպիսով, f`(x) ածանցյալը հավասար է շոշափողին: $\alpha $ անկյան կողմից, որը ձևավորվում է շոշափողի կողմից OX առանցքի դրական ուղղվածությամբ M (x, y) կետում կորի համար - շոշափողի թեքություն (նկ. 1):

Նկար 1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Արժեքները (1) բանաձևերի միջոցով հաշվարկելիս կարևոր է չսխալվել նշաններում, քանի որ. աճը կարող է բացասական լինել:

Կորի վրա ընկած N կետը ցանկացած կողմից կարող է մոտենալ M-ին։ Այսպիսով, եթե Նկար 1-ում շոշափողին տրված է հակառակ ուղղությունը, $\alpha $ անկյունը կփոխվի $\pi $-ով, ինչը էականորեն կազդի անկյան շոշափման և, համապատասխանաբար, թեքության վրա:

Արդյունք

Հետևում է, որ ածանցյալի գոյությունը կապված է y = f(x) կորի վրա շոշափողի առկայության հետ, իսկ թեքությունը -- tg $\alpha $ = f`(x) վերջավոր է։ Ուստի շոշափողը չպետք է զուգահեռ լինի OY առանցքին, հակառակ դեպքում $\alpha $ = $\pi $/2, իսկ անկյան շոշափողը կլինի անվերջ։

Որոշ կետերում շարունակական կորը կարող է չունենալ շոշափող կամ ունենալ OY առանցքին զուգահեռ շոշափող (նկ. 2): Այդ դեպքում ֆունկցիան այս արժեքներում չի կարող ունենալ ածանցյալ: Ֆունկցիայի կորի վրա կարող է լինել ցանկացած թվով նման կետեր:

Նկար 2. Կորի բացառիկ կետերը

Դիտարկենք Նկար 2-ը: Թող $\Delta $x-ը բացասական կամ դրական արժեքներից զրոյի հակված լինի.

\[\Դելտա x\մինչև -0\սկիզբ(զանգված)(cc) () & (\Դելտա x\մինչև +0) \վերջ (զանգված)\]

Եթե ​​այս դեպքում (1) հարաբերություններն ունեն վերջավոր միջանցք, ապա այն նշվում է հետևյալ կերպ.

Առաջին դեպքում՝ ածանցյալը ձախ կողմում, երկրորդում՝ ածանցյալը՝ աջ։

Սահմանի առկայությունը խոսում է ձախ և աջ ածանցյալների համարժեքության և հավասարության մասին.

Եթե ​​ձախ և աջ ածանցյալները հավասար չեն, ապա այս կետում կան շոշափողներ, որոնք զուգահեռ չեն OY-ին (կետ M1, նկ. 2): M2, M3 կետերում հարաբերությունները (1) հակված են դեպի անսահմանություն:

M2-ից ձախ N կետերի համար $\Delta $x $

$M_2$-ից աջ, $\Delta $x $>$ 0, բայց արտահայտությունը նաև f(x + $\Delta $x) -- f(x) $ է:

$M_3$ կետի համար ձախ կողմում $\Delta $x $$ 0 և f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, այսինքն. արտահայտությունները (1) երկուսն էլ դրական են ձախ և աջ կողմում և հակված են +$\infty $-ի երկուսն էլ, երբ $\Delta $x-ը մոտենում է -0-ին և +0-ին:

Գծի կոնկրետ կետերում (x = c) ածանցյալի բացակայության դեպքը ներկայացված է Նկար 3-ում:

Գծապատկեր 3. Ածանցյալների բացակայություն

Օրինակ 1

Նկար 4-ը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկը և գրաֆիկին շոշափողը $x_0$ աբսցիսայով կետում: Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը աբսցիսայում:

Լուծում. Մի կետում ածանցյալը հավասար է ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերությանը: Ընտրենք շոշափողի վրա ամբողջ կոորդինատներով երկու կետ: Օրինակ, դրանք լինեն F (-3.2) և C (-2.4) կետերը: