Остроградский - Гауссын теорем. Гауссын теорем Электростатик индукцийн векторын урсгал

Электростатикийн хэрэглээний гол ажил бол янз бүрийн төхөөрөмж, төхөөрөмжид үүссэн цахилгаан талбайн тооцоо юм. Ерөнхийдөө энэ асуудлыг Кулоны хууль ба суперпозиция зарчмыг ашиглан шийддэг. Гэсэн хэдий ч олон тооны цэг эсвэл орон зайд хуваарилагдсан цэнэгийг авч үзэхэд энэ даалгавар маш төвөгтэй болдог. Орон зайд диэлектрик эсвэл дамжуулагч байх үед гаднах талбайн E 0-ийн нөлөөн дор микроскопийн цэнэг дахин хуваарилагдаж, өөрсдийн нэмэлт E талбарыг бий болгоход илүү их бэрхшээлүүд үүсдэг. Тиймээс эдгээр асуудлыг практик шийдвэрлэхэд туслах аргууд болон техникийг математикийн нарийн төвөгтэй аппарат ашиглан ашигладаг. Бид Остроградский - Гауссын теоремыг ашиглахад үндэслэсэн хамгийн энгийн аргыг авч үзэх болно. Энэ теоремыг томъёолохын тулд бид хэд хэдэн шинэ ойлголтуудыг танилцуулж байна.

A) цэнэгийн нягт

Хэрэв цэнэглэгдсэн бие нь том бол биеийн доторх цэнэгийн тархалтыг мэдэх хэрэгтэй.

Бөөн цэнэгийн нягт- нэгж эзэлхүүний цэнэгээр хэмжигддэг:

Гадаргуугийн цэнэгийн нягт- биеийн нэгж гадаргуу дээрх цэнэгээр хэмжигддэг (цэнэг нь гадаргуу дээр тархсан үед):

Шугаман цэнэгийн нягт(дамжуулагчийн дагуу цэнэгийн хуваарилалт):

б) вектор электростатик индукц

Электростатик индукцийн вектороор (цахилгаан шилжилтийн вектор) нь цахилгаан орныг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн юм.

Вектор векторын үржвэртэй тэнцүү байна Тухайн цэг дэх орчны үнэмлэхүй диэлектрик тогтмол дээр:

Хэмжээг нь шалгацгаая Д SI нэгжээр:

оноос хойш
,

Дараа нь D ба E хэмжээсүүд давхцахгүй бөгөөд тэдгээрийн тоон утга нь өөр байна.

Тодорхойлолтоос Энэ нь вектор талбарын хувьд дараах байдалтай байна талбайн хувьд суперпозиция зарчим үйлчилнэ :

Талбай талбар шиг индукцийн шугамаар графикаар дүрслэгдсэн байна ... Цэг бүрийн шүргэгч чиглэлтэй давхцаж байхаар индукцийн шугамыг зурсан , мөн мөрийн тоо нь тухайн байршил дахь D-ийн тоон утгатай тэнцүү байна.

Танилцуулгын утгыг ойлгохын тулд Нэг жишээ авч үзье.

v) урсгалын вектор электростатик индукц

Цахилгаан орон дахь S гадаргууг авч үзээд хэвийн чиглэлийг сонго

1. Хэрэв талбай жигд байвал гадаргуугаар дамжин өнгөрөх хүчний шугамын тоо S:

2. Хэрэв талбай нь нэгэн төрлийн биш бол гадаргуу нь тэгш бус гэж тооцогддог dS хязгааргүй жижиг элементүүдэд хуваагдана. Иймд гадаргуугийн элементээр дамжин өнгөрөх урсгал нь: dN = D n dS,

ямар ч гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал:

(6)

N индукцийн урсгал нь скаляр хэмжигдэхүүн; -аас хамааран> 0 эсвэл байж болно< 0, или = 0.

Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хууль - Кулоны хуулийг Гауссын теорем гэж нэрлэгдэх хэлбэрээр өөрөөр томъёолж болно. Гауссын теоремыг Кулоны хууль ба суперпозиция зарчмын үр дүнд олж авсан. Нотолгоо нь хоёр цэгийн цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүчийг тэдгээрийн хоорондох зайны квадраттай урвуу пропорциональ дээр үндэслэсэн болно. Иймд Гауссын теорем нь урвуу квадратын хууль ба суперпозиция зарчим үйлчилдэг физикийн аль ч салбарт, тухайлбал таталцлын талбарт хэрэглэгдэх боломжтой.

Цагаан будаа. 9. Хаалттай X гадаргууг огтолж буй цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны хүчний шугамууд

Гауссын теоремыг томъёолохын тулд хөдөлгөөнгүй цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны хүчний шугамын зураг руу буцъя. Ганц цэгийн цэнэгийн хүчний шугамууд нь тэгш хэмтэй зохион байгуулалттай радиаль шулуун шугамууд юм (Зураг 7). Ийм шугамыг хэдэн ч удаа зурж болно. Тэдгээрийн нийт тоог түүгээр илэрхийлье. Дараа нь цэнэгээс хол зайд байгаа хүчний шугамын нягт, өөрөөр хэлбэл радиусын бөмбөрцгийн нэгж гадаргууг огтолж буй шугамын тоо Энэ хамаарлыг a-ийн талбайн хүч чадлын илэрхийлэлтэй харьцуулбал. цэгийн цэнэг (4), шугамын нягт нь талбайн хүч чадалтай пропорциональ байгааг бид харж байна. Хүчний N шугамын нийт тоог зөв сонгосноор бид эдгээр утгыг тоон хувьд тэнцүү болгож чадна.

Тиймээс цэгийн цэнэгийг хүрээлж буй дурын радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу нь ижил тооны хүчний шугамыг огтолдог. Энэ нь хүчний шугамууд үргэлжилдэг гэсэн үг юм: өөр өөр радиустай хоёр төвлөрсөн бөмбөрцөг хоорондын зайд аль нь ч шугам таслагдахгүй бөгөөд шинээр нэмэгдэхгүй. Хүчний шугамууд тасралтгүй байдаг тул ижил тооны хүчний шугамууд ямар ч битүү гадаргууг огтолж (Зураг 9) цэнэгийг хамардаг.

Хүчний шугамууд чиглэлтэй байдаг. Эерэг цэнэгийн хувьд тэдгээр нь 1-р зурагт үзүүлсэн шиг цэнэгийг тойрсон битүү гадаргуугаас гардаг. 9. Сөрөг цэнэгийн үед тэдгээр нь гадаргуугийн дотоод хэсэгт ордог. Хэрэв гарч буй мөрүүдийн тоог эерэг, ирж буй мөрүүдийн тоог сөрөг гэж үзвэл (8) томъёонд бид цэнэгийн модулийн тэмдгийг орхиж, хэлбэрээр бичиж болно.

Хүчдэлийн урсгал.Одоо талбайн хүч чадлын векторын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Дурын талбайг оюун санааны хувьд жижиг хэсгүүдэд хувааж болох бөгөөд тэдгээрийн эрчим нь хэмжээ, чиглэлийн хувьд маш бага өөрчлөгддөг тул энэ хэсэгт талбайг жигд гэж үзэж болно. Ийм газар бүрт хүчний шугамууд нь зэрэгцээ шулуун шугамууд бөгөөд тогтмол нягттай байдаг.

Цагаан будаа. 10. Талбайгаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын векторын урсгалыг тодорхойлох

Хэчнээн хүчний шугам жижиг талбайд нэвтэрч байгааг авч үзье, хэвийн чиглэл нь хурцадмал шугамын чиглэлтэй a өнцөг үүсгэдэг (Зураг 10). Хүчний шугамтай перпендикуляр хавтгай дээрх проекцийг үзье. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн нөхцлийн дагуу хөндлөн огтлолцсон шугамын тоо, шугамын нягт нь E талбайн хүч чадлын модультай тэнцүү байх тул

a хэмжигдэхүүн нь Е векторын нормаль чиглэл рүү чиглэсэн проекц юм

Тиймээс талбайг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоо байна

Бүтээгдэхүүнийг гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын урсгал гэж нэрлэдэг Формула (10) нь гадаргуугаар дамжин өнгөрөх Е векторын урсгалыг харуулж байна. тоотой тэнцүү байнаэнэ гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамууд. Эрчим хүчний векторын урсгал, түүнчлэн гадаргуугаар дамжин өнгөрөх хүчний шугамын тоо нь скаляр гэдгийг анхаарна уу.

Цагаан будаа. 11. Талбайгаар дамжин өнгөрөх эрчим хүчний векторын урсгал

Хүчний шугамтай харьцуулахад талбайн чиглэлээс урсгалын хамаарлыг Зураг дээр үзүүлэв.

Дурын гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын урсгал нь энэ гадаргууг хувааж болох энгийн хэсгүүдээр дамжих урсгалуудын нийлбэр юм. (9) ба (10) харьцааны дагуу цэнэгийг хүрээлж буй аль ч битүү гадаргуугаар 2-р цэгийн цэнэгийн талбайн хүчдлийн урсгал (9-р зургийг үз), гарч ирж буй хүчний шугамын тоо гэж үзэж болно. энэ гадаргуугаас тэнцүү байна.Энэ тохиолдолд энгийн векторыг битүү гадаргууг гадагш чиглүүлэх ёстой. Хэрэв гадаргуугийн доторх цэнэг сөрөг байвал хүчний шугамууд энэ гадаргуугийн дотор талд орох ба цэнэгтэй холбоотой талбайн хүч чадлын векторын урсгал нь мөн сөрөг байна.

Хэрэв хаалттай гадаргуу дотор хэд хэдэн цэнэг байгаа бол суперпозиция зарчмын дагуу тэдгээрийн талбайн хүч чадлын урсгал нэмэгдэнэ. Нийт урсгал нь гадаргуугийн доторх бүх цэнэгийн алгебрийн нийлбэр гэж ойлгох ёстой газартай тэнцүү байх болно.

Хэрэв битүү гадаргуу дотор цахилгаан цэнэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр 0-тэй тэнцүү бол энэ гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын нийт урсгал тэг болно: гадаргуугаар хязгаарлагдсан эзэлхүүнд хичнээн хүчний шугам ордог бол ижил хэмжээ нь явагдана. гарч.

Одоо бид эцэст нь Гауссын теоремыг томъёолж болно: вакуум дахь цахилгаан орны хүч чадлын вектор Е-ийн ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх урсгал нь энэ гадаргуугийн доторх нийт цэнэгтэй пропорциональ байна. Математикийн хувьд Гауссын теоремыг ижил томъёогоор (9) илэрхийлдэг бөгөөд энд цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг хэлдэг. Үнэмлэхүй электростатик байдлаар

CGSE нэгжийн систем, коэффициент, Гауссын теоремыг хэлбэрээр бичнэ

SI-д хаалттай гадаргуугаар дамжих суналтын урсгалыг томъёогоор илэрхийлнэ

Гауссын теоремыг цахилгаан статикт өргөн ашигладаг. Зарим тохиолдолд тэгш хэмтэй байрлалтай цэнэгийн үүсгэсэн талбаруудыг хялбархан тооцоолоход ашиглаж болно.

Тэнцвэртэй эх үүсвэрийн талбарууд.Гауссын теоремыг ашиглан гадаргуу дээр жигд цэнэглэгдсэн радиустай бөмбөрцгийн цахилгаан орны хүчийг тооцоолъё. Тодорхой байхын тулд бид түүний цэнэгийг эерэг гэж үзэх болно. Талбайг үүсгэдэг цэнэгийн хуваарилалт нь бөмбөрцөг тэгш хэмтэй байдаг. Тиймээс талбар нь мөн адил тэгш хэмтэй байдаг. Ийм талбайн хүчний шугамууд нь радиусын дагуу чиглэгддэг бөгөөд эрчмийн модуль нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байгаа бүх цэгүүдэд ижил байна.

Бөмбөлөгний төвөөс хол зайд талбайн хүчийг олохын тулд бөмбөгөөр төвлөрсөн радиустай бөмбөрцөг гадаргууг оюун ухаанаараа зурна.Учир нь энэ бөмбөрцгийн бүх цэгүүдэд талбайн хүч нь түүний гадаргуутай перпендикуляр чиглэгддэг ба ижил хэмжээтэй байна. Хэмжээ, эрчмийн урсгал нь бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн хүч чадлын үржвэртэй тэнцүү байна:

Гэхдээ энэ хэмжигдэхүүнийг Гауссын теоремыг ашиглан илэрхийлж болно. Хэрэв бид бөмбөгний гаднах талбайг сонирхож байгаа бол, тухайлбал, SI-д, (13) -тай харьцуулбал бид олох болно.

CGSE нэгжийн системд энэ нь ойлгомжтой

Тиймээс бөмбөгний гадна талбарын хүч нь бөмбөгний төвд байрлуулсан цэгийн цэнэгийн талбайн хүч чадалтай ижил байна. Хэрэв бид бөмбөгний доторх талбайг сонирхож байгаа бол, өөрөөр хэлбэл, бөмбөгний гадаргуу дээр тархсан цэнэгийг бүхэлд нь бөмбөрцгийн гадна талд байгаа тул бид оюун ухаанаараа зурдаг. Тиймээс бөмбөг дотор талбар байхгүй:

Үүний нэгэн адил Гауссын теоремыг ашиглан та хязгааргүй цэнэгийн үүсгэсэн электростатик талбайг тооцоолж болно.

хавтгайн бүх цэгүүдэд тогтмол нягттай хавтгай. Тэгш хэмийн шалтгааны улмаас хүчний шугамууд нь хавтгайд перпендикуляр, түүнээс хоёр чиглэлд чиглэсэн, хаа сайгүй ижил нягттай байна гэж бид үзэж болно. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв өөр өөр цэгүүд дэх хүчний шугамын нягтрал өөр байсан бол цэнэглэгдсэн онгоцны өөрөө дагуух хөдөлгөөн нь эдгээр цэгүүдийн талбайн өөрчлөлтөд хүргэдэг бөгөөд энэ нь системийн тэгш хэмтэй зөрчилддөг - ийм шилжилт хийх ёсгүй. талбарыг өөрчлөх. Өөрөөр хэлбэл, хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн талбай жигд байна.

Гауссын теоремыг хэрэглэх хаалттай гадаргуугийн хувьд бид цилиндрийн гадаргууг дараах байдлаар сонгоно: цилиндрийн үүсгэгч нь хүчний шугамтай параллель, суурь нь цэнэглэгдсэн хавтгайтай параллель талбайтай бөгөөд эсрэг талд байрладаг. түүний талууд (Зураг 12). Хажуугийн гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын урсгал тэг тул хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь цилиндрийн суурийн урсгалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 12. Нэг жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн талбайн хүч чадлын тооцоонд

Гауссын теоремын дагуу ижил урсгал нь цилиндр дотор байрлах онгоцны хэсгийн цэнэгээр тодорхойлогддог ба SI-д тэнцүү байна.Урсгалын эдгээр илэрхийллүүдийг харьцуулж үзвэл бид олддог.

CGSE системд жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно

Хязгаарлагдмал хэмжээс бүхий жигд цэнэглэгдсэн хавтангийн хувьд олж авсан илэрхийлэл нь хавтангийн ирмэгээс хангалттай хол, түүний гадаргуугаас холгүй бүсэд ойролцоогоор хүчинтэй байна. Хавтангийн ирмэгийн ойролцоо талбай нь жигд байхаа больж, түүний хүчний шугамууд нугалж байна. Хавтангийн хэмжээстэй харьцуулахад маш том зайд талбар нь цэгийн цэнэгийн талбайтай адил зайнаас багасдаг.

Тэгш хэмтэй тархсан эх үүсвэрээс үүссэн талбайн бусад жишээнүүдийн хувьд уртын дагуу жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй шулуун судлын талбар, жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй дугуй цилиндрийн талбар, бөмбөгний талбар,

эзлэхүүн дээр жигд цэнэглэгдэх гэх мэт Гауссын теорем нь эдгээр бүх тохиолдолд талбайн хүчийг хялбархан тооцоолох боломжийг олгодог.

Гауссын теорем нь талбай ба түүний эх үүсвэрүүдийн хоорондын холболтыг өгдөг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн цэнэгийн цахилгаан талбайг тодорхойлох боломжийг олгодог Кулоны хуулийг өгдөг нэг утгаараа эсрэг юм. Гауссын теоремыг ашиглан цахилгаан орны тархалт мэдэгдэж байгаа орон зайн аль ч муж дахь нийт цэнэгийг тодорхойлох боломжтой.

Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийг тайлбарлахдаа холын болон ойрын зайн үйл ажиллагааны ойлголтуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Эдгээр ойлголтуудыг таталцлын харилцан үйлчлэлд хэр зэрэг хэрэглэж болох вэ?

Цахилгаан орны хүч гэж юу вэ? Тэд үүнийг цахилгаан талбайн хүч чадлын шинж чанар гэж нэрлэвэл юу гэсэн үг вэ?

Талбайн шугамын загвараас тодорхой цэг дэх талбайн хүч чадлын чиглэл, модулийг хэрхэн дүгнэх вэ?

Цахилгаан орны хүчний шугамууд огтлолцож чадах уу? Хариулах шалтгаанаа хэлнэ үү.

Хоёр цэнэгийн цахилгаан статик талбайн хүчний шугамын чанарын зургийг зур.

Хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан талбайн хүч чадлын урсгалыг GSE болон SI-ийн нэгжийн системд (11) ба (12) өөр томъёогоор илэрхийлдэг. Үүнийг яаж зохицуулах вэ геометрийн утгагадаргууг гатлах хүчний шугамын тоогоор тодорхойлогддог урсгал?

Гауссын теоремыг бий болгох цэнэгийн тэгш хэмтэй тархалттай цахилгаан орны хүчийг хэрхэн олох вэ?

Сөрөг цэнэгтэй бөмбөрцгийн талбайн хүчийг тооцоолохдоо (14) ба (15) томъёог хэрхэн ашиглах вэ?

Гауссын теорем ба физик орон зайн геометр.Гауссын теоремын баталгааг арай өөр өнцгөөс харцгаая. Цэнэг тойрсон бөмбөрцөг гадаргуугаар ижил тооны хүчний шугам дамждаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн томъёо (7) руу буцъя. Энэ дүгнэлт нь тэгш байдлын хоёр талын хуваагч багассантай холбоотой юм.

Баруун тал нь Кулоны хуулиар тодорхойлсон цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүч нь цэнэгийн хоорондох зайны квадраттай урвуу хамааралтай байдгаас үүссэн. Зүүн талд гадаад төрх нь геометртэй холбоотой байдаг: бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь түүний радиусын квадраттай пропорциональ байна.

Гадаргуугийн талбайн шугаман хэмжээсийн квадраттай пропорциональ байдал нь гурван хэмжээст орон зай дахь Евклидийн геометрийн онцлог шинж юм. Үнэн хэрэгтээ талбайн пропорциональ байдал нь бусад бүхэл тоонд биш, харин шугаман хэмжээсийн квадраттай яг таарч байгаа нь орон зайн шинж чанар юм.

гурван хэмжээст. Энэ илтгэгч нь яг хоёр бөгөөд хоёроос өчүүхэн төдий ч ялгаагүй байгаа нь энэхүү гурван хэмжээст орон зайн муруй биш, өөрөөр хэлбэл түүний геометр нь яг Евклидийнх гэдгийг гэрчилнэ.

Тиймээс Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн үндсэн хуульд физик орон зайн шинж чанаруудын илрэл юм.

Физикийн үндсэн хуулиуд болон сансар огторгуйн шинж чанаруудын хоорондын нягт уялдаа холбоотой санааг олон хүн илэрхийлсэн гайхалтай оюун ухаануудЭдгээр хуулиудыг өөрсдөө бий болгохоос нэлээд өмнө . Тэгэхээр Кулоны хуулийг нээхээс гучин жилийн өмнө И.Кант сансар огторгуйн шинж чанаруудын тухай бичихдээ: "Одоо байгаа ертөнц дэх бодисууд бие биендээ үйлчлэлийн хүч урвуу байдлаар үйлчилдэг тул гурван хэмжээст байдал үүсдэг бололтой. зайны квадраттай пропорциональ байна."

Кулоны хууль ба Гауссын теорем нь үнэндээ ижил байгалийн хуулийг илэрхийлдэг янз бүрийн хэлбэрүүд... Кулоны хууль нь алсын зайн үйл ажиллагааны тухай ойлголтыг тусгасан бол Гауссын теорем нь орон зайг дүүргэх хүчний талбайн тухай ойлголтоос, өөрөөр хэлбэл ойрын зайн үйл ажиллагааны үзэл баримтлалаас гаралтай. Электростатикийн хувьд хүчний талбайн эх үүсвэр нь цэнэг бөгөөд эх үүсвэртэй холбоотой талбайн шинж чанар - эрчмийн урсгал нь өөр цэнэг байхгүй хоосон орон зайд өөрчлөгдөх боломжгүй юм. Урсгалыг хүчний шугамын багц хэлбэрээр дүрсэлж болох тул урсгалын өөрчлөгдөөгүй байдал нь эдгээр шугамын тасралтгүй байдалд илэрдэг.

Зайны квадраттай харилцан үйлчлэлийн урвуу пропорциональ байдал ба суперпозиция (харилцан үйлчлэлийн нэмэгдэл) зарчим дээр үндэслэсэн Гауссын теорем нь урвуу квадратын хууль үйлчилдэг аливаа физик талбарт хамаарна. Ялангуяа энэ нь таталцлын талбайн хувьд ч хүчинтэй. Энэ нь зүгээр нэг санамсаргүй тохиолдол биш, харин гурван хэмжээст Евклидийн физик орон зайд цахилгаан болон таталцлын харилцан үйлчлэл явагдаж байгаагийн тусгал болох нь тодорхой байна.

Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хуулийн ямар шинж чанарт үндэслэсэн бэ?

Гауссын теорем дээр үндэслэн цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны хүч нь зайны квадраттай урвуу хамааралтай болохыг нотол. Энэ нотолгоонд орон зайн тэгш хэмийн ямар шинж чанаруудыг ашигласан бэ?

Кулоны хууль болон Гауссын теоремд физик орон зайн геометр хэрхэн тусгагдсан бэ? Эдгээр хуулиудын ямар шинж чанар нь геометрийн Евклидийн шинж чанар, физик орон зайн гурван хэмжээст байдлыг гэрчилж байна вэ?

Ерөнхий томъёолол: Дурын сонгосон хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгал нь энэ гадаргууд агуулагдах цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.

CGSE системд:

SI системд:

- битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүчний векторын урсгал.

- гадаргууг хязгаарлаж буй эзэлхүүнд агуулагдах нийт цэнэг.

- цахилгаан тогтмол.

Энэ илэрхийлэл нь интеграл хэлбэрийн Гауссын теорем юм.

Дифференциал хэлбэрээр Гауссын теорем нь Максвеллийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд тохирч, дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

SI системд:

,

CGSE системд:

Энд эзэлхүүний цэнэгийн нягт (орчин байгаа үед чөлөөт ба холбогдсон цэнэгийн нийт нягт), набла оператор байна.

Гауссын теоремын хувьд суперпозицийн зарчим хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл гадаргуугаар дамжин өнгөрөх хүчдэлийн векторын урсгал нь гадаргуугийн доторх цэнэгийн тархалтаас хамаардаггүй.

Гауссын теоремын физик үндэс нь Кулоны хууль буюу өөрөөр хэлбэл Гауссын теорем нь Кулоны хуулийн салшгүй томъёолол юм.

Гауссын теорем цахилгаан индукц(цахилгаан шилжилт).

Матери дахь талбайн хувьд Гауссын цахилгаан статик теоремыг өөр өөрөөр бичиж болно - цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалаар (цахилгаан индукц). Энэ тохиолдолд теоремын томъёолол дараах байдалтай байна: хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан шилжилтийн векторын урсгал нь энэ гадаргууд агуулагдах чөлөөт цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.

Хэрэв бид бодисын талбайн хүч чадлын теоремыг авч үзвэл Q цэнэгийн хувьд гадаргуугийн доторх чөлөөт цэнэгийн нийлбэр ба диэлектрикийн туйлшрал (индукцлагдсан, холбогдсон) цэнэгийн нийлбэрийг авах шаардлагатай.

,

хаана ,
Энэ нь диэлектрикийн туйлшралын вектор юм.

Соронзон индукцийн Гауссын теорем

Ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх соронзон индукцийн векторын урсгал тэг байна.

.

Энэ нь байгальд цахилгаан цэнэг нь цахилгаан орон үүсгэдэг шиг соронзон орон үүсгэх "соронзон цэнэг" (монополь) байдаггүйтэй дүйцэхүйц юм. Өөрөөр хэлбэл соронзон индукцийн Гауссын теорем нь соронзон орон нь эргүүлэг гэдгийг харуулж байна.

Гауссын теоремын хэрэглээ

Цахилгаан соронзон орныг тооцоолохдоо дараах хэмжигдэхүүнүүдийг ашигладаг.

Бөөн цэнэгийн нягт (дээрхийг харна уу).

Гадаргуугийн цэнэгийн нягт

Энд dS нь гадаргуугийн хязгааргүй жижиг талбай юм.

Шугаман цэнэгийн нягт

Энд dl нь хязгааргүй жижиг сегментийн урт юм.

Хязгааргүй нэгэн төрлийн цэнэглэгдсэн хавтгайгаас үүссэн талбайг авч үзье. Хавтгайн гадаргуугийн цэнэгийн нягтыг ижил ба σ-тэй тэнцүү болго. Хавтгайд перпендикуляр генератриц бүхий цилиндр ба ΔS суурь нь хавтгайтай харьцангуй тэгш хэмтэй байрладаг гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэгш хэмийн ачаар. Эрчим хүчний векторын урсгал нь тэнцүү байна. Гауссын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

,

хаанаас

CGSE системд

Гауссын теорем нь бүх нийтийн болон ерөнхий шинж чанартай хэдий ч интегралыг тооцоолоход тохиромжгүй тул интеграл хэлбэрээр ашиглах нь харьцангуй хязгаарлагдмал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч тэгш хэмтэй асуудлын хувьд түүний шийдэл нь суперпозиция зарчмыг ашиглахаас хамаагүй хялбар болно.

Агаар (ε 1) ба ус (ε = 81) гэх мэт хоёр мэдээллийн хэрэгслийн хоорондох интерфэйс дээр Е векторын утга хэрхэн өөрчлөгдөхийг авч үзье. Усан дахь талбайн хүч 81 дахин буурдаг. Энэ вектор зан байдал Эянз бүрийн орчинд талбаруудыг тооцоолоход тодорхой таагүй байдлыг бий болгодог. Энэ таагүй байдлаас зайлсхийхийн тулд шинэ векторыг нэвтрүүлсэн ДЭнэ нь талбайн индукц эсвэл цахилгаан шилжилтийн вектор юм. Векторуудыг холбох Дболон Эхэлбэртэй байна

Д = ε ε 0 Э.

Мэдээжийн хэрэг, цэгийн цэнэгийн талбайн хувьд цахилгаан шилжилт нь тэнцүү байх болно

Цахилгаан шилжилтийг C / м 2-т хэмждэг, шинж чанараас хамаардаггүй бөгөөд графикаар хурцадмал шугамтай төстэй шугамаар дүрслэгдсэн болохыг харахад хялбар байдаг.

Талбайн хүчний шугамын чиглэл нь орон зай дахь талбайн чиглэлийг (хүчний шугамууд нь мэдээжийн хэрэг байхгүй, тэдгээрийг тайлбарлахад хялбар болгох үүднээс оруулсан болно) эсвэл талбайн хүч чадлын векторын чиглэлийг тодорхойлдог. Хүчдэлийн шугамын тусламжтайгаар зөвхөн чиглэлийг төдийгүй талбайн хүч чадлын хэмжээг тодорхойлох боломжтой. Үүний тулд бид тэдгээрийг тодорхой нягтралтайгаар явуулахаар тохиролцсон бөгөөд ингэснээр хурцадмал шугамд перпендикуляр гадаргуугийн нэгжийг нэвтлэх хүчдэлийн шугамын тоо нь векторын модультай пропорциональ байна. Э(зураг 78). Дараа нь энгийн талбайг нэвтлэх шугамын тоо dS, аль нь хэвийн nвектортой α өнцөг үүсгэнэ Э, нь E dScos α = E n dS-тэй тэнцүү,

Энд E n нь векторын бүрэлдэхүүн хэсэг юм Эхэвийн чиглэл n... dФ Е = E n dS = утга Эг Сгэж нэрлэдэг сайтаар дамжин хурцадмал векторын урсгалг С(г С= dS n).

Дурын хаалттай S гадаргуугийн хувьд векторын урсгал ЭЭнэ гадаргуугаар дамжуулан

Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь Ф D цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалтай байна

.

Остроградский-Гаусын теорем

Энэ теорем нь ямар ч тооны цэнэгээс E ба D векторуудын урсгалыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Q цэгийн цэнэгийг аваад векторын урсгалыг тодорхойл Эголд нь байрлах r радиустай бөмбөрцөг гадаргуугаар дамжин.

Бөмбөрцөг гадаргуугийн хувьд α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ба

Ф E = E 4 πr 2.

E-ийн илэрхийлэлийг орлуулснаар бид олж авна

Ийнхүү цэгийн цэнэг бүрээс векторын Ф Е урсгал гарч ирдэг Э Q / ε 0-тэй тэнцүү. Энэхүү дүгнэлтийг дурын тооны цэгийн цэнэгийн ерөнхий тохиолдлоор ерөнхийд нь авч үзвэл векторын нийт урсгал гэсэн теоремыг томъёолсон болно. Эдурын хэлбэрийн битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нь энэ гадаргууд агуулагдах цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг ε 0-д хуваасантай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалын хувьд ДТа ижил төстэй томъёог авч болно

хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргууг бүрхсэн цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв бид цэнэгийг хамрахгүй хаалттай гадаргууг авбал мөр бүрийг авна Эболон ДЭнэ гадаргууг оролт ба гаралтын хэсэгт хоёр удаа давах тул нийт урсгал нь тэг болж хувирна. Энд орох, гарах шугамын алгебрийн нийлбэрийг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Онгоц, бөмбөрцөг, цилиндрээс үүссэн цахилгаан талбайг тооцоолоход Остроградский-Гаусын теоремыг ашиглах

R радиустай бөмбөрцөг гадаргуу нь σ гадаргуугийн нягттай гадаргуу дээр жигд тархсан Q цэнэгийг авч явдаг.

Бөмбөрцгийн гадна байгаа А цэгийг төвөөс r зайд авч, r радиустай тэгш хэмтэй цэнэгтэй бөмбөрцгийг оюун ухаанаар зур (Зураг 79). Түүний талбай нь S = 4 πr 2. E векторын урсгал нь тэнцүү байх болно

Остроградский-Гаусын теоремоор
, тиймээс,
Q = σ 4 πr 2 гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна

Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр байрлах цэгүүдийн хувьд (R = r)

Д Хөндий бөмбөрцөг доторх цэгүүдийн хувьд (бөмбөрцөг дотор цэнэг байхгүй) E = 0.

2 ... R радиус ба урттай хөндий цилиндр гадаргуу лтогтмол гадаргуугийн цэнэгийн нягтаар цэнэглэгддэг
(Зураг 80). r> R радиустай коаксиаль цилиндр гадаргууг зуръя.

Вектор урсгал Ээнэ гадаргуу дээр

Гауссын теоремоор

Дээрх тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлж, бид олж авна

.

Хэрэв цилиндрийн шугаман цэнэгийн нягтыг (эсвэл нимгэн утас) зааж өгсөн бол
тэгээд

3. Гадаргуугийн цэнэгийн нягт σ бүхий хязгааргүй хавтгайн талбар (Зураг 81).

Хязгааргүй хавтгайгаар үүссэн талбарыг авч үзье. Тэгш хэмийн талаархи дүгнэлтээс харахад талбайн аль ч цэг дэх эрчим нь хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй байдаг.

Тэгш хэмтэй цэгүүдэд E нь ижил хэмжээтэй, эсрэг чиглэлтэй байна.

Цилиндрийн гадаргууг ΔS суурьтай оюун ухаанаар бүтээцгээе. Дараа нь цилиндрийн суурь тус бүрээр дамжин урсгал гарч ирнэ

Ф Е = Е ΔS ба цилиндр гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь Ф Е = 2Е ΔS байх болно.

Гадаргуу дотор Q = σ · ΔS цэнэг байна. Гауссын теоремын дагуу

хаана

Хүлээн авсан үр дүн нь сонгосон цилиндрийн өндрөөс хамаарахгүй. Тиймээс ямар ч зайд E талбайн хүч нь ижил хэмжээтэй байна.

Гадаргуугийн ижил цэнэгийн нягтралтай σ эсрэг талын цэнэгтэй хоёр онгоцны хувьд хавтгай хоорондын зайнаас гадуур суперпозиция хийх зарчмын дагуу талбайн хүч нь тэг, E = 0, хавтгай хоорондын зайд байна.
(зураг 82a). Хэрэв онгоцнууд ижил гадаргуугийн цэнэгийн нягттай ижил нэртэй цэнэгүүдээр цэнэглэгдсэн бол эсрэг дүр зураг ажиглагдана (Зураг 82б). Хавтгайнуудын хоорондох зайд E = 0, хавтгайнуудын гаднах орон зайд
.

Цахилгаан индукцийн векторын урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Хязгааргүй жижиг талбайг авч үзье. Ихэнх тохиолдолд энэ нь зөвхөн сайтын хэмжээ төдийгүй орон зай дахь чиг баримжааг мэдэх шаардлагатай байдаг. Вектор платформ гэдэг ойлголтыг танилцуулъя. Сайт руу перпендикуляр чиглэсэн, тоон хувьд талбайн хэмжээтэй тэнцүү векторыг вектор-сайт гэж ойлгоцгооё.

Зураг 1 - Векторын тодорхойлолт руу - сайт

Векторын урсгалыг нэрлэе сайт даяар
векторуудын цэгэн үржвэр болон
... Энэ замаар,

Вектор урсгал дурын гадаргуугаар дамжуулан бүх анхан шатны урсгалуудыг нэгтгэх замаар олно

(4)

Хэрвээ талбай нь жигд, тэгшхэн байвал талбайд перпендикуляр байрласан бол:

. (5)

Дээрх илэрхийлэл нь сайт руу нэвтрэх хүчний шугамын тоог тодорхойлно нэгж цаг тутамд.

Остроградский-Гаусын теорем. Цахилгаан орны хүч чадлын зөрүү

Дурын хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал чөлөөт цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна энэ гадаргуугаар бүрхэгдсэн

(6)

Илэрхийлэл (6) байна Теорем О-Гсалшгүй хэлбэрээр. 0-D теорем нь интеграл (нийт) эффекттэй ажилладаг, өөрөөр хэлбэл. хэрэв
Энэ нь орон зайн судлагдсан хэсгийн бүх цэгүүдэд цэнэг байхгүй, эсвэл энэ орон зайн өөр өөр цэгүүдэд байрлах эерэг ба сөрөг цэнэгийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна уу гэдэг нь тодорхойгүй байна.

Өгөгдсөн талбарт байрлах цэнэг ба тэдгээрийн хэмжээг олохын тулд цахилгаан индукцийн векторыг холбосон хамаарал хэрэгтэй. ижил цэг дээр цэнэгтэй өгөгдсөн цэг дээр.

Бид цэг дээр цэнэг байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй гэж бодъё а(зураг 2)

Зураг 2 - Векторын зөрүүг тооцоолоход

Бид O-G теоремыг ашигладаг. Тухайн цэгийн байрлаж буй эзэлхүүнийг хязгаарлаж буй дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал а, тэнцүү байна

Эзлэхүүн дэх цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг эзлэхүүний интеграл хэлбэрээр бичиж болно

(7)

хаана - нэгж эзлэхүүний төлбөр ;

- эзлэхүүний элемент.

Талбар болон цэг дээрх цэнэгийн хоорондох холболтыг олж авахын тулд абид эзлэхүүнийг бууруулж, гадаргууг цэг рүү татах болно а... Энэ тохиолдолд бид тэгш байдлынхаа хоёр талыг үнэ цэнээр нь хуваадаг ... Хязгаарыг давснаар бид дараахь зүйлийг авна.

.

Үүссэн илэрхийллийн баруун тал нь тодорхойлолтоор бол орон зайд авч үзсэн цэг дэх эзэлхүүний цэнэгийн нягт юм. Зүүн тал нь хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгалын эзлэхүүн тэг рүү чиглэх үед энэ гадаргуугаар хязгаарлагдах эзлэхүүнтэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг илэрхийлнэ. Энэ скаляр хэмжигдэхүүн нь цахилгаан талбайн чухал шинж чанар бөгөөд үүнийг нэрлэдэг ялгах вектор .

Энэ замаар:

,

тиймээс

, (8)

хаана - их хэмжээний цэнэгийн нягт.

Энэ харьцааг ашиглан цахилгаан статикийн урвуу асуудлыг энгийнээр шийддэг, өөрөөр хэлбэл. мэдэгдэж буй талбарт хуваарилагдсан цэнэгийг олох.

Хэрэв вектор өгөгдсөн бол түүний төсөөлөл тодорхой болно
,
,
координатын тэнхлэгүүд дээр координатын функцээр болон өгөгдсөн талбарыг үүсгэсэн цэнэгийн тархсан нягтыг тооцоолоход эдгээр проекцуудын гурван хэсэгчилсэн деривативын нийлбэрийг харгалзах хувьсагчдын хувьд олоход хангалттай. Үүний төлөө эдгээр цэгүүдэд
хураамжгүй. Хаана байгаа цэгүүдэд
эерэг, тэнцүү хэмжээний нягтралтай эерэг цэнэг байна
, мөн тэдгээр цэгүүдэд хаана
сөрөг утгатай байх болно, сөрөг цэнэг байдаг, нягтрал нь мөн ялгаа утгаар тодорхойлогддог.

(8) илэрхийлэл 0-Г теоремыг дифференциал хэлбэрээр илэрхийлнэ. Энэ хэлбэрээр теорем харуулж байна цахилгаан талбайн эх үүсвэрүүд нь чөлөөт цахилгаан цэнэгүүд байх;цахилгаан индукцийн векторын хүчний шугамууд нь эерэг ба сөрөг цэнэгүүд дээр тус тус эхэлж, төгсдөг.