IV Электростатик индукцийн вектор Индукцийн урсгал Остроградский-Гауссын теорем Гауссын индукцийн теорем

Цахилгаан цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн хуулийг - Кулоны хуулийг Гауссын теорем гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр өөрөөр томъёолж болно. Гауссын теоремыг Куломбын хууль ба супер байрлалын зарчмын үр дүнд олж авсан болно. Энэхүү нотолгоо нь хоёр цэгийн цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүчний хоорондын зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдал дээр суурилсан болно. Тиймээс Гауссын теорем нь урвуу квадрат хууль ба суперпозицийн зарчим, жишээлбэл, таталцлын талбарт үйлчлэх аливаа физик талбарт хамаарна.

Цагаан будаа. 9. Хүчдэлийн шугамууд цахилгаан оронхаалттай гадаргууг дайрсан цэгийн цэнэг X

Гауссын теоремыг томъёолохын тулд суурин цэгийн цэнэгийн цахилгаан талбайн хүчний шугамын зурганд буцаж оръё. Ганц цэгийн цэнэгийн хүчний шугамууд нь тэгш хэмтэй, радиаль шулуун шугамууд юм (Зураг 7). Ийм олон тооны шугам зурж болно. Тэдний нийт тоог илэрхийлье. Дараа нь цэнэгээс хол зайд байгаа хүчний шугамын нягт, өөрөөр хэлбэл радиусын бөмбөрцгийн нэгжийн гадаргууг дайрсан шугамын тоо тэнцүү байна. цэгийн цэнэг (4), шугамын нягт нь талбайн хүч чадалтай пропорциональ байгааг бид харж байна. Бид N утгын нийт шугамын тоог зохих ёсоор сонгосноор эдгээр утгыг тоон тэнцүү болгож чадна.

Тиймээс цэг цэнэгийг хүрээлсэн дурын радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу нь ижил тооны хүчний шугамыг огтлолцдог. Энэ нь хүчний шугамууд тасралтгүй байна гэсэн үг юм: өөр өөр радиустай төвлөрсөн аль ч хоёр бөмбөрцгийн хоорондох интервалд шугамуудын аль нь ч таслагдаагүй бөгөөд шинээр нэмэгдэхгүй. Хүчний шугам тасралтгүй үргэлжлэх тул ижил тооны хүчний шугамууд цэнэгийг хамарсан аливаа хаалттай гадаргуутай огтлолцдог (Зураг 9).

Хүчний шугамууд чиглэлтэй байдаг. Эерэг цэнэгийн хувьд тэд зураг дээр үзүүлсэн шиг цэнэгийг тойрсон битүү гадаргуугаас гардаг. 9. Сөрөг цэнэгийн хувьд тэдгээр нь гадаргуугийн дотоод хэсэгт ордог. Хэрэв гарч буй шугамын тоог эерэг гэж үзэж, ирж буй шугамын тоог сөрөг гэж үзвэл томъёо (8) -д бид цэнэгийн модулийн тэмдгийг орхиж, маягтаар бичиж болно.

Сэтгэлийн хурцадмал байдлын урсгал.Гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын векторын урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Дурын талбарыг оюун санааны хувьд жижиг хэсгүүдэд хувааж болох бөгөөд эрч хүч нь хэмжээ, чиглэлээрээ маш бага өөрчлөгддөг тул энэ талбайн доторх талбайг жигд гэж үзэж болно. Ийм талбай бүрт хүчний шугамууд нь зэрэгцээ шулуун шугамууд бөгөөд тогтмол нягтралтай байдаг.

Цагаан будаа. 10. Талбайн хүч чадлын векторын сайтаар дамжих урсгалыг тодорхойлох

Жижиг талбайд хичнээн хүчний шугам нэвтэрч байгааг авч үзье. Хүчний шугамд перпендикуляр хавтгай дээрх проекц байг. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн нөхцлийн дагуу ижил шугамын тоо, шугамын нягтрал нь талбайн хүч чадлын E модултай тэнцүү тул

A хэмжигдэхүүн нь Е векторын тухайн талбайн хэвийн чиглэл рүү чиглэсэн проекц юм

Тиймээс талбайг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоо

Бүтээгдэхүүнийг гадаргуугаар дамжуулж буй талбайн хүч чадлын урсгал гэж нэрлэдэг Формула (10) нь Е векторын гадаргуугаар дамжин урсаж байгааг харуулж байна. тоотой тэнцүүэнэ гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамууд. Гадаргуугаар дамжин өнгөрөх хүчний шугамын тоо шиг эрчим хүчний векторын урсгал нь скаляр болохыг анхаарна уу.

Цагаан будаа. 11. Е эрчим хүчний векторын талбайгаар дамжих урсгал

Урсгал нь хүчний шугамтай харьцуулахад талбайн чиглэлээс хамааралтай болохыг Зураг дээр үзүүлэв.

Дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын урсгал нь энэ гадаргууг хувааж болох энгийн хэсгүүдээр дамжих урсгалын нийлбэр юм. (9) ба (10) харилцааны дагуу цэгийн цэнэгийн талбайн хүч чадал нь цэнэгийг хүрээлсэн аливаа хаалттай гадаргуу 2 -аар дамждаг гэж маргаж болно (9 -р зургийг үз). Энэ гадаргуугаас тэнцүү байна.Энэ тохиолдолд ердийн векторыг энгийн хэсгүүдэд хаалттай гадаргууг гадагш чиглүүлэх ёстой. Хэрэв гадаргуу дээрх цэнэг сөрөг байвал хүчний гадаргуу нь энэ гадаргуугийн дотор ордог бөгөөд цэнэгтэй холбоотой талбайн хүч чадлын векторын урсгал бас сөрөг байна.

Хэрэв хаалттай гадаргуу дотор хэд хэдэн цэнэг байгаа бол суперпозиция зарчмын дагуу тэдгээрийн талбайн хүч чадлын урсгал нэмэгдэх болно. Нийт урсгал нь гадаргуу дээрх бүх цэнэгийн алгебрийн нийлбэр гэж ойлгох ёстой газартай тэнцүү байх болно.

Хэрэв хаалттай гадаргуу дотор цахилгаан цэнэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр нь тэг бол энэ гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын нийт урсгал тэг болно: гадаргуугаар хязгаарлагдсан эзэлхүүн рүү хичнээн олон шугамын хүч орж ирнэ, тэр хэмжээгээр гадагшилна.

Одоо бид Гауссын теоремыг томъёолж болно: цахилгаан талбайн хүч чадал Е -ийн вакуум дахь аливаа хаалттай гадаргуугаар дамжих урсгал нь энэ гадаргуу дээрх нийт цэнэгтэй пропорциональ байна. Математикийн хувьд Гауссын теоремыг ижил томъёогоор (9) илэрхийлсэн бөгөөд цэнэгийн алгебрийн нийлбэрээр илэрхийлнэ. Туйлын электростатикт

CGSE нэгжийн систем, коэффициент ба Гауссын теоремыг хэлбэрээр бичсэн болно

SI ба хаалттай гадаргуугаар дамжих хурцадмал байдлын урсгалыг томъёогоор илэрхийлнэ

Гауссын теоремыг электростатикт өргөн ашигладаг. Зарим тохиолдолд, түүний тусламжтайгаар тэгш хэмтэй байрлалтай цэнэгийн үүсгэсэн талбарыг тооцоолоход хялбар байдаг.

Тэнцвэртэй эх үүсвэрийн талбарууд.Гауссын теоремыг ашиглан гадаргуу дээр жигд цэнэглэгдсэн радиустай бөмбөрцгийн цахилгаан талбайн хүчийг тооцоолох болно. Тодорхой болгохын тулд бид түүний төлбөрийг эерэг гэж үзэх болно. Талбарыг үүсгэдэг цэнэгийн хуваарилалт нь бөмбөрцөг тэгш хэмтэй байдаг. Тиймээс талбар нь ижил тэгш хэмтэй байдаг. Ийм талбайн хүчний шугамууд нь радиусын дагуу чиглэгддэг бөгөөд эрчмийн модуль нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байгаа бүх цэгүүдэд ижил байдаг.

Бөмбөгний төвөөс алслагдсан хээрийн хүчийг олохын тулд бид бөмбөлөгтэй төвлөрсөн радиус бүхий бөмбөрцөг гадаргууг зурдаг бөгөөд энэ бөмбөрцгийн бүх цэгүүдэд талбайн хүч нь түүний гадаргуутай перпендикуляр чиглэсэн байдаг. хэмжээний хувьд эрчим хүчний урсгал нь бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн хүч чадлын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү юм.

Гэхдээ энэ хэмжээг Гауссын теорем ашиглан илэрхийлж болно. Хэрэв бид бөмбөгний гаднах талбайг сонирхож байгаа бол, жишээлбэл, SI -д, (13) -тай харьцуулахад бид олж мэднэ.

CGSE нэгжийн системд мэдээжийн хэрэг

Тиймээс бөмбөгний гадна талбайн хүч нь бөмбөгний төвд байрлуулсан цэгийн цэнэгийн талбайнхтай адил юм. Хэрэв бид бөмбөг доторх талбайг сонирхож байгаа бол бөмбөгний гадаргуу дээр тархсан цэнэг бүхэлдээ бөмбөрцгийн гадна байгаа тул бид оюун санааныхаа дагуу зурдаг. Тиймээс бөмбөг дотор талбар байхгүй байна:

Үүний нэгэн адил Гауссын теоремыг ашиглан та хязгааргүй цэнэгийн үүсгэсэн цахилгаан статик талбарыг тооцоолж болно

онгоцны бүх цэг дээр тогтмол нягтралтай хавтгай. Тэгш хэмийн шалтгаанаар хүчний шугамууд хавтгайд перпендикуляр, түүнээс хоёр чиглэлд чиглэсэн бөгөөд хаа сайгүй ижил нягтралтай байдаг гэж бид үзэж болно. Үнэн хэрэгтээ хэрэв өөр өөр цэг дээрх хүчний шугамын нягтрал өөр байсан бол цэнэглэгдсэн хавтгайн хөдөлгөөн нь эдгээр цэгүүдийн талбарыг өөрчлөхөд хүргэдэг бөгөөд энэ нь системийн тэгш хэмтэй зөрчилддөг - ийм шилжилт хийх ёсгүй. талбарыг өөрчлөх. Өөрөөр хэлбэл хязгааргүй жигд цэнэгтэй онгоцны талбар жигд байна.

Гауссын теоремыг ашиглах хаалттай гадаргуугийн хувьд бид цилиндрийн гадаргууг дараах байдлаар сонгоно: цилиндрийн генератор нь хүчний шугамтай параллель, суурь нь цэнэглэгдсэн хавтгайтай параллель, эсрэг талд байрладаг түүний талууд (Зураг 12). Хажуугийн гадаргуугаар дамжих талбайн бат бэхийн урсгал тэг байна, тиймээс хаалттай гадаргуугаар дамжих нийт урсгал нь цилиндрийн суурийн дундуур урсаж буй урсгалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 12. Нэг жигд цэнэгтэй хавтгайн талбайн хүчийг тооцоолоход

Гауссын теоремын дагуу ижил урсгалыг цилиндрийн дотор байрлах хавтгайн хэсгийн цэнэгээр тодорхойлдог бөгөөд SI -д тэнцүү байдаг. Эдгээр урсгалыг урсгалын хувьд харьцуулж үзвэл бид олох болно.

CGSE системд жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно

Хязгаарлагдмал хэмжээс бүхий жигд цэнэглэгдсэн хавтангийн хувьд олж авсан илэрхийлэл нь хавтангийн ирмэгээс хангалттай хол, түүний гадаргуугаас хэт холгүй хэсэгт ойролцоогоор хүчинтэй байна. Хавтангийн ирмэгийн ойролцоо талбай нь жигд байхаа больж, түүний хүчний шугамууд нугална. Хавтангийн хэмжээтэй харьцуулахад маш хол зайд талбар нь цэгийн цэнэгийн талбартай адил зайгаар буурдаг.

Тэгш хэмтэй тархсан эх үүсвэрээр бүтээгдсэн талбаруудын бусад жишээнүүдийн нэгэн адил уртын дагуу жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй шулуун шугаман утас, жигд цэнэгтэй хязгааргүй дугуй цилиндрийн талбар, бөмбөгний талбар,

эзлэхүүн дээр жигд цэнэглэгдсэн гэх мэт. Гауссын теорем нь эдгээр бүх тохиолдолд талбайн хүчийг хялбархан тооцоолох боломжийг олгодог.

Гауссын теорем нь тухайн талбар ба түүний эх үүсвэрүүдийн хоорондын хамаарлыг өгдөг бөгөөд энэ нь Кулумбын хуулийг өгдөг бөгөөд энэ нь тухайн цэнэгийн цахилгаан талбарыг тодорхойлох боломжийг олгодог юм. Гауссын теоремыг ашиглан цахилгаан талбайн тархалтыг мэддэг орон зайн аль ч бүс дэх нийт цэнэгийг тодорхойлох боломжтой.

Цахилгаан цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийг дүрслэхдээ холын болон богино зайн ойлголтуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Эдгээр ойлголтуудыг таталцлын харилцан үйлчлэлд хэр зэрэг хэрэглэж болох вэ?

Цахилгаан талбайн хүч чадал гэж юу вэ? Тэд үүнийг цахилгаан талбайн хүч чадлын шинж чанар гэж нэрлэхэд тэд юу гэсэн үг вэ?

Хээрийн шугамын хэв маягаас тодорхой хугацаанд талбайн хүч чадлын чиглэл, модулийг хэрхэн шүүх вэ?

Цахилгаан орны хүчний шугамууд огтлолцож чадах уу? Хариулах үндэслэлээ хэлнэ үү.

Хоёр цэнэгийн цахилгаан статик талбайн хүчний шугамын чанарын зургийг зур.

Цахилгаан талбайн хүч чадлын битүү гадаргуугаар дамжих урсгалыг GSE -ийн нэгжийн систем, SI -ийн янз бүрийн томъёогоор (11) ба (12) илэрхийлнэ. Гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоогоор тодорхойлогддог урсгалын геометрийн утгатай үүнийг хэрхэн уялдуулах вэ?

Гауссын теоремыг ашиглан цахилгаан талбайн хүчийг олохын тулд цэнэгүүдийн тэгш хэмтэй хуваарилалтыг хэрхэн олох вэ?

Сөрөг цэнэгтэй бөмбөрцгийн талбайн хүчийг тооцоолохдоо (14) ба (15) томъёог хэрхэн ашиглах вэ?

Гауссын теорем ба физик орон зайн геометр.Гауссын теоремын нотолгоог арай өөр өнцгөөс харцгаая. Томъёо (7) руу буцаж оръё, үүнээс ижил тооны хүчний шугамууд цэнэгийг тойрсон бөмбөрцөг гадаргуугаар дамжин өнгөрдөг гэж дүгнэсэн болно. Энэхүү дүгнэлт нь хоёр талын тэгш эрхийн хуваагдал буурсантай холбоотой юм.

Баруун талд нь Кулоны хуулиар тодорхойлсон цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн хүч нь цэнэг хоорондын зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдлаас үүдэлтэй юм. Зүүн талд, гадаад төрх нь геометртэй холбоотой: бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь түүний радиусын квадраттай пропорциональ байна.

Гадаргуугийн талбайн шугаман хэмжигдэхүүний квадраттай пропорциональ байдал нь гурван хэмжээст орон зайд Евклидийн геометрийн онцлог шинж юм. Үнэн хэрэгтээ талбайнууд нь бүхэл тоон бус, шугаман хэмжигдэхүүнтэй яг тэнцүү байх нь орон зайн онцлог шинж юм.

гурван хэмжээст. Энэхүү экспонент нь яг хоёр бөгөөд ялимгүй хэмжээгээр ч ялгаагүй хоёр талт хэмжээ нь энэ гурван хэмжээст орон зайн муруйлт биш, өөрөөр хэлбэл түүний геометр нь яг Евклидийн шинж чанартай болохыг гэрчилж байна.

Тиймээс Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн үндсэн хуульд физик орон зайн шинж чанарын илрэл юм.

Физикийн үндсэн хууль ба сансрын шинж чанаруудын хооронд нягт холбоо тогтоох санааг олон хүн илэрхийлсэн гайхалтай оюун ухаанэдгээр хуулиудыг өөрсдөө батлахаас нэлээд эрт. Тиймээс Кулантийн хуулийг нээхээс 30 жилийн өмнө И.Кант сансрын шинж чанаруудын талаар ингэж бичжээ: "Гурван хэмжээст байдал нь оршиж буй ертөнцөд байгаа бодисууд бие биендээ нөлөөлж, үйл ажиллагааны хүч нь урвуу нөлөө үзүүлдэгтэй холбоотой юм. зайны квадраттай пропорциональ байна. "

Куломбын хууль ба Гауссын теорем нь үнэндээ ижил байгалийн хуулийг илэрхийлдэг өөр өөр хэлбэрүүд... Куломбын хууль нь алсын зайн үйл ажиллагааны тухай ойлголтыг тусгасан бол Гауссын теорем нь орон зайг дүүргэдэг хүчний талбарын ойлголтоос, өөрөөр хэлбэл богино хугацааны үйл ажиллагааны ойлголтоос үүдэлтэй юм. Электростатикт хүчний талбайн эх үүсвэр нь цэнэг бөгөөд эх үүсвэртэй холбоотой талбайн шинж чанар - эрчим хүчний урсгал - өөр цэнэг байхгүй хоосон орон зайд өөрчлөгдөх боломжгүй юм. Урсгалыг талбайн хүчний шугамын багц хэлбэрээр төсөөлж болох тул урсгалын хувиршгүй байдал нь эдгээр шугамын тасралтгүй байдлаас илэрдэг.

Гауссын теорем нь харилцан үйлчлэлийн зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдал, суперпозиция (харилцан үйлчлэлийн нэмэлт) зарчим дээр үндэслэсэн бөгөөд урвуу квадрат хууль үйлчилдэг аливаа физик талбарт хамаарна. Тодруулбал, энэ нь таталцлын талбарт бас хүчинтэй байна. Энэ нь санамсаргүй тохиолдлоор тохиолдсон зүйл биш бөгөөд Евклидийн гурван хэмжээст физик орон зайд цахилгаан болон таталцлын харилцан үйлчлэл хоёулаа тоглож байгаагийн тусгал юм.

Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хуулийн ямар онцлог дээр Гауссын теорем үндэслэсэн бэ?

Гауссын теоремд үндэслэн цэгийн цэнэгийн цахилгаан талбайн хүч нь зайн квадраттай урвуу пропорциональ болохыг нотлох. Энэхүү нотолгоонд орон зайн тэгш хэмийн ямар шинж чанарыг ашигладаг вэ?

Физик орон зайн геометрийг Куломбын хууль болон Гауссын теоремд хэрхэн тусгасан бэ? Эдгээр хуулиудын ямар онцлог нь Евклидийн геометрийн шинж чанар, физик орон зайн гурван хэмжээст байдлыг гэрчилдэг вэ?

Электростатикийн үндсэн үүрэг бол янз бүрийн төхөөрөмж, төхөөрөмжид үүссэн цахилгаан талбайн тооцоо юм. Ерөнхийдөө энэ асуудлыг Кулоны хууль болон супер байрлалын зарчмыг ашиглан шийддэг. Гэсэн хэдий ч олон тооны цэг эсвэл орон зайн хуваарилагдсан төлбөрийг авч үзэхэд энэ даалгавар маш төвөгтэй болно. Сансарт диэлектрик эсвэл дамжуулагч байх үед E 0 гадаад талбарын нөлөөн дор микроскопийн цэнэгийн дахин хуваарилалт үүсч, өөрийн нэмэлт талбарыг бий болгодог E. арга, техникийг математикийн нарийн төвөгтэй аппарат ашиглан ашигладаг. Остроградский - Гауссын теоремыг ашиглахад үндэслэсэн хамгийн энгийн аргыг авч үзэх болно. Энэхүү теоремыг томъёолохын тулд бид хэд хэдэн шинэ ойлголтуудыг танилцуулж байна.

A) цэнэгийн нягтрал

Хэрэв цэнэглэгдсэн бие том бол биеийн доторх цэнэгийн тархалтыг мэдэх хэрэгтэй.

Бөөн цэнэгийн нягтрал- эзлэхүүний нэгжийн цэнэгээр хэмжигддэг:

Гадаргуугийн цэнэгийн нягтрал- биеийн нэг гадаргуу дээрх цэнэгээр хэмжигддэг (цэнэгийг гадаргуу дээгүүр тараах үед):

Шугаман цэнэгийн нягтрал(дамжуулагчийн дагуу цэнэг хуваарилах):

б) вектор электростатик индукц

Электростатик индукцийн вектороор (цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн вектор) нь цахилгаан талбарыг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн юм.

Вектор векторын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна тухайн цэг дэх диэлектрикийн үнэмлэхүй тогтмол дээр:

Хэмжээг шалгаж үзье Д. SI нэгжээр:

оноос хойш
,

дараа нь D ба E хэмжээсүүд давхцахгүй бөгөөд тэдгээрийн тоон утга нь бас өөр байна.

Тодорхойлолтоос Энэ нь векторын талбарын хувьд дараах байдалтай байна талбайн хувьд ижил суперпозиция зарчимтай :

Талбар талбарын нэгэн адил индукцийн шугамаар графикаар дүрслэгдсэн болно ... Индукцийн шугамыг цэг бүр дэх тангенс нь чиглэлтэй давхцаж байхаар зурсан болно , мөрийн тоо нь энэ байрлал дахь D тоон утгатай тэнцүү байна.

Танилцуулгын утгыг ойлгохын тулд Жишээ авч үзье.

v) урсгалын вектор цахилгаан статик индукц

Цахилгаан орны S гадаргууг авч үзээд нормын чиглэлийг сонго

1. Хэрэв талбай жигд байвал S гадаргуугаар дамжих хүчний шугамын тоо:

2. Хэрэв талбай нь нэг төрлийн биш бол гадаргууг тэгш бус гэж үздэг хязгааргүй жижиг элементүүд dS гэж хуваана, тэдгээрийн эргэн тойрон дахь талбай нь жигд байна. Тиймээс гадаргуугийн элементээр дамжих урсгал нь: dN = D n dS,

ба аливаа гадаргуугаар дамжих нийт урсгал:

(6)

N индукцийн урсгал нь скаляр хэмжигдэхүүн юм;  -ээс хамааран энэ нь> 0 эсвэл байж болно< 0, или = 0.

Цахилгаан индукцийн Гауссын теорем (цахилгаан шилжилт) [

Диэлектрик орчинд байгаа талбайн хувьд Гауссын электростатик теоремыг өөр хэлбэрээр (өөр хэлбэрээр) бичиж болно - цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын урсгалаар (цахилгаан индукц). Энэ тохиолдолд теоремыг томъёолох нь дараах байдалтай байна: хаалттай гадаргуугаар дамжих цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дотор байгаа чөлөөт цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.

Дифференциал хэлбэрээр:

Гауссын соронзон индукцийн теорем

Соронзон индукцийн векторын аливаа хаалттай гадаргуугаар дамжих урсгал тэг байна:

эсвэл дифференциал хэлбэрээр

Энэ нь байгальд цахилгаан цэнэг цахилгаан орон үүсгэдэг шиг соронзон орон үүсгэх "соронзон цэнэг" (монопол) байдаггүйтэй дүйцэхүйц юм. Өөрөөр хэлбэл соронзон индукцийн Гауссын теорем нь соронзон орон (бүрэн) эргүүлэг.

Ньютоны хүндийн хүчний Гауссын теорем

Ньютоны хүндийн хүчний талбайн хүчний хувьд (хүндийн хүчний хурдатгал) Гауссын теорем нь зөвхөн тогтмолуудыг эс тооцвол электростатикт бараг ижил байдаг (гэхдээ энэ нь нэгжийн системийг дур зоргоороо сонгохоос хамаарна), хамгийн чухал нь тэмдэг:

хаана g- таталцлын талбайн хүч чадал, М.- гадаргуу дээрх таталцлын цэнэг (өөрөөр хэлбэл масс) С., ρ - массын нягтрал, Г.- Ньютоны тогтмол.

Цахилгаан орны дамжуулагч. Кондуктор доторх болон түүний гадаргуу дээрх талбай.

Цахилгаан цэнэг нь цэнэглэгдсэн биеэс цэнэглэгдээгүй бие рүү дамжих биеийг дамжуулагч гэж нэрлэдэг.Цахилгаан цэнэгийг дамжуулагчийн дамжуулах чадвар нь чөлөөт цэнэг зөөгчтэй байдагтай холбоотой юм. Дамжуулагч - хатуу ба шингэн төлөвт байгаа металл биетүүд, электролитийн шингэн уусмал. Цахилгаан орон руу нэвтрүүлсэн дамжуулагчийн үнэгүй цэнэг нь түүний үйлчлэлээр хөдөлдөг. Төлбөрийг дахин хуваарилах нь цахилгаан талбарыг өөрчлөхөд хүргэдэг. Цахилгаан дамжуулагч дахь цахилгаан орон тэг болоход электронууд хөдлөхөө болино. Цахилгаан орон дээр байрлуулсан дамжуулагч дахь ялгаатай цэнэгийг салгах үзэгдлийг цахилгаан статик индукц гэнэ. Кондуктор дотор цахилгаан орон байхгүй. Үүнийг цахилгаан статик хамгаалалтанд ашигладаг - цахилгаан дамжуулалтаас металл дамжуулагчаар хамгаалдаг. Цахилгаан орны аливаа хэлбэрийн дамжуулагч биетийн гадаргуу нь эквипотенциал гадаргуу юм.

Конденсатор

Дунд зэргийн харьцангуй бага хэмжээтэй төхөөрөмжүүдийг олж авахын тулд өөртөө мэдэгдэхүйц цэнэг хуримтлуулж (нягтруулж), бусад биетүүд ойртох тусам цахилгаан дамжуулагчийн хүчин чадал нэмэгддэг болохыг ашиглаарай. Үнэн хэрэгтээ цэнэглэгдсэн дамжуулагчийн үүсгэсэн талбайн нөлөөн дор өдөөгдсөн (дамжуулагч дээр) эсвэл холбогдох (диэлектрик дээр) цэнэгүүд түүнд авчирсан биед гарч ирдэг (Зураг 15.5). Q дамжуулагчийн цэнэгийн эсрэг эсрэг цэнэгүүд нь q нэртэй ижил нэртэй гүйдэл дамжуулагчаас илүү ойрхон байрладаг тул түүний потенциалд ихээхэн нөлөөлдөг.

Тиймээс биеийг цэнэглэгдсэн дамжуулагч руу авчрах үед талбайн хүч буурч, улмаар дамжуулагчийн потенциал буурдаг. Тэгшитгэлийн дагуу энэ нь дамжуулагчийн багтаамж нэмэгдэнэ гэсэн үг юм.

Конденсатор нь диэлектрик давхаргаар тусгаарлагдсан хоёр дамжуулагч (хавтан) -аас бүрдэнэ (Зураг 15.6). Кондукторт тодорхой боломжит зөрүүг ашиглах үед түүний ялтсууд эсрэг тэмдгийн тэнцүү цэнэгээр цэнэглэгддэг. Конденсаторын цахилгаан багтаамжийг q цэнэгтэй пропорциональ, ялтсуудын хоорондох боломжит зөрүүтэй урвуу пропорциональ гэж ойлгодог.

Хавтгай конденсаторын багтаамжийг тодорхойлъё.

Хэрэв хавтангийн талбай S, түүн дээрх цэнэг q бол ялтсуудын хоорондох талбайн хүч нь байна

Нөгөө талаас, ялтсуудын хоорондох боломжит ялгаа хаанаас гардаг

Цэгийн цэнэг, цэнэглэгдсэн дамжуулагч ба конденсаторын системийн энерги.

Аливаа цэнэгийн систем нь харилцан үйлчлэх тодорхой боломжит энергитэй бөгөөд энэ системийг бий болгоход зарцуулсан ажилтай тэнцүү юм. Цэгийн цэнэгийн системийн энерги q 1 , q 2 , q 3 ,… q Н.дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

хаана φ 1 - бусад цэнэгээс бусад цахилгаан талбайн потенциал q 1 цэнэг байгаа цэг дээр q 1 гэх мэт. Хэрэв цэнэгийн системийн тохиргоо өөрчлөгдвөл системийн энерги бас өөрчлөгддөг. Системийн тохиргоог өөрчлөхийн тулд та тодорхой ажил хийх хэрэгтэй.

Цэгийн цэнэгийн системийн боломжит энергийг өөр аргаар тооцоолж болно. Хоёр цэгийн цэнэгийн потенциал энерги q 1 , q 2 бие биенээсээ хол зайд байгаа нь тэнцүү байна. Хэрэв хэд хэдэн цэнэг байгаа бол энэхүү цэнэгийн системийн потенциал энергийг энэ системд нөхөж болох бүх хос цэнэгийн боломжит энергийн нийлбэрээр тодорхойлж болно. Тиймээс гурван эерэг цэнэгтэй системийн хувьд системийн энерги нь тэнцүү юм

Цэнэглэгдсэн дан цахилгаан дамжуулагч ба конденсаторын энерги

Хэрэв дан ганц дамжуулагч q цэнэгтэй бол түүний эргэн тойронд цахилгаан талбар байдаг ба түүний дамжуулагчийн гадаргуу дээрх потенциал нь тэнцүү, багтаамж нь С юм. Цэнэгээ dq -ээр нэмэгдүүлье. Хязгааргүй байдлаас dq цэнэгийг шилжүүлэхдээ ажилтай тэнцүү байх ёстой ... Гэхдээ хязгааргүй байгаа дамжуулагчийн цахилгаан статик талбайн потенциал тэг байна. Дараа нь

Dq цэнэгийг дамжуулагчаас хязгааргүй рүү шилжүүлэхэд ижил ажлыг цахилгаан статик талбайн хүчээр хийдэг. Тиймээс дамжуулагчийн цэнэг dq хэмжээгээр нэмэгдэх тусам талбайн боломжит энерги нэмэгдэх болно.

Энэхүү илэрхийлэлийг нэгтгэснээр цэнэглэгдсэн дамжуулагчийн цахилгаан статик талбайн потенциал энергийг цэнэг нь тэгээс q хүртэл нэмэгдэх болно.

Харьцааг ашигласнаар W боломжит энергийн дараах илэрхийлэлийг олж авч болно.

Цэнэглэгдсэн конденсаторын хувьд боломжит зөрүү (хүчдэл) нь цахилгаан статик талбайн нийт энергийн харьцаа хэлбэртэй байна.

Цахилгаан талбайн хүч чадлын векторын урсгал.Жижигхэн талбай тавь Д.С.(Зураг 1.2) нь цахилгаан талбайн хүчний шугамыг огтлолцох бөгөөд түүний чиглэл нь хэвийн хэмжээнд байна n энэ сайтын өнцөг a... Хүчдэлийн вектор гэж үзье Е сайт дотор өөрчлөгддөггүй Д.С., тодорхойлох хүчдэлийн векторын урсгалсайтын даяар Д.С.Яаж

Д.FЕ =Е Д.С. cos a.(1.3)

Хүчний шугамын нягт нь хүчдэлийн тоон утгатай тэнцүү байдаг Е, дараа нь сайтыг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тооД.С., урсгалын утгатай тоон утгаараа тэнцүү байх болноД.FЕгадаргуу дээгүүрД.С.... Бид илэрхийлэлийн баруун талыг (1.3) векторуудын скаляр бүтээгдэхүүн болгон илэрхийлнэ ЕбаД.С.= nД.С., хаана nГадаргуу дээрх нэгж нь хэвийн вектор юмД.С.... Анхан шатны сайтын хувьд d С.илэрхийлэл (1.3) хэлбэртэй байна

dFЕ = Е d С.

Сайтын даяар С.Эрчим хүчний векторын урсгалыг гадаргуу дээрх салшгүй хэсэг гэж тооцдог

Цахилгаан индукцийн векторын урсгал.Цахилгаан индукцийн векторын урсгалыг цахилгаан талбайн хүч чадлын векторын урсгалтай адил тодорхойлно

dFД. = Д. d С.

Гадаргуу бүрийн хувьд хоёр байдаг тул урсгалын тодорхойлолтод тодорхой бус байдал ажиглагддаг эсрэг чиглэлд байдаг нормативууд. Хаалттай гадаргуугийн хувьд гаднах нормыг эерэг гэж үзнэ.

Гауссын теорем.Санаж үзээрэй эерэг цэгцахилгаан цэнэг qдурын хаалттай гадаргуу дотор С.(Зураг 1.3). Гадаргуугийн элементээр дамжих индукцийн векторын урсгал d С.-тай тэнцүү байна
(1.4)

Бүрэлдэхүүн хэсэг d С Д. = d С. cos aгадаргуугийн элемент d С.индукцийн векторын чиглэлдД.радиусын бөмбөрцөг гадаргуугийн элемент гэж үздэг r, түүний төв хэсэгт төлбөр байдагq.

Үүнийг харгалзан d С Д./ r 2 тэнцүү байна бие махбодийн анхан шатныбулан dw, төлбөрийн байршлын цэгээс доорqгадаргуугийн элемент d харагдаж байна С., бид илэрхийллийг (1.4) хэлбэр болгон өөрчилдөг d FД. = q d w / 4 хЭндээс цэнэгийг тойрсон орон зайг бүхэлд нь нэгтгэсний дараа, өөрөөр хэлбэл 0 -ээс 4 хүртэлх хатуу өнцөг доторх, бид авдаг

FД. = q.

Цахилгаан индукцийн векторын дурын хэлбэртэй хаалттай гадаргуугаар дамжих урсгал нь энэ гадаргуу дээрх цэнэгтэй тэнцүү байна.

Хэрэв дур мэдэн хаалттай гадаргуутай бол С.цэгийн төлбөрийг тооцдоггүй q(Зураг 1.4), дараа нь цэнэг байрладаг цэг дээр оройтой конус гадаргууг байгуулсны дараа бид гадаргууг хуваана. С.хоёр хэсэгт: С. 1 ба С. 2 Векторын урсгал Д. гадаргуу дээгүүр С.гадаргуугаар дамжих урсгалын алгебрийн нийлбэр С. 1 ба С. 2:

.

Цэнэглэж буй цэгээс хоёр гадаргуу хоёулаа qнэг хатуу өнцгөөр харагдана w... Тиймээс урсгал нь тэнцүү байна

Хаалттай гадаргуу дээрх урсгалыг тооцоолохдоо бид үүнийг ашигладаг гаднах хэвийнгадаргуугаас харахад урсгал Ф гэдгийг харахад хялбар байдаг 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Нийт урсгал Ф Д.= 0. Энэ нь гэсэн үг дурын хэлбэртэй хаалттай гадаргуугаар дамжих цахилгаан индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргуугаас гадна байрлах цэнэгээс хамаардаггүй.

Хэрэв цахилгаан орон нь цэгийн цэнэгийн системээр үүсгэгдсэн бол q 1 , q 2 ,¼ , q n, битүү гадаргуугаар хучигдсан байдаг С., дараа нь суперпозиция зарчмын дагуу индукцийн векторын энэ гадаргуугаар дамжих урсгалыг цэнэг тус бүрийн үүсгэсэн урсгалын нийлбэрээр тодорхойлно. Цахилгаан индукцийн векторын дурын хэлбэртэй хаалттай гадаргуугаар дамжих урсгал нь энэ гадаргуугийн цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.:

Төлбөр ногдуулж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй q iцэг шиг байх албагүй бөгөөд цэнэглэгдсэн хэсгийг гадаргуугаар бүрэн бүрхсэн байх шаардлагатай. Хэрэв битүү гадаргуугаар хязгаарлагдсан орон зайд С., Цахилгаан цэнэг тасралтгүй тархдаг бол d эзлэхүүн бүрийг d гэж үзэх ёстой Vтөлбөртэй. Энэ тохиолдолд илэрхийлэлийн баруун талд (1.5), цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг хаалттай гадаргуу доторх эзэлхүүн дээр нэгтгэх замаар солино. С.:

(1.6)

Илэрхийлэл (1.6) бол хамгийн ерөнхий томъёолол юм Гауссын теорем: дурын хэлбэртэй хаалттай гадаргуугаар дамжих цахилгаан индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргуугаар хүрээлэгдсэн эзэлхүүн дэх нийт цэнэгтэй тэнцүү бөгөөд гадаргуугийн гадна байрлах цэнэгээс хамаардаггүй.... Гауссын теоремыг цахилгаан талбайн хүч чадлын векторын урсгалын хувьд бичиж болно.

.

Цахилгаан талбайн чухал шинж чанар нь Гауссын теоремоос гардаг. хүчний шугамууд зөвхөн цахилгаан цэнэгээр эхэлж эсвэл дуусдаг эсвэл хязгааргүй рүү явдаг... Цахилгаан талбайн хүч чадлыг үл харгалзан бид үүнийг дахин онцлон тэмдэглэж байна Е ба цахилгаан индукц Д. сансарт байгаа бүх цэнэгүүдийн байршил, дурын хаалттай гадаргуугаар дамжих эдгээр векторуудын урсгалаас хамаарна С.зөвхөн тодорхойлно гадаргуугийн дотор байрлах төлбөрүүд С..

Гауссын теоремын дифференциал хэлбэр.Тэрийг тэмдэглэ салшгүй хэлбэрГауссын теорем нь цахилгаан орны эх үүсвэр (цэнэг) ба эзэлхүүн дэх цахилгаан талбайн шинж чанар (эрчим эсвэл индукц) хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог. Vдур зоргоороо, гэхдээ салшгүй харилцаа, үнэ цэнийг бий болгоход хангалттай. Эзлэхүүнийг хуваах Vбага хэмжээний хувьд V i, бид илэрхийлэлийг олж авдаг

энэ нь бүхэлд нь болон нэр томъёо бүрт үнэн байдаг. Үүссэн илэрхийлэлийг дараах байдлаар хөрвүүлье.

(1.7)

тэгш өнцөгтийн баруун гар талд буржгар хаалтанд орсон илэрхийлэл нь эзлэхүүнийг хязгааргүй хуваах хандлагатай байдаг. V... Математикт энэ хязгаарыг нэрлэдэг зөрүүвектор (энэ тохиолдолд цахилгаан индукцийн вектор Д.):

Векторын ялгаа Д.Картезийн координатад:

Тиймээс илэрхийлэл (1.7) нь дараахь хэлбэрт шилжсэн болно.

.

Хязгааргүй хуваагдлаар сүүлийн илэрхийллийн зүүн талд байгаа нийлбэр нь эзлэхүүний интегралд ордог болохыг харгалзан бид олж авна.

Үүссэн харьцааг дур мэдэн сонгосон эзлэхүүний хувьд биелүүлэх ёстой V... Энэ нь орон зайн цэг бүрийн интегрантын утга ижил байвал л боломжтой юм. Тиймээс векторын зөрүү Д.ижил цэг дэх цэнэгийн нягтралтай тэнцүү байна

эсвэл цахилгаан статик талбайн хүч чадлын векторын хувьд

Эдгээр тэгш байдал нь Гауссын теоремыг илэрхийлнэ дифференциал хэлбэр.

Гауссын теоремын дифференциал хэлбэрт шилжих явцад бид байгаа хамаарлыг олж авдаг болохыг анхаарна уу ерөнхий шинж чанар:

.

Энэхүү илэрхийлэлийг Гаусс -Остроградскийн томъёо гэж нэрлэдэг бөгөөд эзэлхүүнийг хязгаарласан хаалттай гадаргуугаар дамжих векторын урсгалын векторын хуваагдлын эзэлхүүнийг нэгтгэдэг.

Асуултууд

1) Гэж юу вэ физик утгаВакуум дахь цахилгаан статик талбайн Гауссын теорем

2) Шоо дунд нь цэгийн цэнэг байнаq... Векторын урсгал гэж юу вэ Е:

а) кубын бүх гадаргуугаар дамжин; б) шоо нүүрний аль нэгээр дамжин.

Дараах тохиолдолд хариултууд өөрчлөгдөх болно.

а) цэнэг нь кубын төвд биш, харин дотор нь байна ; б) цэнэг нь кубын гадна байна.

3) Шугаман, гадаргуу, эзэлхүүн цэнэгийн нягтрал гэж юу вэ.

4) Бөөнөөр болон гадаргуугийн цэнэгийн нягтын хоорондын хамаарлыг заана уу.

5) Эсрэг ба жигд цэнэглэгдсэн параллель хязгааргүй онгоцны гаднах талбай тэгээс өөр байж болох уу?

6) Цахилгаан диполыг хаалттай гадаргуу дотор байрлуулна. Энэ гадаргуугаар дамжих урсгал юу вэ

Хамгийн хэцүү нь нэг төрлийн бус цахилгаан орчинд цахилгаан үзэгдлийг судлах явдал юм. Ийм орчинд ε нь өөр утгатай бөгөөд диэлектрикийн хил дээр огцом өөрчлөгддөг. Бид талбайн хүчийг media 1 = 1 (вакуум эсвэл агаар) ба ε 2 = 3 (шингэн - тос) гэсэн хоёр зөөвөрлөгчийн интерфейс дээр тодорхойлдог гэж бодъё. Вакуумаас диэлектрик рүү шилжих интерфейс дээр талбайн хүч 3 дахин буурч, хүч чадлын векторын урсгал ижил хэмжээгээр буурдаг (Зураг 12.25, а). Хоёр зөөвөрлөгчийн интерфейс дэх цахилгаан статик талбайн хүч чадлын векторын огцом өөрчлөлт нь талбарыг тооцоолоход тодорхой хүндрэл учруулдаг. Гауссын теоремын хувьд эдгээр нөхцөлд энэ нь бүрэн утгаа алддаг.

Өөр өөр диэлектрикийн туйлшрал ба хүч чадал өөр өөр байдаг тул диэлектрик тус ​​бүрийн хүчний шугамын тоо өөр өөр байх болно. Талбайн шинэ физик шинж чанар болох цахилгаан индукцийн D (эсвэл вектор) -ийг нэвтрүүлэх замаар энэ бэрхшээлийг арилгах боломжтой цахилгаан шилжилт ).

Томъёоны дагуу

ε 1 Е 1 = ε 2 Е 2 = Е 0 = const

Эдгээр тэгшитгэлийн бүх хэсгийг цахилгаан тогтмол ε 0 -ээр үржүүлснээр бид олж авна

ε 0 ε 1 Е 1 = ε 0 ε 2 Е 2 = ε 0 Е 0 = const

Бид ε 0 εЕ = D гэсэн тэмдэглэгээг танилцуулж, дараа нь өмнөх харьцаа хэлбэртэй болно

D 1 = D 2 = D 0 = const

Диэлектрик дэх цахилгаан талбайн хүч ба түүний үнэмлэхүй диэлектрик тогтмолын үржвэртэй тэнцүү D векторыг нэрлэдэг.Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн вектор

(12.45)

Цахилгаан шилжүүлэх нэгж - квадрат метр тутамд зүүлт(Cl / m 2).

Цахилгаан шилжилт нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

D = εε 0 E = (1 + χ) ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E + P

(12.46)

E хүчнээс ялгаатай нь цахилгаан диэлектрик D нь бүх диэлектрикт тогтмол байдаг (Зураг 12.25, б). Тиймээс, нэгэн төрлийн бус диэлектрик орчин дахь цахилгаан талбар нь E хүчээр бус харин D нүүлгэн шилжүүлэлтийн вектороор тодорхойлогддог. Вектор D нь чөлөөт цэнэгээр үүсгэгдсэн (өөрөөр хэлбэл вакуум орчинд) электростатик талбарыг дүрсэлдэг боловч диэлектрикийн дэргэд байдаг орон зайд ийм хуваарилалттай байдаг, учир нь диэлектрикээс үүссэн хязгаарлагдмал цэнэг нь үнэгүй цэнэгийг дахин хуваарилахад хүргэдэг. талбар.

Векторын талбар талбарын нэгэн адил цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн шугамаар зурсан болно хүчний шугамаар дүрсэлсэн.

Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн шугам - эдгээр нь цэг бүр дээр цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн вектортой чиглэлд давхцаж буй шүргэгч юм.

Е векторын шугамууд ямар ч төлбөргүйгээр эхэлж, дуусах боломжтой - чөлөөтэй, боолт, векторын шугамуудД.- зөвхөн үнэ төлбөргүй. Вектор шугамуудД.хурцадмал байдлын шугамаас ялгаатай нь тэдгээр нь тасралтгүй байдаг.

Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн вектор нь хоёр зөөвөрлөгчийн хоорондох интерфейс дээр тасалдал гардаггүй тул зарим битүү гадаргуугаар хүрээлэгдсэн цэнэгээс үүдэлтэй индукцийн бүх шугамууд түүнд нэвтэрнэ. Тиймээс цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын хувьд Гауссын теорем нь нэгэн төрлийн бус диэлектрик орчин гэсэн утгыг бүрэн хадгалж үлддэг.

Гауссын диэлектрик дэх цахилгаан статик талбайн теорем дурын хаалттай гадаргуугаар дамжих цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дээрх цэнэгүүдийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

(12.47)